人教版九年级数学下册26.1.2反比例函数的图像和性质(第2课时) 课件
【解析】因为反比例函数y=mxm²-5，它的两个
分支分别在第一、第三象限，
所以必须满足｛
m²-5= m﹥0
-1
得 m =2
y
y=mxm²-5
0
x
1、反比例函数 y kx的图象经过（2，
-1），则k的值为
； -2
2、反比例函数 y kx的图象经过点（2， 5），若点（1，n）在反比例函数图象
【解析】选C.设A点的坐标为（a,b），则k=ab，△ABO的
面积为 1 OB OA 1 ab 3 ，所以ab=6，即k=6
2
2
5.（威海·中考）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比
知识巩固
1.函数 y =
5 x
的图象在第_二__,四__象限，在每
个象限内，y 随 x 的增大而_增__大__ .
2. 双曲线 y =
1 3x
经过点（-3，___）
3.函数
y
=
m-2 x
的图象在二、四象限，则m的取
值范围是m__<_2_ .
4.对于函数 y =
1 2x
，当 x<0时，y 随x的_减__小__而
y
y
B
P(m,n)
oA
x
根据象限确定k的符号
B
P(m,n)
oA
x
2.根据图中点的坐标
y A(-2,b).
0
（1）求出y与x的函数解析式.
（2）如果点A（-2，b）在双
x 曲线上，求b的值. B (3,-1) （3）比较绿色部分和黄色部
分的面积的大小.
答案：（1） y 3 x
（2）
y3 2
上，则n等于（ A ）
A、10 B、5 C、2 D、-6
3、下列各点在双曲线
y 2上的是（
x
）B
A、（ 4， 3） 32
B、（
， 4 3
）3 2
C、（ 3 ， 4） 43
D、（
，3 ）8 43
例2：如图是反比例函数 y m 5的图象一支，根
据图象回答下列问题 ：
x
（1）图象的另一支在哪个象限？常数m的取值
填表 分析 正比 例函 数和 反比 例函 数的 区别
函数 解析式
图象形 状
K>0
K<0
正比例函数
y=kx ( k≠0 )
反比例函数
y
=
k x
( k是常数,k≠0 )
直线
双曲线
位 一三 置 象限
增 减 y随x的增大而增大 性
位 二四 置 象限
增 减 y随x的增大而减小 性
一三象限 y随x的增大而减小 二四象限 y随x的增大而增大
变化? (2)点B(3，4)、C( 函数的图象上？
2
1 2
,
）4 54和D（2，5）是否在这个
（２）把点Ｂ、Ｃ和Ｄ的横坐标代入 y 12 ，可知点Ｂ、 x
点Ｃ，点D的纵坐标，点Ｄ的坐标不满足函数关系式，
所以点Ｂ、点Ｃ在函数 y 12 的图象上，点Ｄ不在这个 x
函数的图象上。
1.已知反比例函数y=mxm²-5，它的两个分支分别 在第一、第三象限，求m的值？
∴当ａ＞ａ′时ｂ＜ｂ′
4．如图 26-1-3，是反比例函数 y＝k－2的 x
图象的一个分支，对于给出的下列说法： 图 26-1-3
①常数 k 的取值范围是 k＞2；
②另一个分支在第三象限；
③在函数图象上取点 A(a1 ，b1)和点 B(a2 ，b2)，当 a1 ＞a2 时，则 b1＜b2；
④在函数图象的某一个分支上取点 A(a1，b1)和点 B(a2，b2)， 当 a1＞a2 时，则 b1＜b2.
知识点 3 k 的几何意义(知识拓展) 【例 3】 过如图 26-1-4 所示双曲线上任一点 P 作 x 轴、y
轴的垂线 PM、PN，求四边形 PMON 的面积．
解：依题意设函数解析式为
y＝kx(k<0)，P(x，y)． ∵PM⊥x 轴， ∴△PMO 是直角三角形，且 OM＝|x|，PM＝|y|. ∴S△ PMO＝12OM·PM＝12|x||y|＝12|xy|. 又由 y＝kx，有 k＝xy，∴S△ PMO＝12|k|. 同理，可得 S△ PNO＝12|k|. ∴S 四边形 PMON＝S△ PMO＋S△ PNO＝12|k|＋12|k|＝|k|.
