高三数学-30道压轴题及答案精品

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高考数学选择填空压轴题45道(附答案)

,
D．
1,
27 e4
21．已知方程
e x 1
x
e2 x1 x aex1
有三个不同的根，则实数
a
的
取值范围为（）
A． 1,e
B．
e,
1 2
C． 1,1
D．
1,
1 2
22．函数 f (x) ex1 ex1 a sin （x x R ，e 是自然对数的底数，
a 0 ）存在唯一的零点，则实数 a 的取值范围为( )
38．若不等式 x e2x a x ln x 1恒成立，则实数 a 的取值范
围是__________.
39．已知函数 f x ln x e a x b ，其中 e 为自然对数的底
数.若不等式
f
x
0
恒成立，则
b a
的最小值为_______.
40．已知函数
f
(x)
x
2 cos
x
，在区间上
0,
4
A．
0,
2
B．
0,
2
C． (0,2]
D． (0,2)
23．已知 a 0 ，b R ，且 ex a(x 1) b 对 x R 恒成立，则 a2b 的最大值为（）
A． 1 e5
2
B． 1 e5
3
C． 1 e3
2
D． 1 e3
3
k
24．若关于
x
的不等式
1 x
x
1 27
有正整数解，则实数
16 12
7
4
x
x
3y 6 y
的最小值为________.
8
参考答案，仅供参考

高考解析几何压轴题精选(含答案)

1. 设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点(0,2)A .若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为_____________。

（3分）2 .已知m ＞1，直线2:02m l x my --=，椭圆222:1x C y m+=，1,2F F 分别为椭圆C 的左、右焦点. （Ⅰ）当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，12AF F V ，12BF F V 的重心分别为,G H .若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围.（6分）3已知以原点O 为中心，)F 为右焦点的双曲线C 的离心率2e =。

（I ）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；（II ）如题（20）图，已知过点()11,M x y 的直线111:44l x x y y +=与过点()22,N x y （其中2x x ≠）的直线222:44l x x y y +=的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与两条渐近线分别交与G 、H 两点，求OGH ∆的面积。

（8分）4.如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=＞＞的离心率为2，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点12,F F 为顶点的三角形的周长为1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为B A 、和C D 、.（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明12·1k k =；（Ⅲ）是否存在常数λ，使得·A B C D A B C Dλ+=恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.（7分）5.在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15922=+y x的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F 。

设过点T （m t ,）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ，其中m>0,0,021<>y y 。

高考数学压轴题系列训(共六套)(含答案及解析详解)

高考数学压轴题系列训练一（含答案及解析详解）1．（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M ，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点.（Ⅰ）求这三条曲线的方程；（Ⅱ）已知动直线l 过点()3,0P ，交抛物线于,A B 两点，是否存在垂直于x 轴的直线l '被以AP 为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l '的方程；若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）设抛物线方程为()220y px p =>，将()1,2M 代入方程得2p =24y x ∴= 抛物线方程为: ………………………………………………（1分）由题意知椭圆、双曲线的焦点为()()211,0,1,0,F F -∴ c=1…………………（2分）对于椭圆，1222a MF MF =++(222222211321a ab ac ∴=∴=+=+∴=-=+∴= 椭圆方程为：………………………………（4分）对于双曲线，1222a MF MF '=-=2222221321a abc a '∴=-'∴=-'''∴=-=∴= 双曲线方程为：………………………………（6分）（Ⅱ）设AP 的中点为C ，l '的方程为：x a =，以AP 为直径的圆交l '于,D E 两点，DE 中点为H令()11113,,,22x y A x y +⎛⎫∴ ⎪⎝⎭ C ………………………………………………（7分）()1112312322DC AP x CH a x a ∴==+=-=-+()()()2222221112121132344-23246222DH DC CH x y x a a x a aa DH DE DH l x ⎡⎤⎡⎤∴=-=-+--+⎣⎦⎣⎦=-+==-+=∴=='= 当时,为定值; 此时的方程为： …………（12分）2．（14分）已知正项数列{}n a 中，16a =，点(n n A a 在抛物线21y x =+上；数列{}n b 中，点(),n n B n b 在过点()0,1，以方向向量为()1,2的直线上.（Ⅰ）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（Ⅱ）若()()()n n a f n b ⎧⎪=⎨⎪⎩, n 为奇数, n 为偶数，问是否存在k N ∈，使()()274f k f k +=成立，若存在，求出k 值；若不存在，说明理由；（Ⅲ）对任意正整数n ，不等式1120111111n n n ab b b +≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立，求正数a 的取值范围.解：（Ⅰ）将点(n n A a 代入21y x =+中得()11111115:21,21n n n n n n a a a a d a a n n l y x b n ++=+∴-==∴=+-⋅=+=+∴=+ 直线 …………………………………………（4分）（Ⅱ）()()()521n f n n ⎧+⎪=⎨+⎪⎩, n 为奇数, n 为偶数………………………………（5分）()()()()()()27274275421,42735227145,24k k f k f k k k k k k k k k k ++=∴++=+∴=+∴++=+∴==当为偶数时，为奇数，当为奇数时，为偶数，舍去综上，存在唯一的符合条件。

历届高考数学压轴题汇总及答案

历届高考数学压轴题汇总及答案1.2019年高考数学上海卷：已知等差数列$\{a_n\}$的公差$d\in(0,\pi]$，数列$\{b_n\}$满足$b_n=\sin(a_n)$，集合$S=\{x|x=b_n,n\in N^*\}$。

1) 若$a_1=0,d=\frac{\pi}{6}$，求集合$S$的元素个数；2) 若$a_1=\frac{2\pi}{3}$，求集合$S$；3) 若集合$S$有三个元素$b_{n+T}=b_n$，其中$T$是不超过$7$的正整数，求$T$的所有可能值。

2.2019年高考数学浙江卷：已知实数$a\neq0$，函数$f(x)=a\ln x+x+1$，$x>0$。

1) 当$a=-1$时，求函数$f(x)$的单调区间；2) 对任意$x\in[\frac{3}{4},+\infty)$，有$f(x)\leq\frac{1}{2}e^{2a}$，求$a$的取值范围。

3.2019年高考数学江苏卷：设$(1+x)=a+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n$，$n^2,n\in N^*$，已知$a_3=2a_2a_4$。

1) 求$n$的值；2) 设$(1+3x)=a+b\sqrt{3}$，其中$a,b\in N^*$，求$a^2-3b^2$的值。

4.2018年高考数学上海卷：给定无穷数列$\{a_n\}$，若无穷数列$\{b_n\}$满足对任意$n\in N^*$，都有$b_n-a_n\leq1$，则称$\{b_n\}$与$\{a_n\}$“接近”。

1) 设$\{a_n\}$是首项为$1$，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，构造一个与$\{a_n\}$接近的数列$\{b_n\}$，并说明理由；2) 设数列$\{a_n\}$的前四项为：$a_1=1,a_2=2,a_3=4,a_4=8$，$\{b_n\}$是一个与$\{a_n\}$接近的数列，记集合$M=\{x|x=b_i,i=1,2,3,4\}$，求$M$中元素的个数$m$；3) 已知$\{a_n\}$是公差为$d$的等差数列，若存在数列$\{b_n\}$满足：$\{b_n\}$与$\{a_n\}$接近，且在$1$的等比数列，$b_n=a_{n+1}+1$，$n\in N^*$，判断数列$\{b_n\}$是否满足$b_2-b_1,b_3-b_2,\cdots,b_{201}-b_{200}$中至少有$100$个为正数，求$d$的取值范围。

2023-2024学年高考数学专项复习——压轴题(附答案)

