2017-2018学年数学人教A版选修2-2优化练习：第二章 2.2 2.2.1 第2课时 分析法 Word版含解析
2017-2018学年高中新课标数学人教A版选修2-2：第二章
8．求证： ＋ ＞ .
证明：因为 ＋ 和 都是正数，
所以为了证明 ＋ ＞ ，
只需证明( ＋ )2＞( )2，
展开得5＋2 ＞5，即2 ＞0，
此式显然成立，
所以不等式 ＋ ＞ 成立．
上述证明过程应用了()
A．综合法
B．分析法
C．综合法、分析法配合使用
D．间接证法
解析：证明过程中的“为了证明……”，“只需证明……”这样的语句是分析法所特有的，是分析法的证明模式．
解析：由等差数列性质，有a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5.易知D成立．
答案：D
3．已知f(x＋1)＝ ，f(1)＝1(x∈N*)，猜想f(x)的表达式为()
A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x)＝ D．f(x)＝
解析：f(2)＝ ，f(3)＝ ，f(4)＝ ，猜想f(x)＝ .
答案：B
4．下列四类函数中，具有性质“对任意的x＞0，y＞0，函数f(x)满足[f(x)]y＝f(xy)”的是()
A．把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则有loga(x＋y)＝logax＋logay
B．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sinx＋siny
C．把a(b＋c)与ax＋y类比，则有ax＋y＝ax＋ay
D．把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有(xy)z＝x(yz)
解析：(xy)z＝x(yz)是乘法的结合律，正确．
A．a－b＞0 B．a－c＞0
C．(a－b)(a－c)＞0 D．(a－b)(a－c)＜0
解析：要证 ＜ a
只需证b2－ac＜3a2
∵a＋b＋c＝0，∴b＝－a－c
只需证(－a－c)2－ac＜3a2
【人教A版】2017-2018学年数学选修2-2优化练习：第二章 章末优化总结 Word版含解析
章末检测(二)时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．根据偶函数定义可推得“函数f (x )＝x 2在R 上是偶函数”的推理过程是( ) A ．归纳推理 B ．类比推理 C ．演绎推理D ．非以上答案解析：根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，故选C. 答案：C2．下面四个推理不是合情推理的是( ) A ．由圆的性质类比推出球的有关性质B ．由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°C ．某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分D ．蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的 解析：A 是类比推理，B 、D 是归纳推理，C 不是合情推理． 答案：C3．用三段论证明命题：“任何实数的平方大于0，因为a 是实数，所以a 2>0”，你认为这个推理( ) A ．大前提错误 B ．小前提错误 C ．推理形式错误D ．是正确的解析：这个三段论推理的大前提是“任何实数的平方大于0”，小前提是“a 是实数”，结论是“a 2>0”．显然结论错误，原因是大前提错误．答案：A4．设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (6)>52，f (8)>3，f (10)>72，观察上述结果，可推测出一般结论为( )A ．f (2n )＝n ＋22B ．f (2n )>n ＋22C ．f (2n )≥n ＋22D ．f (n )>n2解析：观察所给不等式，不等式左边是f (2n )，右边是n ＋22，故选B.答案：B5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，…，可归纳猜想出S n 的表达式为( )A.2n n ＋1B.3n －1n ＋1C.2n ＋1n ＋2D.2n n ＋2解析：由a 1＝1，得a 1＋a 2＝22a 2，∴a 2＝13，S 2＝43；又1＋13＋a 3＝32a 3，∴a 3＝16，S 3＝32＝64；又1＋13＋16＋a 4＝16a 4，得a 4＝110，S 4＝85；……由S 1＝22＝2×11＋1，S 2＝43＝2×22＋1，S 3＝64＝2×33＋1，S 4＝85＝2×44＋1，…，可以猜想S n ＝2nn ＋1.答案：A6．如果两个数之和为正数，则这两个数( ) A ．一个是正数，一个是负数 B ．两个都是正数 C ．至少有一个是正数 D ．两个都是负数解析：这两个数中至少有一个数是正数，否则，若这两个数都不是正数，则它们的和一定是非正数，这与“两个数之和为正数”相矛盾．答案：C7．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋1n －1＝2⎝⎛⎭⎫1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n 时，若已假设n ＝k (k ≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( )A ．n ＝k ＋1时等式成立B ．n ＝k ＋2时等式成立C ．n ＝2k ＋2时等式成立D ．n ＝2(k ＋2)时等式成立解析：因为假设n ＝k (k ≥2为偶数)，故下一个偶数为k ＋2，故选B. 答案：B8．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n 2(n 2＋1)3时，从n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是( )A ．(k －1)＋2kB ．(k ＋1)2＋k 2C ．(k ＋1)2D.13(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1] 解析：当n ＝k 时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k －1)2…＋22＋12，当n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12，∴从n ＝k 到n ＝k ＋1，左边应添加的式子为(k ＋1)2＋k 2. 答案：B9.如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于( )A.5＋12B.5－12C.5－1D.5＋1解析：如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则F (－c,0)，B (0，b )，A (a,0)．∴FB →＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )． 又∵FB →⊥AB →，∴FB →·AB →＝b 2－ac ＝0. ∴c 2－a 2－ac ＝0.∴e 2－e －1＝0.∴e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)，故应选A.答案：A10．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1324的过程中，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，不等式左边的变化情况为( )A ．增加12(k ＋1)B ．增加12k ＋1＋12(k ＋1)C ．增加1(k ＋1)＋(k ＋1)，减少1k ＋1D ．增加12(k ＋1)，减少1k ＋1解析：当n ＝k 时，不等式的左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k ，当n ＝k ＋1时，不等式的左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1(k ＋1)＋(k ＋1)，所以1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1(k ＋1)＋(k ＋1)－(1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k )＝1(k ＋1)＋(k ＋1)－1k ＋1，所以由n ＝k 到n ＝k ＋1时，不等式的左边增加1(k ＋1)＋(k ＋1)，减少1k ＋1.答案：C11．将石子摆成如图的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列{a n }的第2 012项与5的差，即a 2 012－5＝( )A ．2 018×2 012B ．2 018×2 011C ．1 009×2 012D ．1 009×2 011解析：由已知的图形我们可以得出图形的编号与图中石子的个数之间的关系为：n ＝1时，a 1＝2＋3＝12×(2＋3)×2；n ＝2时，a 2＝2＋3＋4＝12×(2＋4)×3……由此我们可以推断：a n ＝2＋3＋…＋(n ＋2)＝12×[2＋(n ＋2)]×(n ＋1)∴a 2 012－5＝12×[2＋(2 012＋2)]×(2 012＋1)－5＝1 008×2 013－5＝1 009×2 011，故选D.答案：D12．语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种．若A 同学每科成绩不低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好．”现有若干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好，并且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的．问满足条件的最多有多少学生( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：假设A 、B 两个同学的数学成绩一样，由题意知他们语文成绩不一样，这样他们的语文成绩总有人比另一个人高，语文成绩高的同学比另一个同学“成绩好”，与已知条件“他们之中没有一个比另一个成绩好”相矛盾．因此，没有任意两个同学数学成绩是相同的．同理，没有任意两个同学语文成绩是相同的．因为语文、数学两学科成绩各有3种，因而同学数量最大为3.即 3位同学成绩分别为(优秀，不合格)、(合格，合格)、(不合格，优秀)时满足条件．答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)13．已知x ，y ∈R ，且x ＋y <2，则x ，y 中至多有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________． 解析：“至多有一个大于1”包括“都不大于1和有且仅有一个大于1”，故其对立面为“x ，y 都大于1”． 答案：x ，y 都大于114．已知f (x )＝xe x ，定义f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝[f 1(x )]′，…，f n ＋1(x )＝[f n (x )]′，n ∈N.