2017高考(新课标)数学(文)二轮专题复习(检测)：专题六第2讲概率、随机变量及其分布列 Word版含解析

专题六 概率与统计
第2讲 概率
一、选择题
1．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( ) A.15 B.25 C.825 D.925
解析：设这5名学生为甲、乙、丙、丁、戊，从中任选2人的所有情况有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，(乙，丙)，(乙，丁)，(乙，戊)，(丙，丁)，(丙，戊)，(丁，戊)，共4＋3＋2＋1＝10种．
其中甲被选中的情况有(甲、乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，共4种，
故甲被选中的概率为410＝25.
答案：B
2．(2016·天津卷)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是1
2，甲获
胜的概率是1
3
，则甲不输的概率为( )(导学号 53130144)
A.56
B.25
C.16
D.13
解析：设“两人下成和棋”为事件A ，“甲获胜”为事件B .事件A 与B 是互斥事件，所以甲不输的概率P ＝P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝12＋13＝
56
. 答案：A
3．(2016·全国Ⅲ卷)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是()
A.8
15 B.1
8 C.1
15 D.
1
30
解析：小敏输入密码的所有可能情况如下：(M，1)，(M，2)，(M，3)，(M，4)，(M，5)，(I，1)，(I，2)，(I，3)，(I，4)，(I，5)，(N，1)，(N，2)，(N，3)，(N，4)，(N，5)，共15种．
而能开机的密码只有一种，所以小敏输入一次密码能够成功开机的
概率为1
15.
答案：C
4．在区间－5，5]内随机地取出一个数a，则恰好使1是关于x的不等式2x2＋ax－a2<0的一个解的概率为()
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
解析：由已知得2＋a－a2<0，
解得a>2或a<－1.
故当a∈－5，－1)∪(2，5]时，1是关于x的不等式2x2＋ax－a2<0的一个解．
故所求事件的概率P＝（－1＋5）＋（5－2）
5－（－5）
＝
7
10＝0.7.
答案：D
5．(2016·安徽马鞍山一模)某同学先后投掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点落在直线2x－y＝1上的概率为()(导学号53130145)
A.1
12 B.1
9 C.5
36 D.
1
6
解析：先后掷两次骰子，共有6×6＝36种不同结果．
而以(x ，y )为坐标的点落在直线2x －y ＝1上的结果有(1，1)，(2，3)，(3，5)，共3种，故所求概率为336＝1
12
.
答案：A
6．在区间0，1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≤1
2”的
概率，p 2为事件“xy ≤1
2
”的概率，则( )
A ．p 1<p 2<1
2
B ．p 2<1
2<p 1
C.1
2
<p 2<p 1 D ．p 1<1
2
<p 2
解析：(x ，y )构成的区域是边长为1的正方形及其内部，其中满足x ＋y ≤1
2的区域如图①中阴影部分所示，所以p 1＝12×12×
121×1
＝18.
满足“xy ≤1
2
”的区域如图②中阴影部分所示．
图① 图②
所以p 2＝S 1＋S 21×1＝S 1＋S 2>1
2，
因此p 1<1
2<p 2.
答案：D 二、填空题
7．(2014·全国Ⅰ卷)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．
解析：设2本不同的数学书为a 1，a 2，1本语文书为b ，在书架上的排法有a 1a 2b ，a 1ba 2，a 2a 1b ，a 2ba 1，ba 1a 2，ba 2a 1，共6种，其中2
本数学书相邻的有a1a2b，a2a1b，ba1a2，ba2a1，共4种，因此2本数学
书相邻的概率P＝4
6＝2 3.
答案：2 3
8．一根绳子长为6米，绳子上有5个节点将绳子6等分，现从5个节点中随机选一个将绳子剪断，则所得的两段绳长均不小于2米的概率为________．
解析：随机选一个节点将绳子剪断共有5种情况，分别为(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)．满足两段绳长均不小于2米的为(2，
4)，(3，3)，(4，2)，共3种情况．所以所求概率为3 5.
答案：3 5
9．(2016·山东卷)在区间－1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交”发生的概率为________．解析：直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交的充要条件为圆心(5，0)到直线y＝kx的距离小于3.
则|5k－0|
k2＋12
<3，解之得－
3
4<k<
3
4.
故所求事件的概率P＝3
4－⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
－
3
4
1－（－1）＝3 4.
答案：3 4
三、解答题
10．(2016·全国Ⅱ卷)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
统计表：
53130146)
(1)记A为事件“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；
(2)记B为事件“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；
(3)求续保人本年度平均保费的估计值．
解：(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.
由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为60＋50
200＝0.55，故
P(A)的估计值为0.55.
(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数
据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为30＋30
200＝0.3.故P(B)的
估计值为0.3.
(3)由所给数据得：
0．85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a.
因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.
11．(2016·东莞调研)全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如下表所示．
(1)
抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在7，8]内的概率；
(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．
解：(1)融合指数在7，8]内的“省级卫视新闻台”记为A1，A2，A3；融合指数在4，5)内的“省级卫视新闻台”记为B1，B2.从融合指数在4，5)和7，8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：
{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，共10个．
其中，没有1家融合指数在7，8]内的基本事件是：{B1，B2}，共1个．
所以所求的概率P＝1－1
10＝
9
10.
(2)这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于
4．5×2
20＋5.5×
8
20＋6.5×
7
20＋7.5×
3
20＝6.05.
12．(2016·北京东城检测)某出租车公司响应国家节能减排的号召，已陆续购买了140辆纯电动汽车作为运营车辆．目前我国主流纯电动汽车按续航里程数R(单位：千米)分为3类，即A类：80≤R<150，B类：150≤R<250，C类：R≥250.该公司对这140辆车的行驶总里程进行统计，结果如下表：
(1)从这140辆汽车中任取一辆，求该车行驶总里程超过10万千米的概率；
(2)公司为了了解这些车的工作状况，决定抽取14辆车进行车况分析，按表中描述的六种情况进行分层抽样，设从C类车中抽取了n辆车．
①求n的值；
②如果从这n辆车中随机选取两辆车，求恰有一辆车行驶总里程超过10万千米的概率．
解：(1)从这140辆汽车中任取一辆，则该车行驶总里程超过10万
千米的概率为P1＝20＋20＋20
140＝
3
7.
(2)①依题意n＝30＋20
140×14＝5.
②5辆车中已行驶总里程不超过10万千米的车有3辆，记为a，b，c；
5辆车中已行驶总里程超过10万千米的有2辆，记为m，n.
“从5辆车中随机选取两辆车”的所有选法共10种：ab，ac，am，an，bc，bm，bn，cm，cn，mn.
“从5辆车中随机选取两辆车，恰有一辆车行驶里程超过10万千米”的选法共6种：am，an，bm，bn，cm，cn，则选取两辆车中恰有
一辆车行驶里程超过10万千米的概率P2＝6
10＝3 5.。