重积分测试题
重积分
第九章 重积分一、教学要点1． 了解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的积分中值定理. 2． 掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），会计算三重积分（直角坐标）. 3． 会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、质量、重心、转动惯量、引力）.二、重点、难点1．二重积分的计算方法.2．用重积分求几何量与物理量（图形面积、体积、质量、重心、转动惯量、引力）.三、典型问题解析例1．求二次积分dx xxdy y⎰⎰202sin ππ的值. -------1 解：dx x xdy y ⎰⎰202sin ππdy xx dx x ⎰⎰=200sin π⎰⎰=-=2020sin )0(sin ππxdx dx x xx1)10(cos 2=--=-=πx例2．求二次积分⎰⎰--21312x y dy e dx 的值. ------()1(214--e ） 解：⎰⎰--21312x y dy edx ⎰⎰+-=1122y y dx edy⎰-=202ydy e y)1(21214202---=-=e e y例3．求⎰⎰D zdxdy ， 22(,)14,D x y x y x y ⎧⎫⎪⎪=≤+≤≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭.解：21≤≤r ，⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x ， 36πθπ≤≤⎰⎰Dzdxdy θθππd rdr ⎰⎰=2136tan arctan⎰=3621221ππθθd r⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=22)6()3(21)212(ππ)369(4322ππ-= 例4．若{}(,)01,01D x y x y =≤≤≤≤，求Dx ydxdy -⎰⎰解：Dx ydxdy -=⎰⎰1D x y dxdy -+⎰⎰2D x y dxdy -⎰⎰1()D y x dxdy =-+⎰⎰2()D x y dxdy -⎰⎰1110()()xxdx y x dy dx x y dy =-+-⎰⎰⎰⎰1121200011()()22x x y xy dx xy y dx ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 112200111()222x x dx x dx =-++⎰⎰1201()2x x dx =-+⎰0311111()3223x x =-+=例5．计算积分⎰⎰+Ddxdy y x 22，其中{}x y x x y y x D 2,0),(22≤+≤≤=.解：利用极坐标 ⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x 则原式=⎰⎰⎰=403cos 2040cos 38.πθπθθθd rdr r dθθπs i n)s i n 1(38402d ⎰-= 2910sin 31sin 38403=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=πθθ 例6．计算2Dxy d σ⎰⎰，其中D 是直线,23y x y x ==-+和2y =围成的闭区域. 解：三条直线的交点分别为()()1,2,1,1,2,22A B C ⎛⎫⎪⎝⎭. 将D 看作Y -型区域，把二重积分化为先对x 后对y 的二次积分。
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第七章 多元函数微分学作业1 多元函数1．填空题（1）已知函数22,y f x y x y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则(),f x y =()()22211x y y -+； （2）49arcsin2222-+++=y x y x z 的定义域是(){}22,49x y x y ≤+≤； （3）)]ln(ln[x y x z -=的定义域是(){}(){},,0,1,0,1x y x y x x y x x y x >>+⋃<<≤+；（4）函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0,sin ),(x y x x xyy x f 的连续范围是 全平面 ；（5）函数2222y x z y x+=-在22y x =处间断.2．求下列极限（1）00x y →→；解：000016x t t y →→→→===-（2）22()lim (ex y x y x y -+→+∞→+∞+）.解：3y x =22()2()lim (e lim (e 2x y x y x y x x y y x y x y xe ye -+-+--→+∞→+∞→+∞→+∞⎡⎤+=+-⎣⎦）） 由于1lim e lim lim 0tt t t t t t t e e-→+∞→+∞→+∞===，2222lim e lim lim lim 0tt t t t t t t t t t e e e -→+∞→+∞→+∞→+∞====，故22()2()lim (elim (e 20x y x y x yx x y y x y x y xe ye -+-+--→+∞→+∞→+∞→+∞⎡⎤+=+-=⎣⎦）） 3．讨论极限26300lim y x yx y x +→→是否存在.解：沿着曲线()()3,,0,0y kx x y =→,有336626262000lim lim 1x x y kx x y kx kx y x k x k →→=→==+++因k 而异，从而极限26300lim y x yx y x +→→不存在4．证明⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,2),(222222y x y x y x xyy x f 在点)0,0(分别对于每个自变量x 或y都连续，但作为二元函数在点)0,0(却不连续.解：由于(,0)0,(0,)0,f x f y ≡≡从而可知在点)0,0(分别对于每个自变量x 或y 都连续，但沿着曲线()(),,0,0y kx x y =→,有2222222000222lim lim 1x x y kx xy kx kx y x k x k →→=→==+++因k 而异， 从而极限()0lim ,x y f x y →→不存在，故作为二元函数在点)0,0(却不连续.作业2 偏导数1．填空题（1）设22),(y x y x y x f +-+=，则=)4,3(x f 25； （2）（3）设(),ln 2y f x y x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则1x y f y==∂=∂12； （3）设2sin x u xz y =+，则42ux y z∂=∂∂∂ 0 ；（4）曲线22:44x y z y ⎧+=⎪Γ⎨⎪=⎩在点()2,4,5处的切线与Ox 轴正向的倾角是4π. 2．设2e xyu =， 证明 02=∂∂+∂∂yu y x u x. 证:因为222312,xxy yu ux e e x y y y∂∂-==∂∂ 所以222223221222220x x x xy y y y u u x x x x y xe ye e e x y y y y y ∂∂--+=+=+=∂∂3. 设xyz ln =，求22x z ∂∂，yx z∂∂∂2.解：ln ln x yz e⋅=，从而222ln ln ln ln ln ln ln 222ln ln ln ln ln ,,x y x y x y x z y z y y y y e e e y x x x x x x ⋅⋅⋅∂∂--⎛⎫=⋅=⋅+⋅= ⎪∂∂⎝⎭2ln ln ln ln ln ln ln 11ln ln 1x y x y x z y x y x e e y x y x y x y xy⋅⋅∂⋅+=⋅⋅+⋅⋅=∂∂4．设y x z u arctan =， 证明 0222222=∂∂+∂∂+∂∂zuy u x u . 解：因为()()2222222222211022,1uyz u yz x xyzz xy x y x x x y x y y ∂∂-⋅-=⋅⋅===∂+∂⎛⎫+++ ⎪⎝⎭()()2222222222221022,1u x xz u xz y xyzz yy x y y x x y x y y ∂--∂-⋅=⋅⋅==-=∂+∂⎛⎫+++ ⎪⎝⎭22arctan ,0,u x uz y x∂∂==∂∂ 所以()()2222222222222200u u u xyz xyzx y z x y x y ∂∂∂-++=++=∂∂∂++ 5．设函数()()2221sin ,0,0,x x y x f x y xx ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩.（1）试求(),f x y 的偏导函数； 解：当()()()3222221110,,42sin cos x x f x y x xyx x y xx x-≠=+++⋅()21,2sin y f x y x y x =，()()()322211,42sin cos x f x y x xy x y x x=+-+当()()()()222001sin 0,0,0,0,lim lim 00x x x x x y f x y f y x x f y x x→→+--≠===-()()()000,0,000,lim lim 0y y y f y y f y f y y y ∆→→+∆--===∆-∆，()()()322211,42sin cos x f x y x xy x y x x=+-+（2）考察偏导函数在()0,3点处是否连续.()()200331lim ,lim 2sin00,3y y x x y y f x y x y f x→→→→===，故(),y f x y 在()0,3点处连续， ()()()3222003311lim ,lim 42sin cos x x x y y f x y x xy x y x x →→→→⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦不存在，从而(),x f x y 在()0,3点处不连续作业3 全微分及其应用1．填空题（1）),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数存在是),(y x f z =在该点可微的必要 条件；（2）函数23z x y =在点()2,1-处，当0.02,0.01x y ∆=∆=-时有全增量z ∆=0.2040402004-，全微分d z =0.20-；（3）设),(y x f z =在点),(00y x 处的全增量为z ∆，全微分为dz ，则),(y x f 在点),(00y x 处的全增量与全微分的关系式是()z dz o dz ∆=+；（4）22yx x u +=在点)1,0(处的d u =dx ；（5）xy u cos )(ln =,则d u =cos cos (ln )ln ln sin ln x x y y xdx dy y y ⎡⎤-⋅+⎢⎥⎣⎦； （6）zyx u )(=,则d u =()ln zx z z x dx dy dz y x y y ⎛⎫-+⎪⎝⎭；（7）2221zy x u ++=,则d u = ()()3222212x y z -++ .2．