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2018年5月2018届高三第三次全国大联考(新课标Ⅲ卷)理数卷

理科数学试题第1页（共6页）理科数学试题第2页（共6页）绝密★启用前|2018年第三次全国大联考【新课标Ⅲ卷】理科数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U =R ，集合}043|{2≤--=x x x A ，{|||0}B x x =>，则以下结论成立的是 A ．A B =RB ．=B A ]4,0(C ．()U AB A =ðD ．}0{=B A2．已知复数z 满足14i 1z z -=-+，其中i 为虚数单位，则在复平面内，复数z 对应的点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知椭圆C ：22221(0)x ya b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 作长轴的垂线与椭圆C 的一个交点为P ，若43tan 12=∠F PF ，则椭圆C 的离心率为 A ．21B ．31C ．41D ．514．若执行如图所示的程序框图，则输出的结果为A ．122018-B ．222018-C ．122019-D ．222019-5．已知甲、乙、丙、丁四人在某次高考模拟考试后交流各自的数学考试情况，甲说：“我分数肯定最低”；乙说：“我肯定不是最低分的那个人”；丙说：“我不会最低，但也不可能得最高分”；丁说：“那只有我是最高分了”.考试公布结果后，发现四人的分数各不相同，且仅有一人没有说对，则四人中得最高分的是A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁6．《九章算术》卷五《商功》中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何？问题中“刍甍”指的是底面为矩形的屋脊状的几何体，如图1，该几何体可由图2中的八边形ABCDEFGH 沿BG ，CF 向上折起，使得AH 与DE 重合而成，设网格纸上每个小正方形的边长为1，则此“刍甍”中EF 与平面BCFG 所成角的正弦值为A ．515 B ．552 C ．510D ．557．已知曲线e xy =，直线1=x 及)0(1<+=k kx y 围成的封闭图形的面积大于e ，则实数k 的取值范围为理科数学试题第3页（共6页）理科数学试题第4页（共6页）A ．)0,4(-B ．)0,4[-C ．)4,(--∞D ．]4,(--∞8．若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤--≥+-102201y x y x y x 表示的平面区域为Ω，则区域Ω的内切圆半径为A ．532-B ．352-C ．252-D ．522-9．已知函数)sin()(ϕω+=x A x f （0,0A ω>>）的部分图象与坐标轴交于点Q P M ,,，如图，其中)0,21(-Q ，32PQ OP =-，且PMQ ∠为钝角，则A 的取值范围为A ．)36,0(B ．),36(+∞ C ．)2,0(D ．)2,36( 10．关于函数xx x f ln 21)(2-=有如下说法，其中正确的是A ．函数()f x 的定义域为),0(+∞B ．1x =是函数()f x 的零点C ．函数()f x 在定义域内为减函数D ．函数()f x 在定义域内不存在极值点11．某校高三（1）班周二的课表安排如下，其中上午有四节课，下午有三节课，现需要对课表进行重新调整，将其中的历史改成数学，其他科目既不增加也不减少，且调整后两节数学课不连续（如数学安排在第4，第5节也符合要求），语文课不能安排在第1节，则不同的安排方法种数为A ．48C ．612D ．82812．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为2，1F ，2F 分别是双曲线的左、右焦点，点)0,(a M -，),0(b N ，点P 为线段MN 上的动点，若12PF PF ⋅取得最小值和最大值时，12PF F △的面积分别为1S ，2S ，则=21S S A ．21B ．31 C ．41 D ．51 第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若向量(1,2)=a ，(1,)λ=-b ，|2|+=a b ，则=λ ． 14．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为．15．在ABC △中，4A π∠=，P 为BC 边上一点，且2=AP ，若PAB PAC ∠=∠2，则PC PB 11+的最大值为． 16．若关于x 的不等式12e e 2e 2x x m x +-+>+（其中e 为自然对数的底数，0,x m >∈Z ）恒成立，则m 的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知数列}{n a满足11=a ，131+=+n n n a a a （n *∈N ）．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）令nn n a b 2=，n S 为数列}{n b 的前n 项和，若0)23(11≥-⋅-+n n S n λ有解，求实数λ的取值范围．18．（本小题满分12分）如图，几何体PDBAC 中，⊥PA 平面ABC ，ABC △为正三角形，BDC △为等腰直角三角形，理科数学试题第5页（共6页）理科数学试题第6页（共6页）BDC ∠为直角，平面⊥BDC 平面ABC ，2==AC PA ，M 为PB 的中点．（1）求证：//DM 平面ABC ；（2）求二面角C DM B --的余弦值．19．（本小题满分12分）如图是某市2017年12个月高层住宅网签情况的统计图：（1）求该市2017年高层住宅月成交均价的平均数；（2）利用（1）中计算的平均数，若当月成交均价高于月成交均价的平均数时，则视为价格上升，反之为下降；若当月成交套数高于月成交套数的平均数时，则视为成交量上升，反之为下降．若从全年中任选两个月，记所选两个月价格上升且成交量下降的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列和期望（月成交套数的平均数约为3537套）；（3）在（2）的条件下，补充完整下列的22⨯列联表，并分析该市在2017年12个月中高层住宅月成交套数与月成交均价的升降是否有关？附：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中d c b a n +++=.20．（本小题满分12分）在抛物线C ：2ax y =（0>a ）上取两点),(11n m A ，),(22n m B ，且412=-m m ，过点B A ,分别作抛物线C 的切线，两切线交于点)3,1(-P ．（1）求抛物线C 的方程；（2）设直线l 交抛物线C 于N M ,两点，记直线OM ，ON （其中O 为坐标原点）的斜率分别为,OM ON k k ，且2-=⋅ON OM k k ，若OMN △的面积为32，求直线l 的方程.21．（本小题满分12分）已知函数21()(1)e 2x f x ax x =--()a ∈R ．（1）讨论函数)(x f 的单调性；（2）若对任意实数]1,0[,,321∈x x x ，都有)()()(321x f x f x f ≥+，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程为sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数），以直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为32=ρ．（1）将曲线1C 的参数方程化为极坐标方程；（2）射线4θπ=（0≥ρ）与曲线1C ，2C 分别交于P ，Q 两点，曲线1C 与极轴的交点为A ，求PAQ △的面积．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数x x x f 2|23|)(-+=．（1）若3)(<x f ，求满足条件的实数x 的值所组成的集合A ；（2）若A ∈μλ,，求证：1||||||2-+>μλλμ．。

