求递推数列通项公式的常用方法

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最全的递推数列求通项公式方法

最全的递推数列求通项公式方法递推数列是指数列中的每一项都由前一项通过其中一种规律得出。

求递推数列的通项公式是数学中的重要问题，可以通过多种方法实现。

下面将介绍最常用的几种方法。

1.等差数列通项公式等差数列是指数列中的每一项与前一项之差都相等的数列。

设等差数列的第一项为a1，公差为d，则第n项为an=a1+(n-1)d。

这是等差数列的通项公式。

2.等比数列通项公式等比数列是指数列中的每一项与前一项之比都相等的数列。

设等比数列的第一项为a1，公比为r，则第n项为an=a1*r^(n-1)。

这是等比数列的通项公式。

3.斐波那契数列通项公式斐波那契数列是指数列中的每一项都是前两项之和。

设斐波那契数列的第一项为a1，第二项为a2，则第n项为an=a(n-1)+a(n-2)。

但通常情况下，我们将斐波那契数列的第一项设为0，第二项设为1，此时的通项公式为an=F(n-1)，其中F(n-1)表示第n-1个斐波那契数。

4.龙贝尔数列通项公式龙贝尔数列是指数列中的每一项都是前一项与当前项索引之和。

设龙贝尔数列的第一项为a1，则第n项为an=a(n-1)+n。

这是龙贝尔数列的通项公式。

5.通项公式的递推法有些数列并没有明确的通项公式，但可以通过递推法求得通项公式。

递推法的核心思想是找到数列中的其中一种规律，通过前面的项得出后面的项。

这种方法比较灵活，可以适用于各种类型的数列。

总结起来，以上是求递推数列通项公式的几种常见方法。

在实际中，我们可以观察数列的规律，推测出通项公式，然后通过数学推导证明其正确性。

对于复杂的递推数列，我们可能需要运用更多的数学知识和技巧，如离散数学、线性代数等。

求递推数列通项公式的常用方法

求递推数列通项公式的常用方法一公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有1n n n a S S -=-(2)n ≥，等差数列或等比数列的通项公式。

例一已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，并且*1()n n a S n N +=∈，求{}n a 的通项公式？【解析】： 1n n S a =-，∴ 111n n n n n a S S a a +++=-=-，∴ 112n n a a +=，又112a =， ∴ 12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭.反思：利用相关数列{}n a 与{}n S 的关系：11a S =,1n n n a S S -=-(2)n ≥与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键.跟踪训练 1.已知数列{}n a 的前n 项和n S ，满足关系()1lgn S n +=(1,2)n =⋅⋅⋅.试证数列{}n a 是等比数列.二归纳法：由数列前几项用不完全归纳猜测出数列的通项公式，再利用数学归纳法证明其正确性，这种方法叫归纳法.例二已知数列{}n a 中，11a =，121(2)n n a a n -=+≥，求数列{}n a 的通项公式. 【解析】： 11a =，121(2)n n a a n -=+≥，∴2121a a =+3=，3221a a =+7=⋅⋅⋅⋅ 猜测21n n a =-*()n N ∈，再用数学归纳法证明.（略）反思：用归纳法求递推数列，首先要熟悉一般数列的通项公式，再就是一定要用数学归纳法证明其正确性.跟踪训练2.设{}n a 是正数组成的数列，其前n 项和为n S ，并且对于所有自然数n ，n a 与1的等差中项等于n S 与1的等比中项，求数列{}n a 的通项公式.三累加法：利用1211()()n n n a a a a a a -=+-+⋅⋅⋅-求通项公式的方法称为累加法。

数列递推公式求通项公式的方法

数列递推公式求通项公式的方法数列是指按照一定规律排列的一组数。

而数列递推公式是指通过前一项或几项的数值，推导出数列中后一项的数值的公式。

而求解数列通项公式，即通过已知的数列的部分项求得数列的通项公式的方法，可以分为以下几种：1.列表法：通过列出数列的前几项进行观察和总结，找到数列的规律，从而推导出数列的通项公式。

