【人教版】八年级下册数学《期末测试题》含答案

人教版数学八年级下册期末测试卷学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________一、选择题：（每题3分，共24分）1.与12是同类二次根式的是（ ） A.4B.8C.18D. 272.下面计算正确的是（ ） A. 3+3=33B.273=3÷C.2?3=5D.()22=2--3.一个矩形的两条对角线的夹角为 60°，且对角线的长度为 8cm ，则较短边的长度为（ ） A. 8cmB. 6cmC. 4cmD. 2cm4.下列图形中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D.5.下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A. 2210x x+= B. 20ax bx c ++= C. 223 2 53x x x --= D. 1 2()()1x x -+=6.顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所得图形一定是（ ） A. 正方形B. 矩形C. 菱形D. 梯形7.关于x 的方程2 4 0x x a -+=有两实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A. 4a ≤B. 4a <C. 4a >D. 4a ≥8.Rt △ABC 中，AB=AC ，点D BC 中点．∠MDN=90°，∠MDN 绕点D 旋转，DM 、DN 分别与边AB 、AC 交于E 、F 两点．下列结论 ①(BE+CF)=22BC ，②AEF ABC 1S S 4∆∆≤，③AEDF S =四形边AD·EF ，④AD≥EF ，⑤AD 与EF 可能互相平分，其中正确结论的个数是【 】A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题：（每题3分，共24分）9.二次根式x3-中，x的取值范围是．10.化简：50=___________．11.关于x的方程220x mx m-+=的一个根为1，则m的值为．12.若方程x2+kx+9＝0有两个相等的实数根，则k＝_____．13.如图，△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，若∠A＝110°，∠D＝40°，则∠α的度数是_____．14.如图，直线443y x=-+与x轴、y轴分别交于A B、两点，把AOBV绕点A顺时针旋转90︒后得到''△AO B，则点B'的坐标为____．15.如图，正方形ABCD中，点E在DC边上，2,1DE EC==，把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线．．BC 上的F点，则F C、两点间的距离为___________．16.如图，在直角坐标系中，正方形111A B C O、222133321n n n n A B C C A B C C A B C C-⋯、、、的顶点123nA A A A、、、…、均在直线y kx b=+上，顶点123...nC C C C、、、、在x轴上，若点1B的坐标为()1,1，点2B的坐标为()3,2，那么点4A的坐标为____，点nA的坐标为__________．三、解答题：（17~20，23题每题5分，21，22每题6分，24题7分，25题8分，共52分，如无特别说明，解答题中的填空均直接写答案．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．） 17.解方程：2450x x --=. 18.计算：()186121221+----19.已知：31a =+，求222013a a -+得值．20.求证：a 取任何实数时，关于x 的方程()213210ax a x a --+-=总有实数根．21.如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AC ⊥AB ，AB ＝20，且AC ∶BD ＝2∶3.(1)求AC 的长； (2)求△AOD 的面积．22.如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD （围墙MN 最长可利用25m ），现在已备足可以砌50m 长的墙的材料，恰好用完，试求AB 的长，使矩形花园的面积为2300m ．23.5个同样大小的正方形纸片摆放成“十”字型，按图1所示的方法分割后可拼接成一个新的正方形．按照此种做法解决下列问题：（1）5个同样大小的矩形纸片摆放成图2形式，请将其分割并拼接成一个平行四边形．要求：在图2中画出并指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件的平行四边形即可）；（2）如图3，在面积为1平行四边形ABCD 中，点E F G H 、、、分别是边AB BC CD DA 、、、的中点，分别连结AF BG CH DE 、、、得到一个新的平四边形MNPQ ．