(2)当 k<0 时，由于____x_y_____得负，因此可以判断 x，y 的符号__相__反____，所以点(x，y)在_第__二_或__第_四_____象限，所以函数
图象位于___二_、__四____象限． 归纳：反比例函数的图象是_双__曲_线___，它有_两__个__分支．
当 k>0 时，函数图象位于____一_、__三_____象限； 当 k<0 时，函数图象位于____二_、__四_____象限．
y 8 的图象交于A, B两点,且点A的横坐标和点B x
的纵坐标都是 2.
y A 求（1）一次函数的解析式
（2）根据图像写出使一 次函数的值小于反比例函 数的值的x的取值范围。
O
x
B
例4.(成都·中考)如图，已
知反比例函数
与一次函数y=x+b的
图象在第一象限相交于点A（1，-k+4）.
（1）试确定这两个函数的解析式.
范围是什么？
（2）在这个函数图象的某一支上任取点A（a，
b）和B（a′，b′），如果a>a′，那 么b和b′有怎样
的大小关系？
解：（１）反比例函数图象的分布只有两种 可能，分布在第一、第三象限，或者分布在 第二、第四象限。这个函数的图象的一支在 第一象限，则另一支必在第三象限。
∵函数的图象在第一、第三象限
∴ ｍ－５＞０ 解得 ｍ＞５
例2：如图是反比例函数 y m 5的图象一支，根
据图象回答下列问题 ：
x
（1）图象的另一支在哪个象限？常数m的取值
范围是什么？
（2）在这个函数图象的某一支上任取点A（a，
b）和b（a′，b′），如果a>a′，那 么b和b′有怎样
的大小关系？
（２）∵ｍ－５＞０，在这个函数图象 的任一支上，ｙ随ｘ的增大而减小，
关系式是
y
3 x
.
y
p
N
M ox
【跟踪训练】
5．如图 26-1-5 为反比例函数 y＝1x在第一象限的图象，点 A
为此图象上的一动点，过点 A 分别作 AB⊥x 轴和 AC⊥y 轴，垂
足分别为 B，C，则四边形 OBAC 周长的最小值为( A )
A．4 B．3
C．2
D．1
图 26-1-5
解析：要使四边形的周长最小，则需要四边形为正方形，
S2
B
x
D.S1和S2的大小关系不能确定. C D
8.如图,在y 1 (x 0)的图像上有三点A, B,C, x
经过三点分别向x轴引垂线,交x轴于A1, B1,C1三点, 边结OA,OB,OC,记OAA1, OBB1, OCC1的
面积分别为S1, S2, S3,则有 _A_ . y
A.S1 = S2 = S3 B. S1 < S2 < S3 C. S3 < S1 < S2 D. S1 > S2 >S3
其中正确的是 ___①__②__④___(在横线上填出正确的序号)．
1、在反比例函数
y
a2
x
1
的图象上有三点
（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3），若
x1>x2>0>x3，则下列各式中正确的是（ ）
A、yA3>y1>y2 B、y3>y2>y1
C、y1>y2>y3 D、y1>y3>y2
（2）求出这两个函数图象的另一个交点B的坐标，并根
据图象写出反比例函数的值大于一次函数的值的x的取
值范围.
【解析】(1)把A点坐标代入反比例函数解析式得：-k+4=k, 解得k=2,把A（1，2）代入y=x+b 得b=1,∴这两个函数的解析式为： y= 和y=x+1.
(2)由方程组
增大，这部分图象在第 ___三_____象限.
5.函数 y =(2m+1)xm2+2m-16, y 随 x 的减小而增大，
则m= _3___.
例1:已知反比例函数的图象经过点A(2，6).
(1)这个函数的图象分布在哪些象限?y随x的增大如何
变化? (2)点B(3，4)、C( 函数的图象上？
2
1 2
y= 2 x
解得
y=x+1
xy11
=1 =2
,
xy22
=-2 =-1
∴B点的坐标为(-2,-1).
由图象得反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围是：
0＜x＜1或x＜-2.
3.（江津·中考）已知如图，A是反比例函 数 y= k 的图象上的一点，AB⊥x轴于点B，
x
且△ABO的面积是3，则k的值是（ ） (A)3 (B)-3 (C)6 (D)-6
图 26-1-4
若 P 在第四象限，或双曲线在第一、三象限， 则同样有 S k 四边形PMON＝| |.
因此 k 的几何意义为：过双曲线上任意一点作 x 轴、y 轴的 垂线，所得的四边形的面积为|k|.
2.如图,点P是反比例函数 y 2 图象上 x
的一点,PD⊥x轴于D.则△POD的面积 为 1.