这种方法常用于找出简单数列的通项公式，如等差数列和等比数列。

2.递推法：利用数列递推的性质，通过对数列进行递推推导出通项公式。

递推法常用于复杂的数列，需要将数列的前几项与后几项进行比较，找到规律并推导出通项公式。

3.数学归纳法：数学归纳法是一种利用已知的数学命题，在该命题的基础上证明该命题对任意自然数（或整数）都成立的方法。

对于数列来说，可以利用已知的数列部分项的性质，通过数学归纳法证明该数列的通项公式的正确性。

4.差分法：差分法是一种通过对数列进行差分操作，将数列变为新的数列，新数列有可能是个数列递推公式/规律更简单的数列。

然后，根据新数列的通项公式，再通过反差分操作推导出原数列的通项公式。

差分法常用于较为复杂的数列，特别适合于数列中的递推关系较为难以发现的情况。

5.比率法：比率法是一种通过比较数列的相邻项之间的比率或比值的变化规律，推导出数列的通项公式的方法。

比率法常用于等比数列或存在比率规律的数列。

需要注意的是，求解数列通项公式并不是一种机械性的计算过程，而是需要灵活运用数学知识、观察和总结数列的规律，并进行推理和证明的过程。

在实际应用中，也可能需要结合上述多种方法进行综合分析来求解数列的通项公式。

根据递推关系求数列通项公式的几种方法

根据递推关系求数列通项公式的几种方法要求根据递推关系求解数列的通项公式，其实是要求找到一个能将数列的每一项都表示为n（项数）的函数的公式。

在数学中，有几种方法可以求解这类问题。

一、代数方法：对于一些简单的递推关系，可以尝试使用代数方法来求解数列的通项公式。

这种方法通过观察数列中的模式，尝试将递推关系转化为代数方程，然后解方程得到通项公式。

例如，我们考虑求解斐波那契数列的通项公式。

斐波那契数列的递推关系为：Fn=Fn-1+Fn-2，其中F1=1，F2=1我们假设通项公式为Fn=k1a^n+k2b^n，其中k1、k2为常数，a、b为待定数。

k1a^n+k2b^n=k1a^(n-1)+k2b^(n-1)+k1a^(n-2)+k2b^(n-2)整理得：k1a^2-k1a-k2=0。

解这个方程，可以得到a和b的值，然后将a和b的值代入通项公式中，即可求解斐波那契数列的通项公式。

二、特征根法：特征根法是求解一阶线性递推关系（如Fn=aFn-1+b）的通项公式的常用方法。

该方法的基本思想是，将递推关系转化为一个一阶线性常微分方程，然后解方程得到通项公式。

例如，我们考虑求解斐波那契数列的通项公式。

斐波那契数列满足的递推关系为：Fn=Fn-1+Fn-2，其中F1=1，F2=1将递推关系转化为一阶线性常微分方程得到：y''-y'-y=0其中y=Fn。

解这个方程得到的特征根为α1=(1+√5)/2，α2=(1-√5)/2通项公式可以表示为：Fn=k1(α1)^n+k2(α2)^n其中k1、k2为常数。

利用初始条件F1=1，F2=1，可以求解出k1和k2的值，进而求解出斐波那契数列的通项公式。

三、母函数法：母函数法是一种求解递推关系的高效方法，尤其适用于求解求和问题。

该方法的基本思想是，将数列视为一个幂级数的系数列，通过构造母函数来解决递推关系。

例如，我们考虑求解斐波那契数列的通项公式。

斐波那契数列的递推关系为：Fn=Fn-1+Fn-2，其中F1=1，F2=1我们假设母函数为F(x)=F0+F1x+F2x^2+F3x^3+...F(x)=x(F(x)-F0)+x^2F(x)整理得：F(x)=F0+xF(x)+x^2F(x)移项得：F(x)=F0/(1-x-x^2)。

递推数列求通项公式

递推数列求通项公式递推数列是一种数学序列，其中每一项都是通过对前一项应用一个递推关系得到的。

求递推数列的通项公式是指找出一种依赖于自变量的表达式，用于计算数列中任意一项的值。

求递推数列的通项公式的方法主要有两种，一种是通过推导和观察数列的特点，找出合适的数学模型；另一种是利用已知的数学工具和技巧，通过数学推理和计算来找到通项公式。

下面以一些常见的递推数列为例，详细介绍如何求其通项公式。

1.等差数列：等差数列是最简单的一种递推数列，每一项与前一项的差值都相等。

设数列的首项为a，公差为d，则第n项可以表示为an = a + (n-1)d。

这是等差数列的通项公式。

2.等比数列：等比数列是一种每一项与前一项的比值都相等的递推数列。

设数列的首项为a，公比为r，则第n项可以表示为an = ar^(n-1)。

这是等比数列的通项公式。

3. 斐波那契数列：斐波那契数列是一种特殊的递推数列，前两项为1，后面每一项都是前两项之和。

即an = an-1 + an-2、通过观察数列的特点可以得知，斐波那契数列的通项公式是an = (1/sqrt(5)) *( ((1+sqrt(5))/2)^n - ((1-sqrt(5))/2)^n )。

