2021届高考数学专题：立体几何之内切球和外接球(答案不全)
立体几何中球的内切和外接问题(完美版)
则这个球的表面积是（ ）
A．16π
B．20π
C．24π
D．32π
4
举一反三-突破提升
2.正六棱柱的底面边长为 4,高为 6,则它的外接球的表面积为
A. 20 B. 25 C. 100 D. 200
4
举一反三-突破提升
已知正三棱锥 P-ABC 的主视图和俯视图如图所 示,
则此三棱锥的外接球的表面积为 ( )
ห้องสมุดไป่ตู้
切(如图).求:
(1)这个正三棱锥的表面积; (2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积.
考点一 考点二 考点三
4
举一反三-突破提升
-30-
解:(1)底面正三角形中心到一边的距离为1 × 3×2 6 = 2,则正棱锥
32
侧面的斜高为 12 + ( 2)2 = 3.
∴S 侧=3×12×2 6 × 3=9 2.
，五个顶点都在同一个球面上，
P
设外接球半径为 R，在△OO1A 中有
D
解得 . ∴ .
O1
O C
A B
6
测棱相等的锥体顶点的投影在底面外接圆心
例 7、.若三棱锥 S-ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，AB=2，
SA=SB=SC=2，则该三棱锥的外接球的球心到平面 ABC 的距离为（ ）
B、体积为 3
D、外接球的表面积为 16
3
1正视图
1
3 1 侧视图
俯视图
点 A、B、C、D 均在同一球面上，其中
是正三角形，
AD 平面 ABC,AD=2AB=6,则该球的体积为 （ ）
(A)
(B)
(C)
(D)
平面四边形 ABCD中， AB AD CD1， BD 2, BD CD ，
2021年高考数学(理)立体几何二轮专项提升《专题04空间几何体的内切球、外接球问题》(原卷版)
《2021年数学（理）立体几何二轮专项提升》专题04 空间几何体的内切球、外接球问题一、 高考题型特点：是高考中的热点问题，以小题形式呈现，难度中等偏上.二、重难点：1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题.2.若球面上四点P ，A ，B ，C 中P A ，PB ，PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题.三、易错注意点：(1)“切”的处理：解决与球有关的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时要先找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则多通过多面体过球心的对角面来作截面.(2)“接”的处理：把一个多面体的几个顶点放在球面上即球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．四、典型例题：例1.（2019全国卷Ⅰ）已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为（ ）A ．68π B．64π C ．62π D ．6π例2．（2017天津卷）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 ．例3．（2017江苏卷）如图，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切。
记圆柱12O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则12V V 的值是 ．例4.(2016全国卷Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球.若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( )A.4πB.9π2C.6πD.32π3 五、强化提升训练：1．已知三棱锥P -ABC 中，PB ⊥平面ABC ，∠ABC ＝90°，P A ＝5，AB ＝BC ＝1，则三棱锥P -ABC 的外接球的表面积为( )A ．12πB ．6πC ．24π D.46π32．(2019·金水区校级月考)如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是()A ．24πB ．36πC ．48πD ．60π3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为( )A.25πB.26πC.32πD.36π4.(2019·广州模拟)三棱锥P －ABC 中，平面P AC ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，P A ＝PC ＝AC ＝2，AB ＝4，则三棱锥P －ABC 的外接球的表面积为( )A.23πB.234πC.64πD.643π 5. (2019·东北三省四市模拟)已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，沿AD 进行折叠，使折叠后的∠BDC ＝π2，则过A ，B ，C ，D 四点的球的表面积为( ) A.3π B.4π C.5π D.6π6.(2019·广州二测)体积为3的三棱锥P －ABC 的顶点都在球O 的球面上，P A ⊥平面ABC ，P A ＝2，∠ABC ＝120°，则球O 的体积的最小值为( ) A.773π B.2873π C.19193π D.76193π 7．(2019·南康区校级月考)已知球的直径SC ＝2，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝1，∠ASC ＝∠BSC ＝45°，则棱锥S -ABC 的体积为( )A. 3B.34C.33D.368．(2019·成都七中模拟)《九章算术》中将底面是直角三角形、侧棱垂直于底面的三棱柱称之为“堑堵”，现有一“堑堵”型石材，其底面三边长分别为3,4,5，若此石材恰好可以加工成一个最大的球体，则其高为( )A ．4B ．3C ．2D ．19．(2019·东莞市一模)三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，∠ABC ＝30°，△APC 的面积为2，则三棱锥P -ABC的外接球体积的最小值为( )A ．4πB.4π3 C ．64π D.32π310.体积为4π3的球与正三棱柱的所有面均相切，则该棱柱的体积为________. 11．三棱锥P -ABC 的四个顶点均在同一个球面上，其中P A ⊥平面ABC ，△ABC 是正三角形，P A ＝2BC ＝4，则该球的表面积为________．12．(2019·青岛一模)在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PD ⊥面ABCD ，且PD ＝1，若在这个四棱锥内有一个球，则此球的最大表面积为________．。
高考数学中的内切球和外接球问题(附习题)-精选.pdf
一、 有关外接球的问题
如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上， 那么称这个多面
体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球 . 有关多面体外接
球的问题， 是立体几何的一个重点， 也是高考考查的一个热点 . 考查
学生的空间想象能力以及化归能力 .研究多面体的外接球问题，既要
学习 .
五 .确定球心位置法
例 5 在矩形 ABCD 中， AB 4, BC 3，沿 AC 将矩形 ABCD 折成一
个直二面角 B AC D ，则四面体 ABCD 的外接球的体积为
125
A. 12
125
B. 9
125
C. 6
125
D. 3
D
A
O
C
图4 B
解 设矩形对角线的交点为 O ，则由矩形对角线互相平分，可知
例 2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的
表面积为 24 ，则该球的体积为 ______________.4 3 . 2、求长方体的外接球的有关问题
例 3 一个长方体的各顶点均在同一球面上， 且一个顶点上的三条
棱长分别为 1,2,3 ，则此球的表面积为
.14 .
例 4、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4，
只是希望能有个人，在我说没事的时候，知道我不是真的没事；能有个人，在我强颜欢笑的时候，知道我不是真的开心。 ——张小娴
OA OB OC OD .∴点 O 到四面体的四个顶点 A、B、C、D 的距离相
等，即点 O 为四面体的外接球的球心，如图 2 所示 .∴外接球的半径
5 R OA
V 球 4 R3 125
2 .故
3
6 .选 C.
几何体的外接球与内切球的有关问题(含例题)
几何体的外接球与内切球的有关问题一、外接球的问题简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是计算球的半径或确定球心O 的位置问题，其中球心的确定是关键． （一） 由球的定义确定球心在空间中，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心．结论1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点．例1 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为3,2,3，则此球的表面积为 .结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点．例2 若一个底面边长为32，棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上，则此球的体积为 ．结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径.（在1BOO Rt ∆中，21212OO BO BO +=，即222)2(hr R +=.） 例3 在直三棱柱111ABC A B C -中，22AB =,3BC =,14AA =,π4ABC ∠=，则它的外接球体积为 . 结论4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过构造直角三角形利用勾股定理求得．BC 222a b c R ++=（以正三棱锥为例：设正三棱锥的底面△ABC 的边长为a ，高为h ，外接球球心为O ，半径为R . 在1AOO Rt ∆中，21212OO AO AO +=，即222)(33R h a R -+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=.） 例4 已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC 的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1===AB BC AC OO ，则球O 的表面积为 .结论5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心，则公共斜边的一半就是其外接球的半径．例5 已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，AB ⊥BC 且P A =7，PB =5，PCAC =10，则球O 的体积为 .（二）构造正方体或长方体确定球心长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处． 1. 可构造正方体的类型：① ② ③ ①正四面体：棱长对应正方体的面对角线.例6 一个正四面体P-ABC 的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 .②三条侧棱两两垂直的正三棱锥：底面棱长对应正方体的面对角线，侧棱对应正方体的棱长.