2020重庆中考数学18题专题及答案
2020重庆中考数学18题专题及答案二
2020重庆中考数学18题专题及答案二中考数学18题专题及答案二1. 一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用，已知甲、乙、丙三辆车每次运货量不变，且甲、乙两车每次运货物的吨数之比为1：3；若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共运了120吨，若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了180吨．则这批货物共 240 吨．解：设货物总吨数为x吨．甲每次运a吨，乙每次运3a吨，丙每次运b吨．，=，解得x=240．故答案为：240．2.某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景．甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成，乙种盆景由10朵红花和12朵黄花搭配而成，丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了2900朵红花，3750朵紫花，则黄花一共用了4380 朵．解：设步行街摆放有甲、乙、丙三种造型的盆景分别有x盆、y盆、z盆．由题意，有，由①得，3x+2y+2z=580③，由②得，x+z=150④，把④代入③，得x+2y=280，∴2y=280-x⑤，由④得z=150-x⑥．∴4x+2y+3z=4x+（280-x）+3（150-x）=730，∴黄花一共用了：24x+12y+18z=6（4x+2y+3z）=6×730=4380．故黄花一共用了4380朵．3.一个水池装一个进水管和三个同样的出水管，先打开进水管，等水池存一些水后再打开出水管（进水管不关闭）．若同时打开2个出水管，那么8分钟后水池空；如果同时打开3个出水管，则5分钟后水池空．那么出水管比进水管晚开 40 分钟．考点：三元一次方程组的应用．解：设出水管比进水管晚开x分钟，进水管的速度为y，出水管的速度为z，则有：，两式相除得：，解得：x=40，即出水管比进水管晚开40分钟．故答案为：40．4. 某商场销售一批电视机，一月份每台毛利润是售出价的20%（毛利润=售出价-买入价），二月份该商场将每台售出价调低10%（买入价不变），结果销售台数比一月份增加120%，那么二月份的毛利润总额与一月份毛利润总额的比是11∶10 。
2020重庆中考数学18题专题及答案
中考数学18题专题及答案 1． 含有同种果蔬但浓度不同的A 、B 两种饮料，A 种饮料重40千克，B 种饮料重60千克现从这两种饮料中各倒出一部分，且倒出部分的重量相同，再将每种饮料所倒出的部分与另一种饮料余下的部分混合．如果混合后的两种饮料所含的果蔬浓度相同，那么从每种饮料中倒出的相同的重量是__ 24____千克设A 种饮料的浓度为a ，B 种饮料的浓度为b ，各自倒出和倒入的果蔬质量相同可设为x 千克，由于混合后的浓度相同，由题意可得：()()40604060x a xb x b xa-+-+=去分母()()604060406040x a xb x b xa -+=-+，去括号得：2400606024004040a xa xb b bx xa -+=-+移项得：6060404024002400xa xb bx xa b a -++-=-合并得：()()1002400b a x b a -=-所以：24x =2. 从两块分别重10千克和15千克且含铜的百分比不同的合金上各切下重量相等的一块，再把切下的每一块与另一块切后剩余的部分合在一起，熔炼后两者含铜的百分比恰好相等，则切下的一块重量是 6 千克。
设切下的一块重量是x 千克，设10千克和15千克的合金的含铜的百分比为a ，b ，=，整理得（b-a ）x=6（b-a ），x=63.设有含铜百分率不同的两块合金，甲重40公斤，乙重60公斤．从这两块合金上切下重量相等的一块，并把所切下的每块与另一种剩余的合金加在一起，熔炼后两者的含铜百分率相等，则切下的合金重（24公斤 ）设含铜量甲为a 乙为b ，切下重量为x ．根据设有含铜百分率不同的两块合金，甲重40公斤，乙重60公斤，熔炼后两者的含铜百分率相等，列方程求解．解：设含铜量甲为a，乙为b，切下重量为x．由题意，有=，解得x=24．切下的合金重24公斤．1、四川省安岳县，是我国的柠檬生产基地。
超市里有一种柠檬水，由水和柠檬汁混合配制。
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中考数学18题专题及答案1．含有同种果蔬但浓度不同的A、B两种饮料，A种饮料重40千克，B种饮料重60千克现从这两种饮料中各倒出一部分，且倒出部分的重量相同，再将每种饮料所倒出的部分与另一种饮料余下的部分混合．如果混合后的两种饮料所含的果蔬浓度相同，那么从每种饮料中倒出的相同的重量是__ 24____千克设A种饮料的浓度为a，B种饮料的浓度为b，各自倒出和倒入的果蔬质量相同可设为x千克，由于混合后的浓度相同，由题意可得：()() 40604060x a xb x b xa-+-+=去分母()()604060406040x a xb x b xa-+=-+，去括号得：2400606024004040a xa xb b bx xa-+=-+移项得：6060404024002400xa xb bx xa b a-++-=-合并得：()()1002400b a x b a-=-所以：24x=2. 从两块分别重10千克和15千克且含铜的百分比不同的合金上各切下重量相等的一块，再把切下的每一块与另一块切后剩余的部分合在一起，熔炼后两者含铜的百分比恰好相等，则切下的一块重量是 6 千克。
设切下的一块重量是x千克，设10千克和15千克的合金的含铜的百分比为a，b，= ，整理得（b-a）x=6（b-a），x=63.设有含铜百分率不同的两块合金，甲重40公斤，乙重60公斤．从这两块合金上切下重量相等的一块，并把所切下的每块与另一种剩余的合金加在一起，熔炼后两者的含铜百分率相等，则切下的合金重（24公斤）设含铜量甲为a乙为b，切下重量为x．根据设有含铜百分率不同的两块合金，甲重40公斤，乙重60公斤，熔炼后两者的含铜百分率相等，列方程求解．解：设含铜量甲为a，乙为b，切下重量为x．由题意，有=，解得x=24．切下的合金重24公斤．1、四川省安岳县，是我国的柠檬生产基地。
超市里有一种柠檬水，由水和柠檬汁混合配制。
购买1吨柠檬汁的钱可以购买20吨的水。
2021重庆中考复习数学第18题专题训练一(含答案解析) (1)(1)
2021 重庆中考复习数学第 18 题专题训练一（含答案解析）一、线段最小值问题例1、（2016•内乡县二模）如图，边长为6 的等边三角形ABC 中，E 是对称轴AD 上的一个动点，连接EC，将线段EC 绕点C 逆时针转60°得到FC，连接DF．则在点E 运动过程中，DF 的最小值是练习：如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，D 是BC 的中点，E 是直线AD 上的一个动点，连接EC，将线段EC 绕点 C 逆时针旋转45°得到FC，连接DF，则在点 E 运动过程中，DF 的最小值是．例2、如图，边长为8 的正方形ABCD 中，动点P 在CD 边上，以AP 为直角边向上作等腰Rt△APE，边PE 与BC 交于点F，连接BE.则线段BE 在运动过程的最小值为.练习：如图，正方形ABCD 的边长为2，点E、F 分别是边AB、CD 上的动点，且AE＝CF，连接EF，将线段EF 绕点E 逆时针旋转90°得到线段EG，连接DG，则线段DG 长的最小值为．例3、（2019 春•鄞州区期末）如图，矩形ABCD 中，AB＝2，BC＝4，点E 是矩形ABCD 的边AD 上的一动点，以CE 为边，在CE 的右侧构造正方形CEFG，连结AF，则AF 的最小值为．练习：（2019 春•梁溪区期末）如图，正方形ABCD 中，AB＝4，点E 为边AD 上一动点，连接CE，以CE 为边，作正方形CEFG（点D、F 在CE 所在直线的同侧），H 为CD 中点，连接FH．点E 在运动过程中，HF 的最小值为．AGE DH例4、（2019•惠山区一模）如图，正方形ABCD 中，O 是BC 边的中点，点 E 是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF，OF．则线段OF 长的最小值练习：（2019•南充模拟）如图，正方形ABCD 的边长为，O 是BC 边的中点，P 是正方形内一动点，且OP ＝2，连接DP，将线段DP 绕点D 逆时针旋转90°到DQ，连接AP，CQ，PQ，则线段PQ 的最小值为．例5、（2019•宿迁）如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE＝1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF，以EF 为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG 的最小值为．