4.等差-等比混合数列：等差-等比混合数列是一种先等差递推，然后再等比递推的数列。

设数列的首项为a，等差为d，公比为r，则第n项可以表示为an = (a + (n-1)d) * r^(n-1)。

5. 将递推数列转化为代数方程求解：对于一些复杂的递推数列，可以通过将数列的前几项转化为代数方程的解，并找到通项公式。

例如，如果递推数列的第n项为an = n^2 - 3n + 2，我们可以将数列的前几项代入an的表达式，然后求解方程组，找到通项公式。

总结起来，求递推数列的通项公式需要运用数学推导和观察、数学工具和技巧、将数列转化为代数方程等方法。

递推数列求通项公式的常见类型及方法

递推数列求通项公式的常见类型及方法递推数列求通项即依据给出数列中相邻两项或几项的关系式，n a 与n S 的关系式等，求出通项公式，是数列中的重要内容，是高考中常见的题目．本文给出常见的类型和方法．1. )(1n f a a n n +=+.方法：叠加法. 令1,2,1-=n n，得21321(1)(2)(1)n n a a f a a f a a f n -=+=+=+-以上1-n 个式子相加，得111().n ni a a f i -==+∑ 例１．数列{}n a 中，)2(1,1211≥-+==-n n n a a a n n ，求数列{}n a 的通项. 解: 令n n ,,3,2 =,得212322121221331n n a a a a a a n n -=+-=+-=+-n n a a n -++-+-+=∴22211331221 11111223(1)111111(1)()()223112.a n n n n n =+++⨯⨯-=+-+-++--=- 2. )(1n f a a n n =+. 方法:累积法. 令1,2,1-=n n,得21321(1)(2)(1).n n a a f a a f a a f n -===-以上1-n 个式子求积，得)(111i f a a n i n-=∏+=. 例2. 数列{}n a 中，)2()11(,2121≥⋅-==-n a na a n n ，求数列{}n a 的通项.解: 由题1212)1)(1()11(--+-=-=n n n a nn n a n a ,令1,2,1-=n n ,得 21232212132243(1)(1)n n a a a a n n a a n -⨯=⨯=-+= 2221)1)(1(342231n n n a a n +-⋅⋅⨯⋅⨯⋅=∴ 11121.n a n n n +=⋅⋅+= 3. )0,1(1≠≠+=+q p q pa a n n . 方法一:配凑法.1().n n a p a λλ+-=-方法二:待定系数法.令)(1λλ-=-+n n a p a 比较已知得,.1q p q pλλλ-==- λ是方程q px x +=的根. q px x +=是特征方程.方程三: 两根同除以1+n p ,得111++++=n n n n n p q p a p a 转化为类型1. 例3(07.全国) 数列{}n a 中， ,3,2,1),2)(12(,21=+-==n a a a n n ，求数列{}n a 的通项. 解法一: )2)(12(1+-=+n n a a {}为公比的等比数列为首项，是以数列122222)2)(12(211--=--∴--=-∴+a a a a n n nn n na )12(2)12)(22(21-⨯=--=-∴- 故 2)12(2+-⨯=n n a解法二:令))(12(1λλ--=-+n n a a)12(2)12(-=--∴λλ 解得2=λ下同解法一.解法三:)12(2)12()2)(12(1-+-=+-=+n n n a a a两边同除以1)12(+-n ,得nn n n n a a )12(2)12()12(11-+-=-++ 令n n n n n a a b )12()12(+=-= 则n n n b b )12(21++=+.令.1,2,1-=n n 得11223112)12(2)12(2)12(2--++=++=++=n n n b b b b b b1211)12(2)12(2)12(2-+++++++=∴n n b b2)12(2)12(1])12(1)[12(2)12(21++=+-+-+⋅++=-n nn n n n b a )12(22)12(-⨯+=-=∴.4. )0,1(,1≠≠+=+q p q pa a n n n .方法一：两边同除以1+n p ，得111++++=n nn n n n p q p a p a 转化为类型一.方法二：待定系数法.令)(11-+-=-n n n n q a p q a λλ比较已知得p q q -=λ. 例4．数列{}n a 中，)1(,23,111≥+==+n a a a n n n ，求数列{}n a 的通项. 解法一：两边同除以13+n ，得1113233++++=n nn n n n a a . 令n n n a b 3=，则1132+++=n nn n b b . 令.1,2,1-=n n 得n n n n b b b b b b 323232113223212--+=+=+= n n n b b 32323213221-++++=∴ nn n n )32(1321])32(1[31323232311322-=--=++++=- n n n a 23-=∴.解法二：令)2(3211-+⋅-=-n n n n a a λλn n n 22321=-⋅∴-λλ解得2-=λ.即)2(3211n n n n a a +=+++,所以数列{}n n a2+是以321=+a 为首项，3为公比的等比数列. .23,32n n n n n n a a -==+∴故5. )1).((1≠+=+p n f pa a n n .方法：两边同除以1+n p ，得111)(++++=n n n n n pn f p a p a 转化为类型一. 例5. 数列{}n a 中，)1(,223,111≥-+==+n n a a a n n ，求数列{}n a 的通项.解: 两边同除以13+n ，得11132233+++-+=n n n n n n a a 令n nn a b 3=,得11322++-+=n n n n b b . 