【配套K12】新版高中数学人教A版必修4习题：第三章三角恒等变换 3.2.1

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新版高中数学人教A版必修4习题：第三章三角恒等变换 3-1-3 含解析-2019最新整理

2θ
答案:D
4若x
A
解析:当x,cos2x-sin2x=cos2x
=co
答案:D
5化
A.si
C.2si
答案:B
解析:原
答案:
7在△ABC中,cos A
解析:∵0<A<π,∴sinA
∴sin2A=2sinAcosA
cos2A=2cos2A-1=22A
答案:
8已知cos 2θ
解析:cos4θ+sin4θ=(cos2θ+sin2θ)2-2sin2θcos2θ
=1
=1
答案:
9已知函数f(x)=sin2x+2sin xcos x+3cos2x,x∈R,求f(x)的周期及值域.
解f(x)2x
=2+sin2x+cos2x=2
∴函数f(x)的周期为π,值域为[2
10在△ABC中,若sin Asin B=cos△ABC的形状.
解sinAsinB=cos
即2sinAsinB+cos(A+B)=1,
(1)若|a|=|b|,求x的值;
(2)设函数f(x)=a·b,求f(x)的最大值.
解(1)由|a|2=x)2+sin2x=4sin2x,
|b|2=cos2x+sin2x=1,
及|a|=|b|,得4sin2x=1.
又x∈sinx
所以x
(2)f(x)=a·bx·cosx+sin2x
2x2x
当x,si1.
∴sin10°sin30°sin50°sin70°
答案:
7已知函数f(x)=sin x-
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区

高中数学(人教A版,必修四) 第三章三角恒等变换 3.2 课时作业(含答案)

§3.2 简单的三角恒等变换课时目标 1.了解半角公式及推导过程.2.能利用两角和与差的公式进行简单的三角恒等变换.3.了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的规律．1．半角公式(1)S α2：sin α2＝____________________； (2)C α2：cos α2＝____________________________； (3)T α2：tan α2＝______________(无理形式)＝________________＝______________(有理形式)． 2．辅助角公式使a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)成立时，cos φ＝__________________，sin φ＝______，其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由__________决定．一、选择题1．已知180°<α<360°，则cos α2的值等于( ) A ．－1－cos α2 B. 1－cos α2C ．－1＋cos α2 D. 1＋cos α22．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的最大值是( ) A ．2 B ．1 C.12D. 3 3．函数f (x )＝sin x －cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最小值为( ) A ．－2 B ．－ 3 C ．－ 2 D ．－14．使函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)为奇函数的θ的一个值是( )A.π6B.π3C.π2D.2π35．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤－π，－5π6B.⎣⎡⎦⎤－5π6，－π6 C.⎣⎡⎦⎤－π3，0 D.⎣⎡⎦⎤－π6，0 6．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tan α21－tan α2等于( ) A ．－1 B.1 C ．2 D ．－27．函数f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x 的最小正周期是______． 8．已知等腰三角形底角的余弦值为23，则顶角的正弦值是________． 9．已知等腰三角形顶角的余弦值为45，则底角的正切值为________． 10.2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于____．三、解答题11．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12 (x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合．12．已知向量m ＝(cos θ，sin θ)和n ＝(2－sin θ，cos θ)，θ∈(π，2π)，且|m ＋n |＝825，求cos ⎝⎛⎭⎫θ2＋π8的值．能力提升13．当y ＝2cos x －3sin x 取得最大值时，tan x 的值是( )A.32 B ．－32C.13 D ．4 14．求函数f (x )＝3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋80°)的最大值．§3.2 简单的三角恒等变换知识梳理1．(1)± 1－cos α2 (2)± 1＋cos α2(3)± 1－cos α1＋cos α sin α1＋cos α1－cos αsin α 2.a a 2＋b 2 b a 2＋b 2点(a ，b ) 作业设计1．C2．B [y ＝2sin x cos π3＝sin x ．] 3．D [f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. ∵－π4≤x －π4≤π4， ∴f (x )min ＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π4＝－1.] 4．D [f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋θ. 当θ＝23π时，f (x )＝2sin(2x ＋π)＝－2sin 2x .] 5．D [f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋56π (k ∈Z )，令k ＝0得增区间为⎣⎡⎦⎤－π6，56π.] 6．A [∵α是第三象限角，cos α＝－45， ∴sin α＝－35. ∴1＋tan α21－tan α2＝1＋sin α2cos α21－sin α2cos α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2·cos α2＋sin α2cos α2＋sin α2＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12.] 7．π解析 f (x )＝22sin 2x －22cos 2x －2(1－cos 2x )＝22sin 2x ＋22cos 2x － 2 ＝sin(2x ＋π4)－2，∴T ＝2π2＝π. 8.459解析设α为该等腰三角形的一底角，则cos α＝23，顶角为180°－2α. ∴sin(180°－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝21－⎝⎛⎭⎫232·23＝459. 9．3解析设该等腰三角形的顶角为α，则cos α＝45，底角大小为12(180°－α)．∴tan ⎣⎡⎦⎤12(180°－α)＝tan ⎝⎛⎭⎫90°－α2＝1tan α2＝1＋cos αsin α＝1＋4535＝3. 10.725解析由题意，5cos θ－5sin θ＝1，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4. ∴cos θ－sin θ＝15. 由(cos θ＋sin θ)2＋(cos θ－sin θ)2＝2.∴cos θ＋sin θ＝75. ∴cos 2θ＝cos 2 θ－sin 2 θ＝(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝725. 11．解 (1)∵f (x )＝3sin2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1－cos2⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝2⎣⎡⎦⎤32sin2⎝⎛⎭⎫x －π12－12cos2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1 ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12－π6＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1，∴T ＝2π2＝π. (2)当f (x )取得最大值时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝1，有2x －π3＝2k π＋π2，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )， ∴所求x 的集合为{x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z }． 12．解 m ＋n ＝(cos θ－sin θ＋2，cos θ＋sin θ)， |m ＋n |＝(cos θ－sin θ＋2)2＋(cos θ＋sin θ)2＝4＋22(cos θ－sin θ)＝4＋4cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4 ＝21＋cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4. 由已知|m ＋n |＝825，得cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝725. 又cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2cos 2⎝⎛⎭⎫θ2＋π8－1，所以cos 2⎝⎛⎭⎫θ2＋π8＝1625.∵π<θ<2π，∴5π8<θ2＋π8<9π8. ∴cos ⎝⎛⎭⎫θ2＋π8<0.∴cos ⎝⎛⎭⎫θ2＋π8＝－45. 13．B [y ＝2cos x －3sin x ＝13⎝⎛⎭⎫213cos x －313sin x ＝13(sin φcos x －cos φsin x )＝13sin(φ－x )，当sin(φ－x )＝1，φ－x ＝2k π＋π2时，y 取到最大值． ∴φ＝2k π＋π2＋x ，(k ∈Z ) ∴sin φ＝cos x ，cos φ＝－sin x ，∴cos x ＝sin φ＝213，sin x ＝－cos φ＝－313. ∴tan x ＝－32.] 14．解 3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋80°)＝3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋20°)cos 60°＋5cos(x ＋20°)sin 60°＝112sin(x ＋20°)＋532cos(x ＋20°)＝⎝⎛⎭⎫1122＋⎝⎛⎭⎫5322sin(x ＋20°＋φ)＝7sin ()x ＋20°＋φ 其中cos φ＝1114，sin φ＝5314.所以f (x )max ＝7.。

