初二数学反证法
初二数学反证法
例4
求证：两条直线相交只有一个交点。 已知：如图两条相交直线a、b。 求证：a与b只有一个交点。
证明：假设a与b不止一个交点，不 妨假设有两个交点A和A’。 因为两点确定一条直线，即经 过点A和A’的直线有且只有一条，这与 与已知两条直线矛盾,假设不成立。 所以两条直线相交只有一个交点。
a
●
A，
A
一、复习引入
A
如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b, 如果∠C=90°，a、b、c三边有何关系？为 什么？
解析： 由∠C=90°可知是直角三角 形，根据勾股定理可知 a2 +b2 ＝c2 .
b
c
C
a
B
二、探究
若将上面的条件改为“在 △ABC中，AB=c，BC=a， AC=b,∠C≠90°”，请问结论a2 +b2 ≠ c2 成立吗？请说明理由。
A
P C
在一元二次方程 2 ax bx c 中， a,b,c均为奇数时，方程无实数解。
0
2用反证法证明若a3用反证法证明如果一个三角形没有两个相等的角那么这个三角形不是等腰三角形的第一步a不是实数a小于或等于2a大于或等于2没有两个一个也没有两直线相交假设ab假设这个三角形是等腰三角形1已知
反证法的一般步骤: 假设命 题结论 反面成 立 推理 得出 矛盾
假设不成立 即所证命题 成立
与定理，定义， 公理矛盾 与已知条件矛盾
P l1 l2
四。巩固新知
1、试说出下列命题的反面： （1）a是实数。 a不是实数 （2)a大于2。a小于或等于２ 没有两个 a大于或等于２ （3）a小于2。 （4）至少有 2个 （5）最多有一个 一个也没有 （6）两条直线平行。 两直线相交 2、用反证法证明“若a2≠ b2,则a ≠ b”的第一步是 假设a=b。 3、用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么 这个三角形不是等腰三角形”的第一步 假设这个三角形是等腰三角形 。
八年级数学上册《反证法》教案、教学设计
3.评价与反馈：教师对学生的练习成果进行评价，给予鼓励和指导，帮助学生找到不足，提高解题能力。
（五）总结归纳
1.知识点回顾：教师引导学生回顾本节课所学内容，总结反证法的定义、证明步骤和应用场景。
2.学生发言：鼓励学生谈谈自己对反证法的认识，以及在解题过程中的体会和收获。
（二）讲授新知
1.反证法定义：教师给出反证法的定义，明确反证法的基本思想，即假设结论不成立，通过推理得出矛盾，从而证明原结论成立。
2.证明步骤：详细讲解反证法的证明步骤，包括假设结论不成立、推出矛盾、否定假设、得出结论等。
3.例题讲解：以勾股定理的证明为例，展示反证法的具体运用，让学生理解反证法的证明过程。
2.例题分析：通过典型例题的讲解，让学生体会反证法的应用，培养他们分析问题和解决问题的能力。
3.小组讨论：组织学生进行小组讨论，共同探讨反证法的证明过程，提高学生的合作学习能力。
4.课后作业：布置适量、具有挑战性的课后作业，巩固学生对反证法的理解和运用。
（三）情感态度与价值观
1.激发兴趣：以有趣的数学问题引入反证法，让学生感受到数学的趣味性和挑战性。
3.实践性：注重作业的实践性，鼓励学生将所学知识运用到实际问题中，提高解决问题的能力。
4.合作性：鼓励学生进行小组合作，培养学生的团队精神和合作学习能力。
5.家长参与：充分发挥家长的作用，促进家校共育，提高学生的学习兴趣和效果。
3.教师总结：强调反证法在解决数学问题中的重要作用，鼓励学生在今后的学习中，灵活运用反证法，提高自己的逻辑思维能力和解决问题的方法。
4.布置作业：布置与课堂练习相关的课后作业，巩固学生对反证法的掌握，为下一节课的学习打下基础。
14.1.3 反证法(八年级数学)
课堂总结
概念
反证法
证明步骤
反证法证明的思路：假设命题不成 立→正确的推理,得出矛盾→肯定待 定命题的结论
7.准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是 一些常见的关键词的否定形式.