例7 设是球O 面上的四点,且,,PA PB PC 两两互相垂直,若PA PB PC a ===,则球心O 到截面ABC 的距离是 .③四个面都是是直角三角形的三棱锥：最长的棱长对应正方体的体对角线.例8 在四面体S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，90ABC ︒∠=，1SA AC AB ==,则该四面体的外接球的表面积为（ ）A ．23π B ．43πC ．4πD ．5πA BC DA BCPABCP2.可构造长方体和正方体的类型①与②与③ ④①同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体；②三个侧面两两垂直的三棱锥；例9 如果三棱锥的三个侧面两两垂直，面积分别为6cm 2、4cm 2和3cm 2，那么它的外接球的体积是 .③有三个面是直角三角形的三棱锥；例10 已知球上四点A ,B ,C ,D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA=AB=BC=3，则球O 的体积等于 .④相对的棱相等的三棱锥：设对应长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，则BC 2=a 2+b 2，AC 2=a 2+c 2，AB 2=b 2+c 2. 所以对应长方体的体对角线为2222222AB AC BC c b a ++=++.例11 在三棱锥S ABC -中，5,17,10SA BC SB AC SC AB ======，则该三棱锥外接球的表面积为 .⑤含有其它线面垂直关系的棱锥. （三） 由性质确定球心利用球心O 与截面圆圆心O’的连线垂直于截面圆，确定球心． 记球的半径为R ，截面圆的半径为r ，球心O 与截面圆圆心O’ 的距离为d ，则有R 2=r 2+d 2.例12 设A ,B ,C ,D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边 三角形且其面积为93，则三棱锥D ABC -体积的最大值为（ ）A ．123B ．183C ．243D ．543（四） 圆柱外接球模型计算球的半径一个底面半径为r ，高为h 的圆柱，求它的外接球半径. 222)2(hr R +=（1） （2） （3）变形一：如果我们对圆柱上下底面对应位置处，取相同数量的点，比如都取三个点，如图（1）所示.我们可以得到（直）三棱柱，它的外接球其实就是这个圆柱的外接球，所以说直棱柱的外接球求半径符合这个模型. 在这里棱柱的高就是公式中的h ，而棱柱底面△ABC 外接圆的半径则是公式中的r .例13 在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AC BC ⊥，若12AA AB ==，当四棱锥11B A ACC -体积最大时，三棱柱外接球的体积为 ．变形二：如果把三棱柱上面的C 1去掉，如图（2）所示，我们得到有一个侧面⊥矩形底面的四棱锥，其中r 为垂直底面的侧面△ABC 的外接圆半径，h 为垂直于那个侧面的底面边长AA 1.例14 在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAB ⊥平面ABCD ，22PA PB AB ==，若PBC ∆和PCD ∆的面积分别为1和3，则四棱锥P ABCD -的外接球的表面积为 ．变形三：如果把上面的那个三棱柱上面的B 1,C 1两点去掉，如图（3）所示，我们得到一根侧棱⊥底面的三棱锥，其中r 为底面△ABC 外接圆半径，h 为垂直于底面的那条侧棱AA 1.例15 已知A ,B ,C ,D 为同一球面上的四个点.在△ABC 中，23BAC π∠=，23AB AC ==，AD=6，AD ⊥平面ABC ，则该球的体积为 ．二、内切球问题若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.结论1：内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等. 结论2：正多面体的内切球和外接球的球心重合.结论3：正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合.例16正三棱锥的高为1，底面边长为26.求它的内切球的表面积.例17正四棱锥S ABCD -，底面边长为2，侧棱长为3，则其外接球和内切球的半径是多少？结论4：基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理.Rr2h A BC1A 1B 1C A BC1A 1B A BC1A结论5：体积分割是求内切球半径的通用做法. （一）正方体的的内切球设正方体的棱长为a ，求（1）内切球半径；（2）与棱相切的球半径.（1）内切球：截面图为正方形的内切圆，得2a R =. （2）棱切球：切点为正方体各棱的中点，截面图为为正方形的外接圆，得22a R =. 例18 一个正方体的棱长是4 cm ,它的内切球的体积为＿＿cm 3，棱切球的体积为＿＿cm 3.例19 甲球内切于正方体的各面，乙球内切于正方体的各条棱，丙球外接于正方体，则三球表面积之比为 .（二）棱锥的内切球(分割法)将内切球的球心与棱锥的各个顶点连线，将棱锥分割成以原棱锥的面为底面，内切球的半径为高的小棱锥，根据分割前后的体积相等，列出关于半径的方程.设三棱锥的棱长为a ，内切球半径为r.V V V V VPAB O PBC O PAC O ABC O ABCP -----+++=r S r S r S r S PAB PBC PAC ABC 31313131+++= r S S S S PAB PBC PAC ABC )(31+++= 内切球r S ABC P -=31ABCP ABC P S Vr --=⇔3内切球 一般地，记棱锥的体积为V ，表面积为S ，则内切球的半径为SVr 3=.例20正三棱锥的高为3，底面边长为83，正三棱锥内有一个球与其四个面相切，则球的表面积与体积分别为．（说明：球与正三棱锥四个面相切，实际上，球是正三棱锥的内切球，球心到正三棱锥的四个面的距离相等，都为球半径R．这样求球的半径可转化为求球心到三棱锥面的距离，而点面距离常可以用等体积法解决．）例21 如图，在棱锥P ABCD-中，底面ABCD是正方形，2PD AB==，PD⊥平面ABCD．在这个四棱锥中放入一个球，则球的最大半径为（）A．2B．21+C．2 D．21-（三）圆柱、圆锥的内切球(截面法)（1）圆柱的内切球：圆柱的轴截面为正方形，记圆柱的底面圆的半径r，内切球的半径R，则R=r.（2）圆锥的内切球：圆锥的轴截面为三角形的内切圆，记截面△ABC的面积为S，周长为C，内切球的半径R，则CSR2=.例22 圆柱的底面直径和高都是6，求该圆柱内切球的半径____.例23 圆锥的高为4，底面半径为2，求该圆锥内切球与外接球的半径比.三、有关内切球和外接球的综合问题1.正四面体的内切球与外接球的半径之比（正四面体的内切球与外接球的两个球心“二心合一”）设正四面体A-BCD的棱长为a，内切球半径为r，外接球半径为R，则OA=OB=R ，OE=r ，且R+r=AE.⊥底面△BCD 为正三角形，∴BE=a 33在ABE Rt ∆中，a aaBE AB AE 36312222=-=-=，∴a r R 36=+ ① 在BEO Rt ∆中，222OE BE BO +=，即22233r a R +⎪⎪⎭⎫⎝⎛= ②由①②，得a r a R 12646==， ∴1:3:=r R ， 即球心O 为正四面体高h 的四等分点.例24 求棱长为2的正四面体内切球和外接球的体积．2.正三棱柱的内切球与外接球的半径之比正三棱柱的内切球与外接球的球心是重合的，过侧棱1AA 和它们的球心O 作截面如下图所示：设正三棱柱底面边长为a . 由于内切球投影到底面的圆是底面正三角形的内切圆，所以a R 632=，从而正三棱柱的高为a R h 3322== . 在O D A Rt 11∆中，得，22222211211256333a a a R D A R =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=.1251a R =∴ 因此1:5:21=R R . 例25 一个正三棱柱恰好有一个内切球和一个外接球,则此内切球与外接球表面积之比为 .巩固练习1. 在正三棱锥S ABC -中，6AB BC CA ===，点D 是SA 的中点，若SB CD ⊥，则该三棱锥外接球的表面积为 ．2．已知三棱锥P ABC -的底面是正三角形，PA a =，点A 在侧面PBC 内的射影H 是PBC ∆的垂心，当三棱锥P ABC -体积最大值时，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为( ) A ．343aB ．23a πC ．33a π D ．212a3．在平面四边形PACB 中，已知120APB ∠=︒，23PA PB ==，10AC =，8BC =．沿对角线AB 折起得到四面体P ABC -，当PA 与平面ABC 所成的角最大时，该四面体的外接球的半径为 ．4．已知正三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BCC B 的面积为4，则正三棱柱111ABC A B C -外接球表面积的最小值为( ) A ．23πB ．43πC ．83πD ．163π5．已知正方体1111ABCD A BC D -棱长为2，点P 是上底面1111D C B A 内一动点，若三棱锥P ABC -的外接球表面积恰为414π，则此时点P 构成的图形面积为________. 6.已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径.若平面SCA ⊥平面SCB ，SA AC =，SB BC =，三棱锥S ABC -的体积为9，则球O 的表面积为______．备注：1.三角形内切圆的半径S S S S AO B AO C BO C ABC∆∆∆∆++=r c b a cr br ar )(21212121++=++= 内切圆r C ABC ∆=21所以三角形内切圆的半径为CSr 2=，其中S 为△ABC 的面积，C 为△ABC 的周长. 2. 三角形外接圆的半径利用正弦定理R C c B b A a 2sin sin sin ===，CcB b A a R sin 2sin 2sin 2===.①正三角形：a a R 3360sin 2=︒=，其中a 为正三角形的边长.②直角三角形：290sin 2cc R =︒=，其中c 为直角三角形的斜边.3. 正三角形的内切圆与外接圆的半径之比正三角形的内切圆与外接圆的两个圆心“二心合一”. 设正三角形的边长为a ，内切圆半径为r ，外接圆半径为R.由于a a R 3360sin 2=︒=，a a a a a a C S r 6360sin 2122=++︒⋅⋅⋅⨯==， 所以1:2:=r R ，即圆心O 为正三角形高h 的三等分点.。
立体几何中球的内切和外接问题(完美版)
2 3 A． 3
B． 3 3
3 3 C． 2
正方体 ABCD A1 B1C1 D1 的棱长为 2 ， MN 是它的内切球的一条弦 （我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦） ， P 为正方体表面上 的动点，当弦 MN 的长度最大时， PM PN 的取值范围是 ．
，∴ ， ，∴
，
， .
∴外接球的半径为
，∴球的表面积等于
解析：球内接多面体，利用圆内接多边形的性质求出小 圆半径，通常用到余弦定理求余弦值，通过余弦值再利 c 用正弦定理得到小圆半径 sin C 2r ，从而解决问题。
5
A．
正棱锥的外接球的球心是在其高上
,侧棱 PA 与底面 ）
例 5 在三棱锥 P－ABC 中，PA＝PB=PC=
测棱相等的锥体顶点的投影在底面外接圆心
例 7、.若三棱锥 S-ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，AB=2， SA=SB=SC=2，则该三棱锥的外接球的球心到平面 ABC 的距离为（ ）
B.
