圆锥曲线的相关结论
高中数学圆锥曲线结论(最完美版本)
圆锥曲线二级推论
5. 若 P0 (x0, y0 ) 在双曲线
x2 a2
y2 b2
1（a＞0,b＞0）上，则过
P0 的双曲线的切线方程是
x0 x a2
y0 y b2
1.
6. 若 P0 (x0, y0 ) 在双曲线 x2 y2 1（a＞0,b＞0）外 ，则过
a2 b2
Po 作双曲线的两条切线切点为
P1、P2，则切点弦 P1P2 的直线方程 是 x0 x y0 y 1.
a2 b2
7. 双曲线 x2 y2 1（a＞0,b＞o）的
a2 b2
左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为 双曲线上任意一点 F1PF2 ，则 双曲线的焦点角形的面积为
SF1PF2
b2co t 2
.
8.
双曲线
x2 a2
y2 b2
1（a＞0,b＞o）的
焦半径公式：( F1(c, 0) , F2 (c, 0) 当 M (x0, y0 ) 在右支上时， | MF1 | ex0 a ,| MF2 | ex0 a .
当 M (x0, y0 ) 在左支上时， | MF1 | ex0 a ,| MF2 | ex0 a
MF⊥NF.
11. AB 是双曲线
x2 a2
y2 b2
1（a＞0,b＞0）的不平行
于对称轴的弦，M (x0 , y0 ) 为 AB 的
中点，则 KOM
K AB
b2 x0 a2 y0
，即
K AB
b2 x0 a2 y0
。
12. 若 P0 (x0, y0 ) 在双曲线 x2 y2 1（a＞0,b＞0）内，则被
圆锥曲线常用结论
圆锥曲线常用结论1.圆锥曲线的定义：（1）定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段FF，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|FF|，定义中的“绝对值”与＜|FF|不可忽视。
若＝|FF|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线，若﹥|FF|，则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
抛物线定义中，定点和定直线是焦点和准线，要注意定点不在定直线上，否则轨迹为过定点且和定直线垂直的直线.（2）抛物线定义给出了抛物线上的点到焦点距离与此点到准线距离间的关系，要善于运用定义对它们进行相互转化。
2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在轴上时（）（参数方程，其中为参数），焦点在轴上时＝1（）。
方程表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）。
（2）双曲线：焦点在轴上： =1，焦点在轴上：＝1（）。
方程表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B异号）。
（3）抛物线：开口向右时，开口向左时，开口向上时，开口向下时。
3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。
（2）双曲线：由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。
特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F，F的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，最大，，在双曲线中，最大，。
4.圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以（）为例）：①范围：；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为2，短轴长为2；④准线：两条准线；⑤离心率：，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。
高中数学有关圆锥曲线的经典结论
⾼中数学有关圆锥曲线的经典结论有关解析⼏何的经典结论⼀、椭圆1.点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外⾓.2.PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外⾓，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则过0P 的椭圆的切线⽅程是00221x x y ya b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线⽅程是00221x x y ya b +=.7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意⼀点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点⾓形的⾯积为122tan 2F PF S b γ=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上⼀个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆⼀个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平⾏于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a=-，即0202y a x b K AB-=。