原词语 否定词
等于 是
不等于 不是
都是 大于 小于
不都是 不大于 不小于
对所有x成 存在某个x
立
不成立
原词语
任意的 至少有一个 至多有一个 至少有n个 至多有n个
对任何x 不成立
否定词 某个 一个也没有 至少有两个 至多有（n-1)个 至少有（n+1)个
6.已知：a是整数，2能整除a2. 求证：2能整除a.
证明：假设命题的结论不成立，即“2不能整除a”. 因为a是整数，故a是奇数. 不妨设a=2n+1(n是整数), ∴a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=2(2n2+2n)+1, ∴a2是奇数，则2不能整除a2 ，这与已知矛盾. ∴假设不成立，故2能整除a.
小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外， 还可以与我们学过的基本事实、定理矛盾.
【例4】 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或 等于60°.
已知：△ABC. 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
证明：假设 △ABC中没有一个内角小于或等于60° ， 即∠A>60°,∠B>60°,∠C>60° ， ∴ ∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°， 这与 三角形的内角和为180° 矛盾．假设不成立．
【例2】在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B ≠ ∠ C.
(初二18)反证法
初中数学竞赛辅导资料（初二18）反证法甲内容提要1. 反证法是一种间接的证明方法。
它的根据是原命题和逆否命题是等价命题，当一个命题不易直接证明时，釆取证明它的逆否命题。
2. 一个命题和它的逆否命题是等价命题，可表示为：A →B A B →⇔ 例如 原命题：对顶角相等 (真命题)逆否命题：不相等的角不可能是对顶角 (真命题)又如 原命题：同位角相等，两直线平行 (真命题)逆否命题：两直线不平行，它们的同位角必不相等 (真命题)3. 用反证法证明命题，一般有三个步骤：① 反设 假设命题的结论不成立（即假设命题结论的反面成立）② 归谬 推出矛盾（和已知或学过的定义、定理、公理相矛盾）③ 结论 从而得出命题结论正确例如： 求证两直线平行。
用反证法证明时① 假设这两直线不平行；② 从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③从而肯定，非平行不可。
乙例题例1两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两直线平行已知：如图∠1＝∠2 A 1 B 求证：AB ∥CD 证明：设AB 与CD 不平行 C 2 D 那么它们必相交，设交点为M D这时，∠1是△GHM 的外角 A 1 M B ∴∠1＞∠2 G这与已知条件相矛盾 2 ∴AB 与CD 不平行的假设不能成立 H∴AB ∥CD C例2.求证两条直线相交只有一个交点证明：假设两条直线相交有两个交点，那么这两条直线都经过相同的两个点，这与“经过两点有且只有一条直线”的直线公理相矛盾，所以假设不能成立，因此两条直线相交只有一个交点。
（从以上两例看出，证明中的三个步骤，最关键的是第二步——推出矛盾。
但有的题目，第一步“反设”也要认真对待）。
例3.已知：m 2是3的倍数，求证：m 也是3的倍数证明：设m 不是3的倍数，那么有两种情况：m=3k+1或m= 3k+2 (k 是整数)当 m=3k+1时， m 2＝（3k+1）2＝9k 2+6k+1=3(3k 2+2k)+1当 m=3k+2时， m 2＝（3k+2）2＝9k 2＋12k+4=3(3k 2+4k+1)+1即不论哪一种，都推出m 2不是3的倍数，这和已知条件相矛盾，所以假设不能成立。
初二数学反证法例题
1.下列哪个命题适合用反证法证明？A.两直线平行，同位角相等。
B.若a=b，则a2=b2。
C.三角形中至少有一个角不大于60°。
（答案）D.全等三角形的对应边相等。
2.使用反证法证明“√2是无理数”时，应先假设什么？A.√2是有理数。
（答案）B.√2是无理数。
C.√2是整数。
D.√2不是整数。
3.下列哪个步骤不是反证法的一般步骤？A.假设命题的结论不成立。