C.1
D.
S
O
，即 .
C M B
A
7
，
解： 因为 所以 在 且
若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则共斜边的中点就是其外接球的球心。
D
1 r S全 3 2 2 3 r 3
E
r
6 2 S球 85 2 6
1 1 V多面体 S 全 r V S全 内切球 多 面 体3
3
r内 切 球
变式训练：一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截 面的可能图形是（ ）
考点三 4
组合体的表面积与体积
专题05 立体几何外接球、内切球专题(解析版)
专题05 立体几何外接球、内切球专题1、在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面,ABC AB BC ⊥.若2PA AB BC ===，,E F 分别是,PB PC 的中点，则三棱锥P AEF -的外接球的表面积为__________.答案： 5π解析： 根据题意，结合题中几何体的结构，将题中棱锥的外接球问题转化为长方体外接球问题. 【详解】因为PA ⊥底面ABC ，所以PA BC ⊥.又AB BC ⊥，所以BC ⊥平面PAB ，故BC AE ⊥. 又PA AB =，故AE PB ⊥， 所以AE ⊥平面PBC ， 所以,AE EF AE PE ⊥⊥. 又//EF BC ，所以EF PE ⊥，故,,EF PE AE 两两垂直.又11,22EF BC PE AE ====， 故该三棱锥外接球的半径与一个棱长分别为1，2，2. 所以三棱锥P AEF -的外接球的半径为122522++=， 故外接球的表面积为25452ππ⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭.故答案为：5π.2、已知三棱锥O ABC -中，A ，B ，C 三点在以O 为球心的球面上，若2AB BC ==，120ABC ∠=︒，且三棱锥O ABC -的体积为3，则球O 的表面积为（ ）A ．323πB ．16πC ．52πD ．64π答案： C 解析：由题意2AB BC ==，120ABC ∠=︒，可求得ABC ∆的面积，进而通过O ABC -的体积得到三棱锥的高，即球心到平面ABC 的距离.通过外接圆的半径公式，求得截面圆的半径，得到球O 的半径，即得解. 【详解】由题意2AB BC ==，ABC 1120=||||sin 32ABC S AB BC ABC ∆∠=︒∠=， 1333O ABC ABC V S h h -∆==∴=.又ABC ∆的外接圆的半径222sin 2sin 30oAB r C ===因此球O 的半径222313R =+= 球的表面积：2452S R ππ==. 故选：C3、已知球O 是三棱锥P ABC -的外接球，1PA AB PB AC ====，2CP =，点D 是PB 的中点，且72CD =，则球O 的表面积为（ ） A ．73π B ．76π C ．72127πD ．72154π答案： A 解析：证明AC ⊥平面PAB ，以PAB ∆为底面，AC 为侧棱补成一个直三棱柱，则球O 是该三棱柱的外接球，计算半径得到答案. 【详解】由1PA AB PB AC ====，2CP =，得PA AC ⊥. 由点D 是PB 的中点及PA AB PB ==，易求得32AD =，又72CD =，所以AD AC ⊥，所以AC ⊥平面PAB .以PAB ∆为底面，AC 为侧棱补成一个直三棱柱，则球O 是该三棱柱的外接球， 球心O 到底面PAB ∆的距离1122d AC ==， 由正弦定理得PAB ∆的外接圆半径12sin 603PA r ==︒，所以球O 的半径为22712R d r =+=，所以球O 的表面积为2743S R ππ==.故选：A .4、已知四边形ABCD 是菱形，60BAD ︒∠=，2AB =，将菱形ABCD 沿对角线BD 翻折后，二面角A BD C --的余弦值为13，则四面体ABCD 的外接球的表面积为（ ）． A ．5πB ．6πC ．7πD ．8π答案： B解析： 由菱形ABCD 中，连接AC 和BD 交于O ，求出3OA OC ==，由二面角A BD C --的余弦值为13，可得2AC =，即四面体ABCD 为棱长为2的正四面体求解可得表面积，将正四面体补成一个正方体，求出正方体的外接球半径即可得结果. 详解：由题意，菱形ABCD 中，连接AC 和BD 交于O ， 可知AC BD ⊥，即OA BD ⊥，OC BD ⊥， ∵60BAD ︒∠=，2AB =，∴3OA OC ==， ∴AOC ∠为二面角A BD C --的平面角，即1cos 3AOC ∠=， 22212cos 3323343AC OA OC OA OC AOC =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=即2AC =,即四面体ABCD 为棱长为2的正四面体，将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为2，正方体的对角线长为6， ∵正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，∴外接球的表面积的值为26462S ππ⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故选：B.5、已知A ，B ，C 是球心为O 的球面上三点，60AOB ∠=，120AOC ∠=，若三棱锥O ABC -体积的最大值为1，则球O 的表面积为（ ） A ．12π B ．16π C ．24π D ．36π 答案： B 解析：根据题意分析可知，当平面AOB ⊥平面AOC 时，三棱锥O ABC -体积的最大．此时，点B 到平面AOC 的距离达到最大值，为正三角形AOB 的OA 边上的高，根据三棱锥的体积公式计算体积，可解得R ，根据球的表面积公式可得结果.详解：设球O 半径为R ，当平面AOB ⊥平面AOC 时，三棱锥O ABC -体积的最大． 注意AOB 是正三角形，AOC △是顶角等于120︒的等腰三角形， 所以231131sin120123228V R R R R ⎛⎫=︒⨯==⇒=⎪⎝⎭，所以16S π=. 故选：B.6、在四面体ABCD 中，60ACB ∠=︒，90DCA ∠=︒，2DC CB CA ===，二面角D-AC-B 的大小为120°，则此四面体的外接球的表面积是________.答案： (100163)9π+解析：取,AC AD 的中点,M N ，和ABC ∆的中心E ，点N 是ACD ∆外接圆的圆心，点E 是ABC ∆外接圆的圆心，过点,E N 分别作平面ABC 和平面ACD 的垂线，交于点O ，在四边形OEMN 中找几何关系，构造方程求解外接圆的半径和表面积.【详解】由条件可知ABC ∆是等边三角形，取,AC AD 的中点,M N ，和ABC ∆的中心E ，过点,E N 分别作平面ABC 和平面ACD 的垂线，交于点O ，120EMN ∠=，60EON =∠，如图：由条件可知，33EM =，60EMG ∠= 30OEH ∠= 331322HN EG ∴==⨯=，316EH GN GM MN ==+=+ 33123tan 301636OH EH ⎛⎫+∴=⋅=+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭， 323ON OH HN +∴=+=， ()222222322543239R OD ON ND ⎛⎫++==+=+=⎪ ⎪⎝⎭， 210016349S R ππ+==7、如图，在体积为233的四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为边长为2的正方形，PAB △为等边三角形，二面角PAB C 为锐角，则四棱锥P ABCD -外接球的半径为（ ）A ．213 B ．2C ．3D ．32答案： A解析：取AB 的中点E ，CD 的中点F ，连E 、PF 、EF ，过点P 作PH EF ⊥，易得AB ⊥平面PEF ，PH ⊥平面ABCD ，根据四棱锥的体积为233，得到32PH =，进而得到30PEF ∠=︒，32EH =，12HF =，1PF =，PE PF ⊥，然后利用截面圆的性质求得外接球的球心再求半径即可. 详解：如图所示：取AB 的中点E ，CD 的中点F ，连E 、PF 、EF ，过点P 作PH EF ⊥，垂足为H. 则AE BE =、CF DF =，有AB EP ⊥，AB EF ⊥， 所以AB ⊥平面PEF ，所以AB PH ⊥，又PH EF ⊥， 所以PH ⊥平面ABCD ， 因为四棱锥的体积为233， 所以123433PH ⨯=， 解得32PH =，由3PE =，得30PEF ∠=︒，32EH =，12HF =，1PF =，PE PF ⊥. 三角形PEF 的平面图如下：2PM EM =，N 为EF 的中点，由图可知四棱锥外接球的球心O 为过点M 的EP 的垂线1和EF 的中垂线的交点，设四棱锥P ABCD -外接球的半径为R ，33EM =，23EQ =，13NQ =，33NO =，17212333R =+==. 故选：A8、已知三棱锥A BCD -的四个顶点在球O 的球面上，AB AC AD ==，BCD 是边长为2的正三角形，M 、N 分别为AB 、BC 中点，且MD MN ⊥，则球O 的表面积为__________．答案： 3π解析： 利用已知条件可知三棱锥A BCD -是正三棱锥，结合MD MN ⊥可得AC ⊥面ABD ，即可知ABC 是等腰直角三角形，可得1AB AC AD ===且两两垂直，借助于正方体的外接球，即可求出三棱锥的外接球.详解：由题意知A BCD -为正三棱锥，取BD 中点F ，连接,AF CF ， 所以CF BD ⊥ ，AF BD ⊥ ，且AF CF F ⋂= ， 所以BD ⊥平面ACF ∴AC BD ⊥，又M 、N 分别为AB 、BC 中点，易知||MN AC , 由已知MD MN ⊥， 所以AC MD ⊥ MD BD D ⋂=， 所以AC ⊥面ABD ，所以AC AB ⊥，即ABC 是等腰直角三角形，因为斜边2BC =，所以1AB AC AD ===且两两垂直，则A BCD -为以A 为顶点的正方体一部分，()222221113R AB AC AD =++=++=， 即243R =所以球O 的表面积为243S R ππ==． 故答案为：3π9、已知三棱锥P ABC -的底面是正三角形，点A 在侧面PBC 内的射影H 是PBC ∆的垂心，当三棱锥P ABC -体积最大值时，三棱锥P ABC -的外接球的体积为（ ）A B C ．6π D 答案： D解析： 设点O 是点P 在底面ABC 的射影,先分析可得O 是底面ABC 的垂心,也是外心,则当,,PA PB PC 互相垂直时体积最大,再求得外接球的体积即可【详解】设点D 为BC 的中点,则AD BC ⊥,因为点A 在侧面PBC 内的射影H 是PBC ∆的垂心,所以PA BC ⊥,PC AB ⊥, 设点O 是点P 在底面ABC 的射影,则BC ⊥平面PAD ,所以O 一定在AD 上, 因为AB PC ⊥,AB PO ⊥,所以CO AB ⊥,所以O 是底面ABC 的垂心,也是外心,则当,,PA PB PC 互相垂直时体积最大,设球的半径为R ,故选:D10、点,,,A B C D 在同一个球的球面上，，若四面体ABCD 体积）A B ．