2015年上海中考数学《相似三角形的判定》复习题
上海数学学科九年级相似三角形测试题及答案
相似三角形测试题及答案图形的放缩与比例线段（1）一、填空题（每小题4分,共40分）1、如果,那么＝________。
2、已知：，则＝________。
3、与的比例中项是________。
4、对一段长为20cm的线段进行黄金分割,那么分得的较长线段长为________cm。
（不取近似值)5、如图，DE∥BC，AD＝1，DB＝2，则的值为________。
6、如图，DE∥BC，AB＝12，AC＝16，AE＝10，则AD＝________。
7、如图，线段AB＝10cm，，，则CD＝________cm。
8、已知：线段AB＝10cm，点C是AB的黄金分割点，且AC＞CB，则BC＝________cm。
（不取近似值)9、如图，AD∥EF∥BC,，DF＝4cm,则DC＝________cm。
10、如图，AB∥EF∥DC，AB＝，DC＝,，则EF＝________。
（用式子表示）二、选择题（每小题4分，共16分）1、若,则下列等式中不正确的是（）。
（A）;（B）；（C）;（D）.2、如图，△ABC中，DE∥BC，则下列等式中不成立的是（）。
（A)；（B)；（C）；（D）.3、如图,△ABC中，DE∥BC，AD＝1，EC＝3，则下列等式中成立的是（ )。
（A）；(B);(C）；（D）.4、如图,△ABC中，DE∥BC,AD＝1，DB＝DE＝2，则BC长是（）。
(A）3； (B）4；（C）5；（D）6。
三、（本题8分）如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，，FC＝2,AC＝6,求DE和CE长四、（本题8分）如图，△ABC中，AD＝2DC,G是BD中点,AC延长线交BC于E，求的值。
五、（本题8分）如图，△ABC中，DE∥BC，AH⊥BC于F，AH交DE于G，DE＝10，BC＝15，AG＝12,求线段AH长.六、（本题10分)如图，平行四边形ABCD中,E是AB的中点，G是AC上一点，，连EC延长交AD于F,求的值。
2015年上海市中考数学试卷-含答案详解
2015年上海市中考数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 下列实数中，是有理数的为( )A. √2B. √43 C. π D. 02. 当a>0时，下列关于幂的运算正确的是( )A. a0=1B. a−1=−aC. (−a)2=−a2D. a12=1a23. 下列y关于x的函数中，是正比例函数的为( )A. y=x2B. y=2x C. y=x2D. y=x+124. 如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个多边形的边数是( )A. 4B. 5C. 6D. 75. 下列各统计量中，表示一组数据波动程度的量是( )A. 平均数B. 众数C. 方差D. 频率6. 如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是( )A. AD=BDB. OD=CDC. ∠CAD=∠CBDD. ∠OCA=∠OCB二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7. 计算：|−2|+2=______．8. 方程√3x−2=2的解是______．9. 如果分式2xx+3有意义，那么x的取值范围是______．10. 如果关于x的一元二次方程x2+4x−m=0没有实数根，那么m的取值范围是______．11. 同一温度的华氏度数y(℉)与摄氏度数x(℃)之间的函数关系是y=95x+32，如果某一温度的摄氏度数是25℃，那么它的华氏度数是℉.12. 如果将抛物线y =x 2+2x −1向上平移，使它经过点A(0,3)，那么所得新抛物线的表达式是______．13. 某校学生会提倡双休日到养老院参加服务活动，首次活动需要7位同学参加，现有包括小杰在内的50位同学报名，因此学生会将从这50位同学中随机抽取7位，小杰被抽到参加首次活动的概率是______． 14. 已知某校学生“科技创新社团”成员的年龄与人数情况如下表所示： 年龄(岁) 11 12 13 14 15人数 5 5 16 15 12那么“科技创新社团”成员年龄的中位数是______岁．15. 如图，已知在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、边AC 的中点，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ⃗ ，那么向量DE⃗⃗⃗⃗⃗ 用向量m ⃗⃗ ，n ⃗ 表示为______．16. 已知E 是正方形ABCD 的对角线AC 上一点，AE =AD ，过点E 作AC 的垂线，交边CD 于点F ，那么∠FAD =______度．17. 在矩形ABCD 中，AB =5，BC =12，点A 在⊙B 上，如果⊙D 与⊙B 相交，且点B 在⊙D 内，那么⊙D 的半径长可以等于______.(只需写出一个符合要求的数)18. 已知在△ABC 中，AB =AC =8，∠BAC =30°，将△ABC 绕点A 旋转，使点B 落在原△ABC 的点C 处，此时点C 落在点D 处，延长线段AD ，交原△ABC 的边BC 的延长线于点E ，那么线段DE 的长等于______．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。
2015秋华师大版数学九上2332《相似三角形的判定》练习题
相似三角形的判定练习题
一、填空题。
1、______三角形一边的______与其她两边______,所构成的三角形与原三角形相似、
2、如果两个三角形的______对应边的______,那么这两个三角形相似、
3、如果两个三角形的______对应边的比相等,并且______相等,那么这两个三角形相似、
4、如果一个三角形的______角与另一个三角形的______,那么这两个三角形相似、
5、在△ABC与△A′B′C′中,如果∠A＝56°,∠B＝28°,∠A′＝56°,∠C′＝28°,那么这两个三角形能否相似的结论就是______、理由就是________________、
6、在△ABC与△A'B′C′中,如果∠A＝48°,∠C＝102°,∠A′＝48°,∠B′＝30°,那么这两个三角形能否相似的结论就是______、理由就是________________、
