具有幂条件的矩阵类的研究与Jordan标准形
矩阵多项式的Jordan标准形
A(λ)=[■(a_11 (λ)&a_12 (λ)&⋯&a_1n (λ)@a_21 (λ)&a_22 (λ)&⋯&a_2n (λ)@⋮&⋮&&⋮@a_m1 (λ)&a_m2 (λ)&⋯&a_mn (λ) )]
在实际应用中，我们遇到的往往不是单个矩阵，而是矩阵函数[ ]。而多项式是最简单的一类函数，因此讨论矩阵多项式的Jordan标准形是有意义的。 专家通过对矩阵方幂的Jordan标准形进行研究，已有如下结论：可逆矩阵A的任意次幂A^m与A有相同的Jordan标准形，仅把对角元λ_i换为〖λ_i〗^m。但是对于矩阵多项式f(A)的Jordan标准形的研究较少，这也是本文的难点和创新之处。
第二章，主要给出了两种经典的求Jordan标准形的方法，第一种为通过求初等因子进而得到Jordan标准形的普通方法；第二种方法通过确定矩阵A每个特征值对应的Jordan块总数和各阶Jordan块的数目，进而得到A的Jordan标准形。
第三章，利用相似矩阵具有相同的Jordan标准形，分析Jordan块J_i、Jordan多项式f(J)以及矩阵多项式f(A)的关系，对Jordan块J_i是否可逆分情况进行讨论，最后得到求矩阵多项式f(A)的Jordan标准形的方法。
虽然有些矩阵不能相似于对角阵，但任意矩阵总能相似于一个形式上比对角阵稍复杂的Jordan标准形J.下面给出Jordan块与Jordan标准形的定义。
定义1.1.5 形如
J_i=[■(λ_i&0&⋯&0&0&0@1&λ_i&⋯&0&0&0@⋮&⋮&&⋮&⋮&⋮@0&0&⋯&1&λ_i&0@0&0&⋯&0&1&λ_i )]_(s_i×s_i )
矩阵的Jordan标准型介绍
矩阵的Jordan 标准型介绍——Jordan 标准型是相似意义下零元素最多的矩阵吗？线性代数中的一个核心的结果(见[1,2])是Jordan 标准型定理：任何一个复数域上的方阵A 都相似于一个Jordan 矩阵1122()((),(),,())J A diag J J J σσλλλ=…，其中11()1i i i i i i J λλλλλ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠，1,2,,i σ=…，i λ为矩阵A 的特征值。
(注意：对i ，可能有j j ≠i λλ=成立)对于Jrodan 块的置换来说，Jordan 标准型是唯一的(见[2])。
由线性代数中的内容已知，所有与A 相似的矩阵都有与A 置换意义下相同的Jordan 标准型。
那么所有与A 相似的矩阵(包括A )中，是不是含有0元素最多的矩阵呢？答案是否定的。
例如：取()J A 0201100001000010A −⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，则，11000100()00110001J A −⎛⎞⎜⎟−⎜=⎜⎜⎟⎝⎠⎟⎟A 有11个0元素，却只有10个0元素。
()J A 通过观察我们还能发现，矩阵A 的主对角线元素都为0，而且去掉主对角元素以后A 含有7个0元素，而则仍含有10个0元素，那么我们就要问：所有与()J A A 相似的矩阵(包括A )中，是不是含有非主对角线0元素最多的矩阵呢？答案是肯定的。
文献[3]给出了证明。
()J A参考文献[1]. R.A. Brualdi, The Jordan canonical form: an old proof, Amer. Math. Monthly 94(1987) 257–267.[2].R.A. Horn, C.R. Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985,121–127 and 150–153.[3].R. A. Brualdi, P. Pei, X. Zhan, An extremal sparsity property of the Jordancanonical form, Linear Algebra Appl. 429(2008) 2367-2372.。
第2章矩阵与矩阵的Jordan标准形(详解)
第2章 λ-矩阵与矩阵的Jordan 标准形 （详解）2-1 解:仿教材例2.1.1-例2.1.42-2 证：判断下面的两个λ-矩阵100100a a a λλλ--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦与0000a a a λελελ--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦是否等价.容易求出这两个λ-矩阵的不变因子均为31,1,()a λ-相似.评注：数字矩阵的相似问题完全可以转化为λ-矩阵的等价问题.2-3 证：只需判断λ-E A 与λ-E B 是否等价.对于λ-矩阵1010111a a a λλλ⨯--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ 其不变因子为101,1,()a λ-；对于λ-矩阵1010111a a a λλελ⨯--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦ 其不变因子为101,1,()a λε--.显然A 与B 不具有相同的不变因子，从而A 不相似于B.2-4 证：用反证法.假设A 可以对角化，于是存在可逆矩阵P 使得11n λλ-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P AP 由于0kA =，所以11()0k k n λλ-⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦A P P 即10k k n λλ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦由此可知120n λλλ====，故100-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P AP 这表明0A =，这与0A ≠矛盾.2-5 证：只要证明A 的每一个Jordan 标准形为1211,1i iiii s i n n a a a ⨯⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦J J J J J 那么存在相似变换矩阵P 使得1-=P AP J .因此1k k -==J P A P E于是有111ik k ii k k iiki k k i k i a ka a ka ka a ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦J E故i J 必为一阶子块，即s n -.