2017年江苏省高考数学模拟应用题选编(五)
2017年江苏省高考数学试卷(含答案解析)
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2017年江苏省高考数学试卷一.填空题1．（5分）已知集合A={1，2｝，B=｛a，a2+3}．若A∩B=｛1｝，则实数a的值为 ．2．（5分）已知复数z=(1+i）（1+2i)，其中i是虚数单位，则z的模是 ．（5分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100 3．件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取 件．4．（5分）如图是一个算法流程图：若输入x的值为，则输出y的值是 ．5．(5分）若tan（α﹣）=．则tanα= ．6．（5分)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是 ．7．(5分)记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4，5］上随机取一个数x，则x∈D的概率是 ．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是 ．9．（5分）等比数列｛a n｝的各项均为实数,其前n项为S n,已知S3=，S6=，则a8= ．10．（5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是 ．11．（5分）已知函数f(x）=x3﹣2x+e x﹣，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f （2a2）≤0．则实数a的取值范围是 ．12．(5分）如图，在同一个平面内,向量，,的模分别为1，1，，与的夹角为α,且tanα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m,n∈R),则m+n= ．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A(﹣12，0），B(0,6），点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是 ．（5分）设f(x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1)上，f（x）=，14．其中集合D={x|x=，n∈N*｝,则方程f（x)﹣lgx=0的解的个数是 ．二。
2017年江苏省泰州市高考数学模拟试卷及答案(5月份)
2017年江苏省泰州市高考数学模拟试卷（5月份）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．（5分）已知集合A={﹣1，1，2，3}，B={x|x∈R，x2＜3}，则A∩B=．2．（5分）函数的最小正周期为．3．（5分）复数（a+i）（1+2i）是纯虚数（i是虚数单位），则实数a=．4．（5分）某算法的伪代码如图所示，如果输入的x值为32，则输出的y值为．5．（5分）从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则两个数和为偶数的概率为．6．（5分）已知双曲线的离心率为2，那么该双曲线的渐近线方程为．7．（5分）公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2，a5，a14成等比数列，，则a10=．8．（5分）将1个半径为1的小铁球与1个底面周长为2π，高4的铁制圆柱重新锻造成一个大铁球，则该大铁球的表面积为．9．（5分）若正实数x，y满足x2+2xy﹣1=0，则2x+y的最小值为．10．（5分）如图，在由5个边长为1，一个顶角为60°的菱形组成的图形中，•=．11．（5分）已知点F，A是椭圆C：的左焦点和上顶点，若点P是椭圆C上一动点，则△PAF周长的最大值为．12．（5分）已知函数f（x）=x3+x+1，若对任意的x，都有f（x2+a）+f（ax）＞2，则实数a的取值范围是．13．（5分）在△ABC中，若C=120°，tanA=3tanB，sinA=λsinB，则实数λ=．14．（5分）若函数f（x）=ax2+（a2+1）x﹣a（a＞0）的一个零点为x0，则x0的最大值为．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（15分）已知向量=（1，m），=（2，n）．（1）若m=3，n=﹣1，且⊥（+λ），求实数λ的值；（2）若|+|=5，求•的最大值．16．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥CD，CD⊥AC，过CD的平面分别与PA，PB交于点E，F．（1）求证：CD⊥平面PAC；（2）求证：AB∥EF．17．（15分）如图，圆O是一半径为10米的圆形草坪，为了满足周边市民跳广场舞的需要，现规划在草坪上建一个广场，广场形状如图中虚线部分所示的曲边四边形，其中A，B两点在⊙O上，A，B，C，D恰是一个正方形的四个顶点．根据规划要求，在A，B，C，D四点处安装四盏照明设备，从圆心O点出发，在地下铺设4条到A，B，C，D四点线路OA，OB，OC，OD．（1）若正方形边长为10米，求广场的面积；（2）求铺设的4条线路OA，OB，OC，OD总长度的最小值．18．（15分）在平面直角坐标系xOy中，过点P（0，1）且互相垂直的两条直线分别与圆O：x2+y2=4交于点A，B，与圆M：（x﹣2）2+（y﹣1）2=1交于点C，D．（1）若，求CD的长；（2）若CD中点为E，求△ABE面积的取值范围．19．（15分）已知函数f（x）=2lnx+x2﹣ax，a∈R．（1）若函数y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若a=e，解不等式：f（x）＜2；（3）求证：当a＞4时，函数y=f（x）只有一个零点．20．（15分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=2a n﹣2；数列{b n}的前n 项和为T n，且满足b1=1，b2=2，．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）是否存在正整数n，使得恰为数列{b n}中的一项？若存在，求所有满足要求的b n；若不存在，说明理由．（附加题）（[选做题]请考生在A、B、C、D四小题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前两题记分．A．（本小题满分10分，几何证明选讲）21．（10分）如图，已知AB为半圆O的直径，点C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点B作BD⊥CD于点D．求证：BC2=BA•BD．B．（本小题满分0分，矩阵与变换）22．设矩阵M=，N=，若MN=，求矩阵M的逆矩阵M﹣1．C．（本小题满分0分，坐标系与参数方程选讲）23．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3，直线l的参数方程为．试在曲线C上求一点M，使它到直线l的距离最大．D．（本小题满分0分，不等式选讲）24．已知a，b＞0，且a+b=1，求证：．【必做题】（每小题满分0分）25．如图，在三棱锥A﹣BCD中，已知△ABD，△BCD都是边长为2的等边三角形，E为BD中点，且AE⊥平面BCD，F为线段AB上一动点，记．（1）当时，求异面直线DF与BC所成角的余弦值；（2）当CF与平面ACD所成角的正弦值为时，求λ的值．26．设（n∈N*，a n∈Z，b n∈Z）．（1）求证：a n2﹣8b n2能被7整除；（2）求证：b n不能被5整除．2017年江苏省泰州市高考数学模拟试卷（5月份）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．（5分）已知集合A={﹣1，1，2，3}，B={x|x∈R，x2＜3}，则A∩B={﹣1，1} ．【解答】解：B={x|x∈R，x2＜3}={x|﹣＜x＜}，则A∩B={﹣1，1}，故答案为：{﹣1，1}2．（5分）函数的最小正周期为．【解答】解：函数，∴f（x）的最小正周期T=．故答案为．3．（5分）复数（a+i）（1+2i）是纯虚数（i是虚数单位），则实数a=2．【解答】解：∵（a+i）（1+2i）=a﹣2+（1+2a）i是纯虚数，∴，解得a=2．故答案为：2．4．（5分）某算法的伪代码如图所示，如果输入的x值为32，则输出的y值为5．【解答】解：根据算法的功能是输出函数y=，当x=32时，y=log232=5．故答案为：5．5．（5分）从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则两个数和为偶数的概率为．【解答】解：从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，基本事件总数n==6，两个数和为偶数包含怕基本事件个数m==2，∴这两个数和为偶数的概率p===．故答案为：．6．（5分）已知双曲线的离心率为2，那么该双曲线的渐近线方程为．【解答】解：双曲线的离心率为2，可得，即：，可得，该双曲线的渐近线方程为：．故答案为：．7．（5分）公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2，a5，a14成等比数列，，则a10=19．【解答】解：设数列的公差为d，（d≠0）∵S5=a32，得：5a3=a32，∴a3=0或a3=5；∵a2，a5，a14成等比数列，∴a52=a2•a14，∴（a3+2d）2=（a3﹣d）（a3+11d）若a 3=0，则可得4d2=﹣11d2即d=0不符合题意，若a3=5，则可得（5+2d）2=（5﹣d）（5+11d），解可得d=0（舍）或d=2，∴a10=a3+7d=5+7×2=19，故答案为：19．8．（5分）将1个半径为1的小铁球与1个底面周长为2π，高4的铁制圆柱重新锻造成一个大铁球，则该大铁球的表面积为8π．【解答】解：将1个半径为1的小铁球的体积为：，1个底面周长为2π，高4的铁制圆柱的体积为：4π，重新锻造成一个大铁球的体积为：，大球的半径为：=，r3=4，该大铁球的表面积为：4πr2=8π．故答案为：8π．9．（5分）若正实数x，y满足x2+2xy﹣1=0，则2x+y的最小值为．【解答】解：∵正实数x，y满足x2+2xy﹣1=0，∴y=﹣，∴2x+y=2x+﹣=x+=（3x+）≥×2=，当且仅当x=时取等号，∴2x+y的最小值为，故答案为：10．（5分）如图，在由5个边长为1，一个顶角为60°的菱形组成的图形中，•=﹣4．【解答】解：以中间菱形的对角线为坐标轴建立如图所示的坐标系：则A（，﹣），B（﹣，），C（1，），D（﹣1，﹣），∴=（﹣1，2），=（﹣2，﹣），∴=2﹣6=﹣4．故答案为：﹣4．11．（5分）已知点F，A是椭圆C：的左焦点和上顶点，若点P是椭圆C上一动点，则△PAF周长的最大值为16．【解答】解：椭圆C：，a=4，b=2，c=2，则左焦点（﹣2，0）和上顶点（0，2），则椭圆的右焦点F2（2，0），由椭圆的定义丨PF丨+丨PF2丨=2a=8，丨AF丨+丨AF2丨=2a=8，∴△PAF周长l：l=丨AF丨+丨PF丨+丨PA丨≤丨AF丨+丨PF丨+丨PF2丨+丨AF2丨=4a=16，当且仅当AP过F2时△PAF周长取最大值，∴△PAF周长的最大值16，故答案为：16．12．（5分）已知函数f（x）=x3+x+1，若对任意的x，都有f（x2+a）+f（ax）＞2，则实数a的取值范围是0＜a＜4．【解答】解：构造函数g（x）=f（x）﹣1=x3+x，则函数是奇函数，在R上单调递增，f（x2+a）+f（ax）＞2，等价于g（x2+a）+g（ax）＞0，∴x2+a＞﹣ax，∴x2+ax+a＞0，∴△=a2﹣4a＜0∴0＜a＜4，故答案为0＜a＜4．13．（5分）在△ABC中，若C=120°，tanA=3tanB，sinA=λsinB，则实数λ=．【解答】解：∵C=120°，由余弦定理可得：c2=a2+b2+ab，①∵tanA=3tanB，可得：sinAcosB=3sinBcosA，由正弦定理可得：acosB=3bcosA，∴由余弦定理可得：a=3b，整理可得：c2=2a2﹣2b2，②∴由①②可得：a2﹣ab﹣3b2=0，可得：（）2﹣﹣3=0，解得：=，∴由正弦定理可得：sinA=sinB，故答案为：．