2010届高三一轮复习数学精品资料：4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数

合集下载

高考数学一轮复习专题4.1 任意角和弧度制及任意角的

第01节任意角和弧度制及任意角的三角函数【考纲解读】考点考纲内容5年统计分析预测 1.任意角的概念、弧度制了解角、角度制与弧度制的概念，掌握弧度与角度的换算.无1.三角函数的定义；2.扇形的面积、弧长及圆心角.3.备考重点： (1) 理解三角函数的定义；(2) 掌握扇形的弧长及面积计算公式.2.三角函数的定义理解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义.无【知识清单】1．象限角及终边相同的角 1．任意角、角的分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2)终边相同的角：终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )． 2.弧度制：①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝l r，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值l r与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关．3.弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．对点练习：下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A.2k π＋45°(k ∈Z )B.k ·360°＋94π(k ∈Z )C.k ·360°－315°(k ∈Z )D.kπ＋5π4(k ∈Z )【答案】C.确.2．三角函数的定义1.任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．2．三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦 3.三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M .由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cos_α，sin_α)，即P (cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM ，sin α＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan α＝AT .我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线.三角函数线有向线段MP 为正弦线有向线段OM 为余弦线有向线段AT 为正切线对点练习：【河南省林州一中2017-2018上学期开学】已知角α终边经过点3122P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则cos α=（） A.123312±【答案】B【解析】由于31,2r OP x ===，所以由三角函数的定义可得3cos 2x r α==，应选答案B.3. 扇形的弧长及面积公式弧长公式：l ＝|α|r ，扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2.对点练习：已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l. (1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；(2)已知扇形的周长为10 cm ，面积是4 cm 2，求扇形的圆心角；(3)若扇形周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【答案】(1) 10π3(cm).(2)圆心角为12.(3)l ＝10，α＝2.【解析】(1)α＝60°＝π3 rad ，∴l ＝α·R＝π3×10＝10π3(cm).【考点深度剖析】高考对任意角三角函数定义的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求学生深刻认识利用坐标法定义任意角三角函数的背景和目的．纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是直接利用任意角三角函数的定义求其三角函数值；二是根据任意角三角函数的定义确定终边上一点的坐标．【重点难点突破】考点1 象限角及终边相同的角【1-1】已知角α＝45°，(1)在－720°～0°范围内找出所有与角α终边相同的角β；(2)设集合M=18045,,N=18045,24k k x x k x x k ⎧⎫⎧⎫=⨯+∈=⨯+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Z Z o o o o ，判断两集合的关系．【答案】（1）β＝－675°或β＝－315°.(2)M N ⊆. 【解析】(1)所有与角α有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )，则令－720°≤45°＋k ×360°<0°，得－765°≤k ×360°<－45°，解得－765360≤k <－45360，从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.(2)因为M ＝{x |x ＝(2k ＋1)×45°，k ∈Z }表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合N ＝{x |x ＝(k ＋1)×45°，k ∈Z }表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而M N ⊆.【1-2】若sin 0θ>且sin 20θ>，则角θ的终边所在象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A【1-3】终边在直线y ＝3x 上的角的集合为________．【答案】{α|α＝k π＋π3，k ∈Z }【解析】终边在直线y ＝3x 上的角的集合为{α|α＝k π＋π3，k ∈Z }．【1-4】若角α是第二象限角，试确定α2，2α的终边所在位置．【答案】角α2的终边在第三象限或第四象限或y 轴的负半轴上,2α的终边在第一象限或第三象限.【解析】∵角α是第二象限角，∴ 22,2k k k Z ππαππ+<<+∈，（1）4242,k k k Z ππαππ+<<+∈，∴ 角α2的终边在第三象限或第四象限或y 轴的负半轴上．综上所述，2的终边在第一象限或第三象限．【领悟技法】1.对与角α终边相同的角的一般形式α＋k ·360°(k ∈Z )的理解;(1)k ∈Z;(2)α任意角;(3)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同.2.利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角3.已知角α的终边位置，确定形如kα，π±α等形式的角终边的方法：先表示角α的范围，再写出kα、π±α等形式的角范围，然后就k 的可能取值讨论所求角的终边位置【触类旁通】【变式一】如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图象大致为( )【答案】C当t ＝0时，d ＝2，排除A 、D ；当t ＝π4时，d ＝0，排除B.考点2 三角函数的定义【2-1】已知角α的终边经过点P (m ，－3)，且cos α＝－45，则m 等于( )A ．－114 B.114 C ．－4 D ．4【答案】C【解析】由题意可知，cos α＝m m 2＋9＝－45，又m <0，解得m ＝－4.【2-2】已知角α的终边与单位圆的交点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，32，则tan α＝( ) A. 3B ．± 3 C.33D ．±33【答案】B【解析】由|OP |2＝x 2＋34＝1，得x ＝±12，tan α＝± 3.【2-3】已知角α的终边上有一点P (t ，t 2＋1)(t >0)，则tan α的最小值为( ) A ．1 B ．2 C.12D. 2【答案】B【解析】根据已知条件得tan α＝t 2＋1t ＝t ＋1t≥2，当且仅当t ＝1时，tan α取得最小值2.【2-4】已知角α的终边上一点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( )A.5π6B.2π3C.5π3D.11π6 【答案】D【领悟技法】1.已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后利用三角函数的定义求解．2.已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值．【触类旁通】【变式一】已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2,3] B ．(－2,3) C ．[－2,3)D ．[－2,3]【答案】A【解析】 ∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上．∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3.故选A.【变式二】已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值．【答案】0【解析】设α终边上任一点为P (k ，－3k )，则r ＝k 2＋－3k2＝10|k |.当k >0时，r ＝10k ， ∴sin α＝－3k10k＝－310，1cos α＝10 k k ＝10，∴10sin α＋3cos α＝－310＋310＝0；当k <0时，r ＝－10k ， ∴sin α＝－3k －10k ＝310，1cos α＝－10k k＝－10，∴10sin α＋3cos α＝310－310＝0.综上，10sin α＋3cos α＝0.考点3 扇形的弧长及面积公式【3-1】【2018届黑龙江省齐齐哈尔八中8月月考】若扇形的圆心角120α=o ，弦长12AB cm =，则弧长l =__________ cm ．【答案】833π 【解析】画出图形，如图所示.设扇形的半径为rcm ，由sin60°=6r，得r=43cm ， ∴l=n πr 180=2π3×43= 833π cm. 【3-2】已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？【答案】当r ＝10，θ＝2时，扇形面积最大【领悟技法】(1)弧度制下l ＝|α|·r ，S ＝12lr ，此时α为弧度．在角度制下，弧长l ＝n πr180，扇形面积S ＝n πr 2360，此时n 为角度，它们之间有着必然的联系．(2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形．【触类旁通】【变式一】一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( ) A.π3 B.2π3 C. 3 D. 2 【答案】C【变式二】一扇形的圆心角为120°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________．【答案】(7＋43)∶9【解析】设扇形半径为R ，内切圆半径为r .则(R －r )sin 60°＝r ，即R ＝1＋233r .又S 扇＝12|α|R 2＝12×2π3×R 2＝π3R 2＝7＋439πr 2，∴S 扇πr 2＝7＋439. 【易错试题常警惕】易错典例：已知角α的终边过点(,2)m m ,0m ≠,求角α的的正弦值、余弦值. 易错分析：学生在做题时容易遗忘0m <的情况．正确解析：当0m <时，2555,sin ,cos r m αα=-=-=-；当0m >时，2555,sin ,cos r m αα=-== 温馨提醒：本题主要考察了三角函数的定义以及分类讨论思想方法，这也是高考考查的一个重点.【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。