决胜3．已知函数，曲线在处的切线方程为.()2e xf x ax =-()y f x =()()1,1f 1y bx =+(1)求的值：,a b (2)求在上的最值；()f x []0,1(3)证明：当时，.0x >()e 1e ln 0x x x x +--≥4．已知函数，.()()ln 1f x x x a x =-++R a ∈(1)若，求函数的单调区间；1a =()f x (2)若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围；x ()2f x a≤[)2,+∞a (3)若实数满足且，证明.b 21a b <-+1b >()212ln f x b <-5．椭圆的离心率是，点是椭圆上一点，过点2222:1(0)x y E a b a b +=>>22()2,1M E 的动直线与椭圆相交于两点.()0,1P l ,A B (1)求椭圆的方程；E (2)求面积的最大值；AOB (3)在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使恒成立？存在，xOy P Q QA PAQB PB=求出点的坐标；若不存在，请说明理由.Q 6．已知函数，.()21ln 2f x a x x⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()()()2R g x f x ax a =-∈(1)当时，0a =（i ）求曲线在点处的切线方程；()y f x =()()22f ,（ii ）求的单调区间及在区间上的最值；()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)若对，恒成立，求a 的取值范围.()1,x ∀∈+∞()0g x <(1)求抛物线的表达式和的值；,t k (2)如图1，连接AC ，AP ，PC ，若△APC 是以(3)如图2，若点P 在直线BC 上方的抛物线上，过点的最大值．12CQ PQ +(1)【基础训练】请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l 的方程；22y x =(2)【技能训练】如图2所示，已知抛物线上一点P 到准线l 的距离为6，求点P 的坐218y x =标；(3)【能力提升】如图3所示，已知过抛物线的焦点F 的直线依次交抛物线及准()20y ax a =>线l 于点，若求a 的值；、、A B C 24BC BF AF ==，(4)【拓展升华】古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C 将一条线段分为两段和，使得其中较长一段是全线段与另一AB AC CB AC AB 段的比例中项，即满足：，后人把这个数称为“黄金分割”，把CB 512AC BC AB AC -==512-点C 称为线段的黄金分割点.如图4所示，抛物线的焦点，准线l 与y 轴AB 214y x=(0,1)F 交于点，E 为线段的黄金分割点，点M 为y 轴左侧的抛物线上一点.当(0,1)H -HF 时，求出的面积值.2MH MF=HME 10．已知双曲线的一条渐近线方程的倾斜角为，焦距为4．2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>60︒(1)求双曲线的标准方程；C (2)A 为双曲线的右顶点，为双曲线上异于点A 的两点，且．C ,M N C AM AN ⊥①证明：直线过定点；MN ②若在双曲线的同一支上，求的面积的最小值．,M N AMN(1)试用解析几何的方法证明：(2)如果将圆分别变为椭圆、双曲线或抛物线，你能得到类似的结论吗？13．对于数集（为给定的正整数），其中，如果{}121,,,,n X x x x =-2n ≥120n x x x <<<< 对任意，都存在，使得，则称X 具有性质P ．,a b X ∈,c d X ∈0ac bd +=(1)若，且集合具有性质P ，求x 的值；102x <<11,,,12x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭(2)若X 具有性质P ，求证：；且若成立，则；1X ∈1n x >11x =(3)若X 具有性质P ，且，求数列的通项公式．2023n x =12,,,n x x x 14．已知，是的导函数，其中．()2e xf x ax =-()f x '()f x R a ∈(1)讨论函数的单调性；()f x '(2)设，与x 轴负半轴的交点为点P ，在点P()()()2e 11x g x f x x ax =+-+-()y g x =()y g x =处的切线方程为．()y h x =①求证：对于任意的实数x ，都有；()()g x h x ≥②若关于x 的方程有两个实数根，且，证明：()()0g x t t =>12,x x 12x x <．()2112e 11e t x x --≤+-15．在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心xOy 1,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭12x =-的轨迹为曲线K ，P 是曲线K 上一点．(1)求曲线K 的方程；(2)过点A 且斜率为k 的直线l 与曲线K 交于B 、C 两点，若且直线OP 与直线交//l OP 1x =于Q 点．求的值；||||AB ACOP OQ ⋅⋅(3)若点D 、E 在y 轴上，的内切圆的方程为，求面积的最小值．PDE △()2211x y -+=PDE △16．已知椭圆C ：，四点中恰有三()222210x y a b a b +=>>()()1234331,1,0,1,1,,1,22P P P P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭点在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点，若直线与直线的斜率的和为，2P A 2P B 1-证明：l 过定点．18．给定正整数k ，m ，其中，如果有限数列同时满足下列两个条件．则称2m k ≤≤{}n a 为数列．记数列的项数的最小值为．{}n a (,)k m -(,)k m -(,)G k m 条件①：的每一项都属于集合；{}n a {}1,2,,k 条件②：从集合中任取m 个不同的数排成一列，得到的数列都是的子列．{}1,2,,k {}n a 注：从中选取第项、第项、…、第项（）形成的新数列{}n a 1i 2i 5i 125i i i <<<…称为的一个子列．325,,,i i i a a a ⋯{}n a (1)分别判断下面两个数列，是否为数列．并说明理由！(33)-，数列；1:1,2,3,1,2,3,1,2,3A 数列．2:1,2,3,2,1,3,1A (2)求的值；(),2G k (3)求证．234(,)2k k G k k +-≥答案：1．(1)极大值为，无极小值2e (2)证明见解析【分析】（1）求导，根据导函数的符号结合极值的定义即可得解；（2）构造函数，利用导数求出函数的最小值，再()21()()()2ln 12F x f x g x x x x x x =+=+->证明即可或者转换不等式为，通过构造函数可得证.()min0F x >()112ln 012x x x +->>【详解】（1）的定义域为，，()f x (0,)+∞()2(1ln )f x x '=-+当时，，当时，，10e x <<()0f x '>1e x >()0f x '<所以函数在上单调递增，在上单调递减，()f x 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭故在处取得极大值，()f x 1e x =12e e f ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以的极大值为，无极小值；()f x 2e （2）设，()21()()()2ln 12F x f x g x x x x x x =+=+->解法一：则，()2ln 1F x x x '=--令，，()()2ln 11h x x x x =-->22()1x h x x x -'=-=当时，，单调递减，当时，，单调递增，12x <<()0h x '<()h x 2x >()0h x '>()h x 又，，，(2)1ln 40h =-<(1)0h =(4)32ln 40h =->所以存在，使得，即．0(2,4)x ∈0()0h x =002ln 10x x --=当时，，即，单调递减，01x x <<()0h x <()0F x '<()F x 当时，，即，单调递增，0x x >()0h x >()0F x '>()F x 所以当时，在处取得极小值，即为最小值，1x >()F x 0x x =故，22000000(11()()12ln )222F x F x x x x x x ≥=+-=-+设，因为，2000122()p x x x =-+0(2,4)x ∈由二次函数的性质得函数在上单调递减，2000122()p x x x =-+(2,4)故，0()(4)0p x p >=所以当时，，即．1x >()0F x >()()0f x g x +>解法二：要证，即证，()0F x >()1()12ln 012p x x x x =+->>因为，所以当时，，单调递减，()124()122x p x x x x -'=-=>()1,4x ∈()0p x '<()p x 当时，，单调递增，()4,x ∞∈+()0p x '>()p x 所以，所以，即.()()4212ln 434ln 20p x p ≥=+-=->()0F x >()()0f x g x +>方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明()()f xg x >()()f xg x <（或），进而构造辅助函数；()()0f xg x ->()()0f xg x -<()()()h x f x g x =-（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.2．(1)0(2)证明详见解析(3)2a ≤【分析】（1）利用导数求得的最小值.()g x （2）根据（1）的结论得到，利用放缩法以及裂项求和法证得不等式成立.2211ln 1n n ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭（3）由不等式分离参数，利用构造函数法，结合导数求得的取ln (2)10xx x x a x -+--≥a a 值范围.【详解】（1）依题意，，()21ln (,0)2f x x x x t t x =-+∈>R 所以，()()()()ln 1ln 10g x f x x x x x x '==-+=-->，所以在区间上单调递减；()111x g x x x -'=-=()g x ()0,1()()0,g x g x '<在区间上单调递增，()1,+∞()()0,g x g x '>所以当时取得最小值为.1x =()g x ()11ln110g =--=（2）要证明：对任意正整数，都有，(2)n n ≥222211111111e 234n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 即证明，22221111ln 1111ln e234n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 即证明，222111ln 1ln 1ln 1123n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 由（1）得，即()()()10f xg x g '=≥=ln 10,ln 1x x x x --≥≤-令，所以， *211,2,N x n n n =+≥∈222111ln 111n n n ⎛⎫+≤+-= ⎪⎝⎭所以222222111111ln 1ln 1ln 12323n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++≤+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，()111111111122312231n n n n <+++=-+-++-⨯⨯-- 111n=-<所以对任意正整数，都有.(2)n n ≥222211111111e 234n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （3）若不等式恒成立，此时，ln (2)10xx x x a x -+--≥0x >则恒成立，ln 21x x x x x a x -+-≤令，()ln 21xx x x x h x x -+-=令，()()()e 10,e 10x x u x x x u x '=--≥=-≥所以在区间上单调递增，()u x[)0,∞+所以，当时等号成立，()0e 010,e 10,e 1x x u x x x ≥--=--≥≥+0x =所以，()ln e ln 21ln 1ln 212x x x x x x x x x x h x x x -+-+-+-=≥=当时等号成立，所以.ln 0,1x x x ==2a ≤利用导数求函数的最值的步骤：求导：对函数进行求导，得到它的导函数.导函数()f x ()f x '表示了原函数在不同点处的斜率或变化率.找出导数为零的点：解方程，找到使得导()0f x '=数为零的点,这些点被称为临界点，可能是函数的极值点（包括最大值和最小值），检查每个临界点以及区间的端点，并确认它们是否对应于函数的最值.3．(1)，1a =e 2b =-(2)；()max e 1f x =-()min 1f x =(3)证明见解析【分析】（1）利用切点和斜率列方程组，由此求得.,a b （2）利用多次求导的方法求得在区间上的单调性，由此求得在上的最值.()f x []0,1()f x []0,1（3）先证明时，，再结合（2）转化为，从0x >()()e 21f x x ≥-+()21e ln e x x x x x+--≥+而证得不等式成立.【详解】（1），()e 2x f x ax'=-∴，解得：，；()()1e 21e 1f a b f a b ⎧=-=⎪⎨=-=+'⎪⎩1a =e 2b =-（2）由（1）得：，()2e xf x x =-，令，则，()e 2x f x x '=-()e 2x h x x=-()e 2x h x '=-是增函数，令解得.()h x ()0h x '=ln 2x =∴，也即在上单调递减，()h x ()f x '()0,ln2()()0,h x h x '<在上单调递增，()ln2,+∞()()0,h x h x '>∴，∴在递增，()()ln 2ln222ln20h f ==->'()f x []0,1∴；；()()max 1e 1f x f ==-()()min 01f x f ==（3）∵，由（2）得过，()01f =()f x ()1,e 1-且在处的切线方程是，()y f x =1x =()e 21y x =-+故可猜测且时，的图象恒在切线的上方，0x >1x ≠()f x ()e 21y x =-+下面证明时，，设，，0x >()()e 21f x x ≥-+()()()e 21g x f x x =---()0x >∴，∴令，()()e 2e 2x g x x =---'()()()e 2e 2x x x g m x '--==-，()e 2x m x '=-由（2）得：在递减，在递增，()g x '()0,ln2()ln2,+∞∵，，，∴，()03e 0g '=->()10g '=0ln21<<()ln20g '<∴存在，使得，()00,1x ∈()0g x '=∴时，，时，，()()00,1,x x ∈⋃+∞()0g x '>()0,l x x ∈()0g x '<故在递增，在递减，在递增.()g x ()00,x ()0,1x ()1,+∞又，∴当且仅当时取“”，()()010g g ==()0g x ≥1x ==()()2e e 210x g x x x =----≥故，，由（2）得：，故，()e e 21x x xx+--≥0x >e 1x x ≥+()ln 1x x ≥+∴，当且仅当时取“=”，∴，1ln x x -≥1x =()e e 21ln 1x x x x x+--≥≥+即，∴，()21ln 1e e x x x x+--≥+()21e ln e x x x x x+--≥+即成立，当且仅当时“=”成立.()1ln 10e e x x x x +---≥1x =求解切线的有关的问题，关键点就是把握住切点和斜率.利用导数研究函数的单调性，如果一次求导无法求得函数的单调性时，可以考虑利用多次求导来进行求解.利用导数证明不等式恒成立，如果无法一步到位的证明，可以先证明一个中间不等式，然后再证得原不等式成立.4．(1)单调增区间为，单调减区间为；()0,1()1,+∞(2)(],2ln 2-∞(3)证明见解析【分析】（1）求导，再根据导函数的符号即可得解；（2）分离参数可得，构造函数，利用导数求出函数的最小ln 1x x a x ≤-ln (),21x xg x x x =≥-()g x 值即可得解；（3）由，得，则，要证21a b <-+21a b -<-2112()(e )e e 1a a b f x f a b ---≤=+<-+，即证，即证，构造函数()212ln f x b<-222e112ln bb b --+<-22212ln 0eb b b +-<，证明即可.()()()12ln e x h x x x x =>-()1h x <-【详解】（1）当时，，1a =()ln 1,0f x x x x x =-++>，由，得，由，得，()ln f x x '=-()0f x '>01x <<()0f x '<1x >故的单调增区间为，单调减区间为；()f x ()0,1()1,+∞（2），()ln 2,1x xf x a a x ≤∴≤- 令，ln (),21x x g x x x =≥-则，21ln ()(1)x xg x x --'=-令，则，()ln 1t x x x =-+11()1xt x x x -'=-=由，得，由，得，()0t x '>01x <<()0t x '<1x >故在递增，在递减，，()t x ()0,1()1,+∞max ()(1)0t x t ==，所以，()0t x ∴≤ln 1≤-x x 在上单调递增，，()0,()g x g x '≥∴[)2,+∞()min ()2g x g ∴=，(2)2ln 2a g ∴≤=的取值范围；a ∴(],2ln 2-∞（3），221,1b a b a <-+∴-<- 又，在上递增，11()(e )e a a f x f a --≤=+1e a y a -=+ R a ∈所以，2112()(e )e e 1a a b f x f a b ---≤=+<-+下面证明：，222e 112ln b b b --+<-即证，22212ln 0ebb b +-<令，则，21x b =>12ln 0e x x x +-<即，(2ln )e 1xx x -⋅<-令，则，()()()12ln e xh x x x x =>-()22ln 1e xh x x x x '⎛⎫=-+-⋅ ⎪⎝⎭令，则，()2()2ln 11x x x x x ϕ=-+->()()2221122()101x x x x x x ϕ---=--=<>∴函数在上单调递减，()x ϕ()1,+∞，()(1)0x ϕϕ∴<=在递减，()()0,h x h x '∴<(1,)+∞，()()1e 1h x h ∴<=-<-所以.()212ln f x b <-方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明()()f xg x >()()f xg x <（或），进而构造辅助函数；()()0f xg x ->()()0f xg x -<()()()h x f x g x =-（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.5．(1)22142x y +=(2)2(3)存在，.()0,2Q 【分析】（1）由离心率及过点列方程组求解.()2,1M,a b （2）设直线为与椭圆方程联立，将表达为的函数，由基本不l 1y kx =+1212AOB S x x =⋅- k 等式求最大值即可.（3）先讨论直线水平与竖直情况，求出，设点关于轴的对称点，证得()0,2Q B y B '三点共线得到成立.,,Q A B 'QA PAQB PB=【详解】（1）根据题意，得，解得，椭圆C 的方程为.2222222211c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩222422a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩22142x y +=（2）依题意，设，直线的斜率显然存在，()()1122,,,A x y B x y l 故设直线为，联立，消去，得，l 1y kx =+221142y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()2212420k x kx ++-=因为直线恒过椭圆内定点，故恒成立，，l ()0,1P 0∆>12122242,1212k x x x x k k +=-=-++故，()2221212221224212111214414222122AOBk S x x x x x x k k k k ⋅+⎛⎫⎛⎫=⋅=⨯-=⨯-⨯= ⎪ ⎪+⎝-+-⎝++⎭⎭- 令，所以，当且仅当，即时取得214,1t k t =+≥22222211AOB t S t t t=×=×£++1t =0k =等号，综上可知：面积的最大值为.AOB 2（3）当平行于轴时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件，l x ,C D Q 则有，即，所以点在轴上，可设的坐标为；||||1||||QC PC QD PD ==QC QD =Q y Q ()00,y 当垂直于轴时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件，l x ,M N Q 则有，即，解得或，||||||||QM PM QN PN =00221212y y --=++01y =02y =所以若存在不同于点的定点满足条件，则点的坐标为；P Q Q ()0,2当不平行于轴且不垂直于轴时，设直线方程为，l x x l 1y kx =+由（2）知，12122242,1212k x x x x k k --+==++又因为点关于轴的对称点的坐标为，B y B '()22,x y -又，，11111211QA y kx k k x x x --===-22222211QB y kx k k x x x '--===-+--.方法点睛：直线与椭圆0Ax By C ++=时，取得最大值2222220a A b B C +-=MON S 6．(1)（i ）；（322ln 220x y +--=(2)11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故曲线在点处的切线方程为，()y f x =()()22f ,()()32ln 222y x --+=--即；322ln 220x y +--=（ii ），，()21ln 2f x x x =-+()0,x ∈+∞，()211x f x x x x -'=-+=令，解得，令，解得，()0f x ¢>()0,1x ∈()0f x '<()1,x ∈+∞当时，，1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()max 112f x f ==-又，，221111ln 1e 2e e 2e f ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭()2211e e ln e e 122f =-+=-+其中，()222211111e 1e 1e 20e 2e 222ef f ⎛⎫⎛⎫-=----+=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故，()()2min 1e e 12f x f ==-+故的单调递增区间为，单调递减区间为；()f x ()0,1()1,+∞在区间上的最大值为，最小值为；()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12-21e 12-+（2），()21ln 22xg x a x x a ⎭-+⎛=⎪-⎫ ⎝对，恒成立，()1,x ∀∈+∞21ln 202a x x ax ⎛⎫-+-< ⎪⎝⎭变形为对恒成立，ln 122x a xa x<--⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,x ∀∈+∞令，则，()(),1,ln x h x x x ∈=+∞()21ln xh x x -'=当时，，单调递增，()1,e x ∈()0h x '>()ln xh x x =当时，，单调递减，()e,+x ∈∞()0h x '<()ln xh x x =其中，，当时，恒成立，()10h =()ln e 1e e e h ==1x >()ln 0x h x x =>故画出的图象如下：()ln x h x x =其中恒过点122y xa a ⎛⎫ ⎪⎝=⎭--(2,1A 又，故在()210111h -'==()ln x h x x =又在上，()2,1A 1y x =-()对于2111644y x x =-+-∴点，即()0,6C -6OC =∵2114,14P m m m ⎛-+- ⎝∴点，3,64N m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴，22111316624444PN m m m m m⎛⎫=-+---=-+ ⎪⎝⎭∵轴，PN x ⊥∴，//PN OC ∴，PNQ OCB ∠=∠∴，Rt Rt PQN BOC ∴，PN NQ PQ BC OC OB ==∵，8,6,10OB OC BC ===∴，34,55QN PN PQ PN==∵轴，NE y ⊥∴轴，//NE x ∴，CNE CBO ∴，5544CN EN m ==∴，2215111316922444216CQ PQ m m m m ⎛⎫+=-+=--+⎪⎝⎭当时，取得最大值.132m =12CQ PQ+16916关键点点睛：熟练的掌握三角形相似的判断及性质是解决本题的关键.8．(1)详见解析；(2)①具有性质；理由见解析；②P 1346【分析】（1）当时，先求得集合，由题中所给新定义直接判断即可；10n =A （2）当时，先求得集合， 1010n =A ①根据，任取，其中，可得，{}2021|T x x S =-∈02021t x T =-∈0x S ∈0120212020x ≤-≤利用性质的定义加以验证，即可说明集合具有性质；P T P ②设集合有个元素，由（1）可知，任给，，则与中必有个S k x S ∈12020x ≤≤x 2021x -1不超过，从而得到集合与中必有一个集合中至少存在一半元素不超过，然后利1010S T 1010用性质的定义列不等式，由此求得的最大值．