则平行四边形MNPQ 的面积为___________(在图3中画图说明)．24.如图，四边形ABCD 是正方形，ABE △是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60︒得到BN ，连接EN CM 、．（1）证明：ABM EBN △≌△；（2）当M 点在何处时，AM BM CM ++的值最小，并说明理由；（3）当AM BM CM ++的最小值为31+时，则正方形的边长为___________．25.已知，矩形ABCD 中，4,8AB cm BC cm ==，AC 的垂直平分EF 线分别交AD BC 、于点E F 、，垂足为O ．（1）如图1，连接AF CE 、，求证：四边形AFCE 为菱形；（2）如图2，动点P Q 、分别从A C 、两点同时出发，沿AFB △和CDE △各边匀速运动一周，即点P 自A FB A →→→停止，点O 自CDE C →→→停止．在运动过程中，①已知点P的速度为每秒5cm ，点Q 的速度为每秒4cm ，运动时间为t 秒，当AC P Q 、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，则t =____________． ②若点P Q、运动路程分别为a b 、 （单位:,0cm ab ≠），已知AC P Q 、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，则a 与b 满足的数量关系式为____________．附加题（每题4分，共20分）26.若2,,4m ()()2226m m --___________．27.如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是_________．28.设0m n >>，若()22m n mn-=，则22m n mn-=____________． 29.关于x 的方程()28810x k x k -++-=有两个整数根，则整数k=____________．30.如图，在ABC V 中，90,30ACB ABC ∠=︒∠=︒，将ABC V 绕顶点C 顺时针旋转，旋转角为()0180θθ︒<<︒，得到A B C '''V ．设AC 中点为E ，A B ''中点为P ，2AC =，连接EP ，当θ=____________︒时，EP 长度最大，最大值为____________．答案与解析一、选择题：（每题3分，共24分）1.是同类二次根式的是（）B. C. D.A.【答案】D【解析】【分析】化成最简二次根式后含有相同的因式的二次根式即是同类二次根式，根据定义依次化简即可判断.==2不是同类二次根式；=不是同类二次根式；不是同类二次根式；=是同类二次根式；故选：D.【点睛】此题考查同类二次根式的定义，正确理解同类二次根式的特点并正确化简每个二次根式是解题的关键.2.下面计算正确的是（）A. B. C. D. 2-【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的混合运算方法，分别进行运算即可．【详解】解：A A选项错误；B. ==＝3，故B选项正确；C. ==C选项错误；D．2Q，故D选项错误；==故选B．【点睛】考查了二次根式的混合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．3.一个矩形的两条对角线的夹角为60°，且对角线的长度为8cm，则较短边的长度为（）A. 8cmB. 6cmC. 4cmD. 2cm【答案】C【解析】【分析】根据矩形的性质得到△AOB是等边三角形，即可得到答案.【详解】如图，由题意知：∠AOB= 60°，AC=BD=8cm，∵四边形ABCD是矩形，∴AO=12AC=12BD=OB=4cm，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=4cm，故选：C. 【点睛】此题考查矩形的性质，等边三角形的判定及性质，正确掌握矩形的性质是解题的关键.4.下列图形中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将一个图形沿着一条直线翻折后两侧能够完全重合，这样的图形是轴对称图形；将一个图形绕着一个点旋转180°后能与自身完全重合，这样的图形是中心对称图形，根据定义依次判断即可得到答案.【详解】A、是轴对称图形，是中心对称图形；B、是轴对称图形，是中心对称图形；C 、是轴对称图形，不是中心对称图形；D 、不是轴对称图形，是中心对称图形， 故选：D.【点睛】此题考查轴对称图形的定义，中心对称图形的定义，熟记定义并掌握图形的特点是解题的关键. 5.