经计算 f 1(x )＝1－x e x ，f 2(x )＝x －2e x ，f 3(x )＝3－xe x，…，照此规律，则f n (x )＝________. 解析：观察各个式子，发现分母都是e x ，分子依次是－(x －1)，(x －2)，－(x －3)，(x －4)，…，括号前是(－1)n ，括号里是x －n ， 故f n (x )＝(－1)n (x －n )e x .答案：(－1)n (x －n )e x15．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列．解析：由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项之和仍成等差数列时，类比到等比数列为依次每4项的积的商成等比数列．即T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列． 答案：T 8T 4 T 12T 816．在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O -LMN ，如果用S 1、S 2、S 3表示三个侧面面积，S 表示截面面积，那么类比得到的结论是________．解析：类比如下：正方形⇔正方体；截下直角三角形⇔截下三侧面两两垂直的三棱锥；直角三角形斜边平方⇔三棱锥底面面积的平方；直角三角形两直角边平方和⇔三棱锥三个侧面面积的平方和，结论S 2＝S 21＋S 22＋S 23.证明如下：如图，作OE ⊥平面LMN ，垂足为E ，连接LE 并延长交MN 于F ，连接NE ，ME ，OF .∵LO ⊥OM ，LO ⊥ON ，∴LO ⊥平面MON ， ∵MN ⊂平面MON ，∴LO ⊥MN ，∵OE ⊥MN ，∴MN ⊥平面OFL ，∴S △OMN ＝12MN ·OF ，S △MNE ＝12MN ·FE ，S △MNL ＝12MN ·LF ，OF 2＝FE ·FL ，∴S 2△OMN ＝(12MN ·OF )2＝ (12MN ·FE )·(12MN ·FL )＝S △MNE ·S △MNL ，同理S 2△OML ＝S △MLE ·S △MNL ，S 2△ONL ＝S △NLE ·S △MNL ，∴S 2△OMN ＋S 2△OML ＋S 2△ONL ＝(S △MNE ＋S △MLE ＋S △NLE )·S △MNL ＝S 2△MNL ，即S 21＋S 22＋S 23＝S 2.答案：S 2＝S 21＋S 22＋S 23三、解答题(本大题共6小题，共74分，必要的解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)设a ，b ∈(0，＋∞)，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. 证明：要证a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2成立， 即需证(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )成立． 又因a ＋b >0，故只需证a 2－ab ＋b 2>ab 成立， 即需证a 2－2ab ＋b 2>0成立， 即需证(a －b )2>0成立．而依题设a ≠b ，则(a －b )2>0显然成立． 由此命题得证．18．(本小题满分12分)用综合法或分析法证明： (1)如果a ，b >0，则lg a ＋b 2≥lg a ＋lg b 2；(2)已知m ＞0，a ，b ∈R ，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m .证明：(1)当a ，b >0时，有a ＋b 2≥ab ，∴lga ＋b 2≥lg ab ，∴lg a ＋b 2≥12lg ab ＝lg a ＋lg b2. (2) ∵m ＞0，∴1＋m ＞0.所以要证原不等式成立， 只需证(a ＋mb )2≤(1＋m )(a 2＋mb 2)， 即证m (a 2－2ab ＋b 2)≥0，即证(a －b )2≥0，而(a －b )2≥0显然成立，故原不等式得证． 19. (本小题满分12分)已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)．(1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数； (2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负数根．证明：(1)任取x 1、x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，ax 2－x 1>1且ax 1>0， ∴ax 2－ax 1＝ax 1(ax 2－x 1－1)>0，又∵x 1＋1>0，x 2＋1>0， ∴x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝(x 2－2)(x 1＋1)－(x 1－2)(x 2＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)， 于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0，故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数． (2)设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0，则ax 0＝－x 0－2x 0＋1，且0<ax 0<1.∴0<－x 0－2x 0＋1<1，即12<x 0<2，与假设x 0<0矛盾．故方程f (x )＝0没有负数根．20．(本小题满分12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解析：(1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.21．(本小题满分13分) 设数列a 1，a 2，…，a n ，…中的每一项都不为0.证明{a n }为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N *，都有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝na 1a n ＋1.证明：先证必要性．设数列{a n }的公差为d .若d ＝0，则所述等式显然成立．若d ≠0，则1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 1a 1a 2＋a 3－a 2a 2a 3＋…＋a n ＋1－a n a n a n ＋1 ＝1d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫1a 1－1a 2＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a n ＋1＝a n ＋1－a 1da 1a n ＋1＝na 1a n ＋1. 再证充分性． (直接证法)依题意有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝n a 1a n ＋1，① 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＋1a n ＋1a n ＋2＝n ＋1a 1a n ＋2.② ②－①得1a n ＋1a n ＋2＝n ＋1a 1a n ＋2－n a 1a n ＋1，在上式两端同乘a 1a n ＋1a n ＋2，得a 1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ＋2.③ 同理可得a 1＝na n －(n －1)a n ＋1(n ≥2)，④ ③－④得2na n ＋1＝n (a n ＋2＋a n )， 即a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，⑤又由①当n ＝2时，得等式1a 1a 2＋1a 2a 3＝2a 1a 3，两端同乘a 1a 2a 3，即得a 1＋a 3＝2a 2，知a 3－a 2＝a 2－a 1，故⑤对任意n ∈N *均成立．所以{a n }是等差数列．22．(本小题满分13分)(2014·高考北京卷)对于数对序列P：(a1，b1)，(a2，b2)，…，(a n，b n)，记T1(P)＝a1＋b1，T k(P)＝b k＋max{T k－1(P)，a1＋a2＋…＋a k}(2≤k≤n)，其中max{T k－1(P)，a1＋a2＋…＋a k}表示T k－(P)和a1＋a2＋…＋a k两个数中最大的数．1(1)对于数对序列P：(2,5)，(4,1)，求T1(P)，T2(P)的值；(2)记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对(a，b)，(c，d)组成的数对序列P：(a，b)，(c，d)和P′：(c，d)，(a，b)，试分别对m＝a和m＝d两种情况比较T2(P)和T2 (P′)的大小；(3)在由五个数对(11,8)，(5,2)，(16,11)，(11,11)，(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5(P)最小，并写出T5(P)的值．(只需写出结论)．解析：(1)T1(P)＝2＋5＝7，T2(P)＝1＋max{T1(P)，2＋4}＝1＋max{7,6}＝8.(2)T2(P)＝max{a＋b＋d，a＋c＋d}，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}．当m＝a时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋d＋b.因为a＋b＋d≤c＋b＋d，且a＋c＋d≤c＋b＋d，所以T2(P)≤T2(P′)．当m＝d时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋a＋b.因为a＋b＋d≤c＋a＋b，且a＋c＋d≤c＋a＋b，所以T2(P)≤T2(P′)．所以无论m＝a还是m＝d，T2(P)≤T2(P′)都成立．(3)数对序列P：(4,6)，(11,11)，(16,11)，(11,8)，(5,2)的T5(P)值最小，T1(P)＝10，T2(P)＝26，T3(P)＝42，T4(P)＝50，T5(P)＝52.。
2018学年高中数学人教A版选修2-2习题 第2章 推理与证明2.2.2 含答案
