北师大版初中数学八年级下册教学课件第一章 三角形的证明 A课时学习区
合集下载
北师大版八年级数学下册第一章《三角形的证明》优课件
（1）证明：AD平分∠BAC
（2）求：DE的长。
E
F
B
D
C
课堂小结：
通过本节课的学习，你有什么收获？
1、角平分线性质定理： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
2、角平分线判定定理： 在一个角的内部，且到角的两边距离相等的 点，在这个角的平分线上。
独立
作业
知识的升华
(必做题) 1. 随堂练习1 2.习题1.9 1,2
∵ PDOAPEOB
DA
PD= PE
\OP 是AOB的平分线 O
PC
（到一个角的两边的距离相等的点， E B
在这个角的平分线上）
知识应用： 用途：判定一条射线是角平分线
1、如图，在△ABC中,∠BAC=60°，点D在BC上，
AD=10，DE⊥AB, DF⊥AC, 垂足分别是E, F,
且DE=DF
A
求证：点P在∠AOB的平分线上。 证明：∵ PD⊥OA， PE⊥OB
∴ ∠PDO=∠PEO=90° ∵ PD=PE， PO=PO
O
PC
E B
∴∠POD=∠POE
∴ Rt △PDO≌ Rt△PEO
即点P在∠AOB的平分线上
角平分线逆定理 ：
在一个角的内部，到角的两边距离
相等的点，在这个角的平分线上。
（选做题）3.联系拓广3
巩固练习
2、已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分 线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别 为E、F。求证：EB=FC。
巩固练习
2、如图，一目标在A区，到公路、铁路距离相 等，离公路与铁路交叉处500m，在图上标出它 的位置(比例尺1︰20000)。
公路
北师大版八年级数学下册第一章 三角形的证明 1.1 等腰三角形 第1课时课件 (共23张PPT)
∴BD=CD
在△ABD和△ACD中： AB=AC
B DC
BD=CD AD=AD
AB还可以看作△ABC 的什么特殊线段？
∴△ABD≌△ACD (SSS) ∴ ∠B=∠C
新知归纳 等腰三角形的性质定理：
等腰三角形的两个底角相等。(等边对等角)
新知探究 Ⅲ、你能证明“等腰三角形的两个底角相等”吗？
已知：如图，在△ABC中，AB=AC。
两个三角形全等。(AAS)
合作交流
ⅰ、根据三角形全等的定义，对应的边、对应的 角有怎样的关系?
A
A1
B
C
AB=A1B1 AC=A1C1 BC=B1C1
B1
C1
∠A=∠A1 ∠B=∠B1 ∠C=∠C1
新知归纳 全等三角形的性质定理：
全等三角形的对应边相等，对应角相等。
合作交流 ⅱ、你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【解析】选C.由已知条件可得△ACF≌△ABE,进而可 推理证得△MCD≌△NBD,得CD＝DB，故②错，同 样的办法可证得①③④正确.
2.已知等腰三角形的两条边长分别是7和3，第三条边
的长是（ ）
A．8
B．7
C．4
D．3
【解析】选B.因为三角形是等腰三角形，所以第三条
课堂小结 1、定理：
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的 两个三角形全等。(AAS)
2、全等三角形的性质定理：
全等三角形的对应边相等，对应角相等。 3、等腰三角形的性质定理：
等腰三角形的两个底角相等。(等边对等角) 4、推论：
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及 底边上的高互相重合。(三线合一)
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明串讲课件
2.
