2011届高三数学精品复习之(20)多面体与球

2011届高三数学精品复习之多面体与球

1.三棱锥顶点在底面上的射影为三角形的外心⇔三侧棱相等或三侧棱与底面所成的角相等；内心⇔三侧面与底面所成的二面角相等；垂心⇔相对的棱垂直。正三棱锥中相对的棱垂直；三棱锥三侧棱（侧面）两两垂直⇒顶点在底面上的射影为三角形的垂心；三棱锥一个顶点在对面上的射影为三角形的垂心⇒三棱锥其余顶点在对面上的射影也为三角形的垂心。

[举例1] 已知三棱锥S －ABC 的底面是正三角形，点A 在侧面SBC 上的射影H 是△SBC 的垂心，SA=a ，则此三棱锥体积最大值是 解析：∵点A 在侧面SBC 上的射影H 是△SBC 的垂心，∴点S 在底面ABC 上的射影O 为△ABC 的垂心；又△ABC 为正三角形，∴O 为△ABC 的中心，

即三棱锥S －ABC 为正三棱锥。记SO=h （h< a ），则AO=22h a -， 于是有：AB=)(322h a -,记三棱锥S －ABC 体积为f(h)，则f(h)=

h h a )(4

322

-， f /

(h)=)3(432

2h a -，∴f max (h)=)33(a f =6

3a . [举例2] 下面是关于三棱锥的四个命题：

①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.

②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥. ③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥.

④侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱；其中，真命题的编号是 （写出所有真命题的编号）.

解析：①侧面与底面所成的二面角都相等，则顶点在底面上的射影O 是底面的内心，又底面是等边三角形，故O 是底面三角形的中心，所以三棱锥是正三棱锥；②在三棱锥S －ABC 中，令AB=BC=CA=SA=SB=2，SC=3，该三棱锥不是正三棱锥；③底面是等边三角形且侧面的面积都相等，则顶点到底面三边的距离相等，即顶点在底面上的射影O 到底面三边的距离相等，但这不意味着O 是底面三角形的内心，还有可能是旁心（一个内角的平分线与另一个角的外角平分线的交点），故三棱锥未必是正三棱锥；④侧棱与底面所成的角都相等，则顶点在底面上的射影O 是底面的外心，侧面与底面所成的二面角都相等，则O 是底面的内心，底面三角形的内、外心重合，则必为正三角形且O 为其中心，故该三棱锥是正三棱锥。

[巩固1]已知三边长分别为4、5、6的△ABC 的外接圆恰好是球O 的一个大圆，P 为球面上一点，若点P 到△ABC 的三个顶点的距离相等，则三棱锥P-ABC 的体积为： （ ） A ． 8 B ．10 C ．20 D ．30 [巩固2]对于四面体ABCD ，给出下列四个命题

①若AB=AC ，BD=CD ，则BC ⊥AD ②若AB=CD ，AC=BD ，则AD BC ⊥ ③若AB ⊥AC ，BD ⊥CD ，则BC ⊥AD ④若AB ⊥CD ，BD ⊥AC ，则BC ⊥AD 其中真命题的序号是 。（写出所有真命题的序号）

2．关注长方体对角线的性质：①长方体的对角线与过一个顶点的三条棱所成角的余弦的平方和为1；②长方体的对角线与过一个顶点的三个面所成角的余弦的平方和为2；

[举例]已知锐角α、β、γ满足：cos 2α+ cos 2β+ cos 2

γ=1,则tan αtan βtan γ的最小

A

B

C

D A 1 B 1 C 1

D 1

C 1 B 1 A 1

A

C C 2

A

2

B

图3-1

图3-2

A 1

A C

B 1

C 1

B

H

值为 。

解析：本题若考虑三角变换，将不胜其烦；由cos 2α+ cos 2β+ cos 2

γ=1联想到锐角α、β、

γ是长方体的对角线与过一个顶点的三条棱所成角，

记该长方体过一个顶点的三条棱长分别为a 、b 、c ,则tan αtan βtan γ=c b a b c a a c b 222222+⋅+⋅+≥c

ab

b a

c a bc 222⋅⋅ =22，当且仅当a=b=c 时，等号成立。

[巩固]已知空间三平面α、β、γ两两垂直，直线l 与平面α、β所成的角都是300

，则直线l 与平面γ所成的角是 。

3．求多面体的体积常用“割补法”，关注组成多面体的个部分体积之间的比例关系；如同底等高的“柱”是“锥”的体积的3倍；求“锥”的体积关键是“高”，“等积转换”是常用的办法。

[举例1]以平行六面体相邻两个面上相互异面的两条对角线的端点为顶点的四面体的体积是平行六面体的体积的： （ ） A ．

61 B ．41 C ．31 D ．5

1 解析：如图，以A 1B 和B 1C 的端点为顶点的四面体是 三棱锥A 1-BB 1C ，将原平行六面体视为四棱柱 ADD 1A 1-BCC 1B 1，易见三棱锥的底面积是四棱柱 的底面积的一半，高相等，故三棱锥的体积是

四棱柱的体积的6

1

，选A 。

[举例2] 如图3-1是一个直三棱柱（以111A B C 为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ．已知11111A B B C ==，11190A B C ∠=，14AA =，12BB =，13CC =．求此几何体的体积．（07高考江西理20）

解析：过B 作截面22BA C ∥面111A B C ，分别 交1AA ,1CC 于2A ,2C ．如图3-2， 原几何体可视为四棱锥B-ACC 2A 2 与三棱柱A 1B 1C 1-A 2BC 2的组合体。 作22BH A C ⊥于H ，则BH 是四棱锥 的高，22BH =

，2

1

222)21(2131312222=⋅

+⋅⋅=⋅=-BH S V A ACC A ACC B 111122111BB S V C B A BC A C B A ⋅=∆-=1；故所求几何体体积为

2

3

。 [巩固1]在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，侧面A 1ABB 1是菱形，侧面BCC 1B 1是矩形，C 1B 1⊥AB ，求平面C 1AB 1把棱柱分成两部分的体积的比。

[巩固2] 如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是 边长为1的正方形，且△ADE 、△BCF 均为正三角形，