答案(电子科大版)图论及其应用第一章
4. 证明下面两图同构。
v1
u1
v2
v6v10 v5v7 Nhomakorabeav8 v9
v3
v4 (a)
u6 u5
u2
u8
u10
u3
u7
u9
u4
(b)
证明:作映射 f : vi ↔ ui (i=1,2….10)
容易证明，对vi v j E ((a)),有 f (v i vj,),,ui,uj,,E,((b))
1j 10 ) 由图的同构定义知，图(a)与(b)是同构的。
5.证明：四个顶点的非同构简单图有 11 个。
证明：设四个顶点中边的个数为 m，则有：
m=0:
(1 i 10,
m=1 ：
m=2：
m=3： m=4：
m=5： m=6：
因为四个顶点的简单图最多就是具有 6 条边，上面所列出的情形是在不同边的条
件下的不同构的情形，则从上面穷举出的情况可以看出四个顶点的非同构简单图
此，对于 ，存在 与之邻接，则
构成一个圈。
证明：对于任意的
17.证明：若 G 不连通，则 连通。 ,若 与 属于 G 的连通分支，显然 与 在 中连通；
若 与 属于 的同一连通分支，则 与 分别在 中连通，因此， 与 在 中连通。
18. 证 明 ： 若
,则
.
证明：若 为 的割边，则
=
= ，所以，若
，则有
，若 为 的非割边，则 .
有 11 个。
11.证明：序列（7,6,5,4,3,3,2）和（6,6,5,4,3,3,1）
不是图序列。
证明：由于 7 个顶点的简单图的最大度不会超过 6，因此序列（7,6,5,4,3,3,2）不
是图序列；
（6,6,5,4,3,3,1）是图序列
1 (d2 1, d3 1, , dd11 1, dd12 , , dn ) 是图序列
（5,4,3,2,2,0）是图序列，然而（5,4,3,2,2,0）不是图序列，所以（6,6,5,4,3,3,1） 不是图序列。
12.证明：若 ，则 包含圈。
证明：下面仅对连通图的下的条件下进行证明，不连通的情形可以通过分成若干
个连通的情形来证明。设
,对于 中的路
若 与 邻接，则构成一个闭路。若
是一条路，由于 ，因
电子科技大学研究生试题《图论及其应用》(参考答案)
电子科技大学研究生试题《图论及其应用》(参考答案)考试时间：120分钟一．填空题(每题3分，共18分)1．4个顶点的不同构的简单图共有__11___个；2．设无向图G 中有12条边，已知G 中3度顶点有6个，其余顶点的度数均小于3。
则G 中顶点数至少有__9___个；3．设n 阶无向图是由k(k ?2)棵树构成的森林，则图G 的边数m= _n-k____;4．下图G 是否是平面图？答__是___; 是否可1-因子分解？答__是_.5．下图G 的点色数=)(G χ______, 边色数=')(G χ__5____。
图G二．单项选择(每题3分，共21分)1．下面给出的序列中，是某简单图的度序列的是( A )(A) (11123); (B) (233445); (C) (23445); (D) (1333).2．已知图G 如图所示，则它的同构图是（ D ）3． 下列图中，是欧拉图的是（ D ）4． 下列图中，不是哈密尔顿图的是（B ）5． 下列图中，是可平面图的图的是（B ）AC DA B CD6．下列图中，不是偶图的是（ B ）7．下列图中，存在完美匹配的图是（B ）三．作图(6分)1．画出一个有欧拉闭迹和哈密尔顿圈的图；2．画出一个有欧拉闭迹但没有哈密尔顿圈的图；3．画出一个没有欧拉闭迹但有哈密尔顿圈的图；解： 四．(10分)求下图的最小生成树，并求其最小生成树的权值之和。
解：由克鲁斯克尔算法的其一最小生成树如下图：权和为：20.五．(8分)求下图G 的色多项式P k (G).解：用公式(G P k -G 的色多项式：)3)(3)()(45-++=k k k G P k 。
六．(10分) 22，n 3个顶点的度数为3，…，n k 个顶点的度数为k ，而其余顶点的度数为1，求1度顶点的个数。
解：设该树有n 1个1度顶点，树的边数为m.一方面：2m=n 1+2n 2+…+kn k另一方面：m= n 1+n 2+…+n k -1 v v 13图G由上面两式可得：n 1=n 2+2n 3+…+(k -1)n k七．证明：(8分) 设G 是具有二分类(X,Y)的偶图，证明(1)G 不含奇圈；（2）若|X |≠|Y |，则G 是非哈密尔顿图。