利用叠加法及错位相减法,以求得2123+-=n a n n ． 6.)()(1n g a n f a n n +=+.方法: 两边同除以)()2()1(n f f f ,得)()2()1()()()2()1()()2()1(1n f f f n g n f f f a n f f f a n n +=+转化为类型一例6. (2008年河南省普通高中毕业班教学质量调研考试)数列{}n a 中，)1(2)1(22,111≥++++==+n n n a n n a a n n ，求数列{}n a 的通项. 解: 令,2)(+=n n n f 则)2)(1(2211534231)()2()1(++=+⨯+-⨯⨯⨯⨯=n n n n n n n f f f 两边同除以)()2()1(n f f f ,得)2)(1(22)1(2)1(2)2)(1(21++++++=+++n n n n n n a n n a n n 即21)1(2)1()1)(2(+++=+++n na n a n n n n 令n n na n b )1(+=,则21)1(2++=+n b b n n令.1,2,1-=n n 得2122321223222n b b b b b b n n +=⨯+=⨯+=-)32(22221n b b n +++⨯+=∴3)12)(1(]16)12)(1([212++=-++⨯+⨯=n n n n n n 312+=∴n a n . 7. )(1n f a a n n =+. 方法: 由已知)1(12+=++n f a a n n ,两式相除,得)()1(2n f n f a a n n +=+. 例7. 数列{}n a 中，)1(,)31(,211≥==+n a a a n nn ，求数列{}n a 的通项. 解: 由题2,31121==a a a ,得612=a n n n a a )31(1=+ ………..① 112)31(+++=n n n a a ……...② ②÷①得 312=+n n a a k k a a a a a a 2421231,,,,,,和+∴都是以31为公比的等比数列当n 为奇数时,21211)31(2--⋅==n n n q a a 当n 为偶数时,22222)31(61--⋅==n n n q a a ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅⋅=∴--为偶数，为奇数n n a n nn 2221)31(61,)31(2． 8.n n n qa pa a +=++12. 方法一: 配凑法.)(112n n n n a a a a αβα-=-+++方法二: 待定系数法. 令)(112n n n n a a a a αβα-=-+++,比较已知得 ⎩⎨⎧==+q p αββα 得出βα, 其中βα,是方程q px x +=2的两根,方程q px x +=2是特征方程.例8. 数列{}n a 中，)1(,65,5,11221≥-===++n a a a a a n n n ，求数列{}n a 的通项.解: 令)(112n n n n a a a a αβα-=-+++比较已知得⎩⎨⎧==+65αββα 得出2,3==βα )3(23112n n n n a a a a -=-∴+++数列{}n n a a 31-+是以2312=-a a 为首项,2为公比的等比数列.则n n n a a 231=-+,即n n n a a 231+=+.下同例4. 9.)0(,1≠++=+ac b aa d ca a n n n . 方法: 不动点法. 令bax d cx x ++=………(＊) 若(＊)有两重根,021x x x ==,则⎭⎬⎫⎩⎨⎧-01x a n为等差数列. 若(＊)有两根,21x x ≠,则⎭⎬⎫⎩⎨⎧--21x a x a nn 为等比数列. 例9.(08，洛阳三练)数列{}n a 中,n n a a a -==+21,2111,求数列{}n a 的通项. 解：令xx -=21,得1=x . 111121111111-=----=---+n n n n a a a a , 为公差的等差数列为首项，是以1-2121111111-=-=-⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∴a a n . 1)1()1(211--=-⨯-+-=-∴n n a n 1+=∴n n a n ．例10.(07.全国)数列{}n b 中,)1(3243,211≥++==+n b b b b n nn ,求数列{}n b 的通项. 解: 令3243++=x x x ,解得2,221=-=x x , 则411)12(2223243232432222+=-+-+++++=-+-+++n n n n n n n n n n b b b b b b b b b b 数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-+22n n b b 是以22222211-+=-+b b 为首项,4)12(+为公比的等比数列. 24)1(4)12()12(222222--+=+⋅-+=-+∴n n n nb b故1)12(1)12(22424-+++⋅=--n n nb ．10. n n S a 与的关系.方法: ⎩⎨⎧-=-,,1n nn n S S S a 21≥=n n 可以向n a 转化,也可以向n S 转化.例11. 数列{}n a 的前n 项和,)1(12≥+=n a a S nn n ,求数列{}n a 的通项公式. 解法一: 1=n 时，1111212a a a S =+=，解得11=a )2(,1212111≥+=∴+=---n a a S a a S n n n nn n 两式相减得 11112---+-=n n n n n a a a a a ,)1(111--+-=-n n n n a a a a . 平方得 4)1()1(212122=+-+--n n n n a a a a . 数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+221n n a a 是以212121=+a a 为首项，4为公差的等差数列。