8πC D 答案： A 解析：根据几何体的特征，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积. 【详解】根据题意知，ABC ∆是一个等边三角形，其面积为334，由正弦定理322sin3r π==知，外接圆的半径为1r =．设小圆的圆心为Q ，若四面体ABCD 的体积有最大值，由于底面积ABC S ∆不变，高最大时体积最大， 所以，DQ 与面ABC 垂直时体积最大，最大值为133ABC S DQ ∆⨯=，4DQ ∴=，设球心为O ，半径为R ，则在直角AQO ∆中，222OA AQ OQ =+， 即2221(4)R R =+-，178R ∴=则这个球的表面积为：2172894()816S ππ==故选：A ． 11、如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，AD BP ⊥，PA AC =，若三棱锥P ABC -外接球的表面积为8π，则三棱锥P ACD -体积的最大值为（ ）A ．23B ．12C ．34D ．24答案： A解析：详解：设AB a ，BC b =，由三棱锥P ABC -外接球的表面积为8π，得外接球的半径2R =.又PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，所以()2222222228AB BC AP AC AP AP R ++=+===，所以2AP =，所以224a b +=.因为PA ⊥平面ABC ，AD PB ⊥，所以24PB a =+，224a BD a=+，过D 作DE AB ⊥，垂足为E ，则DE ⊥平面ABC ，所以DE PA ∥，所以DE BD PA BP =，所以2224a DE a=+，所以()()()222221124423643432P ABC D ABCACD P ACD a ab abV V S PA DE ab V a a a b ---⎛⎫-=-=-== ⎪++⎝=+⎭△44223623a b b a =≤=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，当且仅当2a b b a =，即233a =，263b =时，“=”成立，所以三棱锥P ACD -体积的最大值为23.故选A.12、已知直三棱柱111ABC A B C ﹣中，AB AC ⊥，11AB AC AA ===，若点M 在线段1AA 上运动，则四棱锥11M BCC B -外接球半径的取值范围为（ ）A ．252,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．232,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．352,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．332,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 答案： C解析： 首先把三棱柱体转换为正方体，利用B 、C 、1C 、1B 在球面上，球心G 在线段2OO上，整理出关系式222 R x y=+，且2223222R y⎛⎫⎛⎫=+-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后利用勾股定理的应用建立二次函数的关系式，再利用二次函数的最值的应用求出结果．详解：将三棱柱111ABC A B C-补成一个正方体1111ABDC A B D C-．设四棱锥体11M BCC B-外接球的球心为G，1AA的中点为1O，1DD的中点为2O，12O O的中点为O，如图所示，则122OO=，32OB=，由于B、C、1C、1B在球面上，所以球心G在线段2OO上，设GM GB R==，1O M x=，1O G y=，则22OG y=-，在1Rt O MG△中，222R x y=+①在1Rt O BG中，2223222R y⎛⎫⎛⎫=+-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭②，联立①②得2524x y=-，由于12x≤≤，故25228y≤≤，故222225233252,424432R x y y y y⎛⎫⎡⎤=+=-+=+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎝⎭所以352,28R⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故选：C ．13、在边长为2的菱形ABCD 中，23BD =，将菱形ABCD 沿对角线AC 折起，使二面角B AC D --的大小为60，则所得三棱锥A BCD -的外接球表面积为（ ）A ．4πB ．529πC ．6πD ．203π 答案： B解析： 由已知可得ABC 、ACD 都是边长为2的等边三角形，由菱形的对角线互相垂直，可得BED ∠为二面角B AC D --的平面角，即60BED ∠=，作出图形，找出三棱锥A BCD -的外接球球心，利用四点共圆结合正弦定理求解三棱锥A BCD -的外接球的半径，代入球的表面积公式可得结果. 详解：由于四边形ABCD 是边长为2的菱形，且23BD =，则22222AC CE AB BE ==-=，所以，ABC 、ACD 都是边长为2的等边三角形，由于菱形的对角线互相垂直，则BE AC ⊥，DE AC ⊥，所以，BED ∠为二面角B AC D --的平面角，即60BED ∠=，过点B 作平面ACD 的垂线BM ，垂足为点M ，则点M 在线段DE 上，由3BE DE ==，60BED ∠=，可得1322ME MD DE ===， 且BDE 是等边三角形，所以，3BD BE ==，设ACD 的外心为点G ，BD 的中点H ，在平面BED 内，过点G 、H 分别作平面ACD 、BD 的垂线交于点O ，则点O 为三棱锥B ACD -的外接球的球心， 60BDE ∠=，则136012=由于O 、G 、D 、H 四点共圆，可得13603= 所以，三棱锥B ACD -的外接球的表面积为13⎫故选：B.。
高考数学外接球与内切球十大模型(例题+练习共10个专题)(学生版+解析版)
专题一 墙角模型如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球．有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点与难点，也是高考考查的一个热点．考查学生的空间想象能力以及化归能力．研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用．球的内切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．当球与多面体的各个面相切时，注意球心到各面的距离相等即球的半径，求球的半径时，可用球心与多面体的各顶点连接，球的半径为分成的小棱锥的高，用体积法来求球的半径．空间几何体的外接球与内切球十大模型1．墙角模型；2．对棱相等模型；3．汉堡模型；4．垂面模型；5．切瓜模型；6．斗笠模型；7．鳄鱼模型；8．已知球心或球半径模型；9．最值模型；10．内切球模型．【方法总结】墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2．)，秒杀公式：R 2＝a 2＋b 2＋c 24．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型：【例题选讲】[例] (1)已知三棱锥A －BCD 的四个顶点A ，B ，C ，D 都在球O 的表面上，AC ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，且AC ＝3，BC ＝2，CD ＝5，则球O 的表面积为( )A ．12πB ．7πC ．9πD ．8π答案 A 解析 由AC ⊥平面BCD ，BC ⊥CD 知三棱锥A －BCD 可构造以AC ，BC ，CD 为三条棱的长方体，设球O 的半径为R ，则有(2R )2＝AC 2＋BC 2＋CD 2＝3＋4＋5＝12，所以S 球＝4πR 2＝12π，故选A ．(2)若三棱锥ABC S -的三条侧棱两两垂直，且2=SA ，4==SC SB ，则该三棱锥的外接球半径为( )． A ．3 B ．6 C ．36 D ．9ABC D A 1B 1C 1D 1类型ⅠA BC DA 1B 1C 1D 1类型ⅡABC D A 1B 1C 1D 1类型ⅢABC D A 1B 1C 1D 1例外型答案 A 解析 616164)2(2=++=R ，3=R ，故选A ．(3)已知S ，A ，B ，C ，是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，SA ＝AB ＝1，BC，则球O 的表面积等于( )．A ．4πB ．3πC ．2πD ．π 答案 解析由已知，22R =， 244S R π∴==球π．(4)在正三棱锥S －ABC 中，M ，N 分别是棱SC ，BC 的中点，且AM MN ⊥，若侧棱SA =三棱锥S －ABC 外接球的表面积是________．答案 π36 解析 MN AM ⊥，MN SB //，∴SB AM ⊥， SB AC ⊥，∴⊥SB 平面SAC ，∴SA SB ⊥，SC SB ⊥， SA SB ⊥，SA BC ⊥，∴⊥SA 平面SBC ，∴SC SA ⊥，故三棱锥ABC S -的三棱条侧棱两两互相垂直，222(2)R ∴=+2+36=，即3642=R ，∴正三棱锥ABC S -外接球的表面积是π36．(5)(2019全国Ⅰ)已知三棱锥P －ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A ＝PB ＝PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为( )．A． B． C． D答案 D 解析 解法一：, PA PB PC ABC ==△为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA ，AB 的中点，EF PB ∴∥，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CE AC C EF =∴⊥平面PAC ，∴PB ⊥平面PAC， APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===P ABC ∴-为正方体的一部分，2R，=，即344π33R V R π=∴==，故选D ．解法二：设2PA PB PC x ===，, E F 分别为, PA AB 的中点，EF PB ∴∥，且12EF PB x ==，ABC△为边长为2的等边三角形，CF ∴=，又90CEF ∠=︒，12CE AE PA x ∴==，AEC △中，ABCSMN ABCP EF(解法一)AC(解法二)由余弦定理可得()2243cos 22x x EAC x+--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =，D ∴为AC 的中点，cos E ∠12AD AC PA x ==，2243142x x x x +-+∴=，221212 2x x x ∴+=∴==，，，PA PB PC ∴===2AB BC AC ===，, , PA PB PC ∴两两垂直，2R ∴，R ∴，34433V R ππ∴==⨯==，故选D ． (6)已知二面角α－l －β的大小为π3，点P ∈α，点P 在β 内的正投影为点A ，过点A 作AB ⊥l ，垂足为点B ，点C ∈l ，BC ＝22，P A ＝23，点D ∈β，且四边形ABCD 满足∠BCD ＋∠DAB ＝π．