P k【详解】（1）当时，，10n ={}1,2,,19,20A = 不具有性质，{}{}|910,11,12,,19,20B x A x =∈>= P 因为对任意不大于的正整数，10m 都可以找到该集合中的两个元素与，使得成立，110b ＝210b m =+12||b b m -=集合具有性质，{}*|31,N C x A x k k =∈=-∈P 因为可取，对于该集合中任一元素，110m =<，（），都有.112231,31c k c k =-=-*12,N k k ∈121231c c k k -=-≠（2）当时，集合，1010n ={}()*1,2,3,,2019,2020,1010N A m m =≤∈ ①若集合具有性质，那么集合一定具有性质．S P {}2021|T x x S =-∈P 首先因为，任取，其中．{}2021|T x x S =-∈02021t x T =-∈0x S ∈因为，所以．S A ⊆{}01,2,3,,2020x ∈ 从而，即，所以．0120212020x ≤-≤t A ∈T A ⊆由具有性质，可知存在不大于的正整数，S P 1010m 使得对中的任意一对元素，都有．s 12,s s 12s s m -≠对于上述正整数，从集合中任取一对元素，m {}2021|T x x S =-∈112021t x -＝，其中，则有．222021t x =-12,x x S ∈1212t t s s m --≠＝所以，集合具有性质P ；{}2021|T x x S =-∈②设集合有个元素，由（1）可知，若集合具有性质，S k S P 那么集合一定具有性质．{}2021|T x x S =-∈P 任给，，则与中必有一个不超过．x S ∈12020x ≤≤x 2021x -1010所以集合与中必有一个集合中至少存在一半元素不超过．S T 1010不妨设中有个元素不超过．S 2k t t ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭12,,,t b b b 1010由集合具有性质，可知存在正整数．S P 1010m ≤使得对中任意两个元素，都有．S 12,s s 12s s m -≠所以一定有．12,,,t b m b m b m S +++∉ 又，故．100010002000i b m +≤+=121,,,b m b m b m A +++∈ 即集合中至少有个元素不在子集中，A t S 因此，所以，得．20202k k k t +≤+≤20202k k +≤1346k ≤当时，取，{}1,2,,672,673,,1347,,2019,2020S = 673m =则易知对集合中的任意两个元素，都有，即集合具有性质．S 12,y y 12673y y -≠S P 而此时集合S 中有个元素，因此，集合元素个数的最大值为．1346S 1346解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.9．(1)，10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭18y =-(2)或()42,4()42,4-(3)14a =(4)或51-35-【分析】（1）根据焦点和准线方程的定义求解即可；（2）先求出点P 的纵坐标为4，然后代入到抛物线解析式中求解即可；（3）如图所示，过点B 作轴于D ，过点A 作轴于E ，证明，推BD y ⊥AE y ⊥FDB FHC ∽出，则，点B 的纵坐标为，从而求出，证明16FD a =112OD OF DF a =-=112a 36BD a =，即可求出点A 的坐标为，再把点A 的坐标代入抛物线解析式AEF BDF ∽123,24a ⎛⎫ ⎪⎝+⎭-中求解即可；（4）如图，当E 为靠近点F 的黄金分割点的时候，过点M 作于N ，则，MN l ⊥MN MF=先证明是等腰直角三角形，得到，设点M 的坐标为，则MNH △NH MN=21,4m m ⎛⎫⎪⎝⎭过点B 作轴于D ，过点BD y ⊥由题意得点F 的坐标为F ⎛ ⎝1FH =当E 为靠近点F 的黄金分割点的时候，过点∵在中，Rt MNH △sin MHN ∠∴，∴是等腰直角三角形，45MHN ︒=MNH △双曲线方程联立，利用韦达定理及题目条件可得，后由题意可得AM AN ⋅= ()()222131t t m -+=-所过定点坐标；②结合①及图形可得都在左支上，则可得，后由图象可得,M N 213m <，后通过令，结合单调性229113m S m +=-223113m λλ⎛⎫+=≤< ⎪⎝⎭()423313f x x x x ⎛⎫=-≤< ⎪⎝⎭可得答案.【详解】（1）设双曲线的焦距为，C 2c 由题意有解得．2223,24,,ba c c ab ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩1,3,2a b c ===故双曲线的标准方程为；C 2213y x -=（2）①证明：设直线的方程为，点的坐标分别为，MN my x t =+,M N ()()1122,,,x y x y 由（1）可知点A 的坐标为，()1,0联立方程消去后整理为，2213y x my x t ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩x ()222316330m y mty t --+-=可得，2121222633,3131mt t y y y y m m -+==--，()212122262223131m t tx x m y y t t m m +=+-=-=--，()()()()222222222121212122223363313131m t m t m t x x my t my t m y y mt y y t t m m m -+=--=-++=-+=----由，()()11111,,1,AM x y AN x y =-=-有()()()1212121212111AM AN x x y y x x x x y y ⋅=--+=-+++，()()()()22222222222222222132331313131313131t t t t t t m t t t m m m m m m -----++-=--++===------由，可得，有或，AM AN ⊥0AM AN ⋅=1t =-2t =当时，直线的方程为，过点，不合题意，舍去；1t =-MN 1my x =-()1,0当时，直线的方程为，过点，符合题意，2t =MN 2my x =+()2,0-②由①，设所过定点为121224,31x x x x m +==-若在双曲线的同一支上，可知,M N 有12240,31x x x m +=<-关键点睛：求直线所过定点常采取先猜后证或类似于本题处理方式，设出直线方程，通过题一方面：由以上分析可知，设椭圆方程为一方面：同理设双曲线方程为()22221y m x a b +-=，()2222221b x a k x m a b -+=化简并整理得()(2222222112ba k x a mk x a m ---+一方面：同理设抛物线方程为(22x p y =，()212x p k x n =+化简并整理得，由韦达定理可得12220pk x x pn --=2,2x x pk x x pn +=⋅=-（2）构造，故转化为等价于“对任()()()()()13131931x x xx f x k k g x f x +--==+++()()()123g x g x g x +>意，，恒成立”，换元后得到（），分，和1x 2x 3R x ∈()()11k g x q t t -==+3t ≥1k >1k =三种情况，求出实数k 的取值范围.1k <【详解】（1）由条件①知，当时，有，即在R 上单调递增．12x x <()()12f x f x <()f x 再结合条件②，可知存在唯一的，使得，从而有．0R x ∈()013f x =()093x x f x x --=又上式对成立，所以，R x ∀∈()00093x x f x x --=所以，即．0001393x x x --=0009313x x x ++=设，因为，所以单调递增．()93x x x xϕ=++()9ln 93ln 310x x x ϕ'=++>()x ϕ又，所以．()113ϕ=01x =所以；()931x x f x =++（2）构造函数，()()()()()13131931x x xx f x k k g x f x +--==+++由题意“对任意的，，，1x 2x 3R x ∈均存在以，，为三边长的三角形”()()()11113x f x k f x +-()()()22213x f x k f x +-()()()33313x f x k f x +-等价于“对任意，，恒成立”．()()()123g x g x g x +>1x 2x 3R x ∈又，令，()111313x x k g x -=+++1131231333x x x x t ⋅=++≥+=当且仅当时，即时取等号，91x=0x =则（），()()11k g x q t t -==+3t ≥当时，，因为且，1k >()21,3k g x +⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()()122423k g x g x +<+≤()3213k g x +<≤所以，解得，223k +≤4k ≤即；14k <≤当时，，满足条件；1k =()()()1231g x g x g x ===当时，，因为且，1k <()2,13k g x +⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()()122423k g x g x ++<≤()3213k g x +<≤所以，即．2413k +≤112k -≤<综上，实数k 的取值范围是．1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数.13．(1)14x =(2)证明过程见解析(3)，()112023k n k x --=1k n≤≤【分析】（1）由题意转化为对于，都存在，使得，其中(),m a b =(),n c d =0m n ⋅= ，选取，，通过分析求出；,,,a b c d X ∈()1,,2m a b x ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ()(),1,n c d d ==- 14x =（2）取，，推理出中有1个为，则另一个为1，即，()()11,,m a b x x == (),n c d =,c d 1-1X ∈再假设，其中，则，推导出矛盾，得到；1k x =1k n <<101n x x <<<11x =（3）由（2）可得，设，，则有，记11x =()11,m s t =()22,n s t =1212s t t s =-，问题转化为X 具有性质P ，当且仅当集合关于原点对称，得到,,s B s X t X s t t ⎧⎫=∈∈>⎨⎬⎩⎭B ，共个数，由对称性可知也有个数，(){}234,0,,,,n B x x x x -∞=---- ()1n -()0,B +∞ ()1n -结合三角形数阵得到，得到数列为首项为1的等比123212321n n n n n n x x x x x x x x x x -----===== 12,,,n x x x 数列，设出公比为，结合求出公比，求出通项公式.q 2023n x =【详解】（1）对任意，都存在，使得，,a b X ∈,c d X ∈0ac bd +=即对于，都存在，使得，其中，(),m a b =(),n c d =0m n ⋅= ,,,a b c d X ∈因为集合具有性质P ，11,,,12x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭选取，，()1,,2m a b x ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ()(),1,n c d d ==-则有，12x d -+=假设，则有，解得，这与矛盾，d x =102x x -+=0x =102x <<假设，则有，解得，这与矛盾，1d =-12x --=12x =-102x <<假设，则有，解得，这与矛盾，1d =12x -+=12x =102x <<假设，则有，解得，满足，12d =14x -+=14x =102x <<故；14x =（2）取，，()()11,,m a b x x == (),n c d =则，()10c d x +=因为，所以，即异号，120n x x x <<<< 0c d +=,c d 显然中有1个为，则另一个为1，即，,c d 1-1X ∈假设，其中，则，1k x =1k n <<101n x x <<<选取，，则有，()()1,,n m a b x x ==(),n s t =10n sx tx +=则异号，从而之中恰有一个为，,s t ,s t 1-若，则，矛盾，1s =-11n x tx t x =>≥若，则，矛盾，1t =-1n n x sx s x =<≤故假设不成立，所以；11x =（3）若X 具有性质P ，且，20231n x =>由（2）可得，11x =设，，则有，()11,m s t =()22,n s t =1212s t t s =-记，则X 具有性质P ，当且仅当集合关于原点对称，,,s B s X t X s t t ⎧⎫=∈∈>⎨⎬⎩⎭B 注意到是集合中唯一的负数，1-X 故，共个数，(){}234,0,,,,n B x x x x -∞=---- ()1n -由对称性可知也有个数，()0,B +∞ ()1n -由于，已经有个数，123421n n n n n nn n n n x x x x x x x x x x x x ----<<<<<< ()1n -对于以下三角形数阵：123421n n n n n n n n n n x x x x x xx x x x x x ----<<<<<< 1111123421n n n n n n n n x x x x xx x x x x --------<<<<< ……3321x x x x <21x x 注意到，123211111n n n x x x x x x x x x x -->>>>> 所以有，123212321n n n n n n x x x x x x x x x x -----===== 从而数列为首项为1的等比数列，设公比为，12,,,n x x x q 由于，故，解得，2023n x =112023n nx q x -==()112023n q -=故数列的通项公式为，.12,,,n x x x ()112023k n k x --=1k n ≤≤集合新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数或数列相结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题.14．(1)答案见解析(2)①证明见解析；②证明见解析【分析】（1）求出的导数，结合解不等式可得答案；()e 2x f x ax'=-（2）①，利用导数的几何意义求得的表达式，由此构造函数，()y h x =()()()F x g x h x =-利用导数判断其单调性，求其最小值即可证明结论；②设的根为，求得其表达式，()h x t=1x '并利用函数单调性推出，设曲线在点处的切线方程为，设11x x '≤()y g x =()0,0()y t x =的根为，推出，从而，即可证明结论.()t x t=2x '22x x '≥2121x x x x ''-≤-【详解】（1）由题意得，令，则，()e 2x f x ax'=-()e 2x g x ax=-()e 2x g x a'=-当时，，函数在上单调递增；0a ≤()0g x '>()f x 'R 当时，，得，，得，0a >()0g x '>ln 2x a >()0g x '<ln 2x a <所以函数在上单调递减，在上单调递增．()f x '(),ln 2a -∞()ln 2,a +∞（2）①证明：由（1）可知，令，有或，()()()1e 1x g x x =+-()0g x ==1x -0x =故曲线与x 轴负半轴的唯一交点P 为．()y g x =()1,0-曲线在点处的切线方程为，()1,0P -()y h x =则，令，则，()()()11h x g x '=-+()()()F x g x h x =-()()()()11F x g x g x '=--+所以，．()()()()11e 2e x F x g x g x '''=-=+-()10F '-=当时，若，，1x <-(],2x ∈-∞-()0F x '<若，令，则，()2,1x --()1()e 2e x m x x =+-()()e 30xm x x '=+>故在时单调递增，．()F x '()2,1x ∈--()()10F x F ''<-=故，在上单调递减，()0F x '<()F x (),1-∞-当时，由知在时单调递增，1x >-()()e 30x m x x '=+>()F x '()1,x ∈-+∞，在上单调递增，()()10F x F ''>-=()F x ()1,-+∞设曲线在点处的切线方程为()y g x =()0,0令()()()()(1e x T x g x t x x =-=+当时，2x ≤-()()2e x T x x =+-'()()2e xn x x =+-设，∴()()1122,,,B x y C x y 1x 又1211,22AB x AC x =+=+依题意，即，则，0bc <02x >()()220220004482x y c x x b =+---因为，所以，2002y x =0022x b c x -=-所以，()()00000242248122424S b c x x x x x -⋅=-++≥-⋅+=-=-当且仅当，即时上式取等号，00422x x -=-04x =所以面积的最小值为8．PDE △方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．16．(1)2214x y +=(2)证明见解析(3)存在，7,,777⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+∞⎝⎭⎭ 【分析】（1）根据椭圆的对称性，得到三点在椭圆C 上．把的坐标代入椭圆234,,P P P 23,P P C ，求出，即可求出椭圆C 的方程；22,a b （2）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设，与椭圆方程联立，利():1l y kx t t =+≠用判别式、根与系数的关系，结合已知条件得到，能证明直线l 过定点；21t k =--()2,1-（3）利用点差法求出直线PQ 的斜率，从而可得直线PQ 的方程，与抛物线方程联14PQ k t =立，由，及点G 在椭圆内部，可求得的取值范围，设直线TD 的方程为，0∆>2t 1x my =+与抛物线方程联立，由根与系数的关系及，可求得m 的取值范围，进而可求得直线11DA TB k k =的斜率k 的取值范围．2l【详解】（1）根据椭圆的对称性，两点必在椭圆C 上，34331,,1,22P P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又的横坐标为1，4P ∴椭圆必不过，()11,1P ∴三点在椭圆C 上．()234330,1,1,,1,22P P P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭把代入椭圆C ，()3231,20,1,P P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭得，解得，222111314b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2241a b ⎧=⎨=⎩∴椭圆C 的方程为．2214x y +=（2）证明：①当斜率不存在时，设,，:l x m =()(),,,A A A m y B m y -∵直线与直线的斜率的和为，2P A 2P B 1-∴，221121A A P A P B y y k k m m m ----+=+==-解得m ＝2，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设,，，:l y kx t =+1t ≠()()1122,,,A x y B x y 联立，消去y 整理得，22440y kx tx y =+⎧⎨+-=⎩()222148440k x ktx t +++-=则，，122814kt x x k -+=+21224414t x x k -=+则()()()()222112************111111P A P B x y x y x kx t x kx t y y k k x x x x x x -+-+-++---+=+==,()()()()()()12121222222448218114141144411142t k k kx x t tk t k t k k t t x t x x x +-+=--⋅+-⋅-++===--+-+又，∴，此时，1t ≠21t k =--()()222222644144464161664k t k t k t k ∆=-+-=-+=-故存在k ，使得成立，0∆>∴直线l 的方程为，即21y kx k =--()12y k x +=-∴l 过定点．()2,1-（3）∵点P ，Q 在椭圆上，所以，，2214P P x y +=2214Q Q x y +=两式相减可得，()()()()04PQ P Q P Q P Q y xy x x x y y +-++-=又是线段PQ 的中点，()1,G t -∴，2,2P Q P Q x x x x t+=-=∴直线PQ 的斜率，()144P Q P QP Q P QPQ x x k ty y x y y x +==-=--+∴直线PQ 的方程为，与抛物线方程联立消去x 可得，()114y x t t =++()22164410y ty t -++=由题可知，∴，()2161210t ∆=->2112t >又G 在椭圆内部，可知，∴，故，2114t +<234t <213124t <<设，，由图可知，，221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭223434,,,44y y T y D y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2134,y y y y >>∴，()2121216,441y y t y y t +==+当直线TD 的斜率为0时，此时直线TD 与抛物线只有1个交点，不合要求，舍去，设直线TD 的方程为，与抛物线方程联立，消去x 可得，()10x my m =+≠2440y my --=∴，34344,4y y m y y +==-由，可知，即，11//ATB D 11DA TB k k =3142222234214444y y y y y y y y --=--∴，即，1342y y y y +=+1243y y y y -=-∴，()()221212343444y y y y y y y y +-=+-∵，()()()()()222212124161641161210,128y y y y t t t +-=-+=-∈∴，解得，即，()()223434416160,128y y y y m +-=+∈27m <()7,7m ∈-∴直线TD 即的斜率．2l 771,77,k m ⎛⎫⎛⎫=∈-∞- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+∞⎝⎭⎭ 思路点睛：处理定点问题的思路：（1）确定题目中的核心变量（此处设为），k （2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式，k (),0F x y =k ,x y （3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，()00,x y k 此时要将关于与的等式进行变形，直至找到，k ,x y ()00,x y ①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式k ()k ⋅子等于0，求出定点；②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数.k 17．(1)1y =-(2)2ln23-+【分析】（1）由题意，将代入函数的解析式中，对函数进行求导，得到1m =()f x ()f x 和，代入切线方程中即可求解；()1f '()1f （2）得到函数的解析式，对进行求导，利用根的判别式以及韦达定理对()g x ()g x 进行化简，利用换元法，令，，可得，12122()()y x x b x x =--+12x t x =01t <<2(1)ln 1t y t t -=-+根据，求出的范围，构造函数，对进行求导，利用导数得到322m ≥t 2(1)()ln 1t h t tt -=-+()h t 的单调性和最值，进而即可求解．()h t 【详解】（1）已知(为常数），函数定义域为，()ln f x x mx =-m (0,)+∞当时，函数，1m =()ln f x x x =-可得，此时，又，11()1x f x x x -'=-=()=01f '()11=f -所以曲线在点处的切线方程为，即.()y f x =()()1,1f (1)0(1)y x --=⨯-1y =-（2）因为，函数定义域为，22()2()2ln 2g x f x x x mx x =+=-+(0,)+∞可得，222(1)()22x mx g x m x x x -+=-+='此时的两根，即为方程的两根，()0g x '=1x 2x 210x mx -+=因为，所以，由韦达定理得，，322m ≥240m ∆=->12x x m +=121=x x 又，所以1212lnx x b x x =-121212121212ln 22()()()()xx y x x b x x x x x x x x =--=--++-，11211211222212()ln 2ln 1x x x x x x x x x x x x --=-=⨯-++令，，所以，12x t x =01t <<2(1)ln 1t y t t -=-+因为，整理得，2212()x x m +=22212122x x x x m ++=因为，则，121=x x 2221212122x x x x m x x ++=等式两边同时除以，得，12x x 212212=x x m x x ++可得，因为，212t m t ++=322m ≥所以，，152t t +≥()()2252=2210t t x x -+--≥解得或，则，12t ≤2t ≥102t <≤不妨设，函数定义域为，2(1)()ln 1t h t t t -=-+10,2⎛⎤⎥⎝⎦可得，22(1)()0(1)t h t t t -'=-<+所以函数在定义域上单调递减，()h t 此时，min 12()()ln223h t h ==-+故的最小值为．12122()()y x x b x x =--+2ln23-+利用导数求解在曲线上某点处的切线方程，关键点有两点，第一是切线的斜率，第二是切点。

