2020-2021学年江苏省如皋中学高一上学期第二次阶段考试数学试题

江苏省如皋中学2020-2021学年度第一学期第二次阶段考试高一数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A ={}10，，B ={}12=x x ，则A B 的子集个数为( )A. 2B. 4C. 8D.16 2.若幂函数()22231m m y m m x--=--在区间()0,+∞上是减函数，则实数m 的值为（ ）A ．2m =B ．1m =-C ．1m =-或2D ．2m =-或13.已经,72log ,51log ,5152731==⎪⎭⎫ ⎝⎛=c b a 则( )A. c b a <<B.c a b <<C. a c b <<D.a b c << 4. 240tan 750sin +的值是( ) A.233 B.23C.321+ D ．321+-5.我国著名数学家华岁庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数23()1xf x x =-的图象大致是（ ）A B C D 6.不等式[)π2,0,01sin 2∈≥-x x ]的解集为( ) A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,0π B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,6 D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,6ππ 7.若函数224(1)()42(1)xa x f x x ax a x ⎧+≤⎪=⎨-+>⎪⎩在R 上单调，则a 的取值范围是( )A. (]1,4B.[3,4]C (]1,3D . [)4,+∞8.设函数()||=++f x ax x bx c ，给出如下命题， （1）0,0ca 时，()y f x =是奇函数 （2）()y f x =的图像关于点(0,)c 对称（3）0b =，0>ac 时，方程()0=f x 只有一个实数根 （4）方程()f x =0最多有两个实根 则上述命题正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、选择题：本小题4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对得3分。

9.下列说法正确的有（ ）A ．命题“x R ∀∈，210x x ++>”的否定为“x R ∃∈，210x x ++≤”.B ．若,a b c d >>，则ac bd >C ．“a b <”是“22ac bc <”的必要不充分条件.D ．“2m <”是“1sin sin x m x +>对0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭成立”的充分不必要条件. 10.已知集合{1,1}M =-，{|1}N x mx ==，且=M N M ，则实数m 的值可以为（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．011.设函数)3cos()(π+=x x f ，则下列结论正确的是( )A ．)(x f 的一个周期为π2B ．)(x f y =的图象关于直线38π=x 对称 C ．)(x f 与x 轴的一个交点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛0,6π D ．)(x f 在⎪⎭⎫⎝⎛ππ,2上单调递减 12.不等式2(1)(43)0x x x +-+>有多种解法，其中有一种方法如下，在同一直角坐标系中作出11y x =+和2243y x x =-+的图象，然后根据图象进行求解，请类比此方法求解以下问题：设,a b ∈Z ，若对任意0x ≤，都有2(3)()0--+≤ax x b 成立，则+a b 的值可以是( ).A ．1B ．2-C ．8D ．0三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 13. 函数1ln 12)(--=x x x f 的定义域为________.14. 某个时钟时针长3cm ，则在本场考试时间120分钟内，该时针扫过的面积是 2cm ． 15. 已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，并满足)(1)2(x f x f -=+，当21≤≤x 时，2)(-=x x f ，则)7(f ＝________.16.《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题） 成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法， 很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无 字证明”．设00a b ＞，＞，称2aba b+为a ，b 的调和平均数．如图，C 为线段AB 上的点，且AC =a ，CB =b ，O 为AB 中点，以AB 为直径作半圆．过点 C 作AB 的垂线，交半圆于D ，连结OD ，AD ，BD ．过点C 作OD 的垂线，垂足为E ．则 图中线段OD 的长度是a ，b 的算术平均数2a b+，线段CD 的长度是a ，b 的几何平均数 ab ，线段______的长度是a ，b 的调和平均数2aba b+,该图形可以完美证明三者的大小 关系为_________________．(本题第一空3分，第二空2分) 四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知{}2|8200A x x x =--≤，{}|2B x x m =-≤（1）当2=m 时，求B A ；（2）是否存在实数m ，使“A x ∈”是“B x ∈”必要不充分条件，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.18.已知二次函数()f x 满足()1()21f x f x x +-=-+，且(2)5f =. (1)求函数()f x 的解析式;(2)令()(22)()g x m x f x =--，求()g x 在[0,2]x ∈上的最小值.19．