证明：(),f x y =在点()0,0处连续，()0,0x f 与()0,0y f 存在，但在()0,0处不可微.证：由于(0,)0,(,0)0,f y f x ==从而(0,0)0,(0,0)0.y x f f ==但是limlimx x y y ∆→∆→∆→∆→=不存在，从而在()0,0处不可微.3．设函数()()222222221sin ,0,0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩试证：（1）函数(),f x y 在点()0,0处是可微的；证：因为 ()()()()22001sin0,00,00,0limlim 0,0,000x y x x x f x f x f f x x →→--====-- 又()()()()()22221sinlimlim0x x y y x y x y ∆→∆→∆→∆→∆+∆∆+∆==所以函数(),f x y 在点()0,0处是可微的（2）函数(),x f x y 在点()0,0处不连续.证：当()222222221210,,2sincos x x x y f x y x x y x y x y+≠=-+++ ()2222220000121lim ,lim 2sin cos x x x y y x f x y x x y x y x y ∆→∆→∆→∆→⎛⎫=- ⎪+++⎝⎭不存在， 故(),x f x y 在点()0,0处不连续作业4 多元复合函数的求导法则1．填空题（1）设2ln ,,32yz u v u v y x x===-，则 z x ∂=∂()()223222ln 3232y y y x x x y x ----； （2）设22,cos ,sin z x y xy x u v y u v =-==，则zv∂=∂()333sin cos sin 2sin sin 2cos u v v v v v v +--； （3）设()22,zu x y z x y =-=+，则u x ∂=∂()()222ln z x y x y x x y x y ⎡⎤+--+⎢⎥-⎣⎦；（4）设2sin z x y x ==，则dd zx =2x . 2．求下列函数的偏导数（1）设,,x y u f y z ⎛⎫=⎪⎝⎭其中f 具有一阶连续偏导数，求,u x ∂∂u y ∂∂和uz ∂∂； 解：111,f u f x y y ∂=⋅=∂121222222211,u x x u y yf f f f f f y y z y z z z z∂--∂--=⋅+⋅=+=⋅=∂∂ （2）设(),,,u f x y z =()(),,,z y t t y x ϕψ==，其中,,f ϕψ均可微，求u x ∂∂和uy∂∂. 解：因为1231212,,du f dx f dy f dz dz dy dt dt dy dx ϕϕψψ=++=+=+ 从而()1231212du f dx f dy f dy dy dx ϕϕψψ=++++⎡⎤⎣⎦()()1322231321f f dx f f f ϕψϕϕψ=+++++所以1322231321,u u f f f f f x yϕψϕϕψ∂∂=+=++∂∂ 3．验证下列各式（1）设()22yz f x y =-，其中()f u 可微，则211z z z x x y y y ∂∂+=∂∂； 证：因为222212,z xyf z y f x f y f f ''∂-∂==+∂∂ 所以222211121121z z z xyf y f zx x y y x x f y f f yf y ''⎛⎫∂∂∂-+=++== ⎪∂∂∂⎝⎭ （2）设()23y z xy x ϕ=+，其中ϕ可微，则220z zx xy y x y ∂∂-+=∂∂. 证：因为()()222,33z y z y y xy x xy x x y xϕϕ∂∂''=-+=+∂∂ 所以22z z x xy y x y ∂∂-+=∂∂()()2222233y y x y xy xy x xy y x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫''-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22222033y y x y xy y x y xy y ϕϕ''=-+--+=4．设22,,y z xf x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭其中函数f 具有二阶连续偏导数，求2z x y ∂∂∂. 解：因为221212222,z y y f x f f f xf f x x x ⎛⎫∂-=++⋅=+- ⎪∂⎝⎭所以22212212222222222z y y y y y y f xf f f xf f f x y y x x x x x x⎡⎤∂∂=+-=+⋅--⋅⎢⎥∂∂∂⎣⎦ 31222224y yf f x=-4．设)()(xy x x y u ψϕ+=其中函数ψϕ,具有二阶连续偏导数，试证：022222222=∂∂+∂∂∂+∂∂y u y y x u xy x u x . 证：因为222223432,u y y u y y y x x x x x x x ϕψψϕϕψ∂-∂'''''''=+-=++∂∂222322211,,u y y u u x y x x x y x y x xϕψϕϕψϕψ''''∂∂∂'''''''=---=+=+∂∂∂∂ 从而左边222234323222120y y y y y x xy y x x x x x x x x ϕψϕϕψϕϕψ''''⎛⎫⎛⎫⎛⎫''''''''''=+++---++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭作业5 隐函数求导法1．填空题（1）已知3330x y xy +-=，则d d y x =22x yx y--； （2）已知20x y z ++-=，则x y ∂=∂（3）已知xzz y =，则d z =2ln ln z dy yz zdxxy yz y--；（4）已知222cos cos cos 1x y z ++=，则d z =sin 2sin 2sin 2xdx ydyz+-；（5）已知(),z f xz z y =-，其中f 具有一阶连续偏导数，则d z =12121zf dx f dyxf f ---.2．设(),0,F y z xy yz ++=其中F 具有二阶连续偏导数，求22zx∂∂．解：212120,yF z z z F F y y x x x F yF -∂∂∂⎛⎫+⋅+=⇒= ⎪∂∂∂+⎝⎭ ()()[]()22122122122221212x x x F z F y yz F yF F F yF F z y y x x F yF F yF '⋅+++-+⎡⎤⎛⎫∂∂⎣⎦=-=- ⎪∂∂++⎝⎭()()()()()2222112111222212221231212y F F F yF F F yF y F F F F F yF F yF -+++⎡⎤-⎣⎦=+++3．求由方程组222222320z x yx y z ⎧=+⎪⎨++=⎪⎩所确定的()y x 及()z x 的导数d d y x 及d d z x .解：由已知()2222222602460dz xdx ydydz xdx ydy xdx dz xdx zdz xdx ydy zdz -=⎧=+⎧⎪⇒⎨⎨+-+=++=⎪⎩⎩()()22606,132623220xdx z dz dz x dy x xy dx z dx y yz xdx ydy z xdx ydy -++=⎧+⎪⇒⇒==-⎨+++++=⎪⎩4．设函数()z f u =，又方程()()d xy u u P t t ϕ=+⎰确定u 是,x y 的函数，其中()f u 与()u ϕ均可微；()(),P t u ϕ'连续，且()1u ϕ'≠. 试证：()()0z zP y P x x y∂∂+=∂∂. 证：因为()(),z u z uf u f u x x y y∂∂∂∂''=⋅=⋅∂∂∂∂， ()()()(),1P x u u uu P x x x x u ϕϕ∂∂∂'=⋅+='∂∂∂- ()()()(),1P y u u uu P y y y y u ϕϕ-∂∂∂'=⋅-='∂∂∂- ()()()()()()()()()()011P x P y z zP y P x P y f u P x f u x y u u ϕϕ-∂∂''+=+=''∂∂-- 5．设函数()f u 具有二阶连续偏导数，而()e sin xz f y =满足方程22222e xz z z x y∂∂+=∂∂，求()f u . 解：因为()()()()222sin ,sin sin x xx z z f u e y f u e y f u e y x x∂∂''''==+∂∂ ()()()()222cos ,cos (sin )x x x z z f u e y f u e y f u e y y y∂∂''''==+-∂∂()()222222()e ,()0x x z zf u e f u f u f u x y∂∂''''+==⇒-=∂∂ 特征方程为()2121210,1,1,u u r r r f u c e c e --===-=+作业6 方向导数与梯度1．填空题（1）在梯度向量的方向上，函数的变化率 最大 ； （2）函数在给定点的方向导数的最大值就是梯度的 模 ； （3）函数2249z x y =+在点()2,1的梯度为grad z ={16,18}；（4）函数xyz u =在点)1,1,1(处沿方向}cos ,cos ,{cos γβα=l的方向导数是cos cos cos αβγ++，且函数u 在该点的梯度是{1,1,1}；（5）函数e cos()xu yz =在点)0,0,0(处沿方向}2,1,2{-=l的方向导数是23； （6）函数)ln(22z y x u ++=在点)1,0,1(A 处沿A 指向点)2,2,3(-B 方向的方向导数是12. 2．求222z y x u -+=在点)0,0,(a A 及点)0,,0(a B 处的梯度间的夹角.解：{}2,2,2{2,0,0}AAgradux y z a =-={}2,2,2{0,2,0}B Bgradu x y z a =-=夹角余弦为cos 02A B A Bgradu gradu gradu gradu πϕϕ⋅==⇒=⋅3．求二元函数22z x xy y =-+在点()1,1-沿方向{}2,1l =的方向导数及梯度，并指出z 在该点沿那个方向减少得最快沿那个方向z 的值不变 解：(){}(){}1,11,12,23,3gradz x y y x --=--=-25l ⎧=⎨⎩，{3,3}5zl ∂=-⋅=-∂z 在该点沿梯度相反方向，即方向减少得最快；沿与梯度垂直的那个方向，即±方向z 的值不变 4．设x轴正向到l 得转角为α，求函数()22220,0,x y f x y x y +>=+=⎩在点()0,0处沿着方向l 的方向导数.解：{}cos ,sin ,cos l αααα===由于该函数在点()0,0处不可微，从而不能用公式，只能由定义得出沿着方向l 的方向导数：()()00,0,0lim x y f x y f fl ρρρ→→→→-∂===∂1cos sin sin 22ααα==作业7 偏导数的几何应用1．