2018届高三数学期中考试复习综合卷3

201届高三数学期中复习综合卷三班级姓名一、填空题1. 设集合{}23,log P a =，{}Q ,a b =，若{}Q=0P ，则Q=P .2.曲线cos y x x =-在点22p p ⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线方程为 .3. 已知{}n a 为等差数列，若3489a a a ++=，则9S = .4.“1a =”是“函数()lg(1)f x ax =+在(0,)+∞单调递增”的条件(填充要关系).5.在ABC ∆中，已知=230a c A ，︒=,则C = .6. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若sin ,30,2A C B b ==︒=，则ABC ∆的面积是 .7. 已知函数()22,0,2,0x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩，则不等式(())3f f x ≤的解集为 .8. 已知定义在R 上的函数)(x f 满足：()(2)13f x f x ⋅+=-，若2)3(=f ，则(2017)f = .9. 已知函数()sin cos f x x a x =+的图象的一条对称轴是53x π=，则函数()sin cos g x a x x =+ 的最大值是 .10. 已知关于x 的不等式227x x a+≥-在(,)x a ∈+∞上恒成立，，则实数a 的最小值为 .11.已知数列{}n a 满足*331246log 1log (),9n n a a n N a a a ++=∈++=且，则15793log ()a a a ++的值是 .12.已知函数()|sin |(0,)f x x kx x k R =-≥∈有且只有三个零点，设此三个零点中的最大值为0x ，则0200(1)sin 2x x x +＝ . 13.已知函数2()21f x x x =+-，若1a b <<-，且()()f a f b =，则ab a b ++的取值范围是 .14.已知三个实数,,a b c ，当0c >时满足23b a c ≤+，且2bc a =，则2ba c-的取值范围是 .二、解答题(本大题共6个小题，共90分)15.在ABC ∆中，已知sin()2sin()A B A B +=-．（1）若6B π=，求A ；（2）若tan 2A =，求tan B 的值．16. 已知函数]4,161[,log )(4∈=x x x f 的值域为集合A ，关于x 的不等式)(2)21(3R a x a x ∈>+的解集为B ，集合}015|{≥+-=x xx C , 集合}121|{-<≤+=m x m x D )0(>m ，（1）若B B A = ,求实数a 的取值范围；（2）若C D ⊆,求实数m 的取值范围.17. 汽车从刹车开始到完全静止所用的时间叫做刹车时间；所经过的距离叫做刹车距离.某型汽车的刹车距离s (单位米)与时间t (单位秒)的关系为32510s t k t t =-⋅++，其中k 是一个与汽车的速度以及路面状况等情况有关的量．（1）当8k =时，且刹车时间少于1秒，求汽车刹车距离；（2）要使汽车的刹车时间不小于1秒钟，且不超过2秒钟，求k 的取值范围．18.已知等比数列{}n a 的公比1q >，前n 项和为3123,7,3,3,4n S S a a a =++成等差数列，数列{}n b 的前n 项和为,6(31)2n n n T T n b =++，其中*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n b 的通项公式；（3）设{}{}12101240,,,,,,,,A a a a B b b b C A B === ，求集合C 中所有元素之和.19. 已知函数2()416axf x x =+，a x x g -=)21()(，其中a R ∈．（1）若02a <≤，试判断函数()()()h x f x g x =+()[2,)x ∈+∞的单调性，并证明你的结论；（2）设函数(),2,()(), 2.f x x p x g x x ⎧=⎨<⎩≥ 若对任意大于等于2的实数1x ，总存在唯一的小于2的实数2x ，使得12()()p x p x =成立，试确定实数a 的取值范围．20. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2n n a S An Bn C +=++*(0,)A n N ≠∈．（1）当1C =时，①设n n b a n =-，若132a =，294a =．求实数,A B 的值，并判定数列{}nb 是否为等比数列； ②若数列{}n a 是等差数列，求1B A-的值；（2）当0C =时，若数列{}n a 是等差数列，11a =，且*n N ∀∈，131ni n λ=-≤+ 求实数λ的取值范围．答案：1. 设集合{}23,log P a =，{}Q ,a b =，若{}Q=0P ，则Q=P {}3,0,12.曲线cos y x x =-在点22p p ⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线方程为 202x y p --=3. 已知{}n a 为等差数列，若3489a a a ++=，则9S = 274.“1a =”是“函数()lg(1)f x ax =+在(0,)+∞单调递增”的条件(填充要关系) 充分不必要条件5.在ABC ∆中，已知=230a c A ，︒=,则C = .解 45︒或135︒．5. 实数,x y 满足24011x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最小值为－26. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c，若sin ,30,2A C B b ==︒=，则ABC ∆的面积是7. 已知函数()22,0,2,0x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩，则不等式(())3f f x ≤的解集为(-∞8. 已知定义在R 上的函数)(x f 满足：()(2)13f x f x ⋅+=-，若2)1(=f ，则(2015)f =132-9. 已知函数()sin cos f x x a x =+的图象的一条对称轴是53x π=，则函数()sin cos g x a x x =+ 的最大值是（a =） 10. 已知关于x 的不等式227x x a+≥-在(,)x a ∈+∞上恒成立，，则实数a 的最小值为 3211.已知数列{}n a 满足*331246log 1log (),9n n a a n N a a a ++=∈++=且，则15793log ()a a a ++的值是 5-12. 已知函数f (x )＝|sin |x －kx (x ≥0，k ∈R )有且只有三个零点，设此三个零点中的最大值为0x ，则200(1)sin 2x x x +＝ 1213. 已知函数f (x )＝|x 2＋2x －1|，若a ＜b ＜－1，且f (a )＝f (b )，则ab ＋a ＋b 的取值范围是_______解析作出函数图象可知若a ＜b ＜ 1，且f (a )＝f (b )，即为a 2＋2a 1＝ (b 2＋2b －1)，整理得(a ＋1)2＋(b ＋1)2＝4，设⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1＋2cos θ，b ＝－1＋2sin θ，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π，5π4，所以ab ＋a ＋b ＝＋2sin 2θ∈( 1,1)．14. 已知三个实数,,a b c ，当0c >时满足23b a c ≤+，且2bc a =，则2ba c-的取值范围是 (][),09,-∞⋃+∞ 二、解答题(本大题共6个小题，共90分) 15.在ABC ∆中，已知sin()2sin()A B A B +=-．（1）若6B π=，求A ；（2）若tan 2A =，求tan B 的值．解:（1）由条件，得 ππsin()2sin()66A A +=-．11cos cos )22A A A A +=-．化简，得sin A A =． tan A ∴ 又(0,π)A ∈， π3A ∴=．………7分（2）因为sin()2sin()AB A B +=-，sin cos cos sin 2(sin cos cos sin )A B A B A B A B ∴+=-．化简，得 3cos sin sin cos A B A B =．……………………………………11分又 cos cos 0A B ≠，tan 3tan A B ∴=．又tan 2A =，2tan 3B ∴=．…14分 16. 已知函数]4,161[,log )(4∈=x x x f 的值域为集合A ，关于x 的不等式)(2)21(3R a x a x ∈>+的解集为B ，集合}015|{≥+-=x xx C ,集合}121|{-<≤+=m x m x D )0(>m ，（1）若B B A = ,求实数的取值范围；（2）若C D ⊆,求实数m 的取值范围.17. 汽车从刹车开始到完全静止所用的时间叫做刹车时间；所经过的距离叫做刹车距离. 某型汽车的刹车距离s (单位米)与时间t (单位秒)的关系为32510s t k t t =-⋅++，其中k 是一个与汽车的速度以及路面状况等情况有关的量．（1）当8k =时，且刹车时间少于1秒，求汽车刹车距离；（2）要使汽车的刹车时间不小于1秒钟，且不超过2秒钟，求k 的取值范围．解（１）当8k =时，325810s t t t =-++，这时汽车的瞬时速度为V='215161s t t =-+，令'0s =，解得1t =（舍）或115t =，当115t =时，6752210=s ，所以汽车的刹车距离是6752210米．（２）汽车的瞬时速度为'v s =，所以21521v t kt =-+ 汽车静止时0v =，故问题转化为215210t kt -+=在[]1,2内有解又21511215t k t t t+==+，115t t +≥Q ，当且仅当115,t t t ==Q []1,2t =，∴记1()15f t t t=+， '21()15f t t =-，[1,2]t ∈ ，'21()150f t t ∴=->，()f t ∴单调递增， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∴261,16)(t f ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈261,162k ，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈461,8k ，故k 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈461,8k 18.已知等比数列{}n a 的公比1q >，前n 项和为3123,7,3,3,4n S S a a a =++成等差数列，数列{}n b 的前n 项和为,6(31)2n n n T T n b =++，其中*n N ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n b 的通项公式；（3）设{}{}12101240,,,,,,,,A a a aB b b bC A B === ，求集合C 中所有元素之和.19. 已知函数2()416axf x x =+，a x x g -=)21()(，其中a R ∈．（1）若02a <≤，试判断函数()()()h x f x g x =+()[2,)x ∈+∞的单调性，并证明你的结论；（2）设函数(),2,()(), 2.f x x p x g x x ⎧=⎨<⎩≥ 若对任意大于等于2的实数1x ，总存在唯一的小于2的实数2x ，使得12()()p x p x =成立，试确定实数a 的取值范围．解（1）h (x )为单调减函数．证明：由0<a ≤2，x ≥2，可得()()()h x f x g x =+=21()4162x a ax x -++=212()4162ax ax x +⋅+．由 2224(4)11()2()ln (416)22a x a x h x x -'=+⋅=+222(4)12()ln 2(28)2ax a x x --⋅+，且0<a ≤2，x ≥2，所以()0h x '<．从而函数h (x )为单调减函数．（亦可先分别用定义法或导数法论证函数()()f x g x 和在[2,)+∞上单调递减，再得函数h (x )为单调减函数．）（2）①若a ≤0，由x 1≥2，11121()()0416ax p x f x x ==+≤，x 2＜2，2||221()()()02x a p x g x -==>，所以g (x 1) = g (x 2)不成立． ②若a ＞０，由x ＞2时，222(4)()()0(28)a x p x f x x -''==<+，所以p (x )在[2,)+∞单调递减．从而1()(0,(2)]p x f ∈，即1()(0,]16ap x ∈．（a ）若a ≥2，由于x ＜２时，||111()()()()()2222x a a x a x p x g x --====⋅，所以p (x )在(－∞,2)上单调递增，从而2()(0,(2))p x g ∈，即221()(0,())2a p x -∈．要使p (x 1) = p (x 2)成立，只需21()162a a -<，即21()0162a a --<成立即可．由于函数21()()162a a q a -=-在[2,)+∞的单调递增，且q (4)=0，所以2≤a ＜4．（b ）若0＜a ＜2，由于x ＜2时，||1(),,12()()()12(), 2.2a xx a x a x a p x g x a x ---⎧<⎪⎪===⎨⎪<⎪⎩≤ 所以p (x )在(,]a -∞上单调递增，在[,2)a 上单调递减．从而2()(0,()]p x g a ∈，即2()(0,1]p x ∈．要使p (x 1) = p (x 2)成立，只需21,161()162aaa -⎧<⎪⎪⎨⎪⎪⎩≤成立，即21()162a a -≤成立即可．由0＜a ＜2，得2111,()16824a a -<>．故当0＜a ＜2时，21()162a a -≤恒成立．综上所述，a 的取值范围为（0，4）．20. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2n n a S An Bn C +=++*(0,)A n N ≠∈．（1）当1C =时，①设n n b a n =-，若132a =，294a =．求实数,A B 的值，并判定数列{}nb 是否为等比数列； ②若数列{}n a 是等差数列，求1B A-的值；（2）当0C =时，若数列{}n a 是等差数列，11a =，且*n N ∀∈，131ni n λ=-≤+ 求实数λ的取值范围．解（1）1C = ，21n n a S An Bn ∴+=++，①令1n =，可得121a A B =++，即2A B +=，令2n =，可得122421a a A B +=++，即425A B +=，13,22A B ∴==,213122n n a S n n ∴+=++， ①当2n ≥时，21113(1)(1)122n n a S n n --∴+=-+-+， ②①-②，得121n n a a n --=+(2)n ≥，11[(1)]2n n a n a n -∴-=--，即112n n b b -=，又111102b a =-=≠，0n b ≠，112n n b b -=∴， ∴数列{}n b 是等比数列； ② 数列{}n a 是等差数列， ∴设11(1)(1),2n n n n a a n d S na d -=+-=+， 21n n a S An Bn +=++ ，1221()221d dn a n a An B d n ∴++++=+-，*n N ∈ 11221d A d B a a d ⎧=⎪⎪⎪∴=+⎨⎪-=⎪⎪⎩，111122122223d d d a a d d d Ad B +--=++-∴===；（2）当0C =时，2n n a S An Bn +=+ 数列{}n a 是等差数列，11a =，∴(1)1(1),2n n n n a n d S n d -=+-=+，22(1)122d dn n An Bn d ∴++=++-， 1d ∴=，n a n ∴=，(1)1111(1)1n n n n n n ++==+-++，1111ni n n ==+-∴+，13311111n i n n n n λλ=∴-≤⇔-≤+-+++，即211n n λ≤+++， *n N ∴∀∈，211n n λ≤+++，令2()f x x x =+， 22222()1x f x x x-'=-= ，当2x ≥时，()0f x '>， ()f x ∴在[2,)+∞上是增函数，而12n +≥，min 2(1)31n n ∴++=+， 3λ∴≤高三数学期中复习三附加题班级姓名1. 已知矩阵A 的逆矩阵113441122-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A ，求矩阵A 的特征值解:∵1-A A =E ,∴()11--A =A . ∵113441122-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A ,∴()11 2 32 1--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A =A . …………6分 ∴矩阵A 的特征多项式为()22 3==342 1 f λλλλλ--⎡⎤--⎢⎥--⎣⎦. ………8分令()=0f λ,解得矩阵A 的特征值12=1=4λλ-，. ………10分2.在直角坐标系xoy 中，直线l 的方程为04=+-y x ，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==ααsin cos 3y x （α为参数）（1）已知在极坐标中，点P 的极坐标为（4，2π），判断点P 与直线l 的位置关系。