【例5】用反证法证明
1. 等腰三角形的底角是锐角。 2. 求证：一个三角形中，如果两个角不相等， 那么它们所对的边也不相等。 3. 证明：三角形中至少有一个角不小于60°。
六．等腰三角形中的多解问题——分类讨论 【例6】 a) 等腰三角形的两边长分别是4和5，这个 三角形的周长是（ ） b) 等腰三角形的两边长分别是4和8，这个 三角形的周长是（ ） c) 等腰三角形一腰上的中线把该三角形的 周长分为12和15两部分，求该三角形各 边的长。 （8、8、11；10、10、7） d) 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角 为30°则等腰三角形的顶角为（ ）°
【例2】
① 证明等边三角形的性质定理（略） ② 如图1， ABC中，AB=AC，点D是BC的中点， 点E在AD上，
a) 求证：BE=CE b) 如图2，若BE的延长线交AC于F点，且BF⊥AC， 垂足为F，∠BAC=45°，原题其它条件不变，求 证：△AEF≌△BCF
A 图1 图2 A
E B D C B
第一章 三角形的证明
八年级（下册）
点→线（两点定线）→角（两线）→（面）图→体
学习几何 基本规律
一个图（三角形、四边形---）形的定义，性质，判定
两个图形之间的关系：全等、相似、对称、位似----
两次翻折=一次平移
对称 旋转
全ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ变换
平移
形状大小都不变
• 图形变换
翻折
相似变换（形状不变大小变） 如：位似变换。
（2）求证：⊿CEF是等边三角形 M
E F
N
A
C
B
五．反证法
1. 定义：先假设命题的结论不成立，然后推导 出与定义、基本事实、已有定理或已知条件 相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成 立。这种证明方法称为反证法。 反证法——常用的间接证明法。步骤：
最新北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明1.2直角三角形第1课时PPT课件
∵AB2+AC2=BC2 ,
∴BC2=B′C′2. B 图（1） A′ C
∴BC=B′C′. ∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).
∴∠A==∠A′=90° (全等三角形的对应角相等).
B′ 图（2） C′
即，△ABC是直角三角形.
定理:
直角三角形两条直角边的平方 和等于斜边的平方。
定理: 如果三角形两边的平方和等于第三 边的平方,那么这个三形是直角三角形。
10
.
2.如图所示，在等边三角形ABC中，AD为它 的高线，若它的边长为2，则它的周长 为
1 6
,AD=
3
∶ 2
பைடு நூலகம்
,BD∶AD∶AB=
∶ 3
.
3.已知正方形ABCD,AC为它的一条对角线,若AB=2, 则AC= AB=
2
2 2
；若AC=2,则 ,AC∶AB=
2
∶
1
.
4.如图所示，在△ABC中，∠A+∠C=2∠B，则 ∠B=
互逆定理
1. 写出下列命题的逆命题，并判断每对 命题的真假：
(1)如果a 2 b 2，那么 a b
(2)矩形是正方形； (3)如果x2﹥0，那么x﹥0; (4)直角都相等.
2. 已知：线段a∶b∶c的值如下，则能够 组成直角三角形的是（ B ） (A)3∶4∶6 (C)1∶2∶4 (B)5∶12∶13 (D)1∶3∶5
直角三角形的判定
1.有一个角等于90°的三角形是直角三角
形.
2.有两个角互余的三角形是直角三角形. 3.如果三角形一边上的中线等于这条边的一
半，那么这个三角形是直角三角形.
4.勾股定理的逆定理
勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等 于斜边的平方。 反过来：如果一个三角形两边的平方和等于第三 边的平方,那么这个三角形是直角三角形。
北师大版数学八年级下册《 第一章 三角形的证明 1.2 直角三角形(第1课时)》教学课件
4
33 A. 4
C. 3 4
B. 3 3 8
D. 3 8
课堂检测
1.2 直角三角形/
基础巩固题
1. 在一个直角三角形中,有一个锐角等于35°,则另一 个锐角的度数是( C ) A.75° B.65° C.55° D.45°
课堂检测
1.2 直角三角形/
基础巩固题
2. 如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm，
c2 =2ab+b2-2ab+a2，
c2 =a2+b2，
∴ a2+b2=c2.
