函数、极限与连续单元测试题
(完整版)函数、极限与连续习题及答案
第一章 函数、极限与连续(A)1．区间[)+∞,a 表示不等式( )A ．+∞<<x aB ．+∞<≤x aC ．x a <D ．x a ≥ 2．若()13+=t t ϕ，则()=+13t ϕ( )A ．13+tB ．26+tC ．29+tD ．233369+++t t t 3．设函数()()x x x x f arcsin 2513ln +-++=的定义域是( )A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-25,31B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-25,1C ．⎪⎭⎫⎝⎛-1,31 D ．()1,1-4．下列函数()x f 与()x g 相等的是( )A ．()2x x f =，()4x x g =B ．()x x f =，()()2x x g =C ．()11+-=x x x f ，()11+-=x x x g D ． ()112--=x x x f ，()1+=x x g 5．下列函数中为奇函数的是( )A ．2sin xx y = B ．xxe y 2-= C ．x x x sin 222-- D ．x x x x y sin cos 2+= 6．若函数()x x f =，22<<-x ，则()1-x f 的值域为( ) A ．[)2,0 B ．[)3,0 C ．[]2,0 D ．[]3,0 7．设函数()x e x f =(0≠x )，那么()()21x f x f ⋅为( )A ．()()21x f x f +B ．()21x x f +C ．()21x x fD ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛21x x f8．已知()x f 在区间()+∞∞-,上单调递减，则()42+x f 的单调递减区间是( ) A ．()+∞∞-, B ．()0,∞- C ．[)+∞,0 D ．不存在 9．函数()x f y =与其反函数()x fy 1-=的图形对称于直线( )A ．0=yB ．0=xC ．x y =D ．x y -=10．函数2101-=-x y 的反函数是( ) A ．2lg-=x x y B ．2log x y = C ．xy 1log 2= D ．()2lg 1++=x y 11．设函数()⎩⎨⎧=是无理数是有理数x x a x f x ,0,10<<a ，则( )A ．当+∞→x 时，()x f 是无穷大B ．当+∞→x 时，()x f 是无穷小C ．当-∞→x 时，()x f 是无穷大D ．当-∞→x 时，()x f 是无穷小 12．设()x f 在R 上有定义，函数()x f 在点0x 左、右极限都存在且相等是函数()x f 在点0x 连续的( )A ．充分条件B ．充分且必要条件C ．必要条件D ．非充分也非必要条件13．若函数()⎩⎨⎧<≥+=1,cos 1,2x x x a x x f π在R 上连续，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．-1D ．-2 14．若函数()x f 在某点0x 极限存在，则( ) A ． ()x f 在0x 的函数值必存在且等于极限值 B ．()x f 在0x 函数值必存在，但不一定等于极限值 C ．()x f 在0x 的函数值可以不存在 D ．如果()0x f 存在的话，必等于极限值15．数列0，31，42，53，64，…是( )A ．以0为极限B ．以1为极限C ．以n n 2-为极限 D ．不存在在极限 16．=∞→xx x 1sin lim ( )A ．∞B ．不存在C ．1D ．017．=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→xx x 211lim ( )A ．2-eB ．∞C ．0D ．21 18．无穷小量是( )A ．比零稍大一点的一个数B ．一个很小很小的数C ．以零为极限的一个变量D ．数零19．设()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤<≤-=31,110,201,2x x x x x f x 则()x f 的定义域为 ，()0f = ，()1f = 。
高等数学函数极限连续练习题及解析
高等数学函数极限连续练习题及解析第一篇：高等数学函数极限连续练习题及解析数学任务——启动——习题1一、选择题：(1)函数y=-x+arccosx+1的定义域是()2(A)x≤1;(B)-3≤x≤1(C)(-3,1)(D)xx<1⋂x-3≤x≤1(2)函数y=xcosx+sinx是()(A)偶函数(B)奇函数(C)非奇非偶函数(D)奇偶函数(3)函数y=1+cos{}{}π2x的最小正周期是()(A)2π(B)(4)与y=π(C)4(D)1 2x2等价的函数是()(A)x;(B)(x)(C)x)(D)23x⎧x-1-1<x≤0(5)f(x)=⎨,则limf(x)=()x0<x≤1x→0⎩(A)-1(B)1(C)0(D)不存在二、填空题：(1)若f ⎪=⎛1⎫⎝t⎭5+2t2,则f(t)=_________,ft2+1=__________.t()⎧⎪1(2)φ(t)=⎨⎪sinx⎩π⎫⎛π⎫3，则φ⎛φ⎪=______。
