图论及其应用第三章答案电子科大

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电子科技大学研究生试题《图论及其应用》(参考答案)

电子科技大学研究生试题《图论及其应用》(参考答案)考试时间：120分钟一．填空题(每题3分，共18分)1．4个顶点的不同构的简单图共有__11___个；2．设无向图G 中有12条边，已知G 中3度顶点有6个，其余顶点的度数均小于3。

则G 中顶点数至少有__9___个；3．设n 阶无向图是由k(k ?2)棵树构成的森林，则图G 的边数m= _n-k____;4．下图G 是否是平面图？答__是___; 是否可1-因子分解？答__是_.5．下图G 的点色数=)(G χ______, 边色数=')(G χ__5____。

图G二．单项选择(每题3分，共21分)1．下面给出的序列中，是某简单图的度序列的是( A )(A) (11123); (B) (233445); (C) (23445); (D) (1333).2．已知图G 如图所示，则它的同构图是（ D ）3．下列图中，是欧拉图的是（ D ）4．下列图中，不是哈密尔顿图的是（B ）5．下列图中，是可平面图的图的是（B ）AC DA B CD6．下列图中，不是偶图的是（ B ）7．下列图中，存在完美匹配的图是（B ）三．作图(6分)1．画出一个有欧拉闭迹和哈密尔顿圈的图；2．画出一个有欧拉闭迹但没有哈密尔顿圈的图；3．画出一个没有欧拉闭迹但有哈密尔顿圈的图；解：四．(10分)求下图的最小生成树，并求其最小生成树的权值之和。

解：由克鲁斯克尔算法的其一最小生成树如下图：权和为：20.五．(8分)求下图G 的色多项式P k (G).解：用公式(G P k -G 的色多项式：)3)(3)()(45-++=k k k G P k 。

六．(10分) 22，n 3个顶点的度数为3，…，n k 个顶点的度数为k ，而其余顶点的度数为1，求1度顶点的个数。

解：设该树有n 1个1度顶点，树的边数为m.一方面：2m=n 1+2n 2+…+kn k另一方面：m= n 1+n 2+…+n k -1 v v 13图G由上面两式可得：n 1=n 2+2n 3+…+(k -1)n k七．证明：(8分) 设G 是具有二分类(X,Y)的偶图，证明(1)G 不含奇圈；（2）若|X |≠|Y |，则G 是非哈密尔顿图。

图论三四章习题

v G
G1的度序列为： (d1+1,d2+1,…,dn+1, n) 由条件：不存在小于(n+1)/2的正整数m,使得dm+1≦m,且 d(n+1)-m <(n+1)-m。于是由度序列判定定理知：G1是H图，得 G有H路。
G1Leabharlann 613.证明：若G不是H图，则G度弱于某个 Cm1 ,n ，且有
v m1 2
3
32. （1）证明：考虑G=Cn˅H 的最小点割V。根据联图的定义，则必有V包含Cn 或者H，否则G-V后一定连通。如果Cn ∈V，则由H是K连通的可知|V|=n+k。若H ∈V，则V中至少还需要包含Cn 中两个不相邻的顶点，也可得|V|=n+k。故G是n+k连通的。（2）在Cn 上任取相邻的两点x,y，设这两个点在Cn上的两条路分别为P1和P2。考虑宽为n+k的x-y容器，因为H仅包含n+k-2个点，经过H中的点，且独立的（x，y）路最多有n+k-2个，且每条路的长度都为2。因此在每个容器中必包含P1和P2。故dn+k(x,y)=n-1。
1. 证明方法与p. 47 定理3类似
3. 设无环图G是阶数大于2的连通图，则下列命题等价（1）G是块，即G是2-连通的；（2）G的任意两个顶点在某个圈上；（3）G的任一个顶点和任一条边在某个圈上；（4）G的任意两边在某个圈上；（5）G的任意两个顶点u，v及任一边e，总存在连接u，v 且过e的路；（6）G的任意三个顶点，总存在连接其中任意两个顶点，并且通过第三个顶点的路（7）G的任意三个顶点，总存在连接其中任意两个顶点，并且不过第三个顶点的路证明：1 2 2：p.48 定理4 3：令u是任一顶点，vw是任一边，由（2），存在