⑴若ααcos 2sin =，求2sin()cos(2)cos 3sin()cos()22παπααππαα-+-+--+的值； ⑵已知34cos sin =+θθ，,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求θθcos sin —的值．20.已知函数)11(log )(2++=ax x f 是奇函数，R a ∈. (1)求a 的值；(2)对任意的()0,∞-∈x ，不等式)2(log )12(2x x m f ->+恒成立，求实数m 的取值范围．21．(12分)攀枝花是一座资源富集的城市，矿产资源储量巨大，已发现矿种76种，探明储量39种，其中钒、钛资源储量分别占全国的63%和93%，占全球的11%和35%，因此其素有“钒钛之都”的美称．攀枝花市某科研单位在研发钛合金产品的过程中发现了一种新合金材料，由大数据测得该产品的性能指标值y (y 值越大产品的性能越好)与这种新合金材料的含量x (单位：克)的关系为：当70<≤x 时，y 是x 的二次函数；当7≥x 时，mx y -=)31(.测得部分数据如表：(1)求y 关于x 的函数关系式)(x f y =；(2)求该新合金材料的含量x 为何值时产品的性能达到最佳22.设函数()(0.af x x x x=+≠且x ，)a R ∈． （1）判断()f x 的奇偶性，并用定义证明； （2）若不等式()12262xxxf <-++在[]0,2上恒成立，试求实数a 的取值范围； （3）（说明：如果要用到函数的单调性，可直接交代单调性，不必证明．）()11,0,12x g x x x -⎡⎤=∈⎢⎥+⎣⎦的值域为.A 函数()f x 在x A ∈上的最大值为M ，最小值为m ，若2m M >成立，求正数a 的取值范围．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A ={}10，，B ={}12=x x ，则A B 的子集个数为( ) A. 2 B. 4 C. 8 D.16 答案 C2.若幂函数()22231m m y m m x--=--在区间()0,+∞上是减函数，则实数m 的值为（ ）A ．2m =B ．1m =-C ．1m =-或2D ．2m =-或1 答案 A3.已经,72log ,51log ,5152731==⎪⎭⎫ ⎝⎛=c b a 则( )A. c b a <<B.c a b <<C. a c b <<D.a b c << 答案 B4. 240tan 750sin +的值是( ) A.233 B.23 C.321+ D ．321+-答案 C5.我国著名数学家华岁庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数23()1xf x x=-的图象大致是（ ） A. B ．C. D ．答案 C6.不等式[)π2,0,01sin 2∈≥-x x ]的解集为( ) A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,0π B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,6 D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,6ππ 答案 D7.若函数224(1)()42(1)x a x f x x ax a x ⎧+≤⎪=⎨-+>⎪⎩在R 上单调，则a 的取值范围是( ) A. (]1,4 B.[3,4]C (]1,3D . [)4,+∞答案 B8.设函数()||=++f x ax x bx c ，给出如下命题， （1）．0,0ca 时，()y f x =是奇函数 （2）．()y f x =的图像关于点(0,)c 对称（3）．0b =，0>ac 时，方程()0=f x 只有一个实数根 （4）．方程()f x =0最多有两个实根 则上述命题正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C二、选择题：本小题4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对得3分。

9.下列说法正确的有（ ）A ．命题“x R ∀∈，210x x ++>”的否定为“x R ∃∈，210x x ++≤”.B ．若,a b c d >>，则ac bd >C ．“a b <”是“22ac bc <”的必要不充分条件.D ．“2m <”是“1sin sin x m x +>对0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭成立”的充分不必要条件. 答案 ACD10.已知集合{1,1}M =-，{|1}N x mx ==，且=MN M ，则实数m 的值可以为（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．0答案 ABD11.设函数)3cos()(π+=x x f ，则下列结论正确的是( )A ．)(x f 的一个周期为π2B ．)(x f y =的图象关于直线38π=x 对称 C ．)(x f 与x 轴的一个交点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛0,6π D ．)(x f 在⎪⎭⎫⎝⎛ππ,2上单调递减 答案 ABC12.不等式2(1)(43)0x x x +-+>有多种解法，其中有一种方法如下，在同一直角坐标系中作出11y x =+和2243y x x =-+的图象，然后根据图象进行求解，请类比此方法求解以下问题：设,a b ∈Z ，若对任意0x ≤，都有2(3)()0--+≤ax x b 成立，则+a b 的值可以是( ).A ．1B ．2-C ．8D ．0答案 BC三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 14. 函数1ln 12)(--=x x x f 的定义域为________.答案 ()+∞⎪⎭⎫⎢⎣⎡,,21e e14. 某个时钟时针长3cm ，则在本场考试时间120分钟内，该时针扫过的面积是 2cm ． 