三角形中做辅助线的技巧及典型例题
全等三角形中常见辅助线的作法
全等三角形中常见辅助线的作法一、倍长中线法。
1. 作法。
- 当遇到三角形中线时，可将中线延长一倍，连接相应顶点，构造全等三角形。
- 例如，在△ABC中，AD是BC边上的中线。
延长AD到E，使DE = AD，然后连接BE。
2. 原因。
- 因为BD = CD（AD是中线），∠BDE = ∠CDA（对顶角相等），DE = AD（所作辅助线），根据SAS（边角边）判定定理，可以证明△BDE≌△CDA。
- 这样做的好处是可以将分散的线段和角集中到新构造的全等三角形中，从而便于解决问题，比如可以将AC边转化为BE边，进而在新的三角形△ABE中研究线段之间的关系。
二、截长补短法。
1. 截长法。
- 作法。
- 在较长的线段上截取一段等于已知的较短线段。
- 例如，在△ABC中，要证明AB = AC + CD（假设AC＜AB）。
在AB上截取AE = AC，然后连接DE。
- 原因。
- 截取AE = AC后，我们可以通过证明△ADE≌△ADC（如果有合适的条件，如AD 是角平分线，则可以利用SAS判定），得到DE = CD。
这样就将AB = AC+CD的证明转化为证明BE = DE的问题，将问题简化。
2. 补短法。
- 作法。
- 延长较短的线段，使延长后的线段等于较长的线段。
- 例如，在上述△ABC中，延长AC到F，使CF = CD，然后连接DF。
- 原因。
- 延长AC到F使CF = CD后，如果能证明△ABD≌△AFD（根据具体题目中的条件，可能利用AAS、ASA等判定定理），就可以将AB = AC + CD的证明转化为证明AB = AF的问题，通过构造全等三角形，把线段之间的关系进行转化，从而达到解题目的。
三、作平行线法。
1. 作法。
- 过三角形的一个顶点作某条边的平行线。
- 例如，在△ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，要证明AD/AB = AE/AC。
过D作DF∥AC交BC于F。
2. 原因。
- 因为DF∥AC，根据平行线的性质，可得∠ADF = ∠A，∠AFD = ∠C，∠BDF = ∠B。
全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案)
全等三角形问题中常见的辅助线的作法总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.截长补短：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。
从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。
1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂D C BAED F CB A线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。
（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。
初中三角形中做辅助线的技巧及典型例题
三角形中做辅助线的技巧口诀：三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
线段和差及倍半，延长缩短可试验。
线段和差不等式，移到同一三角去。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
一、由角平分线想到的辅助线口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。
对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。
①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。
通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。
至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。
与角有关的辅助线（一）、截取构全等如图1-2，AB3 C 知：如图2-6,在正方形AB CD 中，E 为CD 的中点，F 为BC上的点，∠FAE=∠DAE 。
求证：AF=AD+CF 。
3.已知：如图2-7，在Rt △ABC 中，∠ACB=90?,CD ⊥AB ，垂足为D ，AE 平分∠D 于F ，过F 作FH 21知：如图3-2交CAB=AC ，∠BAC=90?，AD 为∠ABC 线，CE ⊥BE.求证：BD=2CE 。
分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。
例3．已知：如图3-3在△ABC 中，AD 、AE 分别∠BAC 的内、外角平分线，过顶点B 作BFAD ，交AD 的延长线于F ，连结FC 并延长交AE 于M 。
求证：AM=ME 。
分析：由AD 、AE 是∠BAC 内外角平分线，可得EA ⊥AF ，从而有BF21212121C图2-6ECD图2-7DBA图3-2BC图4-1AB已知，如图，∠C =2∠A ，AC=2BC 。