所以A 与对角矩阵相似.2-6证:设A 的若当标准形为11,1ii s i J J J J λλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1J Q AQ -=,由2A A =有2J J =,从而i J 都是一阶的,再利用矩阵的初等变换调整对角线上的元素,得证.2-7解:仿教材上的例题.2-8解:仿教材上的例题.2-9 解：用两种方法求解此题.方法一 相似变换矩阵的方法.对于任意一个可逆矩阵P ，矩阵1-PJP 均与矩阵J 相似，从而其Jordan 标准形必为J ，于是任取两个不同的可逆矩阵P ，即可得到两个矩阵A ，B .方法二 矩阵秩的方法.设A （或B ）的Jordan 标准形为100021002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦从而A （或B ）的Smith 标准形为211(2)(1)λλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦由此可知A （或B ）的行列式因子为2123()1,()1,()(2)(1)D D D λλλλλ===--这样的矩阵A （或B ）有很多，取表达式较为简单的矩阵，下列任何一种矩阵都可以200100200*10,*20,*20,**2**2**12**1**2**01*,02*,020********⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦下面分析“*”处元素取何值时才能保证1为主对角元的Jordan 块只有一个，以2为主对角元的Jordan 块也只有一个.根据求矩阵Jordan 标准形的第二种方法（矩阵秩的方法），只要使(2)2r -=A E 或(2)2r -=B E即可.例如20020-1921,010001002⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦均可以.但2001-10020,021051002⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦都不可以. 2-10解(思路)设1Q JQ A -=,其中J 是A 的若当标准形,则1001100A Q J Q -=2-11解: A 的不变因子()()()()123,,133λ(λ+1)λn d d d d λλλλ=====;由A 的初等因子以及E A λ-的秩为n 写出A 的若当标准形J .2-12解:仿教材例题.2-13解: 仿教材例题.2-14 解：因为()10λ=-≠A 1()1λλλλλ--⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦A故 11()1λλλλλ--+⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦A 注：n 阶λ-矩阵()λA 的秩为n ，不等价于()λA 可逆，这是与数字矩阵不相同之处.例如1()1λλλ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 的秩为2，但是它不可逆. 2-15 解：()λA 的元素中有非零常数212221321222122132223221111()2222221101102220031122221111222220010214202,2c c c c c c r r r r c c λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥←−→⎢⎥⎢⎥=+--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎡⎤-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥+---⎣⎦-++-+-+----A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦132221222432224323243231000421012100()04214100(3)4100(21)0404003410010104003c c c r c rc c λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎡⎤←−→⎢⎥-+-⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎡⎤⎢⎥+⎢⎥-+-⎢⎥⎢⎥-+--⎢⎥⎣⎦⎡⎤-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+--⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-++⎣⎦-2-16 解：()λA 的元素有公因子λ，所以额可以用初等变换把左上角元素变成λ3223122222112223322()533515353223c c c r r λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎡⎤⎡⎤-←−→-=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎡⎤+⎡⎤←−→+⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎢⎥⎣⎦A然后用初等变换把公因子λ所在的行、列的其余元素均化为零.2212223122525()320(103)33(5)00(103)r r c c λλλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎡⎤+⎡⎤+-⨯+⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-++⎡⎤⎢⎥--⎣⎦A2-17 解：()λA 的元素无公因子，也无常数元素.用初等变换把矩阵中某一个元素变成常数22212222222123221343221232432110()11100(1)0100()00r r r r r r c c λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎡⎤⎡⎤-++⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-+-⎣⎦⎣⎦⎡⎤+-+⎢⎥--+-⎢⎥-++⎢⎥----⎣⎦⎡⎤-++⎢⎥--+-⎢⎥⎢⎥----⎣⎦A剩下的右下角的二阶矩阵有公因子λ，参照2-16用的方法.