12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的⽅程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹⽅程是22002222x x y yx y a b a b+=+. ⼆、双曲线1.点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内⾓.2.PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内⾓，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右⽀；外切：P 在左⽀）00022a b 0线的切线⽅程是00221x x y ya b -=.6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线⽅程是00221x x y ya b-=. 7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意⼀点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点⾓形的⾯积为122t 2F PF S b co γ=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - ,2(,0)F c当00(,)M x y 在右⽀上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-. 当00(,)M x y 在左⽀上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9.设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上⼀个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过双曲线⼀个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的不平⾏于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =?，即0202y a x b K AB =。
高中数学圆锥曲线常用98条结论
高中数学圆锥曲线常用98条结论1.椭圆的离心率小于1，且焦点在中心到长轴的垂线上。
2. 长轴和短轴的长度分别为2a和2b，则椭圆的标准方程为(x/a)+(y/b)=1。
3. 椭圆的焦距为c=√(a-b)。
4. 椭圆的面积为πab。
5. 椭圆的周长近似为2π√((a+b)/2)。
6. 椭圆的离心率为e=c/a。
7. 双曲线的离心率大于1，且焦点在中心到长轴的垂线上。
8. 长轴和短轴的长度分别为2a和2b，则双曲线的标准方程为(x/a)-(y/b)=1。
9. 双曲线的焦距为c=√(a+b)。
10. 双曲线的面积为πab。
11. 双曲线的渐近线方程为y=±(b/a)x。
12. 双曲线的离心率为e=c/a。
13. 抛物线的离心率等于1，且焦点在抛物线的顶点上。
14. 抛物线的标准方程为y=4ax。
15. 抛物线的焦距等于a。
16. 抛物线的面积为2/3×a×(4a/3)。
17. 抛物线的顶点坐标为(0,0)。
18. 抛物线的准线方程为y=-a。
19. 圆的标准方程为(x-a)+(y-b)=r。
20. 圆的直径为圆心的两倍半径。
21. 圆的周长为2πr。
22. 圆的面积为πr。
23. 直线与圆相交，切点到圆心的距离垂直于直线。
24. 切线方程为y-y=k(x-x)，其中k为切线斜率。
25. 直线与圆相切，切点坐标为(x,y)，则切线方程为(y-y)=k(x-x)，其中k为直线斜率。
26. 椭圆的切线方程为(ay/b)+(x/a)=1。
27. 双曲线的切线方程为(ay/b)-(x/a)=1。
28. 抛物线的切线方程为y=2ax。
29. 椭圆的法线方程为(by/a)+(x/a)=1。
30. 双曲线的法线方程为(by/a)-(x/a)=1。
31. 抛物线的法线方程为y=-x/(2a)。
32. 椭圆的两条直径的交点在椭圆的中心点上。
33. 椭圆的两条直径的长度之和为2a。
34. 椭圆的两条直径的中垂线交于椭圆的中心点。
圆锥曲线常用结论(收藏版)
二、通径（垂直焦点所在轴的焦点弦）：
①椭圆：通径=2b2/a, 焦点弦以通径最短；
②双曲线：通径=2b2/a, 同侧焦点弦以通径最短；
③抛物线：通径=2p 焦点弦以通径最短；
1.已知椭圆 x 2 y 2 1 ，过焦点的直线与椭圆交于 A,B 两点，则弦|AB|的长度范围是
;
42
解：显然，焦点弦|AB|为通径时最小，为 2b2/a=2;
= 0, AF1
• AF2
= c2，
则椭圆离心率 e=
;
6.椭圆
左右焦点分别为 F1,F2， 过 F1 的直线交椭圆于 A,B 两点，若|AF2|+|BF2|的最
大值为 8，则 b 的值是（ ）
2.√3; 3.2; 4.1+√2; 5.(√5-1)/2; 6.√6
三、斜率结论：垂径定理
C
O A
B ①AB 为弦，中点为 C,
A
C
则 KAB·KOC= - b2/a2
B O
P A
O
②AB 为中心弦，P 为椭 B
P
圆上任意点，则有
B
KAP·KBP= - b2/a2
A
O
①AB 为弦，中点为 C, 则 KAB·KOC= b2/a2 ②AB 为中心弦，P 为双 曲线上点，则有
KAP·KBP= b2/a2
1.4x2+9y2=144 内的一点 P(3,2)， 过点 P 的弦以 P 为中点，那么这弦所在的直线方程是
为长轴时最大，为 2a=4;
∴2 ≤|AB|≤4
