利用换元法解方程组
三元一次方程组及其解答-重难点题型(融会贯通)(沪科版)(学生版)
专题3.10 三元一次方程组及其解答-重难点题型【沪科版】【题型1 三元一次方程组的解】【例1】（2022春•零陵区期末）若二元一次方程组{2x +y =33x −y =2的解同时也是方程2x ﹣my ＝﹣1的解，那么m 的值为（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．3D ．4【变式1-1】（2022春•梁平区期末）三元一次方程组{2x =3y =6zx +2y +z =16的解是（ ）A ．{x =1y =3z =5B ．{x =6y =3z =2C ．{x =6y =4z =2D ．{x =4y =5z =6【变式1-2】（2022•坪山区模拟）若二元一次方程3x ﹣y ﹣7＝0，2x +3y ﹣1＝0和2x +y ﹣m ＝0有公共解，则m 的取值为（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．3D ．4【变式1-3】（2022春•高新区期末）如果方程组{x =4ax +by =5的解与方程组{y =3bx +ay =2的解相同，则a +b＝ ．【题型2 用消元法解三元一次方程组】【例2】（2022春•宝山区期末）解方程组：{x −y +z =04x +2y +z =325x +5y +z =60．【变式2-1】（2022春•松江区期末）解方程组：{3x +4y +z =14x +5y +2z =172x +2y −z =3．【变式2-2】（2022春•新抚区期末）解方程组：{x +2y +z =82x −y −z =−33x +y −2z =−1．【变式2-3】（2022•浙江自主招生）解方程组{x(y +z)=2.5，(y −1)(z +x +1)=9.5，(z +1)(x +y −1)=11.【题型3 用换元法解三元一次方程组】 【例3】（2022春•南陵县期末）已知：a3=b 5=c7，且3a +2b ﹣4c ＝9，则a +b +c 的值等于 ．【变式3-1】（2022•晋江市模拟）已知方程组{x +y −5z =0x −y +z =0，则x ：y ：z ＝ ．【变式3-2】（2022秋•静安区月考）已知x+y 2=z+y 3=x+z 4，那么代数式x−2y+z 2x−y+z= ．【变式3-3】解方程组：{x 2=y 3=z 4①2x +y +z =22②方程组中的①式实际包含三个等式：x2=y 3，x2=z4，y 3=z4，只需任取其中两个（另一个通过这两个代换即可得），便可以与②式联立成三元一次方程组，如{3x =2y4y =3z 2x +y +z =22，然后用一般方法求解．对原方程组也可以用换元的方法来求解．令x2=y 3=z 4=k ，则有x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k ③，把③代入②，得4k +3k +4k＝22，解得k ＝2，所以x ＝4，y ＝6，z ＝8，所以原方程组的解为{x =4y =6z =8．借鉴上述“换元法”，解方程组{x+12=y+23=z+342x +3y −z =13．【题型4 构建三元一次方程组解题】【例4】（2022秋•邛崃市期末）当x ＝﹣2时，代数式ax 2+bx +c 的值是5；当x ＝﹣1时，代数式ax 2+bx +c 的值是0；当x ＝1时，代数式ax 2+bx +c 的值是﹣4；则当x ＝2时，代数式ax 2+bx +c 的值是 ．【变式4-1】（2022春•和平区期末）在等式y ＝ax 2+bx +c 中，当x ＝﹣1时，y ＝0；当x ＝2时，y ＝3；当x＝5时，y ＝60，则a ＝ ，b ＝ ，c ＝ ．【变式4-2】（2022春•海口期末）在等式y ＝ax 2+bx +c 中，当x ＝﹣1时，y ＝0；当x ＝5时，y ＝60；当x ＝0时，y ＝﹣5．求a 2+2ab +c 2的值．