练习：1、（2019 秋•东台市期中）如图，正方形ABCD 中边长为6，E 为BC 上一点，且BE＝1.5，F 为AB 边上的一个动点，连接EF，以EF 为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG 的最小值为．2、如图，长方形ABCD 中，AB=6，BC=8，E 为BC 上一点，且BE＝2，F 为AB 边上的一个动点，连接EF，将EF 绕着点 E 顺时针旋转45˚到EG 的位置，连接FG 和CG，则CG的最小值为．例6、（2019•锡山区一模）在平面直角坐标系中，已知A（2，4）、P（1，0），B 为y 轴上的动点，以AB 为边构造△ABC，使点C 在x 轴上，∠BAC＝90°．M 为BC 的中点，则PM 的最小值为．练习：在平面直角坐标系中，已知A（4，8）、P（2，0），B 为y 轴上的动点，以AB 为边构造△ABC，使点C 在x 轴上，∠BAC＝90°．M 为BC 的中点，则PM 的最小值为．例7、（2017 秋•上虞区期末）如图，矩形ABCD 中，已知AB＝6，BC＝8，点E 是边AD 上一点，以CE 为直角边在与点D 的同侧作等腰直角△CEG，连结BG，当点E 在边AD 上运动时，线段BG 长度的最小值是练习：（2017•龙华区二模）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC 的顶点A 在x 轴上，OA＝4，OC＝3，点D 为BC 边上一点，以AD 为一边在与点B 的同侧作正方形ADEF，连接OE．当点D 在边BC 上运动时，OE 的长度的最小值是．例8、如图，线段AB＝8，D 为AB 的中点，点E 是平面内一动点，且满足DE＝2，连接BE，将BE 绕点E 逆时针旋转90°得到EC，连接AC、BC，则线段AC 长度的最大值为．二、线段和最小值问题例1、如图，在正方形ABCD 中，AB＝6，E 是BC 边的中点，F 是CD 边上的一点，且DF＝2，若M、N 分别是线段AD、AE 上的动点，则MN+MF 的最小值为．练习：如图，矩形ABCD 中，AB＝4，AD＝6，点E，F 分别是AB，BC 边上的两动点，且EF＝2，点G 为EF 的中点，点H 为AD 边上一动点，连接CH，GH，则GH+CH 的最小值为9 .例2、（2016 春•青山区期中）如图，在矩形ABCD 中，AB＝2，BC＝4，点E 和点F 分别是AC 和BC 上的动点，在点E 和点F 运动的过程中，BE+EF 的最小值为练习：1、（2017 春•东西湖区期中）如图，在▱ABCD 中，AB＝2，AB AC ，∠D＝60°，点P、Q 分别是AC和BC 上的动点，在点P 和点Q 运动的过程中，PB+PQ 的最小值2、如图，矩形ABCD 中，AB＝3，BC＝4，点M、点N 分别在BD、BC 上，则CM+MN 的最小值为．例3、（2019 春•新吴区期末）如图，菱形ABCD 的边长为4，∠A＝60°，E 是边AD 的中点，F 是边AB 上的一个动点将线段EF 绕着点E 逆时针旋转60°得到EG，连接BG、CG，则BG+CG 的最小值为.练习：如图，在平行四边形ABCD 中，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将线段MN 绕点M 逆时针旋转90 至MN′，连接N′B，N′C，则N′B+N′C 的最小值是．例4、（2015•石家庄模拟）如图，已知在矩形ABCD 中，AB＝4，BC＝2，点M，E 在AD 上，点F 在边AB 上，并且DM＝1，现将△AEF 沿着直线EF 折叠，使点A 落在边CD 上的点P 处，则当PB+PM 最小时，ME 的长度为例5、（2019 春•张家港市期末）如图，矩形ABCD 中，AB＝8，BC＝4，P，Q 分别是直线AB，AD 上的两个动点，点E 在边CD 上，DE＝2，将△DEQ 沿EQ 翻折得到△FEQ，连接PF，PC，则PF+PC 的最小值为练习：（2019 春•邗江区校级月考）如图，矩形ABCD 中，AB＝2，BC＝4，P，Q 分别是BC，AB 上的两个动点，AE＝1，△AEQ 沿EQ 翻折形成△FEQ，连接PF，PD，则PF+PD 的最小值是．例6、（2018•朝阳区二模）如图，在矩形ABCD 中，AB＝1，AD＝2，E 是边AD 的中点，F 是边AB 上的一个动点，连结EF，过点E 作EG⊥EF 交BC 于点G．则AF+EF+CG 的最小值为 2 ．练习：如图，在矩形ABCD 中，AB＝4，AD＝8，E 是边AD 的中点，F 是边AB 上的一个动点，连结EF，过点E 作EG⊥EF 交BC 于点G．则AF+EF+CG 的最小值为．例7、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A（1，0），点C 是y 轴上的动点，线段CA 绕着点C 按逆时针方向旋转90°至线段CB，CA＝CB，连接BO、BA，则BO+BA 的最小值是．例8、如图，矩形ABCD 中，AB＝3，AD＝4，点E、F 分别是边BC 和对角线BD 上的动点，且BE＝DF，则AE+AF 的最小值是．例1、（2018 秋•成都期末）如图，在矩形ABCD 中，AB＝6，AD＝3，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A'MN，连接A'C．在MN 上存在一动点P．连接A'P、CP，则△A'PC 周长的最小值是．例2、（2019 春•雨花区校级期中）如图，在平行四边形ABCD 中，AB＝10，AD＝16，∠A＝60°，P 是射线AD 上一点，连接PB，沿PB 将△APB 折叠，得△A'PB．当点P 为AD 中点时，点F 是边AB 上不与点A，B 重合的一个动点，将△APF 沿PF 折叠，得到△A'PF，连接BA'，则△BA'F 周长的最小值为．练习：如图，在平行四边形ABCD 中，AB＝8，AD＝12，∠A＝60°，P 是射线AD 上一点，连接PB，沿PB 将△APB 折叠，得△A'PB．当点P 为AD 中点时，点F 是边AB 上不与点A，B 重合的一个动点，将△APF 沿PF 折叠，得到△A'PF，连接BA'，则△BA'F 周长的最小值为．例1、如图，已知，在矩形ABCD 中，AD＝2，AB＝4，点E，F 是边CD 上的动点（点F 在点E 右侧），且EF＝1，则四边形ABFE 周长的最小值为．练习：1、（2018 秋•金牛区校级月考）在矩形ABCD 中，AB＝8，BC＝10，G 为AD 边的中点．如图，若E、F为边AB 上的两个动点，且EF＝4，当四边形CGEF 的周长最小时，则求AF 的长为．G例2、（2019•长丰县二模）如图，矩形ABCD 中，AB＝5，AD＝10，点E，F，G，H 分别在矩形各边上，点F，H 为不动点，点E，G 为动点，若要使得AF＝CH，BE＝DG，则四边形EFGH 周长的最小值为练习：（2018•保定一模）如图，矩形ABCD 中，AB＝8，BC＝6，点E，F，G，H 分别在矩形ABCD 各边上，且AE＝CG，BF＝DH，则四边形EFGH 周长的最小值为五、三角形面积最小值问题例1、（2018•无锡）如图，矩形ABCD 中，AB＝4，AD＝2，E 为边AD 上一个动点，连结BE，取BE 的中点G，点G 绕点E 逆时针旋转90°得到点F，连结CF，则△CEF 面积的最小值是例2、（2016•江东区一模）如图，点E 为正方形ABCD 中AD 边上的动点，AB＝2，以BE 为边画正方形BEFG，连结CF 和CE，则△CEF 面积的最小值为．例3、（八中定时练习六18 题2019•无锡）如图,在△ABC 中，AB =AC = 5, BC = 4 ，D 为边AB 上一动点(B 点除外),以CD 为一边作正方形CDEF，连接BE，则∆BDE 面积的最大值为.例4、（2019 秋•青山区期中）如图，在△ABC 中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝6，D 为边AB 上一动点（不与B 点重合），连接CD，将线段CD 绕着点D 逆时针旋转90°得到DE，连接BE，则△BDE 的面积的最大值为．5例5、（2018 秋•西安期末）如图，△ABC 中，点 D 是边AB 上任意一点，以CD 为边在AD 的右侧作等边△DCE，连接BE，则△BDE 面积的最大值为．例6、（2013 春•建湖县期中）如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D 为射线BC 上一动点，以AD 为边作正方形ADEF，连接CF．当点D 在线段BC 上时，若BC＝2，CF 交DE 于点P，连接AP，则△ACP 的面积的最大值为．六、四边形面积最小值问题例1、如图，已知在菱形ABCD 中，AB＝1，且∠A＝30°，E、F、G、H 分别时AB、BC、CD、DA 上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．设AE＝x（0≤x≤1）．则四边形EFGH 的面积的最小值为练习：如图，已知在菱形ABCD 中，AB＝4，且∠A＝30°，E、F、G、H 分别时AB、BC、CD、DA 上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．设AE＝x（0≤x≤1）．则四边形EFGH 的面积的最小值为例2、如图．