选修2-2 第二章 2.2 2.2.2一、选择题1．用反证法证明命题“如果a>b>0，那么a2>b2”时，假设的内容应是导学号10510585 ()A．a2＝b2B．a2<b2C．a2≤b2D．a2<b2，且a2＝b2[答案] C2．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a、b、c中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是导学号10510586()A．假设a、b、c都是偶数B．假设a、b、c都不是偶数C．假设a、b、c至多有一个偶数D．假设a、b、c至多有两个是偶数[答案] B[解析]“至少有一个”的对立面是“一个都没有”．3．实数a、b、c不全为0等价于导学号10510587()A．a、b、c均不为0B．a、b、c中至多有一个为0C．a、b、c中至少有一个为0D．a、b、c中至少有一个不为0[答案] D[解析]“不全为0”的含义是至少有一个不为0，其否定应为“全为0”．4．下列命题错误的是导学号10510588()A．三角形中至少有一个内角不小于60°B．四面体的三组对棱都是异面直线C．闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点D．设a，b∈Z，若a，b中至少有一个为奇数，则a＋b是奇数[答案] D[解析]a＋b为奇数⇔a，b中有一个为奇数，另一个为偶数．故D错误．5．设a、b、c∈R＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是P、Q、R同时大于零的导学号 10510589( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 [答案] C[解析] 若P >0，Q >0，R >0，则必有PQR >0；反之，若PQR >0，也必有P >0，Q >0，R >0.因为当PQR >0时，若P 、Q 、R 不同时大于零，则P 、Q 、R 中必有两个负数，一个正数，不妨设P <0，Q <0，R >0，即a ＋b <c ，b ＋c <a ，两式相加得b <0，这与已知b ∈R ＋矛盾，因此必有P >0，Q >0，R >0.6．若m 、n ∈N *，则“a >b ”是“a m ＋n ＋b m ＋n >a n b m ＋a m b n ”的导学号 10510590( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] D [解析] a m＋n＋b m＋n－a n b m －a m b n ＝a n (a m －b m )＋b n (b m －a m )＝(a m －b m )(a n －b n )>0⇔⎩⎨⎧a m>b ma n >bn 或⎩⎨⎧a m <b ma n <bn，不难看出a >b ⇒/ a m ＋n ＋b m ＋n >a m b n ＋a n b m ，a m ＋n ＋b m ＋n >a m b n ＋b m a n ⇒/ a >b .二、填空题7．“x ＝0且y ＝0”的否定形式为________.导学号 10510591 [答案] x ≠0或y ≠0[解析] “p 且q ”的否定形式为“¬p 或¬q ”．8．和两条异面直线AB 、CD 都相交的两条直线AC 、BD 的位置关系是________.导学号 10510592[答案] 异面[解析] 假设AC 与BD 共面于平面 α，则A ，C ，B ，D 都在平面α内，∴AB ⊂α，CD ⊂α，这与AB ，CD 异面相矛盾，故AC 与BD 异面．9．在空间中有下列命题：①空间四点中有三点共线，则这四点必共面；②空间四点，其中任何三点不共线，则这四点不共面；③垂直于同一直线的两直线平行；④两组对边分别相等的四边形是平行四边形．其中真命题是______.导学号 10510593[答案] ①[解析] 四点中若有三点共线，则这条直线与另外一点必在同一平面内，故①真；四点中任何三点不共线，这四点也可以共面，如正方形的四个顶点，故②假；正方体交于同一顶点的三条棱所在直线中，一条与另两条都垂直，故③假；空间四边形ABCD 中，可以有AB ＝CD ，AD ＝BC ，例如将平行四边形ABCD 沿对角线BD 折起构成空间四边形，这时它的两组对边仍保持相等，故④假．三、解答题10．(2016·吉林高二检测)已知a ，b ，c ，d ∈R ，且a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数.导学号 10510594[解析] 假设a ，b ，c ，d 都是非负数， 因为a ＋b ＝c ＋d ＝1， 所以(a ＋b )(c ＋d )＝1，又(a ＋b )(c ＋d )＝ac ＋bd ＋ad ＋bc ≥ac ＋bd ，所以ac ＋bd ≤1， 这与已知ac ＋bd >1矛盾，所以a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．一、选择题1．已知a ，b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b 的位置关系为导学号 10510595( )A ．一定是异面直线B ．一定是相交直线C ．不可能是平行直线D ．不可能是相交直线[答案] C[解析] 假设c ∥b ，而由c ∥a ，可得a ∥b ，这与a ，b 异面矛盾，故c 与b 不可能是平行直线．故应选C.2．已知a 、b 、c ∈(0,1)．则在(1－a )b 、(1－b )c 、(1－c )a 中，导学号 10510596( ) A ．不能同时大于14B ．都大于14C ．至少一个大于14D ．至多有一个大于14[答案] A[解析] 证法1：假设(1－a )b 、(1－b )c 、(1－c )a 都大于14.∵a 、b 、c 都是小于1的正数，∴1－a 、1－b 、1－c 都是正数.(1－a )＋b2≥(1－a )b ＞14＝12， 同理(1－b )＋c 2＞12，(1－c )＋a 2＞12.三式相加，得(1－a )＋b 2＋(1－b )＋c 2＋(1－c )＋a 2＞32， 即32＞32，矛盾． 所以(1－a )b 、(1－b )c 、(1－c )a 不能都大于14.证法2：假设三个式子同时大于14，即(1－a )b >14，(1－b )c >14，(1－c )a >14，三式相乘得(1－a )b (1－b )c (1－c )a >⎝⎛⎭⎫143① 因为0<a <1，所以0<a (1－a )≤⎝⎛⎭⎫1－a ＋a 22＝14.同理，0<b (1－b )≤14，0<c (1－c )≤14.所以(1－a )a (1－b )b (1－c )c ≤⎝⎛⎭⎫143.② 因为①与②矛盾，所以假设不成立，故选A. 二、填空题3．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：导学号 10510597①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A ＝∠B ＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A 、∠B 、∠C 中有两个角是直角，不妨设∠A ＝∠B ＝90°. 正确顺序的序号排列为____________． [答案] ③①②[解析] 由反证法证明的步骤知，先反设即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②.4．(2016·郑州高二检测)设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b ＝1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2.其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是______(填序号).导学号 10510598 [答案] ③[解析] 对于①②④可举反例，说明条件不能推出结论，如①中：a ＝b ＝12，②中：a ＝b＝1，④中：a ＝－1，b ＝－2.对于③，反设a ，b 都小于等于1，则a ＋b ≤2与已知矛盾．∴假设不成立，故③正确． 三、解答题5.如图所示，在△ABC 中，AB >AC ，AD 为BC 边上的高，AM 是BC 边上的中线，求证：点M 不在线段CD 上.导学号 10510599[证明] 假设点M 在线段CD 上，则BD <BM ＝CM <CD ，且AB 2＝BD 2＋AD 2，AC 2＝AD 2＋CD 2，所以AB 2＝BD 2＋AD 2<BM 2＋AD 2<CD 2＋AD 2＝AC 2，即AB 2<AC 2，所以AB <AC .这与AB >AC 矛盾，故假设错误．所以点M 不在线段CD 上．6．已知数列{a n }满足：a 1＝12，3(1＋a n ＋1)1－a n ＝2(1＋a n )1－a n ＋1，a n a n ＋1<0(n ≥1)；数列{b n }满足：b n＝a 2n ＋1－a 2n (n ≥1).导学号 10510600(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；(2)证明：数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列． [解析] (1)由题意可知，1－a 2n ＋1＝23(1－a 2n )． 令c n ＝1－a 2n ，则c n ＋1＝23c n. 又c 1＝1－a 21＝34，则数列{c n }是首项为c 1＝34，公比为23的等比数列，即c n＝34·(23)n －1， 故1－a 2n ＝34·(23)n －1⇒a 2n ＝1－34·(23)n －1.又a 1＝12>0，a n a n ＋1<0，故a n ＝(－1)n－11－34·(23)n －1.b n ＝a 2n ＋1－a 2n ＝[1－34·(23)n ]－[1－34·(23)n －1]＝14·(23)n －1. (2)用反证法证明．假设数列{b n }存在三项b r ，b s ，b t (r <s <t )按某种顺序成等差数列，由于数列{b n }是首项为14，公比为23的等比数列，于是有b r >b s >b t ，则只可能有2b s ＝b r ＋b t 成立．∴2·14(23)s －1＝14(23)r －1＋14(23)t －1，两边同乘以3t －121－r ，化简得3t －r ＋2t －r ＝2·2s －r 3t －s .由于r <s <t ，∴上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾．故数列{b n }中任意三项不可能成等差数列．。
2017-2018学年数学人教A版选修2-2优化练习：第二章 2.3 数学归纳法 Word版含解析