2.设直线 L 过双曲线 C:的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直，L 与 C 交于 A,B 两点，|AB|为 C 的
实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为
圆锥曲线常用结论
圆锥曲线常用结论一.椭 圆1.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.2.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.3.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 4.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过P 0作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的方程是00221x x y ya b+=.5.椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.6.椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-.7.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交焦点F 对应的准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.8.过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.9.AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB-=.10.椭圆上短轴顶点对两焦点所张的角是椭圆上任一点对两焦点所张角的最大者.二.双曲线1.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.2.以焦半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切：P 在右支；外切：P 在左支).3.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=(a ＞0,b ＞0)上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 4.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=(a ＞0,b ＞0)外 ，则过P 0作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=. 5.双曲线22221x y a b-=(a ＞0,b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t 2F PF S b co γ∆=.6.双曲线22221x y a b-=(a ＞0,b ＞0)的焦半径公式：|MF 1|=|a+ex 0|,|MF 2|=|a-ex 0|.7.设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.8.过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.9.AB 是双曲线22221x y a b-=(a ＞0,b ＞0)的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =.10.双曲线焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b.11.由焦点向渐近线作垂线，其垂足比在对应的准线上；反之，过渐近线与准线的交点与对应焦点的连线比垂直于过此点的渐近线.三.椭圆与双曲线的对偶结论1.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=. ①双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交双曲线于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b+=.2.过椭圆22221x y a b+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则2020BC b x k a y =(常数).②过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点，则2020BC b x k a y =-(常数).3.点A 1，A 2是椭圆上关于原点对称的两点，点P 为椭圆上任意一点，直线P A 1，P A 2的斜率分别为K 1，K 2，则K 1·K 2=-22ab .③点A 1，A 2双曲线上关于原点对称的两点，点P 为双曲线上任意一点，直线P A 1，P A 2的斜率分别为K 1，K 2，则K 1·K 2=22ab ；4.若P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=,21PF F β∠=，则tan t 22a c co a c αβ-=+.④若P 为双曲线22221x y a b-=(a ＞0,b ＞0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F 1, F 2是焦点,12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则tan t 22c a co c a αβ-=+(或tan t 22c a co c a βα-=+). 