矩形ABCD 中，AB＝6，BC＝8，点E 是AB 边上一点，且AE＝4，点F 是EC 边上的任意一点，把△BEF 沿EF 翻折，点B 的对应点为G，连接AG、CG，当四边形AGCD 的面积有最小值时，BF 的长度为．练习：1、（2019•龙泉驿区模拟）如图，矩形ABCD 中，AB＝3，BC＝4，点E 是AB 边上一点，且AE＝2，点F是边BC 上的任意一点，把△BEF 沿EF 翻折，点B 的对应点为G，连接AG，CG，则四边形AGCD 的面积的最小值为．2、如图，矩形ABCD 中，AB＝3，BC＝4，点E 是AB 边上一点，且AE＝2，点F 是BC 边上的任意一点，把△BEF 沿EF 翻折，点B 的对应点为G，连接AG、CG，当四边形AGCD 的面积最小时，BF 的长度为．2020 重庆中考复习数学第 18 题专题训练一（含答案解析）一、线段最小值问题例1、（2016•内乡县二模）如图，边长为6 的等边三角形ABC 中，E 是对称轴AD 上的一个动点，连接EC，将线段EC 绕点C 逆时针转60°得到FC，连接DF．则在点E 运动过程中，DF 的最小值是解：取线段AC 的中点G，连接EG，如图所示．∵△ABC 为等边三角形，且AD 为△ABC 的对称轴，∴CD＝CG＝AB＝3，∠ACD＝60°，∵∠ECF＝60°，∴∠FCD＝∠ECG．在△FCD 和△ECG 中，，∴△FCD≌△ECG（SAS），∴DF＝GE．当EG∥BC 时，EG 最小，∵点G 为AC 的中点，∴此时CD＝．练习：如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，D 是BC 的中点，E 是直线AD 上的一个动点，连接EC，将线段EC 绕点C 逆时针旋转45°得到FC，连接DF，则在点E 运动过程中，DF 的最小值是2﹣．解：如图，在AC 上取一点G，使CG＝CD，连接EG，∵AB＝AC＝2，∠BAC＝90°∴∠ACB＝45°，∴CD＝2•cos45°＝2，∵旋转角为45°，∴∠ECD+∠DCF＝45°，又∵∠ECD+∠GCE＝∠ACB＝45°，∴∠DCF＝∠GCE，∵AD 是等腰直角△ABC 的对称轴BC，∵CD＝CG，又∵CE 旋转到CF，∴CE＝CF，在△DCF 和△GCE 中，，∴△DCF≌△GCE（SAS），∴DF＝EG，根据垂线段最短，EG⊥AD 时，EG 最短，即DF 最短，EN 2 +NB2(8 -x)2 +x22(x - 4)2 ) + 32∵∠CAD＝×90°＝45°，AG＝AC﹣CG＝2 ﹣2，∴EG＝AG•sin45°＝（2 ＝2﹣，∴DF＝2﹣．例2、如图，边长为8 的正方形ABCD 中，动点P 在CD 边上，以AP 为直角边向上作等腰Rt△APE，边PE 与BC 交于点F，连接BE.则线段BE 在运动过程的最小值为.MN解：如图，过点E 作EM⊥CD 于M，过点E 作EN⊥CB 于N．设CP＝x，则EN＝MC=8﹣x，NB＝x，∴BE ===，∴当x = 4 时，BE 的值最小，最小值为．练习：如图，正方形ABCD 的边长为2，点E、F 分别是边AB、CD 上的动点，且AE＝CF，连接EF，将线段EF 绕点E 逆时针旋转90°得到线段EG，连接DG，则线段DG 长的最小值为．解：如图，过点F 作FM⊥AB 于M，过点G 作GH⊥AD 于H，GN⊥AB 于N，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB＝BC＝AD＝CD＝2，∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，且FM⊥AB，GH⊥AD，GN⊥AB，∴四边形BCFM，四边形AHGN 是矩形，∴BM＝CF，NG＝AH，AN＝GH，MF＝BC＝2，∵将线段 EF 绕点 E 逆时针旋转 90°得到线段 EG ，∴EG ＝EF ，∠GEF ＝90°，∴∠NEG +∠FEM ＝90°，且∠NGE +∠NEG ＝90°，∴∠FEM ＝∠NGE ，且∠N ＝∠FME ＝90°，EF ＝EG ，∴△EGN ≌△EFM （AAS ）∴NE ＝MF ＝2，EM ＝NG ，设 AE ＝CF ＝a ，∴EM ＝2﹣2a ＝NG ＝AH ，AN ＝2﹣a ＝GH ，∴HD ＝AD ﹣AH ＝2﹣（2﹣2a ）＝2a ， ∵GD ＝∴当 时，GD 有最小值，例 3、（2019 春•鄞州区期末）如图，矩形 ABCD 中，AB ＝2，BC ＝4，点 E 是矩形 ABCD 的边 AD 上的一动点，以 CE 为边，在 CE 的右侧构造正方形 CEFG ，连结 AF ，则 AF的最小值为 3．解：过 F 作 FH ⊥ED ，∵正方形 CEFG ，∴EF ＝EC ，∠FEC ＝∠FED +∠DEC ＝90°，∵FH ⊥ED ，∴∠FED +∠EFH ＝90°，∴∠DEC ＝∠EFH ，且 EF ＝EC ，∠FHE ＝∠EDC ＝90°，∴△EFH ≌△EDC （AAS ），∴EH ＝DC ＝2，FH ＝ED ， ＝＝∴当 AE ＝1 时，AF 的最小值为 3练习：（2019 春•梁溪区期末）如图，正方形 ABCD 中，AB ＝4，点 E 为边 AD 上一动点，连接 CE ，以 CE 为边， 作正方形 CEFG （点 D 、F 在 CE 所在直线的同侧），H 为 CD 中点，连接 FH ．点 E 在运动过程中， HF 的最小值为．A GBC图 1EDH解：如图1，连接DF，过点F 作FM⊥AD，交AD 延长线于点M，过点F 作FN⊥CD 的延长线于点N，∵△EFM≌△CED，∴CD＝EM，DE＝FM，∴CD＝AD＝EM，∴AE＝DM，设AE＝x＝DM，则DE＝4﹣x＝FM，∵FN⊥CD，FM⊥AD，ND⊥AD，∴四边形FNDM 是矩形，∴FN＝DM＝x，FM＝DN＝4﹣x∴NH＝4﹣x+2＝6﹣x，在Rt△NFH 中＝＝∴当x＝3 时，HF 有最小值＝3.例4、（2019•惠山区一模）如图，正方形ABCD 中，O 是BC 边的中点，点 E 是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF，OF．则线段OF 长的最小值解法一：如图，连接DO，将线段DO 绕点D 逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，∵∠EDF＝∠ODM＝90°，∴∠EDO＝∠FDM，∵DE＝DF，DO＝DM，∴△EDO≌△FDM（SAS），∴FM＝OE＝2，∵正方形ABCD 中，AB＝2 ，O 是BC 边的中点，∴OC＝，∴OM＝，∵OF+MF≥OM，∴OF≥．故选：D．解法二：如图，由于OE＝2，所以E 点可以看作是以O 为圆心，2 为半径的半圆上运动，延长BA 到P 点，使得AP＝OC，连接PE，∵AE＝CF，∠PAE＝∠OCF，∴△PAE≌△OCF，∴PE＝OF，当O、E、P 三点共线时，PE 最小＝＝5 ，∴PE＝OF＝OP﹣OE＝5﹣2，∴OF 的最小值是﹣2．练习：（2019•南充模拟）如图，正方形ABCD 的边长为，O 是BC 边的中点，P 是正方形内一动点，且OP ＝2，连接DP，将线段DP 绕点D 逆时针旋转90°到DQ，连接AP，CQ，PQ，则线段PQ 的最小值为．解：连接OD，如图所示DP，OD＝＝＝5，∵OP+DP≥OD，∴DP≥OD﹣OP＝5﹣2＝3，∴PQ≥3，∴线段PQ 的最小值为．例5、（2019•宿迁）如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE＝1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF，以EF 为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG 的最小值为．解：由题意可知，点F 是主动点，点G 是从动点，点F 在线段上运动，点G 也一定在直线轨迹上运动将△EFB 绕点E 旋转60°，使EF 与EG 重合，得到△EFB≌△EHG，从而可知△EBH 为等边三角形，点G 在垂直于HE 的直线HN 上，作CM⊥HN，则CM 即为CG 的最小值，作EP⊥CM，可知四边形HEPM 为矩形，则EC＝1+＝，CG 的最小值．练习：1、（2019 秋•东台市期中）如图，正方形ABCD 中边长为6，E 为BC 上一点，且BE＝1.5，F 为AB 边上的一个动点，连接EF，以EF 为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG 的最小值为．解：由题意可知，点F 是主动点，点G 是从动点，点F 在线段上运动，点G 也一定在直线轨迹上运动将△EFB 绕点E 旋转60°，使EF 与EG 重合，得到△EFB≌△EHG，从而可知△EBH 为等边三角形，点G 在垂直于HE 的直线HN 上，作CM⊥HN，则CM 即为CG 的最小值，作EP⊥CM，可知四边形HEPM 为矩形，则CM＝MP+CP＝HE+ EC＝＝，故CG 的最小值为：．2、如图，长方形ABCD 中，AB=6，BC=8，E 为BC 上一点，且BE＝2，F 为AB 边上的一个动点，连接EF，将EF 绕着点 E 顺时针旋转45˚到EG 的位置，连接FG 和CG，则CG的最小值为．解析：例6、（2019•锡山区一模）在平面直角坐标系中，已知A（2，4）、P（1，0），B 为y 轴上的动点，以AB 为边构造△ABC，使点C 在x 轴上，∠BAC＝90°．