2018届南京市高三数学综合题及答案

南京市2018届高三数学综合题一、填空题1．已知函数y ＝sin ωx (ω＞0)在区间[0，π2]上为增函数，且图象关于点(3π，0)对称，则ω的取值集合为．【答案】{13，23，1}．【提示】由题意知，⎩⎨⎧π2ω≥π2，3ωπ＝k π，即⎩⎨⎧0＜ω≤1 ω＝k 3，其中k ∈Z ，则k ＝13或k ＝23 或k ＝1．【说明】本题考查三角函数的图象与性质（单调性及对称性）．三角函数除关注求最值外，也适当关注其图象的特征，如周期性、对称性、单调性等． 2．如图：梯形ABCD 中，AB //CD ，AB ＝6，AD ＝DC ＝2，若AC →²BD →＝－12，则AD →²BC →＝．【答案】0．【提示】以AB→，AD →为基底，则AC →＝AD →＋13AB →，BD →＝AD →－AB →则AC →²BD →＝AD →2－23AB →²AD →－13AB →2＝4－8cos ∠BAD －12＝－12，所以cos ∠BAD ＝12，则∠BAD ＝60o ，则AD →²BC →＝AD →²(AC →－AB →)＝AD →²(AD →－23AB →)＝AD →2－23AB →²AD →＝4－4＝0．【说明】本题主要考查平面向量的数量积，体现化归转化思想．另本题还可通过建立平面直角坐标系将向量“坐标化”来解决．向量问题突出基底法和坐标法，但要关注基底的选择与坐标系位置选择的合理性，两种方法之间的选择．3．设α、β为空间任意两个不重合的平面，则：①必存在直线l与两平面α、β均平行；②必存在直线l与两平面α、β均垂直；③必存在平面γ与两平面α、β均平行；④必存在平面γ与两平面α、β均垂直．其中正确的是___________．（填写正确命题序号）【答案】①④．【提示】当两平面相交时，不存在直线与它们均垂直，也不存在平面与它们均平行（否则两平面平行）．【说明】本题考查学生空间线面，面面位置关系及空间想象能力．4．圆锥的侧面展开图是圆心角为3π，面积为23π的扇形，则圆锥的体积是______．【答案】π．【提示】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意知2πrl＝3π，且12²2πr²l＝23π，解得l＝2，r＝3，所以圆锥高h＝1，则体积V＝13πr2h＝π．【说明】本题考查圆锥的侧面展开图及体积的计算．5．设圆x2＋y2＝2的切线l与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B．当线段AB的长度最小值时，切线l的方程为____________．【答案】x＋y－2＝0．【说明】本题考查直线与圆相切问题和最值问题．6．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率等于2，它的右准线过抛物线y2=4x的焦点，则双曲线的方程为．【答案】x24－y212＝1．【解析】本题主要考查了双曲线、抛物线中一些基本量的意义及求法．7．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1、C2、C3依次为y＝2log2x、y＝log2x、y＝k log2x(k为常数，0＜k＜1)．曲线C1上的点A在第一象限，过A分别作x轴、y轴的平行线交曲线C2分别于点B、D，过点B作y轴的平行线交曲线C3于点C．若四边形ABCD 为矩形，则k的值是___________．【答案】12．【提示】设A(t，2 log2t)(t＞1)，则B(t2，2 log2t)，D(t，log2t)，C(t2，2k log2t)，则有log2t＝2k log2t，由于log2t＞0，故2k＝1，即k＝12．【说明】本题考查对数函数的图像及简单的对数方程．注意点坐标之间的关系是建立方程的依据．*8．已知实数a、b、c满足条件0≤a＋c－2b≤1，且2a＋2b≤21＋c，则2a－2b 2c的取值范围是_________．【答案】[－14，5－172]．【提示】由2a＋2b≤21＋c得2a－c＋2b－c≤2，由0≤a＋c－2b≤1得0≤(a－c)－2(b －c)≤1，于是有1≤2(a－c)－2(b－c)≤2，即1≤2a－c22(b－c)≤2．设x＝2b－c，y＝2a－c，则有x＋y≤2，x2≤y≤2x2，x＞0，y＞0，2a－2b2c＝y－x．在平面直角坐标系xOy中作出点(x，y)所表示的平面区域，并设y－x＝t ．如图，当直线y －x ＝t 与曲线y ＝x 2相切时，t 最小．此时令y ′＝2x ＝1，解得x ＝12，于是y ＝14，所以t min ＝14－12＝－14．当直线过点A 时，t 最大．由⎩⎨⎧y ＝2x 2，x ＋y ＝2，解得A (－1＋174，9－174)，所以t max ＝9－174－－1＋174＝5－172．因此2a －2b 2c 的取值范围是[－14，5－172]．【说明】本题含三个变量，解题时要注意通过换元减少变量的个数．利用消元、换元等方法进行减元的思想是近年高考填空题中难点和热点，对于层次很好的学校值得关注．9．已知四数a 1，a 2，a 3，a 4依次成等比数列，且公比q 不为1．将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列，则正数q 的取值集合是．【答案】{－1＋ 52，1＋52}．【提示】因为公比q 不为1，所以不能删去a 1，a 4．设{a n }的公差为d ，则① 若删去a 2，则由2a 3＝a 1＋a 4得2a 1q 2＝a 1＋a 1q 3，即2q 2＝1＋q 3，整理得q 2(q －1)＝(q －1)(q ＋1)．又q ≠1，则可得 q 2＝q ＋1，又q ＞0解得q ＝1＋52；② 若删去a 3，则由2a 2＝a 1＋a 4得2a 1q ＝a 1＋a 1q 3，即2q ＝1＋q 3，整理得q (q －1)(q ＋1)＝q －1．又q≠1，则可得q(q＋1)＝1，又q＞0解得 q＝－1＋52．综上所述，q＝±1＋52．【说明】本题主要考查等差数列等差中项的概念及等比数列中基本量的运算．*10．数列{a n}是等差数列，数列{b n}满足b n＝a n a n＋1a n＋2(n∈N*)，设S n为{b n}的前n项和．若a12＝38a5＞0，则当S n取得最大值时n的值等于___________．【答案】16．【提示】设{a n}的公差为d，由a12＝38a5＞0得a1＝－765d，d＞0，所以a n＝(n－815)d，从而可知1≤n≤16时，a n＞0，n≥17时，a n＜0．从而b1＞b2＞…＞b14＞0＞b17＞b18＞…，b15＝a15a16a17＜0，b16＝a16a17a18＞0，故S14＞S13＞……＞S1，S14＞S15，S15＜S16．因为a15＝－65d＞0，a18＝95d＜0，所以a15＋a18＝－65d＋95d＝45d＜0，所以b15＋b16＝a16a17(a15＋a18)＞0，所以S16＞S14，故S n中S16最大．【说明】利用等差数列及等差数列的基本性质是解题基本策略．此题借助了求等差数列前ｎ项和最值的方法，所以在关注方法时，也要关注形成方法的过程和数学思想．二、解答题11．三角形ABC中，角A、B、C所对边分别为a，b，c，且2sin B＝3cos B．(1)若cos A＝13，求sin C的值；(2)若b＝7，sin A＝3sin C，求三角形ABC的面积．解 (1)由2sin B ＝3cos B ，两边平方得2sin 2B ＝3cos B ，即2(1－cos 2B )＝3cos B ，解得cos B ＝12或cos B ＝－2(舍去)．又B 为三角形内角，则B ＝π3．因为cos A ＝13，且A 为三角形内角，则sin A ＝223，故sin C ＝sin(B ＋A )＝sin(π3＋A )＝ 32cos A ＋12sin A ＝3＋226．(2)解法一因为sin A ＝3sin C ，由正弦定理可得a ＝3c ．由余弦定理知：b 2＝ a 2＋c 2－2ac cos B ，则7＝9c 2＋c 2－3c 2，解得c ＝1，则a ＝3．面积S ＝12ac sin B ＝334．解法二由sin A ＝3sin C 得sin(C ＋B )＝3sin C ，即sin(C ＋π3)＝3sin C ，则12sin C ＋32cos C ＝3sin C ，即32cos C ＝52sin C ，故可得tan C ＝35．又C 为三角形的内角，则sin C ＝2114．由正弦定理知bsin B ＝csin C，则c ＝1．又sin A ＝3sin C ＝32114，故面积S ＝12bc sin A ＝334．【说明】本题考查同角三角函数关系式，两角和差公式及正、余弦定理，具有一定的综合性．12．三角形ABC 中，三内角为A 、B 、C ，a ＝(3cos A ，sin A )，b ＝(cos B ，3sin B )，AE DC Bc ＝(1，－1)．(1)若a ²c ＝1，求角A 的大小；(2)若a //b ，求当A －B 取最大时，A 的值．解 (1)a ²c ＝3cos A －sin A ＝2cos(A ＋π6)＝1，则cos(A ＋π6)＝12．因为A ∈(0，π)，则A ＋π6∈(π6，7π6)，则A ＋π6＝π3，则A ＝π6．(2)因为a //b ，所以3cos A ²3sin B ＝sin A ²cos B ，则tan A ＝3tan B ．由于A 、B 为三角形内角，则A 、B 只能均为锐角，即tan A ＞0，tan B ＞0． tan(A －B ) ＝ tan A －tan B 1＋tan A ²tan B ＝2tan B1＋3tan 2B＝21tan B＋ 3tan B ≤223＝33，当且仅当1tan B ＝3tan B 时，B ＝π6取“＝”号．又A －B ∈(－π2，π2)，则A －B 的最大值为π6，此时A ＝π3．所以，当A －B 的最大时，A ＝π3．【说明】本题第一问考查向量数量积的坐标运算，两角和差公式及已知三角函数值求角问题；第二问考查平面向量平行的条件及两角差的正切公式，利用基本不等式求最值．13．如图，六面体ABCDE 中，面DBC ⊥面ABC ，AE ⊥面ABC ． (1)求证：AE //面DBC ；(2)若AB ⊥BC ，BD ⊥CD ，求证：AD ⊥DC ．证明 (1)过点D 作DO ⊥BC ，O 为垂足．因为面DBC ⊥面ABC ，又面DBC ∩面ABC ＝BC ，DO 面DBC ，所以DO ⊥面ABC ．BA1B1C1 MNA又AE⊥面ABC，则AE//DO．又AE⊂/面DBC，DO⊂面DBC，故AE // 面DBC．(2)由（1）知DO⊥面ABC，AB⊂面ABC，所以DO⊥AB．又AB⊥BC，且DO∩BC＝O，DO，BC⊂平面DBC，则AB⊥面DBC．因为DC⊂面DBC，所以AB⊥DC．又BD⊥CD，AB∩DB＝B，AB，DB⊂面ABD，则DC⊥面ABD．又AD⊂面ABD，故可得AD⊥DC．【说明】本题第(1)问考查面面垂直的性质定理，线面垂直的性质定理及线面平行的判定定理；第(2)问通过线面垂直证线线垂直问题．14．