人教版高考数学理科一轮总复习配套课件4.1任意角和弧度制及任意角的三角函数

-9-
想一想你能判断 sin(cos x)和 cos(sin x)的符号吗? 答案:(1)当 cos x>0 时,sin(cos x)>0;当 cos x=0 时,sin(cos x)=0;当
cos x<0 时,sin(cos x)<0. (2)cos(sin x)>0 恒成立.
-10-
基础自测
< α < 2kπ + 2π,��∈Z
-5-
想一想你会区分“第一象限角”“小于 90° 的角”“锐角”的范围吗? 答案:“第一象限角”的范围为{α|k· 360° <α<k· 360° +90° ,k∈Z};
“小于 90° 的角”的范围为{α|α<90° }; “锐角”的范围为{α|0° <α<90° }.
关闭
A
解析考点一考点二考点三误区警示答案
2Байду номын сангаас
1 2
=-1,y=|OP|sin π=2×
3
2
3 2
=
关闭
3. P 点的坐标为 (-1, 3). (∴ -1, 3)
解析
答案
-14-
考点一象限角及终边相同的角
【例 1】若 α 是第三象限的角,则 π- α 是( A.第一或第二象限的角 C.第二或第三象限的角
1 2
)
B.第一或第三象限的角 D.第二或第四象限的角
-6-
2.弧度制 (1)弧度制长度等于
半径
长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角,以
弧度
作为单位来度量角的制度叫做弧度制. (2)角度与弧度之间的换算 360° =
π 180 π