若四面体P ACD 的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为________．答案 86π 解析 ∵∠BCD ＋∠DAB ＝π，∴A ，B ，C ，D 四点共圆，直径为AC ，∵P A ⊥平面β，AB ⊥l ，∴易得PB ⊥l ，即∠PBA 为二面角α－l －β的平面角，即∠PBA ＝π3，∵P A ＝23，∴BA ＝2，∵BC＝22，∴AC ＝23．设球的半径为R ，则23－R 2－()32＝R 2－()32，∴R ＝6，V ＝4π3(6)3＝86π．【对点训练】1．点A ，B ，C ，D 均在同一球面上，且AB ，AC ，AD 两两垂直，且AB ＝1，AC ＝2，AD ＝3，则该球的 表面积为( )A ．7πB ．14πC ．72πD ．714π32．等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，将△ABC 沿BC 边上的高AD 折成直二面角B －AD －C ，则三棱 锥B －ACD 的外接球的表面积为( )A ．5πB ．203π C ．10π D ．34π3．已知球O 的球面上有四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体 积等于________.4．已知四面体P －ABC 四个顶点都在球O 的球面上，若PB ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且AC ＝1，AB ＝PB ＝2，则球O 的表面积为________．5．三棱锥P －ABC 中，△ABC 为等边三角形，P A ＝PB ＝PC ＝3，P A ⊥PB ，三棱锥P －ABC 的外接球的体 积为( )A ．272πB ．2732π C ．273π D ．27π6．在空间直角坐标系Oxyz 中，四面体ABCD 各顶点的坐标分别为A (2，2，1)，B (2，2，－1)，C (0，2， 1)，D (0，0，1)，则该四面体外接球的表面积是( )A ．16πB ．12πC ．43πD ．6π7．在平行四边形ABCD 中，∠ABD ＝90°，且AB ＝1，BD ＝2，若将其沿BD 折起使平面ABD ⊥平面BC D ，则三棱锥A －BDC 的外接球的表面积为( D )A ．2πB ．8πC ．16πD ．4π8．在正三棱锥S－ABC中，点M是SC的中点，且AM⊥SB，底面边长AB＝22，则正三棱锥S－ABC的外接球的表面积为()A．6πB．12πC．32πD．36π9．在古代将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，已知四面体A－BCD为鳖臑，AB⊥平面BCD，且AB＝BC＝36CD，若此四面体的体积为833，则其外接球的表面积为________．10．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为32的正方形，AA1＝3，E是线段A1B1上一点，若二面角A－BD－E的正切值为3，则三棱锥A－A1D1E外接球的表面积为________．专题一 墙角模型如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球．有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点与难点，也是高考考查的一个热点．考查学生的空间想象能力以及化归能力．研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用．球的内切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．当球与多面体的各个面相切时，注意球心到各面的距离相等即球的半径，求球的半径时，可用球心与多面体的各顶点连接，球的半径为分成的小棱锥的高，用体积法来求球的半径．空间几何体的外接球与内切球十大模型1．墙角模型；2．对棱相等模型；3．汉堡模型；4．垂面模型；5．切瓜模型；6．斗笠模型；7．鳄鱼模型；8．已知球心或球半径模型；9．最值模型；10．内切球模型．【方法总结】墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2．)，秒杀公式：R 2＝a 2＋b 2＋c 24．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型：【例题选讲】[例] (1)已知三棱锥A －BCD 的四个顶点A ，B ，C ，D 都在球O 的表面上，AC ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，且AC ＝3，BC ＝2，CD ＝5，则球O 的表面积为( )A ．12πB ．7πC ．9πD ．8π答案 A 解析 由AC ⊥平面BCD ，BC ⊥CD 知三棱锥A －BCD 可构造以AC ，BC ，CD 为三条棱的长方体，设球O 的半径为R ，则有(2R )2＝AC 2＋BC 2＋CD 2＝3＋4＋5＝12，所以S 球＝4πR 2＝12π，故选A ．(2)若三棱锥ABC S -的三条侧棱两两垂直，且2=SA ，4==SC SB ，则该三棱锥的外接球半径为( )． A ．3 B ．6 C ．36 D ．9ABC D A 1B 1C 1D 1类型ⅠA BC DA 1B 1C 1D 1类型ⅡABC D A 1B 1C 1D 1类型ⅢABC D A 1B 1C 1D 1例外型答案 A 解析 616164)2(2=++=R ，3=R ，故选A ．(3)已知S ，A ，B ，C ，是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，SA ＝AB ＝1，BC，则球O 的表面积等于( )．A ．4πB ．3πC ．2πD ．π答案 解析由已知，22R =， 244S R π∴==球π．(4)在正三棱锥S －ABC 中，M ，N 分别是棱SC ，BC 的中点，且AM MN ⊥，若侧棱SA =三棱锥S －ABC 外接球的表面积是________．答案 π36 解析 MN AM ⊥，MN SB //，∴SB AM ⊥， SB AC ⊥，∴⊥SB 平面SAC ，∴SA SB ⊥，SC SB ⊥， SA SB ⊥，SA BC ⊥，∴⊥SA 平面SBC ，∴SC SA ⊥，故三棱锥ABC S -的三棱条侧棱两两互相垂直，222(2)R ∴=+2+36=，即3642=R ，∴正三棱锥ABC S -外接球的表面积是π36．(5)(2019全国Ⅰ)已知三棱锥P －ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A ＝PB ＝PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为( )．A． B． C． D答案 D 解析 解法一：, PA PB PC ABC ==△为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA ，AB 的中点，EF PB ∴∥，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CEAC C EF =∴⊥平面PAC ，∴PB ⊥平面PAC， APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===P ABC∴-为正方体的一部分，2R，即344π33R V R π∴===，故选D ．解法二：设2PA PB PC x ===，, E F 分别为, PA AB 的中点，EF PB ∴∥，且12EF PB x ==，ABC △为边长为2的等边三角形，CF ∴=，又90CEF ∠=︒，12CE AE PA x ∴==，AEC △中，ABCSMN ACP EF(解法一)AC(解法二)由余弦定理可得()2243cos 22x x EAC x+--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =，D ∴为AC 的中点，cos E ∠12AD AC PA x ==，2243142x x x x +-+∴=，221212 2x x x ∴+=∴==，，，PA PB PC ∴===2AB BC AC ===，, , PA PB PC ∴两两垂直，2R ∴，R ∴，34433V R ππ∴==⨯==，故选D ． (6)已知二面角α－l －β的大小为π3，点P ∈α，点P 在β 内的正投影为点A ，过点A 作AB ⊥l ，垂足为点B ，点C ∈l ，BC ＝22，P A ＝23，点D ∈β，且四边形ABCD 满足∠BCD ＋∠DAB ＝π．若四面体P ACD 的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为________．答案 86π 解析 ∵∠BCD ＋∠DAB ＝π，∴A ，B ，C ，D 四点共圆，直径为AC ，∵P A ⊥平面β，AB ⊥l ，∴易得PB ⊥l ，即∠PBA 为二面角α－l －β的平面角，即∠PBA ＝π3，∵P A ＝23，∴BA ＝2，∵BC＝22，∴AC ＝23．设球的半径为R ，则23－R 2－()32＝R 2－()32，∴R ＝6，V ＝4π3(6)3＝86π．【对点训练】1．点A ，B ，C ，D 均在同一球面上，且AB ，AC ，AD 两两垂直，且AB ＝1，AC ＝2，AD ＝3，则该球的 表面积为( )A ．7πB ．14πC ．72πD ．714π31．答案 B 解析 三棱锥A －BCD 的三条侧棱两两互相垂直，所以把它补为长方体，而长方体的体对角 线长为其外接球的直径．所以长方体的体对角线长是12＋22＋32＝14，它的外接球半径是142，外接球的表面积是4π×⎝⎛⎭⎫1422＝14π．2．等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，将△ABC 沿BC 边上的高AD 折成直二面角B －AD －C ，则三棱 锥B －ACD 的外接球的表面积为( )A ．5πB ．203π C ．10π D ．34π2．答案 D 解析 依题意，在三棱锥B －ACD 中，AD ，BD ，CD 两两垂直，且AD ＝4，BD ＝CD ＝3， 因此可将三棱锥BACD 补形成一个长方体，该长方体的长、宽、高分别为3,3,4，且其外接球的直径2R ＝32＋32＋42＝34，故三棱锥B －ACD 的外接球的表面积为4πR 2＝34π3．已知球O 的球面上有四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体 积等于________. 3．答案6π 解析 如图，以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径．∴CD ＝(2)2＋(2)2＋(2)2＝2R ，因此R ＝62，故球O 的体积V ＝4πR 33＝6π.4．