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面A1ACC1是边长为2的菱形，∠A1AC ＝60o．在面ABC中，AB＝23，BC＝4，M为BC的中点，过A1，B1，M三点的平面交AC于点N．(1)求证：N为AC中点；(2)平面A1B1MN⊥平面A1ACC1．解 (1)由题意，平面ABC//平面A1B1C1，平面A1B1M与平面ABC交于直线MN，与平面A1B1C1交于直线A1B1，所以MN//A1B1．因为AB// A1B1，所以MN//AB，所以CNAN＝CMBM．因为M为AB的中点，所以CNAN＝1，所以N为AC中点．(2)因为四边形A1ACC1是边长为2的菱形，∠A1AC＝60o．在三角形A1AN中，AN＝1，AA1＝2，由余弦定理得A1N＝3，故A1A2＝AN2＋A1N2，从而可得∠A1NA＝90o，即A1N⊥AC．在三角形ABC中，AB＝2，AC＝23，BC＝4，则BC 2＝AB 2＋AC 2，从而可得∠BAC=90o ，即AB ⊥AC ．又MN //AB ，则AC ⊥MN ．因为MN ∩A 1N ＝N ，MN ⊂面A 1B 1MN ，A 1N ⊂面A 1B 1MN ，所以AC ⊥平面A 1B 1MN ．又AC ⊂平面A 1ACC 1，所以平面A 1B 1MN ⊥平面A 1ACC 1．【说明】本题考查面面平行的性质定理，线面垂直及面面垂直的判定定理，综合考查空间想象及逻辑推理能力．立体几何中线面平行、面面平行、面面垂直的性质定理要适当关注，不成为重点，但也不要成为盲点．关注以算代证的方法．15．某汽车厂有一条价值为a 万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值．经过市场调查，产品的增加值y 万元与技术改造投入的x 万元之间满足：①y 与(a －x )和x 2的乘积成正比；②x ∈(0，2am 2m ＋1]，其中m 是常数．若x ＝a2时，y ＝a 3．(1)求产品增加值y 关于x 的表达式；(2)求产品增加值y 的最大值及相应的x 的值．解：(1)设y ＝f (x )＝k (a －x )x 2，因为当x ＝a2时，y ＝a 3，所以k ＝8，所以f (x )＝8(a －x )x 2，x ∈(0，2am2m ＋1]．(2)因为f ′(x )＝－24x 2＋16ax ，令f ′(x )＝0，则x ＝0(舍)，x ＝2a3．①当2am 2m ＋1≥2a3，即m ≥1时，当x ∈(0，2a 3)时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，2a3)上是增函数，当x ∈(2a 3，2am 2m ＋1)时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(2a 3，2am2m ＋1)上是减函数，所以y max ＝f (2a 3)＝3227a 3；②当2am 2m ＋1＜2a3，即0＜m ＜1时，当x ∈(0，2am 2m ＋1)时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，2am2m ＋1)上是增函数，所以y max ＝f (2am 2m ＋1)＝32m 2(2m ＋1)3a 3，综上，当m ≥1时，投入2a 3万元，最大增加值3227a 3．当0＜m ＜1时，投入2am 2m ＋1万元，最大增加值32m 2(2m ＋1)3a 3．【说明】适当关注建模容易，解模难的应用题，如本题需要对解模过程进行分类讨论．16．如图，摄影爱好者S 在某公园A 处，发现正前方B 处有一立柱，测得立柱顶端O 的仰角和立柱底部B 的俯角均为π6．设S 的眼睛距地面的距离按3米．(1) 求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；(2) 立柱的顶端有一长2米的彩杆MN 绕其中点O 在S 与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为π3的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．解 (1) 如图，作SC 垂直OB 于C ，则∠CSB ＝30°，∠ASB ＝60°．又SA ＝3，故在Rt △SAB 中，可求得BA ＝3，即摄影者到立柱的水平距离为3米．由SC ＝3，∠CSO ＝30°，在Rt △SCO 中，可求得OC ＝3．因为BC ＝SA ＝3，故OB ＝23，即立柱高为23米. (2) 方法一：连结SM ，SN ，设ON ＝a ，OM ＝b ．在△SON 和△SOM 中，(23)2＋1－b 22²23²1＝－(23)2＋1－a 22²23²1，得a 2＋b 2＝26．cos ∠MSN ＝a 2＋b 2－222ab ＝11ab ≥22a 2＋b 2＝1113＞12．又∠MSN ∈(0，π)，则∠MSN ＜π3．故摄影者可以将彩杆全部摄入画面．方法二提示:设∠MOS ＝θ，建立cos ∠MSN 关于θ的关系式，求出cos ∠MSN 最小值为1113，从而得到∠MSN ＜π3．方法三提示:假设∠MSN ＝π3，设ON ＝a ，OM ＝b ，联立a 2＋b 2＝26和a 2＋b 2－ab ＝4消元，判断方程是否有解．方法四提示：计算过S 点作圆O (1为半径)的两切线夹角大于60o ．也可合理建系．【说明】第(1)问主要考查了对图形的认识；第(2)问突出应用题中变量的选择，方法的选择．另外应用题中除求解函数最值问题外，也考虑涉及方程的解、不等式等问题，如方法三．17．为了迎接青奥会，南京将在主干道统一安装某种新型节能路灯，该路灯由灯柱和支架组成．在如图所示的直角坐标系中，支架ACB 是抛物线y 2＝2x 的一部分，灯柱CD 经过该抛物线的焦点F 且与路面垂直，其中C 在抛物线上，B 为抛物线的顶点，DH 表示道路路面，BF ∥DH ，A 为锥形灯罩的顶，灯罩轴线与抛物线在A 处的切线垂直．安装时要求锥形灯罩的顶到灯柱的距离是1.5米，灯罩的轴线正好通过道路路面的中线．(1)求灯罩轴线所在的直线方程； (2)若路宽为10米，求灯柱的高．解：(1)由题意知，BF ＝12，则x A ＝1.5＋12＝2，代入y 2＝2x 得y A ＝2，故A (2，2)．设点A 处的切线方程为y －2＝k (x －2)，代入抛物线方程y 2＝2x 消去x ，得ky 2－2y ＋4－4k ＝0．则△＝4－4k (4－4k )＝0，解得k ＝12．故灯罩轴线的斜率为－2，其方程为y －2＝－2(x －2)，即y ＝－2x ＋6．（2）由于路宽为10，则当x ＝112时，y ＝－5，从而FD ＝5．又CF ＝1，则CD ＝6．答：灯柱的高为6米.【说明】本题改编自必修2(P92)例5，考查学生综合应用函数、不等式知识解决实际问题的能力．解析几何应用题不需重点训练，但也需要学生适当了解和关注．18．如图，在Rt ΔABC 中，∠A 为直角，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T (－1，1)在直线AC 上，斜边中点为M (2，0)． (1)求BC 边所在直线的方程；(2)若动圆P 过点N (－2，0)，且与Rt ΔABC的外接圆相交所得公共弦长为4，求动圆P 中半径最小的圆方程．解 (1)因为AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，AC 与AB垂直，所以直线AC 的斜率为－3．故AC 边所在直线的方程为y －1＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋2＝0．设C 为(x 0，－3x 0－2)，因为M 为BC 中点，所以B (4－x 0，3x 0＋2)．点B 代入x －3y －6＝0，解得x 0＝－45，所以C (－45，25)．所以BC 所在直线方程为：x ＋7y －2＝0．(2)因为Rt ΔABC 斜边中点为M (2，0)，所以M 为Rt ΔABC 外接圆的圆心．又AM ＝22，从而Rt ΔABC 外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8．设P (a ，b )，因为动圆P 过点N ，所以该圆的半径r ＝(a ＋2)2＋b 2，圆方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2．由于⊙P 与⊙M 相交，则公共弦所在直线的方程m 为：(4－2a )x －2by ＋a 2＋b 2－r 2＋4＝0．因为公共弦长为4，r ＝22，所以M (2，0)到m 的距离d ＝2，即|2(4－2a )＋a 2＋b 2－r 2＋4|2(2－a )2＋b2＝2，化简得b 2＝3a 2－4a ，所以r ＝(a ＋2)2＋b 2＝4a 2＋4．当a ＝0时，r 最小值为2，此时b ＝0，圆的方程为x 2＋y 2＝4．【说明】本题考查直线与直线的位置关系，直线与圆有关知识，考查圆与圆位置关系及弦长的求法及函数最值求法．19．如图，平行四边形AMBN 的周长为8，点M ，N 的坐标分别为(－3，0)，(3，0)．(1)求点A ，B 所在的曲线L 方程；(2) 过 L 上点C (－2，0)的直线l 与L 交于另一点D ，与y 轴交于点E ，且l //OA ．求证：CD ²CE OA2为定值．解 (1)因为四边形AMBN 是平行四边形，周长为8 所以两点A ，B 到M ，N 的距离之和均为4>23由椭圆定义可知，a ＝2，c ＝3，b ＝1．曲线L 方程为x 24＋y 2＝1（y ≠0）． (2)由已知可知直线l 的斜率存在．因为直线l 过点C (－2，0)，设直线l 的方程为y 代入曲线方程x 24＋y 2＝1(y ≠0)，并整理得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0．因为点C (－2，0)在曲线上，则D (－8k 2＋21＋4k 2，4k1＋4k 2)，E (0，2k )，所以CD ＝41＋k 2 1＋4k 2，CE ＝21＋k 2．因为OA //l ，所以设OA 的方程为y ＝kx ，代入曲线方程，并整理得(1＋4k 2)x 2＝4．所以x 2A ＝4 1＋4k 2，y A 2＝4k ２ 1＋4k 2，所以OA 2＝4＋4k ２1＋4k 2，化简得CD ²CE OA 2＝2，所以CD ²CE OA2为定值．【说明】本题考查用定义法求椭圆方程知识及直线与椭圆相交的有关线段的计算与证明．20．如图，在直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为2，且过点(2，62)．(1)求椭圆E 的方程；(2)若点A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，直线l 经过点B 且垂直于x 轴，点P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线AP 交l 于点M ．