14．（5分）若函数f（x）=ax2+（a2+1）x﹣a（a＞0）的一个零点为x0，则x0的最大值为﹣1．【解答】解：解方程得x=，∴x0==﹣（+）+=﹣（+）+，令t=+，则t≥2=1，x0=﹣t+，设g（t）=﹣t+，则g′（t）=﹣1+=＜0，∴g（t）在[1，+∞）上单调递减，∴g（t）≤g（1）=﹣1，∴x0的最大值为﹣1，故答案为：﹣1．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（15分）已知向量=（1，m），=（2，n）．（1）若m=3，n=﹣1，且⊥（+λ），求实数λ的值；（2）若|+|=5，求•的最大值．【解答】解：（1）m=3，n=﹣1时，=（1，3），=（2，﹣1），∴+λ=（1+2λ，3﹣λ），∵⊥（+λ），∴•（+λ）=1+2λ+3（3﹣λ）=0，解得λ=10，（2）∵=（1，m），=（2，n），∴+=（3，m+n），•=2+mn，∵|+|=5，∴9+（m+n）2=25，∴（m+n）2=16，∴•=2+mn≤2+（m+n）2=6，当且仅当m=n=2或m=n=﹣2时取等号，故•的最大值6．16．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥CD，CD⊥AC，过CD的平面分别与PA，PB交于点E，F．（1）求证：CD⊥平面PAC；（2）求证：AB∥EF．【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PC，∵CD⊥AC，PC∩AC=C，∴CD⊥平面PAC．（2）∵AB∥CD，过CD的平面分别与PA，PB交于点E，F，且平面CDEF∩平面PAB=EF，又CD⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴CD∥平面PAB，∴CD∥EF，∴AB∥EF．17．（15分）如图，圆O是一半径为10米的圆形草坪，为了满足周边市民跳广场舞的需要，现规划在草坪上建一个广场，广场形状如图中虚线部分所示的曲边四边形，其中A，B两点在⊙O上，A，B，C，D恰是一个正方形的四个顶点．根据规划要求，在A，B，C，D四点处安装四盏照明设备，从圆心O点出发，在地下铺设4条到A，B，C，D四点线路OA，OB，OC，OD．（1）若正方形边长为10米，求广场的面积；（2）求铺设的4条线路OA，OB，OC，OD总长度的最小值．【解答】解：（1）连接AB，∵AB=10，∴正方形ABCD的面积为100，又OA=OB=10，∴△AOB为正三角形，则，而圆的面积为100π，∴扇形AOB得面积为，又三角形AOB的面积为．∴弓形面积为，则广场面积为100+（平方米）；（2）过O作OK⊥CD，垂足为K，过O作OH⊥AD（或其延长线），垂足为H，设∠OA D=θ（0＜θ＜），则OH=10sinθ，AH=10cosθ，∴DH=|AD﹣AH|=|2OH﹣AH|=|20sinθ﹣10cosθ|，∴OD==．∴当θ=时，．∴铺设的4条线路OA，OB，OC，OD总长度的最小值为（米）．18．（15分）在平面直角坐标系xOy中，过点P（0，1）且互相垂直的两条直线分别与圆O：x2+y2=4交于点A，B，与圆M：（x﹣2）2+（y﹣1）2=1交于点C，D．（1）若，求CD的长；（2）若CD中点为E，求△ABE面积的取值范围．【解答】解：（1）设直线AB的方程为：y=kx+1（k≠0），∵，∴+=22，化为：k2=15，解得k=．∴直线CD的方程为：y=x+1．∴|CD|=2=．（2）①直线AB为y轴时，直线AB的方程为：x=0，直线CD的方程为：y=1．S△ABE===4．②直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为：y=kx+1，若k=0，则方程为y=1，经过圆心（2，1），此时△ABE不存在，舍去．k≠0时，可得直线CD的方程为：y=﹣x+1．|AB|=2=2．联立，化为：（k2+1）x2﹣4k2x+3k2=0，△=16k4﹣12（k2+1）k2＞0，化为：k2＞3．∴x1+x2=，可得E．∴点E到直线AB的距离d==．=|AB|•d=×2×=2=2，∴S△ABE令k2+1=t＞1，可得f（t）==∈（0，2）．∈（0，4）．∴S△ABE综上可得：S∈（0，4]．△ABE19．（15分）已知函数f（x）=2lnx+x2﹣ax，a∈R．（1）若函数y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若a=e，解不等式：f（x）＜2；（3）求证：当a＞4时，函数y=f（x）只有一个零点．【解答】解：（1）由f（x）的定义域为（0，+∞），f（x）=2lnx+x2﹣ax，f′（x）=+2﹣a，由题意，对任意的x＞0，都有f′（x）=+2﹣a≥0，只要（+2x）min≥a，由+2x≥2=4，当且仅当x=1时取等号，则a≤4，∴实数a的取值范围是（﹣∞，4]；（2）当a=e，f（x）=2lnx+x2﹣ex，f′（x）=+2﹣e=＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，由f（e）=2lne+e2﹣e2=2，∴f（x）＜2，则f（x）＜f（e），∴0＜x＜e，故不等式f（x）＜2的解集为（0，e）；（3）证明：由f′（x）=+2﹣a=，x∈（0，+∞），g（x）=2x2﹣ax+2，当a＞4时，△=a2﹣16＞0，∴g（x）=2x2﹣ax+2一定有两个零点，设x1，x2（x1＜x2），x1x2=1，0＜x1＜1＜x2，则f（x）在区间（0，x1），（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，g（x 1）=2x12﹣ax1+2=0，∴f（x1）=2lnx1+x12﹣ax1=2lnx1+x12﹣2，由0＜x1＜1，则f（x1）=2lnx1+x12﹣ax1＜2ln1+1﹣2＜0，∴f（x2）＜f（x1）＜0，由f（x）=2lnx+x（x﹣a），则f（a）=2lna＞0，∴f（x）在（0，+∞）上只有一个零点．20．（15分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=2a n﹣2；数列{b n}的前n 项和为T n，且满足b1=1，b2=2，．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）是否存在正整数n，使得恰为数列{b n}中的一项？若存在，求所有满足要求的b n；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）由S n=2a n﹣2，则当n≥2时，S n﹣1=2a n﹣1﹣2，两式相减得：a n=2a n﹣2a n﹣1，则a n=2a n﹣1，由S1=2a1﹣2，则a1=2，∴数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，则a n=2n，由．则=，=，=，…，=．=以上各式相乘，=，则2T n=b n b n+1，当n≥2时，2T n=b n﹣1b n，两式相减得：2b n=b n（b n+1﹣b n﹣1），即b n+1﹣b n﹣1=2，﹣1∴数列{b n}的奇数项，偶数项分别成等差数列，由=，则b3=T2=b1+b2=3，b1+b3=2b2，∴数列{b n}是以b1=1为首项，1为公差的等差数列，∴数列{b n}的通项公式b n=n；（2）当n=1时，无意义，设c n==，（n≥2，n∈N*），﹣c n=﹣=＜0，则c n+1即c n＞c n＞1，+1显然2n+n+1＞2n﹣（n+1），则c2=7＞c3=3＞c4＞ (1)∴存在n=2，使得b7=c2，b3=c3，下面证明不存在c2=2，否则，c n==2，即2n=3（n+1），此时右边为3的倍数，而2n不可能是3的倍数，故该不等式成立，综上，满足要求的b n为b3，b7．（附加题）（[选做题]请考生在A、B、C、D四小题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前两题记分．A．（本小题满分10分，几何证明选讲）21．（10分）如图，已知AB为半圆O的直径，点C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点B作BD⊥CD于点D．求证：BC2=BA•BD．【解答】证明：CD与半圆相切于点C．由弦切角定理可得：∠DCB=∠CAB．∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB=90°，由BD⊥CD，∴∠D=90°，∴△ACB∽△CDB．∴=，∴BC2=BA•BD．B．（本小题满分0分，矩阵与变换）22．设矩阵M=，N=，若MN=，求矩阵M的逆矩阵M﹣1．【解答】解：∵M=，N=，∴MN=，∵MN=，∴，解得x=4，y=3，∴M=，∵（A|I）=→→．∴矩阵M的逆矩阵M﹣1=．C．（本小题满分0分，坐标系与参数方程选讲）23．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3，直线l的参数方程为．试在曲线C上求一点M，使它到直线l的距离最大．【解答】解：曲线C的普通方程是．（2分）直线l的普通方程是．（4分）设点M的坐标是的距离是．（6分），d取得最大值．（8分）．D．（本小题满分0分，不等式选讲）24．已知a，b＞0，且a+b=1，求证：．【解答】证明：∵a+b=1，由≤可得：a+1+b+1+2≤6，∴2≤3由不等式的性质可得：2≤a+1+b+1=3，当且仅当a=b时取等号．∴．【必做题】（每小题满分0分）25．如图，在三棱锥A﹣BCD中，已知△ABD，△BCD都是边长为2的等边三角形，E为BD中点，且AE⊥平面BCD，F为线段AB上一动点，记．（1）当时，求异面直线DF与BC所成角的余弦值；（2）当CF与平面ACD所成角的正弦值为时，求λ的值．【解答】解：（1）连结CE，以EB、EC、EA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，），B（1，0，0），C（0，，0），D（﹣1，0，0），∵F是线段AB上一动点，且=λ，则==（﹣），∴F（1﹣λ，0，），当时，F（），=（），=（1，﹣，0），∴cos＜，＞==，∴异面直线DF与BC所成角的余弦值为．（2）=（1﹣），=（1，0，），=（1，，0），设平面ACD的法向量=（x，y，z），则，取x=，得=（），∵CF与平面ACD所成角的正弦值为，∴|cos＜＞|==，解得或λ=2（舍），∴λ=2．26．设（n∈N*，a n∈Z，b n∈Z）．（1）求证：a n2﹣8b n2能被7整除；（2）求证：b n不能被5整除．【解答】证明：（1）（1+2）2n+1=+（2）+（2）2+…+（2）2n+1，（1﹣2）2n+1=﹣（2）+（2）2+…﹣（2）2n+1，由（1+2）2n+1=a n+2b n，（1﹣2）2n+1=a n﹣2b n，（1+2）2n+1（1﹣2）2n+1=（a n+2b n）（a n﹣2b n），即a n2﹣8b n2=﹣72n+1，∴a n2﹣8b n2能被7整除；（2）由a n2﹣8b n2=﹣72n+1，则8b n2=a n2+72n+1，由72n=49n=（50﹣1）n=×50n+×50n﹣1×（﹣1）1+…+×50×（﹣1）n ﹣1+×（﹣1）n，除最后一项都是5的倍数，∴72n+1的余数是2或﹣2，由a n2的是平方数，其尾数为0，1，4，5，6，9，∴a n2+72n+1的尾数不可能是0或5，∴a n2+72n+1不能被5整除，即8b n2不能被5整除，∴b n不能被5整除．。
2017年江苏省高考数学模拟应用题选编(四)