【变式4-3】（2022春•崇川区校级月考）已知y ＝ax 2+bx +c ，当x ＝1时，y ＝8；当x ＝0时，y ＝2；当x ＝﹣2时，y ＝4． （1）求a ，b ，c 的值； （2）当x ＝﹣3时，求y 的值．【题型5 运用整体思想求值】【例5】（2022•苏州一模）阅读材料：善于思考的小明在解方程组{4x +10y =6①8x +22y =10②时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下：解：将方程②8x +20y +2y ＝10，变形为2（4x +10y ）+2y ＝10③，把方程①代入③得，2×6+2y ＝10，则y ＝﹣1；把y ＝﹣1代入①得，x ＝4，所以方程组的解为：{x =4y =−1请你解决以下问题：（1）试用小明的“整体代换”的方法解方程组{2x −3y =7①6x −5y =11②（2）已知x 、y 、z ，满足{3x −2z +12y =47①2x +z +8y =36②试求z 的值．【变式5-1】（2022春•金坛区期末）若2x +y +z ＝10，3x +y +z ＝12，则x +y +z ＝ ． 【变式5-2】阅读以下材料：若x +3y +5z ＝5，x +4y +7z ＝7，求x +y +z 的值．解：x +y +z ＝3（x +3y +5z ）﹣2（x +4y +7z ）＝3×5﹣2×7＝1． 答：x +y +z 的值的为1．根据以上材料提供的方法解决如下问题：若2x +5y +4z ＝6，3x +y ﹣7z ＝﹣4，求x +y ﹣z 的值．【变式5-3】（2022春•鼓楼区期中）解二元一次方程组的关键是“消元”，即把“二元”转化为“一元”，同样，我们可以用“消元”的方法解三元一次方程组．下面，我们就来解一个三元一次方程组：解方程组{x +y +z =2，①2x +3y −z =8，②3x −2y +z =3，③小曹同学的部分解答过程如下： 解： + ，得3x +4y ＝10，④+ ，得5x +y ＝11，⑤ 与 联立，得方程组 {3x +4y =10，④5x +y =11，⑤（1）请补全小曹同学的解答过程：（2）若m 、n 、p 、q 满足方程组{m +n +p +q =42(m +n)+3p −q =163(m +n)−2p +q =6，则m +n ﹣2p +q ＝ ．【题型6 三元一次方程组的应用】【例6】汽车在平路上每小时行30千米，上坡时每小时行28千米，下坡时每小时行35千米，现在行驶142千米的路程用去4小时30分钟，回来使用4小时42分钟，问这段路中平路有多少千米？去时上、下坡各有多少千米？【变式6-1】某单位职工在植树节时去植树，甲、乙、丙三个小组共植树50株，乙组植树的株数是甲、丙两组的和的14，甲组植树的株数恰是乙组与丙组的和，问每组各植树多少株？【变式6-2】如图中的□、△、○分别代表一个数字，且满足以下三个等式： □+□+△+○＝17 □+△+△+○＝14 □+△+○+○＝13，则□、△、○分别代表什么数字？并说明理由．【变式6-3】（2022春•乐清市期末）为了推动我市消费市场快速回暖，加快消费水平复苏和振兴，市人民政府决定，举办“春暖瓯越•温享生活”消费券多次投放活动，每期消费券共可减68元，共5张，其中A 型1张，B 型2张，C 型2张，如下表：A 型B 型C 型 满168元减38元满50元减10元满20元减5元在此次活动中，小明父母领到多期消费券．（1）若小明妈妈用三种不同类型的消费券共减了199元，已知她用了3张A 型消费券，5张B 型的消费券，则用了 7 张C 型的消费券．（2）若小明父母使用消费券共减了230元．①若他们用12张三种不同类型的消费券消费，已知C型比A型的消费券多1张，请求出他们用这三种不同类型的消费券各多少张？②若他们共领到6期消费券（部分未使用），用A，B，C型中的两种不同类型的消费券消费，直接写出他们使用哪两种消费券各多少张．。
用换元法解二元一次方程组课件
换元法适用于难以直接消元或代 入的二元一次方程组，尤其在方 程组系数复杂或无线性关系时更
具优势。
优点
简化计算过程，降低计算的复杂度 ，有时可以化难为易，快速找到答 案。