B.从假设出发，经过推理得出矛盾。
C.肯定假设正确，从而肯定原命题成立。
（答案）D.得出原命题成立的结论。
4.用反证法证明“三角形的内角和为180°”时，应假设什么？A.三角形的内角和不为180°。
（答案）B.三角形的内角和为180°。
C.三角形的外角和为360°。
D.三角形的内角和大于180°。
5.下列哪个命题不能用反证法证明？A.相邻的两个角不互补。
B.至少有一个角大于或等于60°的三角形存在。
（答案）C.两个连续整数的乘积不是完全平方数。
D.在三角形中，至少有一个角不大于60°。
6.使用反证法证明命题时，如果推出了与哪个条件矛盾，则说明假设错误？A.已知条件B.命题的结论C.已知条件、定义、定理或公理等（答案）D.假设的条件7.下列哪个选项不是反证法中的“归谬”步骤？A.导出与假设相矛盾的结论。
B.导出与已知条件相矛盾的结论。
（答案）C.导出与定义、定理或公理等相矛盾的结论。
D.导出与临时假设相矛盾的结论。
8.用反证法证明“正方形的对角线不相等”是错误的命题时，应先假设什么？A.正方形的对角线相等。
（答案）B.正方形的对角线不相等。
C.正方形的四条边相等。
D.正方形的对角线互相垂直。
9.下列哪个命题适合用反证法证明其不存在性？A.存在一个三角形，其内角和为181°。
（答案）B.所有三角形的内角和都为180°。
C.三角形的外角和为360°。
初中数学中的反证法例谈
初中数学中的反证法例谈反证法是数学证明中非常常用的一种方法，在初中数学中也经常会遇到一些需要使用反证法来证明的问题。
以下是几个反证法的例子：1. 证明所有正整数都是奇数或偶数。
假设存在一个既不是奇数也不是偶数的正整数，那么这个正整数既不满足奇数的定义也不满足偶数的定义，与假设矛盾。
因此，所有正整数都是奇数或偶数。
2. 证明根号2是无理数。
假设根号2是有理数，那么可以表示为一个分数，即根号2 =a/b，其中a和b都是整数，且a和b互质。
将这个等式两边平方得2 = a^2 / b^2，即a^2 = 2b^2。
因为2是质数，所以a必须是2的倍数，那么就可以表示为a = 2c（c是整数）。
带入到a^2 =2b^2中得到(2c)^2 = 2b^2，即4c^2 = 2b^2或2c^2 = b^2。
这意味着b也是2的倍数，与a和b互质的条件矛盾。
因此，根号2是无理数。
3. 证明当正整数n不是完全平方数时，√n是无限不循环小数。
假设√n是有限循环小数，即可以表示为a/b（a和b都是整数，且a和b互质），那么可以得到n = a^2/b^2。
因为n不是完全平方数，所以a和b必须互质，且a和b至少有一个是奇数。
假设a是奇数，那么a^2是奇数，b^2是偶数，所以a^2/b^2是一个无限不循环小数。
同理，如果b是奇数，也可以推出a^2/b^2是一个无限不循环小数。
因此，当正整数n不是完全平方数时，√n是无限不循环小数。
这些例子展示了在初中数学中应用反证法的常见情形，可以巩固理解反证法在解决数学问题时的重要作用。
初中数学反证法简单例子
初中数学反证法简单例子初中数学中的反证法是一种常用的证明方法，通过假设所要证明的命题不成立，然后推导出与已知事实相矛盾的结论，从而证明原命题一定成立。
下面我们来列举一些初中数学中常用的反证法的简单例子。
1. 命题：不存在任意两个不相等的正整数，使得它们的和等于它们的积。
假设存在两个不相等的正整数a和b，满足a + b = ab。
由于a和b不相等，不妨设a > b，那么有a > a/2 > b。
根据不等式性质，我们可以得到2a > a + b = ab，即2 > b。
但是正整数b不可能小于2，与假设矛盾。
因此，不存在任意两个不相等的正整数满足该条件。
2. 命题：存在一个无理数x，使得x的平方等于2。
假设不存在这样的无理数x，即对于任意实数x，x的平方不等于2。
那么我们可以考虑一个特殊的实数y，即y = √2。
根据无理数定义，√2不是有理数，因此是一个无理数。
而根据假设，y的平方不等于2，即y^2 ≠ 2。
然而，这与y = √2相矛盾。
因此，存在一个无理数x，使得x的平方等于2。
3. 命题：对于任意正整数n，2n不等于n的平方。
反证法证明：假设存在一个正整数n，使得2n = n^2。
可以将等式两边同时除以n，得到2 = n。
然而，这与n是一个正整数相矛盾。
因此，对于任意正整数n，2n不等于n的平方。