【配套K12】高中数学第三章三角恒等变换3.2倍角公式和半角公式3.2.2半角的正弦余弦和正切课堂导

3.2.2 半角的正弦余弦和正切课堂导学三点剖析一、运用半角公式求值由二倍角公式可得cos α=cos(2×2α)=1-2sin 22α=2cos 22α-1, 即sin 22α=2cos 1α-,cos 22α=2cos 1α+. ∴sin 2cos 12αα-±=,cos 2cos 12αα+±=,tan 2α=±ααcos 1cos 1+-. 在应用以上半角公式时,根号前的正负号由角2α所在的象限确定. 【例1】已知cos θ=53-,且180°<θ<270°，求tan 2θ. 思路分析：先判断2θ所在象限，再用半角公式求值. 解：∵180°<θ<270°, ∴90°<2θ<135°.∴tan 2θ<0. ∴tan 2θ=)53(1)53(1cos 1cos 1-+---=+--θθ=-2. 各个击破类题演练 1设5π<θ<6π,cos2θ=a,|a|≤１，求sin 4θ的值. 思路分析：先由θ的范围确定角4θ的范围，再用半角公式求值. 解：∵5π<θ<6π,∴25π<2θ<3π,45π<4θ<23π. ∴sin 4θ=2122cos 1a --=--θ. 变式提升 1已知cos α=21,求sin 2α,cos 2α. 思路分析:∵cos α=21,∴α是第一或第四象限角，2α可能为任何象限角，如果不能确定角的象限，用半角公式计算时，根号前保持正、负两个符号.解:sin 2α=±22112cos 1-±=-α=±21. cos 2α=±2322112cos 1±=+±=+α. 二、运用公式化简三角函数式在三角恒等变形中,所涉及的三角公式要求做到灵活运用,既要会正用,又要会逆用,更要会变用.特别要注意根号前正负号的选择,要由2α所在的象限来确定. 【例2】若23π<α<2π,化简:α2cos 21212121++. 思路分析:在逐层去根号时,要根据角的范围确定被开方数的符号. 解：∵23π<α<2π,∴43π<2α<π. ∴原式=αααcos 2121cos 212122cos 121212+=+=++ 2cos )cos 1(212αα=+==-cos 2α. 类题演练 2化简:8cos 228sin 12+=+等于( )A.2sin4B.2sin4-4cos4C.-2sin4-4cos4D.4cos4-2sin4解析:原式=)14cos 2(22)4cos 4(sin 222-+++-2(sin4+cos4)-2cos4=-2sin4-4cos4.答案:C变式提升 2 化简:cos α·cos2α·cos 22α·…·cos 12-n α. 解:原式=1112sin 22sin 22cos 2cos cos ---∙∙∙∙n n n ααααα 12222sin 22sin 2cos 2cos 2cos cos ---∙∙∙∙∙=n n n αααααα=11112322sin 22sin 2sin 2sin cos 2sin 22sin 2cos 2coscos -----=∙∙=∙∙∙∙n n n n n n αααααααααα .。

高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换课后习题新人教A版必修4(2021年整理)

2018-2019学年高中数学第三章三角恒等变换3.2 简单的三角恒等变换课后习题新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第三章三角恒等变换3.2 简单的三角恒等变换课后习题新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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3。

2简单的三角恒等变换课后篇巩固探究1。

cos2的值为（)A.B。

C.D。

解析cos2.答案B2.已知α为第一象限角,且tan α=,则sin 的值为（）A。

B.—C。

± D。

解析因为α为第一象限角，且tan α=，所以cos α=，而是第一或第三象限角.当是第一象限角时，sin ；当是第三象限角时,sin =—=-,故sin =±.答案C3.若函数f(x）=(1+tan x）cos x，则f=（)A。

B.-C。

1 D.解析∵f(x）=cos x=cos x+sin x=2sin,∴f=2sin=2sin.答案D4。

设a=cos 7°+sin 7°,b=,c=,则有(）A.b〉a>c B。

a〉b>c C。

a〉c>b D.c>b>a解析因为a=cos 7°+sin 7°=sin 30°·cos 7°+cos 30°·sin 7°=sin 37°，b==tan 38°,c==sin 36°,又tan 38°〉sin 38°>sin 37°>sin 36°.所以b〉a〉c.答案A5。