高三数学一轮复习知识点专题4-1任意角和弧度制及任意角的三角函数

高三数学一轮复习知识点专题专题专题4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数【考情分析】1.了解任意角的概念；了解弧度制的概念．2.能进行弧度与角度的互化．3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 【重点知识梳理】知识点一角的概念 1．角的定义角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 2．角的分类角的分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分类⎩⎪⎨⎪⎧ 正角：按逆时针方向旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角零角：射线没有旋转按终边位置不同分类⎩⎪⎨⎪⎧象限角：角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角轴线角：角的终边落在坐标轴上3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z}或{β|β＝α＋2k π，k ∈Z}．知识点二弧度制及应用 1．弧度制的定义把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. 2．弧度制下的有关公式知识点三任意角的三角函数有向线段MP 为正弦线有向线段OM 为余弦线有向线段AT 为正切线【典型题分析】高频考点一象限角的判断【例1】（2020·新课标Ⅱ）若α为第四象限角，则（） A. cos2α>0 B. cos2α<0C. sin2α>0D. sin2α<0【答案】D 【解析】当6πα=-时，cos 2cos 03πα⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，选项B 错误；当3πα=-时，2cos 2cos 03πα⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，选项A 错误；由α在第四象限可得：sin 0,cos 0αα<>，则sin 22sin cos 0ααα=<，选项C 错误，选项D 正确；【变式探究】（2020·黑龙江省宁安市一中模拟）设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z ，那么( )A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅【答案】B【解析】由于M 中，x ＝k 2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N ，故选B 。

高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形4.1任意角蝗制及任意角的三角函数课件理

(2)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α 用集合可表示为_(2_k_π_＋__π4_，__2_k_π_＋__56_π_)_(k_∈__Z__) . 答案解析
在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为π4，56π， ∴所求角的集合为2kπ＋4π，2kπ＋56π(k∈Z).
弧度数是答案解析
π
π
A.3
B.6
C.－π3
D.－π6
将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角，故A、B不正确；
又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的 1 . 6
即为－16×2π＝－π3.
(2)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为
π
π
A.6
B.3
C.3
D. 3
答案
解析
如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，
2.弧度制
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号
rad表示，读作弧度.正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个
负数，零角的弧度数是 0 .
π
180
(2)角度制和弧度制的互化：180°＝ π
rad,1°＝180 rad，1 rad＝

π

.
1 (3)扇形的弧长公式：l＝ |α|·r ，扇形的面积公式：S＝ 2lr ＝
②若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数. 解答
由题意知l＋2r＝20，即l＝20－2r， S＝12l·r＝12(20－2r)·r＝－(r－5)2＋25，当r＝5时，S的最大值为25. 当 r＝5 时，l＝20－2×5＝10，α＝rl＝2(rad). 即扇形面积的最大值为25，此时扇形圆心角的弧度数为2 rad.

高三数学一轮复习第四章三角函数、解三角形 4.1任意角和弧度制及任意角的三角函数新人教B版

解析当 k＝2m＋1 (m∈Z)时，α＝2m·180°＋ 225°＝m·360°＋225°，故 α 为第三象限角；当 k ＝2m (m∈Z)时，α＝m·360°＋45°，故 α 为第一象限角．
5．已知扇形的周长是 6 cm，面积是 2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是( C ) A．1 B．4 C．1 或 4 D．2 或 4
α＝
____3 ____.
解析 ∵α＝－23π＋2kπ，k∈Z且4π<α<6π， ∴取k＝3，即α＝－23π＋6π＝136π.
3．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α
的终边在第___二_____象限．
解析 tan α<0且cos α<0，所以α在第二象限．
4．若 α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则 α 在( A ) A．第一或第三象限 B．第一或第二象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限
2．对三角函数的理解要透彻三角函数也是一种函数，它可以看成是从一个角
(弧度制)的集合到一个比值的集合的函数．也可以看成是以实数为自变量的函数，定义域为使比值有意义的角的范围．如tan α＝xy有意义的条件是角α终边上任一点P(x，y) 的横坐标不等于零，也就是角α的终边不能与y轴重合，故正切函数的定义域为α|α≠kπ＋π2，k∈Z.
思维启迪 (1)从终边相同的角的表示入手分析问题，先表示出所有与角 α 有相同终边的角，然后列出一个关于 k 的不等式，找出相应的整数 k，代入求出所求解； (2)可对整数 k 的奇、偶数情况展开讨论．解 (1)所有与角 α 有相同终边的角可表示为： β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°≤0°，得－765°≤k×360°≤－45°，解得－736650≤k≤－34650，从而 k＝－2 或 k＝－1，代入得 β＝－675°或 β＝－315°.

