初中数学苏科版九年级下册第六章6.5相似三角形的性质练习题-仅供参考
苏科版九年级数学下册第6章《相似三角形》专题练习
《相似三角形》专题练习【小题热身】1．如图，已知∠1＝∠2，添加下列条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（）A．＝B．∠B＝∠D C．∠C＝∠AED D．＝2．在正方形网格纸上，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形．如图，点A、B、C是4×4网格中的格点（每个小正方形的边长为1），在网格中画出一个与△ABC相似且面积最大的格点△DEF，△DEF的面积为．3．如图所示，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝4．如图，在△ABC中，点E、D分别为AB与AC边上两个点，请添加一个条件：，使得△ADE∽△ABC．5．如图，在平面直角坐标系中有两点A（6，0）、B（0，8），点C为AB的中点，点D在x轴上，当点D 的坐标为时，由点A、C、D组成的三角形与△AOB相似．6．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是AB边上一点（不与A、B重合），若过点D 的直线截得的三角形与△ABC相似，并且平分△ABC的周长，则AD的长为．7．如图，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，E为AD中点，CF⊥BE，垂足为G，交BC边于点F，则CF的长为．8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，D、E、F分别为BC、AB、AC上的点，若四边形DEFC为正方形，则它的边长为．9．如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，点P、Q在DC边上，且PQ＝DC．若AB＝16，BC＝20，则图中阴影部分的面积是．10．如图，在△ABC中，AH⊥BC于H，正方形DEFG内接于△ABC，点D、E分别在边AB、AC上，点G、F在边BC上．如果BC＝20，正方形DEFG的面积为25，那么AH的长是．11．如图：已知矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，F是CD的中点，一束光线从A点出发，通过BC边反射，恰好落在F点，那么反射点E与C点的距离为．12．如图，△ABC中，AB＝6，AC＝12，点D、E分别在AB、AC上，其中BD＝x，AE＝2x．当△ADE 与△ABC相似时，x的值可能是．【典型例题】1．（相似与二次函数）如图，矩形CDEF两边EF、FC的长分别为8和6，现沿EF、FC的中点A、B截去一角成五边形ABCDE，P是线段AB上一动点，试确定AP的长为多少时，矩形PMDN的面积取得最大值．2．（相似与圆）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE．过点A作AF⊥DE，垂足为F，⊙O 经过点C、D、F，与AD相交于点G．（1）求证：△AFG∽△DFC；（2）若正方形ABCD的边长为4，AE＝1，求⊙O的半径．3．（一线三直角必有相似）（1）如图1，已知AB⊥l，DE⊥l，垂足分别为B、E，且C是l上一点，∠ACD ＝90°，求证：△ABC∽△CED；（2）如图2，在四边形ABCD中，已知∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝5，求BD 的长．4．（动态问题与相似）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝6厘米，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D向点A以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动时间（0≤t≤6）．那么：（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？（2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？5．（相似性质）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，CA＝4，矩形DEFC的顶点D、E、F都在△ABC的边上．（1）设DE＝x，则AD＝（用含x的代数式表示）；（2）求矩形DEFC的最大面积．6．（一线三直角）如图，G是边长为8的正方形ABCD的边BC上的一点，矩形DEFG的边EF过点A，GD＝10．（1）求FG的长；（2）直接写出图中与△BHG相似的所有三角形．7．（圆中相似计算）如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O分别交BC、AC于F、G，且G是的中点，过点G作DE⊥BC，垂足为E，交BA的延长线于点D（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB＝6，BG＝4，求BE的长；（3）若AB＝6，CE＝1.2，请直接写出AD的长．8．（圆中动态问题与相似计算）如图，在边长为8的正方形ABCD中，点O为AD上一动点（4＜OA＜8），以O为圆心，OA的长为半径的圆交边CD于点M，连接OM，过点M作⊙O的切线交边BC于N．（1）求证：△ODM∽△MCN；（2）设DM＝x，OA＝R，求R关于x的函数关系式；（3）在动点O逐渐向点D运动（OA逐渐增大）的过程中，△CMN的周长如何变化？说明理由．9．（相似与作图）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝m（m＞1），点E是AD边上一定点，且AE＝1．（1）当m＝3时，AB上存在点F，使△AEF与△BCF相似，求AF的长度．（2）如图②，当m＝3.5时．用直尺和圆规在AB上作出所有使△AEF与△BCF相似的点F．（不写作法，保留作图痕迹）（3）对于每一个确定的m的值，AB上存在几个点F，使得△AEF与△BCF相似？10．（遇到比例式问题处理）如图，在△ABC中，AD和BG是△ABC的高，连接GD．（1）求证：△ADC∽△BGC；（2）求证：CG•AB＝CB•DG．11．（一线三等角与相似）如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，BP＝1，CD＝．（1）求证：△ABP∽△PCD；（2）求△ABC的边长．12．（动态问题中的相似计算）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P以2mm/s 的速度从A向B移动，（不与B重合），动点Q以4mm/s的速度从B向C移动，（不与C重合），若P、Q同时出发，试问：（1）经过几秒后，△PBQ与△ABC相似．（2）经过几秒后，四边形APQC的面积最小？并求出最小值．13．△ABC，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，一条直线DE与边AC相交于点D，与边AB相交于点E．（1）如图①，若DE将△ABC分成周长相等的两部分，则AD+AE等于多少；（用a、b、c表示）（2）如图②，若AC＝3，AB＝5，BC＝4．DE将△ABC分成周长、面积相等的两部分，求AD；（3）如图③，若DE将△ABC分成周长、面积相等的两部分，且DE∥BC，则a、b、c满足什么关系？【作业】1．如图，△ABB1，△A1B1B2，△A2B2B3是全等的等边三角形，点B，B1，B2，B3在同一条直线上，连接A2B交AB1于点P，交A1B1于点Q，则PB1：QB1的值为．2．如图，l1∥l2∥l3，直线a、b与l1、l2、l3分别交于点A、B、C和点D、E、F，若BC＝2AB，AD＝2，CF＝6，则BE的长为．3．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝6，D是BC上一点，CD＝2，过点D的直线l将△ABC分成两部分，使其所分成的三角形与△ABC相似，若直线l与△ABC另一边的交点为点P，则DP＝．4．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB．若AD＝2，BD＝3，则AC 的长．5．如图，正方形ABCD的边长为12，其内部有一个小正方形EFGH，其中E、F、H分别在BC，CD，AE 上．若BE＝9，则小正方形EFGH的边长．6．如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，连接AC、BE，AC与BE交于点F，则△ABF的面积和四边形CDEF的面积的比值是．7．如图，在△ABC和△APQ中，∠P AB＝∠QAC，若再增加一个条件就能使△APQ∽△ABC，则这个条件可以是．8．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（0，1）和，若在第四象限存在点C，使△OBC和△OAB相似，则点C的坐标是．9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1，P为△ABC内一个动点，∠P AB＝∠PBC，则CP的最小值为．10．