高中数学必修4第3章课后习题解答

新课程标准数学必修4第三章课后习题解答（第1页共12页）新课程标准数学必修4第三章课后习题解答第三章三角恒等变换3．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式练习（P127）1、cos()coscossinsin0cos 1sin sin222.cos(2)cos2cos sin2sin 1cos0sincos .2、解：由3cos ,(,)52，得2234sin1cos1()55；所以23242cos()coscos sinsin()444252510.3、解：由15sin17，是第二象限角，得22158cos1sin1()1717；所以811538153cos()cos cossin sin33317217234.4、解：由23sin ,(,)32，得2225cos1sin1()33；又由33cos,(,2)42，得2237sin1cos 1()44.所以35723527cos()cos cos sin sin ()()()434312.练习（P131）1、（1）624；（2）624；（3）624；（4）23.2、解：由3cos,(,)52，得2234sin1cos1()55；所以4133433sin()sin coscos sin()333525210.3、解：由12sin13，是第三象限角，得22125cos1sin1()1313；所以351125312cos()coscos sinsin ()()66621321326.4、解：tantan314tan()241311tantan4.5、（1）1；（2）12；（3）1；（4）32；新课程标准数学必修4第三章课后习题解答（第2页共12页）（5）原式=1(cos34cos26sin34sin 26)cos(3426)cos602；（6）原式=sin 20cos70cos20sin 70(sin 20cos70cos20sin 70)sin 901.6、（1）原式=cos cos sinsin cos()333x xx ；（2）原式=312(sin cos )2(sin coscos sin)2sin()22666x x x x x ；（3）原式=222(sin cos )2(sin cos cos sin )2sin()22444x x x x x；（4）原式=1322(cos sin )22(coscos sinsin )22cos()22333x x x x x .7、解：由已知得3sin()cos cos()sin5，即3sin[()]5，3sin()5所以3sin 5.又是第三象限角，于是2234cos1sin 1()55.因此555324272sin()sincoscos sin()()()()444525210.练习（P135）1、解：因为812，所以382又由4cos85，得243sin 1()855，3sin 385tan 484cos 85所以3424sinsin(2)2sin cos2()()488855252222437coscos(2)cossin()()488855252232tan23162484tantan(2)3482771tan1()842、解：由3sin()5，得3sin5，所以222316cos1sin1()525所以2221637cos2cos sin()255253、解：由sin 2sin且sin 0可得1cos2，又由(,)2，得2213sin 1cos1()22，所以sin 3tan (2)3cos2.新课程标准数学必修4第三章课后习题解答（第3页共12页）4、解：由1tan23，得22tan 11tan3.所以2tan6tan 10，所以tan 3105、（1）11sin15cos15sin 3024；（2）222cossincos 8842；（3）原式=212tan22.511tan4521tan 22.522；（4）原式=2cos452.习题3.1A 组（P137）1、（1）333cos()cos cos sin sin 0cos (1)sin sin 222；（2）333sin()sincoscossin1cos 0sincos222；（3）cos()cos cos sin sin 1cos 0sin cos ；（4）sin()sin coscos sin0cos(1)sinsin .2、解：由3cos,05，得2234sin1cos1()55，所以4331433cos()cos cossin sin666525210.3、解：由2sin,(,)32，得2225cos 1sin1()33，又由33cos ,(,)42，得2237sin1cos 1()44，所以53273527cos()cos cos sin sin ()()343412.4、解：由1cos7，是锐角，得22143sin1cos1()77因为,是锐角，所以(0,)，又因为11cos()14，所以221153sin()1cos ()1()1414所以coscos[()]cos()cos sin()sin11153431()14714725、解：由60150，得9030180又由3sin(30)5，得2234cos(30)1sin (30)1()55所以coscos[(30)30]cos(30)cos30sin(30)sin 30新课程标准数学必修4第三章课后习题解答（第4页共12页）43314335252106、（1）624；（2）264；（3）23.7、解：由2sin ,(,)32，得2225cos 1sin1()33.又由3cos 4，是第三象限角，得2237sin1cos 1()44.所以cos()cos cos sin sin 5327()()3434352712sin()sin cos cos sin 2357()()()3434635128、解：∵53sin ,cos 135AB且,A B 为ABC 的内角∴0,02AB，124cos ,sin 135AB当12cos 13A时，sin()sin cos cos sin A B A B A B5312433()013513565A B ，不合题意，舍去∴124cos ,sin 135A B∴cos cos()(cos cos sin sin )CA B A B A B 1235416()135135659、解：由3sin,(,)52，得2234cos 1sin1()55.∴sin 353tan()cos544.∴31tan tan 242tan()311tantan111()42.新课程标准数学必修4第三章课后习题解答（第5页共12页）31tan tan 42tan()2311tantan1()42.10、解：∵tan ,tan是22370xx 的两个实数根.∴3tantan2，7tantan2.∴3tantan 12tan()71tantan31()2.11、解：∵tan()3,tan()5∴tan()tan()tan 2tan[()()]1tan()tan()3541357tan()tan()tan2tan[()()]1tan()tan()351135812、解：∵::2:3:6BD DC AD∴11tan,tan32BD DC ADAD ∴tantan tan tan()1tan tan BAC1132111132又∵0180BAC ，∴45BAC 13、（1）65sin()6x；（2）3sin()3x ；（3）2sin()26x ；（4）27sin()212x ；（5）22；（6）12；（7）sin()；（8）cos()；（9）3；（10）tan().14、解：由sin0.8,(0,)2，得22cos 1sin10.80.6∴sin 22sin cos 20.80.60.962222cos2cossin0.60.80.2815、解：由3cos,1802703，得2236sin1cos 1()33∴6322sin 22sin cos 2()()3332222361cos2cossin()()333sin 222tan2(3)22cos2316、解：设5sin sin 13BC，且090B，所以12cos 13B.βαDACB（第12题）新课程标准数学必修4第三章课后习题解答（第6页共12页）∴512120sin sin(1802)sin 22sin cos 21313169A B B B B2222125119cos cos(1802)cos2(cos sin )(()())1313169A B BB B sin 120169120tan ()cos 169119119A AA17、解：22122tan33tan 211tan41()3，13tan tan274tan(2)1131tan tan 2174.18、解：1cos()cos sin()sin 31cos[()]3，即1cos 3又3(,2)2，所以22122sin1cos 1()33∴22142sin 22sin cos 2()33922221227cos2cossin()()339∴72422728cos(2)cos2cossin2sin()44492921819、（1）1sin 2；（2）cos2；（3）1sin 44x ；（4）tan2.习题3.1B 组（P138）1、略.2、解：∵tan ,tan A B 是x 的方程2(1)10xp x ，即210x px p 的两个实根∴tan tan A B p ，tan tan 1A B p ∴tan tan[()]tan()CAB A B tan tan 11tan tan 1(1)ABp A Bp 由于0C ，所以34C.3、反应一般的规律的等式是（表述形式不唯一）223sincos (30)sin cos(30)4（证明略）本题是开放型问题，反映一般规律的等式的表述形式还可以是：223sin (30)cossin(30)cos 4223sin (15)cos (15)sin(15)cos(15)4223sincossin cos4，其中30，等等思考过程要求从角，三角函数种类，式子结构形式三个方面寻找共同特点，从而作出归纳.对认识三角函数式特点有帮助，证明过程也会促进推理能力、运算能力的提高.4、因为12PAPP ，则2222(cos()1)sin ()(cos cos )(sin sin )新课程标准数学必修4第三章课后习题解答（第7页共12页）即22cos()22cos cos 2sin sin所以cos()cos cossin sin3．