递推数列求通项的常用方法

求递推数列通项公式的常用方法一、累加法：利用1211()()n n n a a a a a a -=+-+⋅⋅⋅-求通项公式的方法称为累加法。

累加法是求“1()n n a a f n +=+”型的递推数列通项公式的基本方法（()f n 可求前n 项和）.例1. 在数列{}n a 中，11111,(1)2n n n n a a a n ++==++ （I ）设n n a b n=，求数列{}n b 的通项公式（II ）求数列{}n a 的前n 项和n S二、累乘法:利用恒等式321121(0,2)n n n n a a a a a a n a a a -=⋅⋅⋅≠≥求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求: “1()n n a g n a +=”型的递推数列通项公式的基本方法(数列()g n 可求前n 项积). 例2．已知11a =,1()n n n a n a a +=-*()n N ∈,求数列{}n a 通项公式. .三、构造新数列:(一) 数列形式及构造方法1．形式1：n+1n a pa q =+（,p q 为常数，0p ≠，0q ≠）构造1：通过待定系数法，1()()n n a x p a x ++=+，反解x ,可得{}n a x +为等比数列，进而求解{}n a 构造2：由n+1n a pa q =+得n 1n a pa q -=+，两式作差：“11()n n n n a a p a a +--=-”，可得1{}n n a a --为等比数列，进而求解{}n a例3.1 已知数列{}n a 中, 11a =,121(2)n n a a n -=+≥,求{}n a 的通项公式.2．形式2：)(1n f pa a n n +=+构造1：1(1)[()]n n a g n p a g n +++=+；构造2：等式左右同除以1n p +，得111()n n n n n a a f n P p p +++=+；例3.2设数列{}n a ：)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n ，求n a .例3.3已知数列{}n a 中，651=a ,11)21(31+++=n n n a a ，求n a 。

递推数列的通项公式的几种求法

递推数列的通项公式的几种求法递推公式是给出数列的重要方法，对于递推公式确定的数列的求解，是近几年高考中的热点问题. 通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列. 本文介绍求递推数列的通项公式的几种常见方法.一、累加相消法利用恒等式112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-+-+-=---Λ求通项公式的方法称为累加相消法. 累加相消法是求形如)(1n f a a n n =--(数列{()f n }的前n 项和可求)的递推数列通项公式的基本方法.例1 已知}{n a 中，nn n a a a 2,311+==+，求n a 。

