函数与极限测试题及答案(一)
考研数学复习教程答案详解高数部分
第一篇高等数学第一章函数、极限与连续强化训练（一）一、选择题1.2.提示：参照“例1.1.5”求解。
3.4.解因选项(D)中的 不能保证任意小，故选(D)5.6.7.8.9.10.二、填空题11.提示：由2cos 12sin 2xx =-可得。
12.13.提示：由1 未定式结果可得。
14.提示：分子有理化，再同除以n即可。
15.提示：分子、分母利用等价无穷小代换处理即可。
16.17.提示：先指数对数化，再利用洛必达法则。
18.19.解因()2000122(1cos )22cos 2lim lim lim lim lim 1x x x x x x x xx f x x xxx -----→→→→→⋅---=====- ()0lim lim xx x f x ae a --→→==， 而()0f a =，故由()f x 在 0x =处连续可知，1a =-。
20.提示：先求极限（1∞型）得到()f x 的表达式，再求函数的连续区间。
三、 解答题 21.(1)(2)提示：利用皮亚诺型余项泰勒公式处理12sin ,sin x x。
(3)(4)(5)提示：先指数对数化，再用洛必达法则。
(6)提示：请参照“例1.2.14（3）”求解。
22.23.解 由题设极限等式条件得21()ln(cos )201()lim ,limln(cos )1f x x xxx x f x e e x x x+→→=+=， 即 2201()1()limln(cos )lim ln(1cos 1)1x x f x f x x x x x x x→→+=+-+=， 利用等价无穷小代换，得201()lim(cos 1)1x f x x x x →-+=，即230cos 1()lim()1x x f x x x→-+=， 故 30()3lim 2x f x x →=。
24.提示：先指数对数化，再由导数定义可得。
25.26.28.提示：利用皮亚诺型余项泰勒公式求解。
函数、极限与连续测试卷带答案
函数、极限与连续测试卷带答案第一篇：函数、极限与连续测试卷带答案上海民航学院函数、极限与连续测试卷总分100分命题人:叶茂莹一、填空题（每空2分，共20分）1、函数y=3-2x|-4的定义域是；解：|3-2x|-4≥0,3-2x≥4,或3-2x≤-4 ∴-2x≥1,或-2x≤-717∴x≤-,或x≥ 2217∴x∈(-∞,-]⋃[,+∞)222、把复合函数y=earctan(1+x)分解成简单的函数________________________；解：y=eu,u=arctanv,v=1+x23、函数y=arcsin2x的反函数是_____________________；1⎡ππ⎤解：y=sinx,x∈⎢-,⎥ 2⎣22⎦⎛1+x⎫4、lim ⎪； x→∞⎝x⎭2x2⎛1+x⎫解：lim ⎪x→∞⎝x⎭2x⎡⎛1⎫x⎤=lim⎢1+⎪⎥=e2 x→∞⎝x⎭⎦⎢⎥⎣2(2x-1)15(3x+1)30=；5、limx→∞(3x-2)45(2x-1)15(3x+1)30215⨯330⎛2⎫==⎪解：lim4545x→∞(3x-2)3⎝3⎭x2-3x+26、lim2；x→2x+4x-12(x-1)(x-2)=lim(x-1)=1x2-3x+2lim解：lim2 x→2x+6x→2x+4x-12x→2x+6x-28157、x→1=；2解：lim=x→1x→x-12x→12=x→1 =x→13x-1==34x+2的连续区间为(x+1)(x-4)解：x+2≥0,且(x+1)(x-4)≠08、函数f(x)=∴x≥-2,x≠-1,x≠4,∴x∈[-2,-1)⋃(-1,4)⋃(4,+∞)ax2+bx-19、已知a，b为常数，lim=2，则a=，b=.x→∞2x+1ax2+bx-1解：因为x的最高次为2，lim=2 x→∞2x+1所以a=0，b=2，即b=42x≠0在点x=0处连续，则a=x=0x1-⎤⎡=lim⎢(1-x)x⎥x→0⎣⎦-22⎧x⎪10、已知f(x)=⎨(1-x)⎪a⎩解：limf(x)=lim(1-x)x→0x→0=e-2因为f(x)在点x=0处连续，f(0)=a=limf(x)=e-2，所以a=e-2。
上海财经大学出版的高数习题集答案 第一章 函数与极限
（3）举例证明不一定存在，
x6 x6 x6 x6 x6 ， lim ( ) x 4 3 x 4 2 x 4 1 x x 4 1 x 4 3
lim(
x 0
sin 2 x e 2 ax 1 ) 2 2a a ，即 a 2 。 x x
x 1 x 1
由题知 lim x(
x
ln(1
f ( x) f ( x) ) tan x lim tan x lim f ( x) 2, x 0 x ln 3 x 0 x 2 ln 3 3x 1
x2 1 b x2 1 b a ) 0 ，则 lim ( a )0 x x ( x 1) x( x 1) x x
（4） lim
2 sin x sin 2 x 2 sin x 2 sin x cos x 2 sin x(1 cos x) lim lim x 0 x 0 x 0 xa xa xa 2 x 2x lim a2 lim x a 3 1, 所以 a 3 。 x 0 x 0 x