5.设椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的两个焦点为F 1、F 2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin ce aαβγ==+.⑤设双曲线22221x y a b-=(a ＞0,b ＞0)的两个焦点为F 1、F 2,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin (sin sin )ce aαγβ==±-.6.P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.⑥P 为双曲线22221x y a b-=(a ＞0,b ＞0)上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为双曲线内一定点，则21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线且P 和2,A F 在y 轴同侧时，等号成立. 7.过椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =.⑦过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF e MN =.8.已知椭圆22221x y a b+=( a ＞b ＞0),A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则22220a b a b x a a---<<. ⑧已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）,A 、B 是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则220a b x a+≥或220a b x a +≤-. 9.已知椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.⑨已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0,b ＞0)的右准线l 与x 轴相交于点E ，过右焦点F 的直线与双曲线相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC ⊥x 轴，则直线AC 经过线段EF 的中点. 10.椭圆、双曲线、抛物线的所有焦点弦中，通径最短.11.求过二次曲线Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0上一点P(x 0，y 0)的切线方程时，只需将x 2→xx 0,y 2→yy 0,x →20x x +, y →20y y +,xy →xy 0+yx 0.四.抛物线1.以弦AB 为直径的圆与准线x=-2p 相切.2.以焦半径AF 为直径的圆与y 轴相切.3.点A,B 在准线上的射影分别为A 1,B 1,则∠A 1FB 1=900.4.直线AB 与抛物线的方程为y 2=2px(p >0)交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M(x 0,y 0),则直线AB 的斜率k=y p . 5.设抛物线的方程为y 2=2px(p >0),过焦点F(2p,0)的直线AB 的方程为x=ty+2p ,设A (x 1，y 1)，B(x 2，y 2),则 ①x 1· x 2=42P , y 1·y 2=-P 2. ②243p OB OA -=⋅.③|AB|= =α2sin 2p(α为AB 的倾角). ④FB FA 11+=P2. 6.设AB 为焦点弦， M 为准线与x 轴的交点，则∠AMF ＝∠BMF.7.设AB 为焦点弦，A 、B 在准线上的射影分别为A 1，B 1，若P 为A 1B 1的中点，则PA ⊥PB. 8.若AO 的延长线交准线于C ，则BC 平行于x 轴，反之，若过B 点平行于x 轴的直线交准线于C 点，则A ，O ，C 三点共线.9.若OA 、OB 是过抛物线22(0)y px p =>顶点O 的两条互相垂直的弦，则直线AB 恒经过定点(2,0)p .反之亦成立.。
圆锥曲线的一些重要结论
圆锥曲线的一些重要结论：1. 以椭圆的焦点弦为直径的圆与其相应的准线相离。
2. 以双曲线的焦点弦为直径的圆与其相应的准线相交。
3. 以抛物线的的焦点弦为直径的圆与其相应的准线相切。
4. 以椭圆上的任一点为顶点的焦点三角形中，过任一焦点作其外角平分线的垂线，垂足的轨迹必为一圆（除开两点）。
5. 双曲线上不同于顶点的任一点与两焦点所构成的三角形的内切圆必切于与该点同侧的双曲线顶点。
6. 抛物线的焦点弦，被焦点所分两线段长的倒数和为定值。
7. 椭圆上到一焦点的距离最值点必为长轴两顶点。
8. 椭圆上短轴顶点对两焦点所张的角是椭圆上任一点对两焦点所张角的最大者。
椭圆1.点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角。
2.若PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴两个端点。
3.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离。
4.以焦半径PF 1为直径的圆必与长轴为直径的圆内切。
5.若),(000y x P 在椭圆12222=+b y a x 上，则过0P 的切线方程是12020=+b y y a x x 。