填空题（1）已知曲面224z x y =--上点P 的切平面平行于平面221x y z ++=，则点P的坐标是(1,1,2)；（2）曲面e 23zz xy -+=在点()1,2,0处的切平面方程是24x y +=；（3）由曲线223212x y z ⎧+=⎨=⎩绕y轴旋转一周所得到的旋转曲面在点(M处的指向内侧的单位法向量为0,⎧⎪⎨⎪⎩； （4）曲面2222321x y z ++=在点()1,2,2-处的法线方程是122146x y y -+-==-； （5）已知曲线23,,x t y t z t ===上点P 的切线平行于平面24x y z ++=，则点P的坐标是()1,1,1--或111,,3927⎛⎫--⎪⎝⎭． 2．求曲线22sin ,sin cos ,cos x t y t t z t ===在对应于的点π4t =处的切线和法平面方程.解：切点为{}224111,,,2sin cos ,cos sin ,2cos sin {1,0,1}222T t t t t t tπ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，从而切线为11110222,11012x z x y z y +-=⎧---⎪==⎨-=⎪⎩， 法平面为110,022x z x z ⎛⎫---=-= ⎪⎝⎭3．求两个圆柱面的交线22221:1x y x z ⎧+=⎪Γ⎨+=⎪⎩在点M 处的切线和法平面的方程.解：1{2,2,0}|//{1,1,0}M n x y =，2{2,0,2}|//{1,0,1}M n x z ={}{}1,1,01,0,1{1,1,1}T =⨯=--==，法平面为0x y z --+= 4．求曲面()22210ax by cz abc ++=≠在点()000,,x y z 处的切平面及法线的方程. 解：000000{2,2,2}//{,,}n ax by cz ax by cz =切平面为0001ax x by y cz z ++=，法线为000000x x y y z z ax by cz ---== 5．求函数22221x y z a b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在点M 处沿曲线22221x y a b +=在此点的外法线方向的方向导数.解：2222,,MM x y gradza b a b ⎧⎪⎧⎫=--=--⎨⎬⎨⎩⎭⎪⎪⎩⎭2222,M x y n a b a b ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭指向外侧为此点的外法线方向，方向导数为(2a z n gradz n n∂=⋅=-∂6．证明：曲面y z xf x ⎛⎫=⎪⎝⎭在任意点处的切平面都通过原点，其中f 具有连续导数. 证：设切点为()000,,x y z ，则000000000000,,1,y y y y y n f f f z x f x x x x x ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪''=--=⎨⎬⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭ 切平面为()()()000000000000y y y y f f x x f y y z z x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫''--+---=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦令0x y z ===，得左边等于右边，从而原点在任意点处的切平面上，也即任意点处的切平面都通过原点。
(必考题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试(含答案解析)(1)
一、选择题1．给出下列函数：①()()2ln 1f x x x =+-；②()3cos f x x x =；③()xf x e x =+.0a ∃>使得()0aaf x dx -=⎰的函数是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③2．直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ） A ．22B ．42C ．2D ．43．曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝2π所围成的平面区域的面积为( ) A ．π20⎰(sin x －cos x )d x B ．2π40⎰(sin x －cos x )d x C ．π20⎰(cos x －sin x )d xD ．2π40⎰(cos x －sin x )d x4．三棱锥D ABC -及其正视图和侧视图如图所示，且顶点,,,A B C D 均在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ）A ．32πB ．36πC ．128πD ．144π5．曲线x y e =，x y e -=和直线1x =围成的图形面积是（ ） A ．1e e --B ．1e e -+C ．12e e ---D ．12e e -+-6．已知1(1)1x f x x e ++=-+，则函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线l 与坐标轴围成的三角形的面积为 A ．14 B ．12C ．1D ．2 7．121(1)x x dx --=⎰（ ）A ．1π+B ．1π-C ．πD ．2π8．已知幂函数a y x =图像的一部分如下图，且过点(2,4)P ，则图中阴影部分的面积等于（ ）A ．163B ．83C ．43D ．239．曲线()sin 0πy x x =≤≤与直线12y =围成的封闭图形的面积是 A 3B ．23C ．π23-D π3310．已知函数20()cos 0x f x x x ≥⎧=⎨<⎩,则12()f x dx π-⎰的值等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411．20sin xdx π=⎰（ ）A ．4B ．2C ．-2D ．012．已知11em dx x=⎰，函数()f x 的导数()()()f x a x m x a '=++，若()f x 在x a =-处取得极大值，则a 的取值范围是（ ） A ．1a < B ．10a -<< C ．1a >或0a <D ．01a <<或0a <二、填空题13．曲线y=x 2与y=x 所围成的封闭图形的面积为______．14．在平面直角坐标系中，角α的始边落在x 轴的非负半轴，终边上有一点是(3-，若[)0,2απ∈，则cos xdx αα-=⎰______．15．由曲线22y x =+与3y x =，1x =，2x =所围成的平面图形的面积为________________.16．若()()4112ax x -+的展开式中2x 项的系数为4，则21ae dx x=⎰________________ 17．(12021x x dx +-=⎰________18．定积分2sin cos t tdt π=⎰________．19．π4cos xdx =⎰______．20．曲线2y x 和曲线y x =围成一个叶形图（如图所示阴影部分），其面积是________．三、解答题21．设函数()32f x x ax bx =++在点1x =处有极值2-.(1)求常数,a b 的值;(2)求曲线()y f x =与x 轴所围成的图形的面积.22．已知函数31()ln 2f x x ax x =--()a R ∈.（1）若()f x 在(1,2)上存在极值，求(1)f 的取值范围； （2）当0x >时，()0f x <恒成立，比较a e 与232a e+的大小. 23．已知函数()32f x x ax =+图像上一点()1,P b 的切线斜率为3-，()()()3261302t g x x x t x t -=+-++> （Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）当[]1,4x ∈-时，求()f x 的值域；（Ⅲ）当[]1,4x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围.24．已知抛物线2:2C y x x =-+，在点(0,0)A ，(2,0)B 分别作抛物线的切线12,l l ．（1）求切线1l 和2l 的方程；（2）求抛物线C 与切线1l 和2l 所围成的面积S ．25．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，E 为AB 的中点.求：（1）异面直线1BD 与CE 所成角的余弦值； （2）点A 到平面1A EC 的距离.26．已知()ln f x x x mx =+，2()3g x x ax =-+-（1）若函数()f x 在(1,)+∞上为单调函数，求实数m 的取值范围；（2）若当0m =时，对任意(0,),2()()x f x g x ∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】利用定义判断①②中的函数为奇函数，根据奇函数和定积分的性质，判断①②；利用反证法，结合定积分的性质，判断③. 【详解】对①，()f x 的定义域为R2212()ln(1)ln(1)ln(1)()f x x x x x x x f x --=+=+=-+=-即函数()f x 为奇函数，则0a ∃>使得()0aaf x dx -=⎰对②，()f x 的定义域为R33()cos()cos ()f x x x x x f x -=--=-=-，即函数()f x 为奇函数，则0a ∃>使得()0aaf x dx -=⎰对③，若0a ∃>，使得()0aaf x dx -=⎰成立则()2102aax x a aa a e x dx e x e e ---⎛⎫+=+- ⎪⎝==⎭⎰，解得0a =，与0a >矛盾，则③不满足 故选：A 【点睛】本题主要考查了定积分的性质以运用，属于中档题.2．D解析：D 【解析】直线4y x =与曲线3y x =的交点坐标为(0,0)和(2,8)， 故直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积23242001(4)2|8444S x x dx x x ⎛⎫=⎰-=-=-= ⎪⎝⎭．故选D ．3．D解析：D 【解析】π40⎰(-sin x +cos x )d x 2π4π+⎰(sin x -cos x )dx=2π40⎰(cos x －sin x )d x ,选D. 点睛：1.求曲边图形面积的方法与步骤 (1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限； (3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和．2．利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．4．A解析：A 【解析】由三视图可得：DC ⊥平面ABC 且底面ABC 为正三角形，如图所示，取AC 中点F ，连BF ，则BF AC ⊥，在Rt BCF 中，2BF =，2CF =，4BC =， 在Rt BCD 中，4CD =，所以42BD =ABC 的距离为d ，因为DC ⊥平面ABC ，且底面ABC 为正三角形，所以2d =，因为ABC 的外接圆的半径为2，所以由勾股定理可得22228R d =+=，则该三棱锥外接球的半径22R =，所以三棱锥外接球的表面积是2432R ππ=，故选A ．