人教版九年级数学上册 21.1 一元二次方程PPT
练习
1．教材P4 练习第1，2题． 2．(教材P4T3变式)下列数：6，－6，8，－8，12，－ 12，2，－2，是方程x2－2x－48＝0的根有( B )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3．若关于x的方程(m－1)xm2＋1－3x＋2＝0是一元二次
方程，则此一元二次方程为_－__2_x_2_－__3_x_＋__2_＝__0_．
第21章 一元二次方程 21.1 一元二次方程
一、教学目标
1．理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一 般形式，并能将一元二次方程化成一般式，正确识别 二次项系数、一次项系数和常数项． 2．会判断一个数是否是一元二次方程的根． 3．经历由实际问题中抽象出一元二次方程等有关概念 的过程，让学生体会到方程是刻画现实世界中数量关 系的一个有效数学模型．
7.累吗？累就对了，舒服是留给死人的！ 90.如果周围有人嫉妒你，那么你可以把他从你的竞争者之列排除了，嫉妒人之人，难以成大事。 64.下对注，赢一次；跟对人，赢一世。 45.活在这世上，就会被人攻击。要谈恋爱，就会被感情伤。 21.努力到无能为力，拼搏到感动自己。 90.你不要一直不满人家，你应该一直检讨自己才对。不满人家，是苦了你自己。 24.大部分人往往对已经失去的机遇捶胸顿足，却对眼前的机遇熟视无睹。 92.把拳头收回来是为了更有力地还击。 47.如果人生的旅程上没有障碍，人还有什么可做的呢。 12.你要努力成为梧桐，让喜鹊在这里栖息。你要努力成为大海，让百川在这里聚积。 48.顽强的毅力可以征服世界上任何一座高峰！——狄更斯 81.攀登者智慧和汗水，构思着一首信念和意志的长诗。 56.人最可悲的是自己不能战胜自己。 45.人生不售来回票，一旦动身，绝不能复返。 77.哪有那么多的一夜成名，其实都是百炼成钢。 80.成功是一个过程，并不是一个结果。 95.灿烂的犹如初开的太阳的面纱，灵秀的犹如崖边的一只百合，热情的犹如一株红色的玫瑰，散发着撩人的芬芳，她让我如此深深着迷。 19.不求尽如人意，但求问心无愧。 21.学问多深也别满足，过失多小也别忽略。
二、教学重难点
重点 理解一元二次方程的概念，认识一元二次方程的一般 形式．
难点 1．在一元二次方程化成一般形式后，如何确定一次项 和常数项． 2．从实际问题中抽象出一元二次方程．
三、教学设计
活动1 新课导入 1．你能举例说出一元一次方程的概念吗？ 解：如2 019＋18x＝2 020这样只含有一个未知数(元)， 未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程 叫做一元一次方程．
3．小明用30 cm的铁丝围成一斜边长等于13 cm的直角 三角形，求该直角三角形的两直角边长． 提出问题：本题必须设两个未知数吗？如果只设一个 未知数，那么方程应该怎样列？
活动3 知识归纳
提出问题： (1)请谈谈上述方程有什么共同特点； (2)归纳一元二次方程的概念． 1．等号两边都是_整__式_，只含有一个未知数，并且未知 数的最高次数是__2__的方程，叫做一元二次方程． 2．一元二次方程的一般形式是_a_x_2_＋__b_x_＋__c_＝__0_(a_≠_0_)_， 其中_a_x_2_是二次项，__a__是二次项系数；__b_x_是一次 项，__b__是一次项系数；__c__是常数项．
100 cm
由方程②可以得出所切正方形的具体尺寸。
方程②中未知数
的个数和最高次数各 是多少？
提出问题： (1)本问题中的等量关系是什么？应该设哪个量为未知 数？ (2)若设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为 _(1_0_0_－__2_x_)_cm，宽为_(_5_0_－__2_x_) cm； (3)请根据题意列出方程，你能化简该方程吗？
提出问题： (1)二次项系数a为什么不能为0? (2)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，a，b，c可以是些什 么样的数？ 3．方程－x2＋3x＝0中二次项系数是_－__1_，一次项系 数是__3__，常数项是__0__． 4．使一元二次方程的左右两边相等的未知数的值就是 这个一元二次方程的__解__，也叫做一元二次方程的_根_.