有32432233224323322223223100()0010000100000100(1)0000110010000(1)c c r r c c r r λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥--+-⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎡⎤←−→⎢⎥---+⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎡⎤-+⎢⎥---+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎡⎤-+-+⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦-⨯⎡⎤-⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦A2-18 解：()λA 的元素中有常数.2322123212213323243243212323213(1)1()11(1)1(1)11(1)(+1)1(1)(1)0210100(1)02c c r r r r c c c c λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎡⎤+⎢⎥=+-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎡⎤+←−→⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦-+⎡⎤+--+⎢⎥----+-⎢⎥⎢⎥-++-++⎣⎦-++----+A 243243210λλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥-+-⎢⎥⎢⎥-++-++⎣⎦剩下的二阶矩阵使元素既无公因子又无常数的矩阵，参照2-17的方法可把二阶矩阵初等变换化3232432432233224323222432100()0210100021001000100c c c c λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥----+-⎢⎥⎢⎥-++-++⎣⎦⎡⎤-+⎢⎥--+-⎢⎥⎢⎥-++⎣⎦⎡⎤++⎢⎥--+-⎢⎥⎢⎥-++⎣⎦A2324324322324324322234322432432232432100010100010100()0100(1)()100()01000(1)()c c c c c c r r λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎡⎤+⎢⎥---⎢⎥⎢⎥-++-++⎣⎦⎡⎤←−→⎢⎥---⎢⎥⎢⎥-++-++⎣⎦⎡⎤--+⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-++--+-++⎣⎦⎡-+++--+-++⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦2-19 解：()λA 虽然是对角形，但不是Smith 标准形.2232233222(1)()(1)(1)(1)(1)00(2)0200211(1)(1)c c r r λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ+⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦+⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦+⎡⎤-++⎢⎥++⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦A2-20 解：首先容易求出()λA 的不变因子233342321()(1)(2)(2)()(1)()(1)()1d i i d d d λλλλλλλλλλλλ=-+-=-=-=于是()λA 的Smith 标准形为223331000000(1)0000()00(1)000000(1)(2)(2)00000000i i λλλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦A对于准对角形矩阵()0()0()λλλ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B A C 为准对角形矩阵，则()λB 与()λC 的不变因子求得()λA 的不变因子，但是能从()λB 与()λC 的初等因子立即得到()λA 的初等因子.2-21 解：方法一 ()λA 行列式因子易得为121()()()1,()()n n n a λλλλλ-=====-D D D D于是()λA 的不变因子为121()()()1,()()n n n d d d d a λλλλλ-=====-因而初等因子只有一个方法二 对()λA 用初等变换求得不变因子为11,1,,1,()n n a λ--个故初等因子为()n a λ-2-22 解：将()λA 之第二行，第三行，，第n 行分别乘以21,,,n λλλ-都加第一行上去，得到1221000()10010()00001n n f a a a a λλλλλ--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦A 其中 12121()n n n n n f a a a a λλλλλ---=+++++易得 det ()()f λλ=A 故 ()()n f λλ=D 又 1()1n λ-=D 于是 122()()()1n λλλ-====D D D所以 121()()()1,()()n n d d d d f λλλλλ-=====因此()λA 之Smith 标准形为1()1()f λλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A2-23 解：因为A 的初等因子乘积22(1)1λλλλλ-+是7次多项式，故A 是7阶的.2-24 解：A 是5阶矩阵，答案有如下几种情况：(1)A 的初等因子1,1,2,2,2λλλλλ++---A 的不变因子1,1,2,(1)(2),(1)(2)λλλλλ-+-+-(2)A 的初等因子21,1,2,(2)λλλλ++--A 的不变因子21,1,1,(1)(2),(1)(2)λλλλ+-+-(3)A 的初等因子21,1,(2)λλλ++-A 的不变因子31,1,1,1,(1)(2)λλλ++-(4)A 的初等因子2(1),2,2,2λλλλ+---A 的不变因子31,1,2,2,(2)(1)λλλλ---+(5)A 的初等因子22(1),2,(2)λλλ+--A 的不变因子221,1,1,2,1,(2)(1)λλλλ-+-+(6)A 的初等因子22(1),(2)λλ+-A 的不变因子231,1,1,1,(1)(2)λλ+-2-25 解：先求A 的初等因子.