探究新知
1.2 直角三角形/
勾股定理的逆定理： 勾股定理反过来，怎么叙述呢？
如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方, 那么这个三角形是直角三角形．
思考：这个命题是真命题吗？为什么？
我们曾用度量的办法得出这个结论. 是否还有其他方法？
课堂检测
1.2 直角三角形/
基础巩固题
5.“直角都相等”与“相等的角是直角”是 ( A )
A.互为逆命题
B.互逆定理
C.公理
D.假命题
课堂检测
1.2 直角三角形/
能力提升题
1、如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是BC上 任一点.求证：BD2＋CD2＝2AD2.
证明：过点A作AE⊥BC于E，
探究新知
知识点 2
1.2 直角三角形/
勾股定理与逆定理
勾股定理： 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 即a2+b2=c2.
勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理.
c a
b
弦 勾
股
探究新知
1.2 直角三角形/
33 A. 4
C. 3 4
B. 3 3 8
D. 3 8
课堂检测
1.2 直角三角形/
基础巩固题
1. 在一个直角三角形中,有一个锐角等于35°,则另一 个锐角的度数是( C ) A.75° B.65° C.55° D.45°
课堂检测
1.2 直角三角形/
基础巩固题
2. 如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm，
c2 =2ab+b2-2ab+a2，
c2 =a2+b2，
∴ a2+b2=c2.
探究新知
1.2 直角三角形/
勾股定理的逆定理： 勾股定理反过来，怎么叙述呢？
如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方, 那么这个三角形是直角三角形．
思考：这个命题是真命题吗？为什么？
我们曾用度量的办法得出这个结论. 是否还有其他方法？
课堂检测
1.2 直角三角形/
基础巩固题
5.“直角都相等”与“相等的角是直角”是 ( A )
A.互为逆命题
B.互逆定理
C.公理
D.假命题
课堂检测
1.2 直角三角形/
能力提升题
1、如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是BC上 任一点.求证：BD2＋CD2＝2AD2.
证明：过点A作AE⊥BC于E，
探究新知
知识点 2
1.2 直角三角形/
勾股定理与逆定理
勾股定理： 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 即a2+b2=c2.
勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理.
c a
b
弦 勾
股
探究新知
1.2 直角三角形/
北师大版初中八年级下册数学：第一章 三角形的证明 复习课件
二、等边三角形
1、定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形； 2、性质： （1）等边三角形的三个内角都相等，且都为60°； （2）等边三角形内角的平分线、底边上的中线及底边上的高 线互相重合（三线合一）。 3、判定：
（1）（定义）三边都相等的三角形是等边三角形； （2）（定理）三个角都相等的三角形是等边三角形； （3）（定理）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
1．如下左图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，
3 AP平分∠CAB交BC于点P，若BP＝6，则CP＝_____。
2．如上右图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝
30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（ D ）
A．3.5
B．4.2
C．5.8
D．7
四、线段的垂直平分线
1、性质定理： 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 2、性质定理的逆定理（判定定理）： 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
谢谢
2、已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，DH垂直平 分BC交AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD 相交于点F。求证：BF=AC。
3、已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点， DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F，DE=DF。 求证：△ABC是等腰三角形。
A
F
E
B
D
C
1．边长为6cm的等边三角形中，其一边上高的长度
为_3___3_c_m__。
2．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同
15 一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝________度。
三、直角（Rt）三角形
最新北师大版数学八年级下册《第1章三角形的证明》优质教学课件
课堂总结