答案23π 15. 已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，并满足)(1)2(x f x f -=+，当21≤≤x 时，2)(-=x x f ，则)7(f ＝________.答案 -116. 《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．设00a b ＞，＞，称2aba b+为a ，b 的调和平均数．如图，C 为线段AB 上的点，且AC =a ，CB =b ，O 为AB 中点，以AB 为直径作半圆．过点C 作AB 的垂线，交半圆于D ，连结OD ，AD ，BD ．过点C 作OD 的垂线，垂足为E ．则图中线段OD 的长度是a ，b的算术平均数2a b+，线段CD 的长度是a ，b ______的长度是a ，b 的调和平均数2aba b+,该图形可以完美证明三者的大小关系为_________________________．(本题第一空3分，第二空2分) 答案 CE,ba abab b a +≥≥+22 四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知{}2|8200A x x x =--≤，{}|2B x x m =-≤（1）当2=m 时，求B A ；（2）是否存在实数m ，使“A x ∈”是“B x ∈”必要不充分条件，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.【解析】（1）{}()(){}{}2|82001020210A x x x x x x x x =--≤=-+≤=-≤≤，当2=m 时，{}{}{}|22204=-≤=-≤≤+=≤≤B x x m x m x m x x{}40≤≤=∴x x B A …………5分（2）存在实数m ，使“A x ∈”是“B x ∈”必要不充分条件，， 若“A x ∈”是“B x ∈”必要不充分条件，则B ⊂A ，所以22210m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解得08m ≤≤，所以m 的取值范围为08m ≤≤. …………10分 18.已知二次函数()f x 满足()1()21f x f x x +-=-+，且(2)5f =. (1)求函数()f x 的解析式;(2)令()(22)()g x m x f x =--，求()g x 在[0,2]x ∈上的最小值. 18.(本小题满分10分)解：（1）设2()(0)f x ax bx c a =++≠，则(1)()2,()21,f x f x ax b a f x x +-=++=-+又21,2,(2)5,5,()2 5.a b f c f x x x ∴=-==∴=∴=-++又………………5分（2）2()(22)()25,g x m x f x x mx =--=--对称轴为x m =，2min5,0()5,0241,2-≤⎧⎪∴=--<<⎨⎪--≥⎩m g x m m m m ……………………..…………….12分 19．⑴若ααcos 2sin =，求2sin()cos(2)cos 3sin()cos()22παπααππαα-+-+--+的值； ⑵已知34cos sin =+θθ，,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求θθcos sin —的值．19．(1)因为ααcos 2sin =，所以2tan =α． ----------2分原式=5145131tan 1tan 11tan sin cos cos sin 2-=+-=++-+=-+αααααα ----------6分 （2）因为34cos sin =+θθ，所以()916cos sin 21cos sin 2=+=+θθθθ，所以97cos sin 2=θθ，则()92cos sin 21cos sin 2=-=-θθθθ， ----------10分因为,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，θθcos sin >，所以=-θθcossin 3． ----------12分 20.已知函数)11(log )(2++=ax x f 是奇函数，R a ∈. (1)求a 的值；(2)对任意的()0,∞-∈x ，不等式)2(log )12(2x x m f ->+恒成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)方法一 令1x ＋a ＋1>0，则x ＋a ＋1x ＋a >0. ∴x <－a －1或x >－a .∵f (x )是奇函数，∴其定义域关于原点对称，∴－a －1－a ＝0，…………3分 ∴a ＝－12.验证a ＝－12时，f (x )＝log 2x ＋12x －12.则f (－x )＝log 2－x ＋12－x －12＝log 2x －12x ＋12＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，综上，a ＝－12 .…………5分方法二 f (x )＝log 2⎝⎛⎭⎫1x ＋a ＋1＝log 2x ＋a ＋1x ＋a ， 则x ＋a ＋1x ＋a >0⇔A ＝{}x| x <－a －1或x >－a ，因为f (x )是奇函数，故∀x ∈A ，f (－x )＝－f (x )， 即log 2－x ＋a ＋1－x ＋a ＝－log 2x ＋a ＋1x ＋a ＝log 2x ＋ax ＋a ＋1，所以－x ＋a ＋1－x ＋a ＝x ＋a x ＋a ＋1， 即(1＋a )2－x 2＝a 2－x 2， 解得a ＝－12.(2)f (2x ＋1)>log 2(m －2x )⇒log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋12＋1>log 2(m －2x )⇒m <2x ＋12＋12x＋12＋12，…………8分 令u ＝2x＋12，x ∈(－∞，0)，所以u ∈⎝⎛⎭⎫12，32，令g (u )＝u ＋1u ＋12.易知g (u )≥52，当u ＝1时取等号，所以m <52，…………10分 又由m －2x >0⇒m >2x ，故m ≥1，所以实数m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫1，52.