对()λ-E A 运用初等变换可得21261131114(1)λλλλλλ+-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦E A A 的初等因子是21,(1)λλ--故A 的Jordan 标准形是100011001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦J2-26 解：100011001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦AJ故存在333c ⨯∈P ，满足=AP PJ命 123(,,)=P X X X (1) 把P 代入式(1)得123123100(,,)(,,)011001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦AX AX AX X X X (2)比较式(2)两边得1122323,,===+AX X AX X AX X X即 1232()0,()0,()-=-=-=-E A X E A X E A X X在上述每个方程组中只要依次取一个解分别为123,,X X X ，组成123(,,)=P X X X 即可.易见12,X X 是A 的特征值为1的两个线性无关的特征向量.解方程组()0-=E A X可求得两个线性无关的特征向量(1,1,0),(3,0,1)T T =-=ξη若取12,==ξX ηX ，代入32()-=-E A X X ，该方程组无解，这时不能认为P 不存在.因为A 的特征子空间是二维的，即A 的线性无关特征向量不仅是,ξη.例如，只要,S t 满足1≠St 的任意数，,++ξS ηt ξη也是A 的线性无关特征向量.因此，若取12,k ==+X ξX ξη(0)k ≠，k 只要使得方程组32()-=-E A X X 有解.不难知道当1k =时，取2(2,1,1)T=+=X ξη代入32()-=-E A X X 方程组有解为1232331(,)x x x x x =-+-为任意数取它的一个解3(2,0,1)T=X ，就可.于是122110011-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P容易验证有1100011001-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P AP从以上两例可以概括出求Jordan 标准形变换矩阵P 的过程.设A 的Jordan 标准形为J ，则12s ⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎣⎦J J AP PJ P J 其中111i iiii n n λλλ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦J 把变换矩阵P 按Jordan 块i J 的阶数i n 进行相应的分块，即设12(,,,)S =P P P P其中in n i C⨯∈P ，因此12121212(,,,)(,,,)(,,,)S S S s =⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A P P P P P P J J J P P P J 故 121122(,,,)(,,,)S s S =AP AP AP J P J P J P比较上式两端得i i i =AP P J (1,2,,)i s =对i P 再按列分块12(,,,)i i n n i i i in C ⨯=∈P X X X其中12,,,i i i in X X X 是i n 个线性无关的n 维列向量，代入i i i =AP P J 可得1121221i i i i i i i i i i i n in i in λλλ-=⎧⎪=+⎪⎨⎪⎪=+⎩AX X AX X X AX XX (1,2,,)i s =由第一个方程看到，列向量1i X 是矩阵A 的特征为i λ所对的特征向量.且由1i X 继而可以求得23,,,i i i in X X X .因此，长方形矩阵i P 以至P 都可以求得.由前面例子中可以看到，特征向量1i X 的选取要保证2i X 可以求出，类似地2i X 的选取（因为2i X 的选定并不唯一，只要适当选取一个就可）也要保证3i X 可以求出，如此等等.2-27 解：两种可能性. ①初等因子321,(1),2,(2)λλλλ++--，②初等因子222(1),(1),2,(2)λλλλ++-- （Jordan标准形略）.2-28 解：A.若i j λλ≠，则21()()1()2()(1)1()0()i i i i i i i i i n i i i i i h i i i i a rank n rank n rank n n rank h n λλλλ--=--=--=--=-=≥E J E J E J EJ()()(1,2,)l i j j j b rank n l λ-==E J 2()[](1)1[](2)2[]()ii i j i j i j j ii i j i j i j j ihi i j j i j c rank n n n n rank n n n n rank n h n λλλ+++⎛⎫-=-+=+-⎪⎝⎭⎛⎫-=-+=+-⎪⎝⎭⎛⎫-=≥⎪⎝⎭J E J J E J J EJ B ．若i j λλ=，不妨设i j n n >，则2()()1()2()0()i j j i i j j i h i j j j a rank n rank n rank h n λλλ-=--=--=≥E J E J EJ21()[](1)(1)2[](2)(2)4[]((1))((1))2[]()()j jii i j i j i j j ii i j i j i j j in i i j i j j j i j j in i i j i j j j i j c rank n n n n rank n n n n rank n n n n n n rank n n n n n n λλλλ++-++⎛⎫-=-+-=+-⎪⎝⎭⎛⎫-=-+-=+-⎪⎝⎭⎛⎫-=--+--=-+⎪⎝⎭⎛⎫-=-+-=-⎪⎝⎭J E J J E J J E J J EJ 12[][(1)]0(1)[](2)[]0j j ij in i i j i j j i j in i i j i j j in i i j j rank n n n n rank n n rank λλλ+++++⎛⎫-=-++⎪⎝⎭=-+⎛⎫-=-+⎪⎝⎭⎛⎫-=⎪⎝⎭J E J J E J J EJ反过来，可以借助(),()kki i i i j j rank rank λλ--E J E J ，[]ik i i j j rank λ+⎛⎫-⎪⎝⎭J E J 得出,i j J J 的阶数,i j n n .