本节课我们主要学习了哪些 内容？你有什么收获？大胆地说 说自己的体会、感受或想法。
教师寄语
我们一生中要认识许多人，组建许多 集体，在集体生活中，我们要学会理解和 宽容，关爱和担当，才能被赋予更大的责 任，从而拥有更多发展的机会，更好的参 与社会、国家的建设，让我们与集体共同 成长！
感谢各位聆听
2、判定： 三角形：“SSS”、“ASA”、“AAS”、“SAS”、 Rt三角形：“SSS”、“ASA”、“AAS”、“SAS”、“HL”。
1、如图，△ABC，△CDE是等边三角形。 （1）求证：AE=BD。 （2）若BD和AC交于点M，AE和CD交于点N，求证：CM=CN。 （3）连结MN，猜想MN与BE的位置关系，并加以证明。
第一章 三角形的证明 复习课件
一、等腰三角形
1、定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形； 2、性质： （1）（定理）等腰三角形的两底角相等（等边对等角）； （2）（定理推论）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线 及底边上的高线互相重合（三线合一）。 3、判定：
（1）（定义）有两边相等的三角形是等腰三角形； （2）（定理）有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对 等边）。
A 交AB于E，垂足为D。若ED=5，则CE的长为（ ）
A.10
B.8
C. 5
D 2.5
五、角平分线
1、性质定理： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 2、性质定理的逆定理（判定定理）： 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
3、三角形三条角平分线的性质： 三角形三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离
3、三角形三边的垂直平分线的性质：
三角形三条边的垂直平分线交于一点，并且这一点到 三个顶点的距离相等。
北师大版八年级数学下册第1章三角形的证明1.2直角三角形PPT
知2－练
（来自《教材》）
知2－练
3 【2017·陕西】如图，将两个大小、形状完全相同 的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重 合，点C′落在边AB上，连接B′C. 若∠ACB＝ ∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为( A ) A．3 3 B．6 C．3 2 D. 21
（来自《教材》）
知2－讲
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9， BC＝12，则点C到AB的距离是( A )
A. 36 B. 12 C. 9 D. 3 3
5
25
4
4
知2－讲
导引：方法一：
∵∠C＝90°，∴AB2＝AC2＋BC2＝92＋122＝225.
∴AB＝15.
例1 如图，在△ABC中，∠C＝70°，∠B＝30°， AD⊥BC于点D，AE为∠BAC的平分线，：由题意可知， ∠BAC＝180°－∠B－∠C ＝180°－30°－70°＝80°. ∵AE为∠BAC的平分线，
∴∠CAE＝∠BAE＝ 12∠BAC＝40°.
∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°. ∴∠CAD＝90°－∠C＝90°－70°＝20°. ∴∠DAE＝∠CAE－∠CAD＝40°－20°＝20°.
知2－讲
证明： 如图(2) ，作Rt △A′B′C′ ，使
∠A′＝90° A′B′＝AB, A′C′＝AC,
则A′B′ 2＋A′C′ 2 ＝B′C′ 2（勾股定理）. ∵AB2＋AC2＝BC2 ， ∴BC2 ＝ B′C′ 2. ∴BC ＝ B′C′. ∴△ABC≌ △A′B′C′ (SSS). ∴ ∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的对应角相等）. 因此， △ABC是直角三角形.
过点C作CD⊥AB于点D，设AD＝x，则BD＝15－x.
北师大版八年级数学下册 第一章 三角形的证明复习 教学课件(共17张PPT)
D
C
A
E
B
说明两条线段相等，有时还可以通过第三条线段进行等量代换。
线段的垂直平分线
角平分线
定义 几何证明
命题 互逆 逆命题
公理
定理 互逆 逆定理
依据
线段的垂直平分线及其逆定理 角的平分线及其逆定理
演绎推理
线段的垂直平分线
线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等.
M
∵MN⊥AB, CA=CB(已知)
P
∴PA=PB （线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的 距离相等）
1
2
A
C
B
N
和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. ∵AB=AC(已知)
∴点A在线段BC的垂直平分线上 （和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）
B
A C
角平分线
在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等．
三.直角三角形全等的判定： AAS、ASA、SAS、SSS、HL
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
例1.已知：如图， ∠A=90°，∠B=15°，BD=DC.