M 为BC 的中点，则PM 的最小值为．解：如图，作AH⊥y 轴于H，CE⊥AH 于E．则四边形CEHO 是矩形，OH＝CE＝4，∵∠BAC＝∠AHB＝∠AEC＝90°，∴∠ABH+∠HAB＝90°，∠HAB+∠EAC＝90°，∴∠ABH＝∠EAC，∴△AHB∽△CEA，∴＝，∴＝，∴AE＝2BH，设BH＝x 则AE＝2x，∴OC＝HE＝2+2x，OB＝4﹣x，∴B（0，4﹣x），C（2+2x，0）∵BM＝CM，∴M（1+x，），∵P（1，0），∴PM＝＝，∴当x＝时，PM 有最小值，最小值为．x 2+ (8-x )2 25 x 2 - 4x + 16 4 练习：在平面直角坐标系中，已知 A （4，8）、P （2，0），B 为 y 轴上的动点，以 AB 为边构造△ABC ，使点 C在 x 轴上，∠BAC ＝90°．M 为 BC 的中点，则 PM 的最小值为．解：如图，作 AH ⊥y 轴于 H ，CE ⊥AH 于 E ．则四边形 CEHO 是矩形，OH ＝CE ＝8，∵∠BAC ＝∠AHB ＝∠AEC ＝90°，∴∠ABH +∠HAB ＝90°，∠HAB +∠EAC ＝90°， ∴∠ABH ＝∠EAC ，∴△AHB ∽△CEA ，∴ ＝ ，∴ 4 = BH ，8 AE ∴AE ＝2BH ，设 BH ＝x 则 AE ＝2x ，∴OC ＝HE ＝4+2x ，OB ＝8﹣x ，∴B （0，8﹣x ），C （4+2x ，0）∵BM ＝CM ，∴M （2+x ， 8 - x），∵P （2，0），2∴ PM = = =∴当 x = 8 时，PM 有最小值 4 30．5 5例 7、（2017 秋•上虞区期末）如图，矩形 ABCD 中，已知 AB ＝6，BC ＝8，点 E 是边 AD 上一点，以 CE 为直角边在与点 D 的同侧作等腰直角△CEG ，连结 BG ，当点 E 在边 AD 上运动时，线段 BG 长度的最小值是解：如图作 GH ⊥BA 交 BA 的延长线于 H ，EM ⊥HG 于 M ，交 BC 于 N ．则 MN ⊥BC ．设 AE ＝m ．∵∠EMG ＝∠ENC ＝∠CEG ＝90°，∴∠MEG +∠CEN ＝90°，∠CEN +∠ECN ＝90°，∴∠MEG ＝∠ECN ，∵EG ＝EC ，∴△MEG ≌△NCE （AAS ），∴EM ＝CN ＝AH ＝8﹣m ，MG ＝EN ＝6， 在 Rt △BHG 中＝＝，∴当 m ＝4 时，BG 有最大值，最大值为．5 (x - 8)2 + 96 4 5 5练习：（2017•龙华区二模）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC 的顶点A 在x 轴上，OA＝4，OC＝3，点D 为BC 边上一点，以AD 为一边在与点B 的同侧作正方形ADEF，连接OE．当点D 在边BC 上运动时，OE 的长度的最小值是 5 ．解：如图所示：过点D 作DG⊥OA，过点E 作HE⊥DG．∵DG⊥OA，HE⊥DG，∴∠EHD＝∠DGA＝90°．∴∠GDA+∠DAG＝90°．∵四边形ADEF 为正方形，∴DE＝AD，∠HDE+∠GDA＝90°．∴∠HDE＝∠GAD．在△HED 和△GDA 中，∴△HED≌△GDA．∴HE＝DG＝3，HD＝AG．设D（a，3），则DC＝a，DH＝AG＝4﹣a．∴E（a+3，7﹣a）．∴OE＝＝．当a＝2 时，OE 有最小值，最小值为．例8、如图，线段AB＝8，D 为AB 的中点，点E 是平面内一动点，且满足DE＝2，连接BE，将BE 绕点E 逆时针旋转90°得到EC，连接AC、BC，则线段AC 长度的最大值为 6 ．解：以BD 为直角边在BD 上方作等腰直角三角形BOD，如图，连接CO、AO．则，又．∵E 点运动轨迹是以E 为圆心，DE＝2 为半径的圆，∴C 点运动的轨迹是以O 为圆心为半径的圆．∵AC≤AO+OC，AO＝4，OC＝2．∴AC 最大值为+2＝6．二、线段和最小值问题例1、如图，在正方形ABCD 中，AB＝6，E 是BC 边的中点，F 是CD 边上的一点，且DF＝2，若M、N 分别是线段AD、AE 上的动点，则MN+MF 的最小值为．解：作点F 关于AD 的对称点G，过G 作GN⊥AE 与N，交AD 于M，则GN 的长度等于MN+MF 的最小值，∵△DGM≌△DGF，∴∠DMF＝∠GMD，∵∠GMD＝∠AMN，∠AMN+∠MAN＝∠MAN+∠BAE＝90°，∴∠FMD＝∠BAE＝∠AMN，∴△ABE∽△DMF∽△AMN，∴，∵AB＝6，∴BE＝3，∵DF＝2，∴DM＝4，∴AM＝2，∵，∴MN＝，∵GM＝2 ，∴GN＝GM+MN＝MN+MF＝+2 ．∴MN+MF 的最小值．练习：如图，矩形ABCD 中，AB＝4，AD＝6，点E，F 分别是AB，BC 边上的两动点，且EF＝2，点G 为EF 的中点，点H 为AD 边上一动点，连接CH，GH，则GH+CH 的最小值为9.解：由已知，点G 在以B 圆心，1 为半径的圆在与长方形重合的弧上运动．作C 关于AD 的对称点C′，连接C′B，交AD 于H，交以D 为圆心，以1 为半径的圆于G 由两点之间线段最短，此时C′B 的值最小，则GH+CH 的最小值C′G＝10﹣1＝9．例2、（2016 春•青山区期中）如图，在矩形ABCD 中，AB＝2，BC＝4，点E 和点F 分别是AC 和BC 上的动点，在点E 和点F 运动的过程中，BE+EF 的最小值为AP解：如图，作点B 关于 AC 的对称点 B ′，过点 B ′作 B ′F ⊥BC 于 F ，交 AC 于 E ，连接 CB ′交 AD于 P ，连接 BE ，∵四边形 ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠BCA ＝∠PAC ，∵点 B 关于 AC 的对称点是 B ′，∴∠PCA ＝∠BCA ，∴∠PAC ＝∠PCA ，∴PA ＝PC ．令 P A ＝x ，则 PC ＝x ，PD ＝4﹣x ．在 Rt △CDP 中，∵PC 2＝PD 2+CD 2，∴x 2＝（4﹣x ）2+22，∴x ＝2.5， ∵co s ∠B ′CF ＝co s ∠CP D ，∴CF ：B ′C ＝DP ：CP ，∴CF ：4＝1.5：2.5，∴CF ＝，∴B ′F ＝＝，∴BE +EF 的最小值为． 练习：1、（2017 春•东西湖区期中）如图，在▱ABCD 中，AB ＝2， AB ⊥ AC ，∠D ＝60°，点 P 、Q 分别是 AC 和 BC 上的动点，在点 P 和点 Q 运动的过程中，PB +PQ 的最小值FDBC解：作点 B 关于 AC 的对称点 F ，连接 CF ，作 FQ ⊥ BC 交 AC 于点P ，则 FQ 的长即为 PB +PQ 的最小值（垂线 段 最 短 ）， 易 知 △BCF 是 等 边 三 角 形 ，∴BP +PQ 的 最 小 值 为． 2 、如图，矩形 ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点 M 、点 N 分别在 BD 、BC 上，则 CM +MN 的最小值为．解：如图，作出点C 关于BD 的对称点E，过点E 作EN⊥BC 于N，交BD 于M，连接CM，此时CM+MN ＝EN 最小；∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BCD＝90°，CD＝AB＝3，根据勾股定理得，BD＝5，∵CE⊥BC，∴BD×CF＝BC×CD，∴CF＝＝，由对称得，在Rt△BCF 中＝，∴sin∠BCF＝，在Rt△CEN 中＝；即：CM+MN 的最小值；例3、（2019 春•新吴区期末）如图，菱形ABCD 的边长为4，∠A＝60°，E 是边AD 的中点，F 是边AB 上的一个动点将线段EF 绕着点E 逆时针旋转60°得到EG，连接BG、CG，则BG+CG 的最小值为.解：如图，取AB 的中点N．连接EN，EC，GN，作EH⊥CD 交CD 的延长线于H．∵四边形ABCD 是菱形，∴AD＝BD，∵AE＝ED，AN＝NB，∴AE＝AN，∵∠A＝60°，∴△AEN 是等边三角形，∴∠AEN＝∠FEG＝60°，∴∠AEF＝∠NEG，∵EA＝EN，EF＝EG，∴△AEF≌△NEG（SAS），∴∠ENG＝∠A＝60°，∵∠ANE＝60°，∴∠GNB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴点G 的运动轨迹是射线NG，易知B，E 关于射线NG 对称，∴GB＝GE，∴GB+GC＝GE+GC≥EC，在Rt△DEH 中，∵∠H＝90°，DE＝2，∠EDH＝60°，∴DH＝DE＝1，EH＝，在Rt△ECH 中＝2 ，∴GB+GC≥2 ，∴GB+GC 的最小值为．练习：如图，在平行四边形ABCD 中，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将线段MN 绕点M 逆时针旋转90 至MN′，连接N′B，N′C，则N′B+N′C 的最小值是2 ．解：如图，作ME⊥AD 交AB 于E，连接EN′、AC、作CF⊥AB 于F．