由于()()k k i i rank rank λλ-=-E J E A ，因此可以借助计算()ki rank λ-E J 得到Jordan 块的个数，阶数分析，继而可得J 的形状.2-29 解： 4(1)λλ-=-E A234()3,()2()1,()0rank rank rank rank -=-=-=-=E A E A E A E A因此，Jordan 块是4阶1块，即1111111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A2-30 解：命 123(,,)Tx x x =X ，则方程组可写为126103114d dt --⎡⎤⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦X X AX 其中 126103114--⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A 1100011001-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P AP其中 122110011-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P 1102112113--⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦P令X =PY 得113322132333222()()()t t t t t t tx k e k e k t k e x k e k t k e x k e k t k e =-+++=++=++其中123,,k k k 为任意常数.2-31 解：先求A 的初等因子，然后求得A 的Jordan 标准形2124⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦J设123(,,)Tααα=P ，且1-=P AP J ,即=AP JP . 于是111211213332(2)02(2)4(4)0ααααααααααα=-==+-=-=-=A E A A E A A E A不难求得1(0,1,0)T α=211(,0,)22T α=-3(1,0,1)T α=11010102100,101111010222-⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦P P于是10121010210021011411010222⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A10099100100100991999919999100999919999199101210020102100210114110102222202210022100222022⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤-+-+⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-++⎣⎦A2-32 证：由2k =A A 可知A 的特征值只可能是0，k.方法一：由2k =A A 得()0kE A -=A 故秩()A +秩()kE A -n ≤又秩()A +秩()kE A - ≥秩()kE A +-A =秩()k E =n 因此秩()A +秩()kE A -n =若秩()A r =，则A 属于特征值为0的线性无关特征俩向量有r -n 个，A 的属于特征值为k 的线性无关特征向量有n-秩()kE A -=n-[n-秩()A ]=r.所以A 共有（n-r ）+r=n 个线性无关特征向量.于是A 可对角化. 方法二：设A 的Jordan 标准形为12(,,,)r diag =J J J J .于是存在可逆矩阵P ，11,--==P AP J A PJP代入2k =A A 可得22,,(1,2,,)i i k k i r ===J J J J .不难验算可知，若2i i k =J J ，i J 必须是一阶Jordan 块.因此A 的Jordan 块(1,2,,)i i r =J 全是一阶的.因此A 与对角矩阵相似.2-33 证：设A 的Jordan 标准形12(,,,)r diag =J J J J ，即存在可逆矩阵P ，满足112(,,,)r diag -==J J J J PAP于是112(,,,)()T T T T T T T r diag -==J J J J P A P这表明TT AJ ，所以如果能证明对于每一个(1,2,,)i i r =都有Ti i J J .则根据相似的传递性便知TA A .事实上，若令00101010i ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P （i P 的阶数=i J 的阶数） 则不难验证1,T i i i i i i -==P P P J P J （证毕）2-34 解：121001011n n a a a a λλλλ-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦EC 它的不变因子为111(1)1,11,n n n n n a a a λλλ---++++个.2-35 解：2321111(1)(2)584λλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---+-⎣⎦⎣⎦E A100004021108002015⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦AJ F052100031⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P为了求Q 需先求FJ 的变换矩阵M ，即=FM MJ设123(,,)βββ=M ，代入=FM MJ 得123123100(,,)(,,)021002ββββββ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦F比较两边得1122323,2,2βββββββ===+F F F解之得123(4,4,1),(2,3,1)(1,1,0)T T T βββ=-=-=-于是123421(,,)431110βββ-⎡⎤⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎣⎦M1111110124-⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦M故1052111318100110111031124214---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦Q PM2-36 