2017年江苏省高考数学模拟应用题大全（四）1、（江苏省泰州市2017届高三数学考前模拟试卷）如图，圆O 是一半径为10米的圆形草坪，为了满足周边市民跳广场舞的需要，现规划在草坪上建一个广场，广场形状如图中虚线部分所示的曲边四边形，其中,A B 两点在O 上，,,,A B C D 恰是一个正方形的四个顶点．根据规划要求，在,,A B ,C D 四点处安装四盏照明设备，从圆心O 点出发，在地下铺设4条到,,,A B C D 四点线路,,,OA OB OC OD ． （1）若正方形边长为10米，求广场的面积；（2）求铺设的4条线路,,,OA OB OC OD 总长度的最小值．2、（江苏省徐州市2017届高三数学（理）信息卷）如图是一块地皮OAB ，其中OA ，AB 是直线段，曲线段OB 是抛物线的一部分，且点O 是该抛物线的顶点，OA 所在的直线是该抛物线的对称轴．经测量，2OA =km ，AB =，4π=∠OAB ．现要从这块地皮中划一个矩形CDEF 来建造草坪，其中点C 在曲线段OB 上，点D ，E 在直线段OA 上，点F 在直线段AB 上，设CD a =km ，矩形草坪CDEF 的面积为()f a km 2． （1）求()f a ，并写出定义域；（2）当a 为多少时，矩形草坪CDEF 的面积最大？3、（江苏省盐城市2017届高三第三次模拟考试数学（理）试卷）一儿童游乐场拟建造一个“蛋筒”型游乐设施，其轴截面如图中实线所示. ABCD 是等腰梯形，20AB =米，CBF α∠=（F 在AB 的延长线上，α为锐角）. 圆E 与,AD BC 都相切，且其半径长为10080sin α-米. EO 是垂直于AB 的一个立柱，则当sin α的值设计为多少时，立柱EO 最矮？B(第17题)ACFOCD第3题图4、（江苏省盐城中学2017届高三第三次模拟考试（最后一卷）数学试卷）某学校在平面图为矩形的操场ABCD 内进行体操表演，其中40,16,AB BC O ==为AB 上一点，且8,BO =线段OC 、OD 、MN 为表演队列所在位置（M ，N 分别在线段OD 、OC上），点P 为领队位置，且P 到BC 、CD 的距离均为12，记O M d =，我们知道当OMN∆面积最小时观赏效果最好．（1）当d 为何值时，P 为队列MN 的中点？（2）怎样安排M 的位置才能使观赏效果最好？求出此时d 的值．5、（江苏省扬州市2017届高三考前调研测试数学试题）如图是一座桥的截面图，桥的路面由三段曲线构成，曲线AB 和曲线DE 分别是顶点在路面A 、E 的抛物线的一部分，曲线BCD 是圆弧，已知它们在接点B 、D 处的切线相同，若桥的最高点C 到水平面的距离6H =米，圆弧的弓高1h =米，圆弧所对的弦长10BD =米.（1）求弧BCD 所在圆的半径；（2）求桥底AE 的长.OBC第4题6、（7+9=16分）如图所示的“相邻塔”形立体建筑，已知P OAC -和Q OBD -是边长分别为a 和()mm a是常数的两个正四面体，底面中AB 与CD 交于点O 试求（1）当a =m 2时，若在塔地面BC 上建一座塔维修站E ，该站E 建在何处使得到两塔交点O 最短距离是多少？（2）当a 为多少时，塔尖,P Q 之间的距离最短，最短距离多少？7、如图，在半径为R 的半圆形铁皮截取一块五边形图形ABCDE ，其中ABCD 为矩形和△CDE 等腰三角形（EC DE =），其中O 为圆心，A 、B 在圆的直径上，C 、D 、E 在圆周上，并将其卷成一个以AD 为母线的圆柱体和圆锥体的罐子的侧面（不计裁剪和拼接损耗）。
【江苏省】2017年高考模拟应用题选编数学试卷(五)-答案
得
2
AD
2 3
AB
1 3
AC
2
4
2
AB
4
AB
AC
1
2
AC
9
9
9
…………10 分
4 7502 4 7501500 ( 1) 1 15002 250000
9
9
29
| AD | 500 ，
1000500 500000 元 所以，建水上通道 AD 还需要 50 万元．
x 70 x 10 20
1 x 70 x
10(x 70) x2 70x 200
，
10 20
令
t
70
x,
x [70,140]
，则
tan
BPD
t2
10t 210t 10000
t
10 10000
210
，
t
因为 t 10000 2 t 10000 200 （当且仅当 t 100 即 x 30 时，取“=”）
2 AQ PA cosPAB 2 3 3 ，
2 由 BAC 60 ，且 AQ AR ， ∴ △QAB 为等边三角形，
则 RQ AQ 3 ，
三条街道的总长度 l PQ PR RQ 11 3 2 3 ； （2）设 PAB ， 0＜＜60 ， 则 PQ AP sin 2sin ， PR AP sin(60- ) 2sin(60- ) cos -sin ，
1 2n1
1
1 2n1
【江苏省】2017年高考模拟应用题选编数学试卷(五)(附答案与解析)
江苏省2017年高考模拟应用题选编数学试卷（五）1．如图，某开发区内新建两栋楼AB ，CD （A ，C 为水平地面），已知楼AB 、CD 的高度分别为10m 、20m ，两楼间的距离AC 为70m ．（1）如何在两楼间AC 上取一点P 点，使得P 点到两楼顶,B D 距离之和最短？ （2）试在AC 上确定一点P ，使得张角BPD ∠最大．2．某地方政府要将一块如图所示的直角梯形ABCD 空地改建为健身娱乐广场．已知ADBC ∥，,2AD AB AD BC ⊥==百米，3AB =百米，广场入口P 在AB 上，且2AP BP =，根据规划，过点P铺设两条相互垂直的笔直小路,PM PN （小路的宽度不计），点,M N 分别在边,AD BC 上（包含端点），PAM △区域拟建为跳舞健身广场，PBN △区域拟建为儿童乐园，其它区域铺设绿化草坪，设APM θ∠=． （1）求绿化草坪面积的最大值；（2）现拟将两条小路,PM PN 进行不同风格的美化，PM 小路的美化费用为每百米1万元，PN 小路的美化费用为每百米2万元，试确定,M N 的位置，使得小路,PM PN 的美化总费用最低，并求出最小费用．3．某公司科技小组研发一个新项目，预计能获得不少于1万元且不多于5万元的投资收益，公司拟对研发小组实施奖励，奖励金额y （单位：万元）和投资收益x （单位：万元）近似满足函数()y f x =，奖励方案满足如下两个标准：①()f x 为单调递增函数，②0()f x kx ≤≤，其中0k >．（1）若12k =，试判断函数()f x =是否符合奖励方案，并说明理由； （2）若函数()ln f x x =符合奖励方案，求实数k 的最小值．4．如图所示，扇形ABC 是一个半径为2千米，圆心角为60︒的风景区，P 点在弧BC 上，现欲在风景区中规划三条商业街道，要求街道PQ 与AB 垂直，街道PR 与AC 垂直，线段RQ 表示第三条街道．（1）如果P 位于弧BC 的中点，求三条街道的总长度（2）由于环境原因，三条街道,,PQ PR QR 每年能够产出的经济效益分别是每千米300万元，200万元及400万元，这三条街道最高经济效益（精确到1万元）5．如图所示，PAQ ∠是某海湾旅游区的一角，其中120PAQ ∠=︒，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸AP 和AQ 上分别修建观光长廊AB 和AC ，其中AB 是宽长廊，造价是800元/米，AC 是窄长廊，造价是400元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时在线段BC 上靠近点B 的三等分点D 处建一个观光平台，并建水上直线通道AD （平台大小忽略不计），水上通道的造价是1000元/米． （1）若规划在三角形ABC 区域内开发水上游乐项目，要求ABC △的面积最大，那么AB 和AC 的长度分别为多少米？（2）在（1）的条件下，建直线通道AD 还需要多少钱？6．如果一条信息有n 1,)n n >∈N （种可能的情形（各种情形之间互不相容），且这些情形发生的概率分别为12,,,n p p p ，则称H =12()()()n f p f p f p ++（其中()f x =log ,a x x -(0,1)x ∈）为该条信息的信息熵．已知11()22f =．（1）若某班共有32名学生，通过随机抽签的方式选一名学生参加某项活动，试求“谁被选中”的信息熵的大小；（2）某次比赛共有n 位选手（分别记为12,,,n A A A ）参加，若当1,2,k =,1n -时，选手k A 获得冠军的概率为2k -，求“谁获得冠军”的信息熵H 关于n 的表达式．7．某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，地面形状如图所示，已知已有两面墙的夹角为π3（π3ACB ∠=），墙AB 的长度为6米，（已有两面墙的可利用长度足够大），记ABC θ∠=（1）若π4θ=，求ABC △的周长（结果精确到0.01米）； （2）为了使小动物能健康成长，要求所建的三角形露天活动室面积ABC △的面积尽可能大，问当θ为何值时，该活动室面积最大？并求出最大面积．8．如图，一辆轿车在山区的某段起伏路面先水平行驶，然后下坡行驶，再水平行驶，已知坡面的铅直高度为1单位长度，水平长度为10单位长度，轿车下坡行驶轨迹为某三次函数()f x 图象的一部分．若()f x 是奇函数，且当5x =-时，()f x 有极大值． （1）求该函数()f x 的解析式；（2）轿车在夜间行驶，当行驶到点00(,)M x y 处时，灯光正好射到坡底A ，求0x 的值．（说明：轿车视为一个点，其灯光视为一条射线）9．根据预测，某地第n *()n ∈N 个月共享单车的投放量和损失量分别为n a 和n b （单位：辆），其中4515,1310470,4n n n a n n ⎧+≤≤⎪=⎨-+≥⎪⎩，5n b n =+，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差．（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量24(46)8800n S n =--+（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？10．如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，11E G 的长分别为14cm 和62cm ．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ．现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm ．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计） （1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中部分的长度； （2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度．容器Ⅱ容器ⅠH 1E 1A （第10题）江苏省2017年高考模拟应用题大全数学试卷（五）答 案1、解（1）延长BA 至'B ，使得'BA AB =连接'DB 交AC 于P ，此时P 点到两楼顶,B D 距离之和最短， 由'APB CPD ∆∆∽∴70'1020AP PC AP APAB CD -=⇒=703AP m =所以P 点在距AB 楼703m 处，使得P 点到两楼顶,B D 距离之和最短．（2）设()AP x m =，则70()PC x m =-，tan 10AP x B AB ∠==，70tan 20PC xD CD -∠==， 此时270tan tan 10(70)1020tan()701tan tan 7020011020x x B D x B D x x B D x x -+∠+∠+∠+∠===--∠∠-+-⋅， 令70,[70,140]t x x =+∈，则21010tan 1000021010000210t BPD t t t t∠==-++-，因为10000200t t +≥=（当且仅当100t =即30x =时，取“=”） 所以1110000210t t ≤-+-或1010000210t t>+-，即tan 1BPD ∠≤-或tan 0BPD ∠>要使张角BPD ∠最大，即要使tan BPD ∠为负数且取负数时的最大值， 所以tan 1BPD ∠=-，此时30x =．2．（本题共16分，其中卷面分1分） 解：（1）在Rt PMA △中，tan AMAPθ=，得2tan AM θ=， 所以122tan 2tan 2PMA S θθ==△ 由πAPM MPN BPN ∠+∠+∠=，APM θ∠=，π2MPN ∠=在Rt PNB △中，tan BP BN θ=，得1tan BN θ=， 所以11112tan 2tan PMA S θθ==△ 所以绿化草坪面积1()2PAM PBN S AD BC AB S S =+--△△11132tan 22tan θθ=--11(2tan )2tan θθ+，ππ[,]63θ∈ …………4分又因为11112tan 22tan 22tan 2tan θθθθ+≥=当且仅当12tan 2tan θθ=，即1tan 2θ=．