图 26-1-6
6如.(图武:A汉、市 C是2函0数00年 y )1x的图象上任意两点， 过A作 x轴的 垂线, 垂 足为B .过C 作 y轴的 垂线,
九年级数学下册教学课件 反比例函数的图象和性质(2个课时)
26.1.2 反比例函数的图象和性质第1课时 反比例函数的图象和性质1．会用描点的方法画反比例函数的图象；(重点) 2．理解反比例函数图象的性质．(重点，难点)一、情境导入已知某面粉厂加工出了4000吨面粉，厂方决定把这些面粉全部运往B 市．则所需要的时间t (天)和每天运出的面粉总重量m (吨)之间有怎样的函数关系？你能在平面直角坐标系中画出这个图形吗？二、合作探究探究点一： 反比例函数的图象 【类型一】 反比例函数图象的画法作函数y ＝4x的图象．解析：根据函数图象的画法，进行列表、描点、连线即可． 解：列表：描点、连线：方法总结：作图的一般步骤为：①列表；②描点；③连线；④注明函数解析式． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第4题 【类型二】 反比例函数与一次函数图象位置的确定在同一坐标系中(水平方向是x 轴)，函数y ＝kx和y ＝kx ＋3的图象大致是( )解析：A.由函数y ＝kx的图象可知k ＞0与y ＝kx ＋3的图象中k ＞0且过点(0，3)一致，故A 选项正确；B.由函数y ＝kx 的图象可知k ＞0与y ＝kx ＋3的图象中k ＞0且过点(0，3)矛盾，故B 选项错误；C.由函数y ＝kx 的图象可知k ＜0与y ＝kx ＋3的图象中k ＜0且过点(0，3)矛盾，故C 选项错误；D.由函数y ＝kx 的图象可知k ＞0与y ＝kx ＋3的图象中k ＜0且过点(0，3)矛盾，故D 选项错误．故选A.方法总结：解答此类问题时，通常先根据双曲线图象所在的象限确定k 的符号，再确定一次函数的系数及经过的点是否也符合图案，如果符合，可能正确；如果不符合，一定错误．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第2题 【类型三】 实际问题中函数图象的确定若按x L/min 的速度向容积为20L 的水池中注水，注满水池需y min.则所需时间y min与注水速度x L/min 之间的函数关系用图象大致可表示为( )解析：∵水池的容积为20L ，∴xy ＝20，∴y ＝20x(x ＞0)，故选B.方法总结：解答此类问题要先根据题意列出反比例函数关系式，然后依据实际情况确定函数自变量的取值范围，从而确定函数图象．【类型四】 反比例函数图象的对称性若正比例函数y ＝－2x 与反比例函数y ＝kx图象的一个交点坐标为(－1，2)，则另一个交点坐标为( )A ．(2，－1)B ．(1，－2)C ．(－2，－1)D ．(－2，1)解析：∵正比例函数y ＝－2x 与反比例函数y ＝kx 的图象均关于原点对称，∴两函数的交点也关于原点对称．∵一个交点的坐标是(－1，2)，∴另一个交点的坐标是(1，－2)．故选B.方法总结：反比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴是一、三(或二、四)象限角平分线所在的直线，对称中心是坐标原点．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题 探究点二：反比例函数的性质【类型一】 根据解析式判定反比例函数的性质已知反比例函数y ＝－2x，下列结论不正确的是( )A ．图象必经过点(－1，2)B ．y 随x 的增大而增大C ．图象分布在第二、四象限D ．若x ＞1，则－2＜y ＜0解析：A.(－1，2)满足函数解析式，则图象必经过点(－1，2)，命题正确；B.在第二、四象限内y 随x 的增大而增大，忽略了x 的取值范围，命题错误；C.命题正确；D.根据y ＝－2x的图象可知，在第四象限内命题正确．故选B. 方法总结：解答此类问题要熟记反比例函数图象的性质． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第1题 【类型二】 根据反比例函数的性质判定系数的取值范围在反比例函数y ＝1－kx的每一条曲线上，y 都随x 的增大而减小，则k 的值可以是( )A ．－1B ．3C ．1D ．2解析：∵反比例函数y ＝1－kx 的图象在每一条曲线上，y 都随x 的增大而减小，∴1－k＞0，解得k ＜1.故选A.方法总结：对于函数y ＝kx ，当k ＞0时，其图象在第一、三象限，在每个象限内y 随x的增大而减小；当k ＜0时，在第二、四象限，在每个象限内y 随x 的增大而增大，熟记这些性质在解题时能事半功倍．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题 三、板书设计1．反比例函数的图象：双曲线既是轴对称图形又是中心对称图形． 2．