解：221111(1)21λλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦E A因此100100011001001002⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A J F 122110011-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P 为了求Q 需先求F J 的变换矩阵M ，即=FM MJ 设123(,,)βββ=M ，代入=FM MJ 得123123100(,,)(,,)011001ββββββ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦F 比较两边得1122323,,βββββββ===+F F F解之得123(1,0,0),(0,1,1)(0,1,0)T T T βββ==-=故123100(,,)011010βββ⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦M 1100001011-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦M 于是1122100110001011011124101012--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Q PM2-37 解：(1)A 的初等因子21,(2)λλ+-故A 的不变因子为321,1,34λλ-+ 于是A 的有理标准形为 004100013-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦F(2)A 的初等因子21,(1)λλ-- 故A 的不变因子为21,1,(1)λλ-- 于是A 的有理标准形为100001012⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦F。
关于Jordan标准形的教学探讨
关于Jordan标准形的教学探讨Jordan标准形是数学中一个非常重要的概念，特别是在代数学和线性代数中经常会涉及到。
它的概念和性质在数学教学中有着非常重要的地位，因此本文将对Jordan标准形进行教学探讨，包括其基本概念、性质和相关的教学方法。
一、Jordan标准形的基本概念Jordan标准形是线性代数中对于方阵进行相似对角化的一种形式，它的基本定义是：如果一个矩阵A的特征多项式可分解成线性因子的乘积，即\[|A - \lambda I| = ( \lambda_1 - \lambda)^{m_1}( \lambda_2 -\lambda)^{m_2} ...( \lambda_k - \lambda)^{m_k},\]其中每个\( \lambda_i\)是A的不同特征根，而\(m_i\)是对应的特征根\( \lambda_i\)的重数。
那么A就可以相似对角化成Jordan标准形。
具体来说，一个n阶方阵A相似对角化成Jordan标准形的表示为：\[P^{-1}AP = J,\]其中P是可逆矩阵，J是Jordan标准形，它的形式为：\[J = \begin{pmatrix}J_1 & 0 & \cdots & 0 \\0 & J_2 & \cdots & 0 \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\0 & 0 & \cdots & J_k\end{pmatrix},\]其中每个J_i是形如下面的Jordan块：\[J_i = \begin{pmatrix}\lambda_i & 1 & 0 & \cdots & 0 \\0 & \lambda_i & 1 & \cdots & 0 \\0 & 0 & \lambda_i & \cdots & 0 \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda_i\end{pmatrix},\]特别地，如果\(m_i = 1\)，那么对应的Jordan块就是一个\(1 \times 1\)的矩阵，即只有一个特征值。
复矩阵的Jordan标准形的性质及应用
复矩阵的Jordan 标准形的性质及应用学生姓名：李英红 指导教师：周芳（太原师范学院 数学系0802班 2008101217）摘要：任意一个矩阵并非都与对角矩阵相似，当一个矩阵不能与对角矩阵相似时，可以找到一个比较简单的类似于对角矩阵的矩阵与它相似。
本文主要介绍相似于一个简单的类似对角矩阵的性质和应用，对于今后的学习有很大的帮助。
关键词：对角矩阵 若当标准形 幂零矩阵 相似 正文1、 定义 形如11i ii ii i m mJ λλλ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭ 的方阵称为i m 阶的Jordan 块,i c λ∈,通常记为()i n i J λ.2、 定义若当形 由若干个Jordan 块组成的准对角阵12s J J J J ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭称为Jordan 标准形。
定理1 复数域c 上两个n 阶矩阵A 和B 相似E A E B λλ⇔--与等价证明 ""⇒若A 和B 相似,存在可逆矩阵T ,使得1B T AT -=,所以1()E B T E A T λλ--=-,因而E A E B λλ--与等价.""⇐E A E B λλ--与等价,则有相同的不变因子,相同的初等因子,则可推得A 和B 相似.定理2 (Jordan 标准形定理)每个n 阶的复矩阵A 都与一个Jordan 标准形相似,这个Jordan 标准形除了其中Jordan 块的排列次序外被A 唯一决定，记为A J .证明 设n 阶的矩阵A 的特征矩阵E A λ-的 初等因子为1212(),(),,()sk kks λλλλλλ--- (2.1)令11i ii ii i m mJ λλλ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 并令12s J J J J ⎛⎫ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，则E J λ-的全部初等因子也为（2.1）式 则A 和J 相似推论1 复矩阵A 与对角矩阵相似⇔E A λ-的初等因子都是一次的。
矩阵的Jordan标准型及其求解方法
矩阵的Jordan标准型及其求解方法矩阵是线性代数中的重要概念，它在数学和工程领域中扮演着重要的角色。
在矩阵理论中，Jordan标准型是一种重要的矩阵分解形式，它可以帮助我们更好地理解和求解线性方程组、矩阵的特征值和特征向量等问题。
一、Jordan标准型的定义和性质在矩阵理论中，Jordan标准型是指一个矩阵可以通过相似变换转化为一个由Jordan块组成的对角矩阵。