解：由12n n n a a +=+，得112n n n a a --=+ ∴112n n n a a ---= 2122n n n a a ----=……………… 2322a a -=212a a -=∴ 以上各式相加得112212(12)22222212n n n n n a a -----=⋅⋅==--L∴ 12221n nn a a =-+=-二、累乘相消法利用恒等式112211a a aa a a a a n n n n n ⋅⋅⋅=---Λ求通项公式的方法称为累乘相消法. 累乘相消法是求形如)(1n g a a n n=-(数列{()}g n 的前n 项积可求)的递推数列通项公式的基本方法. 例2 已知}{n a 中，12n n na a n +=+，且12a =，求数列}{n a 的通项公式.解：由12n n na a n +=+，得12n na n a n +=+ ∴2113a a =，3224a a =，4335a a =，5446a a =，……，122n n a n a n---=，111n n a n a n --=+ ∴以上各式相乘，得11232123451(1)n a n n a n n n n --=⋅⋅⋅=++L ∴ 4(1)n a n n =+ 例3 已知数列{a n }，满足a 1=1，a n =a 1+2a 2+3a 3+…+(n －1)a n －1(2n …)，则{a n }的通项 1,1_______,2n n a n =⎧=⎨⎩…解：由1321)1(32--+++=n n a n a a a a Λ ，得23211)2(32---+++=n n a n a a a a Λ(3n …)两式相减得：11)1(---=-n n n a n a a ，即n a a n n=-1(3n …) 用累乘相消法可得132122n n n n n a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅L !2n = 三、迭代法通过对递推关系进行适当变形后，用下标较小的项替代下标较大的项，通过累次运算，最终得出通项公式.例4 已知数列{}n a 的各项都是正数，且满足：*1111,(4),2n n n a a a a n N +==⋅-∈. 求数列{}n a 的通项公式a n .解：2111(4)[(2)4]22n n n n a a a a +=-=--+，所以211(2)(2)2n n a a +-=-- 令2n n b a =-，则212222212221211111111()()()222222n nn n n n b b b b b -+++---=-=--=-⋅==-L L 又11b =-，所以211()2nn b -=-，即21122()2nn n a b -=+=-四、转化法通过变换递推关系，将非等差、等比数列转化为与等差、等比有关的数列而求得通项公式的方法称为转化法. 常用的转化途径有：1．配凑变换——将递推公式1n n a ca b -=+ (b 、c 是常数，且c ≠1)通过配凑变成1()11n n b b a c a c c -+=+--。