⎪=______,π⎝6⎭⎝6⎭x>30,1]，则fx2的定义域为______，f(sinx)的定义域为x≤π(3)若f(x)的定义域为()______，f(x+a)(a>0)的定义域为___，f(x+a)+f(x-a)(a>0)的定义域为______。
1-4x2(4)lim。
=__________12x+1x→-2(5)无穷小量皆以______为极限。
三、计算题(1)证明函数y=11sin在区间(0,1]上无界，但当x→+0时，这个函数不是无穷大。
xx(2)求下列极限(1)lim2x3+3x2+5x→∞7x3+4x2-1(3)lim(tanx)tan2xx→π(5)limex-1xx→0(7)lim+xsinx-1x→0x2arctanx(2)lim1-cos2x x→0xsinx(4)lim(1+2n+3n1n n→∞(6)limtanx-sinxx→0sin32x ⎛1(8)limx ex-1⎫⎪x→∞⎝⎪⎭(3)设f(x)=⎨⎧1-xx<0，求limf(x)。
函数与极限测试题及答案(二)
函数与极限测试题(二)一. 选择题1.设 F(x) 是连续函数 f (x) 的一个原函数， "M 一 N" 表示“M 的充分必要条件是 N”，则必 有( ).(A) F(x) 是偶函数 一 f (x) )是奇函数. (B) F(x) 是奇函数 一 f (x) 是偶函数. (C) F(x) 是周期函数 一 f (x) 是周期函数 . (D) F(x) 是单调函数 一 f (x) 是单调函数 2．设函数 f (x) = 1x, 则( ) e x 11(A) x = 0， x = 1都是 f (x) 的第一类间断点 .(B) x = 0， x = 1都是 f (x) 的第二类间断点(C) x = 0 是 f (x) 的第一类间断点， x = 1 是 f (x) 的第二类间断点 . (D) x = 0 是 f (x) 的第二类间断点， x = 1是 f (x) 的第一类间断点 . 3．设 f (x ) =x 1x， x 丰 0、1，，则 f [1f(x)] = ( )11A) 1x B) 1 x C) X D) x4．下列各式正确的是 ( )1 x1xx0+x x0+x C) lim (1 1)x= e D) lim (1+ 1) x= exx xx5．已知 lim (x + a )x= 9 ，则 a = ( )。
x x aA.1；B. ；C. ln 3；D. 2 ln 3 。
6．极限： lim (x 1)x= ( )xx +1A.1；B. ；C. e 2；D. e 2 。
7 ．极限： lim x 3+ 2 = ( )x x 3A.1；B. ；C.0；D.2．A) lim (1+ ) = 1 B) lim (1+ ) = e8．极限： lim x + 1 - 1 = ( )A.0；B. w ； C 1； D.2．29. 极限：x( x 2 + x - x) = ( )A.0；B. w ；C.2；D. 1 ． 210．极限 : limtan x - sin x = ( )A.0；B. w ；C. 1 ；D.16．16二. 填空题 11．极限 x li wm x sin=； 12. x l 0im arctanxx=；13. 若 y = f (x) 在点 x 0 连续，则 lim [f (x) - f (x 0 )]= ；x)x 014. lim = ；x)0x215. lim (1 - )n = ；n)wn16. 若函数 y =，则它的间断点是17. 绝对值函数(x, x > 0;f (x) = x =〈|l0,-x, x x 00;．其定义域是， 值域是。
(完整word版)《微积分》各章习题及详细答案
第一单元 函数与极限一、填空题1、已知x xf cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim 22x x x x 。
3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。
4、01sin lim 0=→x x k x 成立的k 为 。
5、=-∞→x e x x arctan lim 。
6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。
7、=+→xx x 6)13ln(lim0 。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。
9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。
12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。
13、____________22lim22=--++∞→x x n 。
14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。
15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。
（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。