高考必做的36道压轴题变式题答案

高考数学必做36道压轴题答案（解析几何部分）1-1 解：（Ⅰ）设双曲线的方程是12222=-by a x （0>a ，0>b ），则由于离心率2==ace ，所以a c 2=，223a b =．从而双曲线的方程为132222=-ay a x ，且其右焦点为F （a 2，0）．把直线MN 的方程a x y 2-=代入双曲线的方程，消去y 并整理，得074222=-+a ax x ．设M 11(,)x y ，N 22(,)x y ，则a x x 221-=+，22127a x x -=．由弦长公式，得212214)(2||x x x x MN -+⋅=)27(4)2(222a a ---⋅==6．所以1=a ，3322==a b ．从而双曲线的方程是1322=-y x ．（Ⅱ）由m kx y +=和1322=-y x ，消去y ，得032)3(222=----m kmx x k ．根据条件，得0)3)(3(442222>----=∆m k m k 且032≠-k ．所以 3322≠>+k m ．设A ),(33y x ，B ),(44y x ，则24332k km x x -=+，332243-+=k m x x ．由于以线段AB 为直径的圆过原点，所以04343=+y y x x ．即 0)()1(243432=++++m x x km x x k ．从而有03233)1(22222=+-⋅+-+⋅+m k km km k m k ，即22321m k =+．所以点Q 到直线l ：m kx y +=的距离为|11|2632|1|1|1|22mm m k m d +=+=++=．由 13222-=m k ≥0，解得 36136≤≤-m 且01≠m ．由 13222-=m k 3≠，解得 ≠m 166±．所以当26=m 时，d 取最大值226)361(26+=+，此时0=k ．因此d 的最大值为226+，此时直线l 的方程是26=y ． 1-2 解：（Ⅰ）设焦距为2c ，由已知可得1F 到直线l=2c = 所以椭圆C 的焦距为4．（Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，由题意知10y <，20y >，且直线l的方程为2).y x -联立22222),1y x x y ab ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得22224(3)30a b y y b +--=，解得12y y ==. 因为222AF F B =，所以122y y -=，即222222(22)(22)233a a a b a b+-=⋅++,得3a =．而224a b -=，所以b =故椭圆C 的方程为221.95x y += 2-1 解：（Ⅰ）因为c e a ==所以 22222213c a b e a a -=== ，即2223b a =，又b == 所以22b =,23a =，即a =b =（Ⅱ）解法1：由（1）知12,F F 两点分别为(1,0)-，(1,0)，由题意可设(1,)P t ．那么线段1PF 中点为(0,)2tN ，设(,)M x y ．由于(,)2tMN x y =--，1(2,)PF t --，则1,2(),2y t t MN PF x t y =⎧⎪⎨⋅=+-⎪⎩消去参数t ，得24y x =-,其轨迹为抛物线．解法2：如图，因为M 是线段1PF 垂直平分线上的点，所以1||||MP MF =，即动点M 到定点1F 的距离与的定直线1l 的距离相等，1F ，由抛物线的定义知，动点M 的轨迹是以定点以定直线1l 为准线的抛物线，易得其方程是24y x =-．2-2 解：（Ⅰ）设动点E 的坐标为(,)x y ，依题意可知1222y y x x ⋅=-+-，整理得221(2)2x y x +=≠±．所以动点E 的轨迹C 的方程为221(2)2x y x +=≠±．（II ）当直线l 的斜率不存在时，满足条件的点P 的纵坐标为0．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-．将(1)y k x =-代入2212x y +=并整理得， 2222(21)4220k x k x k +-+-=． 2880k ∆=+>．设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122421k x x k +=+， 21222221k x x k -=+．设MN 的中点为Q ，则22221Q k x k =+，2(1)21Q Q k y k x k =-=-+，所以2222(,)2121k kQ k k -++．由题意可知0k ≠，又直线MN 的垂直平分线的方程为22212()2121kk y x k k k +=--++．令0x =解得211212P k y k k k==++．当0k >时，因为12k k +≥0P y <≤=；当0k <时，因为12k k +≤-0P y >≥= 综上所述，点P纵坐标的取值范围是[． 3-1 解：（Ⅰ）由椭圆的定义可知，动点P 的轨迹是以A ，B为焦点，长轴长为所以1c =，a =22b =．所以W 的方程是22132x y +=．（Ⅱ）设C ，D 两点坐标分别为11(,)C x y 、22(,)D x y ，C ，D 中点为00(,)N x y ．当0k =时，显然0m =；当0k ≠时，由221,132y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得 22(32)630k x kx ++-=．所以122632k x x k +=-+，所以12023232x x kx k +==-+，从而0022132y kx k =+=+．所以MN 斜率2002232332MNy k k k x m m k +==---+．又因为CM DM =，所以CD MN ⊥，所以222132332k k k m k +=---+，即 212323k m k k k=-=-++6[,0)(0,]1212∈-．故所求m 的取范围是[]1212-． 3-2 解：（Ⅰ）依题意，c =1b =，所以a ．故椭圆C 的方程为2213x y +=．（Ⅱ）①当直线l 的斜率不存在时，由221,13x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1,x y ==．不妨设A ，(1,B ，因为132233222k k +=+=，又1322k k k +=，所以21k =，所以,m n 的关系式为213n m -=-，即10m n --=． ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-．将(1)y k x =-代入2213x y +=整理化简得，2222(31)6330k x k x k +-+-=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122631k x x k +=+,21223331k x x k -=+．又11(1)y k x =-，22(1)y k x =-．所以12122113121222(2)(3)(2)(3)33(3)(3)y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=---- 12211212[2(1)](3)[2(1)](3)3()9k x x k x x x x x x ---+---=-++121212122(42)()6123()9kx x k x x k x x x x -++++=-++222222223362(42)6123131336393131k k k k k k k k k k k -⨯-+⨯++++=--⨯+++ 222(126)2.126k k +==+所以222k =，所以2213n k m -==-，所以,m n 的关系式为10m n --=．综上所述，,m n 的关系式为10m n --=．4-1 解：（Ⅰ）设椭圆长半轴长及分别为a ，c ，由已知得，1,7.a c a c -=⎧⎨+=⎩解得a =4，c =3．所以椭圆C 的方程为221.167x y += （Ⅱ）设M （x ，y ），P(x ，1y )，其中[]4,4.x ∈- 由已知得222122.x y e x y+=+ 因为 34e =，所以 2222116()9().x y x y +=+由点P 在椭圆C 上得，221112716x y -=，化简得 29112y =．所以点M的轨迹方程为(44)3y x =±-≤≤，轨迹是两条平行于x 轴的线段．4-2（Ⅰ）解：因为A , B 两点关于x 轴对称，所以AB 边所在直线与y 轴平行．设M (x , y )，由题意，得(),(,3)A x B x x ，所以||,||AM y MB y -=，因为||||3AM MB ，所以)()3y y -⨯=，即2213y x -=，所以点M 的轨迹W 的方程为221(0)3y x x -=>．（Ⅱ）证明：设000(,)(0)M x y x >，因为曲线221(0)3y x x -=>关于x 轴对称，所以只要证明“点M 在x 轴上方及x 轴上时，2MQP MPQ ∠=∠”成立即可．以下给出“当00y ≥时，2MQP MPQ ∠=∠” 的证明过程．因为点M 在221(0)3y x x -=>上，所以01x ≥．当x 0=2时，由点M 在W 上，得点(2,3)M ，此时,||3,||3MQ PQ MQ PQ ⊥==，所以,42MPQ MQP ππ∠=∠=，则2MQP MPQ ∠=∠；当02x 时，直线PM 、QM 的斜率分别为0000,12PM QM y y k k x x ==+-，因为0001,2,0x x y ≥≠≥，所以0001PM y k x =≥+，且0011PM yk x =≠+，又tan PM MPQ k ∠=，所以(0,)2MPQ π∠∈，且4MPQ π∠≠，所以22tan tan 21(tan )MPQ MPQ MPQ ∠∠=-∠00002220000212(1)(1)1()1y x y x y x y x ⨯++==+--+，因为点M 在W 上，所以220013y x -=，即220033y x =-，所以tan 2MPQ ∠000220002(1)(1)(33)2y x y x x x +==-+---，因为tan QM MQP k ∠=-，所以tan tan 2MQP MPQ ∠=∠，在MPQ ∆中，因为(0,)2MPQ π∠∈，且4MPQ π∠≠，(0,)MQP π∠∈，所以2MQP MPQ ∠=∠．综上，得当00y ≥时，2MQP MPQ ∠=∠．所以对于轨迹W 的任意一点M ，2MQP MPQ ∠=∠成立．5-1 解：（Ⅰ）（ⅰ）由抛物线定义可知，抛物线上点(,2)M m 到焦点F 的距离与到准线距离相等，即(,2)M m 到2py =-的距离为3；所以 232p-+=，解得2p =．所以抛物线P 的方程为24x y =．（ⅱ）抛物线焦点(0,1)F ，抛物线准线与y 轴交点为(0,1)E -，显然过点E 的抛物线的切线斜率存在，设为k ，切线方程为1y kx =-．由241x y y kx ⎧=⎨=-⎩，消y 得2440x kx -+=， 216160k ∆=-=，解得1k =±．所以切线方程为1y x =±-．（Ⅱ）直线l 的斜率显然存在，设l ：2p y kx =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由222x py p y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩ 消y 得 2220x pkx p --=．且0∆>．所以 122x x pk +=，212x x p ⋅=-；因为 11(,)A x y ，所以直线OA ：11y y x x =，与2p y =-联立可得11(,)22px p C y --，同理得22(,)22px pD y --．因为焦点(0,)2pF ，所以 11(,)2px FC p y =--，22(,)2pxFD p y =--，所以 1212(,)(,)22px px FC FD p p y y ⋅=--⋅--22212121212224px px p x x p p y y y y =+=+2442221222212120422p x x p p p p p x x x x p p p=+=+=+=- 所以以CD 为直径的圆过焦点F ．5-2 解：（Ⅰ）如图，由题意得，22b c ==．所以b c ==2a =．所以所求的椭圆方程为22142x y +=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，C （2-，0），D （2，0）．由题意可设CM ：(2)y k x =+，P （1x ，1y ）．MD CD ⊥，∴M （2，4k ）．由 22142(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得:2222(12)8840k x k x k +++-=．因为21284212k x k --=+，所以2122412k x k-=+．所以1124(2)12k y k x k =+=+，222244(,)1212k kP k k-++．所以222222444(12)244121212k k k OM OP k k k k-+⋅=⋅+⋅==+++．即OM OP ⋅为定值．（Ⅲ）设0(,0)Q x ，则02x ≠-．若以MP 为直径的圆恒过DP ，MQ 的交点，则MQ DP ⊥，∴0MQ DP ⋅=恒成立．由（Ⅱ）可知0(2,4)QM x k =-，22284(,)1212k kDP k k -=++．所以202284(2)401212k kQM DP x k k k -⋅=-⋅+⋅=++．即2028012k x k =+恒成立．所以00x =．所以存在(0,0)Q 使得以MP 为直径的圆恒过直线DP ，MQ 的交点． 5-3 解：(I)直线l 的方程为210x y --=；(II) 由2222,21m x my x y m ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去x ，得222104m y my ++-=．（*）由2228(1)804m m m ∆=--=-+>，知28m <．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则由（*）式，有12212,21.82m y y m y y ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩由于1(,0)F c -，2(,0)F c ，且O 是12F F 的中点，依题意，由2AG GO =，2BH HO =，可知，11(,)33x y G ，22(,)33x yH ．若原点在以线段GH 为直径的圆内，则0OG OH ⋅<，即12120x x y y +<．而2222121212121()()(1)()2282m m m x x y y my my y y m +=+++=+-，所以21082m -<，即24m <．又由已知1m >，所以12m <<．即，实数m 的取值范围是(1,2)．5-4 解：（Ⅰ）设P （x ，y ）是曲线C 上任意一点，那么点P （x ，y ）满足：1(0)x x =>，化简得24(0)y x x =>．(Ⅱ)设过点M （m ，0）（m >0）的直线l 与曲线C 的交点为A 12(,)x y ，B 22(,)x y ．设直线l 的方程为x =ty +m ，由2,4x ty m y x=+⎧⎨=⎩得2440y ty m --=，△=16（2t +m ）>0，于是12124,4.y y t y y m +=⎧⎨=-⎩ ①又1122(1,),(1,)FA x y FB x y =-=-．0FA FB ⋅<1212(1)(1)x x y y ⇔--+=1212()x x x x -++1+120y y < ②又24y x =，于是不等式②等价于2222121212()104444y y y y y y ⋅+-++< 2212121212()1()210164y y y y y y y y ⎡⎤⇔+-+-+<⎣⎦ ③ 由①式，不等式③等价于22614m m t -+< ④对任意实数t ，24t 的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于2610m m -+<，即33m -<<+由此可知，存在正实数m ，对于过点M （m ，0）且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有0FA FB ⋅<，且m的取值范围(3-+．6-1 解：（Ⅰ）由题意，2221,,a c b a b c ⎧-=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得1a c ==．即：椭圆方程为.12322=+y x （Ⅱ）当直线AB 与x轴垂直时，AB =，此时AOB S ∆不符合题意故舍掉；当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为：)1(+=x k y ，代入消去y 得：2222(23)6(36)0k x k x k +++-=．设1122(,),(,)A x y B x y ，则212221226,2336.23k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩所以AB =．原点到直线的AB距离d =，所以三角形的面积12S AB d ==由224S k k =⇒=⇒=所以直线0AB l y -=或0AB l y +=．6-2 解：（I ）椭圆C 的方程为)0(12222>>=+b a b y a x，由已知得2222.c e a a a b c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得1,1a b c ===所以所求椭圆的方程为1222=+y x ．