初中几何全等三角形常见辅助线作法
全等三角形常见辅助线作法【例1】.已知：如图6, 4BCE、△ACO分别是以8E、为斜边的直角三角形，且= ACDE是等边三角形.求证：△ A3c是等边三角形.【例2】、如图，已知BC>AB, AD=DCo BD 平分NABC。
求证：ZA+ZC=180°.线段的数量关系: 通过添加辅助线构造全等三角形转移线段到一个三角形中证明线段相等。
1、倍长中线法【例.3］如图，己知在△ABC中，ZC = 90°, ZB = 30°, A。
平分NB4C,交BC于点D.求证：BD = 2CD证明：延长DC到E,使得CE=CD,联结AEZC=90°A AC ± CDVCD=CEAD=AEVZB=30° ZC=90°ZBAC=60°YAD 平分NBACJ ZBAD=30°A DB=DA ZADE=60°VDB=DA：.BD=DE/. BD=2DC4B D笫3题•/ ZADE=60° AD=AEA △ ADE为等边三角形，AD=DE【例4.】如图，。
是AABC的边上的点，且CD = AB, ZADB = ZBAD, AE是AARD的中线。
求证：AC = 2AEo 证明：延长AE至IJ点F,使得EF=AE联结DF在4ABE和4FDE中BE=DEZAEB=ZFEDAE=FE/.△ABE 也AFDE (SAS) A AB=FD ZABE=ZFDE VAB=DCJ FD = DCZADC=ZABD+ZBAD ZADB = ZBAD，ZADC=ZABD+ZBDA VZABE=ZFDE・・・NADONADB+NFDE即ZADC= ZADF ffiAADF 和AADC 中AD=AD< ZADF= ZADC、DF =DC・•・△ ADF也ADC(SAS) AAF=ACAC=2AE【变式练习】、如图，AABC中，BD二DOAC, E是DC的中点，求证：AD平分NBAE.【小结】熟悉法一、法三“倍长中线”的辅助线包含的基本图形“八字型”和“倍长中线”两种基本操作方法, 倍长中线，或者倍长过中点的一条线段以后的对于解决含有过中点线段有很好的效果。
三角形全等证明,10道考试真题,6种常用辅助线添加的方法和技巧.doc
三角形全等证明，10道考试真题，6种常用辅助线添加的方法和技巧以下六种常用的辅助线添加方法和技巧。
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方法一、双垂直构造三角形全等。
遇见角平分线，角平分线上的点向角两边做垂直，必出三角形全等。
例题1，是最基础，最简单的题型。
有些，需要我们证明角平分线的时候，同样可以向角两边做垂直，那么只要两个垂线段相等，到角两边距离相等的点在角平分线上。
例题2，过点P做MN平行BC，则出现在AB边和CD 边上，双垂直。
根据题意，证明三角形QNP全等于三角形PMB，结论得证。
方法二，倍长中线。
三角形中，遇见中点，很容易想到倍长中线。
例题3，倍长中线后，得出三角形ACE全等于三角形ACM。
例题4，延长AD至E，使DE=AD。
得出三角形ADC全等于三角形EDB。
第2小题，根据三角形的三边关系，等量代换，即可求出AD的取值范围。
方法三、截长补短法。
求证两个线段和等于一个线段的时候，很容易想到截长补短的辅助线添加方法。
截长补短法，包括了截长法和补短法，两种方法。
一般来说，一道题，既可以用截长法，也可以用补短法。
例题6、解析中用了延长AD至M，使MD=FD。
请认真看解答过程。
再请按照图3的辅助线，自行练习推理，举一反三，得出结论。
方法四、平行线发或者平移法。
解题方法1，过点O做OD平行BC。
还有两个方法，请自行推理，如图3和图4.方法五，旋转法。
把一个三角形，经过旋转，旋转后必出三角形全等，得出结论。
例8和例9，其实也就是，最近经典的半角模型。
之前也专门讲过，这个几何模型。
请认真参考，这个两个例题。
从中总结规律和解题方法。
方法六、翻折法，或者叫对称法。
例题10，看起来很难，当你认真看完解题过程，肯定会有所收获。
全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案)
全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
.1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。
从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
；常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二DCB AA个角之间的相等。
1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形．3) 遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。
全等三角形六种辅助线方法及例题
全等三角形六种辅助线方法及例题全等三角形是初中数学中一个非常重要的概念，掌握全等三角形的判定方法和辅助线方法对于解题至关重要。