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB．若AD＝1，BD＝2，则AC 的长．11．如图，A、B、C、D依次为一直线上4个点，BC＝2，△BCE为等边三角形，⊙O过A、D、E三点，且∠AOD＝120°．设AB＝x，CD＝y，则y与x的函数关系式为．12．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动，点Q 从点B开始沿BC向C点以4cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒钟△PBQ 与△ABC相似？13．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC＝2，点D在边BC的反向延长线上，且DB＝3，点E在边BC的延长线上，且∠EAC＝∠D，设AD＝x，BC＝y．（1）求线段CE的长；（2）求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）当AC平分∠BAE时，求线段AD的长．14．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝90°，O为BC的中点，动点E在AB边上移动，动点F 在AC边上移动．（1）点E，F的移动过程中，△OEF是否能成为∠EOF＝45°的等腰三角形？若能，求BE的长；若不能，请说明理由；（2）当∠EOF＝45°时，设BE＝x，CF＝y，求y与x之间的函数解析式，并写出x的取值范围．15．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为B、C，且AB＝8，DC＝6，BC＝14，BC上是否存在点P使△ABP与△DCP相似？若有，有几个？并求出此时BP的长，若没有，请说明理由．16．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点F是上一点，连接AF交CD的延长线于点E．（1）求证：△AFC∽△ACE；（2）若AC＝5，DC＝6，当点F为的中点时，求AF的值．17．学习《图形的相似》后，我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得经验，继续探索两个直角三角形相似的条件．（1）“对与两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等”．类似地你可以得到：“满足，或，两个直角三角形相似”．（2）“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地你可以得到“满足的两个直角三角形相似”．请结合下列所给图形，写出已知，并完成说理过程．已知：如图，．试说明Rt△ABC∽Rt△A′B′C′．。
新苏科版(新课标)九年级数学下册《图形的相似-相似三角形的性质》专题练习及答案
2017-2018学年苏科版（新课标）九年级下册第六章《图形的相似》（相似三角形的性质）一．选择题1．如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是（）A．1：16 B．1：4 C．1：6 D．1：22．△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：163．如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中∠QMB的正切值是（）A．B．1 C． D．24．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为（）A．B．C．D．5．在四边形ABCD中，∠B=90°，AC=4，AB∥CD，DH垂直平分AC，点H为垂足．设AB=x，AD=y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为（）A．B．C．D．6．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE ：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（）A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：257．如图，矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF=2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（）A．B．C．D．8．如图，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE=45°，点F是AB的中点，AD与FE、BE分别交于点G、H，∠CBE=∠BAD．有下列结论：①FD=FE ；②AH=2CD ；③BC •AD=AE 2；④S△ABC =4S △ADF ．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2 个C ．3 个D ．4个9．如图的△ABC 中有一正方形DEFG ，其中D 在AC 上，E 、F 在AB 上，直线AG 分别交DE 、BC 于M 、N 两点．若∠B=90°，AB=4，BC=3，EF=1，则BN 的长度为何？（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图，CB=CA ，∠ACB=90°，点D 在边BC 上（与B 、C 不重合），四边形ADEF 为正方形，过点F 作FG ⊥CA ，交CA 的延长线于点G ，连接FB ，交DE 于点Q ，给出以下结论： ①AC=FG ；②S △FAB ：S 四边形CBFG =1：2；③∠ABC=∠ABF ；④AD 2=FQ •AC ，其中正确的结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411．如图，P 为平行四边形ABCD 边AD 上一点，E 、F 分别是PB 、PC （靠近点P ）的三等分点，△PEF 、△PDC 、△PAB 的面积分别为S1、S2、S 3，若AD=2，AB=2，∠A=60°，则S 1+S 2+S 3的值为（ ）A ．B ．C ．D ．412．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均相等．网格中三个多边形（分别标记为①，②，③）的顶点均在格点上．被一个多边形覆盖的网格线中，竖直部分线段长度之和记为m ，水平部分线段长度之和记为n ，则这三个多边形中满足m=n 的是（ ）A ．只有②B ．只有③C ．②③D ．①②③二．填空题13．如图，已知△ADE ∽△ABC ，若∠ADE=37°，则∠B= °．14．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，若S △DEC =3，则S △BCF = ．15．如图，AC ⊥BC ，AC=BC ，D 是BC 上一点，连接AD ，与∠ACB 的平分线交于点E ，连接BE ．若S △ACE =，S △BDE =，则AC= ．16．如图，已知点C 为线段AB 的中点，CD ⊥AB 且CD=AB=4，连接AD ，BE ⊥AB ，AE 是∠DAB 的平分线，与DC 相交于点F ，EH ⊥DC 于点G ，交AD 于点H ，则HG 的长为 ．17．如图，已知△ABC 和△DEC 的面积相等，点E 在BC 边上，DE ∥AB 交AC 于点F ，AB=12，EF=9，则DF 的长是 ．18．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且DE ∥BC ，若△ADE 与△ABC 的周长之比为2：3，AD=4，则DB= ．19．如图，已知△ABC 、△DCE 、△FEG 、△HGI 是4个全等的等腰三角形，底边BC 、CE 、EG 、GI 在同一直线上，且AB=2，BC=1，连接AI ，交FG 于点Q ，则QI= ．20．如图，矩形EFGH 内接于△ABC ，且边FG 落在BC 上，若AD ⊥BC ，BC=3，AD=2，EF=EH ，那么EH 的长为 ．21．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB=6，BC=10，点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处，有下列结论：①∠EBG=45°；②△DEF ∽△ABG ；③S △ABG =S △FGH ；④AG+DF=FG ．其中正确的是 ．（把所有正确结论的序号都选上）三．解答题22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y=﹣x+3与x 轴交于点C ，与直线AD 交于点A （，），点D 的坐标为（0，1）（1）求直线AD 的解析式；（2）直线AD 与x 轴交于点B ，若点E 是直线AD 上一动点（不与点B 重合），当△BOD 与△BCE 相似时，求点E 的坐标．23．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD为△ABC的完美分割线．（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数．