点睛：本题考查几何体的三视图，线面垂直的定义，以及几何体外接球问题，由三视图正确还原几何体、以及判断几何体位置关系是解题关键；由三视图画出几何体的直观图，由三视图判断出DC ⊥平面ABC 、求出ABC 的外接圆的半径，列出方程求出三棱锥外接球的半径，由球的表面积公式求出答案.5．D解析：D 【解析】试题分析：根据题意画出区域，作图如下，由{x xy e y e-==解得交点为（0，1），∴所求面积为：()()1101|2x x x x S e e dx e e e e --=-=+=+-⎰ 考点：定积分及其应用6．A解析：A 【解析】试题分析：由1(1)1x f x x e++=-+知()2x f x x e =-+，则()1(0)2xf x e f ''=+⇒=，而(0)1f =-，即切点坐标为()0,1-，切线斜率(0=2k f '=），则切线()():12021l y x y x --=-⇒=-，切线l 与坐标轴的交点分别为1,02⎛⎫⎪⎝⎭和()0,1-，则切线l 与坐标轴围成的三角形的面积为1111224S =⋅⋅-= 考点：函数在某点处的切线7．D解析：D 【解析】因1112111111]|2x dx x ----=+=⎰，故设sin ,[,]22x ππθθ=∈-，则12221221cos 21cos sin cos (2)2sin 2|442d d d ππππππππθπθθθθθπθ-----+====⨯+=⎰⎰⎰，应选答案D 。
(北师大版)上海市高中数学选修2-2第四章《定积分》测试(有答案解析)
一、选择题1．已知()22214a x ex dx π-=--⎰，若()201620121ax b b x b x -=++ 20162016b x ++（x R ∈），则12222b b + 201620162b ++的值为（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．e2．已知函数()2ln 2f x mx x x =+-在定义域内存在单调递减区间，则实数m 的取值范围是（ ） A ．12m ≥B ．12m < C ．1m ≥ D ．1m < 3．若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴，则k =（ ） A ．2- B ．1- C ．0 D ．14．曲线x y e =在点（0，1）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．3 5．如图，设D 是途中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数1(0)y x x=>图象下方的阴影部分区域，则阴影部分E 的面积为（ ）A ．ln 2B ．1ln 2-C ．2ln 2-D ．1ln 2+6．已知1(1)1x f x x e ++=-+，则函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线l 与坐标轴围成的三角形的面积为 A ．14 B ．12C ．1D ．2 7．已知10(31)()0ax x b dx ，,a b ∈R ，则⋅a b 的取值范围为（ ）A ．1,9B ．1,1,9 C ．1,[1,)9D ．()1,+∞8．由直线,1y x y x ==-+，及ｘ轴所围成平面图形的面积为 （ ）A ．()101y y dy ⎡⎤--⎣⎦⎰B ．()1201x x dx ⎡⎤-+-⎣⎦⎰C ．()121y y dy ⎡⎤--⎣⎦⎰D ．()101x x dx ⎡⎤--+⎣⎦⎰9．若向区域(){},|0101x y x y Ω=≤≤≤≤，内投点，则该点落在由直线y x =与曲线y x =围成区域内的概率为（ ）A ．18B ．16C ．13D ．1210．一物体在力F (x )＝3x 2－2x ＋5(力单位：N ，位移单位：m)作用力下，沿与力F (x )相同的方向由x ＝5 m 直线运动到x ＝10 m 处做的功是( )． A ．925 JB ．850 JC ．825 JD ．800 J11．由直线y= x - 4，曲线2y x =以及x 轴所围成的图形面积为（ ）A ．15B ．13C ．252D ．40312．120(1(1))x x dx ⎰---=（ ） A ．22π+B ．12π+ C ．122π-D ．142π- 二、填空题13．曲线,,0x y e y e x ===围成的图形的面积S =______14．由曲线x y e x =+与直线0,1,0x x y ===所围成图形的面积等于________． 15．曲线y=x 2与y=x 所围成的封闭图形的面积为______． 16．曲线y x =与直线21y x =-及x 轴所围成的封闭图形的面积为 ____．17．如图所示，则阴影部分的面积是 .18．在下列命题中 ①函数1()f x x=在定义域内为单调递减函数； ②已知定义在R 上周期为4的函数()f x 满足(2)(2)f x f x -=+，则()f x 一定为偶函数；③若()f x 为奇函数，则()2()(0)a aaf x dx f x dx a -=>⎰⎰；④已知函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，则0a b c ++=是()f x 有极值的充分不必要条件；⑤已知函数()sin f x x x =-，若0a b +>，则()()0f a f b +>. 其中正确命题的序号为___________________（写出所有正确命题的序号）.19．已知(111,a dx -=⎰则932a x x π⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭展开式中的各项系数和为________20．2(1)x dx -=⎰________.三、解答题21．已知函数()()2log 3a f x x =-++（0a >且1a ≠），()112x g x -⎛⎫= ⎪⎝⎭.（1）函数()y f x =的图象恒过定点A ，求A 点坐标；（2）若函数()()()F x f x g x =-的图象过点()1,5--，证明：方程()0F x =在()1,5x ∈上有唯一解.22．已知2()2ln ,(0,]f x ax x x e =-∈ 其中e 是自然对数的底 . (1)若()f x 在1x = 处取得极值,求a 的值； (2)求()f x 的单调区间；23．设函数()32,0{,0x x x x f x axe x ->=≤，其中0a >.（1）若直线y m =与函数()f x 的图象在(]0,2上只有一个交点，求m 的取值范围； （2）若()f x a ≥-对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围. 24．已知曲线sin y x =和直线0,x x π==及0y =所围成图形的面积为0S . (1)求0S .(2)求所围成图形绕ox 轴旋转所成旋转体的体积. 25．已知函数1211()(1)x f x adt x t+=++⎰()1x >-. （1）若()f x 在1x =处有极值，问是否存在实数m ，使得不等式2214()m tm e f x ++-≤对任意[]1,x e e ∈-及[]1,1t ∈-恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.()2.71828e =；（2）若1a =，设2()()(1)F x f x x x =-+-.①求证：当0x >时，()0F x <； ②设*111()12(1)n a n N n n n n =++⋅⋅⋅+∈++++，求证：ln 2n a > 26．利用定积分的定义，计算2211d x x ⎰的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】因为22x -表示的是以原点为圆心、半径为2的上半圆的面积，即22πx -=，222221e d (e )|02x x x --==⎰，所以)221e d 2a x x π-==⎰，则()2016201212x b b x b x -=++ 20162016b x ++，令0x =，得01b =，令12x =，得1202022b b b =++ 201620162b ++，则12222b b + 2016201612b ++=-；故选A. 点睛：在处理二项展开式的系数问题要注意两个问题：一是要正确区分二项式系数和各项系数；二要根据具体问题合理赋值（常用赋值是1、-1、0）.2．B解析：B【解析】求导函数，可得()1'220f x mx x x=+->，，函数()2ln 2f x mx x x =+-在定义域内是增函数，所以()'0f x < 成立，即1220(0)mx x x+-<>恒成立，所以21211m x ⎛⎫->-- ⎪⎝⎭，所以21m ->-，所以12m < 时，函数()f x 在定义域内是增函数．故选B ．3．B解析：B【解析】因为1y k x'=+,所以10,1k k +==- ,选B. 点睛：(1)求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点.(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.4．A解析：A 【解析】试题分析：'0x x y e y e x =∴=∴=时'11y k =∴=，直线方程为1y x =+，与两坐标轴交点为()()1,0,0,1-，所以三角形面积为12考点：导数的几何意义及直线方程5．D解析：D 【解析】试题分析：由题意，阴影部分E 由两部分组成，因为函数1(0),y x x=>当2y =时，1,2x =所以阴影部分E 的面积为1111221121ln |1ln 2,2dx x x ⨯+=+=+⎰故选D ． 考点：利用定积分在曲边形的面积．6．A解析：A 【解析】试题分析：由1(1)1x f x x e++=-+知()2x f x x e =-+，则()1(0)2xf x e f ''=+⇒=，而(0)1f =-，即切点坐标为()0,1-，切线斜率(0=2k f '=），则切线()():12021l y x y x --=-⇒=-，切线l 与坐标轴的交点分别为1,02⎛⎫⎪⎝⎭和()0,1-，则切线l 与坐标轴围成的三角形的面积为1111224S =⋅⋅-= 考点：函数在某点处的切线7．C解析：C 【分析】本题可以先根据定积分的运算法则建立a 与b 的等量关系，然后设abt ，则312t a b，再然后根据构造法得出a 、b 为方程23102t xx t 的根，最后根据判别式即可得出结果．【详解】112(31)()(33)ax x b dx ax abx x b dx 1223331()02222abx x ab ax bx a b =+++=+++=，即3210ab a b ，设abt ，则312t a b，a 、b 为方程23102t xx t 的根，有231402t t ，解得19t 或1t ≥， 所以1,[1,)9a b ，故选C ．【点睛】本题考查定积分的运算法则以及构造法，能否根据被积函数的解析式得出原函数的解析式是解决本题的关键，考查韦达定理的使用，是中档题．8．