(II)由题意知l 的斜率存在且不为零，设l 方程为2(0)x my m =+≠ ①，将①代入1222=+y x ，整理得 22(2)420m y my +++=，由0>∆得2 2.m >设),(11y x E ，),(22y x F ，则1221224222m y y m y y m -⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩②由已知，12OBE OBF S S ∆∆=，则||1||2BE BF = 由此可知，2BF BE =，即212y y =，代入②得，12212432222m y m y m -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，消去1y 得222221629(2)2m m m ⋅=++ 解得，2187m =，满足22.m >即7m =±．所以，所求直线l的方程为71407140x x --=+-=或．7-1 解：（Ⅰ）设椭圆的方程为22221,(0)x y a b a b+=>>，由题意可得：椭圆C 两焦点坐标分别为1(1,0)F -，2(1,0)F ．所以532422a ==+=．所以2a =，又1c = 2413b =-=，故椭圆的方程为22143x y +=．（Ⅱ）当直线l x ⊥轴，计算得到：33(1,),(1,)22A B ---，21211||||32322AF B S AB F F ∆=⋅⋅=⨯⨯=，不符合题意．当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为：(1)y k x =+，由22(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得 2222(34)84120k x k x k +++-=，显然0∆>成立，设1122(,),(,)A x y B x y ，则221212228412,,3434k k x x x x k k -+=-⋅=++又||AB ==即2212(1)||34k AB k+==+，又圆2F的半径r ==所以2221112(1)||,22347AF Bk S AB r k ∆+==⨯==+ 化简，得4217180k k +-=，即22(1)(1718)0k k -+=，解得1k =±，所以，r ==故圆2F 的方程为：22(1)2x y -+=．（Ⅱ）另解：设直线l 的方程为 1x ty =-，由221143x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得 22(43)690t y ty +--=，0∆>恒成立，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12122269,,4343t y y y y t t+=⋅=-++ 所以12||y y -== 又圆2F的半径为r ==，所以21212121||||||27AF B S F F y y y y ∆=⋅⋅-=-==，解得21t =，所以r ==2F 的方程为：22(1)2x y -+=．7-2 （Ⅰ）解设直线PQ 的方程为)3(-=x k y ．由⎪⎩⎪⎨⎧-==+)3(,12622x k y y x 得，062718)13(2222=-+-+k x k x k ，依题意0)32(122>-=∆k ，得3636<<-k ．设),(),,(2211y x Q y x P ，则13182221+=+k k x x ， ①136272221+-=k k x x ． ②由直线PQ 的方程得 11(3)y k x =-，22(3)y k x =-．于是 ]9)(3[)3)(3(2121221221++-=--=x x x x k x x k y y ． ③ 因为0OP OQ ⋅=，所以 02121=+y y x x ． ④ 由①②③④得152=k ，从而)36,36(55-∈±=k ．所以直线PQ 的方程为035=--y x 或035=-+y x （Ⅱ）证法1 ),3(),,3(2211y x AQ y x AP -=-=．由已知得方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=-=-.126,126,),3(3222221212121y x y x y y x x λλ注意1>λ，解得λλ2152-=x ．因),(),0,2(11y x M F -，故),1)3((),2(1211y x y x FM -+-=--=λ),21(),21(21y y λλλλ--=--=．而2221(2,)(,)2FQ x y y λλ-=-=，所以FM FQ λ=-．证法2 （坐标法与几何证法结合）为使结论更具一般性，下面就椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，点A 的坐标为2(,0)a c进行证明（其中22c a b =+）．如图，对三角形PHA ∆应用梅涅劳斯定理，得1AQ PM HEQP MH EA⋅⋅=，又2PM MH =，所以，12AQ HE QP EA ⋅=，作QD x ⊥轴于D ，则，12AD HE DH EA ⋅=，（二维问题一维化）设),(),,(2211y x Q y x P ，0(,0)E x ，将上式用坐标表示，得2201221012a x x x c a x x x c--⋅=--，整理得，2201212122[()]()2a a x x x x x x x c c-+=⋅+-．（这个过程虽然复杂，但却表现出强烈的目标意识！下面的目标是非常明确的，即用解析几何的常规方法，求出12x x +与12x x ）显然，直线AP 不垂直x 轴，故可设直线AP 的方程为2()a y k x c=-，由22222(),1a y k x c x y ab ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y ，整理得，242622222222()0k a k a a k b x x a b c c +-+-=，所以，24122222*********,()().()k a x x c a k b k a abc x x c a k b ⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩222422122222222222()()()a a k a ab x xc c c a k b c a k b -+=-=++ 22242622212122222222222222()2()2()()a a k a k a abc a b x x x x c c c a k b c a k b a k b-⋅+-=⋅-=+++ 所以，222220222222()2a b c a k b x c a k b a b+=⋅=+．这说明，直线MQ 与x 轴的交点是椭圆的右焦点(,0)F c ．所以，若AP AQ λ=，即，AP AQλ=，则PH MH MFQD QD FQ λ===，即FM FQ λ=-．注：λ可以是一切正实数，当1λ=时，,P Q 重合． 8-1 解：（Ⅰ）由焦点F ( 1, 0 ) 在l 上, 得k = –21, 所以l : y = –21x +21．设点N( m , n ) , 则有: 11()()1,12112 1.22n m m n -⎧-=-⎪-⎨++⎪+=⎩解得1,53.5m n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩所以N (51, – 53)，因为54≠ ( –53)2 ，所以N 点不在抛物线C 上． (2) 把直线方程11--=kk y x 代入抛物线方程得: k 2y 2 + 4y + 4k +4 = 0 ，因为相交，所以△ = 16 (–k 2 – k + 1)≥ 0,解得251--≤ k ≤251+- 且k ≠ 0 ．由对称得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+-=⋅--1221110000k a x k y k a x y ,解得 x 0 =12)1(222+--k k k a (2511+-≤ k ≤251+-,且k ≠ 0)．当P 与M 重合时, a = 1,所以 f ( k ) = x 0 =13122+-k k = – 3 +142+k (2511+-≤ k ≤251+-, 且k ≠ 0), 因为函数x 0 = f ( k )(k ∈R)是偶函数，且k > 0时单调递减．所以当k =251--时， (x 0)min =5525+-, 1lim 00=→x k ，所以 x 0 ∈[5525+-，1)． 8-2 解：（Ⅰ）由33=a b ，22232121b a b a +⋅⋅=⋅ ，得3=a ，1=b ，所以椭圆方程是：1322=+y x ．（Ⅱ）设EF ：1-=my x （0>m ）代入1322=+y x ，得022)3(22=--+my y m ，设),(11y x E ，),(22y x F ，由DF ED 2=，得212y y -=．由322221+=-=+m m y y y ，32222221+-=-=m y y y ，得31)32(222+=+-m m m ，1=∴m ，1-=m （舍去），直线EF 的方程为：1-=y x 即01=+-y x ．（Ⅲ）将2+=kx y 代入1322=+y x ，得0912)13(22=+++kx x k （*）记),(11y x P ，),(22y x Q ，PQ 为直径的圆过)0,1(-D ，则QD PD ⊥，即0)1)(1(),1(),1(21212211=+++=+⋅+y y x x y x y x ，又211+=kx y ，222+=kx y ，得01314125))(12()1(221212=++-=+++++k k x x k x x k ．解得67=k ，此时（*）方程0>∆，所以存在67=k ，满足题设条件． 9-1 解：（Ⅰ）由题意知12c e a ==，所以22222214c a b e a a -===．即2243a b =．又因为b == 所以24a =，23b =．故椭圆C 的方程为22143x y +=．（Ⅱ）由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =-．由22(4),1.43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(43)3264120k x k x k +-+-=． ①设点11(,)B x y ，22(,)E x y ，则11(,)A x y -．直线AE 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--．令0y =，得221221()y x x x x y y -=-+．将11(4)y k x =-，22(4)y k x =-代入，整理，得12121224()8x x x x x x x -+=+-． ②由①得 21223243k x x k +=+，2122641243k x x k -=+代入② 整理，得1x =．所以直线AE 与x 轴相交于定点(1,0)Q ．（Ⅲ）当过点Q 直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为(1)y m x =-，且(,)M M M x y ，(,)N N N x y 在椭圆C 上．由22(1),1.43y m x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(43)84120m x m x m +-+-=．易知0∆>．所以22843M N m x x m +=+，2241243M N m x x m -=+， 22943M N m y y m =-+．则M N M N OM ON x x y y ⋅=+2225125334344(43)m m m +=-=--++．因为20m ≥，所以21133044(43)m -≤-<+．所以5[4,)4OM ON ⋅∈--．当过点Q 直线MN 的斜率不存在时，其方程为1x =．解得3(1,)2M -，3(1,)2N -．此时54OM ON ⋅=-．所以OM ON ⋅的取值范围是5[4,]4--．9-2 （Ⅰ）解：由题意可设抛物线的方程为22x py =(0)p ≠．因为点(,4)A a 在抛物线上，所以0p >．又点(,4)A a 到抛物线准线的距离是5，所以452p+=，可得2p =．所以抛物线的标准方程为24x y =．（Ⅱ）解：点F 为抛物线的焦点，则(0,1)F ．依题意可知直线MN 不与x 轴垂直，所以设直线MN 的方程为1y kx =+．由21,4.y kx x y =+⎧⎨=⎩ 得2440x kx --=．因为MN 过焦点F ，所以判别式大于零．设11(,)M x y ，22(,)N x y ．则124x x k +=，124x x =-．2121(,)MN x x y y =--2121(,())x x k x x =--．由于24x y =，所以'12y x =．切线MT 的方程为1111()2y y x x x -=-， ① 切线NT 的方程为2221()2y y x x x -=-． ② 由①，②，得1212(,)24x x x x T + 则1212(,1)(2,2)24x x x x FT k +=-=-．所以21212()2()0FT MN k x x k x x ⋅=---=．（Ⅲ）证明：2222(2)(2)44FTk k =+-=+．由抛物线的定义知 11MF y =+，21NF y =+．则12(1)(1)MF NF y y ⋅=++2121212(2)(2)2()4kx kx k x x k x x =++=+++244k =+．所以2FTMF NF =⋅．即FT 是MF 和NF 的等比中项．10-1 （Ⅰ）解：设椭圆G 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>．因为1(1,0)F -，145PFO ∠=︒，所以1bc ．所以 2222ab c ．所以椭圆G 的标准方程为2212x y +=．（Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ．（ⅰ）证明：由122,1.2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：22211(12)4220k x km x m +++-=．则2218(21)0k m ∆=-+>，1122211224,1222.12km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩所以||AB ===同理||CD =因为 ||||AB CD =, 所以=因为 12m m ≠，所以 120m m +=．（ⅱ）解：由题意得四边形ABCD 是平行四边形，设两平行线,AB CD 间的距离为d ,则1221m m dk．因为 120m m +=，所以 1221m dk．所以||S AB d =⋅=2221121k m m -++=≤=．（或S ==≤ 所以当221212k m +=时，四边形ABCD 的面积S取得最大值为10-2 （Ⅰ）解：依题意(1,0)F ，设直线AB 方程为1x my =+．将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得2440y my --=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，所以 124y y m +=，124y y =-． ① 因为 2AF FB =，所以 122y y =-． ②联立①和②，消去12,y y，得4m =±．所以直线AB的斜率是±．（Ⅱ）解：由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点，从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，所以四边形OACB 的面积等于2AOB S ∆．因为 12122||||2AOB S OF y y ∆=⨯⋅⋅-==所以 0m =时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4．11-1 解：（Ⅰ）由已知可得222214a b e a -==，所以2234a b = ① 又点3(1,)2M 在椭圆C 上，所以221914a b += ② 由①②解之，得224,3a b ==．故椭圆C 的方程为22143x y +=． (Ⅱ) 当0k =时，(0,2)P m 在椭圆C上，解得m =||OP = 当0k ≠时，则由22,1.43y kx m x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消y 化简整理得：222(34)84120k x kmx m +++-=，222222644(34)(412)48(34)0k m k m k m ∆=-+-=+-> ③设,,A B P 点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、、，则012012122286,()23434km m x x x y y y k x x m k k=+=-=+=++=++．由于点P 在椭圆C 上，所以 2200143x y +=．从而222222216121(34)(34)k m m k k +=++，化简得22434m k =+，经检验满足③式．又||OP =====因为102k <≤，得23434k <+≤，有2331443k ≤<+，2OP <≤．综上，所求OP的取值范围是． (Ⅱ)另解：设,,A B P 点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、、，由,A B 在椭圆上，可得2211222234123412x y x y ⎧+=⎨+=⎩①②①—②整理得121212123()()4()()0x x x x y y y y -++-+=③ 由已知可得OP OA OB =+，所以120120x x x y y y +=⎧⎨+=⎩④⑤由已知当1212y y k x x -=- ,即1212()y y k x x -=- ⑥把④⑤⑥代入③整理得0034x ky =- 与22003412x y +=联立消0x 整理得202943y k =+．