（3）如图2，△ABC中，AC=2，BC=，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．24．如图，△ABC中，AB=AC，E在BA的延长线上，AD平分∠CAE．（1）求证：AD∥BC；（2）过点C作CG⊥AD于点F，交AE于点G，若AF=4，求BC的长．25．如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．（1）求证：△AEH∽△ABC；（2）求这个正方形的边长与面积．26．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．（1）求证：△ADF∽△ACG；（2）若，求的值．27．如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E．（1）求证：AG=CG．（2）求证：AG2=GE•GF．28．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，∠BAC=60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A 匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒（0≤t≤5），连接MN．（1）若BM=BN，求t的值；（2）若△MBN与△ABC相似，求t的值；（3）当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．29．如图①，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD．（1）猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论；（2）现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图②，AE与MP、BD分别交于点G、H．请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如图③，写出PM与PN的数量关系，并加以证明．30．【探究证明】（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明．如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H．求证：=；【结论应用】（2）如图2，在满足（1）的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若=，则的值为；【联系拓展】（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值．参考答案与解析一．选择题1．（2016•临夏州）如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是（）A．1：16 B．1：4 C．1：6 D．1：2【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．【解答】解：∵两个相似三角形的面积比是1：4，∴两个相似三角形的相似比是1：2，∴两个相似三角形的周长比是1：2，故选：D．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．2．（2016•重庆）△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC 与△DEF的周长比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：16【分析】由相似三角形周长的比等于相似比即可得出结果．【解答】解：∵△ABC与△DEF的相似比为1：4，∴△ABC与△DEF的周长比为1：4；故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的性质；熟记相似三角形周长的比等于相似比是解决问题的关键．3．（2016•淄博）如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中∠QMB的正切值是（）A．B．1 C． D．2【分析】根据题意得出△PAM∽△QBM，进而结合勾股定理得出AP=3，BQ=，AB=2，进而求出答案．【解答】解：连接AP，QB，由网格可得：∠PAB=∠QBA=90°，又∵∠AMP=∠BMQ，∴△PAM∽△QBM，∴=，∵AP=3，BQ=，AB=2，∴=，解得：AM=，∴tan∠QMB=tan∠PMA===2．故选：D．【点评】此题主要考查了勾股定理以及相似三角形的判定与性质以及锐角三角函数关系，正确得出△PAM∽△QBM是解题关键．4．（2016•兰州）已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为（）A．B．C．D．【分析】根据相似三角形的对应中线的比等于相似比解答．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为，∴△ABC与△DEF对应中线的比为，故选：A．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．5．（2016•金华）在四边形ABCD中，∠B=90°，AC=4，AB∥CD，DH垂直平分AC，点H为垂足．设AB=x，AD=y，则y 关于x的函数关系用图象大致可以表示为（）A ．B ．C ．D ．【分析】由△DAH ∽△CAB ，得=，求出y 与x 关系，再确定x 的取值范围即可解决问题． 【解答】解：∵DH 垂直平分AC ，∴DA=DC ，AH=HC=2，∴∠DAC=∠DCH ，∵CD ∥AB ，∴∠DCA=∠BAC ，∴∠DAN=∠BAC ，∵∠DHA=∠B=90°，∴△DAH ∽△CAB ，∴=，∴=，∴y=，∵AB ＜AC ，∴x ＜4，∴图象是D ．故选D ．【点评】本题科学相似三角形的判定和性质、相等垂直平分线性质、反比例函数等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，构建函数关系，注意自变量的取值范围的确定，属于中考常考题型．6．（2016•随州）如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，且DE ∥AC ，AE 、CD 相交于点O ，若S △DOE ：S △COA =1：25，则S △BDE 与S △CDE 的比是（ ）A ．1：3B ．1：4C ．1：5D ．1：25【分析】根据相似三角形的判定定理得到△DOE ∽△COA ，根据相似三角形的性质定理得到=， ==，结合图形得到=，得到答案．【解答】解：∵DE ∥AC ，∴△DOE ∽△COA ，又S △DOE ：S △COA =1：25，∴=， ∵DE ∥AC ，∴==，∴=，∴S △BDE 与S △CDE 的比是1：4，故选：B ．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．7．（2016•泸州）如图，矩形ABCD 的边长AD=3，AB=2，E 为AB 的中点，F 在边BC 上，且BF=2FC ，AF 分别与DE 、DB 相交于点M ，N ，则MN 的长为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】过F 作FH ⊥AD 于H ，交ED 于O ，于是得到FH=AB=2，根据勾股定理得到AF===2，根据平行线分线段成比例定理得到OH=AE=，由相似三角形的性质得到==，求得AM=AF=，根据相似三角形的性质得到==，求得AN=AF=，即可得到结论．【解答】解：过F 作FH ⊥AD 于H ，交ED 于O ，则FH=AB=2 ∵BF=2FC ，BC=AD=3，∴BF=AH=2，FC=HD=1，∴AF===2，∵OH ∥AE ，∴==，∴OH=AE=，∴OF=FH ﹣OH=2﹣=，∵AE ∥FO ，∴△AME ∽FMO ，∴==，∴AM=AF=，∵AD∥BF，∴△AND∽△FNB，∴==，∴AN=AF=，∴MN=AN﹣AM=﹣=，故选B．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，比例的性质，准确作出辅助线，求出AN与AM的长是解题的关键．8．（2016•丹东）如图，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE=45°，点F是AB的中点，AD与FE、BE分别交于点G、H，∠CBE=∠BAD．有下列结论：①FD=FE；②AH=2CD；③BC•AD=AE2；④S△ABC =4S△ADF．其中正确的有（）A．1个B．2 个C．3 个D．4个【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得出FD=AB，证明△ABE是等腰直角三角形，得出AE=BE，证出FE=AB，延长FD=FE，①正确；证出∠ABC=∠C，得出AB=AC，由等腰三角形的性质得出BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE，由ASA证明△AEH≌△BEC，得出AH=BC=2CD，②正确；证明△ABD～△BCE，得出=，即BC•AD=AB•BE，再由等腰直角三角形的性质和三角形的面积得出BC•AD=AE2；③正确；由F是AB的中点，BD=CD，得出S△ABC =2S△ABD=4S△ADF．