反比例函数的性质：(1)当k ＞0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每个象限内y 值随x 值的增大而减小；(2)当k ＜0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每个象限内y 值随x 值的增大而增大．通过引导学生自主探索反比例函数的性质，全班学生都能主动地观察与讨论，实现了在学习中让学生自己动手、主动探索、合作交流的目的．同时通过练习让学生理解“在每个象限内”这句话的必要性，体会数学的严谨性.第2课时 反比例函数的图象和性质的综合运用1．使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质；(重点)2．深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法；(重点)3．探索反比例函数和一次函数、几何图形以及图形面积的综合应用．(难点)一、情境导入如图所示，对于反比例函数y ＝kx (k >0)，在其图象上任取一点P ，过P 点作PQ ⊥x轴于Q 点，并连接OP .试着猜想△OPQ 的面积与反比例函数的关系，并探讨反比例函数y ＝kx (k ≠0)中k值的几何意义．二、合作探究探究点一：反比例函数解析式中k 的几何意义如图所示，点A 在反比例函数y ＝kx的图象上，AC 垂直x 轴于点C ，且△AOC 的面积为2，求该反比例函数的表达式．解析：先设点A 的坐标，然后用点A 的坐标表示△AOC 的面积，进而求出k 的值．解：∵点A 在反比例函数y ＝k x 的图象上，∴x A ·y A ＝k ，∴S △AOC ＝12·k ＝2，∴k ＝4，∴反比例函数的表达式为y ＝4x.方法总结：过双曲线上任意一点与原点所连的线段与坐标轴和向坐标轴作垂线所围成的直角三角形的面积等于|k |的一半．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题 探究点二：反比例函数的图象和性质的综合运用 【类型一】 利用反比例函数的性质比较大小若M (－4，y 1)、N (－2，y 2)、P (2，y 3)三点都在函数y ＝kx(k ＜0)的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为( )A ．y 2＞y 3＞y 1B ．y 2＞y 1＞y 3C ．y 3＞y 1＞y 2D ．y 3＞y 2＞y 1解析：∵k ＜0，故反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，且在每个象限内y 随x 的增大而增大．∵M (－4，y 1)、N (－2，y 2)是双曲线y ＝kx (k ＜0)上的两点，∴y 2>y 1>0.∵2＞0，P (2，y 3)在第四象限，∴y 3＜0.故y 1，y 2，y 3的大小关系为y 2＞y 1＞y 3.故选B.方法总结：反比例函数的解析式是y ＝kx (k ≠0)，当k ＜0时，图象在第二、四象限，且在每个现象内y 随x 的增大而增大；当k ＞0，图象在第一、三象限，且在每个象限内y 随x 的增大而减小．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第8题 【类型二】 利用反比例函数计算图形的面积如图，直线l 和双曲线y ＝kx(k ＞0)交于A 、B 两点，P 是线段AB 上的点(不与A 、B 重合)，过点A 、B 、P 分别向x 轴作垂线，垂足分别是C 、D 、E ，连接OA 、OB 、OP ，设△AOC 的面积是S 1，△BOD 的面积是S 2，△POE 的面积是S 3，则( )A ．S 1＜S 2＜S 3B ．S 1＞S 2＞S 3C ．S 1＝S 2＞S 3D ．S 1＝S 2＜S 3解析：如图，∵点A 与点B 在双曲线y ＝k x 上，∴S 1＝12k ，S 2＝12k ，S 1＝S 2.∵点P 在双曲线的上方，∴S 3＞12k ，∴S 1＝S 2＜S 3.故选D.方法总结：在反比例函数的图象上任选一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k |2，且保持不变．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第2题 【类型三】 反比例函数与一次函数的交点问题函数y ＝1－kx 的图象与直线y ＝－x 没有交点，那么k 的取值范围是( )A ．k ＞1B ．k ＜1C ．k ＞－1D ．k ＜－1解析：直线y ＝－x 经过第二、四象限，要使两个函数没有交点，那么函数y ＝1－kx 的图象必须位于第一、三象限，则1－k ＞0，即k ＜1.故选B.