2简单的三角恒等变换练习（P142）1、略.2、略.3、略.4、（1）1sin 42y x .最小正周期为2，递增区间为[,],8282k k kZ ，最大值为12；（2）cos 2y x.最小正周期为2，递增区间为[2,22],k k k Z ，最大值为3；（3）2sin(4)3yx.最小正周期为2，递增区间为5[,],242242kk kZ ，最大值为 2.习题3.2A 组（P143）1、（1）略；（2）提示：左式通分后分子分母同乘以2；（3）略；（4）提示：用22sincos代替1，用2sin cos 代替sin 2；（5）略；（6）提示：用22cos 代替1cos2；（7）提示：用22sin 代替1cos2，用22cos 代替1cos2；（8）略.2、由已知可有1sincoscos sin2……①，1sin coscos sin3……②（1）②×3－①×2可得sin cos 5cos sin（2）把（1）所得的两边同除以cos cos 得tan 5tan注意：这里cos cos0隐含与①、②之中3、由已知可解得1tan2.于是2212()2tan 42tan211tan31()21tantan1142tan()1431tantan1()142∴tan24tan()44、由已知可解得sinx ，cos y，于是2222sincos 1xy.5、()2sin(4)3f x x，最小正周期是2，递减区间为7[,],242242k k kZ .习题3.2B 组（P143）1、略.2、由于762790，所以sin 76sin(9014)cos14m新课程标准数学必修4第三章课后习题解答（第8页共12页）即22cos 71m ，得1cos72m 3、设存在锐角,使223，所以23，tan()32，又tantan 232，又因为tantan2tan()21tan tan2，所以tantan tan()(1tantan )33222由此可解得tan 1，4，所以6.经检验6，4是符合题意的两锐角.4、线段AB 的中点M 的坐标为11((cos cos ),(sinsin ))22.过M 作1MM 垂直于x 轴，交x 轴于1M ，111()()22MOM .在Rt OMA 中，coscos22OMOA .在1Rt OM M 中，11cos cos cos 22OM OM MOM ，11sin sincos22M MOM MOM .于是有1(cos cos )cos cos 222，1(sin sin )sin cos2225、当2x时，22()sin cos 1f ；当4x时，4422222()sin cos(sincos )2sincosf 211sin 22，此时有1()12f ≤≤；当6x 时，662232222()sincos(sincos)3sincos(sincos)f 231sin 24，此时有1()14f ≤≤；由此猜想，当2,x k k N 时，11()12k f ≤≤6、（1）345(sin cos )5sin()55yxx x，其中34cos,sin55所以，y 的最大值为5，最小值为﹣5；（第4题）新课程标准数学必修4第三章课后习题解答（第9页共12页）（2）22sin()yab x，其中2222cos,sina b abab所以，y 的最大值为22ab ，最小值为22ab ；第三章复习参考题A 组（P146）1、1665.提示：()2、5665.提示：5sin()sin[()]sin[()()]443、1.4、（1）提示：把公式tantantan()1tan tan变形；（2）3；（3）2；（4）3.提示：利用（1）的恒等式.5、（1）原式=cos103sin104sin(3010)4sin10cos10sin 20；（2）原式=sin10sin103cos10sin 40(3)sin 40cos10cos10=2sin 40cos40sin801cos10cos10；（3）原式=3sin 203sin 20cos20tan70cos10(1)tan70cos10cos20cos20=sin 702sin10sin 20cos101cos70cos20cos70；（4）原式=3sin10cos103sin10sin50(1)sin 50cos10cos102cos50sin100sin501cos10cos106、（1）95；（2）2425；（3）223.提示：4422222sincos(sincos)2sincos；（4）1725.7、由已知可求得2cos cos 5，1sin sin5，于是sin sin 1tan tancos cos2.8、（1）左边=222cos 214cos232(cos 22cos 21)22242(cos21)2(2cos )8cos=右边（2）左边=2222sincos2sincos (sincos )2cos 2sin cos 2cos (cos sin )新课程标准数学必修4第三章课后习题解答（第10页共12页）（第12（2）题）sincos 11tan2cos 22=右边（3）左边=sin(2)2cos()sin sin[()]2cos()sinsin2cos (cos sin )sin()coscos()sinsinsinsin=右边（4）左边=222234cos 22cos 212(cos 22cos 21)34cos 22cos 212(cos 22cos 21)A A A A A A A A 2224222(1cos2)(2sin )tan (1cos2)(2cos )A A A A A =右边9、（1）1sin 21cos2sin 2cos222sin(2)24y x xx x x递减区间为5[,],88k k kZ （2）最大值为22，最小值为22.10、2222()(cos sin )(cos sin )2sin cos cos2sin 22cos(2)4f x x x x x x xx x x（1）最小正周期是；（2）由[0,]2x 得52[,]444x，所以当24x ，即38x时，()f x 的最小值为2.()f x 取最小值时x 的集合为3{}8.11、2()2sin 2sin cos 1cos2sin 22sin(2)14f x xx xx xx（1）最小正周期是，最大值为21；（2）()f x 在[,]22上的图象如右图：12、()3sin cos 2sin()6f x xxa xa .（1）由21a 得1a ；（2）2{22,}3x k x k kZ ≤≤.13、如图，设ABD ，则CAE ，2sin h AB，1cos h AC所以1212sin 2ABCh h S AB AC，(0)2当22，即4时，ABCS的最小值为12h h .第三章复习参考题B 组（P147）h 1h 2l 2l 1BDE AC（第13题）新课程标准数学必修4第三章课后习题解答（第11页共12页）1、解法一：由221sin cos 5sincos1，及0≤≤，可解得4sin5，13cos sin 55，所以24sin 225，7cos225，312sin(2)sin 2cos cos2sin 44450.解法二：由1sincos5得21(sincos )25，24sin 225，所以249cos 2625.又由1sin cos5，得2sin()410.因为[0,]，所以3[,]444.而当[,0]44时，sin()04≤；当3[,]444时，22sin()4210≥.所以(0,)44，即(,)42所以2(,)2，7cos225.312sin(2)4502、把1coscos 2两边分别平方得221coscos 2cos cos 4把1sinsin3两边分别平方得221sin sin2sin sin9把所得两式相加，得1322(cos cos sin sin )36，即1322cos()36，所以59cos()723、由43sin()sin 35可得3343sincos225，4sin()65.又02，所以366，于是3cos()65.所以334cos cos[()]66104、22sin 22sin 2sin cos 2sin 2sin cos (cos sin )sin 1tan cos sin 1cos xxx x xx x xx x xx xx 1tan sin2sin2tan()1tan 4x xx x x由177124x得5234x，又3cos()45x ，所以4sin()45x ，4tan()43x新课程标准数学必修4第三章课后习题解答（第12页共12页）所以2cos cos[()]cos()cossin()sin44444410xx x x ，72sin 10x，7sin 22sin cos 25xx x所以2sin 22sin 281tan 75xx x，5、把已知代入222sin cos(sincos )2sin cos1，得22(2sin )2sin1.变形得2(1cos2)(1cos2)1，2cos 2cos2，224cos 24cos 2本题从对比已知条件和所证等式开始，可发现应消去已知条件中含的三角函数.考虑sin cos ，sin cos 这两者又有什么关系？及得上解法.5、6两题上述解法称为消去法6、()3sin 21cos22sin(2)16f x x x m xm .由[0,]2x 得72[,]666x，于是有216m .解得3m.()2sin(2)4()6f x xxR 的最小值为242，此时x 的取值集合由322()62x k kZ ，求得为2()3xk kZ 7、设APx ，AQy ，BCP ，DCQ ，则tan 1x ，tan1y于是2()tan()()x y xy xy又APQ 的周长为2，即222x yxy，变形可得2()2xy x y 于是2()tan()1()[2()2]x y xy x y .又02，所以4，()24PCQ.8、（1）由221sin cos 5sincos 1，可得225sin5sin 120解得4sin 5或3sin 5（由(0,)，舍去）所以13cossin 55，于是4tan 3（2）根据所给条件，可求得仅由sin ,cos ,tan 表示的三角函数式的值，例如，sin()3，cos22，sincos 2tan，sincos 3sin2cos，等等.。