本文将介绍全等三角形的六种辅助线方法，并结合例题进行详细讲解。
一、辅助线法1.等角分线法：将三角形内角的平分线相互交点构成的点与三角形的另外一个顶点相连，得到一条辅助线。
这条辅助线将三角形分成两个等角的小三角形，从而得到相似或全等三角形。
2.中线法：将三角形任意两边的中点相连，得到三角形的中线。
相等的中线将三角形分成两个面积相等的小三角形，从而得到相似或全等三角形。
3.高线法：将三角形内任意一条边的垂线向另外两边引出，得到三角形的高线。
相等的高线将三角形分成两个面积相等的小三角形，从而得到相似或全等三角形。
4.角平分线法：将三角形内角的平分线相互交点构成的点相连，得到三角形的角平分线。
相等的角平分线将三角形分成两个面积相等的小三角形，从而得到相似或全等三角形。
5.角平分线中垂线法：将三角形内角的平分线的中垂线相互交点构成的点相连，得到三角形的角平分线中垂线。
相等的角平分线中垂线将三角形分成两个面积相等的小三角形，从而得到相似或全等三角形。
6.外心连线法：将三角形外接圆心与三角形三个顶点分别相连，得到三条辅助线。
这三条辅助线相等，将三角形分成三个面积相等的小三角形，从而得到相似或全等三角形。
二、例题解析1.已知△ABC，点D,E分别为BC,AB边上的中点，连接AD，BE相交于点F，求证：△DEF≌△ABC。
解析：由题意可知，△ABC是由两个等腰三角形组成的，因此可使用中线法证明两个三角形的全等。
由于D，E分别是BC,AB边上的中点，因此DE是AC中线，即DE=1/2AC；同理，AE是BC中线，AF=1/2BC。
因此，△ADB和△AEC是等腰三角形，且AD=EC，AB=AB，∠BAC=∠BAC，因此△ADB≌△AEC。
又因为DE是AC中线，BF是AE中线，因此DE=1/2AC，BF=1/2AE。
初中数学】几何题,辅助线的添加方法和典型例题
初中数学】几何题,辅助线的添加方法和典型例题初中数学：几何题型，辅助线的画法和典型例题1.倍长中线法已知在△ABC中，D是BC中点，DE⊥DF，需要判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明结论。
思路点拨：利用倍长中线法，倍长过中点的线段DF使DG＝DF，再证明△XXX≌△EDF，△FDC≌△GDB，将BE、CF与EF线段转化到△BEG中，利用两边之和大于第三边证明。
解析：连接BG、EG，因为D是BC中点，所以BD＝CD。
又因为DE⊥DF，在△XXX和△EDF中，ED＝ED，∠XXX∠EDF，DG＝DF，因此△XXX≌△EDF（SAS），所以EG＝EF。
在△XXX与△GDB中，CD＝BD，∠1＝∠2，DF＝DG，因此△FDC≌△GDB（SAS），所以CF＝BG。
因为BG＋BE＞EG，所以BE＋CF＞EF。
结论得证。
总结升华：有中点的时候作辅助线可以考虑倍长中线法（或倍长过中点的线段）。
变式：已知CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB＝∠ABC，需要证明CD＝2CE。
解析：连接BF，延长CE至F使EF＝CE。
因为EC为中线，所以AE＝BE。
在△AEC与△BEF中，AE＝BE，∠AEC ＝∠BEF，CE＝EF，因此△AEC≌△BEF（SAS）。
所以AC ＝BF，∠A＝∠FBE。
又因为∠ACB＝∠ABC，∠XXX∠ACB＋∠A，∠XXX∠ABC＋∠A，所以AC＝AB，∠XXX∠XXX。
因此AB＝BF，BC为△ADC的中线，所以AB＝BD，即BF＝BD。
在△FCB与△DCB中，∠XXX∠DBC，BC＝BC，因此△FCB≌△DCB（SAS），所以CF＝CD。
结论得证。
2.以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形已知在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2，需要证明XXX。
解析：在AB上截取AE＝AC，连接CE，作角ACE的平分线交AB于D，连接CD。
因为∠C＝2∠B，所以∠ACE＝∠XXX∠B，∠XXX∠A＝∠1＝∠2，所以△AED≌△ACD （SAS），因此ED＝CD。
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三角形中做辅助线的技巧口诀：三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
线段和差及倍半，延长缩短可试验。
线段和差不等式，移到同一三角去。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
一、由角平分线想到的辅助线 口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等。
对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。
①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。
通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。