此时ππ[,]63θ∈…………6分所以绿化草坪面积的最大值为2)-平方百米． …………7分（2）方法一：在Rt PMA △中，cos AP PM θ=，得2cos PM θ=， 由πAPM MPN BPN ∠+∠+∠=，APM θ∠=，π2MPN ∠=在Rt PNB △中，sin BP PN θ=，得1sin PN θ=， 所以总美化费用为22cos sin y θθ=+，ππ[,]63θ∈ …………10分 3322222sin 2cos 2(sin cos )cos sin sin cos y θθθθθθθθ-'=-=22222(sin cos )(sin sin cos cos )sin cos θθθθθθθθ-++=令0y '=得πθ=列表如下所以当4θ=时，即2,1AM BM ==时总美化费用最低为4万元． …………15分方法二：在Rt PMA △中，cos AP PM θ=，得2cos PM θ=， 由πAPM MPN BPN ∠+∠+∠=，APM θ∠=，π2MPN ∠=在Rt PNB △中，sin BP PN θ=，得1sin PN θ=， 所以总美化费用为22cos sin y θθ=+，ππ[,]63θ∈ …………10分θθθθθθcos sin )cos (sin 2sin 2cos 2+=+=y令sin cos ,t t θθ=+∈得21sin cos 2t θθ-= 所以241ty t =-，22244'0(1)t y t +=-<-所以241ty t =-在1[2t +∈上是单调递减所以当t =π4θ=时，即2,1AM BM ==时总美化费用最低为4万元．3．解：（1）∵()f x =， ∴()0f x '=>，∴函数()f x =是区间[1,5]上的单调递增函数，满足标准①，…………2分当[1,4)x ∈时，1()2f x x x >，不满足标准②，综上所述：()f x 不符合奖励方案．…………4分（2）∵函数()ln f x x =符合奖励标准， ∴()f x kx ≤，即ln x kx ≤，∴ln xk x≥， …………6分∴设ln ()xg x x =，[1,5]x ∈，∴21ln ()xg x x-'=， 令()0g x '=，∴e x =，…………8分∴ln ()x g x x =的极大值是1(e)eg =，且为最大值，∴1ek ≥， …………10分又∵函数()ln f x x =，[1,5]x ∈，∴1()0f x x'=>，∴函数()f x 在区间[1,5]上单调递增，满足标准①， ∵[1,5]x ∈，∴()ln 0f x x =≥，综上所述：实数k 的最小值是1e． …………12分4．解：（1）由P 位于弧BC 的中点，在P 位于BAC ∠的角平分线上， 则1sin 2sin30212PQ PR PA PAB ==∠=⨯︒=⨯=，cos 2AQ PA PAB =∠== 由60BAC ∠=︒，且AQ AR =， ∴QAB △为等边三角形，则RQ AQ ==三条街道的总长度112l PQ PR RQ =++=++=+ （2）设PAB θ∠=，060θ︒＜＜，则sin 2sin PQ AP θθ==，sin 602sin 60cos sin PR AP θθθθ=︒=︒=(-)(-)-，cos 2cos AQ AP θθ==，cos 602cos 60cos AR AP θθθθ=︒=︒=(-)(-)由余弦定理可知：2222cos60RQ AQ AR AQ AR =+︒﹣，222cos cos 22cos cos cos60θθθθθθ=++⨯︒()()-()， 3=，则RQ =三条街道每年能产生的经济总效益W ，300200400W PQ PR RQ =⨯+⨯+⨯3002sin sin 200400sin θθθθθ=⨯+⨯+++-)2002sin θθ=++()，θϕ=++()tan ϕ=当sin 1θϕ+=()时，W 取最大值，最大值为1222， 三条街道每年能产生的经济总效益最高约为1222万元．5．解：（1）设AB 长为x 米，AC 长为y 米，依题意得8004001200000x y +=， 即23000x y +=，…………2分1sin1202ABC S x y =︒△x y =…………4分2322()882x y x y +=≤=2m 当且仅当2x y =，即750,1500x y ==时等号成立，所以当ABC △的面积最大时，AB 和AC 的长度分别为750米和1500米． …………6分（2）在（1）的条件下，因为750,1500AB m AC m ==． 由2133AD AB AC =+ …………8分得222133AD AB AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭22441999AB AB AC AC =++ …………10分 2244117507501500()15009929=⨯+⨯⨯⨯-+⨯250000= ||500AD ∴=， …………12分1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元．…………14分解法二：在ABC △中，BC ==…………8分在ABD △中，222cos 2AB BC AC B AB AC +-==…………10分在ABD △中，AD =277)500=…………12分1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元． …………14分解法三：以A 为原点，以AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则(0,0)A ，(750,0)B(1500cos120,1500sin120)C ︒︒，即(C -，设00(,)D x y…………8分由2CD DB =，求得00250x y =⎧⎪⎨=⎪⎩D…………10分所以，500AD ==…………12分1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元．…………14分 6．解：（1）由11()22f =，可得111log 222a -=，解之得2a =．…………2分由32种情形等可能，故1(1,2,,32)32k P k ==， …………4分所以21132(log )53232H =⨯-=， 答：“谁被选中”的信息熵为5．…………6分 （2）n A 获得冠军的概率为111111111+)1(1)24222n n n ----++=--=(，…………8分当1,2,k =,1n -时，2()2log 22k k k k k f p --=-=，又11()2n n n f p --=， 故111231124822n n n n H ----=+++++， …………11分1112211+248222n n n n n n H ----=++++， 以上两式相减，可得11111111+1224822n n H --=+++=-，故422nH =-， 答：“谁获得冠军”的信息熵为422n-．…………14分7．解：（1）在ABC △中，由正弦定理可得2626AC =BC == ∴ABC △的周长为617.60+米（2）在ABC △中，由余弦定理：2222602cos60c a b ab ==+︒-， ∴2236a b ab +=-，∴22362ab a b ab +=+≥，即36ab ≤，∴1π3sin 23ABC S AC BC ==≤△ 此时a b =，ABC △为等边三角形，∴60θ=︒，ABC max S =△()8．略9．（1）12341234()()96530935a a a a b b b b +++-+++=-=（2）10470542n n n -+>+⇒≤，即第42个月底，保有量达到最大 12341234(42050)38(647)42()()[965]878222a a a a b b b b +⨯+⨯+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+=+-=2424(4246)88008736S =--+=，∴此时保有量超过了容纳量．10．解：（1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥． 记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处．因为40AC AM ==，所以30MC =，从而3sin 4MAC ∠=， 记AM 与水面的焦点为1P ，过1P 作111,PQ AC Q ⊥为垂足， 则11PQ ⊥平面ABCD ，故1112PQ =，从而11116sin PQ AP MAC==∠ 答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm ．（如果将“没入水中部分冶”理解为“水面以上部分冶”，则结果为24cm ）（2）如图，O ，1O 是正棱台的两底面中心．由正棱台的定义，1OO ⊥平面EFGH ，所以平面11E EGG ⊥平面EFGH ，1O O EG ⊥． 同理，平面11E EGG ⊥平面1111E F G H ，111O O E G ⊥．记玻璃棒的另一端落在1GG 上点N 处．过G 作1GK E G ⊥，K 为垂足，则132GK OO ==．因为14EG =，1162E G =，所以1KG =6214242-=，从而140GG =． 设1,,EGG ENG αβ==∠∠则114sin sin()cos 25KGG KGG απ=+==∠∠． 因为2απ<<π，所以3cos 5α=-． 在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=． 因为02βπ<<，所以24cos 25β=． 于是42473sin sin()sin()sin co 3s cos sin ()5252555NEG αβαβαβαβ=π--=+=+=⨯+-⨯=∠． 记EN 与水面的交点为2P ，过2P 作22P Q EG ⊥，2Q 为垂足，则22P Q ⊥平面EFGH ，故2212P Q =，从而2EP =2220sin P NEGQ =∠． 答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm ．。
2017年江苏省高考数学模拟应用题选编(三)
2017年江苏省高考数学模拟应用题大全（三）1、（江苏省连云港、徐州、宿迁2017届高三年级第三次模拟考试）某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆O 的圆心与矩形ABCD 对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切(E 为上切点)，与左右两边相交(F ，G 为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m ，且12AB AD ≥．设EOF θ∠=，透光区域的面积为S ．（1）求S 关于θ的函数关系式，并求出定义域；（2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值 越大越好．当该比值最大时，求边AB 的长度．2、（江苏省南京、淮安市2017届高三第三次模拟考试数学试题）在一水域上建一个演艺广场．演艺广场由看台Ⅰ，看台Ⅱ，三角形水域ABC ，及矩形表演台BCDE 四个部分构成（如图）．看台Ⅰ，看台Ⅱ是分别以AB ，AC 为直径的两个半圆形区域，且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍；矩形表演台BCDE 中，CD ＝10米；三角形水域ABC 的面积为4003平方米．设∠BAC ＝θ．（1）求BC 的长（用含θ的式子表示）；（2）若表演台每平方米的造价为0.3万元，求表演台的最低造价．3、（江苏省南京师范大学附属中学2017届高三考前模拟考试数学试题）园林管理处拟在公园某区域规划建设一半径为r 米，圆心角为θ（弧度）的扇形观景水池，其中O 为扇形AOB 的圆心，同时紧贴水池周边建设一圈理想的无宽度步道.要求总预算费用不超过24万元，水池造价为每平米400元，步道造价为每米1000元.（1）当r 和θ分别为多少时，可使得广场面积最大，并求出最大面积；A BCDFEO(第1题)G θ（第2题图）（2）若要求步道长为105米，则可设计出的水池最大面积是多少.4、（江苏省南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试）在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD ，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图）．