7、在△ABC与△A'B′C′中,如果∠A＝34°,AC＝5cm,AB＝4cm,∠A′＝34°,A'C′＝2cm,A′B′＝1、6cm,那么这两个三角形能否相似的结论就是______,理由就是____________________、
8、在△ABC与△DEF中,如果AB＝4,BC＝3,AC＝6;DE＝2、4,EF＝1、2,FD＝1、6,那么这两个三角形能否相似的结论就是____________,理由就是__________________、。
数学：24.2《相似三角形的判定》同步练习(沪科版九年级上)
24.2相似三角形的判定第1题. 如图，AC BD ⊥，垂足为C ，过D 点作DF AB ⊥，垂足为F ，交AC 于E 点．请找出图中所有的相似三角形，并说明理由．答案：解：（1）因为90A A AFE ACB ∠=∠∠=∠=， 所以AFE ACB △∽△．（2）因为90AEF DEC AFE DCE ∠=∠∠=∠=，， 所以AFE DCE △∽△． 所以A D ∠=∠．（3）因为A D ∠=∠，90AFE DFB ∠=∠=， 所以AFE DFB △∽△．（4）因为D A ∠=∠，90DCE ACB ∠=∠=， 所以DCE ACB △∽△．（5）因为D A ∠=∠，90DFB ACB ∠=∠=， 所以DFB ACB △∽△．（6）因为D A ∠=∠，90DCE DFB ∠=∠=， 所以DCE DFB △∽△．知识点：三角形相似的条件 试题类型：运算题 试题难度：容易 考查目标：基本技能 第2题.如图，一艘军舰从点A 向位于正东方向的C 岛航行，在点A 处测得B 岛在其北偏东75，航行75nmile 到达点D 处，测得B 岛在其北偏东15，继续航行5n mile 到达C 岛，此时接到通知，要求这艘军舰在半小时内赶到正北方向的B 岛执行任务，则这艘军舰航行速度至少为多少时才能按时赶到B 岛？答案：解：根据题意，可得1590A CBD BCD ACB ∠=∠=∠=∠=，．所以.BCD ACB △∽△ 由相似三角形对应边成比例，得BC AC DC BC =，即805BC BC=． ＡＦＢＣＤＥＡＤ所以240020BC BC ==，．要求军舰在半小时内赶到正北方向的B 岛执行任务，因此航行速度至少是200.540=÷(n mile/h)知识点：三角形相似的条件 试题类型：应用题 试题难度：中等 考查目标：双基简单应用 第3题. 如图，点E C 、分别在AB AD 、上，BC 与DE 相交于一点O ，若B D ∠=∠， 则图中相似三角形有几对？分别写出来说明理由． 答案：2对BAC DAE BOE DOC △∽△，△∽△．理由略知识点：三角形相似的条件 试题类型：运算题 试题难度：容易考查目标：基本技能 第4题. 如图，已知:3:4DE BC AD DB =∥，，若5DE =cm ，求BC 的长． 答案：353cm 知识点：三角形相似的条件 试题类型：运算题 试题难度：中等 考查目标：基本技能 第5题. 如图，已知ABC ACB ∠=∠，若3AD =cm ，7AB =cm ，试求AC 的长．21cm知识点：三角形相似的条件 试题类型：运算题 试题难度：中等 考查目标：基本技能第6题. 如图，4cm 9cm 5cm 12cm AO DO AB BC O ====，，，，为BC 的中点，求CDO △的周长．答案：解：由12cm BC =，O 为BC 的中点，得6BO CO ==cm ．由4cm 9cm AO DO ==，，得23AO BO CO DO ==． 因为两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似， 所以AOB COD △∽△． 由相似三角形对应边成比例，得AB AO CD CO =，即523CD =． ＡＣＯ Ｄ ＢＥ ＡＤＥＣ Ｂ Ａ ＤＣＡＢＯＣ所以537.52CD ==×(cm)． 因此，CDO △的周长是67.5922.5++=(cm)．知识点：三角形相似的条件 试题类型：运算题 试题难度：中等 考查目标：基本技能 第7题. 已知ABC △的三条边长之比为3:7:9，与其相似的另一个A B C '''△最大的边长为18cm ，则A B C '''△最小的边长为cm ，周长为cm ． 答案：6 38知识点：三角形相似的条件 试题类型：填空题 试题难度：容易 考查目标：基本技能 第8题. 如图，在ABC △中，点D E 、分别在边AC AB 、上，且23AE AD AC AB ==，若4DE =cm ，则BC =cm ．答案：6知识点：三角形相似的条件 试题类型：填空题 试题难度：中等 考查目标：基本技能第9题.如图，点D E 、分别为边AB AC 、的三等分点（即：1133AD AB AE AC ==，），若22.5cm ADE S =△，求ABC S △的大小．答案：222.5cm知识点：三角形相似的条件 试题类型：运算题 试题难度：中等 考查目标：双基简单应用 第10题. 如图，在ABC △中，345AB AC BC D ===，，，是AB 上的一点，2AD =，在AC 上是否存在一点E ，使A D E 、、三点组成的三角形与ABC △相似？如果存在，请求出AE 的长；如果不存在，请说明理由．答案：解：存在．因为22225AB AC BC +==，所以ABC △是直角三角形，90A ∠=． 设所求AE 的长为x ，在ADE △与ABC △中，90A A ∠=∠=， （1）若AD AEAB AC=，则ADE △∽ABC △． ＡＥ ＢＤ ＡＤ Ｅ Ｃ Ｂ ＡＤ ＢＣ此时234x =． 解得83x =．（2）若AD AEAC AB =，则ADE ACB △∽△． 此时243x =．解得32x =．所以，当AE 取83或32时，A D E 、、三点组成的三角形与ABC △相似．知识点：三角形相似的条件 试题类型：运算题 试题难度：中等 考查目标：双基简单应用 第11题. 如图，下列条件中不能判定ACD ABC △∽△的是（ ） (A)AB ADBC CD=(B)ADC ACB ∠=∠ (C)ACD B ∠=∠(D)2AC AD AB =答案：(A)知识点：三角形相似的条件 试题类型：选择题 试题难度：中等 考查目标：基本技能 第12题. 已知：如图，点C D ，在线段AB 上，PCD △是等边三角形．（1）当AC CD DB ，，满足怎样的关系式时ACP PDB △∽△；（2）当ACP PDB △∽△时，求APB ∠的度数．答案：解：（1）当2CD AC DB =时，ACP PDB △∽△； （2）当ACP PDB △∽△时，120APB ∠=．知识点：三角形相似的条件 试题类型：运算题 试题难度：中等 考查目标：数学思考第13题. 