由22003412x y +=得2200443x y =-，所以222222000002413||4443343OP x y y y y k =+=-+=-=-+，因为12k ≤，得23434k ≤+≤，有2331443k ≤≤+，OP ≤≤．所求OP的取值范围是． 11-2 解：（Ⅰ）因为椭圆M 上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为246+，所以24622+=+c a ，，即c a =，所以c =，所以3a =，c =所以1b =，椭圆M 的方程为1922=+y x ．（Ⅱ）方法一：不妨设BC 的方程(3),(0)y n x n =->，则AC 的方程为)3(1--=x ny ．由22(3),19y n x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得0196)91(2222=-+-+n x n x n ，设),(11y x A ，),(22y x B ，因为222819391n x n -=+，所以19327222+-=n n x ，同理可得2219327n n x +-=，所以1961||22++=n n BC ，222961||nn n n AC ++=， 964)1()1(2||||212+++==∆n n n n AC BC S ABC，设21≥+=nn t ，则22236464899t S t t t==≤++，当且仅当38=t 时取等号，所以ABC ∆面积的最大值为83．方法二：不妨设直线AB 的方程x ky m =+．由22,1,9x ky m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去x 得222(9)290k y kmy m +++-=，设),(11y x A ，),(22y x B ，则有12229km y y k +=-+，212299m y y k -=+． ①因为以AB 为直径的圆过点C ，所以 0CA CB ⋅=．由 1122(3,),(3,)CA x y CB x y =-=-，得 1212(3)(3)0x x y y --+=．将1122,x ky m x ky m =+=+代入上式，得 221212(1)(3)()(3)0k y y k m y y m ++-++-=．将 ① 代入上式，解得 125m =或3m =（舍）．所以125m =（此时直线AB 经过定点12(,0)5D ，与椭圆有两个交点），所以121||||2ABC S DC y y ∆=-12== 设211,099t t k =<≤+，则ABC S ∆=所以当251(0,]2889t =∈时，ABC S ∆取得最大值83． 12-1 解：（Ⅰ）因为四边形AMBN 是平行四边形,周长为8，所以两点,A B 到,M N 的距离之和均为4，可知所求曲线为椭圆．由椭圆定义可知，2,a c ==1b =，所求曲线方程为1422=+y x ．（Ⅱ）由已知可知直线l 的斜率存在，又直线l 过点(2,0)C -，设直线l 的方程为：(2)y k x =+，代入曲线方程221(0)4x y y +=≠，并整理得2222(14)161640k x k x k +++-=，点(2,0)C -在曲线上,所以D (228214k k -++,2414kk +)，(0,2)E k ,CD =2244(,)1414kk k++,(2,2)CE k =，因为OA //l ,所以设OA 的方程为y kx =．代入曲线方程，并整理得22(14)4k x +=，所以(A ．22222228814142441414k CD CE k k k OA k k+⋅++==+++，所以2CD CE OA ⋅为定值．12-2 解：（Ⅰ）由题意得2c a =① 因为椭圆经过点)21,26(P ，所以22221()221a b += ② 又222a b c =+ ③由①②③ 解得 22=a ，122==c b ．所以椭圆方程为2212x y +=．（Ⅱ）以OM 为直径的圆的圆心为(1,)2t ,半径r =方程为222(1)()124t t xy -+-=+，因为以OM 为直径的圆被直线3450x y --=截得的弦长为2，所以圆心到直线3450x y --=的距离d 2t=．所以32552t t--=，解得4t =．所求圆的方程为22(1)(2)5x y -+-=．（Ⅲ）方法一：过点F 作OM 的垂线，垂足设为K ，由平几知：2ONOK OM =．则直线OM ：2t y x =，直线FN ：2(1)y x t=--，由,22(1),t y x y x t ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩得244K x t =+．所以2M ONx x =22444422=⋅+⋅+=t t ．所以线段ON方法二：设00(,)N x y ，则 ),1(00y x FN -=，),2(t OM =，),2(00t y x MN --=，),(00y x ON =．因为 OM FN ⊥，所以 0)1(200=+-ty x ．所以 2200=+ty x ．又因为 ON MN ⊥，所以0)()2(0000=-+-t y y x x ，所以22002020=+=+ty x y x ．所以22020=+=y x 为定值．12-3 解：（Ⅰ）（ⅰ）因为圆O 过椭圆的焦点，圆O ：222x y b +=，所以b c =，所以2222b ac c =-=，所以222a c =，所以e =（ⅱ）由90APB ∠=及圆的性质，可得OP =，所以2222,OP b a =≤所以222a c ≤ 所以212e ≥，12e ≤<．（Ⅱ）设()()()001122,,,,,P x y A x y B x y ，则011011y y x x x y -=--整理得220011x x y y x y +=+ 因为22211x y b +=所以PA 方程为：211x x y y b +=，PB 方程为：222x x y y b +=．所以11x x y y +=22x x y y +，所以021210x y y x x y -=--,直线AB 方程为 ()0110x y y x x y -=--，即 200x x y y b +=．令0x =，得20b ON y y ==，令0y =，得2b OM x x ==，所以2222222220022442a y b x a b a b a b b bON OM ++===，所以2222a b ON OM+为定值，定值是22a b ． 13-1 解：（Ⅰ）由题意可知：222,c c e a a b c ⎧=⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩解得 1,2==b a ．所以椭圆的方程为：1422=+y x ．（II ）证明：由方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y y x 14220448)k 41222=-+++m kmx x 得（0)44)(41(4)8(222>-+-=∆m k km ，整理得01422>+-m k ，设),(),,(2221y x N x x M则22212214144,418km x x k km x x +-=+-=+．由已知，AN AM ⊥且椭圆的右顶点为)0,2(A ，所以1212(2)(2)0x x y y --+=，2212122121)())((m x x km x x k m kx m kx y y +++=++=，即04))(2()1(221212=+++-++m x x km x x k ，也即04418)2(4144))1(22222=+++-•-++-•+m kkmkm k m k ，整理得：01216522=++k mk m ，解得562k m k m -=-=或均满足01422>+-m k ．当k m 2-=时，直线的l 方程为k kx y 2-=，过定点（2，0）与题意矛盾舍去；当56k m -=时，直线的l 方程为)56(-=x k y ,过定点)0,56(．故直线l 过定点，且定点的坐标为)0,56(． 13-2 解：（I ）由题意可得OP OM ⊥，所以0OP OM ⋅=，即(,)(,4)0x y x -=，即240x y -=，即动点P 的轨迹W 的方程为24x y =．（II ）设直线l 的方程为4y kx =-,1122(,),(,)A x y B x y ，则11'(,)A x y -．由244y kx x y=-⎧⎨=⎩消y 整理得24160x kx -+=，则216640k ∆=->，即||2k >．12124,16x x k x x +==．直线212221':()y y A B y y x x x x --=-+，所以212221()y y y x x y x x -=-++，2222122121()4()4x x y x x x x x -=-++，222121221444x x x x x y x x --=-+，2112y 44x x x xx -=+，即2144x x y x -=+．所以，直线'A B 恒过定点(0,4)． 13-3 解：（Ⅰ）设动点M 的坐标为(,)x y ，|1|x =+，化简得24y x =，所以点M 的轨迹C 的方程为24y x =．（Ⅱ）设,A B 两点坐标分别为11(, )x y ，22(,)x y ，则点P 的坐标为1212(,)22x x y y ++．由题意可设直线1l 的方程为(1)y k x =- (0)k ≠，由24, (1),y x y k x ⎧=⎨=-⎩得2222(24)0k x k x k -++=． 2242(24)416160k k k ．因为直线1l 与曲线C 于,A B 两点，所以12242x x k +=+，12124(2)y y k x x k+=+-=．所以点P 的坐标为222(1, )k k+．由题知，直线2l 的斜率为1k-，同理可得点Q 的坐标为2(12,2)k k +-．当1k ≠±时，有222112k k+≠+，此时直线PQ 的斜率2222221112PQ kk k k k k k+==-+--．所以，直线PQ 的方程为222(12)1k y k x k k+=---，整理得2(3)0yk x k y +--=．于是，直线PQ 恒过定点(3, 0)E ；当1k =±时，直线PQ 的方程为3x =，也过点(3, 0)E ．综上所述，直线PQ 恒过定点(3, 0)E ．（Ⅲ）可求的||2EF ，所以FPQ ∆面积121||(2||)2(||)42||||S FE k k k k =+=+≥．当且仅当1k =±时，“=”成立，所以FPQ ∆面积的最小值为4． 14-1 解：（Ⅰ）由题意知：1c ．根据椭圆的定义得：22222(11)()22a ，即2a ．所以 2211b．所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=．（Ⅱ）假设在x 轴上存在点(,0)Q m ，使得716QA QB ⋅=-恒成立．当直线l 的斜率为0时，(A B ．则 7,0)(2,0)16m m ．解得 54m．当直线l 的斜率不存在时，(1,22A B -．由于52527(1,)(1,)424216，所以54m ．下面证明54m时，716QA QB ⋅=-恒成立．显然直线l 的斜率为0时，716QA QB ⋅=-．当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为：1xty ，1122,,,A x y B x y ．由221,21x y x ty 可得：22(2)210t y ty ．显然0∆．1221222,21.2t y y t y y t因为 111x ty ，221x ty ，所以 112212125511(,)(,)()()4444x y x y ty ty y y2121211(1)()416t y y t y y2221121(1)24216t t t t t22222172(2)1616t t t ．综上所述：在x 轴上存在点5(,0)4Q ，使得716QA QB ⋅=-恒成立． 14-2解：(Ⅰ)由题意可知2)(136abe -==，得 223b a =．因为1,1B()在椭圆上11122=+b a 解得：34422==b ,a ．故椭圆M 的方程为：143422=+y x ．（Ⅱ）由于PBQ ∠的平分线垂直于OA 即垂直于x 轴，故直线PB 的斜率存在设为k ，则QB 斜率为k -，因此PB ，QB 的直线方程分别为(1)1y k x =-+，(1)1y k x =--+．由⎪⎩⎪⎨⎧=++-=14341)1(22y x x k y 得01631631222=--+--+k k x )k (k x )k (①由0>∆ ，得31-≠k ．因为点B 在椭圆上，x =1是方程①的一个根，设),(),,(Q Q p p y x Q y x P所以22361131P k k x k --⋅=+，即2236131P k k x k --=+，同理1316322+-+=k k k x Q ．所以=PQk 311312213)13(22)(222=+--+-⋅=--+=--k k k k k k x x k x x k x x y y Q P Q P Q P Q P ．因为(2,0),(1,1)A C --，所以13AC k =，即 AC PQ k k =．所以向量AC //PQ ，则总存在实数λ使AC PQ λ=成立．15-1 解：（Ⅰ）因为ace ==22， 12122=+a b ，222c b a +=所以2=a ，2=b ，2=c所以14222=+y x ．（Ⅱ）设直线BD 的方程为b x y +=2所以⎩⎨⎧=++=42222y x bx y 0422422=-++⇒b bx x所以06482>+-=∆b 2222<<-⇒b,2221b x x -=+ ----① 44221-=b x x -----②因为12BD x =-===，设d 为点A 到直线BD ：b x y +=2的距离， ∴3b d =所以2)8(422122≤-==∆b b d BD S ABD ，当且仅当2±=b 时取等号．因为2±)22,22(-∈，所以当2±=b 时，ABD ∆的面积最大，最大值为2．（Ⅲ）设),(11y x D ，),(22y x B ，直线AB 、AD 的斜率分别为：AB k 、AD k ，则=+AB AD k k 122122121222112211--++--+=--+--x b x x b x x y x y=]1)(2[22212121++--++x x x x x x b ------*将（Ⅱ）中①、②式代入*式整理得]1)(2[22212121++--++x x x x x x b =0，即=+AB AD k k 0．15-2 解：（Ⅰ）设1122(,),(,)C x y D x y ，直线l 的方程为1(0)y kx k =+≠．由2244,1x y y kx ⎧+=⎨=+⎩得22(4)230k x kx ++-=， 222412(4)16480k k k ∆=++=+>，12224k x x k -+=+，12234x x k -=+，由已知1(,0),(0,1)E F k-，又CE FD =，所以11221(,)(,1)x y x y k---=- 所以121x x k --=，即211x x k+=-，所以2214k k k-=-+，解得2k =±，符合题意，所以，所求直线l 的方程为210x y -+=或210x y +-=．（Ⅱ）2121y k x =+，1211y k x =-，12:2:1k k =，所以2112(1)2(1)1y x y x -=+，平方得 22212212(1)4(1)y x y x -=+，又221114y x +=，所以22114(1)y x =-，同理22224(1)y x =-，代入上式，计算得2112(1)(1)4(1)(1)x x x x --=++，即121235()30x x x x +++=．假设满足条件的实数k 存在，则由（Ⅰ）得12224k x x k -+=+，12234x x k-=+．所以231030k k -+=，解得3k =或13k =，因为2112(1)2(1)1y x y x -=+，12,(1,1)x x ∈-，所以12,y y 异号，故舍去13k =，所以存在实数k ，使得12:2:1k k =，且3k =．16- 1 解：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由题意得22222191,41,2.a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎨=⎪⎪=+⎩解得24a =，23b =，故椭圆C 的方程为22143x y +=．（Ⅱ）因为过点(2, 1)P 的直线l 与椭圆在第一象限相切，所以l 的斜率存在，故可设直线l 的方程为(2)1y k x =-+．由221,43(2)1,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得222(34)8(21)161680k x k k x k k +--+--=． ① 因为直线l 与椭圆相切，所以222[8(21)]4(34)(16168)0k k k k k ∆=---+--=．整理，得32(63)0k +=．解得12k =-．所以直线l 方程为11(2)1222y x x =--+=-+．将12k =-代入①式，可以解得M 点横坐标为1，故切点M 坐标为3(1, )2．（Ⅲ）若存在直线1l 满足条件，设直线1l 的方程为1(2)1y k x =-+，代入椭圆C 的方程得22211111(34)8(21)161680k x k k x k k +--+--=．因为直线1l 与椭圆C 相交于不同的两点,A B ，设,A B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，所以222111111[8(21)]4(34)(16168)32(63)0k k k k k k ∆=---+--=+>．。