方法总结：判断正比例函数y ＝k 1x 和反比例函数y ＝k 2x 在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：①当k 1与k 2同号时，正比例函数y ＝k 1x 与反比例函数y ＝k 2x 有2个交点；②当k 1与k 2异号时，正比例函数y ＝k 1x 与反比例函数y ＝k 2x没有交点．【类型四】 反比例函数与一次函数的综合问题如图，已知A (－4，12)，B (－1，2)是一次函数y ＝kx ＋b 与反比例函数y ＝mx(m ＜0)图象的两个交点，AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥y 轴于点D .(1)根据图象直接回答：在第二象限内，当x 取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；(2)求一次函数解析式及m 的值；(3)P 是线段AB 上的一点，连接PC ，PD ，若△PCA 和△PDB 的面积相等，求点P 的坐标．解析：(1)观察函数图象得到当－4＜x ＜－1时，一次函数图象都在反比例函数图象上方；(2)先利用待定系数法求出一次函数解析式，然后把A 点或B 点坐标代入y ＝m x 可计算出m 的值；(3)设出P 点坐标，利用△PCA 与△PDB 的面积相等列方程求解，从而可确定P 点坐标．解：(1)当－4＜x ＜－1时，一次函数的值大于反比例函数的值；(2)把A (－4，12)，B (－1，2)代入y ＝kx ＋b 中得⎩⎪⎨⎪⎧－4k ＋b ＝12，－k ＋b ＝2，解得⎩⎨⎧k ＝12，b ＝52，所以一次函数解析式为y ＝12x ＋52，把B (－1，2)代入y ＝mx中得m ＝－1×2＝－2；(3)设P 点坐标为(t ，12t ＋52)，∵△PCA 和△PDB 的面积相等，∴12×12×(t ＋4)＝12×1×(2－12t －52)，即得t ＝－52，∴P 点坐标为(－52，54)．方法总结：解决问题的关键是明确反比例函数与一次函数图象的交点坐标所包含的信息．本题也考查了用待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题 三、板书设计1．反比例函数中系数k 的几何意义； 2．反比例函数图象上点的坐标特征； 3．反比例函数与一次函数的交点问题．本节课主要是要注重提高学生分析问题与解决问题的能力．数形结合思想是数学学习的一个重要思想，也是我们学习数学的一个突破口．在教学中要加强这方面的指导，使学生牢固掌握基本知识，提升基本技能，提高数学解题能力.。
人教版初中数学九年级下册26.1.2《反比例函数的图象和性质》优质课件
K﹤0，二、四象 限
y 0x
当k>0时,在每一象限 内,y随x的增大而减小
当k﹤0时,在每一象限 内,y随x的增大而增大
双曲线的两支无限靠近坐标轴，但无交点
既是轴对称图象也是中心对称图形 与 的图象关于x轴对称,也关于y轴对称
一
、
函数
正比例函数
反比例函数
正 比
解析式
y=kx ( k≠0 )
y=
k x
(按自变量从小到大的顺序,用一条平滑的 曲线连接起来).
反比例函数的图象又会是什么样子 呢？它又有哪些性质呢？
合作探究 达成目标
活动一
画出反比例函数 y =
6 x
和y=
6 x
的函数图象。
函数图象画法
描点法
列 表
描 点
连 线
x
y
=
6 x
y=
6 x
x … -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 …
拓展提高
1、已知反比例函数 y 4 k x
(1)若函数的图象位于第一、三象限，
则k_<__4___;
(2)若在每一象限内，y随x增大而增大， 则k__>_4___.
2、 反比例函数 y k 2 1 （K为常数）
图象位于（C ）
x
Ａ．第一、二象限 Ｂ．第一、三象限
Ｃ．第二、四象限 Ｄ．第三、四象限
这样也便于求y值。 （2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取 一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象
更精确。
x … -6 -5 -4 -3 -2
y
=
6 x
…
-1 -1.2 -1.5 -2
26.1.2反比例函数的图像与性质 (教学课件)- 初中数学人教版九年级下册
典例精析例4如下图，它是反比例函数 图象的一支，根据图象，回答下列问题：(1)图象的另一支位于哪个象限?常数 m 的取值范围是什么?(2)在这个函数图象的某一支上任取点 A(x₁,y₁) 和点B(x₂,y₂), 如果x₁>X₂, 那么 y₁ 和 y₂有怎样的大小关系? o A
3.反比例函 的图象如图所示，则k<_0, 在图象的每一支上，y 随 x 的增大而增 大4.如图，M 为反比例函 图象上的一点，MA 垂直y轴，垂足为A,△MAO 的面积为2,则k的 值 为 4 .
