偏微分方程简明教程
第5章偏微分方程值解ppt课件
t
t nt , x ix , y jy , z kz
总目录
本章目录
5.1
5.2
5.3
5.4
5.2 基本离散化公式
以3对于二阶偏导，我们可以通过对泰勒展开式处 理技术得到下面离散化计算公式：
2u t 2 2u x 2 2u y 2 2u z 2
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5.3 几种常见偏微分方程的离散化计算
例下面介绍3种迭代格式： 1 u (u u u u (1)同步迭代： 4 1 u (u u u u (2)异步迭代： 4 1 u u u ) u (u 4 (3)超松弛迭代：
（5-4） (计算实例VB程序见课本)
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5.3 几种常见偏微分方程的离散化计算
2、一维流动传热传导方程的混合问题 一维流动传热传导方程的混合问题：
2 u u 2 u b f (u, t ) a 2 t x x u t 0 (x), u 0 x x l u x 0 μ1(t)
u
x0
1 (t ),u xt 2 (t )
为初值条件 为边值条件
当该波动方程只提初值条件时，称此方程为波动 方程的初值问题，二者均提时，称为波动方程的 混合问题。
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5.3 几种常见偏微分方程的离散化计算
t t
x
0
x
0
l
(a)初值问题
偏微分方程讲义 arnold
偏微分方程讲义 arnold
（原创版）
目录
1.偏微分方程讲义概述
2.作者简介
3.偏微分方程的基本概念
4.偏微分方程的解法
5.偏微分方程在实际应用中的例子
6.推荐书目与课程
正文
1.偏微分方程讲义概述
《偏微分方程讲义》是一本关于偏微分方程的教材，适用于高等院校计算数学专业高年级本科生和研究生偏微分方程数值解法课程。
本书分为差分方法和有限元方法两个相互独立的部分，旨在帮助学生深入学习偏微分方程的理论和方法。
2.作者简介
《偏微分方程讲义》的作者是俄罗斯数学家阿诺德（Arnold）。
他曾在 20 世纪 50 年代起在高阶微分方程、非线性偏微分方程等领域进行研究，并取得了显著的成果。
3.偏微分方程的基本概念
偏微分方程是一种涉及多个变量的微分方程，广泛应用于物理、化学、生物等学科。
偏微分方程可以分为线性和非线性两类，其中线性偏微分方程的求解方法相对简单，非线性偏微分方程则较为复杂。
4.偏微分方程的解法
偏微分方程的解法主要包括行波法、分离变量法、积分变换法等。
这些方法都有各自适用的范围和条件，需要根据具体问题选择合适的方法进行求解。
5.偏微分方程在实际应用中的例子
偏微分方程在实际应用中有很多例子，如热传导问题、波动方程、亥姆霍兹共振器等。
这些例子都涉及到偏微分方程的求解和性质的研究，对于理解偏微分方程的实际应用具有重要意义。
6.推荐书目与课程
学习偏微分方程可以参考的书目有《数学物理方程》（李胜宏、陈仲慈、潘祖梁编著，浙江大学出版社）和《偏微分方程讲义》（阿诺德著，第一图书网提供免费下载）。
高等数学中的偏微分方程方法
高等数学中的偏微分方程方法偏微分方程是数学中的一类非常重要的方程。
它们广泛应用于物理、工程和其他领域中，如热传导、电路等等。
因此，研究偏微分方程的方法和技巧尤为重要。
在高等数学中，有许多关于偏微分方程的方法，下面我们来介绍其中的几种。
1. 分离变量法分离变量法是解偏微分方程的一种常用方法。
这种方法的基本思想是假设解可以表示为形式为x、y、z等变量的函数之积的形式，然后通过代入相关偏微分方程中去求解出每个变量的解，最终将这些解组合起来得到总体解。
以拉普拉斯方程为例，其定义如下：$\Delta u=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}=0$假设解为$u(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)$，则可以得到：$\frac{1}{X}\frac{\partial^2 X}{\partialx^2}+\frac{1}{Y}\frac{\partial^2 Y}{\partialy^2}+\frac{1}{Z}\frac{\partial^2 Z}{\partial z^2}=0$由于等式左边是一个只关于x的函数与一个只关于y的函数之和，所以这个等式必须等于常数k。