∵∠MAE＝45°，∴△MAE 是等腰直角三角形，∴MA＝ME，∵∠AME＝∠NMN′＝90°，∴∠AMN＝∠EMN′，∵MN＝MN′，∴△AMN≌△EMN′，∴∠MAN＝∠MEN′＝45°，∴∠AEN′＝90°，∴EN′⊥AB，∵AM＝DM＝，AB＝4，∴AE＝2，EB＝2，∴AE＝EB，∴N′B＝N′A，∴N′B+N′C＝N′A+N′C，∴当A、N′、C 共线时，N′B+N′C 的值最小，最小值＝AC，在Rt△BCF 中，∠CBF＝∠DAB＝45°，∴CF＝BF＝2，在Rt△ACF 中＝2例4、（2015•石家庄模拟）如图，已知在矩形ABCD 中，AB＝4，BC＝2，点M，E 在AD 上，点F 在边AB 上，并且DM＝1，现将△AEF 沿着直线EF 折叠，使点A 落在边CD 上的点P 处，则当PB+PM 最小时，ME 的长度为解：延长AD 到M′，使得DM′＝DM＝1，连接PM′，如图．当PB+PM 的和最小时，M′、P、B 三点共线．∵四边形ABCD 是矩形，AB＝4，BC＝2，∴DC＝AB＝4，AD＝BC＝2，AD∥BC，∴△DPM′∽△CPB，∴＝＝，∴DP＝PC，∴DP＝DC＝．设AE＝x，则PE＝x，DE＝2﹣x，在Rt△PDE 中）2＝x2，解得，∴ME＝AE﹣AM＝﹣1＝．故选：B．例5、（2019 春•张家港市期末）如图，矩形ABCD 中，AB＝8，BC＝4，P，Q 分别是直线AB，AD 上的两个动点，点E 在边CD 上，DE＝2，将△DEQ 沿EQ 翻折得到△FEQ，连接PF，PC，则PF+PC 的最小值为解：作点C 关于AB 的对称点H，连接PH，EH，如图所示：∵矩形ABCD 中，AB＝8，BC＝4，DE＝2，∴CE＝CD﹣DE＝AB﹣DE＝6，CH＝2BC＝8，∴EH＝＝＝10，∵点C 与点P 关于AB 对称，∴CP＝PH，∴PF+PC＝PF+PH，∵EF＝DE＝2 是定值，∴当E、F、P、H 四点共线时，PF+PH 值最小，最小值＝10﹣2＝8，∴PF+PC 的最小值为8．练习：（2019 春•邗江区校级月考）如图，矩形ABCD 中，AB＝2，BC＝4，P，Q 分别是BC，AB 上的两个动点，AE＝1，△AEQ 沿EQ 翻折形成△FEQ，连接PF，PD，则PF+PD 的最小值是 4 ．解：如图作点D 关于BC 的对称点D′，连接PD′，ED′．在Rt△EDD′中，∵DP＝PD′，∴PD+PF＝PD′+PF，∵EF＝EA＝1 是定值，∴当E、F、P、D′共线时，PF+PD′定值最小，最小值＝5﹣1＝4，∴PF+PD 的最小值为4，例6、（2018•朝阳区二模）如图，在矩形ABCD 中，AB＝1，AD＝2，E 是边AD 的中点，F 是边AB 上的一个动点，连结EF，过点E 作EG⊥EF 交BC 于点G．则AF+EF+CG 的最小值为 2 ．解：如图，过点E 作EH⊥BC 于点H．∵四边形ABCD 是矩形，∴AB∥BC，∠A＝90°．∴AB＝EH，∠A＝∠EHG＝∠AEH＝90°．∴∠FEH+∠AEF＝90°．∵EG⊥EF，∴∠FEH+∠HEG＝90°．∴∠AEF＝∠HEG．∵AD＝2AB，AD＝2AE，∴AE＝AB．∴AE＝HE 且∠AEF＝∠HEG，∠A＝∠EHG ∴△AEF≌△HEG．∴EF＝GE．∵AB＝1，AD＝2，∴AE＝DE＝1∵∠D＝∠C＝90°，EH⊥BC∴DCHE 是矩形∴DE＝CH＝1∵△AEF≌△EHG∴AF＝HG，EF＝EG，EH＝AE＝1∴AF+EF+CG＝HG+CG+EG＝CH+EG＝1+EG由两平行线之间垂线段最短，当EG⊥BC 时，AF+EF+CG 的值最小，即EG＝1 时，AF+EF+CG 的最小值为2练习：如图，在矩形ABCD 中，AB＝4，AD＝8，E 是边AD 的中点，F 是边AB 上的一个动点，连结EF，过点E 作EG⊥EF 交BC 于点G．则AF+EF+CG 的最小值为．例7、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A（1，0），点C 是y 轴上的动点，线段CA 绕着点C 按逆时针方向旋转90°至线段CB，CA＝CB，连接BO、BA，则BO+BA 的最小值是．如图作BH⊥OH 于H．设点C 的坐标为（0，m），由（1）知：OC＝HB＝m，OA＝HC＝1，则点B（m，1+m），则+，BO+BA 的值，相当于求点P（m，m）到点M（1，﹣1）和点N（0，﹣1）的最小值，相当于在直线y＝x 上寻找一点P（m，m），使得点P 到M（0，﹣1），到N（1，﹣1）的距离和最小，作M 关于直线y＝x 的对称点M′（﹣1，0），易知PM+PN＝PM′+PN≥NM′，M′N＝，故：BO+BA 的最小值．例8、如图，矩形ABCD 中，AB＝3，AD＝4，点E、F 分别是边BC 和对角线BD 上的动点，且BE＝DF，则AE+AF 的最小值是．解法一：如图，作点D 关于BC 的对称点G，连接BG，在BG 上截取BH，使得BH＝AD，连接AH．作HM⊥AB 交AB 的延长线于M．∵四边形ABCD 是矩形，∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝4，AD∥BC，∴∠ADF＝∠DBC，∵DC＝CG，BC⊥DG，∴BD＝BG，∴∠DBC＝∠CBG，∴∠ADF＝∠HBE，∵DA＝BH，DF＝BE，∴△ADF≌△HBE（SAS），∴AF＝EH，∴AE+AF＝AE+EH≥AH，在Rt△BCD 中＝5，由△BHM∽△DBC，可＝＝，∴＝＝，∴BM＝，MH＝，∴AM＝3+＝，在Rt△AMH 中，AH＝，∴AE+AF≥，∴AE+AF 的最小值．解法二：如图，作FG⊥AD于G．∵BE＝DF，∴设BE＝DF＝x，∵矩形ABCD，AB＝3，AD＝4，∴∠BAD＝∠ABC＝90°根据勾股定理得，∵FG⊥AD，∴∠FGD＝90°，∴∠BAD＝∠FGD＝90°∵∠ADB＝∠GDF，∴△BAD∽△FGD，∴即∴GF＝x，GD＝x，AG＝4﹣x在Rt△ABE 中，∠ABE＝90°，根据勾股定理得AE＝在Rt△AGF 中，∠AGF＝90°，根据勾股定理得AF＝＝，AE+AF＝+可以看成是在平面直角坐标系里点（x，0）和点（0，3）的距离与点（x，0）和点，﹣）的距离之和.，当点（0，3）、（x，0）、，﹣）三点共线时，AE+AF 值最小，就是点（0，3）、，﹣）之间的距离，＝．三、三角形周长最小值问题例1、（2018 秋•成都期末）如图，在矩形ABCD 中，AB＝6，AD＝3，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A'MN，连接A'C．在MN 上存在一动点P．连接A'P、CP，则△A'PC 周长的最小值是﹣+3 ．解：分两步：①连接AP，则AP＝AP′，∴△A'PC 周长＝A′P+PC+A′C＝AP+PC+A′C，∵A′P+PC≥AC，当A、P、C 三点共线时，A′P+PC 有最小值，是AC 的长，∴AC 与MN 的交点就是点P，由勾股定理得＝3，②连接CM，∵A′C≥CM﹣A′M，∴当M、A′、C 三点共线时，A′C 有最小值，此时，∵M 是AD 的中点＝，由折叠得：AM＝A′M＝1.5，∴A′C＝MC﹣A′M＝﹣1.5，∴△A'PC 周长的最小值是：+3 ，例2、（2019 春•雨花区校级期中）如图，在平行四边形ABCD 中，AB＝10，AD＝16，∠A＝60°，P 是射线AD 上一点，连接PB，沿PB 将△APB 折叠，得△A'PB．当点P 为AD 中点时，点F 是边AB 上不与点A，B 重合的一个动点，将△APF 沿PF 折叠，得到△A'PF，连接BA'，则△BA'F 周长的最小值为．解：如图，作BH⊥AD 于H，连接，∴PB＝＝，由翻折可知：PA＝PA′＝8，FA＝FA′，∴△BFA′的周长＝22 + (4 3)2 E F32 +42FA ′+BF +BA ′＝AF +BF +BA ′＝AB +BA ′＝10+BA ′，∴当 BA ′的周长最小时，△BFA ′的周长最小 ﹣8，∴BA ′的最小值为 ﹣8，∴△BFA ′的周长的最小值为 ﹣8＝2+2．练习：如图，在平行四边形 ABCD 中，AB ＝8，AD ＝12，∠A ＝60°，P 是射线 AD 上一点，连接 PB ，沿 PB 将△APB 折叠，得△A 'PB ．当点 P 为 AD 中点时，点 F 是边 AB 上不与点 A ，B 重合的一个动点，将△APF 沿 PF 折叠，得到△A 'PF ，连接 BA '，则△BA 'F 周长的最小值为 ．解：如图，作 BH ⊥AD 于 H ，连接，∴ PB = = = 2 ，由翻折可知：PA ＝PA ′＝6，FA ＝FA ′，∴△BFA ′的周长＝FA ′+BF +BA ′＝AF +BF +BA ′＝AB +BA ′＝8+BA ′，∴当 BA ′的最小时，△BFA′的周长最小，∵BA ′≥PB ﹣PA ′，∴BA ′≥ 2 ﹣6，∴BA ′的最小值为2 ﹣6，∴△BFA ′的周长的最小值为 8+ 2 ﹣6＝ 2 +2．四、四边形周长最小值问题例 1、如图，已知，在矩形 ABCD 中，AD ＝2，AB ＝4，点 E ，F 是边 CD 上的动点（点 F 在点 E 右侧）， 且 EF ＝1，则四边形 ABFE 周长的最小值为 10 ．AMBDCN解：在 AB 上截取 AM ＝EF ，作点 M 关于直线 DC 的对称点 N ，连接 BN 交 CD 于 F ，此时四边形 AEFB的周长最小．四边形 AEFB 的周长的最小值＝AB +EF +AE +BF ＝AB +EF +MF +BF ＝AB +EF +NF +BF ＝AB +EF +NB ＝4+1+ ＝10，PH 2 + BH 2 13 13 13 13 13练习：1、（2018 秋•金牛区校级月考）在矩形ABCD 中，AB＝8，BC＝10，G 为AD 边的中点．