图论（张先迪-李正良）课后习题答案（第一章）
图论（张先迪-李正良）课后习题答案（第⼀章）习题⼀作者---寒江独钓1.证明：在n 阶连通图中(1) ⾄少有n-1条边；(2) 如果边数⼤于n-1，则⾄少有⼀条闭迹；(3) 如果恰有n-1条边，则⾄少有⼀个奇度点。
证明: (1) 若G 中没有1度顶点，由握⼿定理：()2()21v V G m d v n m n m n ∈=≥?≥?>-∑若G 中有1度顶点u ，对G 的顶点数作数学归纳。
当n=2时，结论显然；设结论对n=k 时成⽴。
当n=k+1时，考虑G-u,它仍然为连通图，所以，边数≥k-1.于是G 的边数≥k.(2) 考虑G 中途径：121:n n W v v v v -→→→→L若W 是路，则长为n-1;但由于G 的边数⼤于n-1,因此，存在v i 与v j ,它们相异，但邻接。
于是：1i i j i v v v v +→→→→L 为G 中⼀闭途径，于是也就存在闭迹。
(3) 若不然，G 中顶点度数⾄少为2，于是由握⼿定理：()2()21v V G m d v n m n m n ∈=≥?≥?>-∑这与G 中恰有n-1条边⽭盾！ 2.(1)2n ?12n 2?12n ?1 (2)2n?2?1(3) 2n?2。
证明:u 1的两个邻接点与v 1的两个邻接点状况不同。
所以，两图不同构。
4.证明下⾯两图同构。
u 1 v 1证明:作映射f : v i ? u i (i=1,2….10)容易证明，对?v i v j ∈E ((a)),有f (v i v j,),=,u i,u j,∈,E,((b)) (1≤ i ≤ 10, 1≤j ≤ 10 )由图的同构定义知，图(a)与(b)是同构的。
5.指出4个顶点的⾮同构的所有简单图。
分析：四个顶点的简单图最少边数为0，最多边数为6，所以可按边数进⾏枚举。
(a)v 2 v 3u 4u(b)6.证明:1)充分性:当G 是完全图时，每个顶点的度数都是n ?1,共有n 个顶点，总的度数为n(n ?1)，因此总的边数是n(n?1)2=(n 2). 2)必要性:因为G 是简单图,所以当G 是完全图的时候每个顶点的度数才达到最⼤:n ?1.若G 不是完全图，则⾄少有⼀个顶点的度数⼩于n ?1,这样的话，总的度数就要⼩于n (n ?1)，因此总的边数⼩于(n 2)，⽭盾。
电子科技大学研究生图论总结
第一章：图论基本概念 1.定义平凡图/非平凡图 简单图/复合图 空图 n 阶图 连通图/非连通图完全图n K12n n n m K偶图,m n K 完全偶图,m n m K mn K 正则图图和补图，自补图 自补图判定方法 定点的度 d v 最小度 最大度 握手定理2d v m图的度序列与图序列，图序列判定方法（注意为简单图） 图的频序列 2.图运算删点/删边 图并/图交/图差/图对称差 图联 积图/合成图111122,u adjv u v u adjv 或 超立方体 3.连通性 途径 迹 路图G 不连通，其补图连通一个图是偶图当且仅当它不包含奇圈 4.最短路算法（b t A T ） 5.矩阵描述邻接矩阵及其性质，图的特征多项式 关联矩阵 6.极图？？L 补图 完全L 部图 完全L 几乎等部图 托兰定理第二章：树 1.定义树：连通的无圈图 森林 树的中心和树的形心？入<=sqrt(2m(n-1)/n)生成树 根树 出度 入度 树根 树叶 分支点 m 元根树 完全m 元根树 2.性质每棵非平凡树至少有两片树叶图G 是树当且仅当G 中任意两点都被唯一的路连接T 是(n,m)树，则m = n – 1 具有k 个分支的森林有n-k 条边每个n 阶连通图边数至少为n-1（树是连通图中边的下界） 每个连通图至少包含一棵生成树 3.计算 生成树计数 递推计数法： G G e G e关联矩阵计数法：去一点后，每个非奇异阵对应一棵生成树最小生成树（边赋权）避圈法 破圈法完全m 元树： 11m i t第三章：图的连通性1. 割边、割点和块（性质使用反证法） 割边： w G e w G边e 为割边当且仅当e 不在任何圈中割点： w G v w Gv 是无环连通图G 的一个顶点，v 是G 的割点当且仅当V(G-e)可以被划分为两个子集，v 在两个子集内点互连的路上 块：没有割点的连通子图 G 顶点数>=3，G 是块当且仅当G 无环且任意两顶点位于同一圈上v 是割点当且仅当v 至少属于G 的两个不同的块2. 