C解析：C 【解析】如图，由直线y=x ，y=−x+1，及x 轴围成平面图形是红色的部分，它和图中蓝色部分的面积相同，∵蓝色部分的面积()121S x x dx ⎡⎤=--⎣⎦⎰，即()121y y dy ⎡⎤--⎣⎦⎰.本题选择C 选项.9．B解析：B 【解析】 区域(){},|01,01x y x y Ω=≤≤≤≤是正方形，面积为1，根据定积分定理可得直线y x =与曲线y x =围成区域的面积为()1321200211|326x x dx x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭⎰，根据几何概型概率公式可得该点落在由直线y x =与曲线y x =围成区域内的概率为16，故选B ．10．C解析：C 【解析】W ＝105⎰F (x )d x ＝105⎰(3x 2－2x ＋5)d x ＝(x 3－x 2＋5x )105＝(1 000－100＋50)－(125－25＋25)＝825(J)．选C.11．D解析：D 【详解】根据题意，画出如图所示：由直线4y x =-，，曲线2y x =x 轴所围成的面积为：4288221402(24)(4)42322xdx x x dx x x x x +⎰+=+-+=. 故选D.12．D解析：D 【分析】 函数1201(1)y x dx =--⎰的图象是以(1,0)为圆心，以1为半径的上半圆，作出直线y x =，则图中阴影部分的面积为题目所要求的定积分.【详解】 由题意，)111221(1)1(1)()x x dx x dx x dx --=--+-⎰⎰⎰，如图：1201(1)x dx --⎰的大小相当于是以(1,0)为圆心，以1为半径的圆的面积的14，故其值为4π，021011()1()|22x d x x --=-=⎰， 所以，)11122011(1)1(1)()42x x dx x dx x dx π--=--+-=-⎰⎰⎰ 所以本题选D. 【点睛】本题考查求定积分，求解本题关键是根据定积分的运算性质将其值分为两部分来求，其中一部分要借用其几何意义求值，在求定积分时要注意灵活选用方法，求定积分的方法主要有两种，一种是几何法，借助相关的几何图形，一种是定义法，求出其原函数，本题两种方法都涉及到了，由定积分的形式分析，求解它的值得分为两部分来求，1201(1)x dx --⎰和1()x dx -⎰.二、填空题13．【解析】【分析】先求出两曲线的交点再由面积与定积分的关系利用定积分即可求解【详解】由题意令解得交点坐标为所以曲线围成的图形的面积【点睛】本题主要考查了利用定积分求解曲边形的面积其中解答中根据题设中的 解析：1【解析】 【分析】先求出两曲线,x y e y e ==的交点，再由面积与定积分的关系，利用定积分即可求解． 【详解】 由题意，令x y ey e=⎧⎨=⎩，解得交点坐标为(1,)e ， 所以曲线,,0xy e y e x ===围成的图形的面积110()()|1x xS e e dx ex e =-=-=⎰．【点睛】本题主要考查了利用定积分求解曲边形的面积，其中解答中根据题设中的条件建立面积的积分表达式，利用定积分的计算准确求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．14．【分析】根据定积分的几何意义得到积S ＝(ex ＋x)dx 由牛顿莱布尼茨公式可得到答案【详解】根据定积分的几何意义得到面积S ＝(ex ＋x)dx ＝故答案为【点睛】这个题目考查了定积分的几何意义以及常见函数解析：12e -【分析】根据定积分的几何意义得到积S ＝10⎰(e x ＋x )d x ，由牛顿莱布尼茨公式可得到答案.【详解】根据定积分的几何意义得到，面积S ＝10⎰(e x ＋x )d x ＝210111|1.222xe x e e ⎛⎫+=+-=- ⎪⎝⎭ 故答案为1.2e - 【点睛】这个题目考查了定积分的几何意义，以及常见函数的积分值的求法.15．【分析】首先求得两个函数交点的坐标然后利用定积分求得封闭图形的面积【详解】根据解得画出图像如下图所示封闭图像的面积为【点睛】本小题主要考查利用定积分求封闭图形的面积考查运算求解能力属于基础题解题过程解析：16【分析】首先求得两个函数交点的坐标，然后利用定积分求得封闭图形的面积. 【详解】根据2y x y x⎧=⎨=⎩解得()()0,01,1,.画出图像如下图所示，封闭图像的面积为()12x x dx -⎰2310111|23236x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭.【点睛】本小题主要考查利用定积分求封闭图形的面积，考查运算求解能力，属于基础题.解题过程中首先求得两个函数图像的交点坐标，然后画出图像，判断出所要求面积的区域，然后利用微积分基本定理求得封闭图形的面积.16．【分析】根据定积分的几何意义先联立直线与曲线方程求出积分的上下限将面积转化为定积分从而可求出所围成的图形的面积【详解】由曲线与直线构成方程组解得由直线与构成方程组解得；曲线与直线及x轴所围成的封闭图解析：5 12【分析】根据定积分的几何意义，先联立直线与曲线方程，求出积分的上下限，将面积转化为定积分112(21)xdx x dx--⎰，从而可求出所围成的图形的面积.【详解】由曲线y x =21y x =-构成方程组21y xy x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，解得{11x y ==，由直线21y x =-与0y =构成方程组，解得120x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩；∴曲线y x =21y x =-及x 轴所围成的封闭图形的面积为：()131212011222215(21)||33412S xdx x dx x x x =--=--=-=⎰⎰． 故答案为512． 【点睛】本题主要考查定积分的几何意义，属于中档题.一般情况下，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、曲线y =()f x 以及直线,x a x b ==之间的曲边梯形面积的代数和 ，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数,所以在用定积分求曲边形面积时，一定要分清面积与定积分是相等还是互为相反数；两条曲线之间的面积可以用两曲线差的定积分来求解.17．【解析】试题分析：由题意得直线与抛物线解得交点分别为和抛物线与轴负半轴交点设阴影部分的面积为则考点：定积分在求面积中的应用【方法点晴】本题主要考查了定积分求解曲边形的面积中的应用其中解答中根据直线方 解析：323【解析】试题分析：由题意得，直线2y x =与抛物线23y x =-，解得交点分别为(3,6)--和(1,2)，抛物线23y x =-与x 轴负半轴交点(3,0)-，设阴影部分的面积为S ，则12203(32)(3)S x x dx x dx =--+-⎰⎰02332)xdx x dx ---+-⎰532933=+-． 考点：定积分在求面积中的应用．【方法点晴】本题主要考查了定积分求解曲边形的面积中的应用，其中解答中根据直线方程与曲线方程的交点坐标，确定积分的上、下限，确定被积函数是解答此类问题的关键，同时解答中注意图形的分割，在x 轴下方的部分积分为负（积分的几何意义强调代数和），着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．18．②④⑤【解析】①函数在定义域内不为单调递减函数在和为单调递减函数；；②已知定义在上周期为4的函数满足则所以一定为偶函数；③若为奇函数则；④已知函数则即有极值充分性成立；有极值所以不必要；⑤函数为单调解析：②④⑤ 【解析】 ①函数()1f x x=在定义域内不为单调递减函数，在(,0)-∞ 和(0,)+∞ 为单调递减函数；；②已知定义在R 上周期为4的函数()f x 满足()()22f x f x -=+， 则()(4)()f x f x f x =-=-所以()f x 一定为偶函数；③若()f x 为奇函数，则()0aaf x dx -=⎰；④已知函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠，2()32,f x ax bx c +'=+ 则0a b c ++=22224124()124()0b ac a c ac a c ac ⇒∆=-=+-=+-> ，即()f x 有极值，充分性成立；()10,2a b c f x ===-，，，也有极值，所以不必要； ⑤函数()sin f x x x =-为单调递增奇函数，所以0a b +>，则()()(),f a f b f b >-=-即 ()()0f a f b +>. 正确命题的序号为②④⑤19．－1【解析】表示圆上半圆的面积所以那么原二项式为的展开式中各项系数和令那么故填：-1解析：－1【解析】11111a dx --=+⎰， 1111|21dx x -==-⎰ ，1- ，表示圆221x y += 上半圆的面积2π，所以22a π=+ ，那么原二项式为932x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中各项系数和，令1x = ，那么932111⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭ ，故填：-1.20．【详解】试题分析：考点：定积分的计算【名师点睛】本题主要考查定积分的计算意在考查学生的运算求解能力属于容易题定积分的计算通常有两类基本方法：一是利用牛顿-莱布尼茨定理；二是利用定积分的几何意义求解解析：. 【详解】试题分析：222001(1)02x dx x x ⎛⎫-=-=⎪⎝⎭⎰. 考点：定积分的计算. 【名师点睛】本题主要考查定积分的计算，意在考查学生的运算求解能力，属于容易题，定积分的计算通常有两类基本方法：一是利用牛顿-莱布尼茨定理；二是利用定积分的几何意义求解.三、解答题21．(1)()2,2A --；(2)证明见解析. 【解析】 试题分析：(1)结合对数函数的性质可得函数()y f x =的图象恒过定点()2,2A --； (2)由题意结合函数的单调性和函数的值域即可证得题中的结论. 试题（1）解：∵当2x =-时，()22f -=-，说明()y f x =的图象恒过点()2,2A --.（2）证明：∵()()112log 32x a F x x -⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭过()1,5--，∴2a =，∴()()1212log 32x F x x -⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭，∵()121log 3,2x y x y -⎛⎫=+= ⎪⎝⎭分别为()3,-+∞上的增函数和减函数，∴()F x 为()3,-+∞上的增函数， ∴()F x 在()3,-+∞上至多有一个零点，又()()1,53,⊂-+∞，∴()F x 在()1,5上至多有一个零点， 而()11552301616F =-+-=>， ()0112202F ⎛⎫=-+-< ⎪⎝⎭，∴()0F x =在()1,5上有唯一解.22．（1）1a = （2）见解析 【解析】试题分析（1）先求导数,再根据极值定义得()1220f a -'==,解得a 的值（2）由导函数是否变号进行分类讨论: 当0a ≤时，导函数恒负,所以在定义区间上为单调递减函数;当e ≥ 时，导函数恒正, 所以在定义区间上为单调递增函数;e <时,导函数先负后正,所以减区间是⎛ ⎝⎭，增区间是e ⎤⎥⎝⎦. 