3600 cm2
x
100 cm
50 cm
解：设切去的正方形的边长为x cm,则盒底的长为
（100－2x) cm,宽为(50－2x) cm,根据方盒的底面积为 3600 cm2,得
(100-2x)(50-2x)=3600
50 cm
整理，得 4x2-300x+1400=0.
3600 cm2
化简，得 x2-75x+350=0 ② x
列方程
整理，得
化简，得
x²-x = 56.
③
由方程③可以得出参赛队数。
方程③中未知
数的个数和最高次 数各是多少？
提出问题： (1)说说“每两个队之间比赛一场”的含义，甲队对乙队 和乙队对甲队的比赛是同一场比赛吗？ (2)问题中比赛总场次是多少？等量关系是什么？ (3)请设出未知数，列出方程式，并将所列方程化简．
活动4 例题与练习 例1 判断下列各xy＋4y2＝0；
② y2＝3y＋2；
③
x＋
1 x2
－3＝0.
解：②是，①③不是．
例2 将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一 般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常 数项． 解：一般形式为3x2－8x－10＝0.其中二次项系数为3， 一次项系数为－8，常数项为－10. 例3 已知a是方程2x2＋x－2＝0的根，求代数式4a2＋ 2a的值． 解：由已知得2a2＋a－2＝0， ∴2a2＋a＝2，∴4a2＋2a＝4.
问题2 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都 要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天, 每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛? 解：全部比赛的场数为4 × 7=28. 设应邀请x个队参赛，每个队要与 其他(x-1)个队各赛一场，因为甲队 对乙队的比赛和乙队对甲队的比 赛是同一场比赛，所以全部比赛 共 x(x-1)场.
2．下列是一元一次方程的是：_①__④_．(填序号)
① x－1＝2x＋1；
② x－3；
③ 4x＋3y＝1；
④ x2－x(x＋1)＝0.
活动2 探究新知
问题1 有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角 各切去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,就 能制作一个无盖方盒,如果要制作的无盖方盒的底面积 为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形？
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一元二次方程ppt课件
※一元二次方程的一般形式 ax2+bx +c = 0(a , b , c为常数, a≠0)
ax2 称为二次项,a 称为二次项系数. bx 称为一次项, b 称为一次项系数.
c 称为常数项.
知识精讲
思考 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c 可以为 零吗？
当 a=0时
bx＋c = 0
类比一元一次方程的定义，想一想：什么样的方程叫一元二次方程呢？
知识精讲
问题1:有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形,然 后将四周凸出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面 积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形？
解：设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长 为（100－2x)cm,宽为(50－2x)cm,根据方盒的 底面积为3600cm2,得
5.若a+b+c=0则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一解为：__x__=_1____; 若4a-2b+c=0则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一解为：_x_=__-_2____;
6.m、n是关于x的一元二次方程x2+2006x-2008=0的根，试 求（m2+2006m-2007）（n2+2006n+2007）的值。
针对练习
已知关于x的方程
.
（1）当m为何值时，此方程为一元二次方程？
（2）当m为何值时，此方程为一元一次方程？并求出此方
程的解.
思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？
ax=b (a≠0）
ax2+bx+c=0 (a≠0）
ax2 称为二次项,a 称为二次项系数. bx 称为一次项, b 称为一次项系数.
c 称为常数项.
知识精讲
思考 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c 可以为 零吗？
当 a=0时
bx＋c = 0
类比一元一次方程的定义，想一想：什么样的方程叫一元二次方程呢？
知识精讲
问题1:有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形,然 后将四周凸出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面 积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形？
解：设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长 为（100－2x)cm,宽为(50－2x)cm,根据方盒的 底面积为3600cm2,得
5.若a+b+c=0则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一解为：__x__=_1____; 若4a-2b+c=0则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一解为：_x_=__-_2____;
6.m、n是关于x的一元二次方程x2+2006x-2008=0的根，试 求（m2+2006m-2007）（n2+2006n+2007）的值。
针对练习
已知关于x的方程
.