…………12分21．(12分)攀枝花是一座资源富集的城市，矿产资源储量巨大，已发现矿种76种，探明储量39种，其中钒、钛资源储量分别占全国的63%和93%，占全球的11%和35%，因此其素有“钒钛之都”的美称．攀枝花市某科研单位在研发钛合金产品的过程中发现了一种新合金材料，由大数据测得该产品的性能指标值y (y 值越大产品的性能越好)与这种新合金材料的含量x (单位：克)的关系为：当70<≤x 时，y 是x 的二次函数；当7≥x 时，m x y -=)31(.测得部分数据如表：(1)求y 关于x 的函数关系式)(x f y =；(2)求该新合金材料的含量x 为何值时产品的性能达到最佳．解 (1)当0≤x <7时，y 是x 的二次函数，可设y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由x ＝0，y ＝－4可得c ＝－4，由x ＝2，y ＝8，得4a ＋2b ＝12，①由x ＝6，y ＝8，可得36a ＋6b ＝12，②联立①②解得a ＝－1，b ＝8，即有y ＝－x 2＋8x －4；…………3分当x ≥7时，y ＝⎝⎛⎭⎫13x －m ，由x ＝10，y ＝19，可得m ＝8，即有y ＝⎝⎛⎭⎫13x －8.…………5分综上可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋8x －4，0≤x <7，⎝⎛⎭⎫13x －8，x ≥7.…………6分(2)当0≤x <7时，y ＝－x 2＋8x －4＝－(x －4)2＋12，即有x ＝4时，取得最大值12；…………8分当x ≥7时，y ＝⎝⎛⎭⎫13x －8递减，可得y ≤3，当x ＝7时，取得最大值3.…………10分综上可得当x ＝4时产品的性能达到最佳．…………12分22.设函数()(0.a f x x x x=+≠且x ，)a R ∈． （1）判断()f x 的奇偶性，并用定义证明；（2）若不等式()12262x x x f <-++在[]0,2上恒成立，试求实数a 的取值范围； （3）（说明：如果要用到函数的单调性，可直接交代单调性，不必证明．） ()11,0,12x g x x x -⎡⎤=∈⎢⎥+⎣⎦的值域为.A 函数()f x 在x A ∈上的最大值为M ，最小值为m ，若2m M >成立，求正数a 的取值范围．【详解】()()1f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，且()()a f x x f x x-=-+=--， ()f x ∴为奇函数；…………2分()2若不等式()12262x x x f <-++在[]0,2上恒成立， 即122622x x x x a +<-++在[]0,2上恒成立， 即22(2)162x x a <-++⋅在[]0,2上恒成立，令2x t =，则[]1,4t ∈，223112612()22y t t t =-++=--+， ∴当4t =，即2x =时，函数取最小值7-，故7a <-；…………5分()()123111x g x x x -==-+++是10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的减函数， ()g x ∴在10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的值域为()][11,0,123A g g ⎡⎤⎛⎫== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， …………6分()f x ∴在区间1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，恒有2()()min max f x f x >， 0a <①时，()f x 在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， ()()11max f x f a ∴==+，11()333min f x f a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 12313a a ⎛⎫∴+>+ ⎪⎝⎭，解得115a >，不满足0a <； 0a =②时，()f x x =在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数， 1()1,()3max min f x f x ∴==，1213⨯<，不满足题意；0a >③时，()f x 在(上单调递减，在)+∞上单调递增，13≤，即109a <≤时，()f x 在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数， 11()333min f x f a ⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭，()()11max f x f a ==+， 12313a a ⎛⎫∴+>+ ⎪⎝⎭，解得11159a <≤；1≥，即1a ≥时，()f x 在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， ()()11min f x f a ∴==+，11()333max f x f a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， ()12133a a ∴+>+，解得513a ≤<； 13)13<，即119a <<时，()f x 在13⎡⎢⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增，()min f x f∴==()113,1133f a f a ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当1313a a +≥+，即113a ≤<时，133a >+，a <<，113a ∴≤<，当1313a a +<+，即1193a <<时，1a >+，解得77a -<<+1193a ∴<<， 综上，a 的取值范围是15,153⎛⎫ ⎪⎝⎭．…………12分。