[课时作业][A 组 基础巩固]1．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步检验第一个值n 0 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．0解析：边数最少的凸n 边形是三角形．答案：C2．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ·1·3…(2n －1)(n ∈N *)时，从“n ＝k 到n ＝k ＋1”左边需增乘的代数式为( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1 D.2k ＋3k ＋1解析：当n ＝k 时，左边＝(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )，当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )(k ＋1＋k )(2k ＋2)＝(k ＋1)·(k ＋2)·…·(k ＋k )(2k ＋1)×2，故需增乘的代数式为2(2k ＋1)．答案：B3．凸n 边形有f (n )条对角线，则凸n ＋1边形对角线的条数f (n ＋1)为( )A ．f (n )＋n ＋1B ．f (n )＋nC ．f (n )＋n －1D ．f (n )＋n －2解析：增加一个顶点，就增加n ＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f (n ＋1)＝f (n )＋1＋n ＋1－3＝f (n )＋n －1.故应选C.答案：C4．用数学归纳法证明34n ＋1＋52n ＋1(n ∈N)能被8整除时，当n ＝k ＋1时，对于34(k ＋1)＋1＋52(k ＋1)＋1可变形为( )A ．56·34k ＋1＋25(34k ＋1＋52k ＋1)B ．34·34k ＋1＋52·52k C ．34k ＋1＋52k ＋1 D ．25(34k ＋1＋52k ＋1) 解析：34(k ＋1)＋1＋52(k ＋1)＋1＝81×34k ＋1＋25×52k ＋1 ＝56×34k ＋1＋25(34k ＋1＋52k ＋1)． 答案：A5．已知f (n )＝1n －1＋1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( ) A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝1＋12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n ＋2项，当n ＝2时，f (2)＝1＋12＋13＋14D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝1＋12＋13＋14解析：由条件可知，f (n )共有项数为n 2－(n －1)＋1＝n 2－n ＋2项，且n ＝2时，f (2)＝11＋12＋13＋14.故选C. 答案：C6．凸k 边形内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和为f (k ＋1)＝f (k )＋________. 解析：将k ＋1边形A 1A 2…A k A k ＋1的顶点A 1与A k 相连，则原多边形被分割为k 边形A 1A 2…A k 与三角形A 1A k A k ＋1，其内角和f (k ＋1)是k 边形的内角和f (k )与△A 1A k A k ＋1的内角和π的和，即f (k ＋1)＝f (k )＋π.答案：π7．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n 3a n ＋1(n ∈N *)，依次计算出a 2，a 3，a 4后，归纳猜想得出a n 的表达式为________．解析：∵a 1＝2，a n ＋1＝a n 3a n ＋1， ∴a 2＝a 13a 1＋1＝27，a 3＝a 23a 2＋1＝213，a 4＝a 33a 3＋1＝219， 于是猜想a n ＝26n －5. 答案：a n ＝26n －5(n ∈N *) 8．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n 1＋a n(n ∈N *)． (1)计算a 2，a 3，a 4；(2)猜想a n 的表达式，并用数学归纳法证明．解析：(1)a 1＝1，a 2＝a 11＋a 1＝12， a 3＝a 21＋a 2＝13，a 4＝a 31＋a 3＝14. (2)由(1)的计算猜想：a n ＝1n.下面用数学归纳法进行证明：①当n ＝1时，a 1＝1，等式成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即a k ＝1k， 那么，a k ＋1＝a k 1＋a k ＝1k1＋1k＝1k ＋1， 即当n ＝k ＋1时等式也成立．由①②可知，对任意n ∈N *都有a n ＝1n. 9．用数学归纳法证明： 122＋132＋142＋…＋1n 2<1－1n (n ≥2，n ∈N *)． 证明：(1)当n ＝2时，左边＝122＝14， 右边＝1－12＝12. 因为14<12，所以不等式成立． (2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立，即122＋132＋142＋…＋1k 2<1－1k， 则当n ＝k ＋1时，122＋132＋142＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2<1－1k ＋1(k ＋1)2＝1－(k ＋1)2－k k (k ＋1)2＝1－k 2＋k ＋1k (k ＋1)2<1－k (k ＋1)k (k ＋1)2＝1－1k ＋1. 所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．综上所述，对任意n ≥2的正整数，不等式都成立．[B 组 能力提升]1．已知f (n )＝(2n ＋7)·3n ＋9，存在自然数m ，使得对任意n ∈N *，都能使m 整除f (n )，则最大的m 的值为( )A ．30B ．26C ．9D ．6解析：因为f (1)＝36＝4×9，f (2)＝108＝12×9，f (3)＝360＝40×9，所以f (1)，f (2)，f (3)都被9整除，推测最大的m 值为9.答案：C2．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是( )A ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立B ．若f (5)≥25成立，则当k ≤5时，均有f (k )≥k 2成立C ．若f (7)<49成立，则当k ≥8时，均有f (k )<k 2成立D ．若f (4)＝25成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立解析：对于A 项，f (3)≥9，加上题设可推出当k ≥3时，均有f (k )≥k 2成立，故A 项错误．对于B 项，要求逆推到比5小的正整数，与题设不符，故B 项错误．对于C 项，没有奠基部分，即没有f (8)≥82，故C 项错误．对于D 项，f (4)＝25≥42，由题设的递推关系，可知结论成立，故选D 项．答案：D3．对任意n ∈N *,34n ＋2＋a 2n ＋1都能被14整除，则最小的自然数a ＝________.解析：当n ＝1时，36＋a 3能被14整除的数为a ＝3或5，当a ＝3时且n ＝2时，310＋35不能被14整除，故a ＝5.答案：54．设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (4)＝________；当n ＞4时，f (n )＝________(用n 表示)．解析：f (2)＝0，f (3)＝2，f (4)＝5，f (5)＝9，每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数．∴f (3)－f (2)＝2，f (4)－f (3)＝3，f (5)－f (4)＝4，……f (n )－f (n －1)＝n －1.累加，得f (n )－f (2)＝2＋3＋4＋…＋(n －1)＝2＋(n －1)2(n －2)． ∴f (n )＝12(n ＋1)(n －2)．答案：5 12(n ＋1)(n －2) 5．试比较2n ＋2与n 2的大小(n ∈N *)，并用数学归纳法证明你的结论． 解析：当n ＝1时，21＋2＝4>n 2＝1，当n ＝2时，22＋2＝6>n 2＝4，当n ＝3时，23＋2＝10>n 2＝9，当n ＝4时，24＋2＝18>n 2＝16，由此可以猜想，2n ＋2>n 2(n ∈N *)成立．下面用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，所以左边>右边，所以原不等式成立．当n ＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边；当n ＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边．不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥3，且k ∈N *)时，不等式成立，即2k ＋2>k 2，那么当n ＝k ＋1时，2k ＋1＋2＝2·2k ＋2＝2(2k ＋2)－2>2k 2－2. 又因：2k 2－2－(k ＋1)2＝k 2－2k －3＝(k －3)(k ＋1)≥0，即2k 2－2≥(k ＋1)2，故2k ＋1＋2>(k ＋1)2成立． 原不等式成立．根据(1)和(2)知，原不等式对于任何n ∈N *都成立．6．已知等差数列{a n }的公差d 大于0，且a 2，a 5是方程x 2－12x ＋27＝0的两根，数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ＝1－12b n . (1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，试比较1b n与S n ＋1的大小，并说明理由． 解析：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝12，a 2a 5＝27.因为{a n }的公差大于0，所以a 5>a 2， 所以a 2＝3，a 5＝9.所以d ＝a 5－a 23＝9－33＝2，a 1＝1，即a n ＝2n －1. 因为T n ＝1－12b n ，所以b 1＝23. 当n ≥2时，T n －1＝1－12b n －1， 所以b n ＝T n －T n －1＝1－12b n －(1－12b n －1)， 化简得b n ＝13b n －1. 所以{b n }是首项为23，公比为13的等比数列， 即b n ＝23·(13)n －1＝23n . 所以a n ＝2n －1，b n ＝23n . (2)因为S n ＝1＋(2n －1)2×n ＝n 2， 所以S n ＋1＝(n ＋1)2，1b n ＝3n 2. 下面比较1b n与S n ＋1的大小： 当n ＝1时，1b 1＝32，S 2＝4，所以1b 1<S 2， 当n ＝2时，1b 2＝92，S 3＝9，所以1b 2<S 3， 当n ＝3时，1b 3＝272，S 4＝16，所以1b 3<S 4， 当n ＝4时，1b 4＝812，S 5＝25，所以1b 4>S 5， 猜想：n ≥4时，1b n>S n ＋1. 下面用数学归纳法证明：①当n ＝4时，已证．②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥4)时1b k>S k ＋1， 即3k 2>(k ＋1)2， 那么，1b k ＋1＝3k ＋12＝3·3k 2>3(k ＋1)2＝3k 2＋6k ＋3＝(k2＋4k＋4)＋2k2＋2k－1>[(k＋1)＋1]2＝S(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，1b n>S n＋1也成立．由①②可知，对任何n∈N*，n≥4，1b n>S n＋1都成立．综上所述，当n＝1,2,3时，1b n<S n＋1；当n≥4时，1b n>S n＋1.。
数学人教A版选修2-2优化练习第二章 2.2 2.2.1 第1课时 综合法 Word版含解析