（1）当m为何值时，此方程为一元二次方程？
（2）当m为何值时，此方程为一元一次方程？并求出此方
程的解.
思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？
ax=b (a≠0）
ax2+bx+c=0 (a≠0）
新人教版九年级数学上册全册ppt课件
10x - 4.9x2． 你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗 （精确到 0.01 s）？
1．探究因式分解法
你认为该如何解决这个问题？你想用哪种方法解这 个方程？
10x - 4.9x2 = 0
配方法 降 公式法 次
？
x
1
=
0，x
2
=
100 49
1．探究因式分解法
问题3 观察方程 10x - 4.9x2 = 0，它有什么特点？ 你能根据它的特点找到更简便的方法吗？
x2 + 6x = -4 x2 + 6x + 9 = -4 + 9 （x + 3）2 = 5
x3 5
移项
两边加 9，左边 配成完全平方式 左边写成完全 平方形式
降次
x 3 5 ，或 x 3 5
解一次方程
x1 3 5， x2 3 5
2．推导求根公式
想一想：以上解法中，为什么在方程③两边加 9？ 加其他数可以吗？如果不可以，说明理由．
• 学习重点： 一元二次方程的概念．
1．创设情境，导入新知
思考以下问题如何解决： 1．要设计一座高 2 m 的人体雕像，使它的上部 （腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全 部（全身）的高度比，求雕像的下部应设计为高多少米？
1．创设情境，导入新知
思考以下问题如何解决： 2．有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm，在它 的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分 折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒 的底面积为 3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方 形？
1．复习配方法，引入公式法
问题2 能否用公式法解决一元二次方程的求根问 题呢？
1．探究因式分解法
你认为该如何解决这个问题？你想用哪种方法解这 个方程？
10x - 4.9x2 = 0
配方法 降 公式法 次
？
x
1
=
0，x
2
=
100 49
1．探究因式分解法
问题3 观察方程 10x - 4.9x2 = 0，它有什么特点？ 你能根据它的特点找到更简便的方法吗？
x2 + 6x = -4 x2 + 6x + 9 = -4 + 9 （x + 3）2 = 5
x3 5
移项
两边加 9，左边 配成完全平方式 左边写成完全 平方形式
降次
x 3 5 ，或 x 3 5
解一次方程
x1 3 5， x2 3 5
2．推导求根公式
想一想：以上解法中，为什么在方程③两边加 9？ 加其他数可以吗？如果不可以，说明理由．
• 学习重点： 一元二次方程的概念．
1．创设情境，导入新知
思考以下问题如何解决： 1．要设计一座高 2 m 的人体雕像，使它的上部 （腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全 部（全身）的高度比，求雕像的下部应设计为高多少米？
1．创设情境，导入新知
思考以下问题如何解决： 2．有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm，在它 的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分 折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒 的底面积为 3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方 形？
1．复习配方法，引入公式法
问题2 能否用公式法解决一元二次方程的求根问 题呢？
人教版数学九年级上册21.1一元二次方程的解及其图像经典课件(共34张PPT)
么条件下此方程为一元二次方程？在什么条 (4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？
解：把x＝2代入原方程得：
件下此方程为一元一次方程？ 1 二次函数y=ax2的
分析：因为方程是一元二次方程，故未知数x的最高次数∣m∣+1＝2，
当a＝2，b≠0时是一元一次方程；
解：移项：ax —2bx＋a－ 2x ＝0 问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和
5、二次函数y=ax2的图象有何性质？
2x x30 2 1 当 含a有<未0时知,抛数物的线等2y式=叫ax方2在程x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.
二次函数y=ax2的性质
(1)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点？
含有未知数的等式叫方程
3x 50 2 伸展;当x=0时,函数y
y
y x2
x O
(2)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?