6. 若),(000y x P 在椭圆12222=+by a x 外，则过0P 作椭圆的两条切线切点为21,P P ,则切点弦21P P 所在的直线方程是12020=+b yy a x x 。
7. 椭圆12222=+b y a x 上任一点P ，若θ=∠21PF F ，则θcos 12||||221+=b PF PF ;2tan 221θb S PF F =∆。
8. 椭圆12222=+by a x 的焦半径公式：01||ex a MF +=，02||ex a MF -=。
其中)0,(),0,(21c F c F -。
9.设过椭圆的焦点F 作直线与椭圆交于P,Q 两点，A 是椭圆长轴的一个端点，连接AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆的准线于M,N ，则MF ⊥NF.10. 设过椭圆的焦点F 作直线与椭圆交于P,Q 两点，A 1,A 2是椭圆长轴的端点，A 1P 与A 2Q 相交于点M ，A 2P 和A 1Q 相交于点N ，则MF ⊥NF.11.AB 是椭圆12222=+b y a x 的不平行于对称轴的弦),(00y x M 是弦AB 的中点，则22ab k k OM AB -=；AB 是椭圆12222=+b y a x 的长轴的端点,P 是椭圆上不同于A,B 的任一点,则22a b k k PB PA -=; AB 是椭圆12222=+by a x 的关于原点对称的两点,,P 是椭圆上不同于A,B 的任一点,则22ab k k PBPA -=.12.若),(000y x P 在椭圆12222=+b y a x 内，则被),(000y x P 平分的弦的方程是：=+2020by y a x x 220220b y a x +。
高中圆锥曲线结论总结
高中圆锥曲线结论总结
高中圆锥曲线结论总结
一、圆锥曲线的标准方程
圆锥曲线的标准方程为：
$$frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1$$
其中，a与b分别是椭圆的两个半径，且ab，a与b是正实数。
二、圆锥曲线的性质
1. 圆锥曲线的概念
圆锥曲线是由两个椭圆及其余部分所构成的四边形的边界线，是圆锥曲线的概念。
2. 圆锥曲线的对称性
由于圆锥曲线是由两个椭圆所构成，因此它具有x轴对称性和y 轴对称性，即曲线的俩边彼此对称。
3. 圆锥曲线的四个焦点
圆锥曲线的四个焦点分别位于椭圆的两个长轴端点，称为四个焦点。
4. 圆锥曲线的两个长轴
圆锥曲线的两个长轴是两个椭圆的长轴，它们的长度分别是a和b，两轴相交处的位置是圆锥曲线的中心点。
5. 圆锥曲线的弧长
圆锥曲线的弧长为：
$$mathcal{L}=2aarcsinfrac{b}{a}$$
其中，a与b是椭圆的两个半径，且ab。
6. 圆锥曲线的曲率
圆锥曲线的曲率为：
$$K=frac{a}{b}$$
其中，a与b是椭圆的两个半径，且ab。
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结论 13：点 M
（
x0
，
y
0
）在椭圆
x
a
m
2
2
y
n2
b2
1上，过点 M
作椭圆的切线方程
为
(x0
m)( x a2
m)
( y0
n)( y b2
n)
1．
结论 14：点 M
（
x0
，
y
0
）在双曲线
x
a
m2
2
y n2
b2
1上，过点 M
作双曲线的切线
方程为
x0
mx
a2
m
y0
n y
b2
n
1．
2
结论 15：点 M （ x0 ， y0 ）在抛物线 y n2 2 px m上，过点 M 作抛物线的切线方 程为 y0 ny n px x0 2m．
线垂直且相交于 P ，则动点 P 的轨迹为圆 x 2 y 2 a 2 b 2 ．
结论
6：过双曲线
x a
2 2
y2 b2
1（ a
b
0 ）上任意不同两点 A ， B 作双曲线的切线，如
果切线垂直且相交于 P ，则动点 P 的轨迹为圆 x 2 y 2 a 2 b 2 ．
结论 7：点 M
（
x0
5
平分过该点的两条焦半径的夹角的外角），亦即椭圆的光学性质．
结论 45：双曲线上任一点 处的切线平分过该点的两条焦半径的夹角（或者说 线平分过该点的两条焦半径的夹角的外角），亦即双曲线的光学性质．
处的法
结论 46：抛物线上任一点 亦即抛物线的光学性质．
处的切线平分该点的焦半径与该点向准线所作的垂线的夹角，
迹方程为直线：
x0
mx
a2
m
y0
n y
b2
n
1．
结论 18：（补充）点 M （ x0 ， y0 ）在抛物线 y n2 2 px m内，过点 M 作抛物线
的弦 AB ，分别过 A、B 作抛物线的切线，则两条切线的交点 P 的轨迹方程为直线：
y0 ny n px x0 2m．
结论 19：过椭圆准线上一点 M 作椭圆的两条切线，切点分别为 A ，B ，则切点弦 AB 的直 线必过相应的焦点 F ，且 MF 垂直切点弦 AB ． 结论 20：过双曲线准线上一点 M 作双曲线的两条切线，切点分别为 A ，B ，则切点弦 AB
（
x0
，
y0
）在双曲线
x a
2 2
y2 b2
1（ a
0,b 0 ）内，过点 M
作
双曲线的弦 AB （不过双曲线中心），分别过 A、B 作双曲线的切线，则两条切线的交点 P
的轨迹方程为直线：
x0 x a2
y0 y b2
1．
结论 11：点 M （ x0 ， y0 ）在抛物线 y 2 2 px （ p 0 ）上，过点 M 作抛物线的切线方
的充要条件为 ， ， 的横坐标（纵坐标）成等差数列．
结论 54：焦点在 轴上的双曲线（或焦点在 轴）上三点 ， ， 的焦半径成等差数
列的充要条件为 ， ， 的横坐标（纵坐标）成等差数列．
结论 55：焦点在 轴上的抛物线（或焦点在 轴）上三点 ， ， 的焦半径成等差数
列的充要条件为 ， ， 的横坐标（纵坐标）成等差数列．
结论 47：椭圆的准线上任一点 处的切点弦 过其相应的焦点 ，且 ⊥ ．