电子科技大学图论作业

图论作业3一、填空题1. 完全图K2n共有个不同的完美匹配。

2. 超方体Q6的最小覆盖包含的点数为。

3. 图K m,n (m≤n)的最小覆盖包含的点数为。

4. 完全图K60能分解为个边不重的一因子之并。

5. 完全图K61能分解为个边不重的二因子之并。

6. 假设G是具有n个点、m条边、k个连通分支的无圈图，则G的荫度为。

7. 图G是由3个连通分支K1, K2, K4组成的平面图，则其共有个面。

8. 设图G与K5同胚，则至少从G中删掉条边才可能使其成为可平面图。

9. 设连通平面图G具有5个顶点，9条边，则其面数为。

10. 若图G是10阶极大平面图，则其面数等于。

11. 若图G是10阶极大外平面图，其内部面共有个。

二、不定项选择题1. 关于非平凡树T，下面说法错误的是( )(A) T至少包含一个完美匹配；(B) T至多包含一个完美匹配；(C) T的荫度大于1；(D) T是只有一个面的平面图；(E) T的对偶图是简单图。

2. 下列说法正确的是( )(A) 三正则的偶图存在完美匹配；(B) 无割边的三正则图一定存在完美匹配；(C) 有割边的三正则图一定没有完美匹配；(D) 有完美匹配的三正则图一定没有割边；(E) 三正则哈密尔顿图存在完美匹配。

3. 下列说法正确的是( )(A) 在偶图中，最大匹配包含的边数等于最小覆盖包含的点数；(B) 任一非平凡正则偶图包含完美匹配；(C) 任一非平凡正则偶图可以1-因子分解；(D) 偶度正则偶图可以2-因子分解；(E) 非平凡偶图的最大匹配是唯一的。

4. 下列说法中错误的是( )(A) 完全图K101包含1-因子；(B) 完全图K101包含2-因子；(C) 完全图K102包含1-因子；(D) 完全图K102包含2-因子；(E) 图G的一个完美匹配实际上就是它的一个1因子；(F) 图G的一个2-因子实际上就是它的一个哈密尔顿圈。

5. 下列说法正确的是( )(A) 方体Q n可以1-因子分解；(B) 非平凡树可以1-因子分解；(C) 无割边的3正则图可以1-因子分解；(D) 有割边的3正则图一定不可以1-因子分解；(E) 可1-因子分解的3正则图一定是哈密尔顿图。

图论及其应用第三章答案(电子科大)

习题三：● 证明：是连通图G 的割边当且仅当V(G)可划分为两个子集V1和V2，使对任意及 , G 中的路，必含 .证明：充分性: 是的割边，故至少含有两个连通分支，设是其中一个连通分支的顶点集，是其余分支的顶点集，对12,u V v V ∀∈∀∈，因为中的不连通，而在中与连通，所以在每一条路上，中的必含。

必要性：取12,u V v V ∈∈，由假设中所有路均含有边，从而在中不存在从与到的路，这表明不连通，所以e 是割边。

● 3.设G 是阶大于2的连通图，证明下列命题等价： 1 G 是块2 G 无环且任意一个点和任意一条边都位于同一个圈上；3 G 无环且任意三个不同点都位于同一条路上。

：是块，任取的一点，一边，在边插入一点，使得成为两条边，由此得到新图，显然的是阶数大于3的块，由定理，中的u,v 位于同一个圈上，于是中u 与边都位于同一个圈上。

：无环，且任意一点和任意一条边都位于同一个圈上，任取的点u ，边e ，若在上，则三个不同点位于同一个闭路，即位于同一条路，如不在上，由定理，的两点在同一个闭路上，在边插入一个点v ，由此得到新图，显然的是阶数大于3的块，则两条边的三个不同点在同一条路上。

：连通，若不是块，则中存在着割点，划分为不同的子集块 , , , 无环，12,x v y v ∈∈，点在每一条的路上，则与已知矛盾，是块。

● 7.证明：若v 是简单图G 的一个割点，则v 不是补图的割点。

证明：是单图的割点，则有两个连通分支。

现任取 , 如果不在的同一分支中，令是与处于不同分支的点，那么，与在的补图中连通。

若在的同一分支中，则它们在的补图中邻接。

所以，若是的割点，则不是补图的割点。

● 12.对图3——20给出的图G1和G2，求其连通度和边连通度，给出相应的最小点割和最小边割。

图论及其应用习题答案

图论及其应用习题答案图论及其应用习题答案图论是数学的一个分支，研究的是图的性质和图之间的关系。

图是由节点和边组成的，节点表示对象，边表示对象之间的关系。

图论在计算机科学、电子工程、物理学等领域有着广泛的应用。

下面是一些图论习题的解答，希望对读者有所帮助。

1. 问题：给定一个无向图G，求图中的最大连通子图的节点数。

解答：最大连通子图的节点数等于图中的连通分量个数。

连通分量是指在图中，任意两个节点之间存在路径相连。

我们可以使用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）来遍历图，统计连通分量的个数。

2. 问题：给定一个有向图G，判断是否存在从节点A到节点B的路径。

解答：我们可以使用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）来遍历图，查找从节点A到节点B的路径。