[课时作业][组基础巩固]．对任意的锐角α、β，下列不等式关系中正确的是( )．(α＋β)＞α＋β．(α＋β)＞α＋β．(α＋β)＞α＋β．(α＋β)＜α＋β解析：∵α、β为锐角，∴＜α＜α＋β＜π，∴α＞(α＋β)，又β＞，∴α＋β＞(α＋β)．答案：．在不等边三角形中，为最长边，要想得到∠为钝角的结论，三边，，应满足条件( )．＝＋．＜＋．≤＋．＞＋解析：由余弦定理得：＝＜，故＋－＜，∴＞＋.答案：．设＝＋，＝(＜)，则与大小关系为( )．＜．＞．≤．＝解析：＝＋＝，＝，当＜时，＜＜.∴＞.答案：．四面体中，棱、、两两垂直，则点在底面内的射影一定是△的( )．外心．内心．垂心．重心解析：如图，设点是点在底面内的射影，并连接，则⊥面.连接并延长交于点.由已知易得⊥.又∵⊥面，∴⊥.∴⊥面，∴⊥.∴在的高线上，同理在，的高线上．答案：．不相等的三个正数，，成等差数列，并且是，的等比中项，是，的等比中项，则，，三数( )．成等比数列而非等差数列．成等差数列而非等比数列．既成等差数列又成等比数列．既非等差数列又非等比数列解析：由已知条件，可得②＝. ③))由②③得代入①，得＋＝，即＋＝.故，，成等差数列．又由①得＝>＝·所以>·，故，，不成等比数列．答案：．设、是两个不共线的向量，＝＋，＝＋，若、、三点共线，则＝.解析：∵、、三点共线，∴存在λ使＝λ，即＋＝λ(＋)．∴λ＝，＝.答案：．已知α＋β＋γ＝，α＋β＋γ＝.则(α－β)＝.解析：∵α＋β＋γ＝，α＋β＋γ＝，∴α＋β＝－γ α＋β＝－γ))，两式平方相加得：＋( αβ＋αβ)＝，∴(α－β)＝－.答案：－．设>，>，则下面两式的大小关系为(＋)[(＋)＋(＋)]．解析：∵(＋)－(＋)(＋)＝＋＋－－－－＝－(＋)＝－(－)≤，∴(＋)≤(＋)(＋)，∴(＋)≤[(＋)＋(＋)]．答案：≤。
2018学年数学人教A版选修2-2优化练习：第二章 2.2 2.2.2 反证法
[课时作业] [A 组 基础巩固]1．命题“△ABC 中，若∠A ＞∠B ，则a ＞b ”的结论的否定应该是( ) A ．a ＜b B ．a ≤b C ．a ＝bD ．a ≥b解析：“a ＞b ”的否定应为“a ＝b 或a ＜b ”，即a ≤b .故应选B. 答案：B2．用反证法证明命题：“a ，b ，c ，d ∈R ，a ＋b ＝1，c ＋d ＝1，且ac ＋bd ＞1，则a ，b ，c ，d 中至少有一个负数”时的假设为( )A ．a ，b ，c ，d 全都大于等于0B ．a ，b ，c ，d 全为正数C ．a ，b ，c ，d 中至少有一个正数D ．a ，b ，c ，d 中至多有一个负数解析：至少有一个负数的否定是一个负数也没有，即a ，b ，c ，d 全都大于等于0. 答案：A3．“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”的否定正确的为( ) A ．a ，b ，c 都是奇数 B ．a ，b ，c 都是偶数 C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数解析：自然数a ，b ，c 的奇偶性共有四种情形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1个偶数；(3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数．所以否定正确的是a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数．答案：D4．给定一个命题“已知x 1＞0，x 2≠1且x n ＋1＝x 3n ＋3x n3x 2n ＋1，证明对任意正整数n 都有x n ＞x n ＋1”，当此题用反证法否定结论时应是( )A ．对任意正整数n 有x n ≤x n ＋1B ．存在正整数n 使x n ≤x n ＋1C ．存在正整数n 使x n ＞x n ＋1D ．存在正整数n 使x n ≥x n －1且x n ≥x n ＋1解析：“对任意正整数n 都有x n ＞x n ＋1”的否定为“存在正整数n 使x n ≤x n ＋1”． 答案：B5．设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则三数a ＋1b ，c ＋1a ，b ＋1c中( )A ．都不大于－2B ．都不小于－2C ．至少有一个不大于－2D ．至少有一个不小于－2解析：⎝⎛⎭⎫a ＋1b ＋⎝⎛⎭⎫c ＋1a ＋⎝⎛⎭⎫b ＋1c ＝⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＋⎝⎛⎭⎫c ＋1c ∵a ，b ，c ∈(－∞，0)，∴a ＋1a ＝－⎣⎡⎦⎤－a ＋⎝⎛⎭⎫－1a ≤－2，b ＋1b ＝－⎣⎡⎦⎤－b ＋⎝⎛⎭⎫－1b ≤－2， c ＋1c ＝－⎣⎡⎦⎤－c ＋⎝⎛⎭⎫－1c ≤－2， ∴⎝⎛⎭⎫a ＋1b ＋⎝⎛⎭⎫c ＋1a ＋⎝⎛⎭⎫b ＋1c ≤－6， ∴三数a ＋1b 、c ＋1a 、b ＋1c 中至少有一个不大于－2，故应选C.答案：C6．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是________________________________________________________________________．解析：“至少有一个”的否定是“没有一个”． 答案：没有一个是三角形或四边形或五边形7．△ABC 中，若AB ＝AC ，P 是△ABC 内的一点，∠APB >∠APC ，求证∠BAP <∠CAP .用反证法证明时的假设为________．解析：反证法对结论的否定是全面否定，∠BAP <∠CAP 的对立面是∠BAP ＝∠CAP 或∠BAP >∠CAP . 答案：∠BAP ＝∠CAP 或∠BAP >∠CAP8．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A ＝∠B ＝90°不成立； ②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A ，∠B ，∠C 中有两个角是直角，不妨设∠A ＝∠B ＝90°. 正确顺序的序号排列为________．解析：由反证法证明的步骤知，先反证即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②.答案：③①②9．已知a ≥－1，求证以下三个方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实数解． 证明：假设三个方程都没有实根，则三个方程中：它们的判别式都小于0，即：⎩⎪⎨⎪⎧(4a )2－4(－4a ＋3)＜0(a －1)2－4a 2＜0(2a )2＋4×2a ＜0⇒⎩⎨⎧－32＜a ＜12a ＞13或a ＜－1－2＜a ＜0⇒－32＜a ＜－1，这与已知 a ≥－1矛盾，所以假设不成立，故三个方程中至少有一个方程有实数解．10．求证：不论x ，y 取何非零实数，等式1x ＋1y ＝1x ＋y 总不成立．证明：假设存在非零实数x ，y 使得等式1x ＋1y ＝1x ＋y 成立．于是有y (x ＋y )＋x (x ＋y )＝xy ， 即x 2＋y 2＋xy ＝0， 即(x ＋y 2)2＋34y 2＝0.由y ≠0，得34y 2>0.又(x ＋y2)2≥0，所以(x ＋y 2)2＋34y 2>0.与x 2＋y 2＋xy ＝0矛盾，故原命题成立．[B 组 能力提升]1．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中一位获奖，有人走访了这四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解析：若甲获奖，则甲、乙、丙、丁四位歌手说的话都是假的，同理可推出乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙．答案：C2．若△ABC 能被一条直线分成两个与自身相似的三角形，那么这个三角形的形状是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．不确定解析：分△ABC 的直线只能过一个顶点且与对边相交，如直线AD (点D 在BC 上)，则∠ADB ＋∠ADC ＝π，若∠ADB 为钝角，则∠ADC 为锐角．而∠ADC >∠BAD ，∠ADC >∠ABD ，△ABD 与△ACD 不可能相似，与已知不符，只有当∠ADB ＝∠ADC ＝∠BAC ＝π2时，才符合题意．答案：B3．已知数列{a n }，{b n }的通项公式分别为a n ＝an ＋2，b n ＝bn ＋1(a ，b 是常数)，且a >b ，那么两个数列中序号与数值均相同的项有________个．解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n 使得a n ＝b n ，由题意a >b ，n ∈N *，则恒有an >bn ，从而an ＋2>bn ＋1恒成立，∴不存在n 使a n ＝b n .答案：04．完成反证法证题的全过程．设a 1，a 2，…，a 7是1,2，…，7的一个排列，求证：乘积p ＝(a 1－1)(a 2－2)…(a 7－7)为偶数．证明：假设p 为奇数，则a 1－1，a 2－2，…，a 7－7均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝________＝________＝0.但0≠奇数，这一矛盾说明p 为偶数．解析：据题目要求及解题步骤，因为a 1－1，a 2－2，...，a 7－7均为奇数， 所以(a 1－1)＋(a 2－2)＋...＋(a 7－7)也为奇数． 即(a 1＋a 2＋...＋a 7)－(1＋2＋...＋7)为奇数． 又因为a 1，a 2，...，a 7是1,2，...，7的一个排列， 所以a 1＋a 2＋...＋a 7＝1＋2＋...＋7，故上式为0. 所以奇数＝(a 1－1)＋(a 2－2)＋...＋(a 7－7) ＝(a 1＋a 2＋...＋a 7)－(1＋2＋...＋7)＝0. 答案：(a 1－1)＋(a 2－2)＋...＋(a 7－7) (a 1＋a 2＋...＋a 7)－(1＋2＋ (7)5．已知a ，b ，c 都是小于1的正数，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 中至少有一个不大于14.证明：假设(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 都大于14，即(1－a )b ＞14，(1－b )c ＞14，(1－c )a ＞14.∵a ，b ，c 都是小于1的正数， ∴(1－a )b ＞12，(1－b )c ＞12，(1－c )a ＞12，∴(1－a )b ＋(1－b )c ＋(1－c )a ＞32.(*)又∵(1－a )b ≤1－a ＋b2，(1－b )c ≤1－b ＋c2，(1－c )a ≤1－c ＋a2，∴(1－a )b ＋(1－b )c ＋(1－c )a ≤1－a ＋b 2＋1－b ＋c 2＋1－c ＋a 2＝3－(a ＋b ＋c )＋(a ＋b ＋c )2＝32(当且仅当1－a ＝b,1－b ＝c,1－c ＝a ，即a ＝b ＝c ＝12时，等号成立)，与(*)式矛盾．∴假设不成立，原命题成立，故(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 中至少有一个不大于14.6．求证：抛物线上任取四个不同点所组成的四边形不可能是平行四边形．证明：如图，设抛物线方程为 y 2＝2px (p ＞0)，在抛物线上任取四个不同点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)， 则y 2i ＝2px i (i ＝1,2,3,4)， 于是直线AB 的斜率为k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝2py 1＋y 2， 同理：k BC ＝2p y 3＋y 2，k CD ＝2p y 4＋y 3，k DA ＝2py 1＋y 4.