【配套K12】高中数学第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式课时作业新人教版必修4

【创新设计】（浙江专用）2016-2017高中数学第三章三角恒等变换 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式课时作业新人教版必修41.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]的图象大致为( )解析如图所示，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，则P (cos x ，sin x )，M (cos x ，0)，作MM ′⊥OP ，M ′为垂足，则|MM ′||OM |＝sin x ，∴f （x ）cos x＝sin x ，∴f (x )＝sin x cos x ＝12sin 2x ，则当x ＝π4时，f (x )max ＝12；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，有f （x ）|cos x |＝sin(π－x )，f (x )＝－sin x cos x ＝－12sin 2x ，当x ＝3π4时，f (x )max ＝12.只有B 选项的图象符合. 答案 B 2.3－sin 70°2－cos 210°的值是( ) A.12B.22C.2D.32解析原式＝3－sin 70°2－12（1＋cos 20°）＝2（3－cos 20°）3－cos 20°＝2.答案 C3.若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α的值为( ) A.－13B.－79C.13D.79解析 cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝－cos[2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α]＝－[1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α]＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－1＝－79.答案 B4.设sin 2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是________.解析因为sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－12，sin α＝1－cos 2α＝32，所以tan α＝－3，则tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－（－3）2＝ 3. 答案35.若α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于________.解析由sin 2 α＋cos 2α＝14得sin 2 α＋1－2sin 2 α＝1－sin 2 α＝cos 2α＝14.∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝12，∴α＝π3，∴tan α＝tan π3＝ 3.答案36.已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，x ∈R .(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6的值； (2)若cos θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求f ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π3. 解 (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－π12＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝2cos π4＝1； (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3－π12＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝cos 2θ－sin 2θ因为cos θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，所以sin θ＝－45，所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝－2425，cos 2θ＝cos 2 θ－sin 2θ＝－725，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝cos 2θ－sin 2θ＝－725－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425＝1725. 7.求值：(1)sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°. (2)sin 50°（1＋3tan 10°）－cos 20°cos 80°1－cos 20°.解 (1)原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12° ＝sin 6°cos 6°cos 12°cos 24°cos 48°cos 6°＝sin 96°16cos 6°＝cos 6°16cos 6°＝116. (2)∵sin 50°(1＋3tan 10°) ＝sin 50°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°·2sin 40°cos 10°＝sin 80°cos 10°＝1，cos 80°1－cos 20°＝sin 10°2sin 210°＝2sin 210°， ∴sin 50°（1＋3tan 10°）－cos 20°cos 80°1－cos 20°＝1－cos 20°2sin 210°＝2sin 210°2sin 210°＝ 2. 8.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝210，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4.(1)求sin x 的值. (2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的值.解 (1)因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，所以x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，于是sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝7210，则sin x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos π4＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4sin π4＝7210×22＋210×22＝45.(2)因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，故cos x ＝－1－sin 2x ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－35， sin 2x ＝2sin x cos x ＝－2425，cos 2x ＝2cos 2x －1＝－725，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 ＝sin 2x cos π3＋cos 2x sin π3＝－24＋7350.能力提升9.4cos 50°－tan 40°＝( ) A. 2 B.2＋32C. 3D.22－1解析 4cos 50°－tan 40°＝4cos 50°－sin 40°cos 40°＝4cos 50°cos 40°－sin 40°cos 40°＝4sin 40°cos 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2sin （60°＋20°）－sin （60°－20°）cos 40°＝32cos 20°＋32sin 20°cos 40°＝3cos 40°cos 40°＝3，选C.答案 C10.若1－tan θ2＋tan θ＝1，则cos 2θ1＋sin 2θ的值为( )A.3B.－3C.－2D.－12解析 ∵1－tan θ2＋tan θ＝1，∴tan θ＝－12.