如果能够找到一条路径，则存在从节点A到节点B的路径；否则，不存在。

3. 问题：给定一个有向图G，判断是否存在环。

解答：我们可以使用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）来遍历图，同时记录遍历过程中的访问状态。

如果在搜索过程中遇到已经访问过的节点，则存在环；否则，不存在。

4. 问题：给定一个加权无向图G，求图中的最小生成树。

解答：最小生成树是指在无向图中，选择一部分边，使得这些边连接了图中的所有节点，并且总权重最小。

我们可以使用Prim算法或Kruskal算法来求解最小生成树。

5. 问题：给定一个有向图G，求图中的拓扑排序。

解答：拓扑排序是指将有向图中的节点线性排序，使得对于任意一条有向边(u, v)，节点u在排序中出现在节点v之前。

我们可以使用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）来遍历图，同时记录节点的访问顺序，得到拓扑排序。

6. 问题：给定一个加权有向图G和两个节点A、B，求从节点A到节点B的最短路径。

解答：我们可以使用Dijkstra算法或Bellman-Ford算法来求解从节点A到节点B的最短路径。

这些算法会根据边的权重来计算最短路径。

电子科大应用随机过程及应用 (陈良均朱庆棠)第三章作业

(ii) 分解对于参数为λ 对于参数为λ的Poisson过程，过程，假设发生的每一个事件独立的以概率做了记录，独立的以概率做了记录，未做记录的概率为1-p。令 N1(t)是到t为止做了记录的事件数，为止做了记录的事件数，而N2(t)是未做记录的事件数，的事件数，则{N1(t)；t ≥0}和 {N2(t)；t ≥0}分别是具有参数pλ 和(1-p)λ的独立Poisson过程。过程。
相互独立。相互独立。而且
P ( N (t ) = k ) = ∑ P ( N 1 (t ) = j, N 2 (t ) = k − j ) = ∑ P ( N 1 (t ) = j )P ( N 2 (t ) = k − j )
j=0 j=0 j k− j k k
(λ t ) (λ t ) = ∑ 1 e − λ1 t 2 e −λ2t j! ( k − j )! j=0
[
]
( )
( )
(
)
ρ=
(
)(
)
一维概率密度函数
一维特征函数二维概率函数 f (s , t , x , y ) = −
[X − m (t )]2 t ∈ T 1 exp − 2 D (t ) 2 λ D (t ) x∈ R t∈T ϕ (t , u ) = exp im (t )u − 1 D (t )u 2 2 x∈ R f (t , x ) =
i i i =1
n
X (t )为正态分布 m X (t ) = E [X (t )] = E [ξ t + W (t )] = E (t )E (ξ ) + E [W (t )] = 0
(t > s ) E [X 2 (t )] = E [ξ 2 t 2 + W (t )W (s ) + W (t )ξ s + W (s )ξ t ] = ts + s σ 2 D (t ) = t 2 + t 2σ 2 D (s ) = s 2 + s 2 σ 2 C (s , t ) = C (t , s ) = R (t , s ) = ts + s σ 2

图论及其应用第一章答案(电子科大版)

习题一(yangchun)：4.证明下面两图同构。

证明:作映射f : v i ↔ u i (i=1,2….10)容易证明，对∀v i v j ∈E ((a)),有f (v i v j,),=,u i,u j,∈,E,((b)) (1≤ i ≤ 10, 1≤j ≤ 10 ) 由图的同构定义知，图(a)与(b)是同构的。

5.证明：四个顶点的非同构简单图有11个。

证明：设四个顶点中边的个数为m ，则有： m=0:m=1 ：m=2：m=3：m=4：(a)v 234(b)m=5：m=6：因为四个顶点的简单图最多就是具有6条边，上面所列出的情形是在不同边的条件下的不同构的情形，则从上面穷举出的情况可以看出四个顶点的非同构简单图有11个。

11.证明：序列（7,6,5,4,3,3,2）和（6,6,5,4,3,3,1）不是图序列。

证明：由于7个顶点的简单图的最大度不会超过6，因此序列（7,6,5,4,3,3,2）不是图序列；（6,6,5,4,3,3,1）是图序列1112312(1,1,,1,,,)d d n d d d d d π++=--- 是图序列（5,4,3,2,2,0）是图序列，然而（5,4,3,2,2,0）不是图序列，所以（6,6,5,4,3,3,1）不是图序列。