教学设计4：任意角、弧度制及任意角的三角函数

4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数【教学目标】1．考查三角函数的定义及应用． 2．考查三角函数值符号的确定．【复习指导】从近几年的高考试题看，这部分的高考试题大多为教材例题或习题的变形与创新，因此学习中要立足基础，抓好对部分概念的理解．【基础梳理】 1．任意角 (1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为、、． ②按终边位置不同分为和． (2)终边相同的角终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )． (3)弧度制①1弧度的角：叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为，负角的弧度数为，零角的弧度数为，|α|＝lr ，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制，比值lr 与所取的r 的大小，仅与角的大小有关．④弧度与角度的换算：360°＝弧度；180°＝弧度． ⑤弧长公式：，扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2.2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P (x ，y )，它与原点的距离为r (r ＞0)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx ，它们都是以角为，以比值为的函数． 3．三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的．由三角函数的定义知，点P 的坐标为，即P ，其中cos α＝，sin α＝，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan α＝ .我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的、、．三角函数线有向线段为正弦线有向线段为余弦线有向线段为正切线考向分析考向一角的集合表示及象限角的判定【例1】►(1)写出终边在直线y ＝3x 上的角的集合；(2)若角θ的终边与6π7角的终边相同，求在[0,2π)内终边与θ3角的终边相同的角；(3)已知角α是第二象限角，试确定2α、α2所在的象限．【训练1】角α与角β的终边互为反向延长线，则( )． A ．α＝－β B ．α＝180°＋β C ．α＝k ·360°＋β(k ∈Z ) D ．α＝k ·360°±180°＋β(k ∈Z )考向二三角函数的定义【例2】►已知角θ的终边经过点P (－3，m )(m ≠0)且sin θ＝24m ，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值．【训练2】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )．A ．－45B ．－35 C.35 D.45考向三弧度制的应用【例3】►已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10. (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S .【训练3】已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？考向四三角函数线及其应用【例4】►在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围．并由此写出角α的集合： (1)sin α≥32； (2)cos α≤－12.【训练4】求下列函数的定义域： (1)y ＝2cos x －1； (2)y ＝lg(3－4sin 2x )．提升演练1．下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )．A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋94π(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )2．若α＝k ·180°＋45°(k ∈Z )，则α在( )． A ．第一或第三象限 B ．第一或第二象限 C ．第二或第四象限D ．第三或第四象限3．若sin α＜0且tan α＞0，则α是( )． A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角 4．已知角α的终边过点(－1,2)，则cos α的值为( )． A ．－55 B.255 C ．－255 D ．－125．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴非负半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.答案【基础梳理】 1．(1)①正角、负角、零角 ②象限角和轴线角． (3)弧度制①把长度等于半径长的弧所对的圆心角 ②正数负数零 ③无关 ④2π π ⑤ l ＝|α|r2．自变量函数值3．正射影 (cos α，sin α) P (cos α，sin α) OM MP AT 余弦线、正弦线、正切线．MPOMAT【例1】►[审题视点] 利用终边相同的角进行表示及判断．解： (1)在(0，π)内终边在直线y ＝3x 上的角是π3，∴终边在直线y ＝3x 上的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝π3＋k π，k ∈Z .(2)∵θ＝6π7＋2k π(k ∈Z )，∴θ3＝2π7＋2k π3(k ∈Z )．依题意0≤2π7＋2k π3＜2π⇒－37≤k ＜187，k ∈Z .∴k ＝0,1,2，即在[0,2π)内终边与θ3相同的角为2π7，20π21，34π21.(3)∵α是第二象限角，∴k ·360°＋90°＜α＜k ·360°＋180°，k ∈Z . ∴2k ·360°＋180°＜2α＜2k ·360°＋360°，k ∈Z .