结论 48：双曲线的准线上任一点 处的切点弦 过其相应的焦点 ，且 ⊥ ．
结论 49：抛物线的准线上任一点 处的切点弦 过其焦点 ，且 ⊥ ．
结论 50：椭圆上任一点 处的切线交准线于 ， 与相应的焦点 的连线交椭圆于 ，
则 必与该椭圆相切，且 ⊥ ．
结论 28：过抛物线 y 2 2 px （ p 0 ）的对称轴上任意一点 M (m,0) （ m 0 ）作抛物
线的两条切线，切点分别为 A ， B ，则切点弦 AB 所在的直线必过点 N (m,0) ．
结论
29：过椭圆
x a
2 2
y2 b2
1（ a b 0 ）的对称轴上任意一点 M (m, n) 作椭圆的两条切
m
2
2
y
n2
b2
1内，过点 M
作椭圆的
弦 AB （不过椭圆中心），分别过 A、B 作椭圆的切线，则两条切线的交点 P 的轨迹方程为
直线：
(x0
m)( x a2
m)
( y0
n)( y b2
n)
1．
结论 17：（补充）点 M
（
x0
，
y0
）在双曲线
x
a
m
2
2
y
n2
b21内，过点 M来自作双曲线的弦 AB （不过双曲线中心），分别过 A、B 作双曲线的切线，则两条切线的交点 P 的轨
32：若椭圆
x a
2 2
y2 b2
1（ a
b
0
）与双曲线
x2 m2
y2 n2
1（m 0 ，n
0 ）共
焦点，则在它们交点处的切线相互垂直．
结论 33：过椭圆外一定点 P 作其一条割线，交点为 A ， B ，则满足 AP BQ AQ BP
的动点 Q 的轨迹就是过 P 作椭圆两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．
x0
mx
a2
m
y0
n y
b2
n
1．
结论 18：点 M （ x0 ， y0 ）在抛物线 y n2 2 px m外，过点 M 作抛物线的两条切
线，切点分别为 A ， B ，则切点弦 AB 的直线方程为
y0 ny n px x0 2m．
结论 16：（补充）点 M
（
x0
，
y0
）在椭圆
x
a
，
y0
）在椭圆
x a
2 2
y2 b2
1（ a b 0 ）上，过点 M
作椭圆的切线方
程为
x0 x a2
y0 y b2
1．
结论 8：点 M
（
x0
，
y0
）在椭圆
x a
2 2
y2 b2
1（ a b 0 ）外，过点 M
作椭圆的两条切
线，切点分别为
A，B
，则切点弦
AB
的直线方程为
x0 x a2
y0 y b2
（ ．
）的一个焦点， 是椭圆上任意一点，则焦
结论 42： 是双曲线
（
）的右焦点， 是双曲线上任意一点．
（1）当点 在双曲线右支上，则焦半径
；
（2）当点 在双曲线左支上，则焦半径
．
结论 43： 是抛物线
（
）的焦点， 是抛物线上任意一点，则焦半径
=
．
结论 44：椭圆上任一点 处的法线平分过该点的两条焦半径的夹角（或者说 处的切线
结论 34：过双曲线外一定点 P 作其一条割线，交点为 A ，B ，则满足 AP BQ AQ BP
4
的动点 Q 的轨迹就是过 P 作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．
结论 35：过抛物线外一定点 P 作其一条割线，交点为 A ，B ，则满足 AP BQ AQ BP
的动点 Q 的轨迹就是过 P 作抛物线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上． 结论 36：过双曲线外一点 P 作其一条割线，交点为 A ， B ，过 A ， B 分别作双曲线的切线 相交于点 Q ，则动点 Q 的轨迹就是过 P 作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上． 结论 37：过椭圆外一点 P 作其一条割线，交点为 A ， B ，过 A ， B 分别作椭圆的切线相交 于点 Q ，则动点 Q 的轨迹就是过 P 作椭圆两条切线形成的切点弦所在的直线方程上． 结论 38：过抛物线外一点 P 作其一条割线，交点为 A ， B ，过 A ， B 分别作抛物线的切线 相交于点 Q ，则动点 Q 的轨迹就是过 P 作抛物线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．
1．
结论 8：（补充）点 M
（
x0
，
y0
）在椭圆
x a
2 2
y2 b2
1（ a
b 0 ）内，过点 M
作椭圆
的弦 AB （不过椭圆中心），分别过 A、B 作椭圆的切线，则两条切线的交点 P 的轨迹方程
为直线：
x0 x a2
y0 y b2
1．
1
结论 9：点 M
（
x0
，
y0
）在双曲线
x2 a2
3
的直线必过相应的焦点 F ，且 MF 垂直切点弦 AB ． 结论 21：过抛物线准线上一点 M 作抛物线的两条切线，切点分别为 A ，B ，则切点弦 AB 的直线必过焦点 F ，且 MF 垂直切点弦 AB ． 结论 22: AB 为椭圆的焦点弦，则过 A ， B 的切线的交点 M 必在相应的准线上． 结论 23: AB 为双曲线的焦点弦，则过 A ， B 的切线的交点 M 必在相应的准线上． 结论 24: AB 为抛物线的焦点弦，则过 A ， B 的切线的交点 M 必在准线上． 结论 25:点 M 是椭圆准线与长轴的交点，过点 M 作椭圆的两条切线，切点分别为 A ， B ， 则切点弦 AB 就是通径． 结论 26: 点 M 是双曲线准线与实轴的交点，过点 M 作双曲线的两条切线，切点分别为 A ， B ，则切点弦 AB 就是通径． 结论 27: M 为抛物线的准线与其对称轴的交点，过点 M 作抛物线的两条切线，切点分别为 A ， B ，则切点弦 AB 就是其通径．
线，切点分别为 A ， B ．
（1）当 n 0 ， m a 时，则切点弦 AB 所在的直线必过点 P( a 2 ,0) ； m