sin x 2 x2 sin x 2 为 x 0 时的无穷小， lim 0 ，所以 x 0 ln(1 2 x ) x 0 2 x ln(1 2 x)
1 1 （7）A： lim (1 ) x 1 ，因为由第三章第三节介绍的罗比达法则 lim (1 ) x x 0 x 0 x x
f (5) 11 。由 f (0) 1 和 f (1) 1 知 f ( x) 在 (0,1) 内至少有一个实根。
（1） ① lim
x 0
由 f (0) 1 和 f (1) 5 知 f ( x) 在 (1,0) 内至少有一个实根。由 f (0) 1 ，
(完整版)高等数学测试题及解答(分章)
第一单元 函数与极限一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。
3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。
4、01sinlim 0=→xx kx 成立的k 为 。
5、=-∞→x e xx arctan lim 。
6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。
7、=+→xx x 6)13ln(lim0 。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。
9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。
12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。
13、____________22lim22=--++∞→x x n 。
14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。
15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。
（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。
2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有 。
（Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； （C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。
(完整版)函数、极限与连续习题及答案
第一章 函数、极限与连续(A)1．区间[)+∞,a 表示不等式( )A ．+∞<<x aB ．+∞<≤x aC ．x a <D ．x a ≥ 2．若()13+=t t ϕ，则()=+13t ϕ( )A ．13+tB ．26+tC ．29+tD ．233369+++t t t 3．设函数()()x x x x f arcsin 2513ln +-++=的定义域是( )A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-25,31B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-25,1C ．⎪⎭⎫⎝⎛-1,31 D ．()1,1-4．下列函数()x f 与()x g 相等的是( )A ．()2x x f =，()4x x g =B ．()x x f =，()()2x x g =C ．()11+-=x x x f ，()11+-=x x x g D ． ()112--=x x x f ，()1+=x x g 5．下列函数中为奇函数的是( )A ．2sin xx y = B ．xxe y 2-= C ．x x x sin 222-- D ．x x x x y sin cos 2+= 6．若函数()x x f =，22<<-x ，则()1-x f 的值域为( ) A ．[)2,0 B ．[)3,0 C ．[]2,0 D ．[]3,0 7．设函数()x e x f =(0≠x )，那么()()21x f x f ⋅为( )A ．()()21x f x f +B ．()21x x f +C ．()21x x fD ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛21x x f8．已知()x f 在区间()+∞∞-,上单调递减，则()42+x f 的单调递减区间是( ) A ．()+∞∞-, B ．()0,∞- C ．[)+∞,0 D ．不存在 9．函数()x f y =与其反函数()x fy 1-=的图形对称于直线( )A ．0=yB ．0=xC ．x y =D ．x y -=10．函数2101-=-x y 的反函数是( ) A ．2lg-=x x y B ．2log x y = C ．xy 1log 2= D ．()2lg 1++=x y 11．设函数()⎩⎨⎧=是无理数是有理数x x a x f x ,0,10<<a ，则( )A ．当+∞→x 时，()x f 是无穷大B ．当+∞→x 时，()x f 是无穷小C ．当-∞→x 时，()x f 是无穷大D ．当-∞→x 时，()x f 是无穷小 12．设()x f 在R 上有定义，函数()x f 在点0x 左、右极限都存在且相等是函数()x f 在点0x 连续的( )A ．