4. 命题：对于任意正整数n，n^2 + 3n + 2不是一个完全平方数。
反证法证明：假设存在一个正整数n，使得n^2 + 3n + 2 = m^2，其中m是一个正整数。
可以将等式变形为n^2 + 3n + 2 - m^2 = 0。
这是一个关于n的二次方程，可以使用求根公式解得n = (-3 ± √(9 - 8(2 - m^2))) / 2。
由于n是一个正整数，因此根号内的值必须为正整数。
然而，当m取不同的正整数值时，根号内的值不可能为正整数，因此假设不成立。
因此，对于任意正整数n，n^2 + 3n + 2不是一个完全平方数。
初中数学初二数学下册《反证法》优秀教学案例
（三）小组合作
小组合作是一种有效的教学策略，可以培养学生的团队协作能力和沟通能力。在本章节的教学中，我将把学生分成若干小组，每组学生在探究反证法的过程中，相互讨论、交流、分享。具体做法如下：
1.分组讨论：让学生在小组内讨论反证法的概念、步骤和应用。
2.分工合作：每个小组选择一道题目，运用反证法进行证明，并派代表进行汇报。
（Hale Waihona Puke ）作业小结1.布置作业：设计不同难度的题目，让学生巩固反证法的应用。
a.基础题目：运用反证法证明简单数学命题。
b.提高题目：运用反证法解决实际问题，如几何图形中的反证法证明。
c.拓展题目：研究反证法在其他数学领域的应用，如数列、函数等。
2.要求学生在完成作业时，注意书写规范，保持解答过程的简洁。
2.在探究反证法的过程中，引导学生独立思考，培养学生的逻辑思维和逆向思维。
3.引导学生通过观察、分析、归纳等思维方法，发现数学问题中的规律，提高学生解决问题的能力。
4.注重学法指导，让学生在自主学习、合作学习、探究学习的过程中，形成适合自己的学习方法。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对数学学科的兴趣，培养学生的探究精神。
3.教师在批改作业时，关注学生的解答过程，及时给予反馈，指导学生提高。
五、案例亮点
1.创设生活化的教学情境
本案例以贴近学生生活的实例为背景，创设教学情境，让学生在具体情境中感受反证法的意义和价值。这种做法有助于激发学生的学习兴趣，提高学生对数学知识的认同感，使学生在轻松愉快的氛围中掌握反证法。
2.以问题为导向，注重学生逻辑思维能力的培养
（二）问题导向
以问题为导向的教学策略，能够引导学生主动思考，培养其逻辑推理能力。在本章节的教学中，我将设计一系列由浅入深的问题，引导学生逐步掌握反证法的步骤和应用。例如，在讲解反证法证明数学命题时，可以提出以下问题：
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•证明：假设结论不成立,则∠B是•_直__角__或•钝角 ______•当. ∠B是__•直__角_时，则•_∠__B_+_∠__C_=_____
•这与_•_三__角__形__的__三__个__内_1_8角_0_°和__等__于__1_8_0_°_矛盾；
•当∠B是_•钝__角__时，则•_∠__B_+__∠__C_＞__1_8_0_°
•这种证明方法叫做反证法.
•反证法的一般步骤:
•假设
•假设命题 结论反面成 立 •假设命题 结论不成立
•推理得 出的结论
•与已知 条件矛盾
•与定理，定义 ，公理矛盾
•假设不 成立
•所证命 题成立
布置作业:
•(1)课本第87页作业题 •(2)见作业本.
3
•l
•P
1
•l2
•因为已知___•l_1_∥_l2___,
•所以过直线l2外一点P,有两条直线和l2平行,
•这与“__经__过_直__线_外__一__点_,_有_且__只_有__一_条__
_直_线__平_行__于_已__知__直_线”矛盾.
•所以假设不成立,即求证的命题正 •所以 l3与l2相交.
•∴ l1∥l3 （同位角相等，两直线平行）
学以致用:
•已知:如图,直线l与l1,l2,l3 都相交,且 l1∥l2,l2∥l3,
•求证:∠1=∠2
•l
•1
•l1
•2
•l2
•l3
•发生在身边的例子:
•妈妈:小华,听说邻居小芳全家这几天在外地旅 游.
•小华:不可能,我上午还在学校碰到了她和她妈
•妈上呢述! 对话中,小华要告诉妈妈的命题是什么 ?•小芳全家没外出旅游.
例:
•定理
•求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平
行直线中的一条相交,那么和另一条也相交.