如图，若E、F为边AB 上的两个动点，且EF＝4，当四边形CGEF 的周长最小时，则求AF 的长为．G解：∵E 为AB 上的一个动点，∴如图，作G 关于AB 的对称点M，在CD 上截取CH＝4，然后连接HM 交AB 于E，接着在EB 上截取EF＝4，那么E、F 两点即可满足使四边形CGEF 的周长最小．∵在矩形ABCD 中，AB＝8，BC＝10，G 为边AD 的中点，∴AG＝AM＝5，MD＝15，而CH＝4，∴DH＝4，而AE∥CD，∴△AEM∽△DHM，∴AE：HD＝MA：MD，∴AE＝＝＝，∴AF＝4+＝．例2、（2019•长丰县二模）如图，矩形ABCD 中，AB＝5，AD＝10，点E，F，G，H 分别在矩形各边上，点F，H 为不动点，点E，G 为动点，若要使得AF＝CH，BE＝DG，则四边形EFGH 周长的最小值为解：作点F 关于CD 的对称点F′，连接F′H 交CD 于点G，此时四边形EFGH 周长取最小值，过点H 作HH′⊥AD 于点H′，如图所示．∵AF＝CH，DF＝DF′，∴H′F′＝AD＝10，∵HH′＝AB＝5，∴F′H＝＝5，∴C 四边形．练习：（2018•保定一模）如图，矩形ABCD 中，AB＝8，BC＝6，点E，F，G，H 分别在矩形ABCD 各边上，且AE＝CG，BF＝DH，则四边形EFGH 周长的最小值为解：作点E 关于BC 的对称点E′，连接E′G 交BC 于点F，此时四边形EFGH 周长取最小值，EF＝E'F，过点G 作GG′⊥AB 于点G′，如图所示．∵AE＝CG，BE＝BE′，∴E′G′＝AB＝8，∵GG′＝AD＝6，∴E′G＝＝10，∴C 四边形EFGH＝2（GF+EF）＝2E′G＝20．五、三角形面积最小值问题例1、（2018•无锡）如图，矩形ABCD 中，AB＝4，AD＝2，E 为边AD 上一个动点，连结BE，取BE 的中点G，点G 绕点E 逆时针旋转90°得到点F，连结CF，则△CEF 面积的最小值是解：过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点H，∵∠A＝∠H＝90°，∠FEB＝90°，∴∠FEH＝90°﹣∠BEA＝∠EBA，∴△FEH∽△EBA，∴，设x，EH＝2，DH＝x，∴△CEF 面积＝，∴当x＝1 时，△CEF 面积的最小值．例2、（2016•江东区一模）如图，点E 为正方形ABCD 中AD 边上的动点，AB＝2，以BE 为边画正方形BEFG，连结CF 和CE，则△CEF 面积的最小值为．解：（方法一）过点 F 作FM⊥AD 延长线于点M，令EF 与CD 的交点为N 点，如图所示．则CN•ME．∵四边形ABCD 为正方形，四边形BEFG 为正方形，∴∠A＝90°，∠BEF＝90°，BE＝EF，∴∠AEB+∠ABE＝90°，∠MEF+∠MFE＝90°，∠AEB+∠BEF+∠MEF＝180°，∴∠AEB＝∠MFE，∠ABE＝∠MEF．在△ABE 和△MEF 中，，∴△ABE≌△MEF（ASA）．∴MF＝AE，ME＝AB．∵CD⊥AD，FM⊥AD，∴ND∥FM，∴△EDN∽△EMF，∴．设AE＝x，则ED＝AD﹣AE＝2﹣x，EM＝AB＝2，MF＝AE＝x，∴DN＝＝﹣x2+x＝﹣（x﹣1）2+≤．∴CN＝CD﹣DN≥2﹣≥．∴△CEF 面积的最小值CN•ME＝××2＝．（方法二）连接CG，如图所示．在△ABE 和△CBG 中，，∴△ABE≌△CBG（SAS）．设AE＝x，则BE2＝AB2+AE2＝4+x2，∴S 正方形BEFG＝BE2＝4+x2．∴S△CEF+S BCG＝S 正方形x2，∴S△CEF＝S 正方形x2﹣S△ABE＝2+x2﹣x＝（x﹣1）2+，当x＝1 时，△CEF 面积最小，最小值为．例3、（八中定时练习六18 题2019•无锡）如图,在△ABC 中，AB =AC = 5, BC = 4 ，D 为边AB 上一动点(B 点除外),以CD 为一边作正方形CDEF，连接BE，则∆BDE面积的最大值为.解：过点C 作CG⊥BA 于点G，作EH⊥AB 于点H，作AM⊥BC 于点M．∵AB＝AC＝5，BC＝4 ，∴BM＝CM＝2 ，易证，∴，∴GB＝8，设BD＝x，则DG＝8﹣x，易证△EDH≌△DCG（AAS），∴EH＝DG＝8﹣x，∴S△BDE＝＝＝，当x＝4 时，△BDE 面积的最大值为8．5。
重庆中考数学第18题专题训练
18题图HGFE DCBA18题1.如图，正方形ABCD 的边长为6，点O 是对角线AC 、BD 的交点，点E 在CD 上，且DE=2CE ，过点C 作CF ⊥BE ，垂足为F ，连接OF ，则OF 的长为 ．2.如图，在边长为的正方形ABCD 中，E 是AB 边上一点，G 是AD 延长线上一点，BE ＝DG ，连接EG ，CF ⊥EG 于点H ，交AD 于点F ，连接CE 、BH 。
若BH ＝8，则FG ＝ 。
3.如图，矩形ABCD 中，AB=,AD=10,连接BD ，∠DBC 的角平分线BE 交DC 于点E ，现把△BCE 绕点B 逆时针旋转，记旋转后的△BCE 为△BC E ''，当射线BE '和射线BC '都与线段AD 相交时，设交点分别F,G ，若△BFD 为等腰三角形，则线段DG 长为 。
4.如图，AC 是矩形ABCD 的对角线，AB=2，BC=点E ，F 分别是线段AB ，AD 上的点，连接CE ，CF ，当∠BCE=∠ACF ，且CE=CF 时，AE+AF=___ ___.18题图5.如图，点E 是正方形ABCD 内一点，连结AE 、BE 、DE ，若AE =2，BE =15，∠AED =135°，则正方形ABCD 的面积为 ．6.如图，在正方形ABCD 中，22=AB ，将BAD ∠绕着点A 顺时针旋转α（450<<α），得到//AD B ∠，其中射线/AB 与过点B 且与对角线BD 垂直的直线交于点E ，射线/AD 与对角线BD 交于点F ，连接CF ，并延长交AD 于点M ，作B CM ∠的角平分线交AB 于点N ，当满足CDM AEBF S S ∆=2四边形时，线段BN 的长度为 .7.如图，在矩形ABCD 中，2512AD AB ==，，点E 、F 分别是AD 、BC 上的点，且DE =CF =9，连接EF 、DF 、AF ，取AF 的中点为G ，连接BG ，将BFG ∆沿BC 方向平移，当点F 到达点C 时停止平移，然后将△GFB 绕C 点顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到11B CG ∆（点G 的对应点为1G ，点B 的对应点为1B ），在旋转过程中，直线11B G 与直线EF 、FD 分别相交于M 、N ，当FMN ∆是等腰三角形，且FM FN =时，线段DN 的长为 ．EDCAB18题图18题图18题图A连结EG ，交CA 的延长线于M ，将△AEG 绕点A 逆时针．．．旋转60°得到''G AE ∆(点E 的对应点为'E ，点G 的对应点为9.如图，ABC ∆中，4AB AC ==，BAC ∠=120°，以A 为一个顶点的等边三角形ADE 绕点A 在BAC ∠内旋转，AD 、AE 所在的直线与BC边分别交于点F 、G ，若点B 关于直线AD 的对称点为'B ，当'FGB ∆是以点G 为直角顶点的直角三角形时，BF 的长为_______10.第18题图 G11.如图，在一张矩形纸片ABCD 中，AB =4，BC =8，点E ，F 分别在AD ，BC 上，将纸片ABCD 沿直线EF 折叠，点C 落在AD 上的一点H 处，点D 落在点G 处，有以下四个结论：①四边形CFHE 是菱形； ②EC 平分∠DCH ； ③线段BF 的取值范围为3≤BF ≤4； ④当点H 与点A 重合时，EF =2．以上结论中，你认为正确的是 ．（填空编号） 12.13.如图，正方形ABCD 的边长为3，延长CB 至点M,使BM=1，连接AM,过点B 作BN ⊥AM,垂足为N ，O 是对角线AC 、BD 的交点，连接ON,则ON 的长为 .14.如图，正方形ABCD 的边长为224 ，点E 在对角线BD 上，且∠BAE=22.5°，EF ⊥AB ，垂足为点F ，则EF 的长是 。
2020重庆中考复习数学几何最值专题训练十八(含答案解析)
的最小值为：
.
解：作点 E 关于 BD 的对称点 G，则点 G 在 AD 上，连接 GM，过 G 作 BD 的平行线，截取 GH＝MN＝ ， 连接 HN，则四边形 GHNM 是平行四边形，∴HN＝GM＝EM，过 H 作 PQ⊥BC，交 AD 于 P，交 BC 于 Q， 则∠HPG＝∠HQF＝90°，PQ＝AB＝4， ∵∠PGH＝∠ADB＝45°，∴HP＝PG＝ ＝1，HQ＝4﹣1＝3，
根据两点之间线段最短可知，此时 DE+FB 最短， ∵四边形 ABCD 是正方形，AB＝3，∠BAD＝90°∴AD＝AB，∴△ABD 是等腰直角三角形，
∴BD＝ AB＝3 ，在 Rt△BDM 中，BM＝
＝ ，∴DE+BF 的最小值为 ．
3、（2019 春•梁溪区期末）如图，正方形 ABCD 的边长为 3，E、F 是对角线 BD 上的两个动点，且 EF＝ ，
PM，若 AB＝6，则当 AN+PM 的最小值时，线段 AN 的长度为（ ）
A．4
B．2
C．6
D．3
2、正方形 ABCD，AB＝4，E 是 CD 中点，BF＝3CF，点 M，N 为线段 BD 上的动点，MN＝
的最小值为
.