④正确；即可得出结论．【解答】解：∵在△ABC中，AD和BE是高，∴∠ADB=∠AEB=∠CEB=90°，∵点F是AB的中点，∴FD=AB，∵∠ABE=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE=BE，∵点F是AB的中点，∴FE=AB，∴FD=FE，①正确；∵∠CBE=∠BAD，∠CBE+∠C=90°，∠BAD+∠ABC=90°，∴∠ABC=∠C，∴AB=AC，∵AD⊥BC，∴BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE，在△AEH和△BEC中，，∴△AEH≌△BEC（ASA），∴AH=BC=2CD，②正确；∵∠BAD=∠CBE，∠ADB=∠CEB，∴△ABD～△BCE，∴=，即BC•AD=AB•BE，∵AE2=AB•AE=AB•BE，BC•AD=AC•BE=AB•BE，∴BC•AD=AE2；③正确；∵F是AB的中点，BD=CD，∴S△ABC =2S△ABD=4S△ADF．④正确；故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的判定与性质；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似和三角形全等是解决问题的关键．9．（2016•台湾）如图的△ABC中有一正方形DEFG，其中D在AC上，E、F在AB上，直线AG分别交DE、BC于M、N两点．若∠B=90°，AB=4，BC=3，EF=1，则BN的长度为何？（）A．B．C．D．【分析】由DE∥BC可得求出AE的长，由GF∥BN可得，将AE的长代入可求得BN．【解答】解：∵四边形DEFG是正方形，∴DE∥BC，GF∥BN，且DE=GF=EF=1，∴△ADE∽△ACB，△AGF∽△ANB，∴①，②，由①可得，，解得：AE=，将AE=代入②，得：，解得：BN=，故选：D．【点评】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质得出AE的长是解题的关键．10．（2016•深圳）如图，CB=CA ，∠ACB=90°，点D 在边BC 上（与B 、C 不重合），四边形ADEF 为正方形，过点F 作FG ⊥CA ，交CA 的延长线于点G ，连接FB ，交DE 于点Q ，给出以下结论：①AC=FG ；②S △FAB ：S 四边形CBFG =1：2；③∠ABC=∠ABF ；④AD 2=FQ •AC ，其中正确的结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】由正方形的性质得出∠FAD=90°，AD=AF=EF ，证出∠CAD=∠AFG ，由AAS 证明△FGA ≌△ACD ，得出AC=FG ，①正确；证明四边形CBFG 是矩形，得出S △FAB =FB •FG=S 四边形CBFG ，②正确；由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出∠ABC=∠ABF=45°，③正确；证出△ACD ∽△FEQ ，得出对应边成比例，得出D •FE=AD 2=FQ •AC ，④正确．【解答】解：∵四边形ADEF 为正方形，∴∠FAD=90°，AD=AF=EF ，∴∠CAD+∠FAG=90°，∵FG ⊥CA ，∴∠C=90°=∠ACB ，∴∠CAD=∠AFG ，在△FGA 和△ACD 中，，∴△FGA ≌△ACD （AAS ），∴AC=FG ，①正确；∵BC=AC ，∴FG=BC ，∵∠ACB=90°，FG ⊥CA ，∴FG ∥BC ，∴四边形CBFG 是矩形，∴∠CBF=90°，S △FAB =FB •FG=S 四边形CBFG ，②正确； ∵CA=CB ，∠C=∠CBF=90°，∴∠ABC=∠ABF=45°，③正确；∵∠FQE=∠DQB=∠ADC ，∠E=∠C=90°，∴△ACD ∽△FEQ ，∴AC ：AD=FE ：FQ ，∴AD •FE=AD 2=FQ •AC ，④正确；故选：D ．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．11．（2016•日照）如图，P 为平行四边形ABCD 边AD 上一点，E 、F 分别是PB 、PC （靠近点P ）的三等分点，△PEF 、△PDC 、△PAB 的面积分别为S1、S2、S 3，若AD=2，AB=2，∠A=60°，则S 1+S 2+S 3的值为（ ）A ．B ．C ．D ．4【分析】先作辅助线DH ⊥AB 于点D ，然后根据特殊角的三角函数值可以求得DH 的长度，从而可以求得平行四边形的面积，然后根据三角形的相似可以求得S 1+S 2+S 3的值．【解答】解：作DH ⊥AB 于点H ，如右图所示，∵AD=2，AB=2，∠A=60°，∴DH=AD •sin60°=2×=，∴S▱ABCD =AB •DH=2=6， ∴S 2+S 3=S △PBC =3，又∵E 、F 分别是PB 、PC （靠近点P ）的三等分点，∴，∴S △PEF =×3=，即S 1=，∴S 1+S 2+S 3=+3=，故选A ．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，画出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答问题．12．（2016•江西）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均相等．网格中三个多边形（分别标记为①，②，③）的顶点均在格点上．被一个多边形覆盖的网格线中，竖直部分线段长度之和记为m ，水平部分线段长度之和记为n ，则这三个多边形中满足m=n 的是（ ）A ．只有②B ．只有③C ．②③D ．①②③【分析】利用相似三角形的判定和性质分别求出各多边形竖直部分线段长度之和与水平部分线段长度之和，再比较即可．【解答】解：假设每个小正方形的边长为1，①：m=1+2+1=4，n=2+4=6，则m≠n；②在△ACN中，BM∥CN，∴=，∴BM=，在△AGF中，DM∥NE∥FG，∴=，=，得DM=，NE=，∴m=2+=2.5，n=+1++=2.5，∴m=n；③由②得：BE=，CF=，∴m=2+2++1+=6，n=4+2=6，∴m=n，则这三个多边形中满足m=n的是②和③；故选C．【点评】本题考查了相似多边形的判定和性质，对于有中点的三角形可以利用三角形中位线定理得出；本题线段比较多要依次相加，做到不重不漏．二．填空题13．（2016•宁德）如图，已知△ADE∽△ABC，若∠ADE=37°，则∠B= 37 °．【分析】根据相似三角形的对应角相等，可得答案．【解答】解：由△ADE∽△ABC，若∠ADE=37°，得∠B=∠ADE=37°，故答案为：37．【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形的性质是解题关键．14．（2016•梅州）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，若S△DEC =3，则S△BCF= 4 ．【分析】根据平行四边形的性质得到AD ∥BC 和△DEF ∽△BCF ，由已知条件求出△DEF 的面积，根据相似三角形的面积比是相似比的平方得到答案．【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD=BC ，∴△DEF ∽△BCF ，∴， =（）2，∵E 是边AD 的中点，∴DE=AD=BC ，∴=，∴△DEF 的面积=S △DEC =1，∴=，∴S △BCF =4；故答案为：4．【点评】本题考查的是平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质；掌握三角形相似的判定定理和性质定理是解题的关键，注意：相似三角形的面积比是相似比的平方．15．（2016•遵义）如图，AC ⊥BC ，AC=BC ，D 是BC 上一点，连接AD ，与∠ACB 的平分线交于点E ，连接BE ．若S △ACE =，S △BDE =，则AC= 2 ．【分析】设BC=4x ，根据面积公式计算，得出BC=4BD ，过E 作AC ，BC 的垂线，垂足分别为F ，G ；证明CFEG 为正方形，然后在直角三角形ACD 中，利用三角形相似，求出正方形的边长（用x 表示），再利用已知的面积建立等式，解出x ，最后求出AC=BC=4x 即可．【解答】解：过E 作AC ，BC 的垂线，垂足分别为F ，G ， 设BC=4x ，则AC=4x ，∵CE 是∠ACB 的平分线，EF ⊥AC ，EG ⊥BC ，∴EF=EG ，又S △ACE =，S △BDE =，∴BD=AC=x ，∴CD=3x ，∵四边形EFCG 是正方形，∴EF=FC ，∵EF ∥CD ，∴=，即=，解得，EF=x ，则×4x ×x=， 解得，x=，则AC=4x=2，故答案为：2．【点评】本题考查的是相似三角形的性质、角平分线的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等、角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．16．