下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A. 2210x x += B. 20ax bx c ++= C. 223 2 53x x x --= D. 1 2()()1x x -+=【答案】D 【解析】 【分析】只含有一个未知数，并且未知数的项的最高次数是2，且等号两边都是整式的方程是一元二次方程，根据定义依次判断即可得到答案.【详解】A 、2210x x +=等式左边不是整式，故不是一元二次方程； B 、20ax bx c ++=中a=0时不是一元二次方程，故不符合题意；C 、223 2 53x x x --=整理后的方程是2x+5=0，不符合定义故不是一元二次方程；D 、 1 2()()1x x -+=整理后的方程是230x x +-=，符合定义是一元二次方程， 故选：D.【点睛】此题考查一元二次方程的定义，正确理解此类方程的特点是解题的关键. 6.顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所得图形一定是（ ） A. 正方形 B. 矩形C. 菱形D. 梯形【答案】B 【解析】【详解】解：∵E 、F 、G 、H 分别为各边的中点，∴EF ∥AC ，GH ∥AC ，EH ∥BD ，FG ∥BD ，（三角形的中位线平行于第三边） ∴四边形EFGH 是平行四边形，（两组对边分别平行的四边形是平行四边形） ∵AC ⊥BD ，EF ∥AC ，EH ∥BD ， ∴∠EMO=∠ENO=90°， ∴四边形EMON 是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形），∴∠MEN=90°， ∴四边形EFGH 是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．7.关于x 的方程2 4 0x x a -+=有两实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A. 4a ≤ B. 4a <C. 4a >D. 4a ≥【答案】A 【解析】 【分析】根据方程有实数根列不等式即可求出答案. 【详解】∵方程2 4 0x x a -+=有两实数根， ∴∆0≥， 即16-4a 0≥， ∴4a ≤， 故选：A.【点睛】此题考查一元二次方程的判别式，根据一元二次方程的根的情况求出未知数的值，正确掌握根的三种情况是解题的关键.8.Rt △ABC 中，AB=AC ，点D 为BC 中点．∠MDN=90°，∠MDN 绕点D 旋转，DM 、DN 分别与边AB 、AC 交于E 、F 两点．下列结论 ①(BE+CF)=2BC ，②AEF ABC 1S S 4∆∆≤，③AEDF S =四形边AD·EF ，④AD≥EF ，⑤AD 与EF 可能互相平分，其中正确结论的个数是【 】A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C 【解析】【详解】解:∵Rt △ABC 中，AB=AC ，点D 为BC 中点．∠MDN=90°，∴AD =DC ，∠EAD=∠C=45°，∠EDA=∠MDN －∠ADN =90°－∠ADN=∠FDC ． ∴△EDA ≌△FDC （ASA ）． ∴AE=CF ．∴BE+CF= BE+ AE=AB ．在Rt △ABC 中，根据勾股定理，得AB=22BC ． ∴(BE+CF)=2BC ． ∴结论①正确．设AB=AC=a ，AE=b ，则AF=BE= a －b ． ∴()()22AEF ABC 1111111S S AE AF AB AC=b a b a =a 2b 04242288∆∆-=⋅⋅-⋅⋅⋅----≤． ∴AEF ABC 1S S 4∆∆≤． ∴结论②正确．如图，过点E 作EI ⊥AD 于点I ，过点F 作FG ⊥AD 于点G ，过点F 作FH ⊥BC 于点H ，ADEF 相交于点O ．∵四边形GDHF 是矩形，△AEI 和△AGF 是等腰直角三角形， ∴EO≥EI （EF ⊥AD 时取等于）=FH=GD ， OF≥GH （EF ⊥AD 时取等于）=AG ． ∴EF=EO ＋OF≥GD ＋AG=AD ． ∴结论④错误． ∵△EDA ≌△FDC ， ∴22ADC AEDF 11S S AD DC AD AD AD EF 22∆==⋅⋅=≤≤⋅四边形． ∴结论③错误．又当EF 是Rt △ABC 中位线时，根据三角形中位线定理知AD 与EF 互相平分． ∴结论⑤正确．综上所述，结论①②⑤正确．故选C ．二、填空题：（每题3分，共24分）9.x 的取值范围是 ． 【答案】x 3≥． 【解析】x 30x 3-≥⇒≥． 10.=___________．【答案】【解析】 【分析】被开方数因式分解后将能开方的数开方即可化简二次根式.==故答案为：【点睛】此题考查二次根式的化简，正确掌握最简二次根式的特点并正确将被开方数因式分解是解题的关键.11.关于x 的方程220x mx m -+=的一个根为1，则m 的值为 ． 【答案】1 【解析】试题分析：把x=1代入方程220x mx m -+=得：1-2m+m=0，解得m=1. 考点：一元二次方程的根.12.