因此，我们可以得到：$\frac{1}{X}\frac{\partial^2 X}{\partial x^2}=k_1$，$\frac{1}{Y}\frac{\partial^2 Y}{\partial y^2}=k_2$，$\frac{1}{Z}\frac{\partial^2 Z}{\partial z^2}=k_3$然后我们可以对每一个方程分别求解得到：$X(x)=Ae^{\sqrt{k_1}x}+Be^{-\sqrt{k_1}x}$，$Y(y)=Ce^{\sqrt{k_2}y}+De^{-\sqrt{k_2}y}$，$Z(z)=Ee^{\sqrt{k_3}z}+Fe^{-\sqrt{k_3}z}$最终得到的总体解形式为：$u=\sum_{n=1}^{\infty} C_ne^{(-\sqrt{k_1^2+k_2^2+k_3^2})r}sin(n_1x)sin(n_2y)sin(n_3z)$2. 特征线法特征线法是一种常用于解决一阶偏微分方程的方法。
偏微分方程的几种解法
偏微分方程的几种解法偏微分方程（Partial Differential Equations, PDEs）是数学中的一个重要分支，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
解决PDEs的问题是科学研究和工程实践中的一个关键任务。
本文将介绍几种常见的偏微分方程的解法。
一、分离变量法分离变量法是解偏微分方程最常用的方法之一。
其基本思想是将未知函数表示为一系列互相独立的分离变量的乘积，然后将方程两边同时关于这些变量积分。
这样就可以得到一系列常微分方程，然后通过求解这些常微分方程得到原偏微分方程的解。
例如，对于二维的泊松方程（Poisson Equation）∇²u = f，可以假设u(x, y) = X(x)Y(y)，将其代入方程后得到两个常微分方程，然后分别求解这两个常微分方程，最后将其合并即可得到泊松方程的解。
分离变量法的优点是简单易行，适用于一些特定的偏微分方程。
但也存在一些限制，例如只适用于线性齐次方程、边界条件满足一定条件等。
二、变量替换法变量替换法是另一种常见的解偏微分方程的方法。
通过合适的变量替换，可以将原方程转化为一些形式简单的方程，从而更容易求解。
例如，对于热传导方程（Heat Equation）∂u/∂t = α∇²u，可以通过变量替换u(x, t) = v(x, t)exp(-αt)将其转化为∂v/∂t = α∇²v，然后再利用分离变量法或其他方法求解新方程。
变量替换法的优点是可以将一些复杂的偏微分方程转化为简单的形式，便于求解。
但需要根据具体问题选择合适的变量替换，有时可能会引入新的困难。
三、特征线法特征线法是解一阶偏微分方程的一种有效方法。
通过寻找方程的特征线，可以将方程转化为常微分方程，从而更容易求解。
例如，对于一维线性对流方程（Linear Convection Equation）∂u/∂t + c∂u/∂x = 0，其中c为常数，可以通过特征线法将其转化为沿着特征线的常微分方程du/dt = 0，然后求解得到解。
详细版第四章偏微分方程的有限差分法.ppt
算
物 理
ui,k1 ui1,k (1 2 )ui,k ui1,k
学 ui,0 (ih)
u0,k g1(k ) ul,k g2 (k )
i=0,1, ,N k=0,1, ,M
.精品课件.
4.2 热传导方程的差分解法
计 显示差分递推公式的稳定性：
算
物 理
ui,k ui',k i,k k i,k
计
算 一维各向同性、均匀介质，且无热源的热传导方程：
物 理 学
u 2u
t x2
0t T 0 xl
为了求解u(x,t)，还必须利用边界条件和初 始条件。
定解条件：边界条件和初始条件。
定解问题：解存在、唯一并且连续依赖初始条件。
.精品课件.
4.2 热传导方程的差分解法
计 对于一维热传导问题（第一类边界条件）
计 同样，在节点（xi,tk）上
算
物
理 学
( x, t )
u xi ,tk u xi ,tk
t xxi
t tk
ui,k 1 ui,k
一阶向前差商O(h)
.精品课件.
4.2 热传导方程的差分解法
计 一维热传导方程可以近似为
算 物 理 学
ui,k 1 ui,k ui1,k 2ui,k ui1,k
理
学
u t0
f1(x, y, z)
u t
t0
f2 (x, y, z)
边界条件：边界受到外界的影响
常见的物理问题可以归结为三大类边界条件
.精品课件.