，则 ME+NF
例 4、如图，已知菱形 ABCD 的边长为 10，E 为 AB 中点，对角线 BD 上有两个动点 P，Q 总保持 PQ＝2，
根据两点之间线段最短可知，此时 DE+FB 最短，∵四边形 ABCD 是菱形，∴AC⊥BD，AO＝OC＝3 ，
在 Rt△ADO 中，OD＝
＝3，∴BD＝6，∵DM∥AC，∴∠MDB＝∠BOC＝90°，
∴BM＝
＝
＝2 ．∴DE+BF 的最小值为 2 ．
2020年重庆市中考数学试卷-(含答案)
2020年重庆市中考数学试卷一、选择题（共12个小题）. 1．下列各数中，最小的数是( ) A ．3-B ．0C ．1D ．22．下列图形是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．3．在今年举行的第127届“广交会”上，有近26000家厂家进行“云端销售”．其中数据26000用科学记数法表示为( ) A ．32610⨯B ．32.610⨯C ．42.610⨯D ．50.2610⨯4．把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，⋯，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为( )A ．10B ．15C ．18D ．215．如图，AB 是O 的切线，A 为切点，连接OA ，OB ，若20B ∠=︒，则AOB ∠的度数为( )A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒6．下列计算中，正确的是( ) A ．235+=B ．2222+=C ．236⨯=D ．2323-=7．解一元一次方程11(1)123x x +=-时，去分母正确的是( ) A ．3(1)12x x +=- B ．2(1)13x x +=-C ．2(1)63x x +=-D ．3(1)62x x +=-8．如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点坐标分别是(1,2)A ，(1,1)B ，(3,1)C ，以原点为位似中心，在原点的同侧画DEF ∆，使DEF ∆与ABC ∆成位似图形，且相似比为2:1，则线段DF 的长度为( )A ．5B ．2C ．4D ．259．如图，在距某居民楼AB 楼底B 点左侧水平距离60m 的C 点处有一个山坡，山坡CD 的坡度（或坡比）1:0.75i =，山坡坡底C 点到坡顶D 点的距离45CD m =，在坡顶D 点处测得居民楼楼顶A 点的仰角为28︒，居民楼AB 与山坡CD 的剖面在同一平面内，则居民楼AB 的高度约为（参考数据：sin 280.47︒≈，cos 280.88︒≈，tan 280.53)(︒≈ )A ．76.9mB ．82.1mC ．94.8mD ．112.6m10．若关于x 的一元一次不等式组313,2x x x a-⎧+⎪⎨⎪⎩的解集为x a ；且关于y 的分式方程34122y a y y y --+=--有正整数解，则所有满足条件的整数a 的值之积是( ) A ．7B ．14-C ．28D ．56-11．如图，三角形纸片ABC ，点D 是BC 边上一点，连接AD ，把ABD ∆沿着AD 翻折，得到AED ∆，DE 与AC 交于点G ，连接BE 交AD 于点F ．若DG GE =，3AF =，2BF =，ADG ∆的面积为2，则点F 到BC 的距离为( )A ．55B ．255C ．455D ．43312．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的对角线AC 的中点与坐标原点重合，点E 是x 轴上一点，连接AE ．若AD 平分OAE ∠，反比例函数(0,0)k y k x x=>>的图象经过AE 上的两点A ，F ，且AF EF =，ABE ∆的面积为18，则k 的值为( )A ．6B ．12C ．18D ．24二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．13．计算：0(1)|2|π-+-= ．14．一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是 ．15．现有四张正面分别标有数字1-，1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数宇，前后两次抽取的数字分别记为m ，n ．则点(,)P m n 在第二象限的概率为 ．16．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，对角线AC 的中点为O ，分别以点A ，C 为圆心，以AO 的长为半径画弧，分别与正方形的边相交，则图中的阴影部分的面积为 ．（结果保留)π17．A ，B 两地相距240km ，甲货车从A 地以40/km h 的速度匀速前往B 地，到达B 地后停止．在甲出发的同时，乙货车从B 地沿同一公路匀速前往A 地，到达A 地后停止．两车之间的路程()y km 与甲货车出发时间()x h 之间的函数关系如图中的折线CD DE EF --所示．其中点C 的坐标是(0,240)，点D 的坐标是(2.4,0)，则点E 的坐标是 ．18．火锅是重庆的一张名片，深受广大市民的喜爱．重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆摊）三种方式经营，6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为3:5:2．随着促进消费政策的出台，该火锅店老板预计7月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的25，则摆摊的营业额将达到7月份总营业额的720，为使堂食、外卖7月份的营业额之比为8:5，则7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是 ．三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19．（10分）计算： （1）2()(2)x y x x y ++-；（2）229(1)369m m m m m --÷+++． 20．（10分）为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识．某学校举行了“垃圾分类人人有责”的知识测试活动，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．七年级20名学生的测试成绩为：7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6．八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图：七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比如下表所示：年级 平均数 众数中位数 8分及以上人数所占百分比七年级 7.5 a745% 八年级7.58bc根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出上述表中的a ，b ，c 的值；（2）根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃极分类知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）该校七、八年级共1200名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？21．（10分）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，分别过点A ，C 作AE BD ⊥，CF BD ⊥，垂足分别为E ，F ．AC 平分DAE ∠．（1）若50AOE ∠=︒，求ACB ∠的度数； （2）求证：AE CF =．22．（10分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数261xy x =+性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．（1）请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象；x⋯ 5- 4-3- 2- 1- 0 1 2 34 5 ⋯261x y x =+ ⋯ 1513- 2417-125- 3- 0 31252417 1513⋯ （2）根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在答题卡上相应的括号内打“√”，错误的在答题卡上相应的括号内打“⨯”； ①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y 轴．②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当1x =时，函数取得最大值3；当1x =-时，函数取得最小值3-．③当1x <-或1x >时，y 随x 的增大而减小；当11x -<<时，y 随x 的增大而增大． （3）已知函数21y x =-的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式26211xx x >-+的解集（保留1位小数，误差不超过0.2)．23．（10分）在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们利用整数的除法运算来研究一种数-- “差一数”．定义：对于一个自然数，如果这个数除以5余数为4，且除以3余数为2，则称这个数为“差一数”． 例如：14524÷=⋯，14342÷=⋯，所以14是“差一数”； 19534÷=⋯，但19361÷=⋯，所以19不是“差一数”． （1）判断49和74是否为“差一数”？请说明理由； （2）求大于300且小于400的所有“差一数”．24．（10分）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为优选品种，提高产量，某农业科技小组对A ，B 两个小麦品种进行种植对比实验研究．去年A ，B 两个品种各种植了10亩．收获后A ，B 两个品种的售价均为2.4元/kg ，且B 的平均亩产量比A 的平均亩产量高100kg ，A ，B 两个品种全部售出后总收入为21600元．（1）请求出A ，B 两个品种去年平均亩产量分别是多少？（2）今年，科技小组加大了小麦种植的科研力度，在A ，B 种植亩数不变的情况下，预计A ，B 两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加%a 和2%a ．由于B 品种深受市场的欢迎，预计每千克价格将在去年的基础上上涨%a ，而A 品种的售价不变．A ，B 两个品种全部售出后总收入将在去年的基础上增加20%9a ．求a 的值． 25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线2y x bx c =++与直线AB 相交于A ，B 两点，其中(3,4)A --，(0,1)B -．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P 为直线AB 下方抛物线上的任意一点，连接PA ，PB ，求PAB ∆面积的最大值；（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线21111(0)y a x b x c a =++≠，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C ，点D 为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E ，使以点B ，C ，D ，E 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．26．（8分）如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 是BC 边上一动点，连接AD ，把AD 绕点A 逆时针旋转90︒，得到AE ，连接CE ，DE ．点F 是DE 的中点，连接CF ． （1）求证：22CF AD =； （2）如图2所示，在点D 运动的过程中，当2BD CD =时，分别延长CF ，BA ，相交于点G ，猜想AG 与BC 存在的数量关系，并证明你猜想的结论；（3）在点D 运动的过程中，在线段AD 上存在一点P ，使PA PB PC ++的值最小．当PA PB PC ++的值取得最小值时，AP 的长为m ，请直接用含m 的式子表示CE 的长．2020年重庆市中考数学试卷答案1．A ． 2．A ． 3．C ． 4．B ． 5．D ． 6．C 7．D 8．D 9．B 10．A 11．B 12．B13．3． 14．6． 15．316． 16．4π-． 17．(4,160)． 18．1:8．19．