（2016•山西）如图，已知点C为线段AB的中点，CD⊥AB 且CD=AB=4，连接AD，BE⊥AB，AE是∠DAB的平分线，与DC相交于点F，EH⊥DC于点G，交AD于点H，则HG的长为3﹣．【分析】根据AB=CD=4、C为线段AB的中点可得BC=AC=2、AD=2，再根据EH⊥DC、CD⊥AB、BE⊥AB得EH∥AC、四边形BCGH为矩形，BC=GE=2，继而由AE是∠DAB的平分线可得∠DAE=∠HEA即HA=HE，设GH=x得HA=2+x，由△DHG∽△DAC得=，列式即可求得x．【解答】解：∵AB=CD=4，C为线段AB的中点，∴BC=AC=2，∴AD=2，∵EH⊥DC，CD⊥AB，BE⊥AB，∴EH∥AC，四边形BCGH为矩形，∴∠HEA=∠EAB，BC=GE=2，又∵AE是∠DAB的平分线，∴∠EAB=∠DAE，∴∠DAE=∠HEA，∴HA=HE，设GH=x，则HA=HE=HG+GE=2+x，∵EH∥AC，∴△DHG∽△DAC，∴=，即=，解得：x=3﹣，即HG=3﹣，故答案为：3﹣．【点评】本题主要考查勾股定理、平行线的性质和判定、等腰三角形的判定与性质、矩形的判定与性质及相似三角形的判定与性质等知识点，根据相似三角形的性质得出对应边成比例且表示出各边长度是关键．17．（2016•舟山）如图，已知△ABC和△DEC的面积相等，点E在BC边上，DE∥AB交AC于点F，AB=12，EF=9，则DF 的长是7 ．【分析】根据题意，易得△CDF与四边形AFEB的面积相等，再根据相似三角形的相似比求得它们的面积关系比，从而求DF 的长．【解答】解：∵△ABC与△DEC的面积相等，∴△CDF与四边形AFEB的面积相等，∵AB∥DE，∴△CEF∽△CBA，∵EF=9，AB=12，∴EF：AB=9：12=3：4，∴△CEF和△CBA的面积比=9：16，设△CEF的面积为9k，则四边形AFEB的面积=7k，∵△CDF与四边形AFEB的面积相等，∴S=7k，△CDF∵△CDF与△CEF是同高不同底的三角形，∴面积比等于底之比，∴DF：EF=7k：9k，∴DF=7．故答案为：7．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是会用割补法计算面积．18．（2016•乐山）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC 上的点，且DE∥BC，若△ADE与△ABC的周长之比为2：3，AD=4，则DB= 2 ．【分析】由DE∥BC，易证△ADE∽△ABC，由相似三角形的性质即可求出AB的长，进而可求出DB的长．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵△ADE与△ABC的周长之比为2：3，∴AD：AB=2：3，∵AD=4，∴AB=6，∴DB=AB﹣AD=2，故答案为：2．【点评】此题主要考查的是相似三角形的性质：相似三角形的一切对应线段（包括对应边、对应中线、对应高、对应角平分线等）的比等于相似比，面积比等于相似比的平方．19．（2016•黄冈）如图，已知△ABC、△DCE、△FEG、△HGI 是4个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG、GI在同一直线上，且AB=2，BC=1，连接AI，交FG于点Q，则QI= ．【分析】由题意得出BC=1，BI=4，则=，再由∠ABI=∠ABC，得△ABI∽△CBA，根据相似三角形的性质得=，求出AI，根据全等三角形性质得到∠ACB=∠FGE，于是得到AC∥FG，得到比例式==，即可得到结果．【解答】解：∵△ABC、△DCE、△FEG是三个全等的等腰三角形，∴HI=AB=2，GI=BC=1，BI=4BC=4，∴==，=，∴=，∵∠ABI=∠ABC，∴△ABI∽△CBA；∴=，∵AB=AC，∴AI=BI=4；∵∠ACB=∠FGE，∴AC∥FG，∴==，∴QI=AI=．故答案为：．【点评】本题主要考查了平行线分线段定理，以及三角形相似的判定，正确理解AB∥CD∥EF，AC∥DE∥FG是解题的关键．20．（2016•安顺）如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC=3，AD=2，EF=EH，那么EH的长为．【分析】设EH=3x，表示出EF，由AD﹣EF表示出三角形AEH 的边EH上的高，根据三角形AEH与三角形ABC相似，利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出x的值，即为EH的长．【解答】解：如图所示：∵四边形EFGH 是矩形，∴EH ∥BC ，∴△AEH ∽△ABC ，∵AM ⊥EH ，AD ⊥BC ，∴，设EH=3x ，则有EF=2x ，AM=AD ﹣EF=2﹣2x ，∴，解得：x=，则EH=．故答案为：．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．21．（2016•安徽）如图，在矩形纸片ABCD 中，AB=6，BC=10，点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处，有下列结论：①∠EBG=45°；②△DEF ∽△ABG ；③S △ABG =S △FGH ；④AG+DF=FG ．其中正确的是①③④．（把所有正确结论的序号都选上）【分析】由折叠性质得∠1=∠2，CE=FE，BF=BC=10，则在Rt △ABF中利用勾股定理可计算出AF=8，所以DF=AD﹣AF=2，设EF=x，则CE=x，DE=CD﹣CE=6﹣x，在Rt△DEF中利用勾股定理得（6﹣x）2+22=x2，解得x=，即ED=；再利用折叠性质得∠3=∠4，BH=BA=6，AG=HG，易得∠2+∠3=45°，于是可对①进行判断；设AG=y，则GH=y，GF=8﹣y，在Rt△HGF 中利用勾股定理得到y2+42=（8﹣y）2，解得y=3，则AG=GH=3，GF=5，由于∠A=∠D和≠，可判断△ABG与△DEF不相似，则可对②进行判断；根据三角形面积公式可对③进行判断；利用AG=3，GF=5，DF=2可对④进行判断．【解答】解：∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F 处，∴∠1=∠2，CE=FE，BF=BC=10，在Rt△ABF中，∵AB=6，BF=10，∴AF==8，∴DF=AD﹣AF=10﹣8=2，设EF=x，则CE=x，DE=CD﹣CE=6﹣x，在Rt△DEF中，∵DE2+DF2=EF2，∴（6﹣x ）2+22=x 2，解得x=，∴ED=， ∵△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处， ∴∠3=∠4，BH=BA=6，AG=HG ，∴∠2+∠3=∠ABC=45°，所以①正确；HF=BF ﹣BH=10﹣6=4，设AG=y ，则GH=y ，GF=8﹣y ，在Rt △HGF 中，∵GH 2+HF 2=GF 2，∴y 2+42=（8﹣y ）2，解得y=3，∴AG=GH=3，GF=5，∵∠A=∠D ，==， =，∴≠， ∴△ABG 与△DEF 不相似，所以②错误；∵S △ABG =•6•3=9，S △FGH =•GH •HF=×3×4=6，∴S △ABG =S △FGH ，所以③正确；∵AG+DF=3+2=5，而GF=5，∴AG+DF=GF ，所以④正确．故答案为①③④．【点评】本题考查了相似形综合题：熟练掌握折叠和矩形的性质、相似三角形的判定方法；会运用勾股定理计算线段的长．三．解答题22．（2016•广州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与直线AD交于点A（，），点D的坐标为（0，1）（1）求直线AD的解析式；（2）直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点（不与点B重合），当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标．【分析】（1）设直线AD的解析式为y=kx+b，用待定系数法将A（，），D（0，1）的坐标代入即可；（2）由直线AD与x轴的交点为（﹣2，0），得到OB=2，由点D的坐标为（0，1），得到OD=1，求得BC=5，根据相似三角形的性质得到或，代入数据即可得到结论．【解答】解：（1）设直线AD的解析式为y=kx+b，将A（，），D（0，1）代入得：，解得：．故直线AD的解析式为：y=x+1；（2）∵直线AD与x轴的交点为（﹣2，0），∴OB=2，∵点D的坐标为（0，1），∴OD=1，∵y=﹣x+3与x轴交于点C（3，0），∴OC=3，∴BC=5∵△BOD与△BEC相似，∴或，∴==或，∴BE=2，CE=，或CE=，∵BC•EF=BE•CE，∴EF=2，CF==1，∴E（2，2），或（3，）．【点评】本题考查了相似三角形的性质，待定系数法求函数的解析式，正确的作出图形是解题的关键．23．（2016•宁波）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD为△ABC的完美分割线．（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数．（3）如图2，△ABC中，AC=2，BC=，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．