概率论与数理统计：第3章随机变量的数字特征1节
4
4.2
x 25(x 38)dx x (25)( x 4.2)dx
3.8
4
4
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10
例4. 设X ~ exp( ),求数学期望E( X ).
解：X的概率密度为 f (x) 1 ex/ , x 0; 0, x 0.
所以
0
x
1
e
x
/
dx
0
(
x)
e
x
/
d
b
E(X)
lim
0
i 1
xi
f
(xi
) x i
a
xf ( x) d x
xf (x) d x
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8
2. 连续随机变量的数学期望
定义:设连续随机变量X的概率密度为f (x),
若积分
xf (x)dx 绝对收敛
(即
|
x
|
f ( x)dx
),
则X的数学期望（或均值）存在，记为E(X) , 即
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4
1. 离散随机变量的数学期望
定义: 设离散随机变量X的分布律为 P( X xk ) pk , k 1,2,,
若级数 xk pk 绝对收敛 ( 即 | xk | pk ),
则X的数k学期望（或均值）存在k ，记为E(X) , 即
E( X ) xk pk
注1º EX是一个常数, 它是k 一种加权平均.与一般的平均 值不同, 它从本质上体现了X 取可能值的真正的平均值.
EY
EgX
gxk pk , X为离散型;
k
gx
f
xdx,
X为连续型.
当X为离散型时, P(Xxk) pk , (k 1,2,…); 当X为连续型时, X的密度函数为f (x).
求E[g(X)]时, 只需 知道X的分布即可.
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例5.某种商品每周的需求量 X～U(10,30）,而商场 每销售一单位商品可获利500元,若供大于求,则削价处理,
在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点
a x0 x1 x2 xn1 xn b
把 [a , b]分成n个小区间,各小区间长度 xi xi xi1
记
max{
1 i n
x
i
}，当n
时，
0，则
P(xi1 X xi )
xi f (x)dx
xi1
f (xi )xi
n
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1. 随机变量的数学期望
(1)设有n个数x1，x2，，xn ,那么这n个数的算术平均
x
x1
x2
n
xn
i
n 1
xi
1 n
(2)这n 个数有相同,，不妨设其中有 ni个取值为 xi，i 1,, k,
其均值应为 1
n
k
ni xi
i 1
k i 1
ni n
xi
以数值xi出现的频率为权重做加 权平均
注2º 级数绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的 改变而改变. 因为数学期望是反映随机变量X 取可能值的平 均值, 它不因可能值的排列次序而改变.
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例1. 设X服从Poisson分布 (), 求数学期望E(X).
解：X的概率函数为 P( X k) k e , k 0,1,2,; k!
x2
n
xn
n i1
xi
1 n
为该生各门课程的算术平均成绩. 而
n
xivi , 其中 vi ωi
i1
ωj
i 1
j1
则称 xω为该生的加权平均成绩.
n
ωj ,
j1
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引例2. 甲乙两名乒乓球爱好者球技相同，他们约定各出5元 作为奖金进行比赛，每局中无平局，谁先赢四局则得奖金10 元，当甲赢了3局，乙赢了2局时，因故要终止比赛。问这10 元奖金如何分配才算合理公平。
第三章 随机变量的数字特征
基本内容：
一、数学期望、方差 二、原点矩与中心矩 三、协方差与相关系数 四、切比雪夫不等式与大数定律
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第一节 数学期望
引例1 加权平均成绩
设某学生四年大学各门功课 成绩分别为 x1, x2,, xn ,
其学分分别为 ω1,ω2,,ωn , 则称
x
x1
所以X的数学期望
k
k
e
k k
e
k0 k!
k 1 k!
e
k 1
e k
k1 (k 1)!
k0 k!
ee
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例2. 据统计, 一位 60 岁的健康者在 5 年内健在的概率为 p (0 p 1). 保险公司开办 5 年人寿保险, 投保费 a 元, 若投保者在 5 年内死亡(非自杀死亡), 保险公司负责 赔偿 b 元(b a). 应如何确定 b 值可使保险公司获益?
分析：设想如果比赛再继续下去，会出现什么结果？
甲最终所得可能为10元，可能0元，这是随机变量X
且再比赛2局必能分出胜负，其结果不外乎4种情况：
甲甲，甲乙，乙甲，乙乙
X
0
10 甲期望所得：
P
1/4 3/4 0*1/4+10*3/4=7.5
此分法不仅考虑已经比赛结果，而且还包括了再
比赛下去的一种“期望”——数学期望（均值）.