试题(1 ) ()22222ax f x ax x x='-=-.由已知()1220f a -'==, 解得1a =. 经检验, 1a =符合题意.(2) ()22222ax f x ax x x='-=-.1)当0a ≤时，()()0,f x f x <'∴在(]0,e 上是减函数.2)当0a >时，()2a x x f x x⎛⎫⎛'⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭=.①e <，即21a e >， 则()f x在⎛ ⎝⎭上是减函数，在e ⎤⎥⎝⎦上是增函数； ②若e a≥ ，即210a e <≤，则()f x 在(]0,e 上是减函数.综上所述，当21a e≤时，()f x 的减区间是(]0,e ， 当21a e >时，()f x的减区间是⎛ ⎝⎭，增区间是e ⎤⎥⎝⎦. 点睛：导数与函数的单调性(1)函数单调性的判定方法：设函数()y f x =在某个区间内可导，如果()0f x '>，则()y f x =在该区间为增函数；如果()0f x '<，则()y f x =在该区间为减函数.(2)函数单调性问题包括：①求函数的单调区间或存在单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；②利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法.23．（1）04m ≤≤或427m =-.（2）4,27a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭【解析】试题分析：（1）根据函数的单调性，由数形结合可得； （2）研究0x >和0x ≤时函数的最值，并比较大小求a 即可. 试题解：(1)当0x >时，()2'32f x x x =-，令()'0f x =时得23x =；令()'0f x >得()2,3x f x >递增； 令()'0f x <得()20,3x f x <<递减，()f x ∴在23x =处取得极小值，且极小值为()()24,00,24327f f f ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，所以由数形结合可得04m ≤≤或427m =-. (2) 当0x ≤时，()()1,0xf x a x e a '=+>，令()'0f x =得1x =-；令()'0f x >得()10,x f x -<<递增；令()'0f x <得()1,x f x <-递减.()f x ∴在1x =-处取得极小值，且极小值为()1af e-=-. 0,0a a e >∴-<,因为当427a e -≥-即4027a e <≤时，()min 24444,,327272727f x f a a e ⎛⎫==-∴-≤-∴≤≤ ⎪⎝⎭.当427a e -<-即427a e >时，()()min 1,a a f x f a e e =-=-∴-≤-，即40,27a a e ≥∴>.综上，4,27a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭.点睛：利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a 恒成立，只需f(x)min≥a 即可；f(x)≤a 恒成立，只需f(x)max≤a 即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.24．(1)2,；（2）22π.【分析】（1）根据题意可知曲线sin y x =和直线0,x x π==及0y =所围成图形的面积为00sin S xdx π=⎰，解之即可；（2）所围成图形绕ox 轴旋转所成旋转体的体积为20sin V xdx ππ=⎰，根据定积分的定义解之即可．【详解】 （1）000sin cos |(cos )(cos0)112S xdx x πππ==-=---=+=⎰；（2）220011sin sin 2|(0)24242x V xdx x πππππππ⎛⎫==-=-⨯=⎪⎝⎭⎰. 【点睛】本题主要考查定积分的几何意义，意在考查灵活利用所学知识解答问题的能力，属于中档题.25．（1）存在，22m -≤≤；（2）①证明见解析；②证明见解析. 【分析】（1）根据微积分基本定理求得()f x ，由()10f '=，求得参数a ；利用导数求函数的在区间上的最值，结合一次不等式在区间上恒成立问题，即可求得参数m 的范围； （2）①求得()F x '，利用导数求得()F x 的单调性，即可容易证明； ②由①中所求，可得12ln()11k k k +>++，利用对数运算，即可证明. 【详解】由题可知2()ln(1)(1)f x a x x =+++，∴()221af x x x '=+++. （1）由()01f '=，可得2202a++=，8a =-. 又当8a =-时，()()()2311x x f x x +'-=+，故()f x 在区间()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增. 故函数()f x 在1x =处取得极值，所以8a =-.∵11e <-，82(1)(3)()2211x x f x x x x --+'=++=++.∴()0f x '>，当[]1,x e e ∈-时，由上述讨论可知，()f x 单调递增， 故2min ()(1)8f x f e e =-=-+不等式2214()m tm e f x ++-≤对任意[]1,x e e ∈-及[]1,1t ∈-恒成立， 即：22222min 14()148m tm e f x m tm e e ++-≤⇔++-≤-+， 即：260m tm +-≤对[]1,1t ∈-恒成立，令2()6g t m mt =+-，(1)0g ⇒-≤，(1)0g ≤即260m m --≤，且260m m +-≤，整理得()()320m m -+≤，且()()320m m +-≤， 解得：22m -≤≤，即为所求.（2）①∵2()()(1)ln(1)F x f x x x x x =-+-=+-，∴()1xF x x-'=+ 当0x >时，()0F x '<，∴()F x 在(0,)+∞上单调递减，()(0)0F x F ∴<=即证.②由①可得：ln(1)(0)x x x +<> 令：11x k =+，得11ln(1)11k k +<++，即：12ln()11k k k +>++ ∴1112322ln ln ln 12(1)1221n n n n n n n n n n +++++⋅⋅⋅+>++⋅⋅⋅++++++++=ln 2 即证. 【点睛】本题考查由极值点求参数值，利用导数由恒成立问题求参数范围，以及利用导数证明不等式以及数列问题，属压轴题.26．22111d 2x x =⎰ 【解析】 【分析】由定积分的定义 等分区间，取点，近似计算求解即可. 【详解】 令()21f x x=．在区间[]1,2上等间隔地插入n 1-个分点，将它等分成n 个小区间()n i 1n i ,i 1,2,,n n n +-+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其长度为n i n i 11Δx n n n++-=-=． 当n 很大，即Δx 很小时，在区间n i 1n i ,n n +-+⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，可以认为()21f x x =的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它等于f ，则()()()()()2i n 1nΔS f Δx i 1,2,,n n i 1n i n n i 1n i =⋅=⋅==+-++-+．小曲边梯形的面积和()()n nn i i 1i 1nS ΔS n i 1n i ====+-+∑∑()()()()()n nnn n 1n 1n 2n n 1n n =+++++++-+111111n n n 1n 1n 2n n 1n n ⎛⎫=-+-++- ⎪++++-+⎝⎭111n n 2n 2⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故22111dx x 2=⎰． 【点睛】本题考查定积分的定义，熟练运用定义及方法步骤求解，准确计算是关键，是基础题.。
(压轴题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试题(含答案解析)
一、选择题1．给出下列函数：①())ln f x x =；②()3cos f x x x =；③()xf x e x =+.0a ∃>使得()0aaf x dx -=⎰的函数是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③2．设113a x dx -=⎰，1121b x dx =-⎰，130c x dx =⎰则a ，b ，c 的大小关系( )A ．a>b>cB ．b>a>cC ．a>c>bD ．b>c>a3．若函数()31f x x ax x =++在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是增函数,则a 的取值范围是( ) A ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ C ．13,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．13,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 4．由23y x =-和2y x =围成的封闭图形的面积是（ ） A．．9-．323 D ．3535．已知1(1)1x f x x e ++=-+，则函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线l 与坐标轴围成的三角形的面积为 A ．14 B ．12C ．1D ．2 6．一物体在力F (x )＝3x 2－2x ＋5(力单位：N ，位移单位：m)作用力下，沿与力F (x )相同的方向由x ＝5 m 直线运动到x ＝10 m 处做的功是( )． A ．925 JB ．850 JC ．825 JD ．800 J7．由曲线1xy =，直线,3y x y ==所围成的平面图形的面积为（ ） A ．2ln3-B ．4ln3+C ．4ln3-D ．3298．已知函数()[](]sin ,,00,1x x f x x π⎧∈-=∈，则()1f x dx π-=⎰（ ） A ．2π+ B ．2πC ．22π-+D ．24π-9．函数0()(4)xf x t t dt =-⎰在[1,5]-上（ ）A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0，最小值323-C ．最小值323-，无最大值 D ．既无最大值，也无最小值10．10)x dx ⎰=（ ）A ．22π+B ．12π+ C ．122π-D ．142π- 11．下列积分值最大的是（ ） A ．222sin +1x x dx -⎰（）B ．()22cos x dx ππ--⎰C ．224x dx --⎰D ．11edx x12．