缺点
需要一定的技巧来选择合适的换元 方式，且对于初学者可能较难理解 和掌握。
06 练习题与答案解析
练习题
01
02
03
题目1
例题1
解方程组$left{ begin{array}{l} x + y = 7 xy = 10 end{array} right.$
例题2
解方程组$left{ begin{array}{l} x - y = 3 x^{2} - y^{2} = 9 end{ar意事项
在二元一次方程组中，换元法通常用 于消去一个变量，将方程组转化为一 个一元一次方程，从而求解。
换元法的应用场景
当二元一次方程组中存在两个未知数，且其中一个未知数的系数相同或互为相反 数时，可以使用换元法简化求解过程。
当二元一次方程组中存在一个未知数的系数相同或互为相反数时，也可以使用换 元法简化求解过程。
01
02
03
04
技巧1
选择新变量时要考虑消元的效 果，尽量选择系数较大的变量
作为新变量。
技巧2
在代回原方程求解时，要注意 验证解的合理性，避免出现不
符合原方程的解。
注意事项1
换元法适用于系数较为简单的 方程组，对于系数复杂或无解 的情况，需要采用其他方法。
注意事项2
在解题过程中要细心，避免计 算错误导致解不正确。
解方程组$left{ begin{array}{l} x + y = 7 xy = 10 end{array} right.$
二元一次方程组的化简技巧有哪些
二元一次方程组的化简技巧有哪些在数学的学习中，二元一次方程组是一个重要的知识点。
能够熟练掌握二元一次方程组的化简技巧，可以帮助我们更轻松、更高效地解决相关问题。
下面就来给大家详细介绍一些常见且实用的二元一次方程组化简技巧。
一、代入消元法代入消元法是解决二元一次方程组较为常用的方法之一。
它的基本思路是：从方程组中选取一个方程，将其中一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，然后将这个代数式代入另一个方程，从而消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程。
例如，对于方程组：＼＼begin{cases}x ＋ y ＝ 5 ＼＼2x y ＝ 1＼end{cases}＼我们可以由第一个方程得到＼（x ＝ 5 y\），然后将＼（x ＝ 5 y\）代入第二个方程＼（2x y ＝ 1\）中，得到：＼＼begin{align}2(5 y) y ＆＝ 1 ＼＼10 2y y ＆＝ 1 ＼＼10 3y ＆＝ 1 ＼＼－3y ＆＝ 1 10 ＼＼－3y ＆＝－9 ＼＼y ＆＝ 3＼end{align}＼再将＼（y ＝ 3\）代入＼（x ＝ 5 y\），可得＼（x ＝ 5 3 ＝2\）。
在使用代入消元法时，关键是要选择一个方程，将其中一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来。
一般来说，选择系数较简单的方程，并且选择系数为1 或－1 的未知数进行表示，这样计算会更简便。
二、加减消元法加减消元法也是二元一次方程组化简的重要方法。
它的核心思想是：通过将方程组中的两个方程相加或相减，消去一个未知数，从而将二元一次方程组转化为一元一次方程。
比如，对于方程组：＼＼begin{cases}3x ＋ 2y ＝ 12 ＼＼5x 2y ＝ 4＼end{cases}＼观察两个方程，发现＼（y\）的系数分别为＼（2\）和＼（－2\），将两个方程相加，可以消去＼（y\），得到：＼＼begin{align}（3x ＋ 2y) ＋（5x 2y) ＆＝ 12 ＋ 4 ＼＼3x ＋ 5x ＆＝ 16 ＼＼8x ＆＝ 16 ＼＼x ＆＝ 2＼end{align}＼把＼（x ＝ 2\）代入第一个方程＼（3x ＋ 2y ＝ 12\），可得＼（3×2 ＋ 2y ＝ 12\），解得＼（y ＝ 3\）。
换元法解分式方程
三角函数
在处理三角函数相关的数学问题 时，换元法可以帮助我们将三角 函数转化为更易于处理的代数问
题。