(i)设直线OM 的斜率为k 1，直线BP 的斜率为k 2，求证：k 1k 2为定值； *(ii)设过点M 垂直于PB 的直线为m ．求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标.解：(1)由题意得2c ＝2 ，所以c ＝1，又2a 2＋32b2＝1消去a 可得2b 4－5b 2－3＝0，解得b 2＝3或b 2所以椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1．(2)(i)设P (x 1，y 1)(y 1≠0)，M (2，y 0)，则k 1＝y 02，k 2＝1x 1－2，因为A ，P ，M 三点共线，所以y 0＝4y 1x 1＋2，则k 1k 2＝4y212(x 21－4)．因为P (x 1，y 1)在椭圆上，所以y 21＝34(4－x 21)，则k 1k 2＝4y212(x 21－4)＝－32为定值．(ii)方法一：直线BP 的斜率为k 2＝y 1x 1－2，直线m 的斜率为k m ＝2－x 1y 1，则直线m 的方程为y －y 0＝2－x 1y 1(x －2)，即y ＝2－x 1y 1(x －2)＋y 0＝2－x 1y 1(x －2)＋4y 1x 1＋2＝2－x 1y 1[(x －2)＋4y 124－x 12]＝2－x 1y 1[(x －2)＋12－3x 124－x 12]＝2－x 1y 1(x ＋1)，所以直线m 过定点(－1，0)．方法二：直线BP 的斜率为k 2＝y 1x 1－2，直线m 的斜率为k m ＝2－x 1y 1，则直线m 的方程为y －4y 1x 1＋2＝2－x 1y 1(x －2)，若P 为(0，3)，则m 的方程为y ＝233x ＋233，若P 为(0，－3)，则m 的方程为y ＝－233x －233，两直线方程联立解得Q (－1，0)．因为k MQ ²k 2＝4y 13(x 1＋2)²y 1x 1－2＝4y 123(x 12－4)＝12－3x 123(x 12－4)＝－1，所以Q 在过M 且与BP 垂直的直线上，所以直线m 过定点(－1，0)．【说明】考查椭圆方程的求法及直线与椭圆中的一些定值、定点问题．其中定点问题可以考虑先从特殊情况入手，找到定点再证明． 21．已知函数f (x )＝1x －a ＋λx －b (a ，b ，λ为实常数)．(1)若λ＝－1，a ＝1．①当b ＝－1时，求函数f (x )的图象在点( 2，f (2))处的切线方程； ②当b ＜0时，求函数f (x )在[13，12]上的最大值．* (2)若λ＝1，b ＜a ，求证：不等式f (x )≥1的解集构成的区间长度D 为定值．解 (1)①当b ＝－1时，f (x )＝1x －1－1x ＋1＝2x 2－1，则f ′(x )＝－4x(x 2－1)2，可得f ′(2)＝－42，又f ( 2)＝2，故所求切线方程为y －2＝－4 2(x － 2)，即42x ＋y －10＝0．②当λ＝－1时，f (x )＝1x －1－1x －b，则 f ′(x )＝－1(x －1)2＋1(x －b )2＝(x －1)2－(x －b )2(x －1)2(x －b )2＝2(b －1)(x －b ＋12)(x －1)2(x －b )2．因为b ＜0，则b －1＜0 ，且b ＜b ＋12＜12故当b ＜x ＜b ＋12时，f ′(x )＞0，f (x )在(b ，b ＋12)上单调递增；当b ＋12＜x ＜12 时，f ′(x )＜0，f (x )在(b ＋12，12)单调递减．(Ⅰ)当b ＋12≤13，即b ≤－13时，f (x )在[13，12]单调递减，所以[f (x )]max ＝f (13)＝9b －92－6b； (Ⅱ)当13＜b ＋12＜12，即－13＜b ＜0时，[f (x )]max ＝f (b ＋12)＝4b －1．综上所述，[f (x )]max ＝⎩⎨⎧ 4b －1，－13＜b ＜0， 9b －92－6b ，b ≤－13．(2) f(x)≥1即1x－a＋1x－b≥1．……………………(*)①当x＜b时，x－a＜0，x－b＜0，此时解集为空集．②当a＞x＞b时，不等式(*)可化为(x－a)＋(x－b)≤(x－a)(x－b)，展开并整理得，x2－(a＋b＋2)x＋(ab＋a＋b)≥0，设g (x)＝x2－(a＋b＋2)x＋(ab＋a＋b)，因为△＝(a－b)2＋4＞0，所以g(x)有两不同的零点，设为x1，x2(x1＜x2)，又g (a)＝b－a＜0，g (b)＝a－b＞0，且b＜a，因此b＜x1＜a＜x2，所以当a＞x＞b时，不等式x2－(a＋b＋2)x＋(ab＋a＋b)≥0的解为b＜x ≤x1．③当x＞a时，不等式(*)可化为(x－a)＋(x－b)≥(x－a)(x－b)，展开并整理得，x2－(a＋b＋2)x＋(ab＋a＋b)≤0，由②知，此时不等式的解为a＜x≤x2综上所述，f(x)≥1的解构成的区间为(b，x1]∪(a，x2]，其长度为(x1－b)＋(x2－a)＝x1＋x2－a－b＝a＋b＋2－a－b＝2．故不等式f(x)≥1的解集构成的区间长度D为定值2．【说明】本题考查了导数的应用、分类讨论思想、解一元二次不等式．其中第(2)问涉及不常考的解一元二次不等式分类讨论问题，注意比较a、b与两根的大小．22．已知函数f (x)＝ln x(x＞0)．(1)求函数g (x)＝f (x)－x＋1的极值；*(2)求函数h(x)＝f (x)＋|x－a|(a为实常数)的单调区间；*(3)若不等式(x 2－1)f (x )≥k (x －1)2对一切正实数x 恒成立，求实数k 的取值范围．解：(1)g (x )＝ln x －x ＋1，g ′(x )＝1x －1＝1－xx，当0＜x ＜1时，g ′(x )＞0；当x ＞1时，g ′(x )＜0，可得g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，故g (x )有极大值为g (1)＝0，无极小值． (2)h (x )＝ln x ＋|x －a |．当a ≤0时，h (x )＝ln x ＋x －a ，h ′(x )＝1＋1x＞0恒成立，此时h (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，h (x )＝⎩⎨⎧ln x ＋x －a ，x ≥a ，ln x －x ＋a ，0＜x ＜a ．①当x ≥a 时，h (x )＝ln x ＋x －a ，h ′(x )＝1＋1x＞0恒成立，此时h (x )在(a ，＋∞)上单调递增；②当0＜x ＜a 时，h (x )＝ln x －x ＋a ，h ′(x )＝1x －1＝1－xx．当0＜a ≤1时，h ′(x )＞0恒成立，此时h (x )在(0，a )上单调递增；当a ＞1时，当0＜x ＜1时h ′(x )＞0，当1≤x ＜a 时h ′(x )≤0，所以h (x )在(0，1)上单调递增，在(1，a )上单调递减．综上，当a ≤1时，h (x )的增区间为(0，＋∞)，无减区间；当a ＞1时，h (x )增区间为(0，1)，(a ，＋∞)；减区间为(1，a )． (3)不等式(x 2－1)f (x )≥k (x －1)2对一切正实数x 恒成立，即(x 2－1)ln x ≥k (x －1)2对一切正实数x 恒成立．当0＜x ＜1时，x 2－1＜0；ln x ＜0，则(x 2－1)ln x ＞0；当x≥1时，x2－1≥0；ln x≥0，则(x2－1)ln x≥0．因此当x＞0时，(x2－1)ln x≥0恒成立．又当k≤0时，k(x－1)2≤0，故当k≤0时，(x2－1)ln x≥k(x－1)2恒成立．下面讨论k＞0的情形．当x＞0且x≠1时，(x2－1)ln x－k(x－1)2＝(x2－1)[ln x－k(x－1)x＋1]．设h(x)＝ln x－k(x－1)x＋1(x＞0且x≠1)，h′(x)＝1x－2k(x＋1)2＝x2＋2(1－k)x＋1x(x＋1)2．记△＝4(1－k)2－4＝4(k2－2k)．①当△≤0，即0＜k≤2时，h′(x)≥0恒成立，故h(x)在(0，1)及(1，＋∞)上单调递增．于是当0＜x＜1时，h(x)＜h(1)＝0，又x2－1＜0，故(x2－1) h(x)＞0，即(x2－1)ln x＞k(x－1)2．当x＞1时，h(x)＞h(1)＝0，又x2－1＞0，故(x2－1)h(x)＞0，即(x2－1)ln x ＞k(x－1)2．又当x＝1时，(x2－1)ln x＝k(x－1)2．因此当0＜k≤2时，(x2－1)ln x≥k(x－1)2对一切正实数x恒成立．②当△＞0，即k＞2时，设x2＋2(1－k)x＋1＝0的两个不等实根分别为x1，x2(x1＜x2)．函数φ(x)＝x2＋2(1－k)x＋1图像的对称轴为x＝k－1＞1，又φ(1)＝4－2k＜0，于是x1＜1＜k－1＜x2．故当x∈(1，k－1)时，φ(x)＜0，即h′(x)＜0，从而h(x)在(1，k－1)在单调递减；而当x∈(1，k－1)时，h(x)＜h(1)＝0，此时x2－1＞0，于是(x2－1) h(x)＜0，即(x2－1)ln x＜k(x－1)2，因此当k＞2时，(x2－1)ln x≥k(x－1)2对一切正实数x不恒成立．综上，当(x2－1)f (x)≥k(x－1)2对一切正实数x恒成立时，k≤2，即k的取值范围是(－∞，2]．【说明】本题以函数的最值为载体考查分类讨论思想．第三问比较难，两个注意：①适当变形后研究函数h(x)；②当k＞2时，区间(1，k－1)是如何找到的．23．已知函数f (x)＝sin x－x cos x的导函数为f ′(x)．(1)求证：f (x)在(0，π)上为增函数；(2)若存在x∈(0，π)，使得f′(x)＞12x2＋λx成立，求实数λ的取值范围；*(3)设F(x)＝f′(x)＋2cos x，曲线y＝F(x)上存在不同的三点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，x1＜x2＜x3，且x1，x2，x3∈(0，π)，比较直线AB的斜率与直线BC的斜率的大小，并证明．解 (1)证明：f′(x)＝x sin x，当x∈(0，π)时，sin x＞0，所以f′(x)＞0恒成立，所以f (x) 在(0，π)上单调递增．(2)因为f′(x)＞12x2＋λx，所以x sin x＞12x2＋λx．当0＜x＜π时，λ＜sin x－12 x．设φ(x )＝sin x －12x ，x ∈(0，π)，则φ′(x )＝cos x －12．当0＜x ＜π3时，φ′(x )＞0；当π3＜x ＜π时，φ′(x )＜0．于是φ (x )在(0，π3)上单调递增，在 (π3，π)上单调递减，所以当0＜x ＜π时，φ(x )max ＝g (π3)＝32－π6因此λ＜32－π6．(3)由题意知只要判断F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F (x 2)－F (x 1)x 2－x 1的大小．首先证明：F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F ′(x 2)．由于x 2＜x 3，因此只要证：F (x 3)－F (x 2)＜(x 3－x 2) F ′(x 2)．