在ABC △和A B C '''△中，326cm 10cm 32A AB A B A '''∠===∠=，，，， 3cm AC =，5cm A C ''=，则ABC △与A B C '''△是否相似？（填“是”或“不是”）． 答案：是知识点：三角形相似的条件 试题类型：填空题 试题难度：容易 考查目标：基本技能 第14题. 下列四组图形中不一定相似的是． Ａ．有一个角等于40的两个等腰三角形ＡＣ Ｄ Ｂ ＰＡ Ｃ Ｄ ＢＢ．有一个角为50的两个直角三角形Ｃ．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形 Ｄ．有一个角是60的两个等腰三角形 答案：Ａ知识点：三角形相似的条件 试题类型：选择题 试题难度：容易 考查目标：基本技能 第15题. 能判定ABC △与A B C '''△相似的条件是．Ａ．ABAC A B A C =''''Ｂ．AB A B AC A C ''=''，且A C '∠=∠ Ｃ．AB BC A B A C =''''且B A '∠=∠Ｄ．AB ACA B A C =''''，且B B '∠=∠ 答案：Ｃ知识点：三角形相似的条件 试题类型：选择题 试题难度：容易 考查目标：基本技能 第16题.已知：如图，9086ABD BCD AB BD ∠=∠===，，，当BC 为多少时，图中的两个三角形相似． 答案：BC 为3.6或4.8知识点：三角形相似的条件 试题类型：运算题 试题难度：中等 考查目标：双基简单应用第17题. 如图，线段AC BD ，相交于点O ，要使AOB DOC △∽△，已具备条件，还需要补充的条件是，或或．答案：BO OAAOB DOC B C A D OC OD ∠=∠∠=∠∠=∠=，，，知识点：三角形相似的条件 试题类型：填空题 试题难度：容易 考查目标：基本技能 第18题.如图，D 为ABC △的边BC 上的一点，连接AD ，要使ABD CBA △∽△，应具备下列条件中的（ ）Ａ．AC AB CD BD =Ｂ．2AB BD BC = Ｃ．AB BC CD AD=Ｄ．2AC CD CB = 答案：Ｂ知识点：三角形相似的条件 试题类型：选择题 试题难度：容易 考查目标：基本技能 第19题. 如图，已知1234∠=∠∠=∠，． （1）图中有哪几对相似三角形？把它们写出来；ＡＢＣＡ ＤＯＢ ＡＢＤ（2）证明你所写出的结论．答案：（1）解：图中的相似三角形有三对，它们分别是AOD BOC AOBDOC △∽△，△∽△， ABD EBC △∽△ （2）证明：12AOD BOC ∠=∠∠=∠，，AOD BOC ∴△∽△，AO OD OB OC =，即AO OBOD OC=， 又DOC AOB ∠=∠，AOB DOC ∴△∽△又34∠=∠，43EBD EBO ∴∠+∠=∠+∠即ABD EBC ∠=∠ABD EBC ∴△∽△．知识点：三角形相似的条件 试题类型：运算题 试题难度：中等 考查目标：双基简单应用 第20题. 如图12，P 是y 轴上一动点，是否存在平行于y 轴的直线x t =，使它与直线y x =和直线122y x =-+分别交于点D E 、（E 在D 的上方），且PDE △为等腰直角三角 形．若存在，求t 的值及点P 的坐标；若不存在，请说明原因．答案：解：存在．方法一：当x t =时，y x t ==；当t =时，112222y x t =-+=-+． E ∴点坐标为1(2)2t t -+，，D 点坐标为(t t ，． E 在D 的上方，132222DE t t t ∴=-+-=-+，且43t <．3分PDE △为等腰直角三角形，PE DE PD DE PE PD ∴===或或． 若022t PE DE t t >=-+=3，时，， 4182.525t t ∴=-+=，P ∴点坐标为805⎛⎫ ⎪⎝⎭，．若3022t PD DE t t >=-+=，时，， ＤＡＣ ＢＯ Ｅ1 234图12O122y x =-+y x = y x4.5t P ∴=∴点坐标为405⎛⎫ ⎪⎝⎭，．若0t PE PD >=，时，即DE 为斜边，322.2t t ∴-+= 47t DE ∴=，的中点坐标为114t t P ⎛⎫+∴ ⎪⎝⎭，，点坐标为807⎛⎫⎪⎝⎭，． 若0t PE DE PD DE <==，和时，由已知得32402DE t t t t =--+=-=>，， （不符合题意，舍去）， 此时直线x t =不存在．若0t <，PE PD =时，即DE 为斜边，由已知得32222DE t t t =--+=-，， 14104t t P ∴=-+=∴，，点坐标为(00)，． 综上所述：当45t =时，PDE △为等腰直角三角形，此时Ｐ点坐标为805⎛⎫ ⎪⎝⎭，或 405⎛⎫ ⎪⎝⎭，；当47t =时，PDE △为等腰直角三角形，此时Ｐ点坐标为807⎛⎫⎪⎝⎭，；当4t =-时，PDE △为等腰直角三角形，此时Ｐ点坐标为(00)，． 方法二：设直线122y x =-+交y 轴于点A ，交直线y x =于点B ，过B 点作BM 垂直于y 轴，垂足为M ，交DE 于点N ．x t =平行于y 轴，MN t ∴=．43142..23y x x y x y ⎧==⎧⎪⎪⎪⎨⎨=-+⎪⎪=⎩⎪⎩，，解得B ∴点坐标为444.333BM ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，， 2分当0x =时，1222y x A =-+=∴，点坐标为(02) 2.OA ∴=，，3分PDE △为等腰直角三角形，.PE DE PD DE PE PD ∴===或或如图４，若0t PE DE >=，和PD DE =时，PE t PD t DE OA ∴==，，∥，BDE BOA ∴△∽△，DE BNOA BM∴=．443.4253t t t -∴=∴=，当45t =时，1842.255y x y x =-+===，P ∴点坐标为805⎛⎫ ⎪⎝⎭，或405⎛⎫ ⎪⎝⎭，．若0t PD PE >=，时，即DE 为斜边，22DE MN t ∴==．.DE BNDE OA BDE BOA OA BM∴∴∴=∥，△∽△， 42434273MNMN MN t DE -∴=∴==，，中点的纵坐标为181.47t P +=∴点坐标为807⎛⎫⎪⎝⎭， 如图5，若0t PE DE PD DE <==，或时，DE OA ∥，.DE BNBDE BOA OA BM∴∴=△∽△， 4DE =-（不符合题意，舍去），此时直线x t =存在． 