yA M0
642o5-2-6
5X
课堂练习
3
课堂练习5.已知一次函数y=kx+b 的图象与反比例函 图象交于点A(3, 司),点B(14-2a,2).(1)求反比例函数的解析式；(2)若一次函数图象与y 轴交于点C, 点 D 为点C 关于原点O 的对称点，求△A CD 的面 积 . yAC ABO X
可得 解 故一次函数的解析式为
●
课堂练习∵当x=0 时 ，y=6,C(0,6)..OC=6. ∵点D 为点C关于原点O 的对称点， ∴CD=20C=12.
板书设计反比例函数的图象和性质1.反比例函数的性质：反比例函 的图象，当k>0 时，图象位于第一、三象限， 在每一象限内，y 的值随x的增大而减小；当k<0 时，图象位于第二、四象限，y 的 值随x的增大而增大.2.双曲线的两条分支逼近坐标轴但不可能与坐标轴相交。3.反比例函数的图象是一个以原点为对称中心的中心对称图形.4. 在反比例函数 的图象上任取一点，分别作坐标轴的垂线(或平行线), 与 坐标轴所围成的矩形的面积S矩形=|k|.
典例精析解：(1)反比例函数的图象只有两种可能：位于第一、第三象限，或 者位于第二、第四象限.因为这个函数的图象的一支位于第一象限，所以另 一支必位于第三象限.因为这个函数的图象位于第一、第三象限，所以m-5>0解 得 m>5.( 2 ) 因 为m-5>0, 所以在这个函数图象的任一支上，y 都随x 的增大而减小，因此当X₁>X₂ 时 ，y₁<y₂.
人教版九年级数学下册第二十六章：26.1.2 反比例函数的图像和性质 优秀课件
-4
-6
-8
当k>0时,两支双曲线分 位于第一,三象限内; 当k<0时,两支双曲线分别 位于第二,四象限内;
反比例函数的图象和性质： 1.反比例函数的图象是双曲线; 2.图象性质见下表： k y= K>0 K<0
x
图 象
当k＞0时，函数图象 的两个分支分别在第 一、三象限，在每个 象限内，y随x的增大 而减小. 当k＜0时，函数图象 的两个分支分别在第 二、四象限，在每个 象限内，y随x的增大 而增大.
一、复习引入
反比例函数的定义：
一般地,形如 (k是常数,k≠0)的函数, 叫做反比例函数。其中, x是自变量,y是函 数.自变量x的取值范围是不等于0的一切实 数.
反比例函数的三种表达式：
① ② ③
1、过点（2，5）的反比例函数的解析 10 式是： y x . 2、一次函数y=2x-1的图象 是 一条直线 ，y随x的增大而 增大. 3、用描点法作函数图象的步骤：
y
4 C（-3,y3)是 y B（5,y2)是反比例函数 x
数形结合
图
⑴代入求值
y1 y2 y3
A
2
⑵利用增减性
B
5
-3
⑶根据图象判断
x
O
C
7、若点（-2，y1）、（-1，y2）、（2，y3）在
100 反比例函数 y = 的图象上，则（ x
B
）
A、y1>y2>y3
C、y3>y1>y2
B、y2>y1>y3
x
标系中的 图象可能是 D
y o x y o x
:
y o x y o x
(A)
(B)
26.1.2反比例函数的图像和性质第2课时
D
3.(2003 年成都) 如图,已知一次函数y kx b的图象与反比例函数 8 y 的图象交于A, B两点, 且点A的横坐标和点B x 的纵坐标都是 2. y
求（1）一次函数的解析式 （2）根据图像写出使一 次函数的值小于反比例函 数的值的x的取值范围。
A
3 y 关系式是 x .
p
yNo x NhomakorabeaM
6 .(武 汉 市 2000年 )1 如图:A、C是函数 y x 的图象上任意两点， 过 A作 x 轴 的 垂线 , 垂 足为 B. 过 C作y 轴 的 垂线 , 垂 足为 D. 记 R tΔ A O B 的 面积 为 S1 , y R tΔ O C D 的 面积 为 S2 , 则 _C __.
y P(m,n) y P(m,n) o A x
o
A
x
2 2.如图,点P是反比例函数 y 图象上 x 的一点,PD⊥x轴于D.则△POD的面积
为 1 .