设函数G (x )＝F (x )－F (x 2)－(x －x 2) F ′(x 2)( x 2＜x ＜π)，因为F ′(x )＝x cos x －sin x ＝－f (x )，所以G ′(x )＝F ′(x )－F ′(x 2)＝f (x 2)－f (x )，由（1）知f (x )在(0，π)上为增函数，所以G ′(x )＜0．则G (x )在(x 2，π)上单调递减，又x ＞x 2，故G (x )＜G (x 2)＝0．而x 2＜x 3＜π，则G (x 3)＜0，即F (x 3)－F (x 2)－(x 3－x 2) F ′(x 2)＜0，即F (x 3)－F (x 2)＜(x 3－x 2) F ′(x 2)．从而F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F ′(x 2)得证．同理可以证明：F ′(x 2)＜F (x 2)－F (x 1)x 2－x 1．因此有F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F (x 2)－F (x 1)x 2－x 1，即直线AB 的斜率大于直线BC 的斜率．【说明】本题以三角函数为载体，考查导数的应用及分类讨论思想，适时结合形分析．其中第三问找一个中间量F′(x2)，难度稍大．24．已知数集A＝{a1，a2，…，a n}(0≤a1＜a2＜…＜a n，n≥2，n∈N*)具有性质P： i，j(1≤i≤j≤n)，a i＋a j与a j－a i两数中至少有一个属于A．(1)分别判断数集{1，2，3，4}是否具有性质P，并说明理由；(2)证明：a1＝0；*(3)证明：当n＝5时，a1，a2，a3，a4，a5成等差数列．证明 (1)由于4＋4与4－4均不属于数集{1，2，3，4}，所以该数集不具有性质P．(2)因为A＝{a1，a2，…，a n}具有性质P，所以a n＋a n与a n－a n中至少有一个属于A，又a n＋a n＞a n，所以a n＋a n∈∕A，所以a n－a n∈A，即0∈A，又a1≥0，a2＞0，所以a1＝0；(3)当n＝5时，取j＝5，当i≥2时，a i＋a5＞a5，由A具有性质P，a5－a i∈A，又i＝1时，a5－a1∈A，所以a5－a i∈A，i＝1，2，3，4，5．因为0＝a1＜a2＜a3＜a4＜a5，所以a5－a1＞a5－a2＞a5－a3＞a5－a4＞a5－a5＝0，则a5－a1＝a5，a5－a2＝a4, a5－a3＝a3，从而可得a2＋a4＝a5，a5＝2a3，故a2＋a4＝2a3，即0＜a4－a3＝a3－a2＜a3，又因为a3＋a4＞a2＋a4＝a5，所以a3＋a4∈∕A，则a4－a3∈A，则有a4－a3＝a2＝a2－a1．又因为a5－a4＝a2＝a2－a1，所以a5－a4＝a4－a3＝a3－a2＝a2－a1＝a2，即a1，a2，a3，a4，a5是首项为0，公差为a2的等差数列．【说明】本题主要考查集合、等差数列的性质，考查运算能力、推理论证能力，本题是数列与不等式的综合题．对于复杂的数列问题，我们往往可以从特殊情况入手，找到解题的突破口．25．设M⊂≠N*，正项数列{a n}的前项积为T n，且∀k∈M，当n＞k 时，T n＋k T n－k＝T n T k都成立．(1)若M＝{1}，a1＝3，a2＝33，求数列{a n}的前n项和；(2)若M＝{3，4}，a1＝2，求数列{a n}的通项公式．解：(1)当n≥2时，因为M＝{1}，所以T n＋1T n－1＝T n T1，可得a n＋1＝a n a12，故a n＋1 a n＝a12＝3(n≥2)．又a1＝3，a2＝33，则{a n}是公比为3的等比数列，故{a n}的前n项和为3(1－3n)1－3＝32²3n－32．(2)当n＞k时，因为T n＋k T n－k＝T n T k，所以T n＋1＋k T n＋1－k＝T n＋1T k，所以T n ＋k T n －kT n ＋1＋k T n ＋1－k＝T n T k T n ＋1T k，即a n ＋1＋k a n ＋1－k ＝a n ＋1，因为M ＝{3，4}，所以取k ＝3，当n ＞3时，有a n ＋4a n －2＝a n ＋12；取k ＝4，当n ＞4时，有a n ＋5a n －3＝a n ＋12．由a n ＋5a n －3＝a n ＋12知，数列a 2，a 6，a 10，a 14，a 18，a 22，…，a 4n －2，…，是等比数列，设公比为q ．………………①由a n ＋4a n －2＝a n ＋12 知，数列a 2，a 5，a 8，a 11，a 14，a 17，…，a 3n －1，…，是等比数列，设公比为q 1，………………②数列a 3，a 6，a 9，a 12，a 15，a 18，…，a 3n ，…，成等比数列，设公比为q 2，…………………③数列a 4，a 7，a 10，a 13，a 16，a 19，a 22，…，a 3n ＋1，…，成等比数列，设公比为q 3，…………④由①②得，a 14a 2＝q 3，且a 14a 2＝q 14，所以q 1＝q 34；由①③得，a 18a 6＝q 3，且a 18a 6＝q 24，所以q 2＝q 34；由①④得，a 22a 10＝q 3，且a 22a 10＝q 34，所以q 3＝q 34；所以q 1＝q 2＝q 3＝q 34．由①③得，a 6＝a 2q ，a 6＝a 3q 2，所以a 3a 2＝qq 2＝q 14，由①④得，a 10＝a 2q 2，a 10＝a 4q 32，所以a 4a 2＝q 2q 32＝q 12，所以a 2，a 3，a 4是公比为q 14的等比数列，所以{a n }(n ≥2)是公比为q 14的等比数列．因为当n ＝4，k ＝3时，T 7T 1＝T 42T 32；当n ＝5，k ＝4时，T 9T 1＝T 52T 42，所以(q 14)7＝2a 24，且(q 14)10＝2a 26，所以q 14＝2，a 2＝2 2．又a 1＝2，所以{a n }(n ∈N *)是公比为q 14的等比数列．故数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －1² 2．【说明】本题主要考查等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分分类讨论等数学思想方法．*26．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{M n }满足条件：M 1= S t 1，当n ≥2时，M n = S t n －S t n －1，其中数列{t n }单调递增，且t n ∈N *．（1）若a n ＝n ，①试找出一组t 1、t 2、t 3，使得M 22＝M 1M 3；②证明：对于数列a n ＝n ，一定存在数列{t n }，使得数列{M n }中的各数均为一个整数的平方；（2）若a n ＝2n －1，是否存在无穷数列{t n }，使得{M n }为等比数列．若存在，写出一个满足条件的数列{t n }；若不存在，说明理由．解：（1）若a n ＝n ，则S n ＝n 2＋n2，①取M 1＝S 1＝1，M 2＝S 4－S 1＝9，M 3＝S 13－S 4＝81，满足条件M 22＝M 1M 3，此时t 1＝1，t 2＝4，t 3＝13．②由①知t 1＝1，t 2＝1＋3，t 3＝1＋3＋32，则M 1＝1，M 2＝32，M 3＝92，一般的取t n ＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝3n－12，此时S t n ＝3n －12(1＋3n －12)2，S t n －1＝3n －1－12(1＋3n －1－12)2，则M n ＝S t n －S t n －1＝3n －12(1＋3n －12)2－3n －1－12(1＋3n －1－12)2＝(3n －1)2，所以M n 为一整数平方．因此存在数列{t n }，使得数列{M n }中的各数均为一个整数的平方．（3）假设存在数列{t n }，使得{M n }为等比数列，设公比为q ．因为S n ＝n 2，所以S t n＝t n 2，则M 1＝t 12，当n ≥2时，M n ＝t n 2－t n －12＝q n －1 t 12，因为q 为正有理数，所以设q ＝rs(r ，s 为正整数，且r ，s 既约)．因为t n 2－t n －12必为正整数，则r n －1s n －1t 12∈N *，由于r ，s 既约，所以t 12sn －1必为正整数．若s ≥2，且{t n }为无穷数列，则当n ＞log s t 12＋1时，t 12s n －1＜1，这与t 12sn －1为正整数相矛盾．于是s ＝1，即q 为正整数．注意到t 32＝M 3＋M 2＋M 1＝M 1(1＋q ＋q 2)＝t 12(1＋q ＋q 2)，于是t 32t 12＝1＋q＋q2．因为1＋q＋q2∈N*，所以t32t12∈N*．又t3t1为有理数，从而t3t1必为整数，即1＋q＋q2为一整数的平方．但q2＜1＋q＋q2＜(q＋1) 2，即1＋q＋q2不可能为一整数的平方．因此不存在满足条件的数列{t n}．【说明】本题主要考查等差、等比数列的性质，考查阅读理解能力、运算求解能力、推理论证能力．对于新构造的函数，可以尝试列举，了解构造的过程和含义，从中观察发现规律或寻找突破口．对于存在性问题，也可以考虑先从特殊情况入手寻找突破口．*27．已知(1＋x)2n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2n x2n．(1)求a1＋a2＋a3＋…＋a2n的值；(2)求1a1－1a2＋1a3－1a4＋…＋1a2n－1－1a2n的值．解 (1)令x＝0得，a0＝1；令x＝1得，a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2n＝22n．于是a1＋a2＋a3＋…＋a2n＝22n－1．(2)a k＝C k2n，k＝1，2，3，…，2n，首先考虑1C k2n＋1＋1C k＋12n＋1＝k!(2n+1－k)!(2n＋1)!＋(k＋1)!(2n－k)!(2n＋1)!＝k!(2n－k)!(2n＋1－k＋k＋1)(2n＋1)!＝k!(2n－k)!(2n＋2)(2n＋1)!＝2n＋2(2n＋1) C k2n，则1C k 2n ＝2n ＋12n ＋2(1 C k 2n ＋1＋1C k ＋12n ＋1)，因此1C k 2n －1 C k ＋12n ＝2n ＋12n ＋2(1 C k 2n ＋1－1 C k ＋22n ＋1)．故1a 1－1a 2＋1a 3－1a 4＋…＋1a 2n －1－1a 2n ＝2n ＋12n ＋2(1 C 12n ＋1－1 C 32n ＋1＋1 C 32n ＋1－1 C 52n ＋1＋…＋1C 2n －12n ＋1－1 C 2n ＋12n ＋1) ＝2n ＋12n ＋2(1 C 12n ＋1－1 C 2n ＋12n ＋1)＝2n ＋12n ＋2(12n ＋1－1)＝－nn ＋1．【说明】本题考查二项式定理、赋值法、组合恒等变换．关于组合数的倒数问题一直没有涉及过，注意关注一下．。