假设四边形ABCD 为平行四边形， 则有k AB ＝k CD ，k BC ＝k DA ，即有⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋y 1＝y 4＋y 3 ①y 3＋y 2＝y 1＋y 4 ②①－②得y 1－y 3＝y 3－y 1， ∴y 1＝y 3，同理y 2＝y 4， 则x 1＝y 212p ＝y 232p ＝x 3，同理x 2＝x 4，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝x 3y 1＝y 3，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x 4y 2＝y 4.显然A，C重合，B，D重合．这与A，B，C，D为抛物线上任意四点矛盾，故假设不成立．∴四边形ABCD不可能是平行四边形.赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321AC1F B正方形ABCD中，∠EAF=45°∠1=12∠BAD推导说明：1.1在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且∠FAE＝45°，求证：EF＝BE+DF45°DBa+b-aa 45°A BE1.2在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且EF＝BE+DF，求证：∠FAE＝45°DBa+b-aa 45°A BE挖掘图形特征：a+bx-aa 45°D Ea +b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM .（1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．DE2.如图，△ABC 是边长为3的等边三角形，△BDC 是等腰三角形，且∠BDC =120°．以D 为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，求△AMN 的周长．3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.DC变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．AB CFEDCDC。
2017-2018学年人教A版高中数学选修2-2课时达标训练 2-
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课时达标训练1.下面使用类比推理恰当的是( )A.“若a·3=b·3,则a=b”类比出“若a·0=b·0,则a=b”B.“(a+b)c=ac+bc”类比出“(a·b)c=ac·bc”C.“(a+b)c=ac+bc”类比出“=+(c≠0)”D.“(ab)n=a n b n”类比出“(a+b)n=a n+b n”【解析】选C.A项,结论“若a·0=b·0,则a=b”错误,故A项不符合题意;B项,结论“(a·b)c=ac·bc”错误,故B项不符合题意;C项,结论“=+(c≠0)”正确,且推理前后形式类似,是恰当的类比推理,故C项符合题意;D项,结论“(a+b)n=a n+b n”错误,故D项不符合题意.2.命题“在平行四边形ABCD中,=+”,据此,运用类比推理在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中,可得出结论为________.【解析】根据类比推理的原则,平行四边形类比为平行六面体,对角线类比为体对角线,即向量,+可类比成++,故结论为=++.答案:=++3.顺次计算数列:1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+3+2+1,…的前4项的值,由此猜测:a n=1+2+3+…+(n-1) +n+(n-1)+…+3+2+1的结果.【解析】1=12,1+2+1=4=22,1+2+3+2+1=9=32,1+2+3+4+3+2+1=16=42.从而猜想:a n=1+2+3+…+(n-1)+n+(n-1)+…+3+2+1=n2.4.如图所示,在三棱锥S-ABC中,SA⊥SB,SB⊥SC,SA⊥SC,且SA,SB,SC 和底面ABC所成的角分别为α1,α2,α3,三个侧面△SBC,△SAC,△SAB 的面积分别为S1,S2,S3,类比三角形中的正弦定理,给出空间情形的一个猜想.【解析】在一个三角形中,各边长和它所对角的正弦的比相等,即==,类比三角形,我们可以猜想在三棱锥中,各侧面的面积和它所对角α1,α2,α3的正弦的比相等,即==.关闭Word文档返回原板块。
2018学年数学人教A版选修2-2优化练习：第二章212.1.2演绎推理
[课时作业 ][A 组基础稳固]1．“ π是无穷不循环小数，因此π是无理数”，以上推理的大前提是()A．实数分为有理数和无理数B．无理数是无穷不循环小数C．无穷不循环小数都是无理数D．有理数都是有限循环小数分析：由三段论的知识可知，其大前提是：无穷不循环小数都是无理数．答案： C2．推理：“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③因此三角形不是矩形”中的小前提是()A ．①B．②C．③D．①②分析：由①②③的关系知，小前提应为“三角形不是平行四边形”．故应选B.答案： B3．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内全部直线；已知直线 b 在平面α外，直线 a 在平面α内，直线b∥平面α，则直线b∥直线 a”的结论明显是错误的，这是由于()A ．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误分析：直线平行平面α，则该直线与平面内的直线平行或异面，故大前提错误．答案： A4．某西方国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，因此参议员先生是鹅”．结论明显是错误的，这是由于()A ．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误分析：推理形式不切合三段论推理的形式．三段论的形式是：M 是 P， S 是 M，则 S 是 P，而上边的推理形式则是：M 是 P，S 是 P，则 S 是 M.应选 C.答案： C5．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不可；事不可，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；因此，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是()A ．类比推理B．概括推理C．演绎推理D．一次三段论分析：这是一个复合三段论，从“ 名不正” 推出“ 民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．答案： C6．已知推理：“由于△ ABC 的三边长挨次为 3、 4、 5，因此△ ABC 是直角三角形”，若将其恢复成完好的三段论，则大前提是 ________．分析：题中推理的依照是勾股定理的逆定理．答案：一条边的平方等于其余两边平方和的三角形是直角三角形．7．以下推理中，错误的序号为________．①∵ ab＝ ac，∴ b＝ c；②∵ a≥ b，b>c，∴ a>c；③∵ 75 不可以被 2 整除，∴ 75 是奇数；④∵ a∥ b，b⊥平面α，∴ a⊥ α.分析：当 a＝ 0 时， ab＝ ac，但 b＝ c 未必建立．答案：①8．求函数 y＝log 2x－ 2的定义域时，第一步推理中大前提是a存心义时， a≥ 0，小前提是log2 x－2有意义，结论是________．分析：由三段论方法知应为log 2x－ 2≥ 0.答案： log2x－ 2≥ 09．判断以下几个推理能否正确？为何？(1)“由于过不共线的三点有且仅有一个平面(大前提 )，而 A，B， C 为空间三点 (小前提 )，因此过 A， B，C 三点只好确立一个平面(结论 )．”(2)“由于金属铜、铁、铝可以导电 (大前提 )，而金是金属 (小前提 )，因此金能导电 (结论 )．”分析：(1) 不正确．小前提错误．由于若三点共线，则可确立无数平面，只有不共线的三点才能确立一个平面．(2)不正确．推理形式错误．由于演绎推理是从一般到特别的推理，铜、铁、铝仅是金属的代表，是特别案例，从特别到特别的推理不是演绎推理．10.以下图，从 A 地出发到河畔饮完马再到 B 地去，在河畔哪个地方饮马可使路途最短？分析：如图，先作点 A 对于 MN 的对称点A′，连结 BA′，交 MN于点P，P点即为所求．用演绎法证明以下：以下图，在 MN 上任取一点P′ (异于点 P)，连结 AP′、A′ P′、BP′，则 AP′＝ P′ A′，AP ＝PA′，进而 AP′＋P′ B＝ A′P′＋ P′ B＞A′ P＋ PB＝ AP＋ PB .由此可知： A 到 B 经 P 点距离最短．[B 组能力提高]1．命题“有些有理数是无穷循环小数，整数是有理数，因此整数是无穷循环小数”是假命题，推理错误的原由是 ()A．使用了概括推理B．使用了类比推理C．使用了“三段论”，但大前提使用错误D．使用了“三段论”，但小前提使用错误分析：应用了“ 三段论” 推理，小前提与大前提不对应，小前提使用错误致使结论错误．答案：D2．设⊕是R 内的一个运算， A 是R 的非空子集．若对于随意a， b∈ A，有a⊕ b∈A，则称 A 对运算⊕关闭．以下数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都关闭的是( )A ．自然数集B．整数集C．有理数集D．无理数集分析： A 错，由于自然数集对减法不关闭； B 错，由于整数集对除法不关闭； C 对，由于随意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除法(除数不等于零)四则运算都关闭； D 错，由于无理数集对加、减、乘、除法都不关闭．答案： C3．甲、乙、丙三位同学被问到能否去过A， B，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市；乙说：我没去过 C 城市．丙说：我们三个去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________．分析：由甲、丙的回答易知甲去过 A 城市和 C 城市，乙去过 A 城市或 B 城市，联合丙的回答可得乙去过 A城市．答案： A4．已知函数f(x)知足： f(1) ＝1， 4f(x)f(y)＝ f(x＋ y)＋ f(x－ y)(x， y∈ R)，则 f(2 010)＝ ________. 4分析：令 y＝1 得 4f(x) ·f(1) ＝ f(x＋ 1)＋ f(x－ 1)，即 f(x)＝ f(x＋ 1)＋ f(x－ 1)①令 x 取 x＋ 1 则 f(x＋ 1)＝ f(x＋ 2)＋ f(x) ②由①②得f(x) ＝f(x＋ 2)＋ f(x)＋ f(x－ 1) ，即 f( x－1)＝－ f(x＋2)，∴f(x)＝－ f(x＋ 3)，∴f( x＋3)＝－ f(x＋ 6)，∴f(x)＝ f( x＋6) ，即 f(x)周期为 6，。
数学人教A版选修2-2优化练习第二章 章末优化总结 Word版含解析