连通度点割 k 顶点割 最小点割（最少用几个点把图割成两份） G 的连通度 G连通图没顶点割时连通度 1G n ，非连通图 0G边割 k 边割 最小边割（最少用几条边把图割成两份） G 的边连通度 G递推到无圈，自环不算圈性质： 任意图G 有 G G GG 是(n,m)连通图， 2m G nG 是(n,m)单图，若 2n G，则G 必定连通 G 是(n,m)单图，对应k n ，若 22n k G，则G 是k 连通G 是(n,m)单图，若 2n G，则 G G敏格尔定理： G 中分离不相邻x,y 的最小点数等于独立的x,y 路最大数目G 中分离x,y 的最小边数等于边不重x,y 路最大数目第四章 E 图与H 图 一、 E 图（走完所有边） 1. 定义，性质与判定E 图（欧拉环游）与E 迹，走完所有边回到出发点与不回到出发点E 图性质与判定：E 图 G 的顶点度数为偶数度 G 的边集合能划分为圈 E 迹性质与判定：E 迹 G 中只有两个顶点度为奇数 2. 求解路径算法 找欧拉环游：都是偶数度点：Fleury 算法（避割边行走）两奇数点欧拉环游：奇数点补充最短路后得到欧拉环游多奇数点欧拉环游：补充偶数度并不断交换 （中国邮路问题算法） 二、 H 图（走完所有点） 1. 定义与性质H 图（H 圈）与H 路：走完所有点回到出发点与不回到出发点 G 图是H 图 w G S S 2. H 图判定3n 的单图G ，如果 2nGG 是H 图3n 的单图G ，任意不相邻u,v 有 d u d v n G 是H 图图G 的闭包是H 图 G 是H 图 度序列判定法：123n d d d d ，3n ，若对任意的2nm，有m d m 或n m d n m ，则G 是H 图123n d d d d ，3n ，若对任意的2nm，有m d m 且n m d n m ，则G 是非H 图 2. 极大非哈密尔顿图定义：如果图G 的度大于等于其他非H 图，则称G 为极大非H 图（非H 图的度上限）,m n C 图： ,2m n m m n m C K K K,m n C 图是非H 图G 是非H 图 G 度弱于某个,m n C 图（证） N 阶单图G 度优于所有,m n C 图 G 为H 图 彼得森图是超H 图4. TSP 问题（边赋权近似最优H 圈求解）最优H 图下界：去点求最小生成树，选最小关联边12e e ， 11w T w e w e第五章 图的匹配与因子分解 1.边匹配定义： 匹配 饱和点/非饱和点 最大匹配/完美匹配 M 交错路/M 可扩路 贝尔热定理：G 的匹配M 是最大匹配，当且仅当G 不包含M 可扩路（反证） 2.偶图匹配Hall 定理（偶图匹配存在性定理，完美匹配）： N S S 推论：k 正则偶图G 存在完美匹配（证） 匹配算法： 匈牙利算法最优匹配算法3.点覆盖边匹配数等于点覆盖数时匹配为最大匹配覆盖为最小覆盖 哥尼定理：偶图中最大匹配边数等于最小覆盖点数（用） 4.托特定理一般图G 有完美匹配当且仅当 G S S推论：没有割边的3正则图存在完美匹配（充分条件）（证） 5.因子分解因子分解，n 度正则因子 一因子分解：2n K 可一因子分解具有H 圈的三正则图可一因子分解 若三正则图有割边，则它不能一因子分解 二因子分解： G 的一个H 圈肯定是一个二因子，但二因子不一定是H 圈（二因子可以不连通）21n K 可2因子分解2n K 可分解为一个1因子和n-1个2因子之和。
图论及其应用 第一章答案
)2214(题后两个算法不作要求题，除第图的基本概念<1.>若G 是简单图，证明：()()2V G E G ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭。
证明：()()1()()()1v Gd v V G d v V G V G ∈≤-∴≤-∑（当且仅当G 是完全图时取等号） 又11()()()()122v G E G d v V G V G ∈=≤-∑ ()()2V G E G ⎛⎫∴≤ ⎪⎝⎭。
<2.>设G 是(,)p q 简单图，且12p q -⎛⎫>⎪⎝⎭。
求证G 为连通图。
证明：反证法，假设G 为非连通图。