设小正方形边长为x 厘米，矩形纸板的两边AB ，BC 的长分别为a 厘米和b 厘米，其中a ≥b ．（1）当a ＝90时，求纸盒侧面积的最大值；（2）试确定a ，b ，x 的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．5、（江苏省南通、扬州、泰州2017届高三第三次调研考试数学试题）如图，半圆AOB 是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图，半径OA 的长为1百米．为了保护景点，基地管理部门从道路l 上选取一点C ，修建参观线路C -D -E -F ，且CD ，DE ，EF 均与半圆相切，四边形CDEF 是等腰梯形．设DE ＝t 百米，记修建每1百米参 观线路的费用为()f t 万元，经测算150()118 2.3t f t t t ⎧<⎪=⎨⎪-<<⎩，，≤，（1）用t 表示线段EF 的长； （2）求修建该参观线路的最低费用．（第4题图）DCB AO（第5题）6、（江苏省南通、扬州、泰州、徐州、淮安、宿迁2017届高三二模数学试题）一缉私艇巡航至距领海边界线l （一条南北方向的直线）3.8海里的A 处，发现在其北偏东30°方向相距4海里的B 处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最 大航速是走私船最大航速的3倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行． （1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截 成功；（参考数据：sin17°≈5.7446）（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．7、（江苏省如皋市2017届高三下学期语数英学科联考（二）数学试题）如图所示，在一半径等于1千米的圆弧及直线段道路AB 围成的区域内计划建一条商业街，其起点和终点均在道路AB 上，街道由两条平行于对称轴l 且关于l 对称的两线段EF 、CD ，及夹在两线段EF 、CD 间的弧组成．若商业街在两线段EF 、CD 上收益为每千米2a 元，在两线段EF 、CD 间的弧上收益为每千米a 元．已知2AOB π∠=，设2EOD θ∠=，(1) 将商业街的总收益()f θ表示为θ的函数； (2) 求商业街的总收益的最大值．北(第6题)8、（江苏省苏州大学2017届高考数学考前指导卷 1）如图，某地区有一块（百米），植物园西侧有一块荒地，现计划利用该荒地扩大植物园面积，使得新的植物园为.（1（2，若计划9、舞，试求这块圆形广场的最大面积．(10、（江苏省泰州市2017届高三考前参考题数学试题）甲、乙分别位于扇形居民区弧⌒AB合）处建造一个大型快件集散中心，经过前期的调查，发现可以分别用抗拒系数⌒AB的中点时，（1（211、（上海市崇明区2017届高三第二次（4月）模拟考试数学试卷）某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD内举行机器人拦截挑战赛，在E器人甲，同时在A处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在Q处成功拦截机器人甲．若点Q在矩形区域ABCD内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．E为A B中点，机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，比（1AD足够长，则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功？（结（2）如何设计矩形区域ABCD的宽AD的长度，甲？12、（江苏省学大教育2017届高考数学密2）13、（江苏省学大教育2017届高考数学密1）某单位为端正工作人员仪容，在单位设置一面仪容镜（仪容镜为平面镜），如图，仪容2米，（1（2答案1、（12分分，所以定义域为10分12分所以，所以，故有最大，此时（2）1m ．………16分2、（1）因为看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍，所以AB ＝3AC ．在△ABC 中，S △ABC ＝12AB •AC •sin θ＝4003，所以AC 2＝800sin θ ． …………………… 3分由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB •AC •cos θ，＝4AC 2－23AC 2 cos θ．＝(4－23cos θ) 800sin θ ，即BC ＝(4－23cos θ)•800sin θ ＝402－3cos θsin θ．所以 BC ＝402－3cos θsin θ ，θ∈(0，π)． …………………… 7分（2）设表演台的总造价为W 万元．因为CD ＝10m ，表演台每平方米的造价为0.3万元，所以W ＝3BC ＝1202－3cos θsin θ ，θ∈(0，π)． …………………… 9分记f (θ)＝2－3cos θsin θ，θ∈(0，π)．则f ′(θ)＝3－2cos θsin 2θ． …………………… 11分由f ′(θ)＝0，解得θ＝π6．当θ∈(0，π6)时，f ′(θ)＜0；当θ∈(π6，π)时，f ′(θ)＞0．故f (θ)在(0，π6)上单调递减，在(π6，π)上单调递增，从而当θ＝π6 时，f (θ)取得最小值，最小值为f (π6)＝1．所以W min ＝120(万元)．答：表演台的最低造价为120万元． …………………… 14分34、解：（1）因为矩形纸板ABCD 的面积为3600，故当a ＝90时，b ＝40，从而包装盒子的侧面积S ＝2×x (90－2x )＋2×x (40－2x )＝－8x 2＋260x ，x ∈(0，20) ． ………………… 3分因为S ＝－8x 2＋260x ＝－8(x －654)2＋42252，故当x ＝654 时，侧面积最大，最大值为 42252 平方厘米．答：当x ＝654 时，纸盒的侧面积的最大值为42252平方厘米． ………………… 6分（2）包装盒子的体积V ＝(a －2x )(b －2x ) x ＝x [ab －2(a ＋b )x ＋4x 2]，x ∈(0，b 2)，b ≤60．…………… 8分V ＝x [ab －2(a ＋b )x ＋4x 2]≤x (ab －4abx ＋4x 2)＝x (3600－240x ＋4x 2)＝4x 3－240x 2＋3600x ． ………………… 10分当且仅当a ＝b ＝60时等号成立．设f (x )＝4x 3－240x 2＋3600x ，x ∈(0，30)．则f ′ (x )＝12(x －10)(x －30)．于是当0＜x ＜10时，f ′ (x )＞0，所以f (x )在(0，10)上单调递增；当10＜x ＜30时，f ′ (x )＜0，所以f (x )在(10，30)上单调递减．因此当x ＝10时，f (x )有最大值f (10)＝16000， ……………… 12分 此时a ＝b ＝60，x ＝10．答：当a ＝b ＝60，x ＝10时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米．……………… 14分5、【解】设DE 与半圆相切于点QDQ＝QE，以OF所在直线为x轴，OQ所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy．（1）方法一：由题意得，点E……1分设直线EF，因为直线EF与半圆相切，所以圆心O到直线EF (3)分F……5分即．……7分方法二：切圆所以Rt△EHF≌Rt△OGF，……3分……5分所以．……7分（2①所以当时，取最小值为……11分②……13分且当时，；当时，调递增．由①②知，取最小值为……15分答：（1（2）修建该参观线路的最低费用为万元．……16分6、解：（1，……2分．……5分又B到边界线l……8分（2AB C图甲走私……12分1.55所以缉私艇能在领海内截住走私船．……14分答：（1（2）缉私艇总能在领海内成功拦截走私船．……16分18.7、1）①3分②6分由①②8分（2）①列表：11分所以在时单调递减所以…………………14分10分的面积最大值为分⌒AB（2由（119.11、解：（1分分.....................................................6分（2）以所在直线为轴，中垂线为分分6为半径的上半圆在矩形区域人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲...........................................14分12、13由正弦定理，)2,21(tan 2321sin )32sin(sin sin ∈+=-==C C C C B AB AC π即的取值范围为AB AC 的取值范围为（2,21）（2）易知AD A A 2='、又由三角形ABC 的面积A AC AB AD BC S sin 2121⋅=⋅=,可得AC AB AD ⋅=43由余弦定理，AC AB AC AB AC AB A AC AB AC AB BC ⋅=⋅-⋅≥⋅⋅-+==2cos 24222, 解得4≤⋅AC AB ，当且仅当2==AC AB 时。
历年高考数学真题汇编专题16 以基本不等式为背景的应用题(解析版)
历年高考数学真题汇编专题16 以基本不等式为背景的应用题1、【2017年高考江苏卷】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是___________．【答案】30【解析】总费用为600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．2、【2010年高考江苏卷】某兴趣小组要测量电视塔AE 的高度H (单位：m)．示意图如图所示，垂直放置的标杆BC 的高度h ＝4 m ，仰角∠ABE ＝α，∠ADE ＝β.(1) 该小组已测得一组α，β的值，tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H 的值；(2) 该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d (单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精确度．若电视塔的实际高度为125 m ，试问d 为多少时，α－β最大？规范解答 (1) 由AB ＝H tan α，BD ＝h tan β，AD ＝H tan β及AB ＋BD ＝AD ，得H tan α＋h tan β＝Htan β， 解得H ＝h tan αtan α－tan β＝4×1.241.24－1.20＝124.因此算出的电视塔的高度H 是124 m. (2) (1) 由题知d ＝AB ，则tan α＝H d.由AB ＝AD －BD ＝H tan β－h tan β，得tan β＝H －hd，所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝()h hH H d d-+，当且仅当d ＝555时取等号． 又0<α－β<π2，所以当d ＝555时，tan(α－β)的值最大．因为0<β<α<π2，所以当d ＝555时，α－β的值最大．3、【2013年高考江苏卷】如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1 km.某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k >0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1) 求炮的最大射程；(2) 设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2 km ，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．本小题主要考查函数、方程和基本不等式等基础知识，考查数学阅读能力和解决实际问题的能力．满分14分．规范解答 (1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x >0，k >0，故x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号． 所以炮的最大射程为10km.(2) 因为a >0，所以炮弹可击中目标等价于存在k >0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立，即关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根， 所以判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0， 解得a ≤6，所以0<a ≤6.所以当a 不超过6km 时，炮弹可击中目标．一、解函数应用问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义.以上过程用框图表示如下：二、在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合.运用基本不等式解决应用题一定要注意满足三个条件：一、正；二、定；三、相等。