若方程x 2+kx +9＝0有两个相等的实数根，则k ＝_____． 【答案】±6 【解析】试题分析：∵方程x 2+kx+9=0有两个相等的实数根，∴△=0，即k 2﹣4•1•9=0，解得k=±6． 故答案为±6． 考点：根的判别式．13.如图，△OAB 绕点O 逆时针旋转80°得到△OCD ，若∠A ＝110°，∠D ＝40°，则∠α的度数是_____．【答案】50° 【解析】 【分析】已知旋转角为80°，即∠DOB ＝80°，欲求∠α的度数，必须先求出∠AOB 的度数，利用三角形内角和定理求解即可．【详解】解：由旋转的性质知：∠A ＝∠C ＝110°，∠D ＝∠B ＝40°； 根据三角形内角和定理知：∠AOB ＝180°﹣110°﹣40°＝30°； 已知旋转角∠DOB ＝80°，则∠α＝∠DOB ﹣∠AOB ＝50°． 故答案50°．【点睛】此题主要考查的是旋转的性质，同时还涉及到三角形内角和定理的运用，难度不大． 14.如图，直线443y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A B 、两点，把AOB V 绕点A 顺时针旋转90︒后得到''△AO B ，则点B '的坐标为____．【答案】（7，3） 【解析】 【分析】先求出点A 、B 的坐标得到OA 、OB 的长度，过点B '作B 'C ⊥x 轴于C ，再据旋转的性质得到四边形AO B C ''是矩形，求出AC 、B 'C 即可得到答案. 【详解】令443y x =-+中y=0得x=3，令x=0得y=4， ∴A(3，0)，B(0，4)， ∴OA=3，OB=4，由旋转得90OAO '∠=o ，O B ''=OB=4，AO ' =OA=3， 如图：过点B '作B 'C ⊥x 轴于C ，则四边形AO B C ''是矩形， ∴AC=O B ''=4，B 'C=AO '=3，∠OC B '=90°，∴OC=OA+AC=3+4=7， ∴点B '的坐标是（7,3） 故答案为：（7,3）.【点睛】此题考查一次函数与坐标轴的交点坐标，矩形的判定及性质，旋转的性质，利用矩形求对应的线段的长是解题的关键.15.如图，正方形ABCD 中，点E 在DC 边上，2,1DE EC ==，把线段AE 绕点A 旋转，使点E 落在直线．．BC 上的F 点，则F C 、两点间的距离为___________．【答案】1或5 【解析】 【分析】分两种情况：点F 线段BC 上时或在CB 的延长线上时，根据正方形的性质及旋转的性质证明△ABF ≌△ADE 得到BF=DE ，即可求出答案. 【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A=∠B=90°，AB=AD=BC=CD=DE+CE=2+1=3， 由旋转得AF=AE, ∴△ABF ≌△ADE ， ∴BF=DE=2，如图：当点F 线段BC 上时，CF=BC-BF=3-2=1， 当点F 在CB 延长线上时，CF=BC+BF=3+2=5， 故答案为：1或5.【点睛】此题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，旋转的性质，正确理解题意分情况解题是关键.16.如图，在直角坐标系中，正方形111A B C O 、222133321n n n n A B C C A B C C A B C C -⋯、、、的顶点123n A A A A 、、、…、均在直线y kx b =+上，顶点123...n C C C C 、、、、在x 轴上，若点1B 的坐标为()1,1，点2B 的坐标为()3,2，那么点4A 的坐标为____，点n A 的坐标为__________．【答案】 (1). ()7,8 (2). ()1121,2n n ---【解析】 【分析】先求出点1A 、2A 的坐标，代入求出解析式，根据1A 1B =1，2B （3,2）依次求出点点1A 、2A 、3A 、4A 的纵坐标及横坐标，得到规律即可得到答案. 【详解】∵1B （1,1），2B （3,2），∴正方形111A B C O 的边长是1，正方形2221A B C C 的边长是2， ∴1A （0,1），2A （1,2），将点1A 、2A 的坐标代入y kx b =+得12b k b =⎧⎨+=⎩，解得11=⎧⎨=⎩k b ，∴直线解析式是y=x+1， ∵1A 1B =1，2B （3,2），∴1A 的纵坐标是012=，横坐标是0021=-， ∴2A 的纵坐标是1112+=，横坐标是1121=-， ∴3A 的纵坐标是2222+=，横坐标是21221+=-，∴4A 的纵坐标是34482+==，横坐标是3124721++==-， 由此得到n A 的纵坐标是12n -，横坐标是121n --， 故答案为：（7,8），（121n --，12n -）.【点睛】此题考查一次函数的定义，函数图象，直角坐标系中点的坐标规律，能根据图象求出点的坐标并总结规律用于解题是关键.三、解答题：（17~20，23题每题5分，21，22每题6分，24题7分，25题8分，共52分，如无特别说明，解答题中的填空均直接写答案．