2018高三数学(文)第二次联考试卷(黄冈中学等八校附答案)

2018高三数学（文）第二次联考试卷（黄冈中学等八校附答案）本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址鄂南高中华师一附中黄冈中学黄石二中荆州中学孝感高中襄阳四中襄阳五中2018届高三第二次联考文科数学试题命题学校：孝感高中命题人：周浩颜运审题人：陈文科审题学校：襄阳四中审定人：张婷王启冲本试卷共4页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

．设集合，则=A．B．c．D．2．已知复数满足（其中为虚数单位），则A．B．c．D．3．已知函数的定义域为，则是为奇函数的（）条件A．充分不必要B．必要不充分c．充分必要D．既不充分也不必要4．某景区在开放时间内，每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车，某人上午到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待时间不多于10分钟的概率为A．B．c．D．5．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，该几何体的体积为A．B．c．D．6．要得到函数的图象，只需将函数的图象A．向左平移个单位B．向右平移个单位c．向左平移个单位D．向右平移个单位7．等差数列的前项和为若，则A．66B．99c．110D．1988．在中，，A．B．c．D．9．如图程序中，输入，则输出的结果为A．B．c．D．无法确定0．抛物线焦点与双曲线一个焦点重合，过点的直线交于点、，点处的切线与、轴分别交于、，若的面积为4，则的长为A．B．c．D．1．函数存在唯一的零点，且，则实数的范围为A．B．c．D．2．对于实数，下列说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若且，则.正确的个数为A．B．c．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高三数学试题及答案2018

高三数学试题及答案2018一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。

）1. 若函数f(x)=x^2-4x+3，求f(1)的值。

A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知等差数列{an}的前三项和为6，且a2-a1=2，求数列的首项a1。