换元法的历史与发展
历史
换元法的思想可以追溯到古代中国的数学家们。在《九章算术》等古代数学著作中，就已经出现了换 元法的思想。随着数学的发展，换元法逐渐成为一种重要的数学方法，被广泛应用于各种数学问题中 。
02
确定新变量与原方程中未知数的 关系。
替换原方程中的未知数
将原方程中的未知数用新变量表示出 来。
将所有含有未知数的项都替换为新变 量。
化简方程
对替换后的方程进行化简，以便更容易地解出新变量的值。 可以使用代数方法，如合并同类项、提取公因式等。
解出新变量的值
解出新变量的值，通常需要对方程进行因式分解或使用求根 公式。
实例三：二元一次方程组的换元法解法
总结词
通过换元法将二元一次方程组转化为更简单的形式，便于求解。
详细描述
对于形如 $begin{cases} x + y = a x - y = b end{cases}$ 的二元一次方程组，可以通 过换元法将其转化为 $begin{cases} t_1 + t_2 = a t_1 - t_2 = b end{cases}$ 的形式， 其中 $t_1 = x, t_2 = y$。这样可以将二元一次方程组转化为更简单的形式，便于求解。
考虑特殊情况
对于某些分式方程，需要考虑特殊情况或边 界条件，以确保解的完整性和准确性。例如， 当分母接近零或变量取极大/极小值时，可 能需要额外验证解的合理性。
பைடு நூலகம்5
换元法与其他解法的比 较
与因式分解法的比较
因式分解法适用于解整式方程，通过 将方程的左边和右边都化为0，然后 对左边或右边的多项式进行因式分解， 从而求解方程。而换元法主要用于解 分式方程，通过引入新的变量来简化 原方程，适用于无法直接因式分解或 化简的复杂分式方程。
分式二元一次方程组的解法
分式二元一次方程组的解法
分式二元一次方程组是指由两个分式方程组成的方程组，其中每个方程中含有两个未知数，且未知数的次数都是1。
下面是几种常见的解法：
一、代入消元法
①将一个未知数用含另一未知数的代数式表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。
②这种方法的特点是：先求出一个未知数的值，然后再求出另一个未知数的值。
二、加减消元法
①通过将两个方程相加或相减，消去其中一个未知数，从而得到一个只含有一个未知数的方程。
②这种方法的特点是：直接消去一个未知数，简化方程组的求解。
三、换元法
①通过引入一个新的未知数，将原方程组转化为一个含有三个未知数的方程组，然后再求解这个方程组。
②这种方法的特点是：将分式方程组转化为整式方程组，然后再求解。
需要注意的是，在解分式二元一次方程组时，需要先将分式方程化为整式方程，然后再进行求解。
初中数学：二元一次方程组的几种简便解法
初中数学：二元一次方程组的几种简便解法1、整体代入法整体代入法是用含未知数的表达式代入方程进行消元．有些方程组并不一定能直接应用这种解法，不过，我们可以创造条件进行整体代入．解析：这道题中的系数较繁，按常规方法去解比较麻烦．我们可以先将②式有目的地进行变形，再将①式中的看成一个整体代入求解．由②式可得．化简，得．③将①代入③，得．解得，代入①可得．故方程组的解为2、换元法换元法就是设出一个辅助未知数，分别用含有这个未知数的代数式表示原方程组中未知数的值，把二元一次方程组转化为一元一次方程组进行求解．换元有一定的技巧性．有代数式整体换元，还有设比值换元等多种方法，下面举例说明．解析：我们可以分别尝试整体换元和设比值换元．方法１：设，则．代入②，得．解得．从而可得方程组的解为方法２：设．由①得，所以．③由②得．④③÷④，得．解得．从而可得3、直接加减法直接加减法有别于课本中的加减消元法，它通过将方程组中的方程相加减后把较繁的题目转化得相对简单．解析：若用一般方法去解这个方程组，其复杂程度可想而知，我们采用直接加减法．①＋②，得，即．③①－②，得．④由③④可得4、消常数项法解析：可将两式消去常数项，直接得到与的关系式，而后代入消元．①－②，得，即．将代入②，得，即．