章末检测(二)时间：分钟满分：分一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．根据偶函数定义可推得“函数()＝在上是偶函数”的推理过程是( )．类比推理．归纳推理．非以上答案．演绎推理解析：根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，故选.答案：．下面四个推理不是合情推理的是( )．由圆的性质类比推出球的有关性质．由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是°，归纳出所有三角形的内角和都是°．某次考试张军的成绩是分，由此推出全班同学的成绩都是分．蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的解析：是类比推理，、是归纳推理，不是合情推理．答案：．用三段论证明命题：“任何实数的平方大于，因为是实数，所以>”，你认为这个推理( )．小前提错误．大前提错误．是正确的．推理形式错误解析：这个三段论推理的大前提是“任何实数的平方大于”，小前提是“是实数”，结论是“>”．显然结论错误，原因是大前提错误．答案：．设为正整数，()＝＋＋＋…＋，计算得()＝，()>，()>，()>，()>，观察上述结果，可推测出一般结论为( )．()>．()＝．()>．()≥解析：观察所给不等式，不等式左边是()，右边是，故选.答案：．已知数列{}的前项和为，且＝，＝(∈*)，计算，，，，…，可归纳猜想出的表达式为( )解析：由＝，得＋＝，∴＝，＝；又＋＋＝，∴＝，＝＝；又＋＋＋＝，得＝，＝；……由＝＝，＝＝，＝＝，＝＝，…，可以猜想＝.答案：．如果两个数之和为正数，则这两个数( )．一个是正数，一个是负数．两个都是正数．至少有一个是正数．两个都是负数解析：这两个数中至少有一个数是正数，否则，若这两个数都不是正数，则它们的和一定是非正数，这与“两个数之和为正数”相矛盾．答案：．已知为正偶数，用数学归纳法证明－＋－＋…＋＝时，若已假设＝(≥为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( )．＝＋时等式成立．＝＋时等式成立．＝＋时等式成立．＝(＋)时等式成立解析：因为假设＝(≥为偶数)，故下一个偶数为＋，故选.答案：．用数学归纳法证明＋＋…＋(－)＋＋(－)＋…＋＋＝时，从＝到＝＋时，等式左边应添加的式子是( )．(－)＋．(＋)＋．(＋)(＋)[(＋)＋]解析：当＝时，左边＝＋＋…＋(－)＋＋(－)…＋＋，当＝＋时，左边＝＋＋…＋(－)＋＋(＋)＋＋(－)＋…＋＋，∴从＝到＝＋，左边应添加的式子为(＋)＋.答案：.如图所示，椭圆中心在坐标原点，为左焦点，当⊥时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率等于( )。
2018学年数学人教A版选修2-1优化练习：第二章 2.2 2.2.2 第1课时 椭圆的简单几何性质
[A 组 基础巩固]1．椭圆6x 2＋y 2＝6长轴端点坐标为【 】A ．【－1,0】，【1,0】B ．【－6,0】，【6,0】C ．【－6，0】，【6，0】D ．【0，－6】，【0，6】解析：方程化为x 2＋y 26＝1， ∴a 2＝6，a ＝6，长轴端点坐标为【0，±6】．答案：D2．正数m 是2和8等比中项，则椭圆x 2＋y 2m ＝1离心率为【 】 A.32 B. 5 C.32或52 D.32或 5解析：由题意得m 2＝2×8＝16，∵m 是正数，∴m ＝4，∴c 2＝4－1＝3，∴c ＝3，∴e ＝32.故选A.答案：A3．若P 是以F 1，F 2为焦点椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1【a >b >0】上一点，且PF 1→·PF 2→＝0，tan ∠PF 1F 2＝12，则此椭圆离心率为【 】 A.53 B.23 C.13 D.12解析：在Rt △PF 1F 2中，设PF 2＝1，则PF 1＝2，F 1F 2＝5，故此椭圆离心率e ＝2c 2a ＝53.答案：A4．椭圆C 1：x 225＋y 29＝1和椭圆C 2：x 29－k ＋y 225－k＝1【0＜k ＜9】有【 】 A ．等长长轴B ．相等焦距C ．相等离心率D ．等长短轴解析：对椭圆C 1，c 1＝a 21－b 21＝4，对椭圆C 2，∵0＜k ＜9，∴25－k ＞9－k ＞0.其焦点在y 轴上，∴c 2＝25－k －(9－k )＝4，故选B答案：B5．若椭圆中心在原点，对称轴为坐标轴，长轴长为23，离心率为33，则该椭圆方程为【】A.x212＋y28＝1B.x212＋y28＝1或y212＋x28＝1C.x23＋y22＝1D.x23＋y22＝1或y23＋x22＝1解析：由题意知a＝3，又∵e＝33，∴c＝1，∴b2＝a2－c2＝3－1＝2，所求椭圆方程为x23＋y22＝1或y23＋x22＝1.故选D.答案：D6．已知椭圆中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为12，焦距为8，则该椭圆方程是________．解析：由题意知，2c＝8，c＝4，∴e＝ca＝4a＝12，∴a＝8，从而b2＝a2－c2＝48，∴方程是y264＋x248＝1.答案：y264＋x248＝17．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1有两个顶点在直线x＋2y＝2上，则此椭圆焦点坐标是________．解析：直线与x轴，y轴交点分别为A【2,0】，B【0,1】，由题意a＝2，b＝1，椭圆方程为x24＋y2＝1，c2＝a2－b2＝3，故椭圆焦点坐标为【±3，0】．答案：【±3，0】8．过椭圆x2a2＋y2b2＝1【a>b>0】左焦点F1作x轴垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则该椭圆离心率为________．解析：如图所示，在Rt△PF1F2中，|F 1F 2|＝2c ，∴|PF 1|＝2c 3，|PF 2|＝4c 3. 由椭圆定义知2c 3＋4c 3＝2a ， ∴e ＝c a ＝33.答案：339．设椭圆方程为mx 2＋4y 2＝4m 【m >0】离心率为12，试求椭圆长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标．解析：椭圆方程可化为x 24＋y 2m ＝1.【1】当0<m <4时，a ＝2，b ＝m ，c ＝4－m ，∴e ＝c a ＝4－m 2＝12，∴m ＝3，∴b ＝3，c ＝1，∴椭圆长轴长和短轴长分别是4,23，焦点坐标为F 1【－1,0】，F 2【1,0】，顶点坐标为A 1【－2,0】，A 2【2，0】，B 1【0，－3】，B 2【0，3】．【2】当m >4时，a ＝m ，b ＝2，∴c ＝m －4，∴e ＝c a ＝m －4m＝12，解得m ＝163， ∴a ＝433，c ＝233，∴椭圆长轴长和短轴长分别为833，4，焦点坐标为F 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－233，F 2⎝⎛⎭⎪⎫0，233，顶点坐标为A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－433，A 2⎝⎛⎭⎪⎫0，433，B 1【－2,0】，B 2【2,0】． 10．已知椭圆x 2k ＋8＋y 29＝1离心率e ＝32，求k 值． 解析：【1】当椭圆焦点在x 轴上时，a 2＝k ＋8，b 2＝9，得c 2＝k －1.由e ＝32，可得k －1k ＋8＝34，即k ＝28.【2】当椭圆焦点在y 轴上时，a 2＝9，b 2＝k ＋8，得c 2＝1－k .由e ＝32，得1－k 9＝34，即k ＝－234.故满足条件k 值为k ＝28或－234.[B 组 能力提升]1．我国发射“神舟六号”载人航天飞船运行轨道是以地球中心为一个焦点椭圆，设其近地点A 距地面为n 千米，远地点B 距地面为m 千米，地球半径为R 千米，则飞船运行轨道短轴长为【 】A ．2(m ＋R )(n ＋R )千米B.(m ＋R )(n ＋R )千米 C ．mn 千米 D ．2mn 千米解析：设运行轨道长半轴长为a ，焦距为2c ，由题意，可得⎩⎨⎧a －c ＝n ＋R ，a ＋c ＝m ＋R ，解得a ＝m ＋n 2＋R ，c ＝m －n 2，故b ＝a 2－c 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 2＋R 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫m －n 22 ＝R 2＋(m ＋n )R ＋mn ＝(m ＋R )(n ＋R ).即2b ＝2(m ＋R )(n ＋R ).答案：A2.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1【a >b >0】左、右焦点为F 1，F 2，过F 2直线与圆x 2＋y 2＝b 2相切于点A ，并与椭圆C 交于不同两点P ，Q ，如图，若A ，F 2为线段PQ 三等分点，则椭圆离心率为【 】A.23B.33C.53D.73 解析：连接PF 1，由题意知OA ＝b ，∴|PF 1|＝2b ，∴|PF 2|＝2a －2b ，∴|AF 2|＝a －b .在Rt △OAF 2中有b 2＋【a －b 】2＝c 2，将b 2＝a 2－c 2代入整理得3a 2－3c 2－2a a 2－c 2＝0，即3－3e 2＝21－e 2，即9e 4－14e 2＋5＝0，解得e 2＝59或e 2＝1【舍去】，∴e ＝53.故选C.答案：C3．已知椭圆长轴长为20，离心率为35，则该椭圆标准方程为________．解析：由条件知，2a ＝20，c a ＝35，∴a ＝10，c ＝6，b ＝8，故标准方程为x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x 264＝1.答案：x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x 264＝14．【2015·高考浙江卷】椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1【a ＞b ＞0】右焦点F 【c,0】关于直线y ＝b c x 对称点Q 在椭圆上，则椭圆离心率是________．解析：设椭圆另一个焦点为F 1【－c,0】，如图，连接QF 1，QF ，设QF 与直线y ＝b c x 交于点M .由题意知M 为线段QF 中点，且OM ⊥FQ .又O 为线段F 1F 中点，∴F 1Q ∥OM ，∴F 1Q ⊥QF ，|F 1Q |＝2|OM |.在Rt △MOF 中，tan ∠MOF ＝|MF ||OM |＝b c ，|OF |＝c ，可解得|OM |＝c 2a ，|MF |＝bc a ，故|QF |＝2|MF |＝2bc a ，|QF 1|＝2|OM |＝2c 2a .由椭圆定义得|QF |＋|QF 1|＝2bc a ＋2c 2a ＝2a ，整理得b ＝c ，∴a ＝b 2＋c 2＝2c ，故e ＝c a ＝22. 答案：225．已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1【a >b >0】左、右焦点，点P 在椭圆上，且∠F 1PF 2＝π2.记线段PF 1与y 轴交点为Q ，O 为坐标原点，若△F 1OQ 与四边形OF 2PQ 面积之比为1∶2，求该椭圆离心率．解析：依题知，F 1P ⊥F 2P ，所以△F 1QO ∽△F 1F 2P ，因为△F 1OQ 与四边形OF 2PQ 面积之比为1∶2，所以SF 1OQ SF 1F 2P ＝13，所以OF 1F 1P ＝13，设椭圆焦距为2c ， 则F 1P ＝3c ，F 2P ＝F 1F 22－F 1P 2＝c ，由椭圆定义可得：3c ＋c ＝2a ，所以，e ＝c a ＝23＋1＝3－1.6.如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1【a >b >0】上顶点为A ，左顶点为B ，F 为右焦点，过F 作平行于AB 直线交椭圆于C 、D 两点．作平行四边形OCED ，E 恰在椭圆上．【1】求椭圆离心率；【2】若平行四边形OCED 面积为6，求椭圆方程．解析：【1】∵焦点为F 【c,0】，AB 斜率为b a ， 故CD 方程为y ＝b a 【x －c 】．与椭圆联立后消去y 得2x 2－2cx －b 2＝0.∵CD 中点为G ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，－bc 2a ，点E 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－bc a ， 将E ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－bc a 代入椭圆方程并整理得2c 2＝a 2， ∴e ＝c a ＝22.【2】由【1】知CD 方程为y ＝22【x －c 】，b ＝c ，a ＝2c .与椭圆联立消去y 得2x 2－2cx －c 2＝0.∵平行四边形OCED 面积为S ＝c |y C －y D |＝22c (x C ＋x D )2－4x C x D＝22c c2＋2c2＝62c2＝6，∴c＝2，a＝2，b＝ 2.故椭圆方程为x24＋y22＝1.。