10分若0t PE PD <=，时，即DE 为斜边，22DE MN t ∴==-..DE BNDE OA BDE BOA OA BM∴∴=∥，△∽△4213 4.4104243MNMN MN t t +∴=∴=∴=-+=，，P ∴点坐标为（０，０）． 综上述所述：当45t =时，PDE △为等腰直角三角形，此时P 点坐标为805⎛⎫ ⎪⎝⎭，或 405⎛⎫ ⎪⎝⎭，；当47t =时，PDE △为等腰直角三角形，此时P 点坐标为807⎛⎫⎪⎝⎭，；当 4t =-时，PDE △为等腰直角三角形，此时P 点坐标为（０，０）． 知识点：6 探索三角形相似的条件 综合知识点 试题类型：合情推理题 试题难度：较难 考查目标：数学思考图5OyxDNMEABx 图4OyD N MEAB………………………………………………最新资料推荐……………………………………… 第21题.如图，P 是Rt ABC △的斜边BC 上异于B 、C P 点作直线截ABC △，使截得的三角形与ABC △相似，满足这样条件 的直线共有（ ）条Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 答案：C知识点：三角形相似的条件 试题类型：选择题 试题难度：中等 考查目标：数学思考第22题. ．如图５，ABCD 是平行四边形，则图中与DEF △相似的三角形 共有（ ） (A)１个 (B)２分(C)３个(D)4个答案：B知识点：三角形相似的条件 试题类型：选择题 试题难度：容易 考查目标：基础知识 第23题. 如图，梯形ABCD 中，AD //BC ，BD 为对角线，中位线EF 交BD 于O 点，若FO －EO =3，则BC －AD 等于A ．4B ．6C ．8D ．10答案：B试题号：13094 知识点：三角形相似的条件 试题类型：选择题 试题难度：中等 考查目标：双基简单应用 录入时间：2005-9-15(13134)第24题. 如图，AF CE ⊥，垂足为点21O AO CO EO FO ====，，． （1）求证：点F BC 为的中点； （2）求四边形BEOF 的面积． 答案：解：（1）连结EF AC ， ∵21AO CO EO FO ====，， 12EO FO OCOA==∴． EF AC ∴∥．BＡＢCDE F图５第12题 OCFEBAOFEB………………………………………………最新资料推荐………………………………………12BF EF EO BC AC OC ===∴． F BC ∴为的中点．（2）由（1）知，F BC 为的中点．113(21)1222BEF CEFSSCE OF ===⨯+⨯=∴． 又11111222OEF S OE OF ==⨯⨯=，∴31222BEF OEF BEOF S S S =+=+=四边形知识点：三角形相似的条件 试题类型：运算题 试题难度：中等 考查目标：双基简单应用 第25题. 小胖和小瘦去公园玩标准的．．．跷跷板游戏，两同学越玩越开心，小胖对小瘦说：“真可惜！我只能将你最高翘到1米高，如果我俩各边的跷跷板都再伸长相同的一段长度，那么我 就能翘到1米25，甚至更高！”（1）你认为小胖的话对吗？请你作图分析说明； （2）你能否找出将小瘦翘到1米25高的方法？试说明． 解：答案：解：（1）小胖的话不对．小胖说“真可惜！我现在只能将你最高翘到1 米高”，情形如图（1）所示，OP 是标准跷跷板支架的高度，AC 是跷跷板一端能翘到的最 高高度1米，BC 是地面．.OP BC AC BC OBP ABC OBP ABC ∠=∠∴⊥，⊥，，△∽△.BO OPBA AC∴= 又此跷跷板是标准跷跷板，BO OA =，12BO BA ∴=，而1AC =米，得0.5OP =米． 若将两端同时都再伸长相同的长度，假设为a 米(0)a >． 如图（2）所示，BD a =米，AE a =米BO OA BO a OA a =∴+=+，，即DO OE =．地面Ｐ第23题图ＯＡＢＥ………………………………………………最新资料推荐………………………………………11 / 1112DO DE ∴=，同理可得DOP DEF △∽△． DO OPDE EF ∴=，由0.5OP =米，得1EF =米．综上所述，跷跷板两边同时都再伸长相同的一段长度， 跷跷板能翘到的最高高度始终为支架OP 高度的两倍， 所以不可能翘得更高．（2）方案一：如图（3）所示，保持BO 长度不变．将 OA 延长一半至E ，即只将小瘦一边伸长一半． 使12AE OA =，则25BO BE =． 由BOP BEF △∽△，得.BO OPBE EF= 1.25EF ∴=米．方案二：如图（4）所示，只将支架升高0.125米．12B O B O P B AC B A ''''''''=''，△∽△，又0.50.1250.625O P ''=+=米．B O O P B A A C''''∴=''''． 1.25A C ''∴=米． （注：其它方案正确，可参照上述方案评分！）知识点：6 探索三角形相似的条件 综合知识点 试题类型：运算题 试题难度：中等 考查目标：双基简单应用第26题. 在△ABC 中，DE BC ∥，2AD =，3AE =，4BD =，则AC =． 答案：9知识点：6 探索三角形相似的条件 综合知识点 试题类型：填空题 试题难度：容易 考查目标：基础知识ＯＣ Ａ（3）FＥA '（4）CP 'B 'O '。
相似三角形性质与判定专项练习30题(有答案)
相似三角形性质与判定专项练习30题(有答案)1.在三角形ABC中，点D在边BC上，且∠BAC=∠DAG，∠XXX∠BAD。
证明：=。
当GC⊥BC时，证明：∠BAC=90°。
2.在三角形ABC中，∠ACB=90°，点D在边BC上，CE⊥AB，CF⊥AD，E、F分别是垂足。
证明：AC^2=AF•AD。
联结EF，证明：AE•DB=AD•EF。
3.在三角形ABC中，PC平分∠ACB，PB=PC。
证明：△APC∽△ACB。
若AP=2，PC=6，求AC的长。
4.在平行四边形ABCD中，过B作BE⊥CD，垂足为点E，连接AE，F为AE上一点，且∠XXX∠C。
证明：△ABF∽△EAD。
若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长。
5.在三角形ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC。
证明：AB•BC=AC•CD。
6.在直角三角形ABC中，AC=BC，点E、F在AB上，∠ECF=45°，设△ABC的面积为S。
说明AF•BE=2S的理由。
7.在等边三角形ABC中，边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P。