从而可得5、相乘保留法解析：去分母时，如果把两数相乘得出结果，不仅数值变大，而且给下面的解题过程带来麻烦，所以有时我们暂时保留相乘的形式．由①，得．③由②，得．④④－③，得．从而可得6、科学记数法当方程组中出现比较大的数字时，可用科学记数法简写．例６、解方程组解析：这个数比较大，可用科学记数法写成．由②，可得．③将①代入③，得．从而可得7、系数化整法若方程组中含有小数系数，一般要将小数系数化为整数，便于运算．解析：利用等式的性质，把①式变形为．③利用分子、分母相除，把②式变形为．④③－④，得．从而可得8、对称法例８、解方程组解析：这个方程组是对称方程组，其特点是把某一个方程中的互换即可得到另一个方程．由对称性可知，则可得解得9、拆数法例９、解方程组解析：我们可以有目的地将常数项进行变形，通过观察得出方程组的解．原方程组可变形为从而可得。
专题 解二元一次方程组(计算题50题)(原卷版)
七年级下册数学《第八章二元一次方程组》专题解二元一次方程组（计算题50题）1．用代入法解下列方程组：（1）x−y=4，3x+y=16；（2）x−y=2，3x+5y=14．2．用代入法解下列方程组：（1）2x−y=33x+2y=8；（2）u+v=103u−2v=5．3．用代入法解下列方程组：（1）3x−y=2，9x+8y=17；（2）3x−4y=10x+3y=12.4．用代入法解下列方程组．（1）x+2y=4y=2x−3；（2）x−y=44x+2y=−2．5．用代入法解下列方程组：（1）5x+4y=−1.52x−3y=4（2）4x−3y−10=03x−2y=06．用代入法解下列方程组：（1）x−y=42x+y=5；（2）3x−y=29x+8y=17；（3）3x+2y=−8 6x−3y=−9．7．用代入法解下列方程组：（1）3x+2y=11，①x=y+3，②（2）4x−3y=36，①y+5x=7，②（3）2x−3y=1，①3x+2y=8，②8．用代入法解下列方程组：（1）5x+2y=15①8x+3y=−1②；（2）3(y−2)=x−172(x−1)=5y−8．9．用代入法解下列方程组：（1）x=6−5y3x−6y=4（2）5x+2y=15x+y=6（3）3x+4y=22x−y=5（4）2x+3y=73x−5y=110．用代入法解下列方程组：（1）2x+y=3x+2y=−6；（2）x+5y=43x−6y=5；（3）2x−y=63x+2y=2；（4）5x+2y=113y−x=−9；1．用加减法解下列方程组：（1）4x−y =143x +y =7 （2x−2y =7x−3y =−82．用加减法解下列方程组：（1）2m +7n =53m +n =−2（2）2u−5v =124u +3v =−2（3y 7=12+y 7=133．用加减法解下列方程组：（1）x−y =52x +y =4；（2）x−2y =33x +4y =−1．4．用加减法解下列方程组：（1）4x−3y =11，2x +y =13；（2）x−y =3，2y +3(x−y)=115．用加减法解下列方程组：（1）3μ+2t =76μ−2t =11 （2）2a +b =33a +b =4．6．（2023•市北区校级开学）用加减法解下列方程组：（1）3y−4x =04x +y =8； （2+y =3x−32y =−1．7．（2022秋•陕西期末）用加减法解下列方程组：（1）x−y =33x−8y =14； （2+2y =10=1+y 13．8．用加减法解下列方程组：（1）x +3=y ，2(x +1)−y =6； （2）x +y =2800，96%x +64%y =2800×92%．9．用加减法解下列方程组：（1）x−y =5，①2x +y =4；②（2）x−2y =1，①x +3y =6；②（3）2x−y =5，①x−1=12(2y−1)．②10．用加减法解下列方程组：（1）x +3y =62x−3y =3 （2）7x +8y =−57x−y =4（3）y−1=3(x−2)y+4=2(x+1)（4+y4=1−y3=−1．1．（2022春•新田县期中）用指定的方法解下列方程组：（1）2x−5y=14①y=−x②（代入法）；（2）2x+3y=9①3x+5y=16②（加减法）．