高考必做的道压轴题数学变式题 pdf版

所以
e2
c2 a2
a2 b2 a2
1 3
，即 b2 a2
2 3
，又 b
2 11
2，
所以 b2 2 , a2 3，即 a 3 ， b 2 ．
（Ⅱ）解法 1：
由（1）知 F1, F2 两点分别为 (1, 0) ， (1, 0) ，由题意可设 P(1,t) ．
那么线段
PF1
中点为
N
(0,
t 2
)
，
N (x2,
y2 ) ，则
x1
x2
4k 2 2k 2 1
，
x1x2
2k 2 2k 2
2 1
．
设 MN
的中点为 Q
，则
xQ
2k 2 2k 2 1 ，
yQ
k ( xQ
1)
k， 2k 2 1
所以 Q( 2k 2 , k ) ． 2k 2 1 2k 2 1
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上的离与
F1 ，
由题意可知 k 0 ，
当 k 0 时，显然 m 0 ；当 k 0 时，
y kx 1,
由
x
2
y2
3 2 1
得 (3k2 2)x2 6kx 3 0 ．
所以
x1
x2
6k 3k 2
2
，
所以 x0
x1
x2 2
3k ， 3k 2 2
从而
y0
kx0
1
2 3k 2
2
．
2
所以 MN
斜率 kMN
y0 x0 m
4
2
当 x0 ¹
2 时，直线 PM、QM 的斜率分别为 kPM