(3)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么? 你是如何知道的？
(4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？ 当x>0呢？
y x2
当x<0 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而
减小.
当x>0 (在对称轴的 右侧)时, y随着x的增大而
注意：每年都是 在上一年的基础
上增长！
v 明年底：5（1＋x）＋5（1＋x）x
v ＝5（1＋x）（1＋x）
v ＝5 （1＋x）2
v 根据题意得方程：5（1＋x）2＝7.2
❖ 整理得： x2＋10x－900＝0
解：把x＝2代入原方程得：
件下此方程为一元一次方程？ 1 二次函数y=ax2的
分析：因为方程是一元二次方程，故未知数x的最高次数∣m∣+1＝2，
当a＝2，b≠0时是一元一次方程；
解：移项：ax —2bx＋a－ 2x ＝0 问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和
5、二次函数y=ax2的图象有何性质？
2x x30 2 1 当 含a有<未0时知,抛数物的线等2y式=叫ax方2在程x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.
二次函数y=ax2的性质
(1)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点？
含有未知数的等式叫方程
3x 50 2 伸展;当x=0时,函数y
y
y x2
x O
(2)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?
(3)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么? 你是如何知道的？
(4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？ 当x>0呢？
y x2
当x<0 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而
减小.
当x>0 (在对称轴的 右侧)时, y随着x的增大而
注意：每年都是 在上一年的基础
上增长！
v 明年底：5（1＋x）＋5（1＋x）x
v ＝5（1＋x）（1＋x）
v ＝5 （1＋x）2
v 根据题意得方程：5（1＋x）2＝7.2
❖ 整理得： x2＋10x－900＝0
人教版九年级上册数学课件：21.1一元二次方程
分析: 全部比赛共 4×7=28场
设应邀请x个队参赛,每个队要与其他 (x-1) 个队
各赛1场, 由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛
是同一场比赛,所以全部比赛共
场.
即
x2x56
21.1 一元二次方程
(3) 某市为了增强学生体质，开展了乒乓球比赛活动．部分 同学进入了半决赛，赛制为单循环情势(即每两个选手之间都赛 一场)，半决赛共进行了6场．假设共有 x人进入半决赛，则可
2．填空： (1)10的平方根为__±__1_0___；
(2)(_____±_2__)2＝4.
活动2 21教.1材一导元学二次方程
1．一元二次方程的概念及其一般形式
图 21－1－1 (1)如图 21－1－1 是一张长 9 cm、宽 5 cm 的矩形纸板，将 纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是 12 cm2 的一个无盖长方体纸盒．设剪去的正方形的边长为 x cm，则长
知识点1： 一元二次方程的概念
• 像这样，等号两边都是整式, 只含有一个未知数 (一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方 程叫做一元二次方程。
即：一元二次方程的共同特点:
① 只含一个未知数; ②未知数的最高次数是2. ③ 都是整式方程;
课堂练习： 判断下列方程是否为一元二次方程？
例1：(1)x2+x =36 (3)x+3y=36
bx是一次项，
为什么要限制 a≠0？
► 知识点二 一元二次方程的一般情势
二次项系数 一次项系数
a x 2 + b x + c = 0 (a、b、c为
常数且a ≠ 0)
a x 2 又叫二次项 b x叫一次项 c为常数项
问题： 1. a为什么不等于零？ 2. 从情势上看有什么特征？ 3. b,c可以为零么？
设应邀请x个队参赛,每个队要与其他 (x-1) 个队
各赛1场, 由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛
是同一场比赛,所以全部比赛共
场.
即
x2x56
21.1 一元二次方程
(3) 某市为了增强学生体质，开展了乒乓球比赛活动．部分 同学进入了半决赛，赛制为单循环情势(即每两个选手之间都赛 一场)，半决赛共进行了6场．假设共有 x人进入半决赛，则可
2．填空： (1)10的平方根为__±__1_0___；
(2)(_____±_2__)2＝4.