充分条件B ．充分且必要条件C ．必要条件D ．非充分也非必要条件13．若函数()⎩⎨⎧<≥+=1,cos 1,2x x x a x x f π在R 上连续，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．-1D ．-2 14．若函数()x f 在某点0x 极限存在，则( ) A ． ()x f 在0x 的函数值必存在且等于极限值 B ．()x f 在0x 函数值必存在，但不一定等于极限值 C ．()x f 在0x 的函数值可以不存在 D ．如果()0x f 存在的话，必等于极限值15．数列0，31，42，53，64，…是( )A ．以0为极限B ．以1为极限C ．以n n 2-为极限 D ．不存在在极限 16．=∞→xx x 1sin lim ( )A ．∞B ．不存在C ．1D ．017．=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→xx x 211lim ( )A ．2-eB ．∞C ．0D ．21 18．无穷小量是( )A ．比零稍大一点的一个数B ．一个很小很小的数C ．以零为极限的一个变量D ．数零19．设()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤<≤-=31,110,201,2x x x x x f x 则()x f 的定义域为 ，()0f = ，()1f = 。
函数与极限测试题及答案一
函数与极限测试题（一）一、 填空题 二、1、若1ln 11ln x f x x+⎛⎫=⎪-⎝⎭，则()f x =_____。
三、2、函数()f x 的定义域为[],a b ，则()21f x -的定义域为_____。
四、3、若0x →时，无穷小221ln 1x x -+与2sin 2a 等价，则常数a =_____。
五、4、设()()21lim 1n n x f x nx →∞-=+，则()f x 的间断点为x =_____。
六、 单选题七、 1、当0x →时，变量211sinx x是（ ） 八、A 、无穷小B 、无穷大九、 C 、有界的，但不是无穷小 D 、无界的，也不是无穷大 十、2、设函数()bx xf x a e=+在(),-∞+∞上连续，且()lim 0x f x →-∞=，则常数,a b 满足（ ）十一、 A 、0,0a b << B 、0,0a b >> 十二、 C 、0,0a b ≥< D 、0,0a b ≤> 十三、 3、设()232xxf x =+-，则当0x →时（ ）十四、 A 、()f x 与x 是等价无穷小 B 、()f x 与x 是同阶但非等价无穷小 十五、 C 、()f x 是x 的高阶无穷小 D 、()f x 是x 的低阶无穷小十六、 4、设对任意的x ，总有()()()x f x g x ϕ≤≤，且()()lim 0x g x x ϕ→∞-=⎡⎤⎣⎦，则()lim x f x →∞为（ ）十七、 A 、存在且等于零 B 、存在但不一定等于零十八、 C 、一定不存在 D 、不一定存在 十九、 例：()()()11,,221x x f x x g x x x x ϕ==+=+++ 二十、 求下列极限 二十一、1、2241limsin x x x x x+-+、()221212lim 1xx x x x -→⎛⎫ ⎪+⎝⎭二十二、确定,a b 的值，使()322ln 101tan 1sin 011ln 01ax x x x f x bx x x x x x x ⎧+⎪<+-+⎪⎪==⎨⎪-+⎪>++⎪⎩在(),-∞+∞内连续。
极限计算测试题及答案高中
极限计算测试题及答案高中一、选择题（每题3分，共15分）1. 函数\( f(x) = \frac{1}{x} \)在点x=0处的极限是（）A. 1B. 0C. 无穷大D. 不存在2. 如果\( \lim_{x \to 1} (x^2 - 1) = 2 \)，那么\( \lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} \)等于（）A. 1B. 2C. 无穷大D. 不存在3. 函数\( f(x) = x^2 \)在x=2处的极限是（）A. 4B. 2C. 0D. 无穷大4. 函数\( f(x) = \sin(x) \)在x=0处的极限是（）A. 1B. 0C. -1D. 不存在5. 函数\( f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \)在x=2处的极限是（）A. 2B. 4C. 8D. 12二、填空题（每题4分，共20分）6. 函数\( f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} \)在x=2处的极限是______。
7. 如果\( \lim_{x \to 3} (x - 3) = 0 \)，那么\( \lim_{x \to 3} \frac{1}{x - 3} \)等于______。
8. 函数\( f(x) = \frac{\sin(x)}{x} \)在x=0处的极限是______。
9. 函数\( f(x) = \frac{\tan(x)}{x} \)在x=0处的极限是______。