【分析】（1）根据完美分割线的定义只要证明①△ABC不是等腰三角形，②△ACD是等腰三角形，③△BDC∽△BCA即可．（2）分三种情形讨论即可①如图2，当AD=CD时，②如图3中，当AD=AC时，③如图4中，当AC=CD时，分别求出∠ACB 即可．（3）设BD=x，利用△BCD∽△BAC，得=，列出方程即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，∵∠A=40°，∠B=60°，∴∠ACB=80°，∴△ABC不是等腰三角形，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=40°，∴∠ACD=∠A=40°，∴△ACD为等腰三角形，∵∠DCB=∠A=40°，∠CBD=∠ABC，∴△BCD∽△BAC，∴CD是△ABC的完美分割线．（2）①当AD=CD时，如图2，∠ACD=∠A=48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．②当AD=AC时，如图3中，∠ACD=∠ADC==66°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°．③当AC=CD时，如图4中，∠ADC=∠A=48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∵∠ADC＞∠BCD，矛盾，舍弃．∴∠ACB=96°或114°．（3）由已知AC=AD=2，∵△BCD∽△BAC，∴=，设BD=x，∴（）2=x（x+2），∵x＞0，∴x=﹣1，∵△BCD∽△BAC，∴==，∴CD=×2=﹣．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会分类讨论思想，属于中考常考题型．24．（2016•泰州）如图，△ABC中，AB=AC，E在BA的延长线上，AD平分∠CAE．（1）求证：AD∥BC；（2）过点C作CG⊥AD于点F，交AE于点G，若AF=4，求BC的长．【分析】（1）由AB=AC，AD平分∠CAE，易证得∠B=∠DAG=∠CAG，继而证得结论；（2）由CG⊥AD，AD平分∠CAE，易得CF=GF，然后由AD ∥BC，证得△AGF∽△BGC，再由相似三角形的对应边成比例，求得答案．【解答】（1）证明：∵AD平分∠CAE，∴∠DAG=∠CAG，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵∠CAG=∠B+∠ACB，∴∠B=∠CAG，∴∠B=∠DAG，∴AD∥BC；（2）解：∵CG⊥AD，∴∠AFC=∠AFG=90°，在△AFC和△AFG中，，∴△AFC≌△AFG（ASA），∴CF=GF，∵AD∥BC，∴△AGF∽△BGC，∴GF：GC=AF：BC=1：2，∴BC=2AF=2×4=8．【点评】此题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质．注意证得△AGF∽△BGC是关键．25．（2016•怀化）如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．（1）求证：△AEH∽△ABC；（2）求这个正方形的边长与面积．【分析】（1）根据EH∥BC即可证明．（2）如图设AD与EH交于点M，首先证明四边形EFDM是矩形，设正方形边长为x，再利用△AEH∽△ABC，得=，列出方程即可解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形EFGH是正方形，∴EH∥BC，∴∠AEH=∠B，∠AHE=∠C，∴△AEH∽△ABC．（2）解：如图设AD与EH交于点M．∵∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°，∴四边形EFDM是矩形，∴EF=DM，设正方形EFGH的边长为x，∵△AEH∽△ABC，∴=，∴=，∴x=，∴正方形EFGH的边长为cm，面积为cm2．【点评】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用相似三角形的相似比对于高的比，学会用方程的思想解决问题，属于中考常考题型．26．（2016•杭州）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．（1）求证：△ADF∽△ACG；（2）若，求的值．【分析】（1）欲证明△ADF∽△ACG，由可知，只要证明∠ADF=∠C即可．（2）利用相似三角形的性质得到=，由此即可证明．【解答】（1）证明：∵∠AED=∠B，∠DAE=∠DAE，∴∠ADF=∠C，∵=，∴△ADF∽△ACG．（2）解：∵△ADF∽△ACG，∴=，又∵=，∴=，∴=1．【点评】本题考查相似三角形的性质和判定、三角形内角和定理等知识，记住相似三角形的判定方法是解决问题的关键，属于基础题中考常考题型．27．（2016•大庆）如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E．（1）求证：AG=CG．（2）求证：AG2=GE•GF．【分析】根据菱形的性质得到AB∥CD，AD=CD，∠ADB=∠CDB，推出△ADG≌△CDG，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）由全等三角形的性质得到∠EAG=∠DCG，等量代换得到∠EAG=∠F，求得△AEG∽△FGA，即可得到结论．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD=CD，∠ADB=∠CDB，∴∠F=∠FCD，在△ADG与△CDG中，，∴△ADG≌△CDG，∴∠EAG=∠DCG，∴AG=CG；（2）∵△ADG≌△CDG，∴∠EAG=∠F，∵∠AGE=∠AGE，∴△AEG∽△FGA，∴，∴AG2=GE•GF．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键．28．（2016•梅州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，∠BAC=60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒（0≤t≤5），连接MN．（1）若BM=BN，求t的值；（2）若△MBN与△ABC相似，求t的值；（3）当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．。
苏科版九年级数学下册第六章《相似三角形》必考题复习(附练习答案)
相似图形必考题复习一、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．（3分）已知两数4和8，试写出第三个数，使这三个数中，其中一个数是其余两数的比例中项，第三个数是（只需写出一个即可）．2．（3分）如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，点D在AC上，且AD＝2，如果要在AB 上找一点E，使△ADE与原三角形相似，那么AE＝．第2题第3题第4题3．（3分）如图，在△ABC中，点D在AB上，请再添一个适当的条件，使△ADC∽△ACB，那么可添加的条件是．4．（3分）如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，请你添加一个条件，使△ABC 与△AED相似，你添加的条件是．5．（3分）下列命题：①所有的等腰三角形都相似；②所有的等边三角形都相似；③所有的等腰直角三角形都相似；④所有的直角三角形都相似；其中真命题是（把所有真命题的序号都填上）．6．（3分）如图，在平面直角坐标系中有两点A（4，0）、B（0，2），如果点C在x轴上（C 与A不重合），当点C的坐标为或时，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似（至少找出两个满足条件的点的坐标）．第6题第7题第8题7．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝4cm，E为AD的中点，在AB 上取一点F，使△CBF∽△CDE，则AF＝cm．8．（3分）如图，DE与BC不平行，当＝时，△ABC与△ADE相似．二、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）9．（3分）给出4个命题：①三边对应成比例的两个三角形相似；②两边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似；③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似；④一个角对应相等的两个等腰三角形相似，其中正确的命题是（）A．①③B．①④C．①②④D．①③④10．（3分）如图，已知DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是（）A．B．C．D．11．（3分）如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使△ABE和△ACD相似的是（）A．∠B＝∠C B．∠ADC＝∠AEBC．BE＝CD，AB＝AC D．AD：AC＝AE：AB第10题第11题第12题12．