Jordan块是一个由特征值和特征向量构成的方阵，它具有一些特殊的性质。
首先，Jordan块是一个上三角矩阵，即除了对角线上的元素外，其余元素都为零。
其次，对于一个Jordan块，对角线上的元素都是特征值，而其余元素则是1或0。
这些1的位置与特征向量有关，具体来说，特征向量在Jordan块中的位置决定了1的个数和位置。
Jordan标准型的重要性在于它可以将一个复杂的矩阵分解为一组简单的Jordan 块，从而更容易求解相关问题。
例如，通过Jordan标准型，我们可以求解线性方程组的解、计算矩阵的幂等等。
二、求解Jordan标准型的方法求解矩阵的Jordan标准型有多种方法，其中最常用的方法是通过特征值和特征向量来进行计算。
首先，我们需要计算矩阵的特征值。
特征值是一个标量，它代表了矩阵的某种性质或特征。
通过求解矩阵的特征值，我们可以确定矩阵是否可逆、是否存在特殊结构等。
特征值的计算可以通过求解矩阵的特征多项式来进行，具体计算方法可以使用特征值分解、特征向量分解等。
接下来，我们需要计算矩阵的特征向量。
特征向量是一个非零向量，它与矩阵相乘后等于特征值与特征向量的乘积。
通过求解矩阵的特征向量，我们可以确定矩阵的行与列之间的关系，从而进一步求解Jordan标准型。
在求解特征向量时，我们可以使用多种方法，例如高斯消元法、雅可比迭代法等。
这些方法可以帮助我们求解特征向量的近似解或精确解，从而进一步求解Jordan标准型。
三、应用举例Jordan标准型在实际问题中有着广泛的应用。
关于Jordan标准形的教学探讨
关于Jordan标准形的教学探讨Jordan标准形是数学中的一个重要概念，特别在线性代数中扮演了重要的角色。
它是矩阵理论中的一个标准矩阵形式，可以将一个线性变换矩阵简化为一种特殊的形式。
本文将对Jordan标准形进行教学探讨，介绍其定义、性质、计算方法以及其在矩阵理论和线性代数中的应用。
我们来看Jordan标准形的定义。
给定一个n阶方阵A，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP的形式为Jordan方阵，那么A被称为具有Jordan标准形。
具体来说，一个Jordan方阵是由多个Jordan块组成的矩阵，它是一个上三角矩阵，主对角线上的元素是矩阵的特征值，而对角线上方的元素表示Jordan块的大小和结构。
接下来，我们来讨论Jordan标准形的性质。
Jordan标准形是唯一的，也就是说，对于任意一个矩阵A，它都存在唯一一个Jordan标准形。
Jordan标准形对于相似变换是不变的，也就是说，如果A和B是相似矩阵，那么它们的Jordan标准形也是相似的。
Jordan标准形还具有一些其他的重要性质，比如Jordan块的大小等于其特征值的重数，Jordan块的个数等于矩阵A的线性无关的特征向量的个数。
那么，如何计算一个矩阵的Jordan标准形呢？计算Jordan标准形的方法主要有两种，一种是使用线性代数的理论方法，一种是采用计算机的数值算法。
对于小规模的矩阵，理论方法可以直接求解Jordan标准形，但是对于大规模的矩阵，数值算法更加高效和实用。
常用的计算Jordan标准形的数值算法有Givens旋转法、Householder变换法和幂法，它们分别侧重于不同的矩阵计算问题和复杂性。
我们来讨论Jordan标准形在矩阵理论和线性代数中的应用。
Jordan标准形的计算和分析是矩阵理论的核心内容之一，它在矩阵相似性、特征值和特征向量的计算、线性微分方程和差分方程的求解等方面都有广泛的应用。
在实际问题中，Jordan标准形也常常被用来简化线性变换的计算和分析，找到线性变换的规律和性质。
矩阵论—矩阵的Jordan标准形
( 1)n1 , ( 2 )n2 , , ( s )ns .
A的特征矩阵E A，其行列式 E A 0 所以，特征矩阵E A的秩为n.
数字矩阵A与B相似 对应的特征矩阵E A与E B等价 A与B有相同的不变因子 A与B有相同的行列式因子 A与B有相同的初等因子
(i
)
1
1
解：显然E-J
(i
)
~
的初等因子。
1
i ni ni
( i )ni nini
所以，J (i )的初等因子为( i )ni .
A1()
定理：设A()
A2 ()
At ()
则A1()，A2 (), , At ()的初等因子的全体
就是A( )的初等因子。
2 0 0
det(B)= n det(A)
所以，矩阵A与矩阵B不相似。
定理：设A C nn , A的初等因子为：
( 1)n1 , ( 2 )n2 , , ( s )ns ，
则矩阵A相似与矩阵J ,
J1(1)
J
J2 (2 )
J
s
(s
)
其中
i 1
i 1
J
(i
)
1
i ni ni
定理：由A()的不变因子可以确定A()的初等因子， 由A()的初等因子和A()的秩可以确定不变因子。
定义：矩阵A的特征矩阵E-A的初等因子称为矩阵A
的初等因子。
求矩阵A的初等因子。
1 1 0 A 4 3 0
1 0 2
1
解：
E
A
~
1
( 1)2 ( 2)
所以，A的初等因子为( 1)2，( 2)
di ()称为A()的不变因子。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
E ,称 A 为 m 对合矩阵。
5. 2008 年武汉大学硕士研究生入学试题： 设 A 是一个非零方阵， A3 = A2 ，问是否一定有 A2 = A？为什么？
由上可以看出，具有幂条件的矩阵形式多样，可否
有一个统一的形式？
三 问题的解决
定义 1
设 A Î F n´ n ，若有最小正整数 m使 m > l (? N )
A 分别是幂等和由 - 1 确定的数 在(1)中当C = 0 或B = 0 时, A 为本质 3 幂等的. 量幂等的(见[2])。 当B , C 都非零时,[1]称
这样将从 A2 = A得的“ A3 = A ”与 A3 = A 而 A2 ¹ A的情况区 骣 骣 1 0 0 0 鼢 珑 别开来.由此知， 例 1 中, P = 珑 鼢 为本质 3 幂等的. 鼢 珑 1 0 桫 0 1 桫
A4 = A2 = diag (0, E2 ) , A 为本质 (4,2) 幂等的； mA ( x) = x 2 ( x + 1) ，
如果应用命题 3 的充分性和 mA ( x) | x7 - x5 ，则应得到 A 为本质(7,5)幂等的结论， 这个矛盾说明命题 3 一般不成立； 由 A 为本质 (4,2) 幂等的和 m A ( x )次数 u = 3,知, mA ( x) = x 2 ( x + 1) 的相伴矩阵
N
这样当 d = m - 3(? 3)为奇数时，即 m = d + 3(? 6)为偶数时，
m- 3 d a Cm = a C mA ( x ) = - a Q = (0,0,1) = e2+ 1 = e3 . A ( x)
Am = Al , 这里l 是由 m唯一确定的.