10. 函数\( f(x) = \frac{\sin(x)}{x} \)在x=π处的极限是______。
三、解答题（每题10分，共30分）11. 计算函数\( f(x) = \frac{\sin(x)}{x} \)在x=0处的左极限和右极限，并判断其极限是否存在。
12. 证明函数\( f(x) = x^2 \)在任何实数x处的极限都存在，并求出这个极限。
13. 给定函数\( f(x) = \frac{1}{x} \)，计算其在x=1处的极限，并说明其性质。
极限练习题含答案
极限练习题含答案极限是数学分析中的一个重要概念，它描述了当自变量趋近于某个值时，函数值的行为。
下面是一些极限练习题及其答案，供同学们学习和练习。
练习题1：求极限\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \]答案1：根据洛必达法则或者直接使用三角函数的性质，我们可以知道：\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \]练习题2：求极限\[ \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x + 1}{x^2 - 3x + 2} \]答案2：分子和分母同时除以\( x^2 \)，得到：\[ \lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} +\frac{1}{x^2}}{1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}} = 3 \]练习题3：求极限\[ \lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} \]答案3：这是e的极限定义，即：\[ \lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} = e \]练习题4：求极限\[ \lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} \]答案4：这是一个无穷小量的倒数，当\( x \)趋近于1时，\( x - 1 \)趋近于0，所以：\[ \lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} \text{ 不存在} \]练习题5：求极限\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 3x} \]答案5：分子分母同时除以\( \sin x \)，得到：\[ \lim_{x \to 0} \frac{2}{3} \cdot \frac{\sin x}{x} \cdot\frac{\sin 2x}{\sin 3x} = \frac{2}{3} \cdot 1 \cdot 1 =\frac{2}{3} \]练习题6：求极限\[ \lim_{x \to 0} x \cdot \tan x \]答案6：使用洛必达法则或者直接利用三角函数的性质，我们可以得到：\[ \lim_{x \to 0} x \cdot \tan x = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\cos x} = 0 \]练习题7：求极限\[ \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} \]答案7：当\( x \)趋近于无穷大时，\( \sin x \)的值在-1和1之间波动，但相对于\( x \)来说，它趋近于0，所以：\[ \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0 \]练习题8：求极限\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \]答案8：这是e的导数的极限定义，即：\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 \]以上练习题和答案可以帮助同学们更好地理解和掌握极限的概念和求解方法。
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函数与极限测试题（一）
一、
填空题
1、若1ln 1
1ln x f x x
+⎛⎫=
⎪-⎝⎭，则()f x =_____。
2、函数()f x 的定义域为[],a b ，则()21f x -的定义域为_____。
3、若0x →时，无穷小2
21ln 1x x -+与2sin a 等价，则常数a =_____。
4、设()()2
1lim 1
n n x
f x nx →∞
-=+，则()f x 的间断点为x =_____。
二、
单选题
1、当0x →时，变量
2
11
sin x x
是（ ） A 、无穷小 B 、无穷大
C 、有界的，但不是无穷小
D 、无界的，也不是无穷大 2、设函数()bx x
f x a e
=+在(),-∞+∞上连续，且()lim 0x f x →-∞=，则常数,a b 满足（ ）
A 、0,0a b <<
B 、0,0a b >>