（3分）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是CD，BC上的点，若∠AEF＝90°，则一定有（）A．△ADE∽△ECF B．△ECF∽△AEF C．△ADE∽△AEF D．△AEF∽△ABF 13．（3分）如图，E是平行四边形ABCD的边BC延长线上的一点，连接AE交CD于F，则图中共有相似三角形（）A．1对B．2对C．3对D．4对第13题第15题14．（3分）如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（）A．①和②B．②和③C．①和③D．②和④15．（3分）如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①△ABC，②△BCD，③△BDE，④△BFG，⑤△FGH，⑥△EFK，在②～⑥中，与三角形①相似的是（）A．②③④B．③④⑤C．④⑤⑥D．②③⑥16．（3分）如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的定点，过M点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条17．（3分）如图，锐角△ABC的高CD和BE相交于点O，图中与△ODB相似的三角形有（）A．4个B．3个C．2个D．1个第16题第17题第18题18．（3分）如图AB∥CD∥EF，则图中相似三角形的对数为（）A．1对B．2对C．3对D．4对三、解答题（共24小题，满分96分）19．在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点．以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．如图，请你在4×4的方格纸中，画一个格点三角形A1B1C1，使△A1B1C1与一个格点三角形ABC相似（相似比不为1）．20．如图，△ABC中，BC＝a．（1）若AD1＝AB，AE1＝AC，则D1E1＝；（2）若D1D2＝D1B，E1E2＝E1C，则D2E2＝；（3）若D2D3＝D2B，E2E3＝E2C，则D3E3＝…（4）若D n﹣1D n＝D n﹣1B，E n﹣1E n＝E n﹣1C，则D n E n＝．21．如图，△ABC与△ADB中，∠ABC＝∠ADB＝90°，AC＝5cm，AB＝4cm，如果图中的两个直角三角形相似，求AD的长．22．已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点．△ADQ与△QCP是否相似？为什么？23．已知：如图，△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC．求证：AB•BC＝AC•CD．24．如图，已知：△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，延长BA至E，延长AB至F，∠ECF＝135°，求证：△EAC∽△CBF．25．如图，一个三角形钢筋框架三边长分别为20cm、50cm、60cm，要做一个与其相似的钢筋框架．现有长为30cm和50cm的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边，你认为有几种不同的截法？并分别求出．26．已知：如图，△ABC中，AD＝DB，∠1＝∠2．求证：△ABC∽△EAD．27．如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形．（1）当AC、CD、DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB；（2）当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数．28．如图，四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形．（1）△ACF与△GCA相似吗？说说你的理由；（2）求∠1+∠2的度数．29．如图，已知∠1＝∠3，∠B＝∠D，AB＝DE＝5cm，BC＝4cm．（1）△ABC∽△ADE吗？说明理由．（2）求AD的长．30．如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连接FC（AB＞AE），△AEF∽△EFC吗？若相似，请证明；若不相似，请说明理由．若ABCD为矩形呢？31．如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F．（1）△ABE与△ADF相似吗？说明理由．（2）△AEF与△ABC相似吗？说说你的理由．32．如图，D为△ABC内一点，E为△ABC外一点，且∠1＝∠2，∠3＝∠4．（1）△ABD与△CBE相似吗？请说明理由．（2）△ABC与△DBE相似吗？请说明理由．33．将两块完全相同的等腰直角三角形，摆成如图所示的样子，假设图形中所有的点和线段都在一个平面内，回答下列问题：（1）图中有多少个三角形，把它们一一写出来；（2）图中有相似（不包括全等）三角形吗？如果有把它们一一写出来．34．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为B、C，且AB＝8，DC＝6，BC＝14，BC上是否存在点P使△ABP与△DCP相似？若有，有几个？并求出此时BP的长，若没有，请说明理由．35．已知：如图，CE是Rt△ABC的斜边AB上的高，BG⊥AP．求证：CE2＝ED•EP．36．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，DA⊥AB，CD＝2，AB＝3，AD＝7，在线段AD上能否找到一个点P，使得以点P、A、B为顶点的三角形和以点P、C、D为顶点的三角形相似？若能，共有几个符合条件的点P？并求相应的PD的长；若不能，说明理由．37．如图，AB是等腰直角三角形ABC的斜边，若点M在边AC上，点N在边BC上，沿直线MN将△MCN翻折，使点C落在边AB上，设其落点为P．（1）当点P是边AB的中点时，比例式＝成立吗？为什么？（2）当点P不是边AB的中点时，＝是否仍然成立？请说明理由．38.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，CD是Rt△ABC的高，E是AC 的中点，ED的延长线与CB的延长线相交于点F．（1）求证：DF是BF和CF的比例中项；（2）在AB上取一点G，如果AE•AC＝AG•AD，求证：EG•CF＝ED•DF．39.反比例函数y＝的图象在第一象限的分支上有一点A（3，4），P为x轴正半轴上的一个动点，（1）求反比例函数解析式．（2）当P在什么位置时，△OP A为直角三角形，求出此时P点的坐标．40.如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CO为斜边中线，点D是△ABC外一点，∠CDB＝∠COB，线段CD与线段AB相交于点M．探究：（1）求证：△AMC∽△DMB；（2）如图②，当∠CDB＝30°，且OM＝BM时，求证：CM＝DM；应用：如图③，在△P AB中，P A＝PB，点C是△P AB外一点，∠ACB＝∠APB．线段AC 与射线BP相交于点D．若PB＝4，AD•DC＝7，请直接写出BD的值．41.如图（1），△ABC是等边三角形，D是BC边上的一个动点，且∠ADF＝60°，点F在线段AC上．（1）求证：△ABD∽△DCF；（2）若AB＝6，则当BD为何值时，AF＝；（3）如图（2），AD⊥DE，BE⊥DE，且AD＝14，BE＝22，点C在DE上，且△ABC是等边三角形，求△ABC的面积．42.如图1，将正方形纸片ABCD对折，使AB与CD重合，折痕为EF．如图2，展开后再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为GH，点B的对应点为点M，EM交AB于N．若AD ＝2，求线段MN的长度。
6.5 相似三角形的性质(1)
给形状相同且对应边的比为1：2的两块标牌 的表面涂漆，若过小标牌用漆半听，那么大标牌 用漆需要________ 2 听.
结论： 相似三角形面积的比等于相似比的平方.
类似地: 相似多边形面积的比等于相似比的平方. 如图:在△ABC中,M、N分别是 AB、 AC的中点, △AMN与四边形MNCB的面积比 A 1:3 是_________;
结论： 相似三角形面积的比等于相似比的平方.
类似地: 相似多边形面积的比等于相似比的平方
若五边形ABCDE∽五边形A'B'C'D'E' 试说明它们的面积比等于相似比的平方.
D E A B C E' D' C' B'
A'
结论： 相似三角形面积的比等于相似比的平方.
类似地: 相似多边形面积的比等于相似比的平方.
B
C
B′C′A源自△ABC∽△A'B'C'设相似比为k, 则: BC = k
B 'C '
B
B′
AD和A′D′分别是△ABC和 ┓ △A′B′C′的高。因为 D C ∠B=∠B′， A′ ∠ADB=∠A′D′B′=90°所以 △ABD∽△A′B′D′ 所以， AD AB k 即AD=kAD′， ┓ AD AB D′ C′
结论：
相似三角形周长的比等于相似比
类似地: 相似多边形周长的比等于 相似比 .
若五边形ABCDE相似于五边形A'B'C'D'E'试说 明他们的周长比等于相似比.