定义1与[13]的(m,l)幂等矩阵的规定相同，[13]还研究了 (m,l)幂等矩阵性质与判定，如：
命题 2 (见[13，定理 6])设 A Î
F n´ n 的最小多项式
m A ( x ) = xu + b1 xu- 1 + b2 xu- 2 + + bu- 1 x + bu ,
注：虽然定义 1 只强调了 m的最小性,但本质(m, l )幂等矩阵 的 m, l 都是唯一确定的.
命 题 1 设 A Î F n´ n ， 则 A 为 本 质 (m, l ) 幂 等 矩 阵
Û A0 = E , A,, Al- 1 , Al , Al + 1 ,, Am- 1 是 互 不 相 同 的 且
（ 4） （ 5）
.
命题 3(见[13，定理 7])设 A Î F n´ n ，则
A 为本质(m, l )幂等的 Û mA ( x) x m - xl .
骣 J1 ç 例 2 设A= ç ç 0 桫
0÷ ÷, J = J2 ÷ 1
骣 骣 0 0鼢 - 1 0 珑 ，则 , J2 = 鼢 珑 珑 1 0鼢 0 - 1 桫 桫
具有幂条件的矩阵类的 研究与Jordan标准形
杨忠鹏 陈梅香
一、问题的来源
1. 教学 2. 学生毕业论文选题 3. 考研试题
二、问题的内容
1. 若A2=A，则称A为幂等矩阵。 近年来，J.koliha[1] 和 Y.Tian[2,3]等一批学者对
幂等矩阵的性质进行了深刻的研究，他们探讨了两个幂
CmA ( x ) 称为最小多项式 m A ( x )相伴矩阵；
设 e 是第 分量为 1 其余分量都是零的行向量，
lபைடு நூலகம்
l
则 A 为本质(m, l )幂等矩阵 Û m ³ u 且a C
m- u mA ( x )
l- u ì ï a Cm ,当l ³ u时， A ( x) ï =í ï ï î el + 1， 当l < u时，
骣 0 1 0÷ ç ÷ ç 2 ÷ Cm A ( x ) = ç 0 0 1 C = 且 ÷ m ç A ( x) ÷ ç ÷ ç ç 0 0 - 1÷ 桫 骣 0 0 1÷ ç ÷ ç ÷ ç 0 0 1 = Q ， a = (0,0,- 1) ÷ ç ÷ ç ÷ ç ç 0 0 1÷ 桫
3 d d , 进而可用归纳法证明 Cm = Q C = ( 1) Q， d (澄2) ( x ) m ( x ) A A
且 Am = Al 成立, 称 A 为本质(m, l )幂等矩阵。
特别地，当l = 1时,本质 (m,1)幂等矩阵就是周知的 m幂等矩阵.
当 l = 0 时,本质 (m,0)幂等矩阵就是 m对合矩阵.
幂零矩阵也包含在其中，若 Al- 1 ¹ 0, Al =0, 则
Al + 1 =Al (= 0) ，幂零矩阵为本质(l + 1, l )幂等矩阵
3.若正整数 mÎ N 使 Am = A,称 A Î F n´ n 为 m幂等的.
m幂等矩阵的研究引起很多人的关注：
文献[8-10]讨论了m幂等矩阵的线性组合的幂等性, ［11，12］研究了m幂等矩阵的一些代数性质.
4. 若 A2 = E ，则称 A 为对合矩阵。 若 A ? C n´ n , Am
等矩阵的和、差、乘积、换算子、线性组合的等一系列 的秩等式关系，并得到了在约束条件
=｛(a,b):ab(a+b) 0｝
下幂等矩阵的线性组合的可逆性与组合系数a,b选择无 关的结果。
2.若
A3=A，称 A为三幂等矩阵。
文献[5]研究了幂等矩阵与三幂等矩阵线性组合的幂等性. 文献[6]利用秩的恒等式来判定矩阵的幂等、3幂等或m幂等性. 文献[7]讨论了三个两两可交换的三幂等矩阵的线性组合的可 逆性.
骣 1 0÷ 3 ç 例 1 设P = ç ，则 P = P ， P 是三幂等的。 ÷ ÷ ç 1 - 1 桫
但 P3+ 2 k = P ， k Î N ，那么 P 是3 + 2k 幂等的？
[5]指出 3 幂等矩阵的重要且常用的性质:
A3 = A = B - C , B = B 2 ,C = C 2 ,BC = CB = 0 ,(1)
(2)
轾 0 犏 犏 0 犏 Cm A ( x ) = 犏 0 犏 犏 犏 犏 - bu 臌
1 0 0 - bu- 1 -
0 1 0 bu- 2 -
0 0 1 bu- 3
0 0 0 - b1
,
a = (- bu , - bu- 1 ,, - b1 ) ,(3)