∴2α是第三、第四象限角或角的终边在y 轴非正半轴上． ∵k ·180°＋45°＜α2＜k ·180°＋90°，k ∈Z ，当k ＝2m (m ∈Z )时，m ·360°＋45°＜α2＜m ·360°＋90°；当k ＝2m ＋1(m ∈Z )时，m ·360°＋225°＜α2＜m ·360°＋270°；∴α2为第一或第三象限角．方法总结： (1)相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍．(2)角的集合的表示形式不是唯一的，如：终边在y 轴非正半轴上的角的集合可以表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝2k π－π2，k ∈Z ，也可以表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝2k π＋3π2，k ∈Z .【训练1】【解析】对于角α与角β的终边互为反向延长线，则α－β＝k ·360°±180°(k ∈Z )． ∴α＝k ·360°±180°＋β(k ∈Z )．【答案】D【例2】► [审题视点] 根据三角函数定义求m ，再求cos θ和tan θ. 解由题意得，r ＝3＋m 2，∴m 3＋m 2＝24m ，∵m ≠0， ∴m ＝±5，故角θ是第二或第三象限角．当m ＝5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，5)，角θ是第二象限角， ∴cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan θ＝y x ＝5－3＝－153.当m ＝－5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，－5)，角θ是第三象限角． ∴cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan ＝y x ＝－5－3＝153.方法总结：任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P 的位置无关．若角α已经给出，则无论点P 选择在α终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的．【训练2】【解析】取终边上一点(a,2a )，a ≠0，根据任意角的三角函数定义，可得cos θ＝±55，故cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35.【答案】 B 【例3】►[审题视点] (1)由已知条件可得△AOB 是等边三角形，可得圆心角α的值；(2)利用弧长公式可求得弧长，再利用扇形面积公式可得扇形面积，从而可求弓形的面积．解： (1)由⊙O 的半径r ＝10＝AB ，知△AOB 是等边三角形， ∴α＝∠AOB ＝60°＝π3.(2)由(1)可知α＝π3，r ＝10，∴弧长l ＝α·r ＝π3×10＝10π3，∴S 扇形＝12lr ＝12×10π3×10＝50π3，而S △AOB ＝12·AB ·1032＝12×10×1032＝5032，∴S ＝S 扇形－S △AOB ＝50⎝⎛⎭⎫π3－32.方法总结：弧度制下的扇形的弧长与面积公式，比角度制下的扇形的弧长与面积公式要简洁得多，用起来也方便得多．因此，我们要熟练地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式．【训练3】解：设圆心角是θ，半径是r ，则2r ＋rθ＝40， S ＝12lr ＝12r (40－2r )＝r (20－r )≤⎝⎛⎭⎫2022＝100. 当且仅当r ＝20－r ，即r ＝10时，S max ＝100.∴当r ＝10，θ＝2时，扇形面积最大，即半径为10，圆心角为2弧度时，扇形面积最大．【例4】►[审题视点] 作出满足sin α＝32，cos α＝－12的角的终边，然后根据已知条件确定角α终边的范围．解：(1)作直线y ＝32交单位圆于A 、B 两点，连接OA 、OB ，则OA 与OB 围成的区域(图中阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋π3≤α≤2k π＋23π，k ∈Z .(2)作直线x ＝－12交单位圆于C 、D 两点，连接OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z .方法总结：利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤是： (1)用边界值定出角的终边位置； (2)根据不等式(组)定出角的范围； (3)求交集，找单位圆中公共的部分； (4)写出角的表达式．【训练4】解 (1)∵2cos x －1≥0，∴cos x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)．∴定义域为⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )． (2)∵3－4sin 2x ＞0， ∴sin 2x ＜34，∴－32＜sin x ＜32. 利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，∴定义域为⎝⎛⎭⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )．提升演练 1．【解析】与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋94π(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C 正确．【答案】C 2．【解析】当k ＝2m ＋1(m ∈Z )时，α＝2m ·180°＋225°＝m ·360°＋225°，故α为第三象限角；当k ＝2m (m ∈Z )时，α＝m ·360°＋45°，故α为第一象限角．【答案】A 3．【解析】由sin α＜0知α是第三、四象限或y 轴非正半轴上的角，由tan α＞0知α是第一、三象限角．∴α是第三象限角．【答案】C 4．【解析】由三角函数的定义可知，r ＝5，cos α＝－15＝－55.【答案】A 5．【解析】根据正弦值为负数且不为－1，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该角为第四象限角，∴y ＜0，sin θ＝y 16＋y 2＝－255⇒y ＝－8.【答案】－8。