2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有 。
（Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； （C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。
函数极限与连续习题加答案(供参考)
第一章 函数、极限与连续第一讲：函数一、是非题1．2x y =与x y =相同；（ ） 2.)1ln()22(2x x y x x +++=-是奇函数； （ ） 3.凡是分段表示的函数都不是初等函数； （ ） 4. )0(2>=x x y 是偶函数； （ ） 5.两个单调增函数之和仍为单调增函数； （ ）6.实数域上的周期函数的周期有无穷多个； （ ）7.复合函数)]([x g f 的定义域即)(x g 的定义域； （ ）8.)(x f y =在),(b a 内处处有定义，则)(x f 在),(b a 内一定有界。
（ ） 二、填空题1.函数)(x f y =与其反函数)(x y ϕ=的图形关于 对称；2.若)(x f 的定义域是]1,0[，则)1(2+x f 的定义域是 ；3.122+=x xy 的反函数是 ；4.1)(+=x x f ，211)(xx +=ϕ，则]1)([+x f ϕ＝ ， ]1)([+x f ϕ＝ ；5.)2(sin log 2+=x y 是由简单函数 和 复合而成；6.1)(2+=x x f ，x x 2sin )(=ϕ，则)0(f ＝ ，___________)1(=af ，___________)]([=x f ϕ。
三、选择题1.下列函数中既是奇函数又是单调增加的函数是（ ）A 、x 3sinB 、13+xC 、x x +3D 、x x -32.设54)(2++=bx x x f ，若38)()1(+=-+x x f x f ，则b 应为（ ）A 、1B 、－1C 、2D 、－2 3.)sin()(2x x x f -=是（ ）A 、有界函数B 、周期函数C 、奇函数D 、偶函数 四、计算下列各题1.求定义域523arcsin3xx y -+-=2.求下列函数的定义域 (1)342+-=x x y (2)1142++-=x x y(3)1)2lg(++=x y (4)x y sin lg =3.设2)(x x f =，xe x g =)(，求)]([)],([)],([)],([x g g xf f x fg x g f ；4.判断下列函数的奇偶性(1)3)(-=x x f (2)xx f )54()(=(3) xxx f -+=11lg)( (4)x x x f sin )(=5.写出下列函数的复合过程(1))58(sin 3+=x y (2))5tan(32+=x y (3)212x y -= (4))3lg(x y -=6.设⎩⎨⎧≥<=.1,0,1,)(x x x x ϕ求)51(ϕ，)21(-ϕ，)2(-ϕ，并作出函数)(x y ϕ=的图形。
极限与连续练习题及解析
极限与连续练习题及解析在数学课上，我们经常会遇到一些有关于极限与连续的练习题。
这些题目不仅能够帮助我们巩固对极限与连续的理解，还能提高我们解决问题的能力。
在本文中，我将为大家分享一些关于极限与连续的练习题及解析。
题目一：计算极限求解以下极限：1. $$\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}$$解析：将被除数进行因式分解得：$$\lim_{x\to 2}\frac{(x+2) \cdot (x-2)}{x-2}$$最后得到：$$\lim_{x\to 2}(x+2)$$代入极限的定义，得到结果为：$$4$$题目二：证明函数连续证明下列函数在指定区间上连续：1. 函数$f(x)=\sqrt{x}$在区间$[0, +\infty)$上连续。
首先，我们需要证明$f(x)=\sqrt{x}$在$[0, +\infty)$上存在。
由于$x \geq 0$，所以$\sqrt{x}$是有定义的。
接下来，我们需要证明对于任意给定的$\varepsilon > 0$，存在一个$\delta > 0$，使得当$0 < |x-a| <\delta$时，$|\sqrt{x}-\sqrt{a}|<\varepsilon$。
根据不等式$|\sqrt{x}-\sqrt{a}|<|\sqrt{x}+\sqrt{a}|$，可以得到$$|\sqrt{x}-\sqrt{a}|<|\sqrt{x}-\sqrt{a}|\cdot\frac{|\sqrt{x}+\sqrt{a}|}{|\sqrt{x}-\sqrt{a}|}$$进一步化简得：$$|\sqrt{x}-\sqrt{a}|<\frac{|\sqrt{x}^2-\sqrt{a}^2|}{|\sqrt{x}-\sqrt{a}|}$$继续化简得：$$|\sqrt{x}-\sqrt{a}|<\frac{|x-a|}{|\sqrt{x}+\sqrt{a}|}$$由于$\sqrt{x}+\sqrt{a}$在$x$趋于$a$时不等于0，所以存在一个正数$M$，使得$|\sqrt{x}-\sqrt{a}|<M|x-a|$。
函数极限连续单元测试及标准答案
函数单元测试（A ）一、填充题:1、设的定义域为[]1,0,则)2(+x f 的定义域是_＿_______＿__＿___。