活动2 21教.1材一导元学二次方程
1．一元二次方程的概念及其一般形式
图 21－1－1 (1)如图 21－1－1 是一张长 9 cm、宽 5 cm 的矩形纸板，将 纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是 12 cm2 的一个无盖长方体纸盒．设剪去的正方形的边长为 x cm，则长
知识点1： 一元二次方程的概念
• 像这样，等号两边都是整式, 只含有一个未知数 (一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方 程叫做一元二次方程。
即：一元二次方程的共同特点:
① 只含一个未知数; ②未知数的最高次数是2. ③ 都是整式方程;
课堂练习： 判断下列方程是否为一元二次方程？
例1：(1)x2+x =36 (3)x+3y=36
bx是一次项，
为什么要限制 a≠0？
► 知识点二 一元二次方程的一般情势
二次项系数 一次项系数
a x 2 + b x + c = 0 (a、b、c为
常数且a ≠ 0)
a x 2 又叫二次项 b x叫一次项 c为常数项
问题： 1. a为什么不等于零？ 2. 从情势上看有什么特征？ 3. b,c可以为零么？
人教九年级数学上册《一元二次方程》课件(共13张PPT)
B．4 个
C．5 个
解析：①③④⑦是一元二次方程．
D．6 个
2．当 m 为何值时，下列方程为一元二次方程？ (1)(m－1)x2＋3x＝5； (2)4xm＋3－x－1＝0. 解：(1)由题意，得 m－1≠0，∴m≠1. (2)∵m＋3＝2，∴m＝－1.
知识点 2 一元二次方程的一般形式 【例 2】 将方程(8－2x)(5－2x)＝18 化成一元二次方程的 一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项． 思路点拨：一元二次方程的一般形式 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 具有两个特征：(1)方程的右边为 0；(2)左边的二次项系数不能 为 0.注意：写二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常 数项时，不要漏掉其前面的符号． 解：去括号，得 40－16x－10x＋4x2＝18， 移项，得 4x2－26x＋22＝0， 其中二次项系数为 4，一次项系数为－26，常数项为 22.
证明：∵关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中的 二次项系数与常数项之和等于一次项系数，
∴a＋c＝b. ∴当 x＝－1 时，ax2＋bx＋c＝a－b＋c＝b－b＝0， ∴－1 必是该方程的一个根．
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年4月21日星期四2022/4/212022/4/212022/4/21 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善 于独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月2022/4/212022/4/212022/4/214/21/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/212022/4/21April 21, 2022
九年级上册数学 全册· 教学课件 PPT
y2 (4) －2 ＝0 (5)x2＋2x－3＝1＋x2
【解析】(1)、(4)．
猜测： 下列方程的根是什么？
方程的根：使一元二次方程等号两边相等的未知数的取值 叫作一元二次方程的解（又叫做根）.
思考：
（1）下列哪些数是方程
的根？
－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4
从中你能体会根的作用吗？
（2）若x＝2是方程
的一个根，
你能求出a的值吗？
（提示：根的作用：可以使等号成立.）
例题
【例2】关于x的方程x2-kx-6=0的一个根为x=3，则实数k的值
为（ ）
A．1
B ． -1
C．2
D．-2
【解析】选A. 将x=3代入方程x2-kx-6=0得32-3k-6=0 ，
解得
k=1.
跟踪训练
1．你能根据Βιβλιοθήκη 学过的知识解出下列方程的解吗？2.（衡阳·中考）某农机厂四月份生产零件50万个，第
二季度共生产零件182万个.设该厂五、六月份平均每月的增
长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A.
B．
C．50(1+2x)＝182
D．
【解析】选B.该农机厂五月份生产零件 万个，六月
份生产零件
万个，第二季度共生产零件
万个.
3.（兰州·中考）上海世博会的某纪念品原价168元，
对于上述问题，你能设出未知数，列出相应的方程吗？
1.观察下列方程，你能通过观察得到它们的共同特点吗？
共同特点：（1）等号两边都是整式； （2）整式的最高次数是2次.