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．） 17.解方程：2450x x --=. 【答案】15=x ，21x =- 【解析】 【分析】先利用配方法，把左边配成完全平方，然后直接开方解方程即可. 【详解】解：配方得：2449x x -+=， 即()229x -=， 开方得：23x -=±，解得：15=x ，21x =-．【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的几种基本解法是关键. 18.)1+-【答案】0 【解析】 【分析】先将各项分别化简，再合并同类二次根式即可.【详解】解：原式110=+=.【点睛】此题考查二次根式的混合运算，正确化简各二次根式是解题的关键. 19.已知：1a =+，求222013a a -+得值．【答案】2015 【解析】 【分析】先根据完全平方公式将多项式变形，再将a 的值代入计算即可.【详解】原式=2(1)2012a -+，∵1a =，∴原式)2112012320122015=-+=+=.【点睛】此题考查多项式的化简求值，二次根式的乘方计算，将多项式正确变形使计算更加简便. 20.求证：a 取任何实数时，关于x 的方程()213210ax a x a --+-=总有实数根．【答案】见解析 【解析】 【分析】由a 是二次项的系数，分a=0及0a ≠两种情况分别确定方程的根的情况即可得到结论. 【详解】当0a =时，方程为10x --=，1x =-； 当0a ≠，方程()213210axa x a --+-=为一元二次方程，()()()222134212110a a a a a a =---=-+=-≥△，原方程有实数根．综上所述，a 取任何值时，原方程都有实数根．【点睛】此题考查方程的根的情况，正确理解题意分情况解答是解题的关键.21.如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AC ⊥AB ，AB ＝20，且AC ∶BD ＝2∶3.(1)求AC 的长； (2)求△AOD 的面积． 【答案】(1) 8；(2) 45 【解析】【详解】解：（1）如图，在▱ABCD 中，OA=OC=12AC ，OB=OD=12BD ． ∵AC ：BD=2：3， ∴AO ：BO=2：3，故设AO=2x ，BO=3x ，则在直角△ABO 中，由勾股定理得到：OB 2﹣OA 2=AB 2，即9x 2﹣4x 2=20， 解得，x=2或x=﹣2（舍去）， 则2x=4，即AO=4， ∴AC=2OA=8； （2）如图，S △AOB =12AB•AO=12×20×4=45． ∵OB=OD ，∴S △AOD =S △AOB =45．22.如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD （围墙MN 最长可利用25m ），现在已备足可以砌50m 长的墙的材料，恰好用完，试求AB 的长，使矩形花园的面积为2300m ．【答案】AB 的长为15米 【解析】 【分析】设AB=xm ，列方程解答即可.【详解】解：设AB=xm ，则BC=（50-2x ）m ， 根据题意可得，()502300x x -=，解得：1210,15x x ==，当10x =时，5010103025BC =--=>， 故110x =（不合题意舍去）， 答：AB 的长为15米．【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意是列方程的关键.23.5个同样大小的正方形纸片摆放成“十”字型，按图1所示的方法分割后可拼接成一个新的正方形．按照此种做法解决下列问题：（1）5个同样大小的矩形纸片摆放成图2形式，请将其分割并拼接成一个平行四边形．要求：在图2中画出并指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件的平行四边形即可）；（2）如图3，在面积为1的平行四边形ABCD 中，点E F G H 、、、分别是边AB BC CD DA 、、、的中点，分别连结AF BG CH DE 、、、得到一个新的平四边形MNPQ ．则平行四边形MNPQ 的面积为___________(在图3中画图说明)．【答案】（1）见解析；（2）15；说明见解析， 【解析】 【分析】(1)参考5个同样大小的正方形纸片摆放成“十”字型，按图1所示的方法分割后可拼接成一个新的正方形的方法去解.(2)采用逆向思维的方式画出"复原"图并结合这个图形即可快捷的求出所求. 【详解】（1）如图2所示：拼接成的四边形是平行四边形；（2）正确画出图形（如图3）故平行四边形MNPQ 的面积为：15． 【点睛】本题第二问较难，主要不知采用逆向思维的方式得到所求的图形进而求出所求图形的面积，把它返回到5个相同的平行四边形的状态，那么其中一个的面积为原图形的15，那么平行四边形MNPQ 的面积就是11155⨯=. 24.