2．（2022春•安岳县校级月考）解下列方程组：（1）3x−y=75x+2y=8（用代入法）；（2+n3=10−n4=5（用加减法）．3．（2022春•大连期中）用指定的方法解下列方程组：（1）x−3y=42x+y=13（代入法）；（2）5x+2y=4x+4y=−6（加减法）．4．（2022春•宁远县月考）请用指定的方法解下列方程组（1）5a−b=113a+b=7（代入消元法）；（2）2x−5y=245x+2y=31（加减消元法）．5．（2021秋•蒲城县期末）请用指定的方法解下列方程组：（1）2x+3y=11①x=y+3②（代入消元法）；（2）3x−2y=2①4x+y=10②（加减消元法）．6．（2022秋•历下区期中）请用指定的方法解下列方程组：（1）m−n2=22m+3n=12（代入法）；（2）6s−5t=36s+t=−15（加减法）．7．（2022春•泰安期中）用指定的方法解下列方程组（1）3x+4y=19x−y=4（代入消元法）；（2）2x+3y=−53x−2y=12（加减消元法）；（35(x−9)=6(y−2)−y13=2．8．（2021秋•历下区期中）请用指定的方法解下列方程组：（1）3x+2y=14x=y+3；（代入法）（2）2x+3y=123x+4y=17．（加减法）9．（2021春•沙河口区期末）用指定的方法解下列方程组：（1）y=2x−33x+2y=8（代入法）；（2）3x+4y=165x−6y=33（加减法）．10．用指定的方法解下列方程组：（1）3x+4y=19x−y=4（代入法）；（2）2x+3y=−53x−2y=12（加减法）．1．（2022•苏州模拟）用适当的方法解下列方程组．（1）x+2y=9y−3x=1；（2x−34y=1=4．2．（2022秋•锦江区校级期末）用适当的方法解下列方程组．（1）x=2y−14x+3y=7；（2）3x+2y=22x+3y=28，．3．用适当的方法解下列方程组：（1）x+2y=0，3x+4y=6；（2=2y1)−y=11（3）x+0.4y=40，0.5x+0.7y=35；（4+n−m4=−14，5(n1)12=2．4．（2022•天津模拟）用适当的方法解下列方程组：（1）x +y =52x−y =4； （2=y 24−y−33=112．5．（2021•越城区校级开学）用适当的方法解下列方程组：（1）2x−3y =7x−3y =7． （2）0.3p +0.4q =40.2p +2=0.9q ．6．（2022春•东城区校级月考）用适当的方法解下列方程组（1）x +y =52x +y =8； （2）2x +3y =73x−2y =4．7．（2021春•哈尔滨期末）用适当的方法解下列方程组（1）x +2y =93x−2y =−1 （2）2x−y =53x +4y =28．（2022春•椒江区校级期中）用适当的方法解下列方程组：（1）2x +3y =16①x +4y =13②； （2）2s t 3=3s−2t 8=3．9．（2022春•诸暨市期中）用适当的方法解下列方程组：（1）y=2x−1x+2y=−7（2+y3=7+y2=810．（2021春•南湖区校级期中）用适当的方法解下列方程组：（1）3x+2y=9x−y=8；（2=x y2=7．1．先阅读材料，然后解方程组：材料：解方程组x+y=4①3(x+y)+y=14②在本题中，先将x+y看作一个整体，将①整体代入②，得3×4+y＝14，解得y＝2．把y＝2代入①得x＝2，所以x=2 y=2这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此法解答，请用这种方法解方程组x−y−1=0①4(x−y)−y=5②．2．（2021秋•乐平市期末）解方程组3x−2y=8⋯⋯⋯①3(3x−2y)+4y=20⋯．②时，可把①代入②得：3×8+4y＝20，求得y＝﹣1，从而进一步求得x=2y=−1这种解法为“整体代入法“，请用这样的方法解下列方程组2x−3y=123(2x−3y)+5y=26．3．先阅读，然后解方程组．