【江苏省南通市】2017年高考(数学学科基地命题)模拟数学试卷(五)(附答案与解析)
A B=________的共轭复数是________名学生中抽取容量为20组中用抽签的方法确定抽出的号码为5．将甲、乙两个不同的球随机放入编号为盒子中各有1个球的概率为________6．设x∈R，则“2log1x<”是““既不充分也不必要”、“充要”中选择）7．已知圆22(1)4x y++=与抛物线________．10．已知函数π()sin(2)3f x x=+（0，且2AB AC AO +=，||||AB AO =，则CA CB =________)c bc +=，则b c+的最大值为________．（1）求证：EF PAD ∥平面； （2）求证：PAC PDE ⊥平面平面17．（小题满分14分）（1）求椭圆C的离心率；a=，问在x轴上是否存在点（2）已知7若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分16分）已知函数()(1)e x=--（为自然对数的底数，f x x kB ．选修4—2：矩阵与变换求曲线||||1x y +=在矩阵M =（1）求直线1DB 与平面A （2）求二面角11B A D --23．【必做题】本题满分10设0a b >>，n 是正整数，（1）证明：22A B >；（2）比较A n 与B n （*n ∈N ）的大小，并给出证明．15．解：（1）由正弦定理知，sin sin b A a B == 又cos1a B =，②①，②两式平方相加，得22(sin )(cos )3a B a B +=， 因为22sin cos 1B B +=， 所以a =（负值已舍）；（2）由（1）中①，②两式相除，得sin cos BB=tan B 因为πA B -=，16．证：（1）方法1：取线段PD 的中点M ，连结FM 、AM ． 因为F 为PC 的中点，所以FM CD ∥，且12FM CD =． 因为四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点，所以EA CD ∥，且12EA CD =．所以FM EA ∥，且FM EA =．所以四边形AEFM 为平行四边形．所以EF AM ∥． 又AM PAD ⊂平面，EF PAD ⊄平面， 所以EF PAD ∥平面．方法2：连结CE 并延长交DA 的延长线于N ，连结PN ． 因为四边形ABCD 为矩形，所以AD BC ∥， 所以BCE ANE ∠=∠，CBE NAE ∠=∠． 又AE EB =，所以CEB NEA ≅△△． 所以CE NE =．又F 为PC 的中点，所以EE NP ∥． 又NP PAD ⊂平面，EF PAD ⊄平面， 所以EF PAD ∥平面．方法3：取CD 的中点Q ，连结FQ 、EQ ． 在矩形ABCD 中，E 为AB 的中点， 所以AE DQ =，且AE DQ ∥． 所以四边形AEQD 为平行四边形， 所以EQ AD ∥．又AD PAD ⊂平面，EQ PAD ⊄平面，所以EQ PAD ∥平面．………………………………………………………………………….2分 因为Q 、F 分别为CD 、CP 的中点， 所以FQ PD ∥．又PD PAD ⊂平面，FQ PAD ⊄平面，所以FQ PAD ∥平面． 又FQ EQ EQF ⊂、平面，FQEQ Q =，所以平面EQF PAD ∥平面．………………….5分因为，所以EF PAD ∥平面． （2）设AC 、DE 相交于G ． 在矩形ABCD中，因为AB =， E 为AB的中点，所以DA CDAE DA==． EF EQF ⊂平面又DAE CDA ∠=∠，所以DAE CDA △△， 所以ADE DCA ∠=∠．又90ADE CDE ADC ∠+∠=∠=， 所以90DCA CDE ∠+∠=．由DGC △的内角和为180，得90DGC ∠=． 即DE AC ⊥．因为点P 在平面ABCD 内的正投影O 在直线AC 上，所以PO ABCD ⊥平面． 因为DE ABCD ⊂平面，所以PO DE ⊥． 因为POAC O ＝，PO AC PAC ⊂、平面，所以DE PAC ⊥平面，又DE PDE ⊂平面，所以PAC PDE ⊥平面平面．17．解：（1）设*()n n ∈N 年内所建安置房面积之和首次不低于3 000万m 2， 依题意，每年新建安置房面积是以200为首项，50为公差的等差数列， 从而n 年内所建安置房面积之和为(1)[20050]2n n n -+⨯ m 2， 则(1)[20050]30002n n n -+⨯≥，整理得，271200n n +-≥， 解得8n ≥（15n ≤-舍去）．答：8年内所建安置房面积之和首次不低于3 000万m 2．（2）依题意，每年新建住房面积是以500为首项，1．1为公比的等比数列， 设第m 年所建安置房面积占当年新建住房面积的比为()p m ， 则1120050(1)3()500(10.1)10 1.1m m m m p m --+-+==+⨯， 由()(1)p m p m =+得，13410 1.110 1.1m mm m -++=⨯⨯，解得7m =． 答：第7年和第8年，所建安置房面积占当年新建住房面积的比保持不变．……………………14分 18．解：（1）分别过点A 、B 作直线l 的垂线，垂足为A 1，B 1， 由题意得11AA BB =，由点到直线距离公式得112aAA BB ==，因为圆A 以AF 1为半径，所以半径为c ，被直线l 截得的弦长为，圆B 以OB 为半径，∴半径为a ，被直线l 截得的弦长为因为直线l ：y =被圆A 和圆B ，==，解得(0)43a c a c >>=．因为c e a =，所以所求的离心率为34，（2）存在点P ，使得过点P 有无数条直线被圆A 和圆B 截得的弦长之比为34， 设点0(,0)P x ，由题意可得直线方程为0()y k x x =-， 直线截圆A所得的弦长为，直线截圆B所得的弦长为34==， 化简得22222220016(7)9(7)(1)(169)k x k x k c a +--=+-（*）， 由（1）离心率为34，得22169c a =， 即方程（*）为200(49)(1)0k x x ++=，解得01x =-或049x =-， 即存在2个点(1,0)-和(49,0)-；当01x =-时，||6||8k k ⎧<⎪⎨<⎪⎩，解得k <<， 当049x =-时，||42||56k k ⎧<⎪⎨<⎪⎩，解得k <<即有无数条直线；19．解：（1）∵()()e x f x x k '=-，0x >．（i ）当0k ≤时，()0f x '>恒成立，∴()f x 的递增区间是(0,)+∞，无递减区间；无极值． （ii ）当0k >时，由()0f x '>得，x k >；由()0f x '<得，0x k <<；∴()f x 的递减区间是(0,)k ，递増区间是(,)k +∞，()f x 的极小值为()e k f k =-，无极大值． （2）①由()4f x x <，可得(1)e 40x x k x ---<，因为e 0x >，所以41e x x x k --<，即41e xx k x >--对任意[1,2]x ∈恒成立， 记4()1ex x g x x =--，则4(1)e 4(1)()1e e x x x x x g x -+-'=-=， 因为[1,2]x ∈，所以()0g x '>，即()g x 在[1,2]x ∈上单调递增， 故2max228e 8()(2)1e eg x g -==-=．所以实数k 的取值范围为22e 8(,)e -+∞．②由已知1212()()()f x f x x x =≠，结合（1）可知，0k >，()f x 在(,)k -∞上单调递减，在(,)k +∞上单调递增，又(1)0f k +=，1x k <+时，()0f x <．不妨设121x k x k <<<+，此时2x k >，12k x k ->，故要证122x x k +<，只要证122k x x ->，只要证12(2)()f k x f x ->， 因12()()f x f x =，即证11(2)()f k x f x ->．设2(1)e ()(2)()(1)e ()e kxxx k h x fk x f x x k x k -+-=--=---<，222()e ()(e e )()()e e e k k x xx xx k x k h x x k ---'=--=， ∴当x k <时，()0h x '<，()h x 在(,)k -∞上单调递减，∴(,)x k ∈-∞时，()()e e 0k k h x h k >=-+=， 故当x k <时，(2)()f k x f x ->，即11(2)()f k x f x ->成立，∴122x x k +<． 20．解：（1）13A =，21B =，23d =；24A =，21B =，23d =；37A =，31B =，36d =． ……………………………………………………………...……3分（2）①当1n =时，11(1)1a a λλ-=-+，所以11a =；当2n ≥时，由21(1)33n n S a n λλ-=-++，则1121(1)(1)33n n S a n λλ---=-+-+， 两式相减得12(1)3n n n S a a λλλ--=-++，即123n n a a λ-=+， 所以111222[]33(1)3(1)n n n n b a a b λλλλλ---=++=+=--．…………………………….……6分因为112313(1)3(1)b a λλλ-=+=--，所以当13λ≠时，数列{}n b 满足1n n b b λ-=（2n ≥），即数列{}n b 是以313(1)λλ--为首项，λ为公比的等比数列；当13λ=时，数列{}n b 不是等比数列． ………………………………………………….………8分 ②由①知，当13λ≠时，13123(1)3(1)n n a λλλλ--=---；当13λ=时，23(1)n a λ=--．……………………………………………………………………10分又1212max{,,...,}min{,,...,}i i i i n d a a a a a a ++=-，112123max{,,...,}min{,,...,}i i i i n d a a a a a a ++++=-．由于1223min{,,...,}min{,,...,}i i n i i n a a a a a a ++++≤，所以由1i i d d +>可得，12121max{,,...,}max{,,...,}i i a a a a a a +<． 所以1211max{,,...,}i i a a a a ++=对任意的正整数1,2,3,...,2i n =-恒成立， 即数列{}n a 的前1n -项单调递增是题设成立的必要条件，易知13λ≠．……………………12分 因为+1i i i d a a =-，112i i i d a a +++=-， 所以121212131312(12)(1)3(1)3(1)i i i i i i i d d a a a λλλλλλλλλ--+++---=+-=+-=---．当1λ>时，由1n n a a +>，得3103(1)λλ->-，解得1λ>，此时10i i d d +-≥，不符合1i i d d +>，舍去； 当01λ<<，由1n n a a +>，得3103(1)λλ-<-，解得113λ<<，此时10i i d d +-<，符合1i i d d +>．21A ．证：因为P A 是圆O 在点A 处的切线，所以PAB ACB ∠∠＝． 