(
x
)
分部积分
(x)dex/ 0
(xex/
0
ex / dx)
0
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3.随机变量函数的数学期望
(一) 一维随机变量函数的数学期望
(1)问题的导入
数学期望
E( X ) xk pk .
X
E(X)=
k
EX
xf
xdx
g(X) 数学期望EgX
g是连续函数, g(X) 是随机变量, 如: 2X+1, X2等等.
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(2)随机变量函数数学期望的计算 方法1 (定义法): g(X)是随机变量, 按照数学期望 的定义计算Eg(X). 关键: 由X的分布求出g(X)的分布. 难点: 一般g(X)形式比较复杂的, 很难求出其分布.
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方法2 (公式法):
定理 设X是一个随机变量, Y g(X), 则
解:以 表示保险公司从一个投保者取得的收益, 则
取值为 a, a b, 相应的概率分布为 p, 1 p
于是 E a p (a b)(1 p) a b(1 p)
保险公司要获益, 必须 a b (1 p) 0,
即 b a 1 p
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设连续随机变X在[a,b]上概率密度f (x) 0,其他地方为0
E( X ) xf ( x)dx
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例3. 某种化学物的PH(记为X)是一个随机变量，它的概率
密度是
25(x 3.8), 3.8 x 4 f (x) 25(x 4.2), 4 x 4.2
0, 其他
求此化合物的PH的数学期望E(X).
解：
xf (x)dx
概率论及数理统计随机变量的数字特征
X0 1 2 3 P 0.3 0.3 0.2 0.2
下面我们用计算机 进行模拟试验.
1 101 32 0 23 0
输入试验次数(即天数)n,计算机对小张的生产 情况进行模拟,统计他不出废品，出一件、二 件、三件废品的天数n0,n1,n2,n3 , 并计算
M (n )0n 01n 12n 23n 3 nn n n
k阶绝对中E(心 |X矩 E(X)|k)
其中 k 是正整数.
例1.设X的分布列为 X
0
1
1
1
P
24
求E1 1 X
解：
23
11 88
E( 1 )1 1 1 1 1 1 1 1 1X 210 411 812 813 67 96
例2. 设公共汽车起点站在每小时的10分，30分， 50分发车，一位不知发车时间的乘客，每 小时内到达车站的时间是随机的，求该乘客 在车站等车的数学期望。
30
60 50
60
10
设(X, Y)是二维随机变量, Z=g( X, Y )，则
EZE[g(X,Y)]
i1
g(xi, yj)pij,
j1
(X,Y)离散型
g(x, y)f(x, y)dxd,y(X,Y)连续型
当( X, Y )是离散型时：分布列为 P ( X x i Y y j) p ij i , j 1 , 2 ,
X~B(n,p),则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数.
若设
Xi
1 0
如第i次试验成功i=1,2，…，n
如第i次试验失败
则 X= X1+X2+…+Xn 因为 P(Xi =1)= p, P(Xi =0)= 1-p
E(Xi)= 1p0(1p)= p n
概率论随机变量的特征
Y X2 0
149
P(Y yi ) 0.25 0.40 0.25 0.10
EY 00.25 10.40 40.25 90.10 2.30
10
2020年10月21日3时50分
山东建筑大学理学院信息与计算科学教研室
概率论与数理统计
随机变量的数字特 征
EX Y
x
y
f
x,
y dxdy
xf x, ydxdy yf x, ydxdy =EX+ EY
推论： E n Xi n EXi .