S△POD
1 = OD· PD 2
1 = 2
y
m n
P (m,n)
o
1 = k 2
D
x
3.如图,点P是反比例函数图象上的一
点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,若阴 影部分面积为3,则这个反比例函数的
O B
x
1.通过本节课的学习，你有什么收 获？还有什么困惑吗？ 2.你对自己本节课的表现满意吗？ 为什么？
数缺形时少直觉， 形少数时难入微．
下课!
课堂作业：课本 家庭作业：练习册
人人学有用的数学， 有用的数学应当人人所学； 人人学有价值的数学，
人人都能获得必需的数学；
不同的人学不同的数学，
26.1.2反比例函数的图像和性质(第二课时)
3 （2）已知 x1，y1 和 x2，y2 是反比例函数 y 的两对自变 x 量与函数的对应值．若 x1 x2 0，则 0 > y1 > y2．
3.已知点 A(x ,y ),B(x ,y )且x ＜0＜x 1 1 2 2 1 2 都在反比例函数 y k (k＜0) 的图象上,
则y1与y2的大小关系(从大到小)
积为1
.
S△POD
1 = OD· PD 2
1 = 2
y
m n
P (m,n)
o
1 = k 2
D
x
2.如图,点P是反比例函数图象上的一
点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,若阴 影部分面积为3,则这个反比例函数的
3 y 关系式是 x .
p
y
N
o x
M
6 .(武 汉 市 2000年 ) 1 如图:A、C是函数 y x 的图象上任意两点， 过 A作 x 轴 的 垂线 , 垂 足为 B. 过 C作y 轴 的 垂线 , 垂 足为 D. 记 R tΔ A O B 的 面积 为 S1 , y R tΔ O C D 的 面积 为 S2 , 则 _C __.
解：（１）这个函数的图象的一支在第一象 限，则另一支必在第三象限。 ∵函数的图象在第一、第三象限 ∴ ｍ－５＞０ 解得 ｍ＞５
m5 y x
例2：如图是反比例函数 的图象一支， 根据图象回答下列问题 ： （1）图象的另一支在哪个象限？常数m的取值 范围是什么？ （2）在这个函数图象的某一支上任取点A（a， b）和b（a′，b′），如果a>a′，那 么b和b′有怎 样的大小关系？
的图象上有三 点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）， 若x1>x2>0>x3，则下列各式中正确的是 （ A ） A、y3>y1>y2 B、y3>y2>y1 C、y1>y2>y3 D、y1>y3>y2
九年级数学26.1.2反比例函数的图像和性质课件
同理，反比例函数的图像与y轴也没有交点。
与坐标轴的位置关系
反比例函数的图像总是无限接近于坐标轴，但永远不会与 坐标轴相交。这是因为当x趋近于0时，y的值会趋近于无 穷大或无穷小，但永远不会等于0。
04
反比例函数在实际问题中应用举例
面积问题建模与求解
矩形面积问题
给定矩形的面积和一边的长度，求另 一边的长度，可以通过反比例函数建 立数学模型进行求解。
列表法绘制步骤
列出函数值
在自变量的取值范围内，选取一 些具有代表性的点，计算出对应 的函数值$y$。
绘制表格
将自变量和对应的函数值列成表 格，方便后续绘图。
描点
在坐标系中，根据表格中的自变 量和函数值，描出对应的点。
确定自变量的取值范围
根据题目要求或实际情况，确定 自变量$x$的取值范围。
连线
用平滑的曲线将描出的点连接起 来，得到反比例函数的图像。
。
02
对称变换
反比例函数的图像关于原点对称，即如果点$(x, y)$在图像上，则点$(-
x, -y)$也在图像上。
03
伸缩变换
当反比例函数的比例系数$k$发生变化时，图像会进行相应的伸缩变换
。具体来说，当$k$增大时，图像会向坐标轴靠近；当$k$减小时，图
像会远离坐标轴。
03
反比例函数性质分析
增减性判断方法
描点法绘制技巧
合理选择描点
在自变量的取值范围内，合理选 择一些具有代表性的点进行描点 ，这些点应该能够反映出函数的
变化趋势。
注意坐标轴的比例
在绘图时，要注意坐标轴的比例， 确保图像的准确性。
用平滑的曲线连接
在连接描出的点时，应该用平滑的 曲线连接，而不是折线。
《反比例函数的图象和性质》反比例函数PPT教学课件(第2课时)
x
（2）设B点坐标为（a，b），如图，作AD⊥BC于D，则D（2，b）
∵反比例函数
y6 x
的图象经过点B（a，b），
∴
b
巩固练习
如图，直线y=k1x+b与双曲线
y k2 x
交于A、B两点，
其横坐标分别为1和5，则不等式
k1x
b
k2 x
的解集
是__1_＜__x_＜__5_．
探究新知
考点 3 利用函数的交点解答问题
已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点 P (－3，4).