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[课时作业][A 组 基础巩固]1．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac ＜3a 索的因应是( )A ．a －b ＞0B ．a －c ＞0C ．(a －b )(a －c )＞0D ．(a －b )(a －c )＜0 解析：要证b 2－ac ＜3a ，只需证b 2－ac ＜3a 2，只需证b 2－a (－b －a )＜3a 2，只需证2a 2－ab －b 2＞0，只需证(2a ＋b )(a －b )＞0，只需证(a －c )(a －b )＞0.故索的因应为C.答案：C2．证明命题“f (x )＝e x ＋1e x 在(0，＋∞)上是增函数”，一个同学给出的证法如下： ∵f (x )＝e x ＋1e x ，∴f ′(x )＝e x －1e x . ∵x >0，∴e x >1,0<1e x <1， ∴e x－1e x >0，即f ′(x )>0， ∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数，他使用的证明方法是( )A ．综合法B ．分析法C ．反证法D ．以上都不是解析：该证明方法符合综合法的定义，应为综合法．故应选A.答案：A3．要使a 2＋b 2－a 2b 2－1≤0成立的充要条件是( )A ．|a |≥1且|b |≥1B ．|a |≥1且|b |≤1C ．(|a |－1)(|b |－1)≥0D ．(|a |－1)(|b |－1)≤0解析：a 2＋b 2－a 2b 2－1≤0⇔a 2(1－b 2)＋(b 2－1)≤0⇔(b 2－1)(1－a 2)≤0⇔(a 2－1)(b 2－1)≥0⇔(|a |－1)(|b |－1)≥0.答案：C 4.2＋6与3＋5的大小关系是( ) A.2＋6≥ 3＋ 5 B.2＋6≤ 3＋ 5 C.2＋6＞3＋ 5 D.2＋6＜3＋ 5 解析：要想确定2＋6与3＋5的大小，只需确定(2＋6)2与(3＋5)2的大小，只需确定8＋212与8＋215的大小， 即确定12与15的大小，显然12＜15. ∴2＋6＜3＋ 5.答案：D5．若x ，y ∈R ＋，且x ＋y ≤a x ＋y 恒成立，则a 的最小值是( )A ．2 2 B. 2C ．2D ．1解析：原不等式可化为a ≥x ＋y x ＋y ＝x＋y2x ＋y ＝1＋2xyx ＋y要使不等式恒成立，只需a 不小于1＋2xyx ＋y 的最大值即可． ∵1＋2xyx ＋y ≤2，当x ＝y 时取等号，∴a ≥2，∴a 的最小值为 2.故选B.答案：B 6．设n ∈N ，则n ＋4－n ＋3________ n ＋2－n ＋1(填＞、＜、＝)．解析：要比较n ＋4－n ＋3与n ＋2－n ＋1的大小．即判断(n ＋4－n ＋3)－(n ＋2－n ＋1)＝(n ＋4＋n ＋1)－(n ＋3＋n ＋2)的符号，∵(n ＋4＋n ＋1)2－(n ＋3＋n ＋2)2＝2[n ＋n ＋－n ＋n ＋ ]＝2(n 2＋5n ＋4－n 2＋5n ＋6)＜0. ∴n ＋4－n ＋3＜n ＋2－n ＋1.答案：＜7.如图所示，四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD ⊥A 1C (写上一个条件即可)．解析：要证BD ⊥A 1C ，只需证BD ⊥平面AA 1C .因为AA 1⊥BD ，只要再添加条件AC ⊥BD ，即可证明BD ⊥平面AA 1C ，从而有BD ⊥A 1C .答案：AC ⊥BD (答案不唯一)8．已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成一个首项为12的等比数列，则|m －n |＝________.解析：不妨设12是x 2－mx ＋2＝0的一根，另一根为a ，则m ＝a ＋12，12a ＝2. 设x 2－nx ＋2＝0的两根为b ，c, 则n ＝b ＋c ，bc ＝2.由12，b ，c ，a 成等比数列及a ＝4可得b ＝1，c ＝2，从而m ＝92，n ＝3，|m －n |＝32. 答案：329．已知0＜a ≤1,0＜b ≤1,0＜c ≤1，求证：1＋ab ＋bc ＋ca a ＋b ＋c ＋abc≥1. 证明：∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴要证1＋ab ＋bc ＋ca a ＋b ＋c ＋abc≥1， 只需证1＋ab ＋bc ＋ca ≥a ＋b ＋c ＋abc ，即证1＋ab ＋bc ＋ca －(a ＋b ＋c ＋abc )≥0.∵1＋ab ＋bc ＋ca －(a ＋b ＋c ＋abc )＝(1－a )＋b (a －1)＋c (a －1)＋bc (1－a )＝(1－a )(1－b －c ＋bc )＝(1－a )(1－b )(1－c )，又a ≤1，b ≤1，c ≤1，∴(1－a )(1－b )(1－c )≥0.∴1＋ab ＋bc ＋ca －(a ＋b ＋c ＋abc )≥0成立，即证明了1＋ab ＋bc ＋ca a ＋b ＋c ＋abc≥1. 10．求证：当一个圆与一个正方形的周长相等时，这个圆的面积比正方形的面积大． 证明：设圆和正方形的周长为l ，依题意，圆的面积为π(l 2π)2，正方形的面积为(l 4)2， 因此本题只需证明π(l 2π)2＞(l 4)2. 为了证明上式成立，只需证明πl 24π2＞l 216，两边同乘以正数4l 2，得1π＞14，因此，只需证明4＞π.上式显然成立，故π(l 2π)2＞(l 4)2. [B 组 能力提升]1．已知a ，b 为正实数，函数f (x )＝(12)x ，A ＝f (a ＋b 2)，B ＝f (ab )，C ＝f (2ab a ＋b)，则A ，B ，C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤CB ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A解析：因为函数f (x )＝(12)x 为减函数，所以要比较A ，B ，C 的大小，只需比较a ＋b 2，ab ，2ab a ＋b 的大小，因为a ＋b 2≥ab ，两边同乘ab 得：ab ·a ＋b 2≥ab ，即ab ≥2ab a ＋b ，故a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b，∴A ≤B ≤C . 答案：A2．设甲：函数f (x )＝|x 2＋mx ＋n |有四个单调区间，乙：函数g (x )＝lg(x 2＋mx ＋n )的值域为R ，那么甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．以上均不对解析：对甲，要使f (x )＝|x 2＋mx ＋n |有四个单调区间，只需要Δ＝m 2－4n >0即可；对乙，要使g (x )＝lg(x 2＋mx ＋n )的值域为R ，只需要u ＝x 2＋mx ＋n 的值域包含区间(0，＋∞)，只需要Δ＝m 2－4n ≥0，所以甲是乙的充分不必要条件．答案：A3．要证3a －3b <3a －b 成立，则a ，b 应满足的条件是________． 解析：要证3a －3b <3a －b ，只需证(3a －3b )3<(3a －b )3，即a －b －33a 2b ＋33ab 2<a －b ，即33a 2b －33ab 2>0，即3ab (3a －3b )>0.故所需条件为⎩⎪⎨⎪⎧ 3ab >0，3a －3b >0或⎩⎪⎨⎪⎧ 3ab ＜0，3a －3b <0，即ab >0且a >b 或ab <0且a <b .答案：ab >0且a >b 或ab <0且a <b4．如果x ＞0，y ＞0，x ＋y ＋xy ＝2，则x ＋y 的最小值为________．解析：由x ＞0，y ＞0，x ＋y ＋xy ＝2, 得2－(x ＋y )＝xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22， ∴(x ＋y )2＋4(x ＋y )－8≥0，∴x ＋y ≥23－2或x ＋y ≤－2－23，∵x ＞0，y ＞0，∴x ＋y 的最小值为23－2.答案：23－25．在某两个正数m ，n 之间插入一个数x ，使m ，x ，n 成等差数列，插入两个数y ，z ，使m ，y ，z ，n 成等比数列，求证：(x ＋1)2≥(y ＋1)(z ＋1)．证明：由已知可得⎩⎨⎧ 2x ＝m ＋ny 2＝mzz 2＝yn ，所以m ＝y 2z ，n ＝z 2y.即m ＋n ＝y 2z ＋z 2y ，从而2x ＝y 2z ＋z 2y . 要证(x ＋1)2≥(y ＋1)(z ＋1)， 只需证x ＋1≥y ＋z ＋成立． 只需证x ＋1≥y ＋＋z ＋2即可．也就是证2x ≥y ＋z ，而2x ＝y 2z ＋z 2y， 则只需证y 2z ＋z 2y≥y ＋z 即可． 即y 3＋z 3≥yz (y ＋z )，只需证y 2－yz ＋z 2≥yz ，即证(y －z )2≥0成立， 由于(y －z )2≥0显然成立，∴(x ＋1)2≥(y ＋1)(z ＋1)．6．已知a ＞0，函数f (x )＝x 3－a ，x ∈[0，＋∞)，设x 1＞0.记曲线y ＝f (x )在点M (x 1，f (x 1))处的切线为l .(1)求l 的方程；(2)设l 与x 轴的交点为(x 2,0)，求证：x 2≥a 13. 解析：(1)f ′(x )＝3x 2.故l 的方程为y －(x 31－a )＝3x 21(x －x 1)，即y ＝3x 21x －2x 31－a .(2)证明：令y ＝3x 21x －2x 31－a ＝0，得x ＝2x 31＋a 3x 21，∴x 2＝2x 31＋a 3x 21. 欲证x 2≥a 13，只需证2x 31＋a ≥3x 21·a 13， 即证(x 1－a 13)2(2x 1＋a 13)≥0，显然成立， ∴原不等式成立.。