设G 有两个连通分支1G 和2G ，且112212()1,()1,V G p V G p p p p =≥=≥+= 则1212()()22p p E G E G q ⎛⎫⎛⎫+=≤+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭而1211221(1)(1)(1)(2)222222p p p p p p p p p -⎛⎫⎛⎫⎛⎫----+-=+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222221212121222()2()222p p p p p p p p p p +-+-+-+++-==12(1)(1)0p p =--≤（因为121,1p p ≥≥），矛盾。
<3.>超图H 是有序二元组((),())V H E H ，其中()V H 是顶点非空有限集合，()E H 是()V H 的非空子集簇，且()()i i E E H E V H ∈=。
其中，()E H 中的元素i E 称为超图的边，没有相同边的超图称为简单超图。
证明：若H 是简单超图，则21υε≤-，其中,υε分别是H 的顶点数和边数。
证明：()V H υ=，有一条边的子集个数为1υ⎛⎫ ⎪⎝⎭，有i 条边的子集个数为,1,,.i n i υ⎛⎫= ⎪⎝⎭又02,211i i υυυυυυυ=⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∴++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ 。
<4.>若G 是二部图，则2()()4V G E G ≤。
图论参考答案
图论参考答案图论参考答案图论作为一门数学分支，研究的是图的性质与关系。
图由节点（顶点）和连接节点的边组成，它可以用来解决许多实际问题，如网络规划、社交网络分析等。
本文将从图的基本概念、图的表示方法、图的遍历算法以及图的应用等方面进行探讨。
一、图的基本概念图由节点和边构成，节点表示对象，边表示节点之间的关系。
图可以分为有向图和无向图两种类型。
在有向图中，边有方向，表示从一个节点到另一个节点的箭头；而在无向图中，边没有方向，表示节点之间的双向关系。
图中的节点可以用来表示不同的实体，如人、地点、物品等。
而边则表示节点之间的关系，可以是实体之间的联系、交互或者依赖关系等。
图的度是指与节点相连的边的数量。
在无向图中，节点的度等于与之相连的边的数量；而在有向图中，节点的度分为入度和出度，入度表示指向该节点的边的数量，出度表示从该节点出发的边的数量。
二、图的表示方法图可以使用邻接矩阵和邻接表两种方式进行表示。
邻接矩阵是一个二维数组，其中的元素表示节点之间的关系。
如果节点i和节点j之间有边相连，则邻接矩阵中的第i行第j列的元素为1；否则为0。
邻接矩阵的优点是可以快速判断两个节点之间是否有边相连，但是对于稀疏图来说，会浪费大量的空间。
邻接表是一种链表的形式，其中每个节点都有一个指针指向与之相连的节点。
邻接表的优点是可以有效地节省空间，适用于稀疏图。
但是在判断两个节点之间是否有边相连时，需要遍历链表，效率较低。
三、图的遍历算法图的遍历算法是指以某个节点为起点，按照一定的规则依次访问图中的所有节点。
深度优先搜索（DFS）是一种常用的图遍历算法。
它的思想是从起始节点开始，沿着一条路径一直访问到最后一个节点，然后回溯到上一个节点，继续访问其他路径。
DFS可以用递归或者栈来实现。
广度优先搜索（BFS）是另一种常用的图遍历算法。
它的思想是从起始节点开始，先访问所有与起始节点直接相连的节点，然后再依次访问与这些节点相连的节点。
图论及其应用1-3章习题答案(电子科大) (1)
学号：201321010808 姓名：马涛习题14．证明图1-28中的两图是同构的证明 将图1-28的两图顶点标号为如下的(a)与(b)图作映射f : f(v i )→u i (1≤ i ≤ 10)容易证明，对∀v i v j ∈E((a)),有f(v i v j )=u i u j ∈E((b)) (1≤ i ≤ 10, 1≤j ≤ 10 ) 由图的同构定义知，图1-27的两个图是同构的。
6．设G 是具有m 条边的n 阶简单图。
证明：m =⎪⎪⎭⎫⎝⎛2n 当且仅当G 是完全图。
证明 必要性 若G 为非完全图，则∃ v ∈V(G),有d(v)< n-1 ⇒ ∑ d(v) < n(n-1) ⇒ 2m <n(n-1)⇒ m < n(n-1)/2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛2n , 与已知矛盾！充分性 若G 为完全图，则 2m=∑ d(v) =n(n-1) ⇒ m= ⎪⎪⎭⎫⎝⎛2n 。