高三数学一轮复习精品课件8：§4.1任意角、弧度制及任意角的三角函数

则tanα＝( D )
A.

B．－

C．1
D．－1
【解析】如图，由题意知，角α的终边在第二象限，
在其上任取一点P(x，y)，则y＝－x，由三角函数的定

义得tanα＝＝
−
＝－1，故选D.

知识重温
一、必记4●个知识点
1．角的分类
负角
正角
(1)任意角可按旋转方向分为①______、②______、③
(2)钝角是第二象限的角.( √ )
(3)若两个角的终边相同，则这两个角相等.( × )
(4)1弧度的角就是长度为1的弧所对的圆心角.( × )
(5)终边在y轴上的角的正切值不存在.( √ )
【解析】
(1)错误.顺时针旋转得到的角是负角.

(2)正确.钝角的范围是( ，

)，显然是第二象限的角.
⑥___________________________

{α|2kπ＋＜α＜2kπ＋π，k∈Z}
⑦___________________________

{α|2kπ＋π＜α＜2kπ＋，k∈Z}
⑧___________________________

{α|2kπ＋＜α＜2kπ＋2π，k∈Z}
______.
零角
象限角
(2)按终边位置可分为④______和终边在坐标轴上的角.
(3)与角α终边相同的角连同角α在内可以用一个式子来
k·360°＋α(k∈Z)
表示，即β＝⑤__________________.
2.象限角
第一象限角的集合
第二象限角的集合

高考数学一轮复习---任意角和弧度制及任意角的三角函数

高考数学一轮复习---任意角和弧度制及任意角的三角函数一、基础知识 1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }．终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同． 2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：有关角度与弧度的两个注意点(1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用． (2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． 3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)． (2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．二、常用结论汇总 (1)一个口诀三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)三角函数定义的推广设点P (x ，y )是角α终边上任意一点且不与原点重合，r ＝|OP |，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx (x ≠0)．(3)象限角(4)轴线角三、考点解析考点一象限角及终边相同的角例、(1)若角α是第二象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角 (2)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________．跟踪训练1．集合},4{Z k k k ∈+≤≤ππαπα中的角所表示的范围(阴影部分)是( )2．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．考点二三角函数的定义典例、已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则1sin α＋1tan α＝________.[解题技法]用定义法求三角函数值的2种类型及解题方法：(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解． (2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．跟踪训练1．已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋1cos α＝( )A ．－15 B.3715 C.3720 D.13152．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( ) A ．－45 B ．－35 C ．35 D ．45考点三三角函数值符号的判定例、若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角[解题技法]三角函数值符号及角所在象限的判断：三角函数在各个象限的符号与角的终边上的点的坐标密切相关．sin θ在一、二象限为正，cos θ在一、四象限为正，tan θ在一、三象限为正.学习时首先把取正值的象限记清楚，其余的象限就是负的，如sin θ在一、二象限为正，那么在三、四象限就是负的．值得一提的是：三角函数的正负有时还要考虑坐标轴上的角，如sin π2＝1>0，cos π＝－1<0. 跟踪训练1．下列各选项中正确的是( )A ．sin 300°>0B ．cos(－305°)<0C ．tan ⎪⎭⎫⎝⎛-322π>0 D ．sin 10<0 2．已知点P (cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限课后作业1．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．82．已知角α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin 150°，cos 150°)，则α＝( ) A ．150° B ．135° C ．300° D ．60°3．若角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y ＝－3x 上，则角α的取值集合是( )A.},32{Z k k ∈-=ππαα B.},322{Z k k ∈+=ππαα C.},32{Z k k ∈-=ππαα D.},3{Z k k ∈-=ππαα4．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2,3] B ．(－2,3) C ．[－2,3) D ．[－2,3]5．在平面直角坐标系xOy 中，α为第二象限角，P (－3，y )为其终边上一点，且sin α＝2y4，则y 的值为( )A.3 B ．－5 C.5 D.3或56．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3 7．已知一个扇形的圆心角为3π4，面积为3π2，则此扇形的半径为________．8．在平面直角坐标系xOy 中，60°角终边上一点P 的坐标为(1，m )，则实数m 的值为________． 9．若α＝1 560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________.10．在直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．11．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点M ⎪⎭⎫ ⎝⎛m ,53，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．12．已知α为第三象限角．(1)求角α2终边所在的象限；(2)试判断 tan α2sin α2cos α2的符号．提高训练1．若－3π4<α<－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是( )A ．sin α<tan α<cos αB ．cos α<sin α<tan αC ．sin α<cos α<tan αD ．tan α<sin α<cos α 2．已知角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)．(1)求sin θ＋cos θ的值；(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