解：（1）2()(2)x y x x y ++-，22222x xy y x xy =+++-， 222x y =+；（2）229(1)369m m m m m --÷+++， 23(3)()33(3)(3)m m m m m m m ++=-⨯+++-， 3333m m m +=⨯+-， 33m =-． 20．解：（1）七年级20名学生的测试成绩为：7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6，7a ∴=，由条形统计图可得，(78)27.5b =+÷=，(523)20100%50%c =++÷⨯=，即7a =，7.5b =，50%c =；（2）八年级学生掌握垃极分类知识较好，理由：八年级的8分及以上人数所占百分比大于七年级，故八年级学生掌握垃极分类知识较好；（3）从调查的数据看，七年级2人的成绩不合格，八年级2人的成绩不合格，∴参加此次测试活动成绩合格的学生有(202)(202)120010802020-+-⨯=+（人)，即参加此次测试活动成绩合格的学生有1080人． 21．（1）解：AE BD ⊥，90AEO ∴∠=︒， 50AOE ∠=︒， 40EAO ∴∠=︒， CA 平分DAE ∠，40DAC EAO ∴∠=∠=︒，四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ∴， 40ACB DAC ∠=∠=︒，（2）证明：四边形ABCD 是平行四边形，OA OC ∴=，AE BD ⊥，CF BD ⊥， 90AEO CFO ∴∠=∠=︒，AOE COF ∠=∠，()AEO CFO AAS ∴∆≅∆， AE CF ∴=．22．解：（1）补充完整下表为：x⋯5- 4- 3- 2- 1-0 1 2 3 4 5⋯261xy x =+ ⋯ 1513- 2417-95- 125-3-0 3 125 95 24171513⋯ 画出函数的图象如图：；（2）根据函数图象：①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y 轴，说法错误；②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当1x =时，函数取得最大值3；当1x =-时，函数取得最小值3-，说法正确；③当1x <-或1x >时，y 随x 的增大而减小；当11x -<<时，y 随x 的增大而增大，说法正确．（3）由图象可知：不等式26211xx x >-+的解集为1x <-或0.3 1.8-<． 23．解：（1）49594÷=⋯，但493161÷=⋯，所以49不是“差一数”； 745144÷=⋯，743242÷=⋯，所以74是“差一数”． （2）大于300且小于400的数除以5余数为4的有304，309，314，319，324，329，334，339，344，349，354，359，364，369，374，379，384，389，394，399， 其中除以3余数为2的有314，327，344，359，374，389．故大于300且小于400的所有“差一数”有314，327，344，359，374，389． 24．解：（1）设A 、B 两个品种去年平均亩产量分别是x 千克和y 千克；根据题意得，10010 2.4()21600y x x y -=⎧⎨⨯+=⎩，解得：400500x y =⎧⎨=⎩，答：A 、B 两个品种去年平均亩产量分别是400千克和500千克； （2）202.440010(1%) 2.4(1%)50010(12%)21600(1%)9a a a a ⨯⨯+++⨯⨯+=+， 解得：0.1a =， 答：a 的值为0.1．25．解：（1）将点A 、B 的坐标代入抛物线表达式得4931b c c -=-=⎧⎨=-⎩，解得41b c =⎧⎨=-⎩，故抛物线的表达式为：241y x x =+-；（2）设直线AB 的表达式为：y kx t =+，则431k t t -=-+⎧⎨=-⎩，解得11k t =⎧⎨=-⎩，故直线AB 的表达式为：1y x =-， 过点P 作y 轴的平行线交AB 于点H ，设点2(,41)P x x x +-，则(,1)H x x -，PAB ∆面积221139()(141)(03)2222B A S PH x x x x x x x =⨯⨯-=---+⨯+=--， 302-<，故S 有最大值，当32x =-时，S 的最大值为278； （3）抛物线的表达式为：2241(2)5y x x x =+-=+-， 则平移后的抛物线表达式为：25y x =-， 联立上述两式并解得：14x y =-⎧⎨=-⎩，故点(1,4)C --；设点(2,)D m -、点(,)E s t ，而点B 、C 的坐标分别为(0,1)-、(1,4)--； ①当BC 为菱形的边时，点C 向右平移1个单位向上平移3个单位得到B ，同样D （E ）向右平移1个单位向上平移3个单位得到E （D ），即21s -+=且3m t +=①或21s --=且3m t -=②，当点D 在E 的下方时，则BE BC =，即2222(1)13s t ++=+③， 当点D 在E 的上方时，则BD BC =，即22222(1)13m ++=+④， 联立①③并解得：1s =-，2t =或4-（舍去4)-，故点(1,3)E -；联立②④并解得：1s =，46t =-±，故点(1,46)E -+或(1,46)--； ②当BC 为菱形的的对角线时，则由中点公式得：12s -=-且41m t --=+⑤， 此时，BD BE =，即22222(1)(1)m s t ++=++⑥， 联立⑤⑥并解得：1s =，3t =-， 故点(1,3)E -，综上，点E 的坐标为：(1,2)-或(1,46)-+或(1,46)--或(1,3)-． 26．证明：（1）AB AC =，90BAC ∠=︒，45ABC ACB ∴∠=∠=︒，把AD 绕点A 逆时针旋转90︒，得到AE ，AD AE ∴=，90DAE BAC ∠=︒=∠， BAD CAE ∴∠=∠，2DE AD =，又AB AC =，()BAD CAE SAS ∴∆≅∆， 45ABD ACE ∴∠=∠=︒， 90BCE BCA ACE ∴∠=∠+∠=︒，点F 是DE 的中点，1222CF DE AD ∴==；（2）26AG BC =， 理由如下：如图2，过点G 作GH BC ⊥于H ，2BD CD =，∴设CD a =，则2BD a =，3BC a =，90BAC ∠=︒，AB AC =，3222BC AB AC a ∴===， 由（1）可知：BAD CAE ∆≅∆，2BD CE a ∴==， CF DF =， FDC FCD ∴∠=∠， tan tan FDC FCD ∴∠=∠， ∴2CE GHCD CH==， 2GH CH ∴=，GH BC ⊥，45ABC ∠=︒， 45ABC BGH ∴∠=∠=︒， BH GH ∴=，2BG BH ∴= 3BH CH BC a +==， CH a ∴=，2BH GH a ==，22BG a ∴=，222226AG BG AB a CD BC ∴=-===； （3）如图31-，将BPC ∆绕点B 顺时针旋转60︒得到BNM ∆，连接PN ，BP BN ∴=，PC NM =，60PBN ∠=︒， BPN ∴∆是等边三角形， BP PN ∴=，PA PB PC AP PN MN ∴++=++，∴当点A ，点P ，点N ，点M 共线时，PA PB PC ++值最小，此时，如图32-，连接MC ，将BPC ∆绕点B 顺时针旋转60︒得到BNM ∆，BP BN ∴=，BC BM =，60PBN CBM ∠=︒=∠， BPN ∴∆是等边三角形，CBM ∆是等边三角形， 60BPN BNP ∴∠=∠=︒，BM CM =， BM CM =，AB AC =，AM ∴垂直平分BC ， AD BC ⊥，60BPD ∠=︒，3BD ∴=，AB AC =，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥，AD BD ∴=， ∴3PD PD AP =+，312PD +∴=， 3332BD PD +∴==， 由（1）可知：332CE BD +==．。
重庆中考数学18题专题训练
题型一 方程问题1、某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景。
甲种盆景由１５朵红花、２４朵黄花和２５朵紫花搭配而成，乙种盆景由１０朵红花和１２朵黄花搭配而成，丙咱盆景由１０朵红花、１８朵黄花和２５朵紫花搭配而成。
这些盆景一共用了2900朵红花，3750朵紫花，由黄花一共用了 朵。
2、已知AB 是一段只有3米宽的窄道路，由于一辆小汽车与一辆大卡车在AB 段相遇，必须倒车才能继续通行。
如果小汽车在AB 段正常行驶需10分钟，大卡车在AB 段正常行驶需20分钟，小汽车在AB 段倒车的速度是它正常行驶速度的51，大卡车在AB 段倒车的速度是它正常行驶速度的81，小汽车需倒车的路程是大卡车需倒车的路程的4倍。
问两车都通过AB 这段狭窄路面的最短时间是 分钟。
3、甲、乙、丙三人拿出同样多的钱，合伙订购同种规格的若干件商品，商品买来后，甲、乙分别比丙多拿了11件商品，最后结算时，甲付给丙14元，那么，乙应付给丙 元。
4、山脚下有一个池塘，山泉以固定的流量向池塘里流淌，现在池塘中有一定的水，若一台A 型抽水机1小时刚好抽完，若两台A 型抽水机20分钟刚好抽完，若三台A 型抽水机同时抽 分钟可以抽完。
5、甲、乙两厂生产同一种产品，都计划把全年的产品销往重庆，这样两厂的产品就能占有重庆市场同类产品的43。
然而实际情况并不理想，甲厂仅有21的产品、乙厂仅有31的产品销到了重庆，两厂的产品仅占了重庆市场同类产品的31。
则甲厂该产品的年产量与乙厂该产品的年产量的比为 。
5、我市某县城为鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费：若每月用水不超过7立方米，则按每立方米1元收费；若每月用水超过7立方米，则超过部分按每立方米2元收费，如果某居民户今年5月缴纳了17元水费，那么这户居民今年5月的用水量为____________立方米。
6、采石场工人爆破时，为了确保安全，点燃炸药导火线后要在炸药爆破前转移到400米以外的安全区域，导火索燃烧速度是1cm/秒，人离开的速度是5米/秒，至少要导火索的长度是_____________cm 。
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中考数学18题专题及答案
1．含有同种果蔬但浓度不同的A、B两种饮料，A种饮料重40千克，B种饮料重60千克现从这两种饮料中各倒出一部分，且倒出部分的重量相同，再将每种饮料所倒出的部分与另一种饮料余下的部分混合．如果混合后的两种饮料所含的果蔬浓度相同，那么从每种饮料中倒出的相同的重量是__ 24____千克
设A种饮料的浓度为a，B种饮料的浓度为b，各自倒出和倒入的果蔬质量相同可设为x千克，由于混合后的浓度相同，由题意可得：(40-x)a+xb(60-x)b+xa
=
4060
去分母60(40-x)a+60xb=40(60-x)b+40xa，
去括号得：2400a-60xa+60xb=2400b-40bx+40xa
移项得：-60xa+60xb+40bx-40xa=2400b-2400a
合并得：100(b-a)x=2400(b-a)
所以：x=24
2.从两块分别重10千克和15千克且含铜的百分比不同的合金上各切下重量相等的一块，再把切下的每一块与另一块切后剩余的部分合在一起，熔炼后两者含铜的百分比恰好相等，则切下的一块重量是6千克。
设切下的一块重量是x千克，设10千克和15千克的合金的含铜的百分比为a，b，
=，整理得（b-a）x=6（b-a），x=6
3.设有含铜百分率不同的两块合金，甲重40公斤，乙重60公斤．从这两块合金上切下重量相等的一块，并把所切下的每块与另一种剩余的合金加在一起，熔炼后两者的含铜百分率相等，则切下的合金重（24公斤）
设含铜量甲为a乙为b，切下重量为x．根据设有含铜百分率不同的两块合金，甲重40公斤，乙重60公斤，熔炼后两者的含铜百分率相等，列方程求解．
解：设含铜量甲为a，乙为b，切下重量为x．由题意，有
=，
解得x=24．切下的合金重24公斤．
1、四川省安岳县，是我国的柠檬生产基地。
超市里有一种柠檬水，由水和
柠檬汁混合配制。
购买1吨柠檬汁的钱可以购买20吨的水。
由于安岳县大旱，柠檬汁购买原价上涨50％，水价也上涨8％，结果使配制这种柠檬水成本上涨20％，问这种柠檬水中，柠檬汁与水的配制比是
2:5。
4、某公司生产一种饮料是由A,B两种原料液按一定比例配制而成的，其中A 原料液的成本为15元/千克，B原料液的成本价为10元/千克，按现行价格销售每千克获得70％的利润率。
由于市场竞争，物价上涨，A原料液成本上涨20％，B原料液上涨10％，配制后的总成本增加了12％。
公司为了拓展市场，打算再投入先总成本的25%做广告宣传。
如果要保证每千克利润不变，则此时这种饮料的利润率是50%。
7、某地区的居民用电，按照白天时段和夜间时段规定了不同的单价。
某用户6月份白天时段用电量是空闲时段用电量的2倍，7月份白天时段用电量比6月份白天时段用电量少50%，结果7月份的用电量和6月份的用电量相等，但7月份的电费却比6月份的电费少20%，则该地区夜间时段民用电的单价比白天时段民用电单价低的百分率是50%。