i1 i1
16
2020年10月21日3时50分
山东建筑大学理学院信息与计算科学教研室
概率论与数理统计
随机变量的数字特
征
定理 若X、Y 独立，则有： EXY EX EY
频率
12 5 40 40 40
66 40 40
该班的平均成绩为：
85
85 40 40
421
421 40 40 40
351 50 2 68 5 72 6 75 6 80 8 85 5 90 4 96 2 1001
35
1
50
2
68
5
72
6
75
6
40
80
8
85
5
90
4
96
X1
1234
pX1 xi 0.4 0.3 0.2 0.1
EX1 1 0.4 2 0.3 3 0.2 4 0.1 2
5
2020年10月21日3时50分
山东建筑大学理学院信息与计算科学教研室
概率论与数理统计
（2）设随机变量 X 2 是取球次数，则
概率论与数理统计第3章
试求常数a和b。
π F xlim F x a b 2 0 解： F lim F x a b π 1 x 2
1 1 a , b 2 π
P ( 2 4) P ( 2) P ( 2 4) 0.3 0.6 0.5 0.4
P ( 3) 1 P ( 3) 1 0.5 0.5
6
例3：设r.v. 的分布函数
F x a b arctan x
b a
因此求概率可从分布函数与密度函数两条途径入手。
5、密度的图像称分布曲线，相应有两个特征： ⑴ 曲线在x轴上方；
概率面积
y
f(x)分布曲线
⑵ 曲线于x轴之间的 面积是1。
x c o d
10
例4：设 的密度在[a,b]以外为0，在[a,b]内为
一常数 ，
， a x b f ( x) 0， 其它
x2 2
16
⑶ f(x)符合密度函数的两性质： ① f(x) > 0；②
f x d x 1。
x2 2
以标准正态分布为例， e
e d t e
t2 2 2 x2 2
d x 称为高斯积分。
dy
r2 2 0
从F(x)求f(x)： f x F x 从f(x)求F(x)： F x f t d t
x
9
4、对于连续型随机变量 ，
⑴ P a 0 ，即某指定点的概率为0； ⑵ Pa b Pa b
Pa b Pa b f x d x
考研数学三概率论与数理统计知识点
考研数学三概率论与数理统计知识点考研数学三概率论与数理统计知识点我们在进行考研数学的复习时，要了解三概率论与数理统计的知识点有哪些。
店铺为大家精心准备了数学三概率论与数理统计客观题解析，欢迎大家前来阅读。
考研数学概率论与数理统计总结一、第一章随机事件与概率重点：概率的定义与性质，条件概率与概率的乘法公式，事件之间的关系与运算，全概率公式与贝叶斯公式。
难点：随机事件的概率，乘法公式、全概率公式、Bayes公式以及对贝努利概型的事件的概率的计算。
二、常考题型事件、概率与独立性是本章给出的概率论中最基本、最重要的三个概念。
事件关系及其运算是本章的重点和难点，概率计算是本章的重点。
注意事件与概率之间的关系。
本章主要考查随机事件的关系和运算，概率的性质、条件概率和五大公式，注意事件的独立性。
近几年单独考查本章的试题相对较少，但是大多数考题中将本章的内容作为基本知识点来考查。
相当一部分考生对本章中的古典概型感到困难。
大纲只要求对古典概率和几何概率会计算一般难度的题型就可以。
考生不必可以去做这方面的难题，因为古典型概率和几何型概率毕竟不是重点。
三、注意事项与线性代数一样，概率也比高数容易，花同样的时间复习概率也更为划算。
但与线代一样，概率也常常被忽视，有时甚至被忽略。
一般的数学考研参考书是按高数、线代、概率的顺序安排的，概率被放在最后，复习完高数和线代以后有可能时间所剩无多;而且因为前两部分分别占60%和20的分值，复习完以后多少会有点满足心理;这些因素都可能影响到概率的复习。
概率这门课如果有难点就应该是"记忆量大"。
在高数部分，公式、定理和性质虽然有很多，但其中相当大一部分都比较简单，还有很多可以借助理解来记忆;在线代部分，需要记忆的公式定理少，而需要通过推导相互联系来理解记忆的多，所以记忆量也不构成难点;但是在概率中，由大量的概念、公式、性质和定理需要记清楚，而且若靠推导来记这些点的话，不但难度大耗时多而且没有更多的用处(因为概率部分考试时对公式定理的内在推导过程及联系并没有什么要求，一般不会在更深的层次上出题)。
(精品) 概率论与数理统计课件：随机变量的数字特征
D( ) E E 2 E E 2
D D
性质4可以推广到如下情形。
当1，
2
,,
两两独立时，有
n
n
D(1 2 n ) Di i 1
一般地，对n个随机变量1、
随机变量的数字特征
▪数学期望 ▪方差 ▪协方差与相关系数 ▪矩 ▪条件数学期望
§5.1 数学期望
离散型随机变量的数学期望
设随机变量的分布律为 P( xk ) pk
则当
k
xk
pk
时，称
xk pk 为随机变
k
量的数学期望或均值，记作E ，即有
E xk pk xk P( xk )
k
k
例１ 甲、乙两射手的稳定成绩分别为
并且有 Ei 0 1 p 1 p p
设 1 2 n
则 E E1 2 n
E1 E2 En
np
此外，我们可以推导出 η~B(n,p)
超几何分布
在一箱N件装的产品中混进了M件次品，今从中抽 取n 件 (n≤M) ，求从中查出次品的件数的概率分布.