解方程组x−y−1=0①4(x−y)−y=5②时，可由①得x﹣y＝1．③，然后再将③代入②得4×1﹣y＝5，求得y＝﹣1，从而进一步求得x=0y=−1这种方法被称为“整体代入法”，请用这样的方法解下列方程组：=0=2y+1．4．（2022春•太和县期末）先阅读，然后解方程组．解方程组x−y−1=0①4(x−y)−y=5②时，可由①得x﹣y＝1，③然后再将③代入②得4×1﹣y＝5，求得y＝﹣1，从而进一步求得x=0①y=−1②这种方法被称为“整体代入法”，+2y=9．5．先阅读，然后解方程组．解方程组x−y−1=0①4(x−y)−y=5②时，可由①得x﹣y＝1③，然后再将③代入②得4×1﹣y＝5，求得y＝﹣1，从而进一步求得x这种方法被称为“整体代入法”，请用这样的方法解下列方程组：2x−3y−2=03(2x−3y)+y=7．1．用换元法解下列方程组+2y=12−1y=342．用换元法解下列方程组：（1）3(x+y)+2(x−y)=36(x+y)−4(x−y)=−16（2+x5y3=2−(x+5y)=5．3．（2022春•云阳县期中）阅读探索：解方程组(a−1)+2(b+2)=62(a−1)+(b+2)=6解：设a﹣1＝x，b+2＝y原方程组可以化为x+2y=62x+y=6，解得x=2y=2，即：a−1=2b+2=2∴a=3b=0，此种解方程组的方法叫换元法．（1）拓展提高运用上述方法解下列方程组(a4−1)+2(b5+2)=102(a4−1)+(b5+2)=11；（2）能力运用已知关于x，y的方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解为x=6y=7，求关于m、n的方程组a1(m−2)+b1(n+3)=c1a2(m−2)+b2(n+3)=c2的解．4+x−y10=3①−x−y10=−1②，你会解这个方程组吗？小明、小刚、小芳争论了一会儿，他们分别写出了一种方法：小明：把原方程组整理得8x+2y=90③2x+8y=−30④④×4﹣③得30y＝﹣210，所以y＝﹣7把y＝﹣7代入③得8x＝104，所以x＝13，即x=13y=−7小刚：设x y6=m，x−y10=n，则m+n=3③m−n=−1④③+④得m＝1，③﹣④得m＝2，=1=2，所以x+y=6x−y=20，所以x=13y=−7．小芳：①+②得2(x y)6=2，即x+y＝6．③①﹣②得2(x−y)10=4，即x﹣y＝20．④③④组成方程组得x＝13③﹣④得y ＝﹣7，即x =13y =−7．老师看过后，非常高兴，特别是小刚的方法独特，像小刚的这种方法叫做换元法，你能用换元法解下列方程组吗？+2x 3y 7=1−2x 3y 7=5．5．（2022春•卧龙区校级月考）阅读探索（1）知识积累解方程组(a−1)+2(b +2)=62(a−1)+(b +2)=6．解：设a ﹣1＝x ，b +2＝y ．原方程组可变为x +2y =62x +y =6，解这个方程组得x =2y =2，即a−1=2b +2=2，所以a =3b =0，这种解方程组的方法叫换元法．（2）拓展提高运用上述方法解下列方程组：(m 3−1)+2(n 5+2)=43(m 3−1)−(n 5+2)=5．（3）能力运用已知关于x ，y 的方程组a 1x +b 1y =c 1a 2x +b 2y =c 2的解为x =3y =4，请直接写出关于m 、n 的方程组a 1(m +2)−b 1n =c 1a 2(m +2)−b 2n =c 2的解是 ．。
冀教版七年级下册数学第6章 二元一次方程组 专训4 二元一次方程组的五种特殊解法
x＝5， y＝－6.
方法 2 特殊消元法解二元一次方程组
类型1 方程组中两未知数系数之差的绝对值相等 2．解方程组： 2 015x＋2 016 y＝2 017，①
2 016x＋2 017 y＝2 018.②
解：②－①，得x＋y＝1.③ 由③，得x＝1－y.④ 把④代入方程①，得2015(1－y)＋2016y＝2017. 解这个方程，得y＝2. 把y＝2代入方程③，得x＝－1. 所以原方程组的解为 x＝－1， y＝2.