上海高考数学压轴题50道(有答案-精品)

高考压轴题目选（５０题）１．（函数）设32()log (f x x x =++，则对任意实数,a b ，“0a b +≥”是“()()0f a f b +≥”的条件。

２．（函数）设)22,22(),(y x y x y x f +-=为定义在平面上的函数，且+=2),{(x y x A }0,0,12≥≥≤y x y ，令}),(),({A y x y x f B ∈=，则B 所覆盖的面积为３．（函数）老师在黑板上写出了若干个幂函数。

他们都至少具备一下三条性质中的一条：（1）是奇函数；（2）在(,)-∞+∞上是增函数；（3）函数图像经过原点。

小明统计了一下，具有性质（1）的函数共10个，具有性质（2）的函数共6个，具有性质（3）的函数共有15个，则老师写出的幂函数共有个。

４．（函数）已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则1234_________.x x x x +++=５．（函数）已知函数()1).f x a =≠在区间(]0,1上是减函数，则实数a 的取值范围是６．（函数）方程x 2+2x －1＝0的解可视为函数y ＝x +2的图像与函数y ＝1x的图像交点的横坐标，若x 4+ax －4＝0的各个实根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点(x i ,4x i)（i ＝1,2,…,k ）均在直线y ＝x 的同侧，则实数a 的取值范围是７．（函数）如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动。

设顶点p （x ，y ）的轨迹方程是()y f x =，则()f x 的最小正周期为；()y f x =在其两个相邻零点间的图像与x 轴所围区域的面积为。

８．（三角函数）已知()sin (0)363f x x f f ωωπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，且()f x 在区间63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，有最小值，无最大值，则ω＝__________ ９．（三角函数）已知函数2ππ()sin sin 2cos 662x f x x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=++--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R ，（其中0ω>），若对任意的a ∈R ，函数()y f x =，(π]x a a ∈+，的图像与直线1=y 交点个数的最大值为2，则ω的取值范围为１０．（三角函数）已知方程x 2+33x+4=0的两个实根分别是x 1，x 2，则21a r c t a n a r c t a n x x += １１．（数列）设定义在*N 上的函数：(21)()()(2)2n n k f n n f n k =-⎧⎪=⎨=⎪⎩，其中*k N ∈，记(1)(2)(3)(4)(2)n n a f f f f f =+++++，则1n n a a +-=１２．（数列）在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2…P n 中，若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j （即前面某数大于后面某数），则称P i 与P j 构成一个逆序。

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1．椭圆的中心是原点O，它的短轴长为(,)0F c （0>c ）的准线l 与x 轴相交于点A ，2OF FA =，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点。

（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若0OP OQ ⋅=，求直线PQ 的方程；（3）设AP AQ λ=（1λ>），过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明FM FQ λ=-. (14分)2．已知函数)(x f 对任意实数x 都有1)()1(=++x f x f ，且当]2,0[∈x 时，|1|)(-=x x f 。

（1） )](22,2[Z k k k x ∈+∈时，求)(x f 的表达式。

（2）证明)(x f 是偶函数。

（3）试问方程01log )(4=+xx f 是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有实数根，请说明理由。

当3．（本题满分12分）如图，已知点F （0，1），直线L ：y=-2，及圆C ：1)3(22=-+y x 。

（1）若动点M 到点F 的距离比它到直线L 的距离小1，求动点M 的轨迹E 的方程；（2）过点F 的直线g（3）过轨迹E 上一点P 求点P 的坐标及S4.以椭圆222y ax+＝1试判断并推证能作出多少个符合条件的三角形.5 已知，二次函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c 及一次函数g （x ）＝－bx ，其中a 、b 、c ∈R ，a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0.（Ⅰ）求证：f （x ）及g （x ）两函数图象相交于相异两点；（Ⅱ）设f （x ）、g （x ）两图象交于A 、B 两点，当AB 线段在x 轴上射影为A 1B 1时，试求|A 1B 1|的取值范围.6 已知过函数f （x ）=123++ax x 的图象上一点B （1，b ）的切线的斜率为－3。

（1）求a 、b 的值；（2）求A 的取值范围，使不等式f （x ）≤A －1987对于x ∈[－1，4]恒成立；（3）令()()132++--=tx x x f x g 。

是否存在一个实数t ，使得当]1,0(∈x 时，g （x ）有最大值1？7 已知两点M （－2，0），N （2，0），动点P 在y 轴上的射影为H ，︱PH ︱是2和→→⋅PN PM 的等比中项。

（1）求动点P 的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线；（2）若以点M 、N 为焦点的双曲线C 过直线x+y=1上的点Q ，求实轴最长的双曲线C 的方程。

8．已知数列{a n }满足aa aa b a a a a a a a n nn n n n +-=+=>=+设,2),0(32211 （1）求数列{b n }的通项公式；（2）设数列{b n }的前项和为S n ，试比较S n 与87的大小，并证明你的结论. 9．已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点)2,0(A 为圆心，1为半径的圆相切，又知C 的一个焦点与A 关于直线x y =对称．（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线1+=mx y 与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，另一直线l 经过M （-2，0）及AB 的中点，求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围；（Ⅲ）若Q 是双曲线C 上的任一点，21F F 为双曲线C 的左，右两个焦点，从1F 引21QF F ∠的平分线的垂线，垂足为N ，试求点N 的轨迹方程．10. )(x f 对任意R x ∈都有.21)1()(=-+x f x f （Ⅰ）求)21(f 和)( )1()1(N n nn f nf ∉-+的值．（Ⅱ）数列{}n a 满足：n a =)0(f +)1()1()2()1(f nn f n f n f +-+++ ，数列}{n a 是等差数列吗？请给予证明；（Ⅲ）令.1632,,1442232221nS b b b b T a b n n n n n -=++++=-=试比较n T 与n S 的大小．11. ：如图，设OA 、OB 是过抛物线y 2＝2px 顶点O 的两条弦，且OA →·OB →＝0，求以OA 、OB 为直径的两圆的另一个交点P 的轨迹.(13分)12.知函数f (x )＝log 3(x 2－2mx ＋2m 2＋9m 2－3)的定义域为R(1)求实数m 的取值集合M ；(2)求证：对m ∈M 所确定的所有函数f (x )中，其函数值最小的一个是2，并求使函数值等于2的m 的值和x 的值.13.设关于x 的方程2x 2-tx-2=0的两根为),(,βαβα<函数f(x)=.142+-x tx (1). 求f()()βαf 和的值。

（2）。

证明：f(x)在[],βα上是增函数。

（3）。

对任意正数x 1、x 2,求证：βααββα-<++-++2)()(21212121x x x x f x x x x f14．已知数列{a n }各项均为正数，S n 为其前n 项的和.对于任意的*n N ∈，都有()241n n S a =+.I 、求数列{}n a 的通项公式.II 、若2n n tS ≥对于任意的*n N ∈恒成立，求实数t 的最大值.15.( 12分)已知点H （－3，0），点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ上，且满足HP ·PM =0，PM =－23MQ ，（1）当点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹C ；（2）过点T （－1，0）作直线l 与轨迹C 交于A 、B 两点，若在x 轴上存在一点E （x 0,0），使得△ABE 为等边三角形，求x 0的值.16.（14分）设f 1(x )=x+12,定义f n +1 (x )=f 1［f n (x )］,a n =2)0(1)0(+-n n f f ,其中n ∈N *.(1) 求数列｛a n ｝的通项公式；(2)若T 2n =a 1+2a 2+3a 3+…+2na 2n ,Q n =144422+++n n nn ,其中n ∈N *,试比较9T 2n 与Q n 的大小.17．已知→a =（x,0），→b =（1，y ），（→a +3→b ）⊥（→a –3→b ）．（I ）求点P （x ，y ）的轨迹C 的方程；（II ）若直线L ：y=kx+m(m ≠0)与曲线C 交于A 、B 两点，D （0，–1），且有 |AD|=|BD|，试求m 的取值范围．18．已知函数)(x f 对任意实数p 、q 都满足()()(),f p q f p f q +=⋅1(1).3f =且（1）当n N +∈时，求)(n f 的表达式；（2）设),()(+∈=N n n nf a n 求证：13;4nk k a =<∑（3）设1(1)(),,()nn n k k nf n b n N S b f n +=+=∈=∑试比较11nk kS =∑与6的大小． 19．已知函数),10(log )(≠>=a a x x f a 且若数列：),(),(,221a f a f …，)(42),(*∈+N n n a f n 成等差数列.（1）求数列}{n a 的通项n a ；（2）若}{,10n a a 数列<<的前n 项和为S n ，求n n S ∞→lim ；（3）若)(,2n n n a f a b a ⋅==令，对任意)(,1t fb N n n -*>∈都有,求实数t 的取值范围.20．已知△OFQ 的面积为.,62m FQ OF =⋅且（1）设θ的夹角与求向量FQ OF m ,646<<正切值的取值范围；（2）设以O 为中心，F 为焦点的双曲线经过点Q （如图），2)146(,||c m c OF -==，当||OQ 取得最小值时，求此双曲线的方程.（3）设F 1为（2）中所求双曲线的左焦点，若A 、B 分别为此双曲线渐近线l 1、l 2上的动点，且2|AB|=5|F 1F|，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.21、已知函数13)(2++=bx x x f 是偶函数，c x x g +=5)(是奇函数，正数数列{}n a 满足11211=+-+=++)a a a (g )a a (f ,a n n n n n n① 求{}n a 的通项公式；②若{}n a 的前n 项和为n S ，求n n S ∞→lim .22、直角梯形ABCD 中∠DAB ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝2，AD ＝23，BC ＝21．椭圆C 以A 、B 为焦点且经过点D ．（1）建立适当坐标系，求椭圆C 的方程；（2）若点E 满足EC 21=AB ，问是否存在不平行AB 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点且||||NE ME =，若存在，求出直线l 与AB 夹角的范围，若不存在，说明理由． 23、．设函数,241)(+=xx f （1）求证：对一切)1()(,x f x f R x -+∈为定值；（2）记*),()1()1()2()1()0(N n f nn f n f n f f a n ∈+-++++= 求数列}{n a 的通项公式及前n 项和.24. 已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数.当X ≥0时, )(x f =172++-x x x.(I) 求当X<0时, )(x f 的解析式;(II)试确定函数y =)(x f (X ≥0)在[)+∞,1的单调性，并证明你的结论.(III) 若21≥x 且22≥x ，证明：|)(1x f －)(2x f |<2.25、已知抛物线x y 42=的准线与x 轴交于M 点，过M 作直线与抛物线交于A 、B 两点，若线段AB 的垂直平分线与X 轴交于D (X 0,0) ⑴求X 0的取值范围。

⑵△ABD 能否是正三角形？若能求出X 0的值，若不能，说明理由。

26、已知□ABCD ，A （-2，0），B （2，0），且∣AD ∣=2 ⑴求□ABCD 对角线交点E 的轨迹方程。

⑵过A 作直线交以A 、B 为焦点的椭圆于M 、N 两点，且∣MN ∣=238，MN 的中点到Y 轴的距离为34，求椭圆的方程。

⑶与E 点轨迹相切的直线l 交椭圆于P 、Q 两点，求∣PQ ∣的最大值及此时l 的方程。

27．（14分）（理）已知椭圆)1(1222>=+a y ax ，直线l 过点A （－a ，0）和点B （a ，ta ）（t ＞0）交椭圆于M.直线MO 交椭圆于N.（1）用a ，t 表示△AMN 的面积S ；（2）若t ∈[1，2]，a 为定值，求S 的最大值.x28．已知函数f (x )=bx +cx +1的图象过原点，且关于点（-1，1）成中心对称. （1）求函数f (x )的解析式；（2）若数列{a n }（n ∈N*）满足：a n >0，a 1=1，a n +1= [f (a n )]2，求数列{a n}的通项公式a n ，并证明你的结论.30、已知点集},|),{(n m y y x L ⋅==其中),1,1(),1,2(+=-=b n b x m 点列),(n n n b a P 在L 中，1P 为L 与y 轴的交点，等差数列}{n a 的公差为1，+∈N n 。