C 、0,0a b ≥<
D 、0,0a b ≤> 3、设()232x
x
f x =+-，则当0x →时（ ）
A 、()f x 与x 是等价无穷小
B 、()f x 与x 是同阶但非等价无穷小
C 、()f x 是x 的高阶无穷小
D 、()f x 是x 的低阶无穷小
4、设对任意的x ，总有()()()x f x g x ϕ≤≤，且()()lim 0x g x x ϕ→∞
-=⎡⎤⎣⎦，
则()lim x f x →∞
为（ ）
A 、存在且等于零
B 、存在但不一定等于零
C 、一定不存在
D 、不一定存在
例：()()()11
,,22
1
x x f x x g x x x x ϕ==+
=+
++ 三、 求下列极限
1
、
lim
x 2、()2
21212lim 1x
x x x x -→⎛⎫ ⎪+⎝⎭
四、
确定,a b 的值，使()
32
2ln 10
011ln 0
1ax x f x b
x x x x x x x ⎧+<==⎨⎪-+⎪>++⎪⎩
在(),-∞+∞内连续。
五、
指出函数()1
11x
x x
e e
f x e e
--=
-的间断点及其类型。
六、
设1234,,,a a a a 为正常数，证明方程
31240123
a a a a
x x x x +++=---有且仅有三个实根。
七、
设函数()(),f x g x 在[],a b 上连续，且满足()()()(),f a g a f b g b ≤≥，证明：
在[],a b 内至少存在一点ξ，使得()()f g ξξ=。
函数与极限测试题答案（一）
一、1、
11x
x
e
-+； 2、
11,
2
2a b ++⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
； 3、
4-； 4、0
；
二、1—4、DCBD
三、1
、解：原式lim
3x ==；
2、解：原式()()2
22211
2
11211lim 11x x x x x x e x -
++---→⎡⎤⎛⎫⎢⎥
--=+= ⎪⎢⎥ ⎪+⎢⎥⎝⎭
⎣⎦
四、解：注意当4
2
x π
π
-
<<-
时，无意义，所以不存在,a b 的值使()f x 在
(),-∞+∞内连续。
此题应把“在(),-∞+∞内连续”改为“在0x =处连续”。
改后即要求()()0
lim 0x f x f b →==，此式等价于()()()0
lim lim 0x x f x f x f b +-
→→===，即 22220002ln 11121lim ln lim lim 211x x x x x x x x b x x x x x x +++
→→→-⎛
⎫+ ⎪-+-++⎝⎭===-=++++
()
330
ln 1ln 1lim lim tan sin x x ax ax x x
-
-
→→+
+=-
3
3
lim 4212
x ax a b x -
→====- 所以1,22
a b =-=-。
五、解：0,1x x ==-是此函数的间断点，因为0x -
→时，1x
→-∞，1
0x e e -∞
→=，
所以1101lim x
x
x x e e
e e e -→--=-，0x +
→时，又因为1x
→+∞，1
x
e e +∞→=+∞，1
10x
e →，所以1111
0111
lim lim 11
x
x
x x
x x x
x e e e
e e
e e
e
+
+-→→---==--，0x =是跳跃间断点。
因为111
1lim
1x
x x x
e e
e e
→---=-，1x =是可去间断点。
六、证明：因为()()()()()()()()()()()()
12343124123231312123123a x x x a x x x a x x x a x x x a a a a
x
x x x x x x x ---+--+--+--+
++=------ 分子是一个三次多项式，根据代数基本理论，分子最多有三个实的零点，即原方程最多有三
个实根；又因为31
240
lim 123x a a a a x x x x +→⎛⎫+++=+∞
⎪---⎝⎭
31241lim 123x a a a a x x x x -→⎛⎫+++=-∞ ⎪---⎝⎭，31
241lim 123x a a a a x x x x +→⎛⎫+++=+∞ ⎪---⎝⎭ 31242lim 123x a a a a x x x x -→⎛⎫+++=-∞ ⎪---⎝⎭，31242lim 123x a a a a x x x x +→⎛⎫+++=+∞ ⎪---⎝⎭ 31243lim 123x a a a a x x x x -→⎛⎫+++=-∞ ⎪---⎝⎭
，所以利用零点定理，在区间 ()()()0,1,1,2,2,3原方程分别至少有一个实根。
所以原方程有且仅有三个实根。
七、证明：在区间[],a b 上考虑函数()()()F x f x g x =-，由已知可得()F x 在[],a b 上连续。
()()()()()()0,0F a f a g a F b f b g b =-≤=-≥ 1）如果()0F a =或()0F b =，则ξ可取a 或b 。
2）如果()0F a <且()0F b >，由零点定理，至少存在一点(),a b ξ∈，使得()0F ξ=即
()()f g ξξ=。