若AE=CF，证明：AF=BE，并求∠APB的度数。
若AE=2，试求AP•AF的值。
若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长。
8.在钝角三角形ABC中，AD，BE是边BC上的高。
证明。
9.在三角形ABC中，AB=AC，DE∥BC，点F在边AC 上，DF与BE相交于点G，且∠XXX∠ABE。
证明：（1）△DEF∽△BDE；（2）DG•DF=DB•EF。
10.在等边三角形ABC、△DEF中，点D为AB的中点，E在BC上运动，DF和EF分别交AC于G、H两点，BC=2.问E在何处时CH的长度最大？11.在AB和CD交于点O的图形中，当∠A=∠C时，证明：OA•OB=OC•OD。
12.在等边三角形△AEC中，以AC为对角线做正方形ABCD（点B在△AEC内，点D在△AEC外）。
上海市初三数学相似三角形经典题型(完整资料)
此文档下载后即可编辑相似三角形的判定练习例题分析：例1：已知如图，在△ABC 中，D 是AB 上的一点，连结CD ，∠ACD=∠B,求证：2 AE AD AC =例2：如图，在Rt ΔABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，(1)求证：△ACD ∽△ABC ∽△CBD(2)求证：222(1) (2) (3)AC AD AB CD AD DB BC BD AB ===例3：已知如图，点D 是AB 上的一点，CA ⊥AB,EB ⊥AB,CD ⊥DE,求证：△ACD ∽△BDE例4：在△ABC 中，AB=6，AC=9，D 为AC 上的一点，AD=3，在AB 上找一点E ，使得△ADE 与△ABC 相似？并求出AE 的长。
两个三角形相似的六种图形：1. 如图在△ABC中，D是BC边的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，交AB于点E，EC交AD于点F．求证：△ABC∽△FCD；2、已知：如图，△ABC中，∠ACB=900，AB的垂直平分线交AB于D，交BC延长线于F。
求证：CD2=DE·DF3. 如图3，△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线FE交BC的延长线于E．求证：DE2＝BE·CE．4.如图，已知△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，CF∥BA，BF交AD于P点，交AC于E点。
求证：BP2=PE·PF。
AEB D CF5.如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB6.如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于点F．求证：AB DF AC AF．7.已知如图，在平行四边形ABCD中，AC=2AB,求证：△AOB∽△ABC8. 已知:如图,ΔABC中,CE⊥AB,BF⊥AC.求证:(1)△AEC∽△AFB (2) △AEF∽△ACB6.如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，G是DC延长线上一点，过B作BE⊥AG，垂足为E，交CD于点F．求证：CD2＝DF·DG．7.如图，△ABC中，点DE在边BC上，且△ADE是等边三角形，∠BAC=120°求证：（1）△ADB∽△CEA;（2）DE²=BD·CE;(3)AB·AC=AD·BC.8．如图，平行四边形ABCD中，E为BA延长线上一点，∠D=∠ECA.求证：AD·EC=AC·EB9.如图，E是平行四边形的边DA延长线上一点，EC交AB于点G,交BD于点F,求证：FC²=FG·EF.10.如图，ABCD 为直角梯形，AB ∥CD,AB ⊥BC,AC ⊥BD 。
《相似三角形》中考复习题专题及答案
《相似三角形》复习题及答案一.选择题(1)△ABC 中，D 、E 、F 分别是在AB 、AC 、BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，那么下列各式正确的是( ) A.DB AD =EC BF B.AC AB =FCEF C.DB AD =FC BF D.EC AE =BF AD (2)在△ABC 中，BC=5,CA=45,AB=46,另一个与它相似的三角形的最短边是15，则最长边是( ) A.138 B.346 C.135 D.不确定(3)在△ABC 中，AB=AC,∠A=36°，∠ABC 的平分线交AC 于D ，则构成的三个三角形中，相似的是( )A.△ABD ∽△BCDB.△ABC ∽△BDCC.△ABC ∽△ABDD.不存在(4)将三角形高分为四等分，过每个分点作底边的平行线，将三角形分四个部分，则四个部分面积之比是（ ）A.1∶3∶5∶7B.1∶2∶3∶4C.1∶2∶4∶5D.1∶2∶3∶5(5)下列命题中，真命题是( )A.有一个角为30°的两个等腰三角形相似B.邻边之比都等于2的两个平行四边形相似C.底角为40°的两个等腰梯形相似D.有一个角为120°的两个等腰三角形相似(6)直角梯形ABCD 中，AD 为上底，∠D=Rt ∠，AC ⊥AB ，AD=4，BC=9，则AC 等于( )A.5B.6C.7D.8 (7)已知CD 为Rt △ABC 斜边上的中线，E 、F 分别是AC 、BC 中点，则CD 与EF 关系是( )A.EF ＞CDB.EF=CDC.EF ＜CDD.不能确定(8)下列命题①相似三角形一定不是全等三角形 ②相似三角形对应中线的比等于对应角平分线的比；③边数相同，对应角相等的两个多边形相似；④O 是△ABC 内任意一点.OA 、OB 、OC 的中点连成的三角形△A′B′C′∽△ABC 。