∴cos 2θ1＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θ（sin θ＋cos θ）2＝cos θ－sin θcos θ＋sin θ＝1－tan θ1＋tan θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3. 答案 A11.函数y ＝sin 2x ＋23sin 2x 的最小正周期T 为________. 解析 y ＝sin 2x ＋23sin 2 x ＝sin 2x ＋23×1－cos 2x2＝sin 2x －3cos 2x ＋ 3 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3，所以周期T ＝2π2＝π.答案 π12.已知tan θ2＝3，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝______.解析 1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝2sin 2θ2＋2sin θ2cosθ22cos 2θ2＋2sin θ2cosθ2＝2sin θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ22cos θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ2＋sin θ2＝tan θ2＝3.答案 313.设f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2m sin x cos x ，x ∈R .(1)当m ＝0时，求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3内的最小值及相应的x 的值；(2)若f (x )的最大值为12，求m 的值.解 (1)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，则2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤16π，56π，所以f (x )min＝12，此时x ＝0或π3.(2)令f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2m sin x cos x ＝⎝⎛⎭⎪⎫m ＋32·sin 2x ＋12cos 2x ＝⎝⎛⎭⎪⎫m ＋322＋14sin(2x ＋φ)，其中tan φ＝12m ＋32，于是f (x )max ＝⎝⎛⎭⎪⎫m ＋322＋14，令⎝⎛⎭⎪⎫m ＋322＋14＝12，得m ＝－32. 探究创新14.已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a ·b .(1)求f (x )的最小正周期.(2)求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值.解 (1)f (x )＝a ·b ＝cos x ·3sin x －12cos 2x＝32sin 2x －12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. 最小正周期T ＝2π2＝π.所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的最小正周期为π. (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，由正弦函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上的图象知，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1. 所以，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值分别为1，－12.。

[配套k12学习]新版高中数学人教A版必修4习题：第三章三角恒等变换检测B

第三章检测(B)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知taA.C.解析:tanα=taC.答案:C2已知sin 2αAC解析:由半角公式可得,cos答案:A3A≤a≤C.a≤a≤解析:由x+cos x=2si则-2≤2a-3≤2,≤a≤答案:A4函数y=siA.π,1B.πC.2π,1D.2π解析:∵y=sin2x·2x·2x·2x·2x, ∴T=π,y max=1.答案:A5设aA.a>b>cB.a<b<cC.b<c<aD.a<c<b解析:a6°6°=sin24°,b=2sin13°cos13°=sin26°,c25°,所以a<c<b.答案:D6若函数f(x)=(1≤xA.1B.2C解析:f(x)=cos x x==2si∴当x,f(x)取最大值2.答案:B7已知cos2α-cos2β=a,那么sin(α+β)sin(α-β)=()A.C.-aD.a解析:sin(α+β)sin(α-β)=(sinαcosβ+cosαsinβ)·(sinαcosβ-cosαsinβ)=sin2αcos2β-cos2αsin2β=(1-cos2α)cos2β-cos2α(1-cos2β)=cos2β-cos2α=-a.故选C.答案:C8已知coA.C.解析:∵coα+sinα∴si∴si答案:C94cos 50°-tan 40°=()ABCD.解析:4cos50°-tan40°答案:C10已知角α,β满AC解析:设sin(α-β)=x,即sinαcosβ-cosαsinβ=x.①又sin(α+β)即sinαcosβ+cosαsinβ由①②得,sinαcosβαsinβ解得x=答案:B二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11化简解析:原=cosα.答案:cos α12已知(sin x-2cos x)(3+2sin x+2cos x)=0,解析:∵3+2sin x+2cos x=3+≥3-∴3+2sin x+2cos x≠0,∴sin x-2cos x=0,即sin x=2cos x,∴(2cos x)2+cos2x=1,cos2x=2cos2x答案:13已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0),x∈R.若函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数y=f(x)的图象关于直线x=ω对称,则ω的值为.答案:14已知α,β∈解析:∴tanα∵3sinβ=sin(2α+β),∴3sin[(α+β)-α]=sin[(α+β)+α],即3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα, 化简得sin(α+β)cosα=2cos(α+β)sinα,即tan(α+β)=2tanα=1.又α,β∈∴α+β∈∴α+β答案:15已知α为第二象限角,函数f(x)=2cos解析:因为f(x)=2cos x=1+cos x x=1+2co所以1+2cosα即cosα=又α为第二象限角,所以sinα所答案:三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)已知tan α=2.(1)求ta(2)解(1)ta(217(8分)已知tan α=∈(0,π).求:(1)tan(α+β)的值;(2分析(1)先求出tanβ,再用两角和的正切公式求解;(2)求出sinα,cosα,sinβ代入公式可得.解(1)由cosβ∈(0,π),得sinββ=2.所以tan(α+β)(2)因为tanα=∈(0,π),所以sinαα=.所以原式=18(9分)已知函数f(x)∈R.(1)求(2)若cos θ解(1)(2)=cos2θ-sin2θ.因为cosθ所以sinθ=sin2θ=2sinθcosθ=2θ=cos2θ-sin2θ=所2θ-sin2θ=19(10分)已知函数f(x)=2si(1)求函数f(x)的最小正周期及最值;(2)令g(x)=解(1)∵f(x)=si=si=2si∴f(x)的最小正周期为T当si,f(x)取得最小值-2;当si,f(x)取得最大值2.(2)g(x)是偶函数,理由如下:由(1)知f(x)=2si∴g(x)==2si=2si∵g(-x)=2co∴函数g(x)是偶函数.20(10分)已知函数f(x)=si(1)求f(x)的单调递增区间;(2)若α是第二象限角,解(1)因为函数y=sin x的单调递增区间∈Z,≤3x∈Z,≤x≤∈Z.所以,函数f(x)的单调递增区间∈Z.(2)由已知,有si·(cos2α-sin2α),所以sinαcoαsi即sinα+cosαα-sinα)2(sinα+cosα).当sinα+cosα=0时,由α是第二象限角,知α∈Z.此时,cosα-sinα=当sinα+cosα≠0时,有(cosα-sinα)2由α是第二象限角,知cosα-sinα<0,此时cosα-sinα=综上所述,cosα-sinα=。