2．归纳： （1）方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，且 未知数的最高次数是2的方程叫作一元二次方程； （2）一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整 理，都能化成如下形式 ：
【解析】(1)、(4)．
猜测： 下列方程的根是什么？
方程的根：使一元二次方程等号两边相等的未知数的取值 叫作一元二次方程的解（又叫做根）.
思考：
（1）下列哪些数是方程
的根？
－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4
从中你能体会根的作用吗？
（2）若x＝2是方程
的一个根，
你能求出a的值吗？
（提示：根的作用：可以使等号成立.）
例题
【例2】关于x的方程x2-kx-6=0的一个根为x=3，则实数k的值
为（ ）
A．1
B ． -1
C．2
D．-2
【解析】选A. 将x=3代入方程x2-kx-6=0得32-3k-6=0 ，
解得
k=1.
跟踪训练
1．你能根据Βιβλιοθήκη 学过的知识解出下列方程的解吗？2.（衡阳·中考）某农机厂四月份生产零件50万个，第
二季度共生产零件182万个.设该厂五、六月份平均每月的增
长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A.
B．
C．50(1+2x)＝182
D．
【解析】选B.该农机厂五月份生产零件 万个，六月
份生产零件
万个，第二季度共生产零件
万个.
3.（兰州·中考）上海世博会的某纪念品原价168元，
对于上述问题，你能设出未知数，列出相应的方程吗？
1.观察下列方程，你能通过观察得到它们的共同特点吗？
共同特点：（1）等号两边都是整式； （2）整式的最高次数是2次.
2．归纳： （1）方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，且 未知数的最高次数是2的方程叫作一元二次方程； （2）一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整 理，都能化成如下形式 ：
初中数学教学课件：21.1 一元二次方程(人教版九年级上)
k=1.
第十一页，编辑于星期日：三点 五十五分。
跟踪训练
1．你能根据所学过的知识解出下列方程的解吗？
（1） x2 360（2） 4x2 9.0
【解析】根据平方根的定义得方程（1）的根为x=±6，方程
（2）的根为x=± .
2．有人解这样一个方程
3 2 (x5)x (1 )7
解：x+5=1或x－1=7，所以x1=－4，x2=8，你的看法如何？
【解析】上述解法是错误的，将 x1、x2 代入原方程等式两 边不相等，因此它们并不是原方程的解.
第十二页，编辑于星期日：三点 五十五分。
1. 当常数a，b，c满足什么条件时，方程(a-1)x2-bx+c=0
是一元二次方程？这时方程的二次项系数、一次项系数、 常数项分别是什么?
【解析】当a-1≠0，即a ≠1时，方程(a-1)x2-bx+c=0
第二十一章 一元二次方程 21.1 一元二次方程
第一页，编辑于星期日：三点 五十五分。
1.将实际问题转化为一元二次方程模型的过程中，形
成对一元二次方程的感性认识. 2.理解一元二次方程的定义，能识别一元二次方程. 3.知道一元二次方程的一般形式，能熟练地把一元二次
方程整理成一般形式，能写出一般形式中一元二次方 程的二次项系数、一次项系数和常数项.
【解析】选A.依题意可列方程
B. 3000x2 5000 D.
3 0 0 0 (1 x ) 3 0 0 0 (1 x )2 5 0 0 0
. 3000(1x)25000
第十六页，编辑于星期日：三点 五十五分。
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.一元二次方程的特征：只有一个未知数，并且未知 数的最高次数是2.
人教版数学九年级上册21.1 一元二次方程课件(共24张PPT)
解：设小道的宽度为x米，得(20－2x)(10－x)＝120整理得x2-要建造一个长10m，宽5m玻璃顶观景亭，如图所示在它的四角建造四个截面为正方形的承重柱. 已知需要用到玻璃的面积为45m2，那么承重柱的宽度多少？
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
九年级数学上册(人教版)精品教学课件-全册
次方程的解（又叫做根）.
练一练：下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的解? -4 ,-3 , -2 ,-1 ,0 ,1,2,3 ,4
解： 3和-2.
你注意到了吗？ 一元二次方程可
能不止一个根.