其中正确的个数是( )A.0个B.1个C.2个D.3个(9)D 为△ABC 的AB 边上一点，若△ACD ∽△ABC ，应满足条件有下列三种可能①∠ACD=∠B ②∠ADC=∠ACB ③AC 2=AB·AD ，其中正确的个数是( )A.0个B.1个C.2个D.3个(10)下列命题错误的是( )A.如果一个菱形的一个角等于另一个菱形的一个角，则它们相似B.如果一个矩形的两邻边之比等于另一个矩形的两邻边之比，则它们相似C.如果两个平行四边形相似，则它们对应高的比等于相似比D.对应角相等，对应边成比例的两个多边形相似二、填空题(1)比例的基本性质是________________________________________(2)若线段a=3cm,b=12cm,a、b的比例中项c=________,a、b、c的第四比例线段d=________(3)如下图，EF∥BC，若AE∶EB=2∶1,EM=1,MF=2,则AM∶AN=________,BN∶NC=________(4)有同一三角形地块的甲乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，则甲地图与乙地图的相似比为________，面积比为________(5)若两个相似三角形的面积之比为1∶2，则它们对应边上的高之比为________(6)已知CD是Rt△ABC斜边AB上的高，则CD2=________(7)把一个三角形改成和它相似的三角形，如果边长扩大为原来的10倍，那么面积扩大为原来的____倍，周长扩大为原来的______倍.(8)Rt△ABC中，∠C=90°,CD为斜边上的高。
完整版相似三角形性质与判定专项练习30题有答案
相似三角形性质和判定专项练习30题(有答案) 1 已知：如图，在△ ABC中，点D在边BC上，且/ BAC= / DAG , / CDG= / BAD2.如图，已知在△ ABC中，/ ACB=90 °点D在边BC上，CE丄AB , CF丄AD , E、 (1)求证：AC2=AF?AD；F分别是垂足.(1)求证：丄丄厶；AB AC(2)当GC丄BC 时，求证：/ BAC=90 °4. 如图，在平行四边形ABCD中，过B作BE丄CD，垂足为点E,连接AE , F为AE上一点，且 / BFE= / C.(1)求证：△ ABF EAD ;(2)若AB=4 , / BAE=30 ° 求AE 的长.E5. 已知：如图，△ ABC 中，/ ABC=2 / C, BD 平分/ABC . 求证：AB?BC=AC?CD .6. 已知△ ABC , / ACB=90 ° AC=BC，点E、F 在AB 上，/ ECF=45 ° 设厶ABC 的面积为S,说明AF?BE=2S7 •等边三角形 ABC 的边长为6,在AC , BC 边上各取一点 E , F ,连接AF ,BE 相交于点P . (1) 若 AE=CF ;① 求证：AF=BE ，并求/ APB 的度数； ② 若AE=2，试求 AP?AF 的值；(2) 若AF=BE ，当点E 从点A 运动到点C 时，试求点P 经过的路径长.9. 已知：如图，在 △ ABC 中，AB=AC , DE // BC ,点F 在边AC 上, DF 与BE 相交于点 G ,且/ EDF= / ABE . 求证：(1) △ DEFBDE ； (2) DG?DF=DB?EF .&如图所示，AD , BE 是钝角△ ABC 的边BC , AC 上的高，求证:AD =AC BE =BC3 C10. 如图，△ ABC 、△ DEF 都是等边三角形，点 D 为AB 的中点，E 在BC 上运动，DF 和EF 分别交AC 于G 、H 两点，BC=2，问E 在何处时CH 的长度最大？12 .如图，已知等边三角形 △ AEC ，以AC 为对角线做正方形 ABCD (点B 在厶AEC 内，点D 在厶AEC 夕卜).连接 EB ,过E 作EF 丄AB ，交AB 的延长线为 F .(1) 猜测直线BE 和直线AC 的位置关系，并证明你的猜想. (2) 证明：△ BEF ABC ，并求出相似比.OA?OB=OC?OD .13. 已知：如图， △ ABC 中，点D 、E 是边AB 上的点,(1)求证：△ CEDACD ; 2CD 平分 / ECB ，且 BC =BD ?BA .O ,当/ A= / C 时，求证: A D14. 如图，△ ABC中，点D、E分别在BC和AC边上，点G是BE边上一点，且 / BAD= / BGD= / C,联结AG .(1)求证：BD?BC=BG ?BE ;(2)求证：/ BGA= / BAC .15. 已知：如图，在△ ABC中，点D是BC中点，点E是AC中点，且AD丄BC, BE丄AC , BE, AD相交于点G , 过点B 作BF // AC交AD的延长线于点F, DF=6 .(1)求AE的长；(2)求邑匹的值.^AFBG16 .如图，△ ABC 中，/ ACB=90 ° D 是AB 上一点，M 是CD 中点，且/ AMD= / BMD , AP // CD 交BC 延长线于P 点，延长BM交PA于N点，且PN=AN .(1)求证：MN=MA ;(2)求证：/ CDA=2 / ACD .连接AE ，若AB=6 , AE=5时，求线段 AG 的长.17. 已知：如图，在 △ ABC 中，已知点 D 在BC 上，联结 AD ，使得/ CAD= / B , DC=3且S A ACD : S A ADB = 1 : 2. (1)求AC 的值；(2) 若将△ ADC 沿着直线AD 翻折，使点 C 落点E 处，AE 交边BC 于点F ，且AB // DE ，求18. 在△ ABC 中，D 是BC 的中点，且 AD=AC , DE 丄BC ,与AB 相交于点E , EC 与AD 相交于点F . (1)求证：△ ABC FCD ;(2) 若 DE=3 , BC=8，求△ FCD 的面积.19 .如图，△ ABC 为等边三角形， D 为BC 边上一点，以 AD 为边作/ ADE=60 ° DE 与厶ABC 的外角平分线 交于点E . (1)求证：/ BAD= / FDE ;CE的20. 如图所示，△ ABC 中，/ B=90 °点P 从点A 开始沿AB 边向B 以1cm/s 的速度移动，点 Q 从B 点开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动.(1)如果P , Q 分别从A , B 同时出发，经几秒，使 △ PBQ 的面积等于8cm 2?21. 已知：如图，△ ABC 是等边三角形，D 是AB 边上的点，将 DB 绕点D 顺时针旋转60。
2015年上海中考数学专题-等腰相似直角三角形存在性问题试题一和参考答案
2015年上海中考数学专题-等腰相似直角三角形存在性问题试题一和参考答案研究创造才智，知识成就未来。
以下是上海市初中数学考试的几道题目。
题目一：等腰相似直角三角形存在性问题给定顶点为P(4,-4)的二次函数图像，经过原点，并且点A在该图像上。
连接OA与对称轴l的交点为M，点M和N 关于点P对称，连接AN和ON。
1) 求该二次函数的关系式。
2) 若点A的坐标是(6,-3)，求△ANO的面积。
3) 当点A在对称轴l右侧的二次函数图像上运动时，请回答以下问题：①证明：∠ANM=∠XXX。