9.证明：若k 正则偶图具有二分类V = V 1∪V 2，则 | V 1| = |V 2|。
(a)v 1v 2 v 3 v 4v 5 v 6v 7v 8 v 9v 10 u 1 u 2u 3u 4u 5 u 6 u 7 u 8 u 9 u 10 (b)证明 由于G 为k 正则偶图，所以，k | V 1 | =m = k | V 2 | ⇒ ∣V 1∣= ∣V 2 ∣。
12.证明：若δ≥2，则G 包含圈。
证明 只就连通图证明即可。
设V(G)=｛v 1,v 2,…,v n ｝,对于G 中的路v 1v 2…v k ,若v k 与v 1邻接，则构成一个圈。
若v i1v i2…v in 是一条路，由于δ≥ 2，因此，对v in ，存在点v ik 与之邻接，则v ik ⋯v in v ik 构成一个圈 。
17.证明：若G 不连通，则G 连通。
证明 对)(,_G V v u ∈∀,若u 与v 属于G 的不同连通分支，显然u 与v 在_G 中连通；若u 与v 属于g 的同一连通分支，设w 为G 的另一个连通分支中的一个顶点，则u 与w ，v 与w 分别在_G 中连通，因此，u 与v 在_G 中连通。
[工学]电子科大研究生图论课件——第1_2章基本概念_树讲课讲稿
例 证明下面两图同构。
v1
v2
v6
v10 v5
v7
v8 v9
v3
v4 (a)
u1
u6 u5
u2
u8
u10
u3
u7
u9
u4
(b)
证明 作映射 f : vi ↔ ui (i=1,2….10)，易知该映射为双射。
完全偶图：是指具有二分类（X, Y）的简单偶 图，其中 X的每个顶点与 Y 的每个顶点相连， 若 |X|=m，|Y|=n，则这样的偶图记为 Km,n
例
G1
G2
K1,3
四个图均为偶图;
K 3,3
K1,3 , K3,3为完全偶图
例
偶图
不是偶图
简单图G 的补图: 设 G =（V, E），则图 H =（V，E1\E） 称为G 的补图，记为 H G , 其中集合
度序列: 一个图G的各个点的度d1, d2,…, dn构成的非负整数 组 (d1, d2,…, dn)称为G的度序列 。它是刻画图的特 征的重要“拓扑不变量”。
正整数k的划分: 是指将k表示为若干正整数的和,或指一 个无序正整数组，组中正整数的和是k。
图划分: 正整数k的一个划分(d1, d2,…, dn)能成为某简 单图的度序列的k的划分.
图论作为一个数学分支，有一套完整 的体系和广泛的内容，在这里我们 只准备介绍图论的初步知识，其目 的是今后在其它有关学科的学习和 研究时，可以用图论的基本知识作 为工具。
第一章 图的基本概念
§1.1 图和简单图
一．图的定义
定义1 一个图 G 定义为一个有序对(V, E)，记为G = (V, E)， 其中
电子科技大学研究生试题《图论及其应用》(参考答案)
电子科技大学研究生试题《图论及其应用》(参考答案)考试时间：120分钟一．填空题(每题3分，共18分)1．4个顶点的不同构的简单图共有__11___个；2．设无向图G 中有12条边，已知G 中3度顶点有6个，其余顶点的度数均小于3。
则G 中顶点数至少有__9___个；3．设n 阶无向图是由k(k ≥2)棵树构成的森林，则图G 的边数m= _n-k____;4．下图G 是否是平面图？答__是___; 是否可1-因子分解？答__是_.5．下图G 的点色数=)(G χ______, 边色数=')(G χ__5____。
图G图G二．单项选择(每题3分，共21分)1．下面给出的序列中，是某简单图的度序列的是( A )(A) (11123); (B) (233445); (C) (23445); (D) (1333).2．已知图G 如图所示，则它的同构图是（ D ）3． 下列图中，是欧拉图的是（ D ）4． 下列图中，不是哈密尔顿图的是（B ）5． 下列图中，是可平面图的图的是（B ）A Bb c123A B 3CDAD6．下列图中，不是偶图的是（ B ）7．下列图中，存在完美匹配的图是（B ）三．作图(6分)1．画出一个有欧拉闭迹和哈密尔顿圈的图；2．画出一个有欧拉闭迹但没有哈密尔顿圈的图；3．画出一个没有欧拉闭迹但有哈密尔顿圈的图；解：四．(10分)求下图的最小生成树，并求其最小生成树的权值之和。
