图论及其应用答案电子科大

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This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020

习题三：

证明：e是连通图G 的割边当且仅当V(G)可划分为两个子集V1和V2，使对任意u ∈V 1及v ∈V 2, G 中的路（u，v）必含e .

证明：充分性: e是G的割边，故G −e至少含有两个连通分支，设V 1是其中一个连通分支的顶点集，V 2是其余分支的顶点集，对12,u V v V ∀∈∀∈，因为G中的u ,v不连通，

而在G中u与v连通，所以e在每一条(u ,v )路上，G中的(u ,v )必含e。

必要性：取12,u V v V ∈∈，由假设G中所有(u ,v )路均含有边e，从而在G −e中不存在从

u与到v的路，这表明G不连通，所以e 是割边。

3.设G 是阶大于2的连通图，证明下列命题等价：

（1） G 是块

（2） G 无环且任意一个点和任意一条边都位于同一个圈上；

（3） G 无环且任意三个不同点都位于同一条路上。

（1）→（2）：

G是块，任取G的一点u，一边e，在e边插入一点v，使得e成为两条边，由此得到新图G 1，显然G 1的是阶数大于3的块，由定理，G中的u,v 位于同一个圈上，于是G 1中u 与边e都位于同一个圈上。

（2）→（3）：

G无环，且任意一点和任意一条边都位于同一个圈上，任取G的点u ，边e ，若u在e 上，则三个不同点位于同一个闭路，即位于同一条路，如u不在e上，由定理，e的两点在同一个闭路上，在e边插入一个点v ，由此得到新图G 1，显然G 1的是阶数大于3的块，则两条边的三个不同点在同一条路上。

（3）→（1）：

G连通，若G不是块，则G中存在着割点u，划分为不同的子集块V 1, V 2, V 1, V 2无环，12,x v y v ∈∈，点u在每一条(x ,y )的路上，则与已知矛盾，G是块。

7.证明：若v 是简单图G 的一个割点，则v 不是补图G ̅的割点。

证明：v是单图G的割点，则G −v有两个连通分支。现任取x ,y ∈V (G −v ), 如果x ,y 不在G −v的同一分支中，令u是与x ,y处于不同分支的点，那么，x ,与y在G −v的补图中连通。若x ,y在G −v的同一分支中，则它们在G −v的补图中邻接。所以，若v是G 的割点，则v不是补图的割点。

12.对图3——20给出的图G1和G2，求其连通度和边连通度，给出相应的最小点割和最小边割。

解：()12G κ= 最小点割 {6,8}

1()2G λ= 最小边割{（6,5），（8,5）}

()25G κ= 最小点割{6,7,8,9,10}

2()5G λ= 最小边割{（2,7）…（1,6）}

13.设H 是连通图G 的子图，举例说明：有可能k(H)> k(G).

解：

通常k (H )

整个图为G，割点e左边的图H为G的的子图，k (H )=3 k (G )=1，则k (H )>k (k ). e

H