§4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数基础自测1.A ={小于90°的角}，B ={第一象限的角}，则A ∩B 等于（）A.{小于90°的角}B.{0°～90°的角}C.{第一象限的角}D.以上都不对答案 D2.将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是 ( )A.3π B.6π C.-3π D.-6π答案 C3.已知扇形的周长是 6 cm ，面积是 2 cm 2，则扇形的中心角的弧度数是 ( )A.1B.4C.1或4D.2或4 答案 C4.已知角α终边上一点P 的坐标是（2sin2,-2cos2)，则sin α等于（）A.sin2B.-sin2C.cos2D. -cos2 答案 D5.α是第二象限角，P （x ，5）为其终边上一点，且cos α=x 42,则sin α的值是（）A.410 B.46 C.42 D.-410答案 A例1 若α是第二象限的角，试分别确定2α,2α ,3α的终边所在位置.解 ∵α是第二象限的角，∴k ²360°+90°＜α＜k ²360°+180°（k ∈Z ）.（1）∵2k ²360°+180°＜2α＜2k ²360°+360°（k ∈Z ）， ∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上.（2）∵k ²180°+45°＜2α ＜k ²180°+90°（k ∈Z ），当k =2n （n ∈Z ）时，n ²360°+45°＜2α＜n ²360°+90°；当k =2n +1（n ∈Z ）时，n ²360°+225°＜2α＜n ²360°+270°.∴2α是第一或第三象限的角.（3）∵k ²120°+30°＜3α＜k ²120°+60°（k ∈Z ），当k =3n （n ∈Z ）时，n ²360°+30°＜3α＜n ²360°+60°；当k =3n +1（n ∈Z ）时，n ²360°+150°＜3α＜n ²360°+180°；当k =3n +2（n ∈Z ）时，n ²360°+270°＜3α＜n ²360°+300°.∴3α是第一或第二或第四象限的角.例2 （1）一个半径为r 的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇形的面积是多少？（2）一扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？解（1）设扇形的圆心角是θrad ，因为扇形的弧长是r θ, 所以扇形的周长是2r +r θ. 依题意，得2r +r θ=πr ,∴θ=π-2=(π-2)³︒⎪⎭⎫⎝⎛π180≈1.142³57.30°≈65.44°≈65°26′,∴扇形的面积为S =21r 2θ=21（π-2）r 2.（2）设扇形的半径为r ，弧长为l ，则l +2r =20, 即l =20-2r (0＜r ＜10) ① 扇形的面积S =21lr ，将①代入，得S =21(20-2r )r =-r 2+10r =-(r -5)2+25,所以当且仅当r =5时，S 有最大值25.此时 l =20-2³5=10,α=rl =2.所以当α=2 rad 时，扇形的面积取最大值.例3 （12分）已知角α的终边在直线3x +4y =0上，求sin α,cos α,tan α的值. 解 ∵角α的终边在直线3x +4y =0上，∴在角α的终边上任取一点P (4t ,-3t ) (t ≠0), 2分则x =4t ,y =-3t , r =5)3()4(2222=-+=+t t y x |t |,4分当t ＞0时，r =5t , sin α=5353-=-=t t r y ,cos α=5454==ttrx , tan α=4343-=-=t t x y ;8分当t ＜0时，r =-5t ,sin α=5353=--=t t r y , cos α=5454-=-=t t rx , tan α=4343-=-=t t x y .10分综上可知，t ＞0时，sin α=53-,cos α=54,tan α=43-; t ＜0时，sin α=53,cos α=-54,tan α=43-.12分例4 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围,并由此写出角α的集合:(1)sin α≥23;(2)cos α≤21-.解（1）作直线y =23交单位圆于A 、B 两点，连结OA 、OB ，则OA 与OB围成的区域即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为α|2k π+3π≤α≤2k π+32π，k ∈Z .（2）作直线x =21-交单位圆于C 、D 两点，连结OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域（图中阴影部分）即为角α终边的范围.故满足条件的角α的集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k k ,342322|ππαππα.1.已知α是第三象限角，问3α是哪个象限的角？解 ∵α是第三象限角，∴180°+k ²360°＜α＜270°+k ²360°（k ∈Z ）， 60°+k ²120°＜3α＜90°+k ²120°.①当k =3m (m ∈Z )时，可得60°+m ²360°＜3α＜90°+m ²360°（m ∈Z ）.故3α的终边在第一象限.②当k =3m +1 (m ∈Z )时，可得180°+m ²360°＜3α＜210°+m ²360°（m ∈Z ).故3α的终边在第三象限.③当k =3m +2 （m ∈Z ）时，可得300°+m ²360°＜3α＜330°+m ²360°（m ∈Z ）.故3α的终边在第四象限.综上可知，3α是第一、第三或第四象限的角.2.已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径长为6, （1）求的弧长；（2）求弓形OAB 的面积.解（1）∵α=120°=32πrad ，r =6，∴ 的弧长为l =32π³6=4π.(2)∵S 扇形OAB =21lr =21³4π³6=12π，S △ABO =21r 2²sin 32π=21³62³23=93，∴S 弓形OAB =S 扇形OAB -S △ABO =12π-93.3.已知角α的终边在y 轴上，求sin α、cos α、tan α的值. 