A B DC123A B DC解：由克鲁斯克尔算法的其一最小生成树如下图：权和为：20.五．(8分)求下图G 的色多项式P k(G).解：用公式)()()(e G P G P e G P k k k •+=-，可得G 的色多项式：)3)(2()1()()(3)()(2345---=++=k k k k k k k G P k 。
六．(10分) 一棵树有n 2个顶点的度数为2，n 3个顶点的度数为3，…，n k 个顶点的度数为k ，而其余顶点的度数为1，求1度顶点的个数。
电子科技大学《图论及其应用》-08年研究生试卷
电子科技大学研究生试卷一．填空题(每题2分，共20分)1．若n 阶单图G 的最大度是∆，则其补图的最小度()G δ=_n −1−∆_； 2．若图111(,)G n m =，222(,)G n m =，则它们的联图12G G G =∨的顶点数=_nn 1+nn 2;边数=mm 1+mm 2+nn 1nn 2；3．G 是一个完全l 部图，i n 是第i 部的的顶点数i=1，2,3,…,l 。
则它的边数为∑nn ii nn jj 1≤ii≤j≤l ；4．下边赋权图中，最小生成树的权值之和为5. 若n G K =,则G 的谱()spec G =�−1n −1n −116. 5个顶点的不同构的树的棵数为__4___;7. 5阶度极大非哈密尔顿图族是CC 1,5,CC 2,5;8. G 为具有二分类(X,Y)的偶图，则G 包含饱和X 的每个顶点的匹配的充分必要条件是|N (S )|≥|S |，对所有S ⊆X 成立9.3阶以上的极大平面图每个面的次数为 3 ;3阶以上的极大外平面图的每 个内部面的次数为__3__;10. n 方体的点色数为___2___;边色数为___n ___。
二．单项选择(每题3分，共12分)1．下面给出的序列中，不是某图的度序列的是( B ) (A) (33323); (B) (12222); (C) (5533); (D) (1333).2．设V(G)={}1,2,3,4,5，{}()(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,1)E G =则图(,)G V E =的补图是（ B3.下列图中，既是欧拉图又是哈密尔顿图的是( B )4.下列说法中不正确的是( C ) (A)每个连通图至少包含一棵生成；(B) 2 3 5 (A) 2 35(B)23 5 (C) 234(D)(C)(D) (A)1(B)k 正则偶图(k>0)一定存在完美匹配； (C)平面图(*)*G G ≅,其中*G 表示G 的对偶图； (D)完全图2n K 可一因子分解。
电子科技大学图论及其应用 第1章
例 判断下面两图是否同构。
u1
v1
解 两图不同构。 若两图同构，则两图中唯一的与环关联的两个点u1与v1一定 相对应，而u1的两个邻接点与v1的两个邻接点状况不同，u1 邻接有4度点，而v1没有。 所以，两图不同构。
例 指出4个顶点的非同构的所有简单图。
分析：四个顶点的简单图最少边数为0，最多边数为6，所以 可按边数进行枚举。 解 (a) (b) (c)
四、顶点的度、度序列
设v为G 的顶点，G 中以v为端点的边的条数(环计算两次)称 为点v的度数，简称为点v的度，记为dG (v)，简记为d(v)。 相关术语和记号
G ： 图G 的顶点的最小度
G ：图G 的顶点的最大度
奇点：度数为奇数的顶点 偶点：度数为偶数的顶点 k-正则图: 每个点的度均为k 的简单图 例如，完全图和完全偶图Kn, n 均是正则图。
完全偶图是指具有二分类(X, Y )的简单偶图，其中X的 每个顶点与Y 的每个顶点相连，若 |X|=m，|Y|=n，则这 样的偶图记为Km,n。
例
偶图
不是偶图
例
G1
G2
K1, 3
K3, 3
四个图均为偶图
K1, 3, K3, 3为完全偶图
偶图是一种常见数学模型。
例 学校有6位教师将开设6门课程。六位教师的代号分别是 xi (i=1,2,3,4,5,6 )，六门课程代号是yi (i=1,2,3,4,5,6 )。已知教 师x1能够胜任课程y2和y3；教师x2能够胜任课程y4和y5；教师 x3能够胜任课程y2；教师x4能够胜任课程y6和y3；教师x5能够 胜任课程y1和y6；教师x6能够胜任课程y5和y6。请画出老师和 课程之间的状态图。 解
dG (v) dG (v) n 1 。