●12.证明：若，则包含圈。

证明：下面仅对连通图的下的条件下进行证明，不连通的情形可以通过分成若干个连通的情形来证明。

设,对于中的路若与邻接，则构成一个闭路。

若是一条路，由于，因此，对于，存在与之邻接，则构成一个圈。

●17.证明：若G 不连通，则连通。

证明：对于任意的,若与属于G 的连通分支，显然与在中连通；若与属于的同一连通分支，则与分别在中连通，因此，与在中连通。

18.证明：若,则.证明：若为的割边，则=，若为的非割边，则=，所以，若，则有.。

图论第三章答案

14. 12枚外观相同的硬币，其中有一枚比其他的或轻或重.使用决策树描述一个算法，使得只用一个天平且最多进行三次比较就可以确定出坏币并且判断出它是轻是重..
解：如下图：
补充：如果连通加权图 G的权值互不相同，则 G有唯一一棵最小生成树 .
证：反证法，设G有T1 , T2 两棵最小生成树，则 T1 , T2的权之和相等, 且存在边e1 , e2 权值不同. 此时e1 T1但e2 T2，e2 T2 但e1 T1 , 令T3 T1 e1 e2，T4 T2 e2 e1，则T3和T4亦是生成树. 由e1，e2的权不同可知：T3或T4中必有一个是权比 T1 ( T2 )小的树，得矛盾 .
11. 根据图回答下列问题 . (a.)对下列每个二进制序列进行解码. (1)100111101 (2)10001011001(3)10000110110001(4)0001100010110000 (b.)对下列单词进行解码 . (1)den(2)need (3)leaden(4) penned
8. 明下列各题： 1.)若完全二叉树T有m个内点和k个叶子点，则m k 1. 2.)完全二叉树T的边数e，满足e 2(k 1).其中，k为叶子点数.
证： (1.)因为有m个内点的完全二叉树有 2m 1个顶点，所以由顶点关系得： 2m 1 m k , 则m k 1. (2.)因为树T的边数(e) 顶点数(2m 1) 1, 所以e 2m 2(k 1).
3. 设无向图 G中有n个顶点 m条边，且 m n, 则G中必有圈.
设G有连通分支 T1 , T2 , , Tk (k 1) , 若G中无圈，则 Ti (1 i k ) 也无圈，所以 Ti 是树 .

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习题三：
● 证明：e 是连通图G 的割边当且仅当V(G)可划分为两个子集V1和V2，使对任意u ∈V 1及v ∈V 2, G 中的路（u ，v ）必含e .
证明：充分性: e 是G 的割边，故G −e 至少含有两个连通分支，设V 1是其中一个连通分支的顶点集，V 2是其余分支的顶点集，对12,u V v V ∀∈∀∈，因为G 中的u,v 不连通，而在G 中u 与v 连
通，所以e 在每一条(u,v)路上，G 中的(u,v)必含e 。

必要性：取12,u V v V ∈∈，由假设G 中所有(u,v)路均含有边e ，从而在G −e 中不存在从u 与到v 的
路，这表明G 不连通，所以e 是割边。

● 3.设G 是阶大于2的连通图，证明下列命题等价：
（1） G 是块
（2） G 无环且任意一个点和任意一条边都位于同一个圈上；
（3） G 无环且任意三个不同点都位于同一条路上。

（1）→（2）：
G 是块，任取G 的一点u ，一边e ，在e 边插入一点v ，使得e 成为两条边，由此得到新图G 1，显然G 1的是阶数大于3的块，由定理，G 中的u,v 位于同一个圈上，于是G 1中u 与边e 都位于同一个圈上。

（2）→（3）：
G 无环，且任意一点和任意一条边都位于同一个圈上，任取G 的点u ，边e ，若u 在e 上，则三个不同点位于同一个闭路，即位于同一条路，如u 不在e 上，由定理，e 的两点在同一个闭路上，在e 边插入一个点v ，由此得到新图G 1，显然G 1的是阶数大于3的块，则两条边的三个不同点在同一条路上。

（3）→（1）：
G 连通，若G 不是块，则G 中存在着割点u ，划分为不同的子集块V 1, V 2, V 1, V 2无环，
12,x v y v ∈∈，点u 在每一条(x,y)的路上，则与已知矛盾，G 是块。

●
7.证明：若v 是简单图G 的一个割点，则v 不是补图G
̅的割点。

证明：v 是单图G 的割点，则G −v 有两个连通分支。

现任取x,y ∈V(G −v), 如果x,y 不在G −v 的同一分支中，令u 是与x,y 处于不同分支的点，那么，x,与y 在G −v 的补图中连通。

若x,y 在G −v 的同一分支中，则它们在G −v 的补图中邻接。

所以，若v 是G 的割点，则v 不是补图的割点。