如图，四边形ABCD 是正方形，ABE △是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60︒得到BN ，连接EN CM 、．（1）证明：ABM EBN △≌△；（2）当M 点在何处时，AM BM CM ++的值最小，并说明理由；（3）当AM BM CM ++的最小值为31+时，则正方形的边长为___________．【答案】（1）见解析；（2）当M 点位于BD 与CE 的交点处时，AM BM CM ++的值最小，理由见解析；（32． 【解析】 【分析】(1) 由题意得MB=NB ，∠ABN=15°， 所以∠EBN=45°， 容易证出△AMB ≌△ENB ；(2)根据"两点之间线段最短”，当M 点位于BD 与CE 的交点处时，AM+BM+CM 的值最小，即等于EC 的长；(3)过E 点作EF ⊥BC 交CB 的延长线于F ，由题意求出∠EBF=30°， 设正方形的边长为x ，在Rt △EFC 中，2. 【详解】解：（1）∵ABE △是等边三角形， ∴,60BA BE ABE =∠=︒， ∵60MBN ∠=︒，∴MBN ABN ABE ABN ∠-∠=∠-∠，即BMA NBE ∠=∠． 又∵MB NB =，∴()AMB ENB SAS △≌△；（2）如图，连接CE ，当M 点位于BD 与CE 的交点处时，AM BM CM ++的值最小． 理由如下： 连接NN ，由（1）知，AMB ENB △≌△， ∴AM EN =．∵60,MBN MB NB ∠=︒=， ∴BMN △是等边三角形， ∴BM MN =．∴AM BM CM EN MN CM ++=++根据“两点之间线段最短”，得EN MN CM EC ++=最短． 当M 点位于BD 与CE 的交点处时，AM BM CM ++的值最小，即等于EC 的长．（32．过E 点作EF BC ⊥交CB 的延长线于F ， ∴906030EBF ∠=︒-︒=︒． 设正方形的边长为x ，则3BF x ，EF x =．在Rt EFC V 中， ∵222EF FC EC +=，∴)2223312x x x ⎫⎛⎫++=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得，2x =． 2．【点睛】此题是四边形的综合题，考查里正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，最短路径问题，解题中注意综合各知识点.25.已知，矩形ABCD 中，4,8AB cm BC cm ==，AC 的垂直平分EF 线分别交AD BC 、于点E F 、，垂足为O ．（1）如图1，连接AF CE 、，求证：四边形AFCE 为菱形；（2）如图2，动点P Q 、分别从A C 、两点同时出发，沿AFB △和CDE △各边匀速运动一周，即点P 自A F B A →→→停止，点O 自C D E C →→→停止．在运动过程中，①已知点P 的速度为每秒5cm ，点Q 的速度为每秒4cm ，运动时间为t 秒，当AC P Q 、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，则t =____________．②若点P Q 、的运动路程分别为a b 、 （单位:,0cm ab ≠），已知AC P Q 、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，则a 与b 满足的数量关系式为____________．【答案】（1）见解析；（2）①43t =；②12a b += 【解析】【分析】 (1)先证明四边形AFCE 为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定；(2)①分情况讨论可知，当P 点在BF 上、Q 点在ED 上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可； ②分三种情况讨论可知a 与b 满足的数量关系式. 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC ∥∴,CAD ACB AEF CEF ∠=∠∠=∠，∵EF 垂直平分AC ，垂足为O ，∴OA OC =，∴AOE COF △≌△，∴OE OF =，∴四边形AFCE 为平行四边形，又∵EF OF ⊥∴四边形AFCE 为菱形，（2）①43t =秒． 显然当P 点在AF 上时，Q 点在CD 上，此时A C P Q 、、、四点不可能构成平行四边形；同理P 点在AB上时，Q 点在DE 或CE 上，也不能构成平行四边形．因此只有当P 点在BF 上、Q 点在ED 上时，才能构成平行四边形．