2、1sin )(,)(2+==x x q x x f ,则[]=)(x q f _＿＿＿____,()[]=x f q _＿__＿＿__＿_。
3、设()2212++=+x x x f ,则()=x f ________＿__＿_。
４、()_________)2(_________,)4(,1 ,01,sin =-=⎪⎩⎪⎨⎧≥=ππf f x x x x f 。
５、已知函数()x f 是偶函数，且在()+∞,0上是减函数,则函数()x f 在()0,∞-上必是__＿＿____＿＿＿_函数。
6、设x v v u u y arccos , 1 ,3=+==，则复合函数()_____________==x f y 。
７、______________,cos sin )(22其周期为设函数x x x f -=。
二、选择题：1、函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤+=2,sin 2,)1ln()(ππx x x x x f 则)4(πf 等于（ )（A ）)41ln(π+ (B)22 （C ）2π (Ｄ）4π2、设x e x g x x f ==)(,)(2，则=)]([x g f ( )(A)2x e （B ）x e 2 (C)2x x （Ｄ）x e3、设函数()x f 的定义域是]1,0[，则()2x f 的定义域是( ）（Ａ）[-1,1］ （B ）[0,1] (C)［-1，0] （D ）（- ∞，+∞）4、函数()x x x f -+=1010是( ）ﻩ(A)奇函数 (B ）偶函数(C)非奇非偶函 (D)既是奇函数又是偶函数５、函数()[]213arcsin +=x y 的复合过程是（ ）()()13sin ,sin ,(D) 13,arcsin ,)(13,arcsin B) ( 13arcsin ,)(2222+===+===+==+==x v v u u y x v v u u y C x u u y x u u y A6、34x y -=的反函数是（ )()()33334(D)4C) ( 4(B) 4)(x y x y x y x y A -=-=-=-=7、下列函数中为基本初等函数的是( )123)()( )15arctan()()(0,10,0)()( 1)ln()()(-=+=⎩⎨⎧≥=+=x x f D x x f C x x x f B x x f A三、判断题:1、确定函数的两个要素是定义域和对应关系。
函数极限连续单元测试及答案.docx
函数单元测试（ A ）一、填充题：1、设的定义域为0,1，则f (x 2)的定义域是 ________________。
2、 f ( x)x 2, q(x) sin x 1，则 f q( x)________,q f x__________。
3、设 f x1 x 22x 2 ，则 f x_____________。
f xsin x , x 1) _________, f ( ) _________0,x, f (4、1 42。
5、已知函数 f x 是偶函数，且在 0,上是减函数，则函数f x在,0 上必是 ____________函数。
6、设yu 3 , u 1 v , v arccos x ，则复合函数 y f x _____________ 。
7、 设函数 f x sin 2 x cos 2 x 其周期为__________ ____ 。
( ) , 二、选择题：ln(1 x) ,xf (x)21、函数sin x ,x2（ A ） ln(1)24 （B ） 22、设 f (x)x2, g(x)e x ，则（ A ） e x 22 x（B ）ef ( ) 等于（）则 4 （ C ） 2（D ） 4f [ g( x)]（）（C ） xx 2（ D ） e x3、设函数 f x的定义域是 [ 0,1]，则fx 2 的定义域是（）（ A ） [-1 ，1] （B ）[0 ，1]（C ）[-1 ， 0]（ D ）（- ∞， +∞）4、函数fx 10x10 x 是（）（ A ）奇函数（B ）偶函 数（ C ）非奇非偶函（D ）既是奇函数又是偶函数5、函数yarcsin 3x1 2 的复合过程是（）( A)yu 2 , uarcsin 3x 1( B) y arcsin 2 u, u 3x 1(C ) y u 2,uarcsin v, v 3x1 (D) yu 2 ,usin v,v sin 3x16、y34x的反函数是（）( A)yx 34(B) y x 4 3( C) y 4 x 3(D) y 4 x 37、下列函数中为基本初等函数的是（）( A) f ( x) ln( x31) ( B) f ( x)0, x 01, x(C) f ( x) arctan(5x 1) ( D ) f ( x) x 2 1 三、判断题：1、确定函数的两个要素是定义域和对应关系。
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函数、极限与连续单元测试题
时间：120分钟 满分：100分 姓名：
一、选择题（每小题3分，共15分）
1、设()x x
x f sin ln 1
cos ⋅=，则该函数是（ ）
A. 偶函数
B. 奇函数
C. 周期函数