已知四面体P －ABC 四个顶点都在球O 的球面上，若PB ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且AC ＝1，AB ＝PB ＝2，则球O 的表面积为________．4．答案 9π 解析 由PB ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，可得图中四个直角三角形，且PC 为△PBC ，△P AC 的公共斜边，故球心O 为PC 的中点，由AC ＝1，AB ＝PB ＝2，PC ＝3，∴球O 的半径为32，其表面积为9π.5．三棱锥P －ABC 中，△ABC 为等边三角形，P A ＝PB ＝PC ＝3，P A ⊥PB ，三棱锥P －ABC 的外接球的体 积为( )A ．272πB ．2732π C ．273π D ．27π5．答案 B 解析 因为三棱锥P －ABC 中，△ABC 为等边三角形，P A ＝PB ＝PC ＝3，所以△P AB ≌△PBC ≌△P AC ．因为P A ⊥PB ，所以P A ⊥PC ，PC ⊥PB ．以P A ，PB ，PC 为过同一顶点的三条棱作正方体(如图所示)，则正方体的外接球同时也是三棱锥P －ABC 的外接球．因为正方体的体对角线长为32＋32＋32＝33，所以其外接球半径R ＝332．因此三棱锥P －ABC 的外接球的体积V ＝4π3×⎝⎛⎭⎫3323＝2732π，故选B ．6．在空间直角坐标系Oxyz 中，四面体ABCD 各顶点的坐标分别为A (2，2，1)，B (2，2，－1)，C (0，2， 1)，D (0，0，1)，则该四面体外接球的表面积是( )A ．16πB ．12πC ．43πD ．6π6．答案 B 解析 在空间直角坐标系内画出A ，B ，C ，D 四个点，可得BA ⊥AC ，DC ⊥平面ABC ， 因此可以把四面体ABCD 补成一个棱为2的正方体，其外接球的半径R ＝22＋22＋222＝ 3.所以外接球的表面积为4πR 2＝12π，故选B.7．在平行四边形ABCD 中，∠ABD ＝90°，且AB ＝1，BD ＝2，若将其沿BD 折起使平面ABD ⊥平面BCD ，则三棱锥A －BDC 的外接球的表面积为( D )A ．2πB ．8πC ．16πD ．4π 7．答案 D 解析 画出对应的平面图形和立体图形，如图所示．AAB BC CD DO在立体图形中，设AC 的中点为O ，连接OB ，OD ，因为平面ABD ⊥平面BCD ，CD ⊥BD ，所以CD ⊥平面ABD ，又AB ⊥BD ，所以AB ⊥平面BCD ，所以△CDA 与△CBA 都是以AC 为斜边的直角三角形，所以OA ＝OC ＝OB ＝OD ，所以点O 为三棱锥A －BDC 的外接球的球心．于是，外接球的半径r ＝12AC＝12CD 2＋DA 2＝1212＋(3)2＝1．故外接球的表面积S ＝4πr 2＝4π．故选D ．8．在正三棱锥S －ABC 中，点M 是SC 的中点，且AM ⊥SB ，底面边长AB ＝22，则正三棱锥S －ABC 的 外接球的表面积为( )A ．6πB ．12πC ．32πD ．36π8．答案 B 解析 因为三棱锥S －ABC 为正三棱锥，所以SB ⊥AC ，又AM ⊥SB ，AC ∩AM ＝A ，AC ，AM ⊂平面SAC ，所以SB ⊥平面SAC ，所以SB ⊥SA ，SB ⊥SC ，同理SA ⊥SC ，即SA ，SB ，SC 三线两两垂直，且AB ＝22，所以SA ＝SB ＝SC ＝2，所以(2R )2＝3×22＝12，所以球的表面积S ＝4πR 2＝12π，故选B.9．在古代将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，已知四面体A －BCD 为鳖臑，AB ⊥平面BCD ， 且AB ＝BC ＝36CD ，若此四面体的体积为833，则其外接球的表面积为________． 9．答案 56π 解析 四面体A －BCD 为鳖臑，则由题意可知△BCD 中只能∠BCD 为直角，则四面体A －BCD 的体积为13×12×CD ·36CD ·36CD ＝833，解得CD ＝43．易知外接球的球心为AD 的中点，易求得AD ＝214，所以球的半径为14，所以球的表面积为56π．10．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为32的正方形，AA 1＝3，E 是线段A 1B 1上一点，若二面角A －BD －E 的正切值为3，则三棱锥A －A 1D 1E 外接球的表面积为________．10．答案 35π 解析 过点E 作EF ∥AA 1交AB 于F ，过F 作FG ⊥BD 于G ，连接EG ，则∠EGF 为二面角A －BD －E 的平面角，∵tan ∠EGF ＝3，∴EFFG＝3，∵EF ＝AA 1＝3，∴FG ＝1，则BF ＝2＝B 1E ，∴A 1E ＝22，则三棱锥A －A 1D 1E 外接球的直径为8＋9＋18＝35，因此三棱锥A －A 1D 1E 外接球的表面积S ＝35π．专题二 对棱相等模型【方法总结】对棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长，即2R =长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c )．秒杀公式：R 2＝x 2＋y 2＋z 28(三棱锥的三组对棱长分别为x 、y 、z )．可求出球的半径从而解决问题．【例题选讲】[例] (1)________． 答案解析 这是特殊情况，但也是对棱相等的模式，放入长方体中，32=R ，23=R ，ππ2383334=⋅=V ．(2)在三棱锥A －BCD 中，AB ＝CD ＝2，AD ＝BC ＝3，AC ＝BD ＝4，则三棱锥BCD A -外接球的表面积为________．答案292π 解析 构造长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为c b a ,,，则922=+b a ，422=+c b ，1622=+a c ∴291649)(2222=++=++c b a ，291649)(2222=++=++c b a ，229222=++c b a ，22942=R ，π229=S ． (3)在三棱锥A －BCD 中，AB ＝CD ＝6，AC ＝BD ＝AD ＝BC ＝5，则该三棱锥的外接球的体积为____． 答案43436π解析 依题意得，该三棱锥的三组对棱分别相等，因此可将该三棱锥补形成一个长方体，设该长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，且其外接球的半径为R ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝62，b 2＋c 2＝52，c 2＋a 2＝52，得a 2＋b 2＋c 2＝43，即(2R )2＝a 2＋b 2＋c 2＝43，易知432R =，即为该三棱锥的外接球的半径，所以该三棱锥的外接球的表面积为34434336R ππ=．(4)在正四面体A BCD -中，E 是棱AD 的中点，P 是棱AC 上一动点，BP PE +，则该正四面体的外接球的体积是( )A B ．6π C D ．32π AB C D A 1B 1C 1D 1答案 A 解析 将侧面ABC ∆和ACD ∆展成平面图形，如图所示：设正四面体的棱长为a ，则BP PE +的最小值为1cos1202BE a a ===，2a ∴=．在正四面体A BCD -的边长为2，外接球的半径R ==，外接球的体积343V R π=．(5)已知三棱锥A BCD -，三组对棱两两相等，且1AB CD ==，AD BC ==A BCD -的外接球表面积为92π．则AC =________．答案解析 将四面体A BCD -放置于长方体中，四面体A BCD -的顶点为长方体八个顶点中的四个，∴长方体的外接球就是四面体A BCD -的外接球，1AB CD ==，AD BC ==棱两两相等，∴设AC BD x ==，可得外接球的直径2R =R =，三棱锥A BCD -的外接球表面积为92π，2942R ππ∴=，解得4R ==，解之得x AC BD == 【对点训练】1．已知正四面体ABCD 的外接球的体积为86π，则这个四面体的表面积为________．2．表面积为( )A ．B ．12πC ．8πD ．3．已知四面体ABCD 满足AB ＝CD ＝6，AC ＝AD ＝BC ＝BD ＝2，则四面体ABCD 的外接球的表面积是 ________．4．三棱锥中S －ABC ，SA ＝BC ＝13，SB ＝AC ＝5，SC ＝AB ＝10．则三棱锥的外接球的表面积为______. 5．已知一个四面体ABCD 的每个顶点都在表面积为9π的球O 的表面上，且AB ＝CD ＝a ，AC ＝AD ＝BC ＝BD ＝5，则a ＝________.6．正四面体ABCD 中，E 是棱AD 的中点，P 是棱AC 上一动点，BP PE + 体的外接球表面积是( )A ．12πB ．32πC ．8πD ． 24π专题二 对棱相等模型【方法总结】对棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长，即2R =长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c )．秒杀公式：R 2＝x 2＋y 2＋z 28(三棱锥的三组对棱长分别为x 、y 、z )．可求出球的半径从而解决问题．【例题选讲】[例] (1)________． 答案解析 这是特殊情况，但也是对棱相等的模式，放入长方体中，32=R ，23=R ，ππ2383334=⋅=V ．(2)在三棱锥A －BCD 中，AB ＝CD ＝2，AD ＝BC ＝3，AC ＝BD ＝4，则三棱锥BCD A -外接球的表面积为________．答案292π 解析 构造长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为c b a ,,，则922=+b a ，422=+c b ，1622=+a c ∴291649)(2222=++=++c b a ，291649)(2222=++=++c b a ，229222=++c b a ，22942=R ，π229=S ． (3)在三棱锥A －BCD 中，AB ＝CD ＝6，AC ＝BD ＝AD ＝BC ＝5，则该三棱锥的外接球的体积为____． 答案43436π解析 依题意得，该三棱锥的三组对棱分别相等，因此可将该三棱锥补形成一个长方体，设该长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，且其外接球的半径为R ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝62，b 2＋c 2＝52，c 2＋a 2＝52，得a 2＋b 2＋c 2＝43，即(2R )2＝a 2＋b 2＋c 2＝43，易知432R =，即为该三棱锥的外接球的半径，所以该三棱锥的外接球的表面积为34434336R ππ=．(4)在正四面体A BCD -中，E 是棱AD 的中点，P 是棱AC 上一动点，BP PE +，则该正四面体的外接球的体积是( )A B ．6π C D ．