•已知:•直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3与l1相交
于点P.
•l
•求证: •l3与l2相交. •证 •假设_•_l_3与__l2_不__相_交__._, 明: 即____•l_3_∥_l2__.
•这种证明方法叫做反证法.
•1、写出下列各结论的反面：
•（1）a//b
•a∥b
•（2）a≥0
•a<0
•（3）b是正数
•b是0或负数
•（4）a⊥b
•a不垂直于b
• ( 5 ) 至多有一个 •至少有两个
•（6）至少有三个 •至多有两个
• ( 7 ) 至少有一个 •一个也没有
• ( 8 ) 至少有n个 •至多有(n-条直线都和第三条直
线平行,那么这两条直线也互相平行.
•(1)你首先会选择哪一种证明方法?
•(2)如果选择反证法,先怎样假设?结果和什么产生矛盾?
•已知:如图，l1∥l2 ,l 2 ∥l 3
•求证： l１∥l３
•p
•l１ •l２ •l３
•证明：假设l１不平行l３，则l１与l３相交,设交点为p.
•∵l１∥l２ , l２∥l３, 则过点p就有两条直线l１ 、 l３都与l２平行，这与“经过直线外一点，有 且只有一条直线平行于已知直线”矛盾．
•所以假设不成立，所求证的结论成立，
•即 l１∥l３
合作学习:
•定理
•求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条
直线
平行,那么这两条直线也互相平行.
•l
•(3)不用反证法证明
•他是如何推断该命题的正确性的?
•在你的日常生活中也有类似的例子吗?请举 一至两个例子.
•试一试
•已知：如图，直线a,b被直线c所截， ∠1 ≠ ∠2
•求证：a∥b
•证明：假设结论不成立，则a∥b •∴∠1=∠2 (两直线平行,同位角相等) •这与已知的∠1≠∠2矛盾 •∴假设不成立 •∴a∥b
•延伸拓 •你能用反证法证明以下命题吗？ 展•如图，在△ABC中,若∠C是直角，
•反证法的一般步骤:
•假设命题 结论不成立
•假设 •假设命题
结论反面成 立
•推理得 出的结论
•与已知 条件矛盾
•与定理，定义 ，公理矛盾
•假设不 成立
•所证命 题成立
•试试看!
• 用反证法证明（填空）：在三角形的内角中，至少有一个角 大于或等于６０°
•已知：如图， ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ是△ＡＢＣ的内角
•已知:如图，l1∥l2 ,l 2 ∥l 3 •求证: l1∥l3
•A •2 •l1
•B •1
•l2
•证明:作直线l，分别与直线l1 ，
•C •3
•l3
l2 ，l3交于于点A，B，C。
•∵l1∥l2 ,l 2∥l 3（已知） •∴∠2 =∠1 ，∠1 =∠3（两直线平行，同位角相等 ） •∴∠2 =∠3（等式性质）
•Ａ
•求证： ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ中至少有一个角大于或等于６０度
•证明 •假设所求证的结论不成立，即
•Ｂ
•∠Ａ＿•＿＜６０°， ∠Ｂ＿•＿＜６０°，∠Ｃ＿＿•＜６０°
•Ｃ
•则 ∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ ＜ １８０度
•这于＿＿•三＿角＿形＿的＿内＿角＿和＿等＿于＿１＿８＿０＿°＿＿＿矛盾
•所以假设命题＿•＿不＿成＿立＿＿， •所以，所求证的结论成立．
•这与_•_三__角__形__的__三__个__内__角__和__等__于______矛盾； •综上1所80述°,假设不成立. •∴∠B一定是锐角.
反证法定义:
•在证明一个命题时,人们有时
•先假设命题不成立, •从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛 盾,或者与定义,公理,定理等矛盾, •从而得出假设命题不成立，是错误的, •即所求证的命题正确.
初二数学反证法
•王戎推理方法是:
•假设“李子甜” •树在道边则李子 少 •与已知条件“树在道边而多子”产生矛盾
•假设 “李子甜”不成立
•所以“树在道边而多子,此必为苦李” 是正确的
4.4反证法
反证法定义:
•在证明一个命题时,人们有时
•先假设命题不成立, •从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛 盾,或者与定义,公理,定理等矛盾, •从而得出假设命题不成立，是错误的, •即所求证的命题正确.