②△ANO能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A的坐标，如果不能，请说明理由。
题目二：等腰三角形的存在性问题在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△XXX与△XXX重合在一起，△XXX不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE、始终经过点A，EF与AC交于M点。
1) 求证：△ABE∽△ECM。
2) 探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，请求出BE的长；若不能，请说明理由。
3) 当线段AM最短时，求重叠部分的面积。
题目三：抛物线问题已知抛物线y=3/2x^2+bx+63经过A(2,0)。
设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B。
1) 求b的值，求出点P、点B的坐标。
2) 如图，在直线y=3x上是否存在点D，使四边形OPBD 为平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。
3) 在x轴下方的抛物线上是否存在点M，使△AMP≌△AMB？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由。
题目四：三角形问题在△ABC中，∠ABC=45°，tan∠ACB=1.把△XXX的一边BC放置在x轴上，有OB=14，OC=AC与y轴交于点E。
1) 求AC所在直线的函数解析式。
2) 过点O作OG⊥AC，垂足为G，求△OEG的面积。
沪教版九年级数学同步练习：第二十四章相似三角形第三节相似三角形的判定
相似三角形相似三角形的判定（1）一、选择题1．下列语句不正确的是（ ）A ．两个等边三角形是相似三角形B ．有一个角为40°的两个等腰三角形相似C ．有一个角为100°的两个等腰三角形相似D ．两个等腰直角三角形是相似三角形2．下列条件不能判定ABC ∆∽'''C B A ∆的是（ ）A ．︒=∠30A ，︒=∠50B ，︒=∠30'A ，∠C=100°B ．B A ∠=∠，''C B ∠=∠，'A C ∠=∠C ．'A A ∠=∠，''C B C B -∠∠=∠-∠D ．'A A ∠=∠，''C B C B +∠∠=∠+∠3．如图1，已知：点D 在ABC ∆的边AB 上，且B ACD ∠=∠，则下列各式中一定成立的是（ ）A ．AB AD AC ⋅=2 B ．AC CD AB AD = C ．BC CD DB AD = D ．BC AC AC CD = 二、填空题1．如图2，已知：BC AD 、相交于点O ，C A ∠=∠，若4=AO ，6=OB ，8=OC ，则OD =_______．2．如图3，已知：BE AD 、是ABC ∆的两条高，BE AD 、相较于点O ，则图中共有______对相似三角形．3．如图4，已知：CD 是ABC Rt ∆斜边上的高，则_________==CDAD ． 4.如图5，已知：点D 在ABC ∆的边AB 上，B ACD ∠=∠，6=AC ，4=AD ，BD =_______． 5.如图6，已知：点D 在ABC ∆的边上，2=AD ，9=AB ，6=AC .过点D 的直线交AC 于点E ，使以点A 、D 、E 为顶点的三角形与ABC ∆相似，则AE =________．三、简答题1.求证：顶角对应相等的两个等腰三角形相似．2.如图，已知：等腰三角形ABC 中，点D 在BC 边上，B EDF ∠=∠，求证：BD DC FC BE ⋅=⋅．3.如图，已知：21∠=∠，ABC ADE ∠=∠，求证：AE AB AC AD ⋅=⋅．4.如图，已知：等腰ABC ∆中，AC AB =，︒=∠108BAC ，AB BD =，求:BC BD 的值．5.如图，已知：ABC ∆中，点E 是AB 上一点，AC CE =，点D 在BC 上，DB DE =，DE 的延长线与CA 的延长线相交于点F ，连接CE ，求证：DF DE CD ⋅=2． 相似三角形的判定（2）一、选择题1.如图，已知：点E D 、分别在ABC ∆的边AC AB 、上，若AC AE AB AD ⋅=⋅，则下列各式中不能成立的是（ ）A ．ADE ∆∽ACB ∆ B ．B AED ∠=∠C ．AB AE BC DE = D ．ABAD BC DE = 2. ABC ∆与'''C B A ∆中，由下列条件能推出ABC ∆∽'''C B A ∆的 是（ ） A ．''''C A AC B A AB =，'B B ∠=∠ B ．''''C A AC B A AB =，'A A ∠=∠ C ．AC AB =，''''C A B A =，'B B ∠=∠ D ．AC AB =，''''C A B A =，'C C ∠=∠ 3.如图，已知：在ABC ∆中，CD 是高，由下列条件不一定能得出ABC ∆是直角三角形的是（ ）A ．CD AD BC AC =B ．B ACD ∠=∠C ．BCBD AB BC = D ．AB AD AC ⋅=2 二、填空题1.如图1，已知ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，3=AC ，4=BC ，点D 为AB 的中点，当BE =______时，AB DE ⊥．2.如图2，已知：BD 平分ABC ∠，2=AB ，6=BC ，当BD =________时，ABD ∆∽BDC ∆.3.如图3，添加一个条件___________，则以点E D A 、、为顶点的三角形与ABC ∆相似．4. ABC ∆与'''C B A ∆中，若''''B A BC C A AB =，又∠_____=∠______时，能推出ABC ∆与'''C B A ∆． 三、简答题1.如图，已知OD BO OC AO ⋅=⋅，求证：AE DE EB CE ⋅=⋅．2.已知ABC ∆与'''C B A ∆中，AC AB =，''''C A B A =，'B B ∠=∠，求证：ABC ∆∽'''C B A ∆．3.如图，已知4=AD ，5=DC ，6=AB ，求证：ADB ABC ∠=∠．4.如图，在ABC ∆中，点E D 、在BC 边上，ADE ∆是等边三角形，EC BD DE ⋅=2，求证：︒=∠120BAC ．5.如图，正方形ABCD 中，点F E 、分别在BC DC 、上，EC DE 21=，2:7:=FC BF ， 求证：︒=∠90AEF ． 6.