(精编)人教新课标A版高中数学必修4 第三章三角恒等变换 3.2简单

人教新课标A版高中数学必修4 第三章三角恒等变换 3.2简单的三角恒等变换同步测试B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共15题；共30分)1. （2分）若2sinx=1+cosx，则的值等于（）A .B . 或不存在C . 2D . 2或2. （2分）设A、B、C为三角形的三内角，且方程（sinB﹣sinA）x2+（sinA﹣sinC）x+（sinC﹣sinB）=0有等根，那么角B（）A . B＞60°B . B≥60°C . B＜60°D . B≤60°3. （2分）设均为锐角，且，则（）A .B .C . 或D . 或4. （2分）若则的值为（）A .B .C .D . -25. （2分）设f(x)=cosx-sinx把y=f(x)的图象按向量(>0)平移后，恰好得到函数y=(x)的图象，则的值可以为（）A .B .C . πD .6. （2分） (2018高一下·濮阳期末) 若将函数的图形向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是（）A .B .C .D .7. （2分）(2018·全国Ⅰ卷文) 已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos2α= ,则|a-b|=（）A .B .C .D . 18. （2分） (2020高一下·宁波期中) 已知，则的值为（）A .B . -3C .D . 39. （2分）将函数的图像向右平移个单位，再将图像上每一点横坐标缩短到原来的倍，所得图像关于直线对称，则的最小正值为（）A .B .C .D .10. （2分） (2018高一下·平顶山期末) 设，则下列式子正确的是（）A .B .C .D .11. （2分） (2019高一下·上高月考) 已知，，，则（）A .B .C .D .12. （2分）函数y＝12sin＋5sin的最大值为（）A . 6＋B . 17C . 13D . 1213. （2分） (2017高一下·沈阳期末) 设都是锐角，且，，则等于（）A .B .C . 或D . 或14. （2分）计算A .B .C .D .15. （2分）为了得到函数的图像,可以将函数y=2sin2x的图像（）A . 向右平移个单位长度B . 向右平移个单位长度C . 向左平移个单位长度D . 向左平移个单位长度二、填空题 (共5题；共5分)16. （1分） (2020高二上·重庆月考) 已知a，b，c分别为三个内角A、B、C的对边，，，则的面积为________.17. （1分）已知，且，则的值为________．18. （1分） (2016高一下·岳阳期末) 已知tanα=cosα，那么sinα=________．19. （1分） (2016高三上·盐城期中) 已知sinα= ，且α为钝角，则cos =________．20. （1分）若，，则cos2α=________．三、解答题 (共5题；共25分)21. （5分）已知sinx=，角x终边在第一象限，求tan的值．22. （5分）若，，且，，求（1）sin2β的值．（2）cosα的值．23. （5分） (2018高一下·威远期中) 已知(Ⅰ)求的值.(Ⅱ)求的值24. （5分） (2019高三上·中山月考) 已知函数 , .（Ⅰ）求函数的最大正周期与单调增区间值;（Ⅱ）求函数在区间上的最大值与最小值.25. （5分）已知关于x的方程sinxsin5x=a在x∈[0，π）上有唯一解，求实数a的取值范围．参考答案一、单选题 (共15题；共30分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：二、填空题 (共5题；共5分)答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、解析：三、解答题 (共5题；共25分)答案：21-1、考点：解析：答案：22-1、解析：答案：23-1、考点：解析：答案：24-1、考点：解析：答案：25-1、考点：解析：。