4.1 有限差分法原理
1 第一类边界条件（狄利克雷Dirichlet）
计
算
u u0(r,t)
第二章 三类典型的偏微分方程讲解
在 dt 时段内通过微元的两端流入的热量
dQ1
(Qx1
Qx2
)dt
k ( T
( x2 , t ) x
T
( x1, t ) )dt x
k
x2 x1
2T (x, x2
t
)dxdt
在任意时段 [t1,t2 ] 内，流入微元的热量
Q1
t2 t1
x2 x1
k
2T (x, x2
t2 t1
V
k 2TdV dt
流入的热量导致V 内的温度发生变化
S n
T (x, y, z,t1) T (x, y, z, t2 )
温度发生变化需要的热量为：
Q2 c T (x, y, z,t2) T (x, y, z,t1)dV
V
c
t2 T dtdV
t
p
p t
1 a2
p t
代入 u 得
t
x
u 1 p
x a2 t
对t求导，得
2u xt
1 a2
2 p t 2
利用
u 1 p
t x
得
2 p t 2
a2
2 p x2
一维声波方程。
第二章 三类典型的偏微分方程
第二章 三类典型的偏微分方程
三类典型的偏 微分方程
第二章 三类典型的偏微分方程
2.1 波动方程
☆ 一维波动方程 最典型的一维波动问题是均匀弦的横向振动问题。
一根紧拉着的均匀柔软弦，长为l，两端固定在X轴上O、 L两点，当它在平衡位置附近做垂直于OL方向的微小横向 振动时，求这根弦上各点的运动规律。
偏微分方程初步解法和扰动理论
偏微分方程初步解法和扰动理论偏微分方程是数学中的重要分支，广泛应用于物理学、工程学和自然科学等领域。
本文将介绍偏微分方程的初步解法以及扰动理论的基本概念和应用。
一、偏微分方程初步解法偏微分方程（Partial Differential Equation，简称PDE）是包含未知函数及其偏导数的方程。
其求解方法根据方程类型和边界条件的不同而异，主要分为分离变量法、变换法和叠加原理等。
1. 分离变量法在某些简单的偏微分方程中，可以通过假设待求解的函数可以分解为一系列互相独立的函数乘积形式，然后将其代入方程，再利用方程的边界条件，最终得到函数的解析形式。
例如，考虑一维热传导方程：∂u/∂t = α∂²u/∂x²，其中u为温度分布，t为时间，x为空间坐标，α为热扩散系数。
可以假设u(x, t) = X(x)T(t)，将其代入方程，得到两个关于X和T的常微分方程，再根据边界条件解得X和T，最后再将其合并得到u的解析表达式。
2. 变换法变换法是通过选择适当的变换将原方程转化为更简单的形式，进而求解。
常见的变换包括拉普拉斯变换、傅立叶变换和相似变量等。
以二维泊松方程为例：∇²u = f(x, y)，其中u为未知函数，f(x, y)为已知函数。
通过引入极坐标变换r和θ，将方程转化为在极坐标系下的形式，然后利用分离变量法解得方程在极坐标系下的解析表达式。
3. 叠加原理对于一类线性偏微分方程，可以利用叠加原理来得到其解析解。
叠加原理认为，如果一个方程的线性组合也是该方程的解，那么该线性组合也是该方程的解。
例如，对于二维泊松方程，如果知道了两个源函数分别满足∇²u₁ = f₁(x, y)和∇²u₂ = f₂(x, y)，则它们的线性组合u = au₁ + bu₂也满足∇²u = af₁(x, y) + bf₂(x, y)。
二、扰动理论扰动理论是研究线性系统对扰动的响应和稳定性的一种方法。
偏微分方程的基本分类与解法
偏微分方程的基本分类与解法偏微分方程（Partial Differential Equations）是数学领域中研究函数及其偏导数的方程。
它在物理、工程和金融等多个领域中具有广泛的应用。
本文将对偏微分方程的基本分类和解法进行介绍。
一、基本分类偏微分方程可以根据方程中未知函数的阶数、方程中未知函数及其偏导数的最高阶数、方程中出现的独立变量的个数等因素进行分类。
下面将介绍几种常见的偏微分方程类型：1. 线性偏微分方程（Linear PDEs）：线性偏微分方程的未知函数及其偏导数在方程中以线性的方式出现，即未知函数及其偏导数之间没有乘积或除法的项。