32π AB C D A 1B 1C 1D 1答案 A 解析 将侧面ABC ∆和ACD ∆展成平面图形，如图所示：设正四面体的棱长为a ，则BP PE +的最小值为1cos1202BE a a ==，2a ∴=．在正四面体A BCD -的边长为2，外接球的半径R =，外接球的体积343V R π=．(5)已知三棱锥A BCD -，三组对棱两两相等，且1AB CD ==，AD BC ==A BCD -的外接球表面积为92π．则AC =________．答案解析 将四面体A BCD -放置于长方体中，四面体A BCD -的顶点为长方体八个顶点中的四个，∴长方体的外接球就是四面体A BCD -的外接球，1AB CD ==，AD BC ==棱两两相等，∴设AC BD x ==，可得外接球的直径2R =R =，三棱锥A BCD -的外接球表面积为92π，2942R ππ∴=，解得R ==，解之得x AC BD == 【对点训练】1．已知正四面体ABCD 的外接球的体积为86π，则这个四面体的表面积为________．1．答案 163 解析 将正四面体ABCD 放在一个正方体内，设正方体的棱长为a ，设正四面体ABCD 的外接球的半径为R ，则43πR 3＝86π，解得R ＝6，因为正四面体ABCD 的外接球和正方体的外接球是同一个球，则有3a ＝2R ＝26，所以a ＝22．而正四面体ABCD 的每条棱长均为正方体的面对角线长，所以正四面体ABCD 的棱长为2a ＝4，因此，这个正四面体的表面积为4×12×42×sin π3＝163．2．表面积为( )A ．B ．12πC ．8πD ．2．答案 B 解析 表面积为将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为2，正方体的对角线长为正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，∴外接球的表面积的值为24(3)12ππ=．3．已知四面体ABCD 满足AB ＝CD ＝6，AC ＝AD ＝BC ＝BD ＝2，则四面体ABCD 的外接球的表面积是 ________．3．答案 7π 解析 在四面体ABCD 中，取线段CD 的中点为E ，连接AE ，BE ．∵AC ＝AD ＝BC ＝BD ＝2，∴AE ⊥CD ，BE ⊥CD .在Rt △AED 中，CD ＝6，∴AE ＝102．同理BE ＝102，取AB 的中点为F ，连接EF ．由AE ＝BE ，得EF ⊥AB ．在Rt △EF A 中，∵AF ＝12AB ＝62，AE ＝102，∴EF ＝1，取EF 的中点为O ，连接OA ，则OF ＝12．在Rt △OF A 中，OA ＝72．同理得OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∴该四面体的外接球的半径是72，∴外接球的表面积是7π． 4．三棱锥中S －ABC ，SA ＝BC ＝13，SB ＝AC ＝5，SC ＝AB ＝10．则三棱锥的外接球的表面积为______. 4．答案 14π 解析 如图，在长方体中，设AE ＝a ，BE ＝b ，CE ＝c ．则SC ＝AB ＝a 2＋b 2＝10，SA ＝BC ＝b 2＋c 2＝13，SB ＝AC ＝a 2＋c 2＝5，从而a 2＋b 2＋c 2＝14＝(2R )2，可得S ＝4πR 2＝14π.故所求三棱锥的外接球的表面积为14π．5．已知一个四面体ABCD 的每个顶点都在表面积为9π的球O 的表面上，且AB ＝CD ＝a ，AC ＝AD ＝BC ＝BD ＝5，则a ＝________.5．答案 22 解析 由题意可知，四面体ABCD 的对棱都相等，故该四面体可以通过补形补成一个长 方体，如图所示．设AF ＝x ，BF ＝y ，CF ＝z ，则x 2＋z 2＝y 2＋z 2＝5，又4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y 2＋z 222＝9π，可得x ＝y ＝2，∴a ＝x 2＋y 2＝22．6．正四面体ABCD 中，E 是棱AD 的中点，P 是棱AC 上一动点，BP PE + 体的外接球表面积是( )A ．12πB ．32πC ．8πD ．24π6．答案 A 解析 将三角形ABC 与三角形ACD 展成平面，BP PE +的最小值，即为BE 两点之间连线的距离，则BE =2AB a =，则120BAD ∠=︒，由余弦定理221414222a a a a +--=，解得a =，则正四面体棱长为4倍，所以，设外接球半径为R ，则223R =，则表面积244312S R πππ===．专题三 汉堡模型【方法总结】汉堡模型是直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型，用找球心法(多面体的外接球的球心是过多面体的两个面的外心且分别垂直这两个面的直线的交点．一般情况下只作出一个面的垂线，然后设出球心用算术方法或代数方法即可解决问题．有时也作出两条垂线，交点即为球心．)解决．以直三棱柱为例，模型如下图，由对称性可知球心O 的位置是△ABC 的外心O 1与△A 1B 1C 1的外心O 2连线的中点，算出小圆O 1的半径AO 1＝r ，OO 1＝2h ，2224h R r ∴=+．【例题选讲】[例] (1) (2013辽宁)已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上．若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( )．AB． C ．132D． 答案 C 解析 如图所示，由球心作平面ABC 的垂线，则垂足为BC 的中点M ．又AM ＝12BC ＝52，OM ＝12AA 1＝6，所以球O 的半径R ＝OA ＝⎝⎛⎭⎫522＋62＝132．另解 过C 点作AB 的平行线，过B 点作AC 的平行线，交点为D ，同理过C 1作A 1B 1的平行线，过B 1作A 1C 1的平行线，交点为D 1，连接DD 1，则ABCD －A 1B 1C 1D 1恰好成为球的一个内接长方体，故球的半径r 132=．故选C ． (2)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )．O 1C 1AA 1B 1O BC Rrh2hO 2A ．2a πB ．273a πC ．2113a πD ．237a π答案 B 解析 222222274312a a R OB OE BE a ==+=+=，22743S a a ππ∴==．故选B ．(3)(2009全国Ⅰ)直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各顶点都在同一球面上，若AB ＝AC ＝AA 1＝2，∠BAC ＝120°，则此球的表面积等于( )．A ．10πB ．20πC ．30πD ．40π答案 B 解析 如图，先由余弦定理求出BC ＝23，再由正弦定理求出r ＝AO 1＝2，外接球的直径R ＝12＋22＝5，所以该球的表面积为4πR 2＝20π．故选B ．(4)已知圆柱的高为2，底面半径为3，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于( )A ．4πB ．16π3C ．32π3D ．16π答案 D 解析 由题意知圆柱的中心O 为这个球的球心，于是，球的半径r ＝OB ＝OA 2＋AB 2＝12＋（3）2＝2．故这个球的表面积S ＝4πr 2＝16π．故选D ．(5)若一个圆柱的表面积为12π，则该圆柱的外接球的表面积的最小值为( )A ．12)πB ．C ．3)πD ．16π 答案 A 解析 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则22212r rh πππ+=，则6h r r=-．设该圆柱的外接球的半径为R ，则222222222165959()()32332444h R r r r r r r r r=+=+-=+--=，当且仅当22594r r=，即4365r =时，等号成立．故该圆柱的外接球的表面积的最小值为43)12)ππ=-． 【对点训练】1．一直三棱柱的每条棱长都是2，且每个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为( ) A ．28π3 B ．22π3 C ．43π3D ．7π2．一个正六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该 六棱柱的体积为98，底面周长为3，则这个球的体积为________.3．已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面积为334，一个侧面的周长为63，则正三棱柱ABC －A 1B 1C 1外接球的表面积为( )A ．4πB ．8πC ．16πD ．32π4．已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝1，∠BAC ＝60°，AA 1＝2，则该三棱柱的外接球的体积为( )A ．40π3B ．4030π27C ．32030π27D ．20π5．已知矩形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，将四边形AEFD 沿EF 折起，使二 面角A －EF －C 的大小为120°，则过A ，B ，C ，D ，E ，F 六点的球的表面积为( ) A ．6π B ．5π C ．4π D ．3π6．已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的表面上，若AB ＝AC ＝1，AA 1＝23，∠BAC ＝2π3，则球O 的体积为( )A ．32π3B ．3πC ．4π3D ．8π7．有一个圆锥与一个圆柱的底面半径相等，此圆锥的母线与底面所成角为60︒，若此圆柱的外接球的表面积是圆锥的侧面积的4倍，则此圆柱的高是其底面半径的( )A B ．2倍 C ． D ．3倍 8．正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，二面角11A BD C --的大小为3π，则该正四棱柱外接球的表面积为( )A ．12πB ．14πC ．16πD ．18π9．正四棱柱1111ABCD A B C D -中，AB =12AA =，设四棱柱的外接球的球心为O ，动点P 在正方 形ABCD 的边上，射线OP 交球O 的表面点M ，现点P 从点A 出发，沿着A B C D A →→→→运动一次，则点M 经过的路径长为________．10．已知圆柱的上底面圆周经过正三棱锥P ABC -的三条侧棱的中点，下底面圆心为此三棱锥底面中心O ．若三棱锥P ABC -的高为该圆柱外接球半径的2倍，则该三棱锥的外接球与圆柱外接球的半径的比值为________．专题三 汉堡模型【方法总结】汉堡模型是直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型，用找球心法(多面体的外接球的球心是过多面体的两个面的外心且分别垂直这两个面的直线的交点．一般情况下只作出一个面的垂线，然后设出球心用算术方法或代数方法即可解决问题．有时也作出两条垂线，交点即为球心．)解决．以直三棱柱为例，模型如下图，由对称性可知球心O 的位置是△ABC 的外心O 1与△A 1B 1C 1的外心O 2连线的中点，算出小圆O 1的半径AO 1＝r ，OO 1＝2h ，2224h R r ∴=+．