请说明AC= BD的理由. 1
2
解∵BD=DC，∠B=15° ∴∠DCB=∠B=15°（等角对等边） ∴∠ADC=∠B+∠DCB=30° （三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和） ∵∠A=90°
You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
直角三角形
直角三角形：有一个角是直角的三角形。 一.直角三角形的性质：
最新北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明回顾与思考PPT课件
八年级数学·下
新课标 [北师]
第一章 三角形的证明
考点解析
典型例题
考点解析
三角形的证明是中考的必考点，考查方式以填
空题、选择题和中档解答题为主．主要考查等腰三 角形、直角三角形中角度、边长的计算或证明角、 线段相等或推导角之间的关系及线段之间的关系， 利用线段的垂直平分线、角的平分线的性质作图也 是常见的题型．本章考点可概括为：三个概念，六 个性质，四个判定，四个技巧，一个应用．
∵∠DAC＝10°，∴∠BAD＝60°.
∵∠D＝∠B，∠FMD＝∠AMB， ∴∠DFB＝∠BAD＝60°.
性质2
等腰三角形的性质
7．在△ABC中，AB＝AC，D为直线BC上一点，E 为直线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD＝α， ∠CDE＝β.
(1)如图，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．
①如果∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，那么α＝ 20° ，β＝________. 10° ________ ②求α，β之间的关系式． (2)是否存在不同于以上②中的α，β之间的关系式？ 若存在，求出这个关系式(求出一个即可)；若不 存在，请说明理由．
考点
概念1
1
三个概念
反证法
1．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少 有一个锐角不大于45°”时，应先假设( D ) A．有一个锐角小于45°
B．每一个锐角都小于45°
C．有一个锐角大于45° D．每一个锐角都大于45°
2．求证：在一个三角形中，如果两个角不相等，
那么它们所对的边也不相等．
证明：假设两个不相等的角所对的边相等，则根 据等腰三角形的性质定理“等边对等角”， 知它们所对的角也相等，这与题设两个角
解：(1)由于③的题设是a＋b>0，而⑤的结论是 ab>0，故⑤不是由③交换命题的题设和结 论得到的，所以③和⑤不是互逆命题． (2)③的逆命题是如果a>0，b>0，那么a＋b>0.
新课标 [北师]
第一章 三角形的证明
考点解析
典型例题
考点解析
三角形的证明是中考的必考点，考查方式以填
空题、选择题和中档解答题为主．主要考查等腰三 角形、直角三角形中角度、边长的计算或证明角、 线段相等或推导角之间的关系及线段之间的关系， 利用线段的垂直平分线、角的平分线的性质作图也 是常见的题型．本章考点可概括为：三个概念，六 个性质，四个判定，四个技巧，一个应用．
∵∠DAC＝10°，∴∠BAD＝60°.
∵∠D＝∠B，∠FMD＝∠AMB， ∴∠DFB＝∠BAD＝60°.
性质2
等腰三角形的性质
7．在△ABC中，AB＝AC，D为直线BC上一点，E 为直线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD＝α， ∠CDE＝β.
(1)如图，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．
①如果∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，那么α＝ 20° ，β＝________. 10° ________ ②求α，β之间的关系式． (2)是否存在不同于以上②中的α，β之间的关系式？ 若存在，求出这个关系式(求出一个即可)；若不 存在，请说明理由．
考点
概念1
1
三个概念
反证法
1．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少 有一个锐角不大于45°”时，应先假设( D ) A．有一个锐角小于45°
B．每一个锐角都小于45°
C．有一个锐角大于45° D．每一个锐角都大于45°
2．求证：在一个三角形中，如果两个角不相等，
那么它们所对的边也不相等．
证明：假设两个不相等的角所对的边相等，则根 据等腰三角形的性质定理“等边对等角”， 知它们所对的角也相等，这与题设两个角
解：(1)由于③的题设是a＋b>0，而⑤的结论是 ab>0，故⑤不是由③交换命题的题设和结 论得到的，所以③和⑤不是互逆命题． (2)③的逆命题是如果a>0，b>0，那么a＋b>0.