由曲线4y x =，1y x=，2x =围成的封闭图形的面积为( ) A ．172ln 22- B ．152ln 22- C ．15+2ln 22D ．17+2ln 22二、填空题13．定积分211dx x⎰的值等于________. 14．定积分21d 1x x ⎰-的值为__________．15．已知()[](]2,0,11,1,x x f x x e x⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩(e 为自然对数的底数),则()e 0f x dx =⎰_________.16．设函数()f x 的图象与直线,x a x b ==及x 轴所围成图形的面积称为函数()f x 在[],a b 上的面积，已知函数()sin f x nx =在0,2n π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的面积为1n()*n N ∈，则函数()()sin 32f x x π=-+在4,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的面积为__________．17．定积分2sin cos t tdt π=⎰________．18．已知平面区域(){}2,|04x y y x Ω=≤≤-，直线:2l y mx m =+和曲线2:4C y x =-有两个不同的交点，直线l 与曲线C 围成的平面区域为M ，向区域Ω内随机投一点A ，点A 落在区域M 内的概率为()P M ，若2(),12P M ππ-⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则实数m 的取值范围是___________. 19．曲线与直线所围成的封闭图形的面积为____________．20．曲线2y x 和曲线y x =________．三、解答题21．已知函数2()ln f x x a x =-（a R ∈），()F x bx =（b R ∈）. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设2a =，()()()g x f x F x =+，若12,x x （120x x <<）是()g x 的两个零点，且1202x x x +=， 试问曲线()y g x =在点0x 处的切线能否与x 轴平行？请说明理由. 22．如图，函数()sin()f x x ωϕ=+（其中π0,2ωϕ>≤）的图象与坐标轴的三个交点为,,P Q R ，且π(,0)6P ,2π(,0)3Q ，M 为QR 的中点，且M 的纵坐标为34-.（1）求()f x 的解析式；（2）求线段QR 与函数()f x 图象围成的图中阴影部分的面积. 23．梯形ABCD 顶点B 、C 在以AD 为直径的圆上，AD =2米，(1)如图1，若电热丝由AB ，BC ，CD 这三部分组成，在AB ，CD 上每米可辐射1单位热量，在BC 上每米可辐射2单位热量，请设计BC 的长度，使得电热丝辐射的总热量最大，并求总热量的最大值；(2)如图2，若电热丝由弧,AB CD 和弦BC 这三部分组成，在弧,AB CD 上每米可辐射1单位热量，在弦BC 上每米可辐射2单位热量，请设计BC 的长度，使得电热丝辐射的总热量最大．24．一物体沿直线以速度()23v t t =-（t 的单位为:秒,v 的单位为:米/秒）的速度作变速直线运动，求该物体从时刻t=0秒至时刻 t=5秒间运动的路程? 25．已知函数2()ln 1a f x x x +=++，其中a ∈R. (1)当a ＝4时，求f (x )的极值点；(2)讨论并求出f (x )在其定义域内的单调区间．26．已知函数()xae f x x x=+．（1）若函数()f x 的图象在(1,(1))f 处的切线经过点(0,1)-，求a 的值；（2）是否存在负整数a ，使函数()f x 的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a 的值；若不存在，请说明理由；（3）设0a >，求证：函数()f x 既有极大值，又有极小值【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】利用定义判断①②中的函数为奇函数，根据奇函数和定积分的性质，判断①②；利用反证法，结合定积分的性质，判断③. 【详解】对①，()f x 的定义域为R1())))()f x x x x f x --===-=-即函数()f x 为奇函数，则0a ∃>使得()0aaf x dx -=⎰对②，()f x 的定义域为R33()cos()cos ()f x x x x x f x -=--=-=-，即函数()f x 为奇函数，则0a ∃>使得()0aaf x dx -=⎰对③，若0a ∃>，使得()0aaf x dx -=⎰成立则()2102aaxx a aa a e x dx e x e e ---⎛⎫+=+- ⎪⎝==⎭⎰，解得0a =，与0a >矛盾，则③不满足 故选：A 【点睛】本题主要考查了定积分的性质以运用，属于中档题.2．A解析：A 【解析】借助定积分的计算公式可算得1121330033|22a x dx x -===⎰，1131220022111|1333b x dx x =-=-=-=⎰，13410011|44c x dx x ===⎰，所以a b c >>，应选答案A 。
(北师大版)深圳市高中数学选修2-2第四章《定积分》测试(有答案解析)
一、选择题1．222024xdx x dx +-=⎰⎰( )A ．2π B ．12π+ C ．4π D ．π2．如图，由曲线21y x =-直线0,2x x ==和x 轴围成的封闭图形的面积是（ ）A ．1B ．23C ．43D ．23．若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴，则k =（ ） A ．2- B ．1- C ．0 D ．14．已知1a xdx =⎰， 12b x dx =⎰， 1c xdx =⎰，则a ， b ， c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<5．如图，矩形ABCD 的四个顶点()(0,1),(,1),(,1),0,1A B C D ππ--，正弦曲线f xsinx 和余弦曲线()g x cosx =在矩形ABCD 内交于点F ，向矩形ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．6．设()2012a x dx =-⎰,则二项式6212a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的常数项是（ ）A ．240B ．240-C ．60-D ．607．由23y x =-和2y x =围成的封闭图形的面积是（ ） A ．23 B ．923- C ．323 D ．3538．等比数列{}n a 中，39a =，前3项和为3230S x dx =⎰，则公比q 的值是（ ）A ．1B ．12-C ．1或12-D ．1-或12-9．已知二次函数()y f x =的图像如图所示 ，则它与x 轴所围图形的面积为（ ）A ．25π B ．43C ．32D ．2π 10．图中阴影部分的面积用定积分表示为（ ）A ．12d xx ⎰B ．()1021d xx -⎰C ．()1021d xx +⎰D ．()1012d xx -⎰11．已知125113,log ,log 3,a a x dx m a n p a-====⎰，则 （ ） A ．m n p << B ．m p n <<C ．p m n <<D ．p n m <<12．由曲线1xy =，直线,3y x y ==所围成的平面图形的面积为（ ） A ．2ln3-B ．4ln3+C ．4ln3-D ．329二、填空题13．计算 121dx x--⎰=_____________． 14．若2211S x dx =⎰，2211S dx x=⎰，231x S e dx =⎰，则1S ，2S ，3S 的大小关系为___．15．计算()0cos 1x dx π⎰+=_________.16．曲线2y x 与直线2y x =所围成的封闭图形的面积为_______________.17．()12111x dx ---=⎰__________．18．定积分()12xx e dx +=⎰__________．19．曲线21y x =-与直线2,0x y ==所围成的区域的面积为_______________． 20．二项式33()6a x -的展开式的第二项的系数为,则的值为______．三、解答题21．为了降低能源消耗，某冷库内部要建造可供使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为4万元，又知该冷库每年的能源消耗费用c （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系()(010)25kc x x x =≤≤+，若不建隔热层，每年能源消耗为8万元.设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. （1）求k 的值及()f x 的表达式；（2）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小？并求最小值. 22．已知函数21()ln (1)12f x x ax a x =-+-+． （1）当1a =时，）求函数()f x 在2x =处的切线方程； （2）求函数()f x 在[]1,2x ∈时的最大值．23．已知函数22()2()ln 22f x x a x x ax a a =-++--+，其中0a >，设()g x 是()f x 的导函数，讨论()g x 的单调性和极值。
工程力学测试题(附答案)1
1、如图1所示，已知重力G ，DC=CE=AC=CB=2l ；定滑轮半径为R ，动滑轮半径为r ，且R=2r=l, θ=45° 。
试求：A ，E 支座的约束力及BD 杆所受的力。
1、解：选取整体研究对象，受力分析如图所示，列平衡方程()045sin ,0045 cos ,002522,0=-+==+==⨯+⨯⨯=∑∑∑G F F FF F F lG l F F M Ey A yEx A xA E解得：81345 sin ,825GF G F G F A Ey A =-=-=选取DEC 研究对象，受力分析如图所示，列平衡方程()02245 cos ,0=⨯-⨯+⨯=∑l F l F l FF M Ey K DBC解得：823,85,2GF G F G F DB Ex K ===2、图2示结构中，已知P=50KN ，斜杆AC 的横截面积A1=50mm2，斜杆BC 的横截面积A2=50mm2, AC 杆容许压应力[σ]=100MPa ，BC 杆容许应力[σ]=160MPa 试校核AC 、BC 杆的强度。
解：对C 点受力分析：所以，kN F N 8.441=； kN F N 6.362= 对于AC 杆：[]MPa A F N 100892111=≥==σσ， 所以强度不够； 30cos 45cos 21⋅=⋅N N F F P F F N N =⋅+⋅30sin 45sin 21对于BC 杆：[]MPa A F N 160732222=≥==σσ， 所以强度不够。
3、图3传动轴上有三个齿轮，齿轮2为主动轮，齿轮1和齿轮3消耗的功率分别为KW 756.0和KW 98.2。