至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。
与角有关的辅助线（一）、截取构全等如图1-1，∠AOC=∠BOC ，如取OE=OF ，并连接DE 、DF ，则有△OED ≌△OFD ，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。
如图1-2，AB2AC2AC3 CAC 。
3．已知：如图2-5, ∠BAC=∠CAD,AB>A D ，CE ⊥AB ，AE=21（AB+AD ）.求证：∠D+∠B=180。
4.已知：如图2-6,在正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为BCB图2-3C上的点，∠FAE=∠DAE 。
求证：AF=AD+CF 。
已知：如图2-7，在Rt △ABC 中，∠ACB=90,CD ⊥AB ，垂足为D ，AE 平分∠CAB 交CD 于F ，过F 作FH 21证：BD=2CE 。
分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。
例3．已知：如图3-3在△ABC 中，AD 、AE 分别∠BAC 的内、外角平分线，过顶点B 作BFAD ，交AD连结FC 并延长交AE 于M 。
求证：AM=ME 。
分析：由AD 、AE 是∠BAC ⊥AF ，从而有BF 21212121已知，如图，∠C=2BC 。
求证：△ABC 是直角三角形。
2．已知：如图，AB=2AC ，∠1=∠2，证：DC ⊥AC3．已知CE 、AD 是△ABC 的角平分线，∠4．已知：如图在△ABC 中，∠A=90°，二、 由线段和差想到的辅助线口诀：线段和差及倍半，延长缩短可试验。
线段和差不等式，移到同一三角去。
遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：1、截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；2、补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。
对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。
1 2A C D BC ABA B D1 2 图3-2BC一、 在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来，可连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：例1、 已知如图1-1：D 、E 为△ABC 内两点,求证:AB+AC>BD+DE+CE.证明：（法一）将DE 两边延长分别交AB 、AC 于M 、N ， 在△AMN 中，AM+AN>MD+DE+NE;（1） 在△BDM 中，MB+MD>BD ；（2） 在△CEN 中，CN+NE>CE ；（3） 由（1）+（2）+（3）得：AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE ∴AB+AC>BD+DE+EC （法二：图1-2）延长BD 交AC 于F ，廷长CE 交BF 于G ，在△ABF 和△GFC 和△GDE 中有： AB+AF>BD+DG+GF （三角形两边之和大于第三边）…（1） GF+FC>GE+CE （同上）（2） DG+GE>DE （同上）（3） 由（1）+（2）+（3）得：AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE ∴AB+AC>BD+DE+EC 。
二、 在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：例如：如图2-1：已知D 为△ABC 内的任一点，求证：∠BDC>∠BAC 。
因为∠BDC 与∠BAC 不在同个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使∠BDC 处于在外角的位置，∠BAC 处于在内角的位置；证法一：延长BD 交AC 于点E ，这时∠BDC 是△EDC 的外角， ∴∠BDC>∠DEC ，同理∠DEC>∠BAC ，∴∠BDC>∠BAC 证法二：连接AD ，并廷长交BC 于F ，这时∠BDF 是△ABD 的ABCD ENM 11-图ABCDEFG21-图ABCD EF G12-图外角，∴∠BDF>∠BAD ，同理，∠CDF>∠CAD ，∴∠BDF+ ∠CDF>∠BAD+∠CAD ，即：∠BDC>∠BAC 。
注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。
三、 有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如：例如：如图3-1：已知AD 为△ABC 的中线，且∠1=∠2,∠3=∠4,求证：BE+CF>EF 。
BE+CF>EF ，可利用三角形三边关系定理证明，须把BE ，CF ，EF 移到同一个三角形中，而由已知∠1=∠2，∠3=∠4，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把EN ，FN ，EF 移到同个三角形中。