数列递推公式的九种方法

数列递推公式的九种方法1.等差数列递推公式：在等差数列中，相邻两项之间存在相同的差。

如果已知等差数列的首项为a1，公差为d，可以求得递推公式为an = a1 + (n-1)d，其中n为第n项。

2.等比数列递推公式：在等比数列中，相邻两项之间的比值相同。

如果已知等比数列的首项为a1，公比为r，可以求得递推公式为an = a1 * r^(n-1)，其中n为第n项。

3. 几何数列递推公式：几何数列是一种特殊的等比数列，其公比是常数项。

如果已知几何数列的首项为a1，公比为r，可以求得递推公式为an = a1 * r^(n-1)，其中n为第n项。

4. 斐波那契数列递推公式：斐波那契数列是一种特殊的数列，每一项都是前两项的和。

斐波那契数列的递推公式为an = an-1 + an-2，其中n为第n项，a1和a2为前两项。

5. 回型数列递推公式：回型数列是一种特殊的数列，它的每一项都是由周围的四个数字决定的。

回型数列的递推公式为an = an-1 + 8 * (n-1)，其中n为第n项，a1为第一项。

6. 斯特恩-布洛特数列递推公式：斯特恩-布洛特数列是一种特殊的数列，它的每一项都是由前一项和当前项之和的约数个数决定的。

斯特恩-布洛特数列的递推公式为an = 2 * an-1 - an-2，其中n为第n项，a1和a2为前两项。

7. 阶乘数列递推公式：阶乘数列是一种特殊的数列，它的每一项都是前一项的阶乘。

阶乘数列的递推公式为an = n * (n-1) * ... * 3 * 2 * 1，其中n为第n项，a1为第一项。

8. 斯特林数列递推公式：斯特林数列是一种特殊的数列，它的每一项都是由前一项和当前项之积的和决定的。

斯特林数列的递推公式为an = an-1 * n + 1，其中n为第n项，a1为第一项。

9. 卡特兰数列递推公式：卡特兰数列是一种特殊的数列，它的每一项都是由前一项和当前项之和的乘积决定的。

卡特兰数列的递推公式为an = (4*n - 2) / (n + 1) * an-1，其中n为第n项，a1为第一项。

求数列通项公式的十一种方法

递推数列的通项公式的十一种求法一、累加法：a n = a 1 +（a 2―a 1）+……+（a n ―a n ―1）。

型如a n+1=a n +f （n ）的递推数列例1 已知a n+1＝a n ＋2n+1 ，a 1＝1 ，求数列{ a n }的通项公式。

解：112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++= ∴通项公式为2n a n =例2 已知a n +1 = a n +2×3n+1，a 1 = 3，求数列{ a n }的通项公式。

解：已知得 a n +1 －a n = 2×3n+111232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=⨯++⨯+++⨯++⨯++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+- ∴ 3 1.nn a n =+-例3 已知a n +1 = 3a n +2×3n+1，a 1 = 3，求数列{ a n }的通项公式。

解：已知两边除以13n + ，得111213333n n n n n a a +++=++，则111213333n n n n n a a +++-=+ 112232112232111122122()()()()33333333212121213()()()()3333333332(1)11111()1333333n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n --------------=-+-+-++-+=+++++++++-=+++++++，则 21133.322n n n a n =⨯⨯+⨯- 关键是把13231n n n a a +=+⨯+转化为111213333n n n n n a a +++-=+，求得数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式。

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求递推数列通项公式的常用方法
求递推数列通项公式是数列知识的一个重点，也是一个难点，高考也往往通过考查递推数列来考查学生对知识的探索能力，求递推数列的通项公式一般是将递推公式变形，推得原数列是一种特殊的数列或原数列的项的某种组合是一种特殊数列，把一些较难处理的数列问题化为中学中所研究的等差或等比数列，下面就求递推数列通向公式的常用方法举例一二，供参考：
一公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有
1n n n a S S -=-(2)n ≥，等差数列或等比数列的通项公式。

例一已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，并且*1()n n a S n N +=∈，求{}n a 的通项公式？
【解析】： 1n n S a =-，∴ 111n n n n n a S S a a +++=-=-，∴ 112n n a a +=
，又11
2
a =， ∴ 12n
n a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
.
反思：利用相关数列{}n a 与{}n S 的关系：11a S =,1n n n a S S -=-(2)n ≥与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键.
跟踪训练 1.已知数列{}n a 的前n 项和n S ，满足关系()
1lg
n S n +=(1,2)n =⋅⋅⋅.试证数列
{}n a 是等比数列.
二归纳法：由数列前几项用不完全归纳猜测出数列的通项公式，再利用数学归纳法证明其正确性，这种方法叫归纳法.
例二已知数列{}n a 中，11a =，121(2)n n a a n -=+≥，求数列{}n a 的通项公式. 【解析】： 11a =，121(2)n n a a n -=+≥，∴2121a a =+3=，3221a a =+7=⋅⋅⋅⋅ 猜测21n n a =-*
()n N ∈，再用数学归纳法证明.（略）
反思：用归纳法求递推数列，首先要熟悉一般数列的通项公式，再就是一定要用数学归纳法证明其正确性.
跟踪训练2.设{}n a 是正数组成的数列，其前n 项和为n S ，并且对于所有自然数n ，n a 与1的等差中项等于n S 与1的等比中项，求数列{}n a 的通项公式.
三累加法：利用1211()()n n n a a a a a a -=+-+⋅⋅⋅-求通项公式的方法称为累加法。