若轴的转速为min /5.183r ，材料为45钢，[]MPa 40=τ。
根据强度确定轴的直径。
3、解:(1) 计算力偶距 m N nP m .3.39954911== m N nP m .155954933== m N m m m .3.194312=+=(2) 根据强度条件计算直径从扭矩图上可以看出，齿轮2与3 间的扭矩绝对值最大。
曲线曲面积分单元测试题
高等数学曲线曲面积分 单元测试题第一部分 本试卷满分100分，其中卷面分10分，后面附有详细的解答过程。
一 单选题（每题 4 分 共12 分）1 下列说法正确的是( ).A 格林公式建立了某些第二类曲线积分与三重积分之间的联系。
B 高斯公式建立了某些第二类曲面积分与二重积分之间的联系。
C 斯托克斯公式建立了某些第二类曲线积分与二重积分之间的联系。
D 以上说法都不对。
2 下列积分是第二类曲线积分的是 ( ).A ⎰10sin xdyB ()⎰+L ds y 12C ()⎰+L dx x 12D ⎰10sin xdx3 设Ω是空间区域(){}()0,,2222>≤++a a z y x z y x ，有向曲面∑是球面2222a z y x =++的外侧，∑在xoy 平面上的投影区域(){},,222a y x y x D xy ≤+=，下列曲面积分等式成立的是( )。
A 、⎰⎰⎰⎰=∑xy D zdxdy y x zdS y x 2222，B 、⎰⎰⎰⎰−−=∑xy D dxdy y x a y x zdxdy y x 2222222，C 、()022=+⎰⎰∑dxdy y x ，D 、()52222333433a dv a dv z y x dxdy z dzdx y dydz x π==++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ∑。
二 填空题（每题5分，共计15分）1 已知L 为圆：x y x 222=+的正方向,则曲线积分()()Lx y dx y x dy −+−=⎰________. 2 已知平面区域D 是圆322≤+y x ，L 是D 的边界曲线并取正向，依据格林公式可得()()⎰=+++Ldy x y dx y x sin cos ________. 3 已知平面曲线L 是圆222x y +=，则=⎰Lds _______. 三、解答题（每题7分，共计63分）1 求曲线积分⎰Lxds ，其中L 为抛物线2x y =上从(0,0)到(1,1)的一段。
(必考题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试(有答案解析)(2)
一、选择题1．如图，由曲线21y x =-直线0,2x x ==和x 轴围成的封闭图形的面积是（ ）A ．1B ．23C ．43D ．22．定积分= A ．B ．C ．D ．3．已知函数()2ln 2f x mx x x =+-在定义域内存在单调递减区间，则实数m 的取值范围是（ ） A ．12m ≥B ．12m < C ．1m ≥ D ．1m < 4．设函数()f x 是R 上的奇函数， ()()f x f x π+=-，当02x π≤≤时，()cos 1f x x =-，则22x ππ-≤≤时， ()f x 的图象与x 轴所围成图形的面积为（ ）A ．48π-B ．24π-C ．2π-D ．36π-5．3侧面与底面所成的角是45︒，则该正四棱锥的体积是（ ） A ．23B ．43C 22D 426．曲线3y x =在点()1,1处的切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形的面积为（ ） A ．83B ．73C ．53D ．437．已知402cos 2d t x x π=⎰，执行下面的程序框图，如果输入的,2a t b t ==，那么输出的n 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．20ln 1()231mx x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰，，，且()()10f f e =，则m 的值为（ ） A ．1B ．2C ．1-D ．2-9．已知125113,log ,log 3,a a x dx m a n p a-====⎰，则 （ ） A ．m n p << B ．m p n <<C ．p m n <<D ．p n m <<10．已知320n x dx =⎰，且21001210(2)(23)n x x a a x a x a x +-=+++⋅⋅⋅+，则12310012102310a a a a a a a a +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+的值为（ ）A ．823B ．845C ．965-D ．87711．20sin xdx π=⎰（ ）A ．4B ．2C ．-2D ．012．设21,[0,1]()1,[1,0)x x f x x x ⎧⎪-∈=⎨+∈-⎪⎩，则11()f x dx -⎰等于（ ） A ．12π+B ．122π+ C ．124π+ D ．14π+二、填空题13．曲线2yx x 和2y x x 所围成的封闭图形的面积是_______.14．由曲线x y e x =+与直线0,1,0x x y ===所围成图形的面积等于________．15．由曲线sin .cos y x y x ==与直线0,2x x π==所围成的平面图形的面积是______.16．定积分121(4sin )x x dx --+=⎰________.17．已知曲线y x =，2y x =-，与x 轴所围成的图形的面积为S ，则S =__________．18．如图所示，则阴影部分的面积是 .19．在下列命题中 ①函数1()f x x=在定义域内为单调递减函数； ②已知定义在R 上周期为4的函数()f x 满足(2)(2)f x f x -=+，则()f x 一定为偶函数；③若()f x 为奇函数，则()2()(0)aaaf x dx f x dx a -=>⎰⎰；④已知函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，则0a b c ++=是()f x 有极值的充分不必要条件；⑤已知函数()sin f x x x =-，若0a b +>，则()()0f a f b +>. 其中正确命题的序号为___________________（写出所有正确命题的序号）. 20．二项式33()6a x -的展开式的第二项的系数为,则的值为______．三、解答题21．已知函数f （x ）=x 3-3ax+e ，g （x ）=1-lnx ，其中e 为自然对数的底数.（I ）若曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线与直线l ：x+2y=0垂直，求实数a 的值； （II ）设函数F （x ）=-x[g （x ）+12x-2]，若F （x ）在区间（m,m+1）（m ∈Z ）内存在唯一的极值点，求m 的值；（III ）用max{m ，n}表示m ，n 中的较大者，记函数h （x ）=max{f （x ），g （x ）}（x>0）. 若函数h （x ）在（0，+∞）上恰有2个零点，求实数a 的取值范围.22．已知函数32()f x x ax bx c =+++的图象如图，直线0y =在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为274.（1）求()f x 的解析式；（2）若常数0m >，求函数()f x 在区间[],m m -上的最大值. 23．（1）已知0a >，求22aa x dx --⎰；（2）求证：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的面积为ab π.24．在曲线2(0)y x x =≥上某一点A 处作一切线与曲线及坐标轴所围成图形的面积为112， 试求：（1）点A 的坐标； （2）过切点A 的切线方程.25．已知函数()xae f x x x=+．（1）若函数()f x 的图象在(1,(1))f 处的切线经过点(0,1)-，求a 的值；（2）是否存在负整数a ，使函数()f x 的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a 的值；若不存在，请说明理由；（3）设0a >，求证：函数()f x 既有极大值，又有极小值 26．已知21()3cos cos 2f x x x x =-+ . （Ⅰ）写出()f x 的最小正周期T ； （Ⅱ）求由555()(0),0(0),(10),666y f x x y x x y πππ=≤≤=≤≤=-≤≤ 以及10(0)2x y =-≤≤ 围成的平面图形的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D解析：D 【解析】由曲线21y x =-直线0,2x x ==和x 轴围成的封闭图形的面积是122201(1)(1)S x dx x dx =---⎰⎰31320111281()|()|2133333x x x x -+-=+--+ 2．B解析：B【解析】 由题意得，故选B.3．B解析：B【解析】求导函数，可得()1'220f x mx x x=+->，，函数()2ln 2f x mx x x =+-在定义域内是增函数，所以()'0f x < 成立，即1220(0)mx x x+-<>恒成立，所以21211m x ⎛⎫->-- ⎪⎝⎭，所以21m ->-，所以12m < 时，函数()f x 在定义域内是增函数．故选B ．4．A解析：A【解析】由题设()()()()2f x f x f x f x ππ+=-⇒+=，则函数()y f x =是周期为2π的奇函数，画出函数()[],0,2y f x x π=∈的图像，结合函数的图像可知：只要求出该函数(),0,2y f x x π⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦的图像与x 轴所围成的面积即可。
第九章 重积分 单元测试题2
系是（ ） A I1 < I 2 < I3 3. 若 B I3 < I 2 < I1
π
a cosθ
C I1 < I3 < I 2
D I3 < I1 < I 2
∫∫
D
2
f ( x, y )dxdy = ∫ 2π dθ ∫
−
2 2 2
0
f ( r cos θ , r sin θ )rdr ，则积分区域 D 为（ ）
8 3
13. 设 D 是由摆线 ⎨
⎧ ⎪ x = a ( t − sin t ) 2 的一拱与 Ox 轴所围成的区域，则 ∫∫ y dxdy = （ ⎪ D ⎩ y = a (1 − cos t )
B.
）
A. 3π a 4
35 4 πa 12
C.
17 4 πa 6
D.
33 4 πa 12
2
海文钻石卡学员专用内部资料－数学部分
． 18．
∫ dy ∫
0
1
π -arcsin y
arcsin y 2 2
xdx =
2
． ． ．
19．积分 20．
∫
0
dx ∫ e- y dy 的值等于
x
x + y ≤1
∫∫
xy ( x 2 + y 2 )dxdy =
5
e
D I = dy
0
∫ ∫ f ( x, y)dx
9. 球面 x + y + z = a 含在 x + y = ax 内部的面积 S =（ ）
2
π
A 4 dθ
0
∫
2
a cosθ