如图，在ABC ∆中，AE BD 、分别是BC AC 、上的高，AE BD 、相交于点O ，连接DE ，求证（1）CDE ∆∽CBA ∆，（2）DOE ∆∽AOB ∆．7.如图，已知：在ABC ∆中，AE 是BC 上的高，CD BD ⊥，AE 的延长线交BD 于F ，BD BF AB ⋅=2，求证: ︒=∠90BAC ．相似三角形的判定（3）一、选择题1.下列四组条件中，不能判定ABC ∆∽DEF ∆的是（ ）A. 2=AB ，22=BC ，4=AC ，3=DE ，33=EF ，6=DFB. ︒=∠36A ，︒=∠64B ，︒=∠36E ，︒=∠80FC. ED AC EF AB ::=，且E A ∠=∠D. ︒=∠=∠60E A ，AC BC =，FD DE =2.给出四个命题:①三边对应成比例的两个三角形相似②一个锐角对应相等的两个直角三角形相似③两边对应成比例，且有一个角对应相等的两个三角形相似④有一个角对应相等的两个等腰三角形相似其中不正确的有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3.已知ABC ∆的三边长为2、3、4，DEF ∆的一边长为6，若ABC ∆∽DEF ∆，则DEF ∆的另两边不可能是下列（ ）组A. 12，9B.29，3 C. 8，4 D. 18，24 二、填空题1.ABC ∆与DEF ∆中，6=AB ，8=BC ，12=AC ，6=EF ，9=DE ，DF =_______时，ABC∆∽DEF ∆．2.ABC ∆中，6=AB ，8=BC ，7=CA ，延长CA 至点P ，使PBC ∆∽PAB ∆，则AP = ____．3.已知两个三角形三边长分别为32、6、34与6，33，3时，这两个三角形_____相似三角形（填“是”或“不是”）．4. ABC ∆与DEF ∆中，AC AB =，DF DE =，添加一个条件：_______________________时，ABC ∆∽DEF ∆．三、简答题1.如图，已知AC AE BC DE AB AD ==，求证：ADB ∆∽AEC ∆．2.求证：腰及腰上中线对应成比例的两个等腰三角形相似．3.如图，画一个与ABC ∆相似的三角形，并证明．4.如图，已知：正方形ABCD 中，点E 是AD 的中点，点F 在DC 上，且DF CF 3=，BF EG ⊥，垂足为G ，求证：BF BG BE ⋅=2． 5.如图，已知：ABC ∆与'''C B A ∆中，︒=∠=∠90'''C A B BAC ，AD 、''D A 分别是BC 、''C B 上的中线，''''B A AB D A AD =，求证：ABC ∆∽'''C B A ∆． 相似三角形的判定（4）一、选择题1. ABC Rt ∆和MNP Rt ∆中，︒=∠=∠90P B ，依据下列各组条件不能判定这两个三角形相似的是（ ）A ．︒=∠46A ，︒=∠44MB ．9,6,6,4====PN MP BC ABC ．9,6,6,4====MN PN AC ABD ．9,6,6,4====MN MP BC AB2. ABC ∆中，︒=∠90C ，CD 是斜边上的高，下列结论不一定成立的是（ ）A.222111CDBC AC =+ B. AD BC DB AC ⋅=⋅ C.BD AD BCAC =22 D. AD BC CD AC ⋅=⋅ 3. ABC ∆中，CD 是AB 上的高，由下列条件不一定能推出︒=∠90ACB 的是（ ）A. ︒=∠+∠90ACD BB. DB AD CD ⋅=2C. DBCD BC AC = D. DCB A ∠=∠ 二、填空题1.如题1，已知：ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，CD 是AB 上的高，∥MN AB 且与CD 相交于点O ，则图中与ABC ∆相似的三角形有________个．2.如图2，已知: ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，AD ⊥AC ，则图中与ABC ∆相似的三角形是_______________________．3.如图3，已知：矩形ABCD 中，点P 是BC 上不与B 、C 重合的点，2=AB ，8=BC ，BP =____时，PD AP ⊥．三、简答题1.如图，已知：四边形ABCD 中，︒=∠90A ，DC BD ⊥，4=AD ，6=BD ，9=BC ，求证：AD ∥BC ．“教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2015年上海中考数学《相似三角形的判定》复习题
一、填空题
1. 如果两个三角形相似，那么它们的对应边__________，对应角__________。
2. 相似三角形的对应__________的比，叫做相似比，相似比的值为1时，两个相似三角形一定是_________三角形。
3. 已知△A1B1C1∽△A2B2C2，相似比为1
2，△A2B2C2∽△A3B3C3，相似比为
2
5，
则△A1B1C1与△A3B3C3__________(填“相似”或“不相似”)，相似比为__________。
4.如图，已知AC、BD相交于点O，∠A＝∠D，若AO＝4，OB＝6，OC＝8，则OD＝__________。
5.▲如图，在矩形ABCD中，AB＝2，CB＝1，E是DC上的一点，∠DAE＝∠BAC，则EC＝__________。
（第4题图)（第5题图)
6.★已知点D在△ABC的边AB上，AD＝2，AB＝9，AC＝6，过点D的直线交AC于点E，使以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，则AE＝__________。
二、解答题
7.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠1＝∠B，若AB＝8，AD＝4，BC＝9，求AC，DC的长。
8. 如图，已知∠1＝∠2，∠ADE＝∠ABC，求证：AD·AC＝AB·AE。
9. 如图，在△ABC中，BC＝AB，F是AC边上一点，E、D分别是BC、AB 上的点，∠EFD＝∠A，求证△CEF∽△AFD。
10.▲ 如图，在ABC ∆中，︒=∠90C ,AD 是CAB ∠角平分线，AE BE ⊥，垂足
为点E ，求证： AE DE BE ⋅=2。
三．拓展题
11. ★ 如图，已知△ABC 中，点E 是AB 上一点，CE ＝AC ，点D 在BC 上，
DE ＝DB ，DE 的延长线与CA 的延长线相交于点F 。
求证：CD 2＝DE ·DF 。