例4. ：已知a是方程 x2+2x－2=0 的一个实数根, 求 2a2+4a+
2017的值.
解：由题意得 a2 2a 2 0 即a2 2a 2 2a2 4a 2017 2(a2 2a) 2017 2 2 2017 2021
导入新课
复习引入
1.下列式子哪些是方程？
2+6=8
没有未知数
2x+3
代数式
5x+6=22 x+3y=8
一元一次方程 二元一次方程
x-5＜18
不等式
4 29 x
分式方程
Байду номын сангаас
2.什么叫方程？我们学过哪些方程？
含有未知数的等式叫做方程. 我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程（组）及分
式方程，其中前两种方程是整式方程. 想一想：什么叫一
解：设切去的正方形的边长为xcm, 则盒底的长为（100-2x)cm,宽为
3600cm2
50cm
(50-2x)cm,根据方盒的底面积为 x 3600cm2,得
整理，得 4x2 300x 1400 0
化简，得 x2 75x 350 0 ①
100cm
该方程中未知 数的个数和最 高次数各是多 少？
常数项
ax2 + bx +c = 0强调：
➢“ = ”左边最多有三项，一次项、常数项可不出现， 但二次项必须有; ➢ “ = ”左边按未知数 x 的降幂排列; ➢ “ = ”右边必须整理为0.
练一练：下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的解? -4 ,-3 , -2 ,-1 ,0 ,1,2,3 ,4
解： 3和-2.
你注意到了吗？ 一元二次方程可
能不止一个根.
例4. ：已知a是方程 x2+2x－2=0 的一个实数根, 求 2a2+4a+
2017的值.
解：由题意得 a2 2a 2 0 即a2 2a 2 2a2 4a 2017 2(a2 2a) 2017 2 2 2017 2021
导入新课
复习引入
1.下列式子哪些是方程？
2+6=8
没有未知数
2x+3
代数式
5x+6=22 x+3y=8
一元一次方程 二元一次方程
x-5＜18
不等式
4 29 x
分式方程
Байду номын сангаас
2.什么叫方程？我们学过哪些方程？
含有未知数的等式叫做方程. 我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程（组）及分
式方程，其中前两种方程是整式方程. 想一想：什么叫一
解：设切去的正方形的边长为xcm, 则盒底的长为（100-2x)cm,宽为
3600cm2
50cm
(50-2x)cm,根据方盒的底面积为 x 3600cm2,得
整理，得 4x2 300x 1400 0
化简，得 x2 75x 350 0 ①
100cm
该方程中未知 数的个数和最 高次数各是多 少？
常数项
ax2 + bx +c = 0强调：
➢“ = ”左边最多有三项，一次项、常数项可不出现， 但二次项必须有; ➢ “ = ”左边按未知数 x 的降幂排列; ➢ “ = ”右边必须整理为0.
人教版九年级数学上册《21一元二次方程 公式法 课件
将a，b，c 代入式子
x b
b2 4ac .
2a
就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公
式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式
可知，一元二次方程最多有两个实数根.
注意 用公式法解一元二次方程的前提是:
1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0); 2.b2-4ac≥0.
探究新知
求根公式的推导
任何一个一元二次方程都可以写成一般形式
ax2+bx+c=0
能否也用配方法得出它的解呢？
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2+bx+c=0 (a≠0).
解: 移项，得 ax2 bx c，
方程两边都除以a x2 b x c ，
a
a
配方，得
x2
b a
x
b 2a
2
c a
典例精析
例6:若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的
实数根，则k的取值范围是( B )
A.k>-1
B.k>-1且k≠0
C.k<1
D.k<1且k≠0
解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，
则b2-(4a2c)>20，4同k 时0要求二次项系数不为0，
即
，k≠0.解得k>-1且k≠0，故选B.
∴方程有两个相等的实数根．
例7:不解方程，判断下列方程的根的情况．
(3) 7y=5(y2+1).
解：（3）方程化为：5y2－7y+5=0, ∴b2－4ac=(－7)2－4×5×5=－51＜0.
∴方程有两个相等的实数根．