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3.2简单的三角恒等变换第1课时三角恒等变换课时过关·能力提升基础巩固1设5π<θ<6π,co sθ2=a,那么sinθ4等于()A.−√1+a2B.−√1-a2C.−√1+a2D.−√1-a2解析:若5π<θ<6π,则5π2<θ2<3π,5π4<θ4<3π2,则si nθ4=−√1-cosθ22=−√1-a2.答案:D2y=sin x cos x+sin2x可化为()A.y=√22sin(2x-π4)+12B.y=√2sin(2x+π4)−12C.y=si n(2x-π4)+12D.y=2si n(2x+3π4)+1解析:y=12sin2x+1-cos2x2=12sin2x−12cos2x+12=√22(√22sin2x-√22cos2x)+12=√22sin(2x-π4)+12.答案:A3已知cos α=−15,π<α<3π2,则sinα2等于()A.−√105B.√105C.−√155D.√155解析:∵π2<α<π,∴π4<α2<π2,则si nα2=√1-cosα2=√155.答案:D42sin2αsin2α·2cos2αcos2α等于()A.tan αB.tan 2αC.1D.12解析:原式=(2sinαcosα)2sin2αcos2α=sin22αsin2αcos2α=sin2αcos2α=tan2α.答案:B5化简cos2αtan(π4+α)=() A.sin α B.cos αC.1+sin 2α D.1-sin 2α解析:原式=sin(π2+2α)tan(π4+α)=sin2(π4+α)tan(π4+α)=2si n(π4+α)cos(π4+α)·cos(π4+α)sin(π4+α)=2cos2(π4+α)=1+cos2(π4+α)=1+co s(π2+2α)=1−sin2α.答案:D6已知sin θ=45,θ∈(π2,π),则cosθ2=.解析:∵θ∈(π2,π),∴θ2∈(π4,π2).∴cosθ=−√1-sin2θ=−35.∴co sθ2=√1+cosθ2=√55.答案:√557若sin(α-π4)cos2α=−√2,则sin α+cos α的值为.解析:由已知得sinαcosπ4-cosαsinπ4cos2α-sin2α=√22(sinα-cosα)(cosα+sinα)(cosα-sinα)=√2(sinα+cosα)=−√2.∴sin α+cos α=12. 答案:128已知ta n α2=13,则cos α= .解析:∵ta n α2=±√1-cosα1+cosα,∴tan2α2=1-cosα1+cosα.∴1-cosα1+cosα=19,解得cos α=45.答案:459已知sin θ+cos θ=2sin α,sin 2β=sin θcos θ,求证:2cos 2α=cos 2β.分析观察已知条件和要证的结论,发现要证的等式中不含角θ,因此从已知条件中消去角θ,问题即可得证.证明由题意,得{2sinα=sinθ+cosθ,sin 2β=sinθcosθ.①②①2-②×2,得4sin 2α-2sin 2β=1.∴1-2sin 2β=2-4sin 2α,则有cos2β=2cos2α.10已知函数f (x )=2sin(π-x )cos x.(1)将f (x )化为A sin(ωx+φ)的形式(A>0,ω>0);(2)求f (x )的最小正周期;(3)求f (x )在区间[-π6,π2]上的最大值和最小值.解(1)f (x )=2sin(π-x )cos x=2sin x cos x=sin2x.(2)由(1)知函数f (x )的最小正周期为T =2π2=π. (3)由−π6≤x ≤π2,得−π3≤2x ≤π,所以−√32≤sin2x ≤1,即f (x )的最大值为1,最小值为−√32.能力提升1已知θ为锐角,sin 2θ=−79,则sin (π4+θ)=( )A.±13B.13C.−13D.±√23解析:∵θ是锐角,∴π4+θ<π,∴si n (π4+θ)>0. ∵sin2θ=-co s (π2+2θ)=2sin2(θ+π4)−1=−79,∴sin 2(θ+π4)=19, ∴si n (θ+π4)=13.答案:B2函数f (x )=co s (2x +π3)+12−12cos 2x,则f(x)可化为( ) A .12−√32sin 2xB.12+√32sin 2xC.1−√3sin 2xD.−√32sin 2x解析:f(x)=cos2x co s π3−sin2x si nπ3+12−12cos2x=12cos2x−√32sin2x+12−12cos2x=12−√32sin2x.答案:A3已知向量m=(sin x,1),n=(√3Acosx,A2cos2x)(A>0),函数f(x)=m·n的最大值为6,则A的值为()A.6B.3C.3√2D.12解析:f(x)=m·n=√3Asin x cos x+A2cos2x=A(√32sin2x+12cos2x)=A si n(2x+π6).因为A>0,所以A=6.答案:A4若si n(3π2-2x)=35,则tan2x=.解析:si n(3π2-2x)=−cos2x=sin2x-cos2x=sin2x-cos2xsin2x+cos2x=tan2x-1tan2x+1=35,解得tan2x=4.答案:4★5若co s(π4+θ)cos(π4-θ)=14,则sin4θ+cos4θ=.解析:co s(π4+θ)cos(π4-θ)=cos(π4+θ)sin(π4+θ)=12sin2(π4+θ)=12sin (π2+2θ)=12cos 2θ=14,∴cos2θ=12.∴sin 4θ+cos 4θ=(sin 2θ+cos 2θ)2-2sin 2θcos 2θ =1−12sin22θ=1−12(1−cos22θ) =1−12×(1-14)=58. 答案:586已知函数f (x )=sin x+si n (x +π2),x ∈R .(1)将f (x )化为A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的形式;(2)求f (x )的最小正周期;(3)求f (x )的最大值和最小值.解(1)f (x )=sin x+si n (x +π2)=sin x+cos x =√2(√22sinx +√22cosx)=√2sin (x +π4). (2)f (x )的最小正周期为2π.(3)∵si n (x +π4)的最大值、最小值分别为1,-1, ∴f (x )的最大值为√2,最小值为−√2.7在△ABC 中,已知ta n A+B 2=sin C,求sin C 2的值.解∵A+B+C=π,∴A+B 2=π2−C 2.∴ta n A+B 2=tan (π2-C 2)=cos C 2sin C 2=sin C. ∴2si n C 2·co s C 2=cos C 2sin C 2.又C ∈(0,π),∴C 2∈(0,π2).∴co s C 2≠0.∴2si n C 2=1sin C 2, ∴sin 2C 2=12.又0<C 2<π2,∴sin C 2>0.∴sin C 2=√22.★8设2si n (π4+α)=sin θ+cos θ,2sin2β=sin 2θ.求证:sin 2α+12cos 2β=0.证明将2si n (π4+α)=sin θ+cos θ两边平方,得2sin θcos θ=4sin 2(π4+α)−1,即sin2θ=4sin 2(π4+α)−1,将sin2θ=2sin 2β代入,得2sin 2β=4sin 2(π4+α)−1,∴1-cos2β=4sin 2(π4+α)−1.∴2[1-2sin 2(π4+α)]=cos 2β. ∴-2sin2α=cos2β,即sin2α+12cos 2β=0.。