解
P(
k)
C C k nk M NM CNn
p p2 p1 p
p 1 p 2 1 24
例5 设随机变量ξ服从[a，b]上的均匀分布，
求Dξ。
解：（x）
1 ba
0
a xb 其他
E 2 b x2 dx 1 (a2 ab b2 )
a ba 3
而E a b
2
D E 2 (E )2 1 (b a)2
12
例6
设随机变量ξ服从正态分布N(a，σ2)，求Dξ。
指数分布 (参数为a)
np
λ
1 p
概率论与数理统计教案-随机变量的数字特征
概率论与数理统计教案-随机变量的数字特征教案章节一：随机变量的期望值教学目标：1. 理解期望值的定义及其性质。
2. 学会计算离散随机变量的期望值。
3. 学会计算连续随机变量的期望值。
教学内容：1. 期望值的定义及性质。
2. 离散随机变量的期望值的计算方法。
3. 连续随机变量的期望值的计算方法。
教学方法：1. 采用讲授法，讲解期望值的定义及其性质。
2. 采用案例分析法，分析离散随机变量和连续随机变量的期望值的计算方法。
3. 采用练习法，让学生通过练习巩固期望值的计算方法。
教学评估：1. 课堂练习：计算给定离散随机变量和连续随机变量的期望值。
2. 课后作业：布置相关习题，巩固学生对期望值的理解和计算能力。
教案章节二：随机变量的方差教学目标：1. 理解方差的定义及其性质。
2. 学会计算离散随机变量的方差。
3. 学会计算连续随机变量的方差。
教学内容：1. 方差的定义及其性质。
2. 离散随机变量的方差的计算方法。
3. 连续随机变量的方差的计算方法。
教学方法：1. 采用讲授法，讲解方差的定义及其性质。
2. 采用案例分析法，分析离散随机变量和连续随机变量的方差的计算方法。
3. 采用练习法，让学生通过练习巩固方差的计算方法。
教学评估：1. 课堂练习：计算给定离散随机变量和连续随机变量的方差。
2. 课后作业：布置相关习题，巩固学生对方差的理解和计算能力。
教案章节三：随机变量的标准差教学目标：1. 理解标准差的定义及其性质。
2. 学会计算离散随机变量的标准差。
3. 学会计算连续随机变量的标准差。
教学内容：1. 标准差的定义及其性质。
2. 离散随机变量的标准差的计算方法。
3. 连续随机变量的标准差的计算方法。
教学方法：1. 采用讲授法，讲解标准差的定义及其性质。
2. 采用案例分析法，分析离散随机变量和连续随机变量的标准差的计算方法。
3. 采用练习法，让学生通过练习巩固标准差的计算方法。
教学评估：1. 课堂练习：计算给定离散随机变量和连续随机变量的标准差。
概率论与数理统计知识点总结
（3）一些常见排列
重复排列和非重复排列（有序）
对立事件（至少有一个）
顺序问题
（4）随机试验和随机事件
如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
乘法公式：
更一般地，对事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)>0，则有
… …… … 。
（14）独立性
①两个事件的独立性
设事件 、 满足 ，则称事件 、 是相互独立的。
若事件 、 相互独立，且 ，则有
若事件 、 相互独立，则可得到 与 、 与 、 与 也都相互独立。
必然事件 和不可能事件?与任何事件都相互独立。
设离散型随机变量 的可能取值为Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为
P(X=xk)=pk，k=1,2,…，
则称上式为离散型随机变量 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：
。
显然分布律应满足下列条件：
（1） ， ， （2） 。
（2）连续型随机变量的分布密度
设 是随机变量 的分布函数，若存在非负函数 ，对任意实数 ，有
， ，
其中 、 为常数，则称随机变量 服从参数为 、 的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为 。
具有如下性质：
1° 的图形是关于 对称的；
2°当 时， 为最大值；
若 ，则 的分布函数为
参数 、 时的正态分布称为标准正态分布，记为 ，其密度函数记为
， ，
分布函数为
。
《概率论与数理统计答案》第三章
习题参考答案与提示
第三章 随机变量的数字特征习题参考答案与提示
1．设随机变量 X 的概率分布为
X
－3 0.1
0 0.2
1 0.3
5 0.4
pk 试求 EX 。
答案与提示： EX = 2 。 2．已知随机变量 X 的分布列为
X
0 0.1
1
p
2 0.4
3 0.2
Pk
答案与提示：（1）由归一性， p = 0.3 ； （2） EX = 1.7 ； （3） DX = 0.81 3．已知随机变量 X 的分布列为
后
答
D X −Y = 1−
26．设灯管使用寿命 X 服从指数分布，已知其平均使用寿命为 3000 小时，现有
—5—
案
若一周 5 个工作日里无故障可获利 10 万元，发生一次故障仍获利 5 万元，发生二次2π网
。
ww w
3 ； 2
.k
hd a
EZ =
1 ， DZ = 3 ； 2
w. c
解：（1）由数学期望、方差的性质及相关系数的定义( ρ XY =
第三章
习题参考答案与提示
求：（1） Y = 2 X 的数学期望；（2） Y = e −2 X 的数学期望。 答案与提示：（1） EY = E 2 X = 2 ；（2） EY = Ee −2 X = 1/ 3 。