典型的线性偏微分方程包括波动方程、热传导方程和拉普拉斯方程等。
2. 非线性偏微分方程（Nonlinear PDEs）：非线性偏微分方程的未知函数及其偏导数在方程中以非线性的方式出现。
非线性偏微分方程的研究更加复杂和困难，因为它们通常没有简单的通解，需要依赖于数值方法或近似解法。
3. 偏微分方程的阶数（Order）：偏微分方程的阶数指的是未知函数及其偏导数的最高阶数。
常见的偏微分方程阶数包括一阶、二阶和高阶偏微分方程等。
4. 线性度（Degree of Linearity）：线性度是指方程中未知函数和它的偏导数的最高次数。
线性偏微分方程的线性度为一，非线性偏微分方程的线性度大于一。
二、解法解偏微分方程的方法有很多，下面将介绍几种常见的解法：1. 分离变量法（Separation of Variables）：分离变量法适用于可以将偏微分方程的未知函数表示为各个独立变量的乘积形式的情况。
通过将未知函数表示为各个独立变量的乘积形式，并将方程中的偏导数转化为普通导数，从而将原方程转化为一系列的常微分方程。
通过求解这些常微分方程，并将解合并起来，即可得到原偏微分方程的解。
2. 特征线方法（Method of Characteristics）：特征线方法是用于解一阶偏微分方程的一种常用方法。
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偏微分方程简明教程
偏微分方程是描述多变量函数之间关系的数学方程。
它在物理学、工程学和经济学等领域起着重要的作用，因此了解和掌握偏微分方程的解法和性质对于深入理解这些领域的问题是至关重要的。
本文将从基本概念、解法和应用三个方面介绍偏微分方程的简明教程。
一、基本概念
∂u/∂t+c∂u/∂x=0
其中u是关于变量x和t的函数，c是常数。
这个方程描述了u对时间t和空间坐标x的变化关系。
偏微分方程可以是线性的或非线性的，可以是齐次的或非齐次的。
二、解法
解偏微分方程的方法有多种，以下介绍常见的几种解法。
1.变量分离法
变量分离是最常用的求解偏微分方程的方法。
基本思路是将方程中的未知函数分离，然后对两边积分。
例如对于方程
∂u/∂t=c∂u/∂x
可以将u关于t求偏导数，将u关于x求偏导数，然后将两边移项得到
∂u/∂t=c∂u/∂x
du/u = c dx
对两边积分得到
ln，u， = cx + k
解出u，即可得到方程的解。
2.特征线法
特征线法适用于一阶偏微分方程。
基本思想是找到方程的特征曲线，
然后将未知函数表示为特征曲线上的参数方程。
例如对于方程∂u/∂t+c∂u/∂x=0
特征曲线满足dx/dt = c，即x = ct + k。
将u表示为x和t的函数
u(x,t)，可以得到
d/dt u(x,t) = du/dx * dx/dt = du/dx * c
这样方程可以化简为一阶方程，然后进行求解。
3.分离变量法
分离变量法适用于可分离变量的偏微分方程。
基本思想是将方程中的
未知函数表示为两个变量的乘积形式，然后对两边进行分离。
例如对于方
程
∂u/∂t=a∂²u/∂x²
可以假设u(x,t)=X(x)T(t)，然后将偏微分方程化为两个常微分方程，然后分别求解。
三、应用
1.热传导方程
热传导方程描述了物体内部温度的变化关系，它在热力学和材料科学研究中起着重要的作用。
热传导方程可以通过偏微分方程的分离变量法求解。
2.波动方程
波动方程描述了波的传播和振动的数学模型，它在物理学和工程学中广泛应用。
波动方程可以通过偏微分方程的特征线法求解。
3.扩散方程
扩散方程描述了物质的扩散过程，它在化学工程和生物学等领域有重要的应用。
扩散方程可以通过偏微分方程的变量分离法求解。
总结：
偏微分方程是描述多变量函数关系的数学方程，求解偏微分方程的方法有很多种，例如变量分离法、特征线法和分离变量法等。
偏微分方程在物理学、工程学和经济学等领域都有广泛的应用，对于深入理解这些领域的问题和现象非常重要。