因为PD AC ∥，所以EDB ACB ∠∠=， 所以PAE PAB ACB BDE ∠∠∠∠===．又PEA BED ∠∠=，故PAE BDE △∽△．………………………..…………………….…10分21B ．解：设点00(,)x y 为曲线||||1x y +=上的任意一点，在矩阵10103M ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭对应的变换作用下得到的点为(,)x y ''，则0010103xx y y ⎛⎫'⎡⎤⎡⎤ ⎪=⎢⎥⎢⎥ ⎪' ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭，所以003x x y y '=⎧⎨'=⎩………………………………….………5分 所以曲线||||1x y +=在矩阵10103M ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭对应的变换作用下得到的曲线为|||3|1x y +=，所围成的图形为菱形，其面积为1222233⨯⨯=．………………………………………...10分 21C ．解：（1）将M 及对应的参数π3ϕ=代入cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（0a b >>，ϕ为参数），得π2cos 3πsin 3a b ⎧=⎪⎪=，所以42a b =⎧⎨=⎩，所以曲线C 1的普通方程为221164x y +=．………….…4分（2）曲线C 1的极坐标方程为2222cos sin 1164ρθρθ+=，将1(,)A ρθ，2π(,)2B ρθ+代入得222211cos sin 1164ρθρθ+=，222222cos sin 1164ρθρθ+=，所以221211516ρρ+=．……10分 21D ．解：因为0a >，0b >，1a b =+，所以()(12)225a b ++=+，从而124212114592112122()()[()(22)]22b b b a a b a a ++++++≥+=+++++=++ …………………………………………………………………………………………………6分所以1292115a b +≥++． 当且仅当22(4212122)a a b b ++=++，且1a b =+，即13a =，23b =时， 12211a b +++取得最小值95．…………………………………………………………..……10分22．解：因为在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，所以分别以AB 、AC 、AA 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系， 则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,4,0)C ，1(0,0,3)A ，1(2,0,3)B ，1(0,4,3)C ，因为D 是BC 的中点，所以(1,2,0)D ，……………………………………………………2分 （1）因为11(0,4,0)AC =，1(1,2,3)A D =-设平面A 1C 1D 的法向量1111(,,)n x y z =，则1111100n AC n A D ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即111140230y x y z =⎧⎨+-=⎩，取111301x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以平面A 1C 1D 的法向量1(3,0,1)n =，而1(1,2,3)DB =-， 所以1111113cos ,||||n DB n DB nDB <>==， 所以直线DB 1与平面A 1C 1D …………………………………5分 （2）11(2,0,0)A B =，1(1,2,3)DB =-，设平面B 1A 1D 的法向量2222(,,)n x y z =，则2112100n A B n DB ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即222220230x x y z =⎧⎨-+=⎩，取22232x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，平面B 1A 1D 的法向量2(0,3,2)n =，所以121212130cos ,65||||n n n nn n <>==， 二面角B 1-A 1D-C 1……………………………………………10分 23．（1）证明：22222211()()()03212a b A B a ab b a b +-=++-=->（2）证明：1n =，11A B =；3n ≥，1111n n n a b A n a b ++-=+-，()2n n a b B +=， 令a b x +=，a b y -=，且,0x y >，于是11111()()1122[()()]12(1)n n n n n n x y x y A x y x y n y n y++++++--==+--++， ()2n n xB =，因为1113231111[()()](22...)2n n n n nn n n x y x y C x y C x y C x y ++-++++--=++≥，112nn C x y y +=江苏省南通市（数学学科基地命题）2017年高考模拟试卷（5）解 析一、填空题 1~9．略10．由0x <π≤，知2333x ππ7π+≤≤，因为1()()3f f αβ==<，所以()()3π222332αβππ+++=⨯，所以76αβπ+=．11．f (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ＜0，2－x 2，0≤x ＜1，x 4－2x 2，x ≥1．作出函数f (f (x ))的图像可知，当1＜k ≤2时，函数y ＝f (f (x ))－k 有3个不同的零点．12．由2AB AC AO +=可得0OB OC +=，即BO OC =，所以圆心在BC 上，且AB AC ⊥．注意到||||=2AB AO =，所以ππ,,4,36B C BC AC ====，所以12CA CB ⋅=．13．由()a a b c bc ++=，得1b c b c a a a a ++=⋅，设,b c x y a a==，则1x y xy ++=，1ab c x y =++，因为21()2x y x y xy +++=≤，所以2x y ++≥a b c+．14．1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．由任何斜率不小于1的直线与C 都至多有一个公共点，也即x ∈[12，1]时，曲线()y f x =上 任意两点连线的斜率都小于1，所以()1f x '≤在x ∈[12，1]上恒成立．由2()31f x a ax '=-≤，。
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2017年江苏省高考数学模拟应用题大全（五）1、如图，某开发区内新建两栋楼AB,CD(A,C为水平地面),已知楼AB、CD 的高度分别为10m、20m，两楼间的距离AC为70m.（1）如何在两楼间AC上取一点P点，使得P点到两楼顶DB,距离之和最短？（2）试在AC上确定一点P，使得张角BPD最大.2.某地方政府要将一块如图所示的直角梯形ABCD 空地改建为健身娱乐广场.已知AD //BC ,,2AD AB AD BC ⊥==3AB =百米，广场入口P 在AB上，且2AP BP =，根据规划，过点P 铺设两条相互垂直的笔直小路PN PM ,（小路的宽度不计），点N M ,分别在边BC AD ,上（包含端点），PAM ∆区域拟建为跳舞健身广场，PBN ∆区域拟建为儿童乐园，其它区域铺设绿化草坪，设APM θ∠=.（1）求绿化草坪面积的最大值；（2）现拟将两条小路PN PM ,进行不同风格的美化，PM 小路的美化费用为每百米1万元，PN 小路的美化费用为每百米2万元，试确定N M ,的位置，使得小路PN PM ,的美化总费用最低，并求出最小费用.3．某公司科技小组研发一个新项目，预计能获得不少于1万元且不多于5万元的投资收益，公司拟对研发小组实施奖励，奖励金额y （单位：万元）和投资收益x （单位：万元）近似满足函数()y f x =，奖励方案满足如下两个标准：①()f x 为单调递增函数，②0()f x kx ≤≤，其中0k >．（1）若12k =，试判断函数()f x 是否符合奖励方案，并说明理由； （2）若函数()ln f x x =符合奖励方案，求实数k 的最小值．4、如图所示，扇形ABC 是一个半径为2千米，圆心角为600的风景区，上，点在弧BC P 现欲在风景区中规划三条商业街道，要求街道PQ 与AB 垂直，街道PR 与AC 垂直，线段RQ 表示第三条街道。
（1）如果P 位于弧BC 的中点，求三条街道的总长度（2）由于环境原因，三条街道QR PR PQ ,,每年能够产出的经济效益分别是每千米300万元，200万元及400万元，这三条街道最高经济效益（精确到1万元）5、如图所示，PAQ ∠是某海湾旅游区的一角，其中 120=∠PAQ ，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸AP 和AQ 上分别修建观光长廊AB 和AC ，其中AB 是宽长廊，造价是800元/米，AC 是窄长廊，造价是400元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时在线段BC 上靠近点B 的三等分点D 处建一个观光平台，并建水上直线通道AD （平台大小忽略不计），水上通道的造价是1000元/米．(1) 若规划在三角形ABC 区域内开发水上游乐项目，要求ABC △的面积最大，那么AB 和AC 的长度分别为多少米？(2) 在(1)的条件下，建直线通道AD 还需要多少钱？6、如果一条信息有n 1,)n n >∈N （种可能的情形（各种情形之间互不相容），且这些情形发生的概率分别为12,,,n p p p ，则称H =12()()()n f p f p f p ++（其中()f x =log ,a x x -(0,1)x ∈）为该条信息的信息熵．已知11()22f =．（1）若某班共有32名学生，通过随机抽签的方式选一名学生参加某项活动，试求“谁被选中”的信息熵的大小；（2）某次比赛共有n 位选手（分别记为12,,,n A A A ）参加，若当1,2,k =,1n -时，选手k A 获得冠军的概率为2k -，求“谁获得冠军”的信息熵H 关于n 的表达式．7、某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，地面形状如图所示，已知已有两面墙的夹角为（∠ACB=），墙AB 的长度为6米，（已有两面墙的可利用长度足够大），记∠ABC=θ（1）若θ=，求△ABC 的周长（结果精确到0.01米）；（2）为了使小动物能健康成长，要求所建的三角形露天活动室面积△ABC 的面积尽可能大，问当θ为何值时，该活动室面积最大？并求出最大面积．8、9、根据预测，某地第n *()n ∈N 个月共享单车的投放量和损失量分别为n a 和n b （单位：辆），其中4515,1310470,4n n n a n n ⎧+≤≤⎪=⎨-+≥⎪⎩，5n b n =+，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量24(46)8800n S n =--+（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？10、如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为容器Ⅱ的两底面对角线EG ,11E G 的长分别为14cm 和62cm. 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm. 现有一根玻璃棒l ,其长度为40cm.（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）1）将l 放在容器Ⅰ中,l 的一端置于点A 处,另一端置于侧棱1CC 上,求l 没入水中部分的长度； （2）将l 放在容器Ⅱ中,l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度.容器Ⅱ容器ⅠAH 11E 11A (第10题)答案1、解（1）延长BA 至B '，使得B A BA '=连接B D '交AC 于P ,此时P 点到两楼顶D B ,距离之和最短， 由B AP '∆∽CPD ∆∴207010APAP CD PC B A AP -=⇒=' 370=AP m所以P 点在距AB 楼370m 处，使得P 点到两楼顶D B ,距离之和最短。