累加法是求型如1()n n a a f n +=+的递推数列通项公式的基本方法（()f n 可求前n 项和）.
例三已知无穷数列{}n a 的的通项公式是12n
n a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，若数列{}n b 满足11b =，
(1)n ≥，求数列{}n b 的通项公式.
【解析】：11b =,112n
n n b b +⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
(1)n ≥,∴1211()()n n n b b b b b b -=+-+⋅⋅⋅-=1+12+⋅⋅+
1
12n -⎛⎫
⎪⎝⎭
=1
122n -⎛⎫- ⎪
⎝⎭
.
反思:用累加法求通项公式的关键是将递推公式变形为1()n n a a f n +=+.
跟踪训练3.已知112a =,112n
n n a a +⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
*()n N ∈,求数列{}n a 通项公式.
四累乘法:利用恒等式3
21
121
(0,2)n n n n a a a a a a n a a a -=⋅⋅⋅≠≥求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如: 1()n n a g n a +=的递推数列通项公式的基本方法(数列()g n 可求前n 项积). 例四已知11a =,1()n n n a n a a +=-*()n N ∈,求数列{}n a 通项公式. 【解析】： 1()n n n a n a a +=-,∴11n n a n a n ++=
,又有321121
(0,2)n n n n a
a a a a a n a a a -=⋅⋅⋅≠≥= 1×23
n
×××
12n-1
⋅⋅⋅=n ,当1n =时11a =，满足n a n =，∴n a n =. 反思: 用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为1()n n a g n a +=.
跟踪训练 4.已知数列{}n a 满足11a =,123123(1)(2)n n a a a a n a n -=+++⋅⋅⋅+-≥.则
{}n a 的通项公式是.
五构造新数列: 将递推公式n +1n a qa d =+（,q d 为常数，0q ≠，
0d ≠）通过1()()n n a x q a x ++=+与原递推公式恒等变成1()11
n n d d
a q a q q ++
=+--的方法叫构造新数列.
例五已知数列{}n a 中, 11a =,121(2)n n a a n -=+≥,求{}n a 的通项公式. 【解析】:利用1()2()n n a x a x -+=+,求得112(1)n n a a -+=+,∴{}1n a +是首项为
112a +=,公比为2的等比数列,即12n n a +=,21n n a ∴=-
反思:.构造新数列的实质是通过1()()n n a x q a x ++=+来构造一个我们所熟知的等差或等比数列.
跟踪训练5.已知数列中, 11a =,1n-13n n a a -=+(2)n ≥求数列{}n a 的通项公式. 六倒数变换：将递推数列1n n n ca a a d
+=+(0,0)c d ≠≠,取倒数变成1111
n n d a c a c +=+ 的形
式的方法叫倒数变换.
例六已知数列{}n a *()n N ∈中, 11a =,121
n
n n a a a +=
+,求数列{}n a 的通项公式.
【解析】:将121n n n a a a +=
+取倒数得: 1112n n a a +=+, 111
2n n a a +-=,∴1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是以
111a =为首项,公差为2的等差数列. 1
12(1)n
n a =+-,∴121n a n =
-. 反思:倒数变换有两个要点需要注意:一是取倒数.二是一定要注意新数列的首项,公差或
公比变化了.
跟踪训练6.已知数列{}n a 中,
,122
n
n n a a a +=
+,求数列{}n a 的通项公式. 小结:求递推数列的通项公式的方法很多,以上只是提供了几种常见的方法,如果我们想在求递推数列中游刃有余,需要在平时的练习中多观察,多思考,还要不断的总结经验甚至教训. 参考答案:
1. 证明：由已知可得：n 101n S =-，当2n ≥时()
1
1910n n n n a S S --=-=，1n =时，
119a S ==满足上式. ∴{}n a 的通项公式()
1
910n n a -=,2n ≥时
1
10n
n a a -=为常数,所以{}n a 为等比数列.
2. 解:由已知可求11a =,23a =,35a =,猜测21n a n =-.(用数学归纳法证明).
3. 由已知112n n n a a +⎛⎫
-= ⎪⎝⎭,∴121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-+⋅⋅⋅-=2
1122⎛⎫+ ⎪⎝⎭
1
12n -⎛⎫
+⋅⋅⋅+ ⎪
⎝⎭
1
3122n -⎛⎫=- ⎪⎝⎭
.
4.2n ≥时, 123123(1)n n a a a a n a -=+++⋅⋅⋅+-,11212(1)n n n a a a n a na +-=++⋅⋅⋅+-+
作差得: 1n n n a a na +-=,∴
11n n a n a +=+,∴323a a =,434a
a =,⋅⋅⋅,1
n n a n a -= ∴2345n a n a =⨯⨯⋅⋅⋅⨯,21a =,∴!2n n a =(2)n ≥,∴11
!
22n n a n n =⎧⎪
=⎨ ≥⎪⎩. 5. 31
2
n n a -= 6. 21n a n =+。