D. 有界函数 2、设数列{}n x 与{}n y 满足0lim =∞
→n n n y x ，则下列断言正确的是（ ）
A. 若{}n x 发散，则{}n y 必发散
B. 若{}n x 有界，则{}n y 必为无穷小
C. 若{}n x 无界，则{}n y 必有界
D. 若⎭⎬⎫
⎩⎨⎧n x 1为无穷小，则{}n y 必为无穷小
3、若()00
lim u x x x =→ϕ，且()A u f u u =→0
lim ，则（ ）
A. ()[]x f x x ϕ0
lim →存在 B. ()[]x f x x ϕ0
lim →不存在
C. ()[]A x f x x =→ϕ0
lim D. A 、B 、C 均不正确
4、当0→x 时，下列无穷小量
①x x sin 1tan 1+-+ ②33121x x +-+
③x x x sin cos 3134⎪⎭
⎫
⎝⎛-- ④14--x x e
从低阶到高阶的排列顺序为（ ）
A. ①②③④
B. ④③②①
C. ④②①③
D. ③①②④
5、“对于任意给定的()1,0∈ε，总存在整数N ，当N n ＞时恒有ε2≤-a x n ”是“数列{}n x 收敛到a ”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分，又非必要条件
二、填空题（每小题3分，共15分） 6、设函数()x
x
x f -+=11ln
，则函数⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 12的定义域是 。
7、若()⎪⎩
⎪⎨⎧≤--=010,arctan 122sin x ae x e x f x x
x
，＞是()+∞∞-,上的连续函数，则=a 。
8、若()16
1
912lim
23
-
=-+-→x x x f x ，则()=x f 。
9、设当1→x 时，1
11-++-m x x m
是1-x 的等价无穷小，则=m 。
10、函数()x x x x f 2
sin
11
arctan π
-=
的一个跳跃型间断点是 。
三、解答题（共70分）
13、（6分）求证：函数()2sin x x f =不是周期函数。
14、（6分）讨论下列函数的间断点并指出其类型：
（1）()x
t x
x t x t x f sin sin sin sin lim -→⎪⎭
⎫
⎝⎛= （2）()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤+=0,1
1sin 0,cos 222＞x x x x
x x x f π
14、（8分）用定义证明下列极限：
（1）5
214532lim 2
2=+++∞→n n n n n ； （2）142lim 22
32=--→x x x x
15、（8分）计算下列极限：
（1）()
x x x x -+∞
→1lim 2； （2）3
sin tan lim
x x
x x -→；
（3）⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→n n n n lim ； （4）()()
220arctan 11cos 1cos 1lim
x
x x x -+--→.
16、计算下列极限（24分）
（1）⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→x x x x 11ln lim 2
； （2）x e x x e x x x +-∞→arctan lim ；
（3）[]为取整函数，其中∙⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⋅→x x x 35lim 0；
（4）px
px x
x x cos sin 1cos sin 1lim 0-+-+→；
（5）()0,,3lim 10＞c b a c
b a x
x
x x x ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛++→； （6）()()
x
x x x
x
x sin 211lim
2110
+-+→
（7）⎪⎭⎫ ⎝
⎛-++++∞→n n n 21225
2321lim 32 ；
（8）⎪⎭
⎫
⎝⎛+++++++++∞→n n n n n n n n n 2222211lim .
17、（6分）已知0＞a ，01＞x ，定义⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+=+31341n n n x a x x () ,3,2,1=n . 求证：n n x +∞
→lim 存在，并求其值。
18、（6分）设正整数1＞n ，证明方程01121212=-+++--x a x a x n n n 至少有两个实根。
19、（6分）设()x f 在闭区间[]a ,0上连续（0＞a ），且()()a f f =0.证明：对任意
自然数n ，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡a n a ,中至少有一点ξ，使()⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=n a f f ξξ.。