答（1） （2）2. （本题共16分，其中卷面分1分） 解：（1）在PMA Rt ∆中，θtan =APAM，得θtan 2=AM ， 所以θθtan 2tan 2221=⋅⋅=∆PMA S由π=∠+∠+∠BPN MPN APM ,2,πθ=∠=∠MPN APM在PNB Rt ∆中，θtan =BN BP ，得θtan 1=BN ， 所以θθtan 21tan 1121=⋅⋅=∆PMA S所以绿化草坪面积PBN PAM S S AB BC AD S ∆∆--⋅+=)(21θθtan 121tan 23)332(21--⋅+=)tan 121tan 2(239θθ+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,6ππθ …………4分 又因为2tan 121tan 22tan 121tan 2=⋅≥⋅+θθθθ 当且当θθtan 21tan 2=，即21tan =θ。
此时⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,6ππθ…………6分 所以绿化草坪面积的最大值为)2239(-平方百米. …………7分（2）方法一：在PMA Rt ∆中，θcos =PM AP ，得θcos 2=PM ， 由π=∠+∠+∠BPN MPN APM ,2,πθ=∠=∠MPN APM在PNB Rt ∆中，θsin =PN BP ，得θsin 1=PN ， 所以总美化费用为]3,6[,sin 2cos 2ππθθθ∈+=y …………10分θθθθθθθθ223322'cos sin )cos (sin 2sin cos 2cos sin 2-=-=yθθθθθθθθ2222cos sin )cos cos sin )(sin cos (sin 2++-= 令0'=y 得πθ=列表如下所以当4πθ=时，即1,2==BM AM 时总美化费用最低为4万元。
…………15分方法二：在PMA Rt ∆中，θcos =PM AP ，得θcos 2=PM ， 由π=∠+∠+∠BPN MPN APM ,2,πθ=∠=∠MPN APM在PNB Rt ∆中，θsin =PN BP ，得θsin 1=PN ， 所以总美化费用为]3,6[,sin 2cos 2ππθθθ∈+=y …………10分 θθθθθθcos sin )cos (sin 2sin 2cos 2+=+=y 令⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∈+=2,231,cos sin t t θθ得21cos sin 2-=t θθ 所以142-=t t y ，0)1(44222'<-+-=t t y所以142-=t ty 在,2,231⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∈t 上是单调递减 所以当2=t ，4πθ=时，即1,2==BM AM 时总美化费用最低为4万元。
3．解：（1）∵()f x∴()0f x '=>，∴函数()f x =[1,5]上的单调递增函数，满足标准①， …………2分 当[1,4)x ∈时，1()2f x x x =>，不满足标准②，综上所述：()f x 不符合奖励方案． …………4分 （2）∵函数()ln f x x =符合奖励标准， ∴()f x kx ≤，即ln x kx ≤， ∴ln xk x≥， …………6分 ∴设ln ()xg x x=，[1,5]x ∈，∴21ln ()xg x x-'=， 令()0g x '=，∴x e =，…………8分∴ln ()x g x x =的极大值是1(e)eg =，且为最大值， ∴1e k ≥， …………10分又∵函数()ln f x x =，[1,5]x ∈， ∴1()0f x x'=>，∴函数()f x 在区间[1,5]上单调递增，满足标准①， ∵[1,5]x ∈，∴()ln 0f x x =≥，综上所述：实数k 的最小值是1e ． …………12分4、解：（1）由P 位于弧BC 的中点，在P 位于∠BAC 的角平分线上，则丨PQ 丨=丨PR 丨=丨PA 丨sin ∠PAB=2×sin30°=2×=1，丨AQ 丨=丨PA 丨cos ∠PAB=2×=，由∠BAC=60°，且丨AQ 丨=丨AR 丨， ∴△QAB 为等边三角形，则丨RQ 丨=丨AQ 丨=，三条街道的总长度l=丨PQ 丨+丨PR 丨+丨RQ 丨=1+1+=2+；（2）设∠PAB=θ，0＜θ＜60°，则丨PQ 丨=丨AP 丨sinθ=2sinθ，丨PR 丨=丨AP 丨sin （60°﹣θ）=2sin （60°﹣θ）=cosθ﹣sinθ，丨AQ 丨=丨AP 丨cosθ=2cosθ，丨AR 丨=丨AP 丨cos （60°﹣θ）=2cos （60°﹣θ）=cosθ+sinθ由余弦定理可知：丨RQ 丨2=丨AQ 丨2+丨AR 丨2﹣2丨AQ 丨丨AR 丨cos60°，=（2cosθ）2+（cosθ+sinθ）2﹣2×2cosθ（cosθ+sinθ）cos60°，=3，则丨RQ 丨=，三条街道每年能产生的经济总效益W ，W=丨PQ 丨×300+丨PR 丨×200+丨RQ 丨×400=300×2sinθ+（cosθ﹣sinθ）×200+400=400sinθ+200cosθ+400，=200（2sinθ+cosθ）+400，=200sin （θ+φ）+400，tanφ=，当sin （θ+φ）=1时，W 取最大值，最大值为200+400≈1222，三条街道每年能产生的经济总效益最高约为1222万元．5、[解]（1）设AB 长为x 米，AC 长为y 米，依题意得8004001200000x y +=，即23000x y +=， ………………………………2分1sin1202ABC S x y ∆=⋅⋅y x ⋅⋅=43 …………………………4分y x ⋅⋅=28322283⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤y x =2m 当且仅当y x =2，即750,1500x y ==时等号成立，所以当ABC △的面积最大时，AB 和AC 的长度分别为750米和1500米……6分 （2）在(1)的条件下，因为750,1500AB m AC m ==． 由2133AD AB AC =+ …………………………8分 得222133AD AB AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭22919494+⋅+= …………………………10分 2244117507501500()15009929=⨯+⨯⨯⨯-+⨯250000= ||500AD ∴=， …………………………12分1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元． …………………………14分 解法二：在ABC ∆中， 120cos 222AC AB AC AB BC ⋅-+==7750= ………8分在ABD ∆中，ACAB AC BC AB B ⋅-+=2cos 222775075021500)7750(750222⨯⨯-+=772= …………………………10分 在ABD ∆中，B BD AB BD AB AD cos 222⋅-+=772)7250(7502)7250(75022⋅⨯⨯-+==500 …………12分 1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元． …………………………14分解法三：以A 为原点，以AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则)0,0(A ，)0,750(B )120sin 1500,120cos 1500( C ,即)3750,750(-C ，设),(00y x D ………8分由2CD DB =，求得⎪⎩⎪⎨⎧==325025000y x ，所以(D …………10分所以，22)03250()0250(||-+-=AD 500=……………………12分1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元． …………………………14分6、解：（1）由11()22f =，可得111log 222a -=，解之得2a =. …………………2分由32种情形等可能，故1(1,2,,32)32kP k ==， ……………………4分 所以21132(log )53232H =⨯-=，答：“谁被选中”的信息熵为5． ……………………6分（2）n A 获得冠军的概率为111111111+)1(1)24222n n n ----++=--=(，……………8分 当1,2,k =,1n -时，2()2log 22k k k k k f p --=-=，又11()2n n n f p --=，故111231124822n n n n H ----=+++++， ……………………11分1112211 +248222n n n n n n H ----=++++， 以上两式相减，可得11111111+1224822n n H --=+++=-，故422n H =-，答：“谁获得冠军”的信息熵为422n -． ……………………14分7、解：（1）在△ABC 中，由正弦定理可得AC==2，BC==3+，∴△ABC 的周长为6+3+3≈17.60米（2）在△ABC 中，由余弦定理：c 2=602=a 2+b 2﹣2abcos60°， ∴a 2+b 2﹣ab=36，∴36+ab=a 2+b 2≥2ab ，即ab ≤36，∴S △ABC =AC•BC•sin=ab ≤9，此时a=b ，△ABC 为等边三角形，∴θ=60°，（S △ABC ）max =9．8、略9、（1）12341234()()96530935a a a a b b b b +++-+++=-=（2）10470542n n n -+>+⇒≤，即第42个月底，保有量达到最大12341234(42050)38(647)42()()[965]878222a a a ab b b b +⨯+⨯+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+=+-=2424(4246)88008736S =--+=，∴此时保有量超过了容纳量.10、【解析】解:（1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥.记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处.( 如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶，则结果为24cm)（2）如图，O ，O 1是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义，OO 1⊥平面 EFGH ， 所以平面E 1EGG 1⊥平面EFGH ，O 1O ⊥EG . 同理，平面 E 1EGG 1⊥平面E 1F 1G 1H 1，O 1O ⊥E 1G 1. 记玻璃棒的另一端落在GG 1上点N 处. 过G 作GK ⊥E 1G ，K 为垂足， 则GK =OO 1=32. 因为EG = 14，E 1G 1= 62，所以KG 1=6214242-=，从而140GG ===. 设1,,EGG ENG αβ==∠∠则114sin sin()cos 25KGG KGG απ=+==∠∠.因为2απ<<π，所以3cos 5α=-.在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=. 因为02βπ<<，所以24cos 25β=. 于是4s i3s555NEα=π∠.记EN 与水面的交点为P 2，过 P 2作P 2Q 2⊥EG ，Q 2为垂足，则 P 2Q 2⊥平面 EFGH ，故P 2Q 2=12，从而 EP 2=2220sin P NEGQ =∠.答:玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm.。