14x＋13 y＝41.② 解：①＋②，得27x＋27y＝81.化简，得x＋y＝3.③
①－②，得－x＋y＝－1.④ ③＋④，得2y＝2，解得y＝1. ③－④，得2x＝4，解得x＝2. 所以这个方程组的解是 x＝2，
y＝1.
方程组中x的系数分别为13，14，y的系数分别 为14，13. 当两式相加时，x和y的系数相等，化 简即可得到x＋y＝3；当两式相减时，x和y的系 数互为相反数，化简即可得到－x＋y＝－1. 由 此达到化简方程组的目的．
1．用代入法解方程组：
x 5
＋
y 6
＝0，①
3( x－y)－4(3 y＋x)＝85.②
解：由①，得 x ＝ y . 56
设则xx＝＝5ky，＝yk＝，－6k. 56
将x＝5k，y＝－6k代入方程②，
得3(5k＋6k)－4(－18k＋5k)＝85.
解这个方程得k＝1.
所以x＝5，y＝－6. 所以原方程组的解是
a＝5， b＝6.
所以(a－b)2018＝(5－6)2018＝1.
方法 5 同解交换法解二元一次方程组
6．已知 (4xx，－x－3y3，y－y－z均z＝3不z0＝为0，0)， 解求：的将值原x．x2方＋y＋程y22－组yzz变2 形，得解4x得－x－z＝3z3＝y3. y，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4
【解析】
试题分析:
这是一个根号里含有分式的无理方程，也可通过换元后求解，通过变形发现
xபைடு நூலகம்
与互为倒数，可设.1y,则原方程变形为y,无理方程化为有理方程
x
试题解析:
常用换元方法有局部换元、均值换元、倒数换元、常数换元等.
82，使方程变得易解，这是均值换元法
（四）本讲注重研究用换元法解方程的技能、技巧•拓宽学生知识面，培养学生学习和
研究数学的兴趣•
二、应用举例
类型一局部换元
（高次方程）
【例题1】解方程：X43x220
【答案】捲1，x21，x3、、2，x42
【解析】
【难度】较易
（分式方程）
【例题2】解方程：
【答案】x13
4
【解析】
试题分析：
括号里的分式相同，由这个特点，可以用换元法来解
试题解析：
解：设亠
x1
y，于
F是原方程变形为
2
y
5y60
解得y1
3,
y22
当y1
3时，
X3,
解得
X1
3
x1
4
当y2
2时，
X
2,
解得
X2
2
x1
3
经检验x1
3
,X2
4
2
2均为原方程的根•
第
、方法技巧
（一）换元法解方程是用新元代替方程中含有未知数的某个部分，达到化简的目的.
（二）运用换元法解方程，主要有三种类型：分式方程、无理方程、整式（高次）方程 解分式方程、无理方程、整式（高次）方程的基本思想是将分式方程化为整式方程、 无理方程化为有理方程、整式（高次）方程逐步降次
（三） 换元的方法是以所讨论方程的特有性质为依据的，不同的方程就有不同的换元方 法，因此，这种方法灵活性大，技巧性强•恰当地换元，可将复杂方程化简，以 便寻求解题的途径.
3
•••方程的解是
Xi
【难度】较易
1
0,那么X的值是（）
X
【答案】
【解析】
试题分析:
由于
2，故设
试题解析:
解：设X
原方程化简得
解得
1化简得
X
0,△<0，无解，舍去
x
点评：方程中并无“相同”的部分时，可通过代数式间的关系变形构造出“相同” 元.
【难度】一般
（无理方程）
【例题4】解方程：J2，X?10
1
试题分析：
42222
通过观察发现Xx,故设x y，原方程变形为y 3y2 0,可把高次方程
降次，转化为可解的一元二次方程•
试题解析：
解：设x2y，则原方程变形为y23y20,
解得，yi1，y22，
2
由y1得x1，解得％1，X21，
由y2得x2，解得x32，x4■. 2,
•••方程的解是洛1,X21,x32,x42