解 ∵角α的终边在y 轴上，∴可在α的终边上任取一点（0,t )(t ≠0),即x =0，y =t . ∴r =22y x +=220t +=|t |.当t ＞0时，r =t ,sin α=ry =t t =1,cos α=rx =t 0=0,tan α=xy 不存在；当t ＜0时，r =-t ，sin α=r y =tt -=-1,cos α=r x =t-0=0,tan α=xy 不存在.综上可知,sin α=±1,cos α=0,tan α不存在.4.求下列函数的定义域：（1）y =1cos 2-x ；（2）y =lg(3-4sin2x ）.解（1）∵2cos x -1≥0，∴cos x ≥21.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影所示).∴x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-32,32ππππk k （k ∈Z ）.（2）∵3-4sin 2x ＞0,∴sin 2x ＜43,∴-23＜sin x ＜23.利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如右图阴影), ∴x ∈（k π-3π,k π+3π）（k ∈Z ).一、选择题 1.已知cos θ²tan θ＜0,那么角θ是（）A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角C.第三或第四象限角D.第一或第四象限角答案 C 2.若＜x ＜2π，则下列命题中正确的是（）A.sinx<x π3 B. sinx>x π3 C. sinx<224x π D. sinx>224x π答案 D 3.与610°角终边相同的角表示为（）A. k ²360°+230°(k ∈Z )B. k ²360°+250°(k ∈Z )C. k ²360°+70°(k ∈Z )D. k ²360°+270°(k ∈Z ) 答案 B 4.已知（21）sin2θ＜1,则θ所在象限为（）A.第一或第二象限B.第二或第四象限C.第二或第三象限D.第一或第三象限答案 D5.已知点P （tan α，cos α）在第三象限，则角α的终边在第几象限（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案 B6.（2009²德州模拟）已知θ∈⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ且sin θ+cos θ=a ，其中a ∈(0，1），则关于tan θ的值，以下四个答案中，可能正确的是（）A.-3B.3或31C.-31 D.-3或-31答案 C 二、填空题7.已知角α的终边落在直线y =-3x (x ＜0)上，则=-ααααcos cos sin sin .答案 28.某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t =0时，点A 与钟面上标12的点B 重合.将A 、B 两点间的距离d (cm)表示成t (s)的函数，则d = ,其中t ∈［0,60］. 答案 10sin 60t π三、解答题9.已知sin θ=aa +-11,cos θ=aa +-113,若θ是第二象限角，求实数a 的值.解 ∵θ是第二象限角，∴sin θ＞0,cos θ＜0,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+-=<-<+-=<0113cos 1111sin 0a a a a θθ，解得0＜a ＜31.又∵sin 2θ+cos 2θ=1,∴11131122=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-a a a a , 解得a =91或a =1(舍去），故实数a 的值为91.10.（1）已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形圆心角的弧度数；（2）已知扇形的周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解设扇形半径为R ，中心角为θ，所对的弧长为l .（1）依题意，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=,102,4212R R R θθ ∴2θ2-17θ+8=0,∴θ=8或21.∵8＞2π,舍去,∴θ=21.(2)扇形的周长为40,∴R θ+2R =40， S =21lR =212R θ=41R θ²2R ≤41100222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+R R θ.当且仅当R θ=2R ,即R =10, θ=2时面积取得最大值，最大值为100. 11.设θ为第三象限角，试判断2cos2sin θθ的符号.解 ∵θ为第三象限角， ∴2k π+π＜θ＜2k π+23π (k ∈Z ),k π+4322ππθπ+<<k (k ∈Z ).当k =2n (n ∈Z )时，2n π+ππθπ43222+<<n ,此时2θ在第二象限.∴sin 2θ＞0,cos 2θ＜0.因此2cos2sin θθ＜0.当k =2n +1(n ∈Z )时，(2n +1)π+2π＜2θ＜(2n +1)π+43π(n ∈Z ),即2n π+23π＜2θ＜2n π+47π(n ∈Z )此时2θ在第四象限.∴sin 2θ＜0,cos 2θ＞0,因此2cos2sin θθ＜0,综上可知：2cos2sinθθ＜0.12.角α终边上的点P 与A （a ，2a ）关于x 轴对称（a ≠0），角β终边上的点Q 与A 关于直线y =x 对称，求sin α²cos α+sin β²cos β+tan α²tan β的值. 解由题意得，点P 的坐标为（a ,-2a )，点Q 的坐标为（2a ，a ）. sin α=22252)2(2aa a a a -=-+-,cos α=2225)2(aa a a a =-+,tan α=22-=-aa ,sin β=2225)2(aa aa a =+,cos β=22252)2(2aa aa a =+,tan β=212=a a ,故有sin α²cos α+sin β²cos β+tan α²tan β=21)2(5255522222⨯-+∙+∙-aa aa aa aa =-1.。