【例题选讲】[例] (1) (2013辽宁)已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上．若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( )．A．2 B． C ．132D． 答案 C 解析 如图所示，由球心作平面ABC 的垂线，则垂足为BC 的中点M ．又AM ＝12BC ＝52，OM ＝12AA 1＝6，所以球O 的半径R ＝OA ＝⎝⎛⎭⎫522＋62＝132．另解 过C 点作AB 的平行线，过B 点作AC 的平行线，交点为D ，同理过C 1作A 1B 1的平行线，过B 1作A 1C 1的平行线，交点为D 1，连接DD 1，则ABCD －A 1B 1C 1D 1恰好成为球的一个内接长方体，故球的半径r 132=．故选C ． (2)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )．A ．2a πB ．273a πC ．2113a πD ．237a πO 1C 1AA 1B 1O BC Rrh2hO 2答案 B 解析 222222274312a a R OB OE BE a ==+=+=，22743S a a ππ∴==．故选B ．(3)(2009全国Ⅰ)直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各顶点都在同一球面上，若AB ＝AC ＝AA 1＝2，∠BAC ＝120°，则此球的表面积等于( )．A ．10πB ．20πC ．30πD ．40π答案 B 解析 如图，先由余弦定理求出BC ＝23，再由正弦定理求出r ＝AO 1＝2，外接球的直径R ＝12＋22＝5，所以该球的表面积为4πR 2＝20π．故选B ．(4)已知圆柱的高为2，底面半径为3，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于( )A ．4πB ．16π3C ．32π3D ．16π答案 D 解析 由题意知圆柱的中心O 为这个球的球心，于是，球的半径r ＝OB ＝OA 2＋AB 2＝12＋（3）2＝2．故这个球的表面积S ＝4πr 2＝16π．故选D ．(5)若一个圆柱的表面积为12π，则该圆柱的外接球的表面积的最小值为( )A ．12)πB ．C ．3)πD ．16π 答案 A 解析 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则22212r rh πππ+=，则6h r r=-．设该圆柱的外接球的半径为R ，则222222222165959()()32332444h R r r r r r r r r=+=+-=+--=，当且仅当22594r r=，即4365r =时，等号成立．故该圆柱的外接球的表面积的最小值为43)12)ππ=-． 【对点训练】1．一直三棱柱的每条棱长都是2，且每个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为( ) A ．28π3 B ．22π3 C ．43π3D ．7π1．答案 A 解析 由题知此直棱柱为正三棱柱ABC －A 1B 1C 1，设其上下底面中心为O ′，O 1，则外接球 的球心O 为线段O ′O 1的中点，∵AB ＝2，∴O ′A ＝33AB ＝233，OO ′＝12O ′O 1＝1，∴OA ＝O ′O 2＋O ′A 2＝213，因此，它的外接球的半径为213，故球O 的表面积为28π3．故选A ． 2．一个正六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该。
立体几何外接球及内切球问题
立体几何外接球及内切球问题一、球与柱体规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.1.1球与正方体如图1所示，正方体1111D C B A ABCD -,设正方体的棱长为a ，G H F E ,,,为棱的中点，O 为球的球心。
常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形EFHG 和其内切圆，则2a r OJ ==； 二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFHG 和其外接圆，则a R OG 22==； 三是球为正方体的外接球，截面图为长方形11A ACC 和其外接圆，则23'1a R O A ==. 例 1： 棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为（ ） A ．B ．C ． D1.2 球与长方体长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为其体对角线为.当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方体的外接球的道理是一样的，故球的半径例 2 在长、宽、高分别为2，2，4的长方体内有一个半径为1的球，任意摆动此长方体，则球经过的空间1111ABCD A B C D -O E F ，1AA 1DD EF O 2112+,,,a b c l 2l R ==部分的体积为( ) A.10π3B.4πC.8π3D.7π31.3球与正棱柱：①结论：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点. ②球与一般的正棱柱的组合体，常以外接形态居多.本类题目的解法：构造直角三角形法：设正三棱柱111C B A ABC -的高为h ，底面边长为a ； 如图2所示，D 和1D 分别为上下底面的中心。
根据几何体的特点，球心必落在高1DD 的中点O ，a AD R AO h OD 33,,2===，借助直角三角形AOD 的勾股定理，可求22332⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=a h R 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高考数学中的内切球和外接球问题
一、直接法(公式法)
1、求正方体的外接球的有关问题
例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ .
例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为，则该球的体积为
______________.
2、求长方体的外接球的有关问题
例3 一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为
，则此球的表面积
为 .
例4、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）.
A.π16
B. π20
C. π24
D.π32
3.求多面体的外接球的有关问题
例5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为
8
9，底面周长为３，则这个球的体积为 .
241,2,3
二、构造法(补形法)
1、构造正方体
例6 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_______________.
例 7 一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A. π3
B. π4
C. π33
D. π6
例8 在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E 为AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分布沿ED 、FC 向上折起，使A 、B 重合于点P ，则三棱锥P-DCE 的外接球的体积为（ ）. A. π2734 B.π26 C. π86 D. π24
6
例9 已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA=AB=BC=3，则球O 的体积等于 .
2、构造长方体
例10.已知点A 、B 、C 、D 在同一个球面上，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥DC ，若AB=6,AC=
132,AD=8，则球的体积是 .
三.多面体几何性质法
例1 1.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是
A.π16
B.π20
C.π24
D.π32
四.寻求轴截面圆半径法
例12.正四棱锥S-ABCD 的底面边长和各侧棱长都为2，点S 、A 、B 、C 、D 都在同一球面上，则此球的体积为 .
五 .确定球心位置法
例13.在矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B-AC-D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为 A.π12125 B.π9125 C.π6125 D.π3
125
高考题汇编
1.（2020年全国三·理科15）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为 ．
2.（2018年全国三·理科10）设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC ∆为等边三角形且
其面积为D ABC -体积的最大值为
A ．
B ．
C ．
D ．
3.（2017年全国三·理科8）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为
A ．π
B ．3π4
C ．π2
D ．π4
4.（2016年全国三·理科10）在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，
8BC =，13AA =，则V 的最大值是（ ）
A ．4π
B ．92π
C ．6π
D ．323
π 5.（2020年全国二·理科10）已知ABC ∆是面积为
4
39的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上。
若球O 的表面积为π16，则O 到平面ABC 的距离为 A. 3 B. 23 C. 1 D. 2
3 6.（2020年全国一·理科10）已知A 、B 、C 为球O 的球面上的三个点，⊙O 1为ABC ∆的外接圆。
若⊙O 1的面积为π4，1OO AC BC AB ===，则球O 的表面积为
A. π64
B. π48
C. π36
D. π32
7.（2019年全国一·理科12）已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长
为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，△CEF =90°，则球O 的体积为
A ．
B ．
C ． D
高考题汇编参考答案 1.π32
2.B
3.B
4.D
5.C
6.A
7.D。