1 11．试证明事件在一次试验中发生的次数的方差不超过 。 4
答案与提示：事件在 n 次独立重复试验中发生的次数服从参数为 n ， p 的二项分 布 B ( n, p ) ，当然在一次试验中发生的次数应服从 B (1, p ) ，即为(0-1)分布。
f ( x) = 1 − x− β e 2α
概率论与数理统计第3章随机变量的数字特征2-5节精品文档
1
D(X ) 21002
1
7002 21002
1 (1)2 3
8. 9
即P(5200X9400)8. 9
2019/10/16
n
n
D( CiXi) Ci2D(Xi).
i1
i1
(4) 对于任意实数C∈R，有 （书P93. 8题）
E ( X-C )2≥D( X )
当且仅当C = E(X)时, E ( X-C )2取得最小值D(X).
2019/10/16
19
求证
E ( X-C )2≥D( X )
证： E(XC)2 E {X [E]X [E X C )]2}
证: D(C)E{C [E(X)2 ]}E{C [ C]2} 0.
(2 )若 D (X )存则 在 D (C) , X C 2D (X )C ,为； 常
证: D(CX) E{C [ X E(C)X2]}
E{C [ X C(E X)2]} E{C2[XE(X)2 ]}
C2E{X [E(X)2]}C2D(X).
复习: 数学期望
它反映随机变量取值的平均水平，是随机变量的 一个重要的数字特征.
EX xk pk, k1
X离散型
E X xf(x )d x,
X 连 续 型
EYE[g(X)]
g(xk)pk,
k1
X离散型
g(x)f(x)dx, X连续型
2019/10/16
0
E(X 2)
函数有下列结论：
(1 ) (1 ) ();
(2Γ()n1 )n!;
tx
1
2
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概率论与数理统计知识点总结(超详细版)
《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念§2．样本空间、随机事件1．事件间的关系 B A ⊂则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生B }x x x { ∈∈=⋃或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ⋃发生B }x x x { ∈∈=⋂且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ⋂发生B }x x x { ∉∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生φ=⋂B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的且S =⋃B A φ=⋂B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件2．运算规则交换律A B B A A B B A ⋂=⋂⋃=⋃结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ⋂=⋂⋃⋃=⋃⋃ 分配律 )()B (C A A C B A ⋃⋂⋃=⋂⋃）（))(()( C A B A C B A ⋂⋂=⋃⋂徳摩根律B A B A A B A ⋃=⋂⋂=⋃ B —§3．频率与概率定义在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P（3）可列可加性：设n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，有∑===nk knk kA P A P 11)()( （n 可以取∞）2．概率的一些重要性质： （i ） 0)(=φP（ii ）若n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，则有∑===nk kn k kA P A P 11)()(（n 可以取∞）（iii ）设A ，B 是两个事件若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)A ()B (P P ≥ （iv ）对于任意事件A ，1)(≤A P （v ）)(1)(A P A P -=（逆事件的概率）（vi ）对于任意事件A ，B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃§4等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同 若事件A包含k个基本事件，即}{}{}{2]1k i i i e e e A =，里个不同的数，则有中某，是，，k k n 2,1i i i ,21 ()中基本事件的总数包含的基本事件数S }{)(1j A n k e P A P kj i ===∑= §5．条件概率（1） 定义：设A,B 是两个事件，且0)(>A P ，称)()()|(A P AB P A B P =为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率（2） 条件概率符合概率定义中的三个条件1。