A. 0B. 1C. 2D. 33. 若复数z=1+i，则|z|的值为。

A. 1B. √2C. 2D. √34. 已知直线l的方程为y=2x+3，求直线l与x轴的交点坐标。

A. (-3/2, 0)B. (3/2, 0)C. (-1, 0)D. (1, 0)5. 已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c，且a^2+b^2=c^2，求三角形的形状。

A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形6. 若函数f(x)=sin(x)+cos(x)，则f(π/4)的值为。

A. √2B. 1C. √3/2D. 07. 已知圆的方程为(x-2)^2+(y-3)^2=9，求圆心到直线x+y=5的距离。

A. √2B. 2√2C. 3√2D. 4√28. 若双曲线C的方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1，且C的一条渐近线方程为y=2x，则双曲线的离心率为。

A. √5B. √6C. √7D. √8二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

）9. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f'(x)的表达式。

10. 若向量a=(3, -1)，向量b=(2, 4)，则向量a与向量b的数量积为。

11. 已知椭圆的方程为x^2/25+y^2/9=1，求椭圆的焦点坐标。

12. 若函数f(x)=ln(x)，求f'(x)的表达式。

三、解答题（本题共3小题，共40分。

）13. （本题满分10分）已知函数f(x)=x^2-4x+3，求函数的最小值。

14. （本题满分15分）已知数列{an}是等比数列，且a1=2，a3=8，求数列的通项公式。

普通高等学校2018届高三招生全国统一考试模拟试题(二)数学(文)试题word含答案

普通高等学校2018届高三招生全国统一考试模拟试题(二)数学(文)试题word含答案普通高等学校招生全国统一考试模拟试题——文科数学（二）本试卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题纸上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合 $A=\{x|x-\frac{1}{2}<0\}$，$B=\{x|x-\frac{(2a+8)}{a(a+8)}<0\}$，若 $A\cap B=A$，则实数 $a$ 的取值范围是A。

$(-4,-3)$B。

$[-4,-3]$C。

$(-\infty,-3)\cup(4,+\infty)$D。

$(-3,4)$2.已知复数 $z=\frac{3+i}{2-3i}$，则 $z$ 的实部与虚部的和为A。

$-\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i$B。

$-\frac{2}{5}-\frac{1}{5}i$C。

$\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i$D。

$\frac{3}{5}+\frac{2}{5}i$3.某景区管理部门为征求游客对景区管理方面的意见及建议，从景区出口处随机选取 $5$ 人，其中 $3$ 人为跟团游客，$2$ 人为自驾游散客，并从中随机抽取 $2$ 人填写调查问卷，则这 $2$ 人中既有自驾游散客也有跟团游客的概率是A。

$\frac{2}{3}$B。

$\frac{1}{5}$C。

$\frac{2}{5}$D。

$\frac{3}{5}$4.已知双曲线 $E:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的离心率为$\frac{\sqrt{10}}{3}$，斜率为 $-\frac{3}{2}$ 的直线 $l$ 经过双曲线的右顶点 $A$，与双曲线的渐近线分别交于 $M$，$N$ 两点，点 $M$ 在线段$AN$ 上，则 $\frac{AN}{AM}$ 等于A。

高三数学-2018年试卷分析精品

2018年普通高校招生全国统一考试（重庆卷）数学试卷分析这次参加重庆卷数学考试的普通高中学生共有112668人，比去年增加28619人，其中理科69795人，占61.95％，文科42873人，占38.18％。

一、命题范围及试卷结构本次考试的命题范围是普通高中数学教学大纲和2018年普通高校招生全国统一考试大纲所规定的全部内容。

经统计各知识点所占分值如下表。

本次试题充分考虑了文理科学生的实际情况，适当拉大了文理科试题的差异，既体现了个性，也体现了共性。

文理科有7个选择题，1个填空题，1.5个解答题相同，共计9.5个题相同，还有1道姊妹题（第21题），这样文理试题计有11.5个题不同。

本次试题各类题型（选择题、填空题、解答题）的分布、总个数、每个题的分值分布等都与近几年全国高考数学试卷相同。

二、试题评价1.注重基础，贴近教材总体来看，本次试题无偏题，无怪题，所有题目都是大家熟悉的题型，严格遵循考纲的要求，注重了“三基”的考查和应用数学的意识与数学能力的考查，较好的体现了循序渐进，入手容易，深入难的设题思路。

如文理科解答题除第18题外，其余5个题得分容易，但得满分难。

中学数学中所学的基础知识、基本技能和基本数学思想方法是学生继续深造的基础，也是培养学生数学能力的前提。

基础知识一般包括概念、性质、法则、定理、公式等，本次文理试题的各个题目都是以相应的基本知识为载体的，不可能脱离基础知识而独立存在，因而所有的题目都体现了对基础知识的考查。

基本技能是指对变形、代换、推理、计算等技巧所掌握的熟练程度，如文理的选择填空题第1——8题，第13、14题，只要平时基础扎实的学生都能快速作答。

又如文理科解答题第21、22题考查了一些基本的技能技巧。

基本数学思想方法是指在中学数学中影响全局的、具有重大价值的、有深远意义的解决问题的思想、方法和策略，如函数方程、整体代换、数形结合、分类讨论、待定系数、化归与转化、运动变换等，如考题中很多题目都渗透了函数方程思想，如文理科的第21题，理科的第15、16题就要充分运用数形结合的思想去解决，理科第20题考查了分类讨论的思想。

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数学综合卷
班级______ 姓名_______ 学号_______
第Ⅰ卷（选择题共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（文）函数11+=x y 的定义域是（）
A ．),1[+∞-
B ．)0,1[-
C ．),1(+∞-
D ．（－1，0）（理）复数i
z +=11
所对应的点在
（）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 2. 若集合
，则
（）
A. B.
C.
D.
3．已知等差数列{}n a 的通项公式为35n a n =-，则()()()5
6
7
111x x x +++++的展开式中
含4
x 项的系数是该数列的
（）
A ．第9项
B ．第10项
C ．第19项
D ．第20项
4. 函数233
+-=x x y 的单调减区间是（）
A.（1-，1）
B.（1，2）
C.（∞-，1-）
D.（∞-，1-）与（1，∞+）
5．设︒+︒=︒+︒=16cos 16sin ,15cos 15sin b a ，则下列各式中正确的是（）
A ．a b <
B ．b a ≤
C ．b a <
D ．a b ≤
6．O 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若( OB -OC )·(OB +OC -2OA )=0，则∆ABC 是（）
A ．以A
B 为底边的等腰三角形 B ．以B
C 为底边的等腰三角形
C ．以AB 为斜边的直角三角形
D ．以BC 为斜边的直角三角形
7．从4名教师与5名学生中任选3人，其中至少要有教师与学生各1人，则不同的选法共有
（） A ．140种 B ．80种 C ．70种 D ．35种
8．甲、乙两人独立解答某道题，解不出来的概率分别为a 和b ，那么甲、乙两人都解出这道题的概率是 ( ) A ．1-ab B ．(1-a )(1-b ) C ．1-(1-a )(1-b ) D ．a (1-b )+b (1-a )
9. 如果与的图象关于直线对称，则的
值为( ) A.
B.
C.
D.
10. 设是椭圆的两个焦点，以为圆心，且过椭圆中心的圆与椭圆的一个交点为M ，
若直线
与圆
相切，则椭圆的离心率是
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题共100分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中的横线上） 11．把函数)4
2sin(π
+
=x y 的图象向右平移
8
π
个单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的2
1
（纵坐标不变），则所得图象的解析式为 12. 若奇函数
在
时，
，那么
时，x 的集
合是_____________
13. 表示图中阴影部分的二元一次不等式组为___________________
14. 在各项均为正数的等比数列
中，设
，则
_____________，
的值等于_____________
三、解答题（本大题共6小题，每小题14分，共84分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．已知),(),,1(2
x x x b x a -+== ，解关于x 的不等式
21a b a b
⋅+>⋅
16．（文）一袋中装有大小相同的3个白和4个黑球，
（1）从中摸出两个球，求两个球恰好颜色不同的概率；
（2）从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，求两个球恰好颜色不同的概率
（理）一袋中装有6个球，编号为1、2、3、4、5、6,在袋中同时取3只球，以ξ表示取出的3只球中的最大号码，
（1）求ξ的分布列；（2）求ξ的数学期望；（3）求“4ξ>”的概率
17．设()12cos 3sin f x x x =++,问：是否存在a ，b ，c 使得等式()()1af x bf x c +-=对一切实数x 都成立？若存在，求出a ，b ，c 的值；若不存在，请说明理由
18．已知函数1,22)(2
3
=-=-+=x x x bx ax x f 在处取得极值. （Ⅰ）求函数)(x f 的解析式；（Ⅱ）求函数)(x f 的单调区间
19. 已知椭圆的离心率是，F 是其左焦点，若直线与
椭圆交于AB 两点，且，求该椭圆的方程
20．已知数列
{}n a 的前n 项和()292n S n n n N =-++∈．
(Ⅰ) 判断数列{}n a 是否为等差数列；
(Ⅱ) 设12n n
R a a a =+++，求n R ；
(Ⅲ) 设121(),(12)
n
n n n b n N T b b b n a =
∈=+++-，是否存在最大的自然数
0n ，使得不等式0
32
n n T >
对一切自然数n 总成立？如果存在，求出0n 的值；如果不存在，说明理由。

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