试求出它们的解析式，并画出图象.
解：设 y=k1x 和
S1的值
4
S2的值
4
S1与S2 的关系
S1=S2
猜想 S1，S1=S2=k S2 与 k 的关系
探究新知
若在反比例函数 y 4 中也用
x
同样的方法分别取 P，Q 两点，填 写表格：
y
P Q
SS21
y 4 x
O
x
S1的值 S2的值
S1与S2 的关系
猜想与k 的关系
P (－1，4) Q (－2，2)
巩固练习
反比例函数
y 12的图象与正比例函数
x
y = 3x 的图象的
交点坐标为 (2，6)，(－2，－6) ．
解析：联立两个函数解析式解方程得：
解得：
x1 y1
2 6
y 12 x y 3x
x2 2
y2
6
链接中考
1.如图，矩形OABC的顶点B在反比例函数 y kx（x＞0）的图 象上 S矩形OABC ＝6，则k＝ 6 ．
探究新知 知识点 3
反比例函数中k的几何意义
26.1.2反比例函数的图像和性质课件(共31张PPT)
(1)y 2 (2)y 2x
3x
3
(5)y 2x 3
(3)y 2 3x
(4)y 2x 3
2、如图，这是下列四个函数中哪一个函数的图象
（A）y=5x （B）y=2x+3
（C） y 4 x
（D） y 3 x
练一练 2
已知反比例函数 y 4 k x
-6
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 -1
23 4
5
6x
-2
的特征？
-3
-4
-5
再让我们仔细看看，这两个
-6
函数图象在位置上有什么关系？
操作二：
比一比：
同桌两人分别画出函数 y 8 , y 8 或
x
x
的图象，看谁画得又快又好．
y 3,y3
x
x
找一找： 根据大家所画出的函数图象，从以下几个方面出发，你
增减性 当k>0时,在每一象限内,y随x的增大而减小;
当k<0时,在每一象限内,y随x的增大而增大.
图象的发展趋势
反比例函数的图象无限接近于x,y轴,但永远不能到达x,y轴
对称性 ⑴反比例函数的图象是轴对称图形.直线y=x和y=-x
都是它的对称轴； ⑵反比例函数 y 与k
x
轴对称。
y 的 k图象关于x轴对称,也关于y
速度x(km/h)的函数，则这个函数的图象大致是（ C ）
思前想后
２﹑已知 k<0, 则函数 y1=kx,y2=
k
x
在
同一坐标系中的图象大致是 ( D )
y
y
(A)
(B)
x
0
x
初中九年级数学下册人教版26.1.2_反比例函数的图象和性质(2) (1)ppt课件
y
A 求（1）一次函数的解析式
（2）根据图像写出使一 次函数的 值小于反比例函数的值的x的取值范 围。
O
x
B
y
y
B
P(m,n)
o
A
x
B
P(m,n)
o
A
x
1.如图,点P是反比例函数图象上的一点,过点P分别 向x轴、y轴作垂线,若阴影部分面积为3,则这个反 比例函数的
关系式是
y
.
3 x
y
p
N
M
ox
2. 点P是反比例函数图象上的一点,过点P分别向x 轴、y轴作垂线,若阴影部分面积为3,则这个反比例 函数的
B
x
A、（ ，4 ） 3 B、（ ， ） 4 3
3
2
32
C、（ 3， ） 4 D、（ ， ）3
8
4
3
4
3
3、反比例函数
y的图kx象经过点（2，5），若点
（1，n）在反比例函数图象上，则n等于（ ）
A、10 B、5 C、2 DA、-6
例2：如图是反比例函数 列问题 ：
的y 图m象一5支，根据图象回答下
(A)
3.设x为一切实数，在下列函数中，
当x减小时，y的值总是增大的函数 (C)
是( )
C
(A) y = -5x -1 ( B)y =
x 2
(C)y=-2x+2； (D)y=4x.
y
0
x (B)
y
0
x (D)
y
0
(B)
x
y
0
x (D)
y
0
x
y
0
x
y