∴以AC P Q 、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC QA = ∴点P 的速度为每秒5cm ，点Q 的速度为每秒4cm ，运动时间为t 秒，∴5,4124PC t QA CD AD t t ==+-=-，∴5124t t =-，解得43t = ∴以AC P Q 、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，43t =秒． ②a 与b 满足的数量关系式是12a b +=，由题意得，以AC P Q 、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时， 点P Q 、在互相平行的对应边上，分三种情况：i ）如图1，当P 点在AF 上、Q 点在CE 上时，AP CP =，即12a b =-，得12a b +=．ii ）如图2，当P 点在B 上、Q 点在DE 上时，AQ CP =，即12b a -=，得12a b +=．iii ）如图3，当P 点在AB 上、Q 点在CD 上时，AQ CP =，即12a b -=，得12a b +=．综上所述，a 与b 满足的数量关系式是()120a b ab +=≠．【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质，菱形的判定及性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，解题中注意分类讨论的思想.附加题（每题4分，共20分）26.若2,,4m 为三角形三边，化简()()2226m m -+-=___________．【答案】4【解析】【分析】根据三角形的三边关系得到m 的取值范围，根据取值范围化简二次根式即可得到答案.【详解】∵2，m ，4是三角形三边，∴2<m<6，∴m-2>0，m-6<0，∴原式=26m m -+-=m-2-（m-6）=4，故答案为：4.【点睛】此题考查三角形的三边关系，绝对值的性质，化简二次根式，根据三角形的三边关系确定绝对值里的数的正负是解题的关键.27.如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是_________．【答案】17【解析】【分析】画出图形，设菱形的边长为x ，根据勾股定理求出周长即可．【详解】当两张纸条如图所示放置时，菱形周长最大，设这时菱形的边长为xcm ，在Rt △ABC 中，由勾股定理：x 2=（8-x ）2+22，解得：x=174, ∴4x=17，即菱形的最大周长为17cm ．故答案是：17．【点睛】解答关键是怎样放置纸条使得到的菱形的周长最大，然后根据图形列方程．28.设0m n >>，若()22m n mn -=，则22m n mn-=____________． 【答案】3【解析】【分析】根据已知条件求出()22m n mn -=，()26m n mn +=，得到m-n 与m+n ，即可求出答案. 【详解】∵()22m n mn-=， ∴()22m n mn -=，∴()26m n mn +=，∵m> n>0， ∴2m n mn -=6m n mn += ∴22()()2623m n m n m n mn mn mn mn mn-+-=== 故答案为：3【点睛】此题考查利用算术平方根的性质化简，平反差公式的运用，熟记公式是解题的关键.29.关于x 的方程()28810x k x k -++-=有两个整数根，则整数k =____________．【答案】8【解析】【分析】先计算判别式得到∆=2(8)4k -+，根据方程有两个整数根确定∆必为完全平方数，由此得到整数k 的值.【详解】由题意得∆=22(8)4(81)(8)4k k k +--=-+，∵方程()28810x k x k -++-=有两个整数根，∴∆必为完全平方数，而k 是整数，∴k-8=0，∴k=8，故答案为：8.【点睛】此题考查一元二次方程的根的判别式，完全平方公式，正确理解题意是解题的关键.30.如图，在ABC V 中，90,30ACB ABC ∠=︒∠=︒，将ABC V 绕顶点C 顺时针旋转，旋转角为()0180θθ︒<<︒，得到A B C '''V ．设AC 中点为E ，A B ''中点为P ，2AC =，连接EP ，当θ=____________︒时，EP 长度最大，最大值为____________．【答案】 (1). 120 (2). 3【解析】【分析】连接CP ，当点E 、C 、P 三点共线时，EP 最长，根据图形求出此时的旋转角及EP 的长.【详解】∵90,30ACB ABC ∠=︒∠=︒，2AC =，∴AB=4，∠A=60°，由旋转得A '∠=∠A=60°，A B ''=AB=4，∵A B ''中点为P ，∴12PC PA A B '''===2， ∴△A PC '是等边三角形，∴∠A CP '=60°，如图，连接CP ，当ABC V 旋转到点E 、C 、P 三点共线时，EP 最长，此时120A CA θ''=∠=o ， ∵点E 是AC 的中点，2AC =,∴CE=1，∴EP=CE+PC=3，故答案为: 120，3.【点睛】此题考查直角三角形的性质，等边三角形的判定及性质，旋转的性质，解题中首先确定解题思路，根据旋转得到EP 的最大值即是CE+PC 在进行求值，确定思路是解题的关键.。