证明：在DN 上截取DN=DB ，连接NE ，NF ，则DN=DC ， 在△DBE 和△NDE 中： DN=DB （辅助线作法） ∠1=∠2（已知） ED=ED （公共边） ∴△DBE ≌△NDE （SAS ）∴BE=NE （全等三角形对应边相等） 同理可得：CF=NF在△EFN 中EN+FN>EF （三角形两边之和大于第三边） ∴BE+CF>EF 。
注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的对应性质得到相等元素。
三、截长补短法作辅助线。
例如：已知如图6-1：在△ABC 中，AB>AC ，∠1=∠2，P 为AD 上任一点求证：AB-AC>PB-PC 。
要证：AB-AC>PB-PC ，想到利用三角形三边关系，定理证之，因为欲证的线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB-AC ，故可在AB 上截取AN 等于AC ，得AB-AC=BN ，再连接PN ，则PC=PN ，又在△PNB 中，PB-PN<BN ，即：AB-AC>PB-PC 。
A B C D EFN13 图1234证明：（截长法）在AB 上截取AN=AC 连接PN,在△APN 和△APC 中 AN=AC （辅助线作法） ∠1=∠2（已知） AP=AP （公共边）∴△APN ≌△APC （SAS ）,∴PC=PN （全等三角形对应边相等） ∵在△BPN 中，有PB-PN<BN （三角形两边之差小于第三边） ∴BP-PC<AB-AC 证明：（补短法）延长AC 至M ，使AM=AB ，连接PM ， 在△ABP 和△AMP 中 AB=AM （辅助线作法） ∠1=∠2（已知） AP=AP （公共边） ∴△ABP ≌△AMP （SAS ）∴PB=PM （全等三角形对应边相等）又∵在△PCM 中有：CM>PM-PC(三角形两边之差小于第三边) ∴AB-AC>PB-PC 。
例1．如图，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 。
例2如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，A D+AB=2AE ，求证：∠ADC+∠B =180o例3已知：如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC ，∠A=108°，BD 平分∠ABC 。
求证：BC=AB+DC 。
例4如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AD 是∠CAB 的平分线，DM ⊥AB 于M ，且AM=MB 。
求证：CD=21DB 。
【夯实基础】例：ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，且AB=AC 方法1：作DE ⊥AB 于E ，作DF ⊥AC 于F ，证明二次全等DAE C B A EBCDD CB AMBD C A A BCDNMP16-图12方法2：辅助线同上，利用面积 方法3：倍长中线AD【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线△ABC 中方式1： 延长AD 到E ，AD 是BC 边中线使DE=AD ，连接BE方式2：间接倍长 作CF ⊥AD 于延长MD 到N ，作BE ⊥AD 使DN=MD ，连接连接CD【经典例题】例1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围提示：画出图形，倍长中线AD ，利用三角形两边之和大于第三边例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE方法1：过D 作DG ∥AE 交BC 于G ，证明ΔDGF ≌ΔCEF方法2：过E 作EG ∥AB 交BC 的延长线于G ，证明ΔEFG ≌ΔDFB 方法3：过D 作DG ⊥BC 于G ，过E 作EH ⊥BC 的延长线于H 证明ΔBDG ≌ΔECH例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF提示：倍长AD 至G ，连接BG ，证明ΔBDG ≌ΔCDA 三角形BEG 是等腰三角形例4：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 作BA DF //交AE于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠ 提示：方法1：倍长AE 至G ，连结DG 方法2：倍长FE 至H ，连结CH 例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE提示：倍长AE 至F ，连结DF 证明ΔABE ≌ΔFDE （SAS ）进而证明ΔADF ≌ΔADC （SAS ）【融会贯通】1、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。