D E A B E' D' C' B'
C
A'
苏科版初中数学九年级下册《6.5 相似三角形的性质》同步练习卷
苏科新版九年级下学期《6.5 相似三角形的性质》同步练习卷一．选择题（共15小题）1．如图所示，△ACB∽△A′CB′，∠BCB′＝30°，则∠ACA′的度数为（）A．20°B．30°C．35°D．40°2．若△ABC∽△A′B′C′，∠A＝40°，∠C＝110°，则∠B′等于（）A．30°B．50°C．40°D．70°3．一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，则其它两边的和是（）A．19B．17C．24D．214．已知△ABC∽△A1B1C1，且∠A＝50°，∠B＝95°，则∠C1等于（）A．50°B．95°C．35°D．25°5．若△ABC∽△DEF，且对应中线比为2：3，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．3：2B．2：3C．4：9D．9：166．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（）A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm7．已知△ABC∽△DEF，相似比为3，且△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（）A．2B．3C．6D．548．若△ABC∽△A′B′C′且，△ABC的周长为15cm，则△A′B′C′的周长为（）A．18B．20C．D．9．如图，在▱ABCD中，E为CD的中点，AE交BD于点O，S△DOE＝12cm2，则S△AOB等于（）A．24cm2B．36cm2C．48cm2D．60cm210．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A，BC＝，AC＝3，则CD的长为（）A．1B．C．2D．11．如图，在△ABC中，D为AB中点，DE∥BC交AC于E点，则△ADE与△ABC的面积比为（）A．1：1B．1：2C．1：3D．1：412．如图，Rt△ABC内接于⊙O，AB＝3，BC＝4，点D为的中点，连结AD 与BC相交于点E，则DE：AE等于（）A．3：4B．1：3C．2：3D．2：513．如图，矩形ABCD中，DE⊥AC，E为垂足，图中相似三角形共有（全等三角形除外）（）A．3对B．4对C．5对D．6对14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果AC＝3，AB ＝6，那么AD的值为（）A．B．C．D．315．如图，△ABC中，点D在线段BC上，且∠BAD＝∠C，则下列结论一定正确的是（）A．AB2＝AC•BD B．AB•AD＝BD•BCC．AB2＝BC•BD D．AB•AD＝BD•CD二．填空题（共15小题）16．如果两个相似三角形的面积的比是4：9，那么它们对应的角平分线的比是．17．如图，已知△ADE∽△ABC，且AD＝3，DC＝4，AE＝2，则BE＝．18．若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为2：3，则S△ABC：S△DEF ＝．19．若两个三角形的相似比为2：3，则这两个三角形周长的比为．20．已知△ABC∽△DEF，且它们的面积之比为4：9，则它们的相似比为．21．如图，点P在正方形ABCD内，△PBC是正三角形，BD和PC相交于点E．给出下列结论：①∠PBD＝15°；②△PDE为等腰三角形；③△PDE∽△PCD；④△PBD、正方形ABCD的面积分别为S1，S，若S＝4，则S1＝1．其中正确的是．22．如图Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为BC上任意一点，连接P A，以P A，PC为邻边作平行四边形P AQC，连接PQ，则PQ的最小值为．23．如图，△ABC是等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC的面积的．24．如图：AB、CD相交于O，且∠A＝∠C，若OA＝3，OD＝4，OB＝2，则OC＝．25．在正方形网格中（图），请画一个正方形使它等于已知正方形ABCD的面积的2倍．26．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．（Ⅰ）△ABC的面积等于；（Ⅱ）若四边形DEFG是△ABC中所能包含的面积最大的正方形，请你在如图所示的网格中，用直尺和三角尺画出该正方形，并简要说明画图方法（不要求证明）．27．如图所示，平移方格纸中的图形，使点A平移到A′处，画出放大一倍后的图形．（所画图中线段必须借助直尺画直，并用阴影表示）．28．如图，在大小为4×4的正方形方格中，△ABC的顶点A、B、C在单位正方形的顶点上，请在图中画一个△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC（相似比不为1），且点A1、B1、C1都在单位正方形的顶点上．．29．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AD＝8，DB＝2，则CD的长为．30．如图，若CD是Rt△ABC斜边上的高，AD＝3，CD＝4，则BC＝．三．解答题（共20小题）31．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，经几秒钟△PBQ与△ABC相似？试说明理由．32．两个相似三角形的一对对应边的长分别是35cm和14cm，它们的周长相差60cm，求这两个三角形的周长．33．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，动点P从点B出发以2cm/s的速度向点C移动，动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，如果动点P、Q同时出发，要使△CPQ与△CBA相似，所需要的时间是多少秒？34．如图，△ABC中，AB＝8厘米，AC＝16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？35．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm．现有动点P从点A 出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为t秒．求：（1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；（2）当t＝3秒时，P、Q两点之间的距离是多少？（3）当t为多少秒时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？36．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝8，DE＝2，求EF的长．37．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，将另外一个含30°角的△EDF的30°角的顶点D放在AB边上，E、F分别在AC、BC上，当点D在AB边上移动时，DE始终与AB垂直．（1）设AD＝x，CF＝y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数自变量的取值范围；（2）如果△CEF与△DEF相似，求AD的长．38．如图，在等边△ABC中，边长为6，D是BC边上的动点，∠EDF＝60°．（1）求证：△BDE∽△CFD；（2）当BD＝1，CF＝3时，求BE的长．39．如图，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD＝∠ABC，若AC＝，AD ＝1，求DB的长．40．如图，在矩形ABCD和矩形PEFG中，AB＝8，BC＝6，PE＝2，PG＝4．PE 与AC交于点M，EF与AC交于点N，动点P从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，伴随点P的运动，矩形PEFG在射线AB上滑动；动点K从点P出发沿折线PE﹣﹣EF以每秒1个单位长的速度匀速运动．点P、K同时开始运动，当点K到达点F时停止运动，点P也随之停止．设点P、K运动的时间是t秒（t＞0）．（1）当t＝1时，KE＝，EN＝；（2）当t为何值时，△APM的面积与△MNE的面积相等？（3）当点K到达点N时，求出t的值；（4）当t为何值时，△PKB是直角三角形？41．如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F．（1）△ABE与△ADF相似吗？请说明理由．（2）若AB＝6，AD＝12，BE＝8，求DF的长．42．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE＝ED，DF ＝DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．43．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F 为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB＝4，AD＝，AE＝3，求AF的长．44．在△ABC中，∠ACB＝45°．点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB＝AC．如图①，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD 之间的位置关系，并证明你的结论．（2）如果AB≠AC，如图②，且点D在线段BC上运动．（1）中结论是否成立，为什么？（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC ＝，BC＝3，CD＝x，求线段CP的长．（用含x的式子表示）45．已知，如图，△ABC中，AB＝2，BC＝4，D为BC边上一点，BD＝1．（1）求证：△ABD∽△CBA；（2）在原图上作DE∥AB交AC与点E，请直接写出另一个与△ABD相似的三角形，并求出DE的长．46．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝m（m＞1），点E是AD边上一定点，且AE＝1．（1）当m＝3时，AB上存在点F，使△AEF与△BCF相似，求AF的长度．（2）如图②，当m＝3.5时．用直尺和圆规在AB上作出所有使△AEF与△BCF 相似的点F．（不写作法，保留作图痕迹）（3）对于每一个确定的m的值，AB上存在几个点F，使得△AEF与△BCF相似？47．如图，已知△ABC．只用直尺（没有刻度的尺）和圆规，求作一个△DEF，使得△DEF∽△ABC，且EF＝BC．（要求保留作图痕迹，不必写出作法）48．如图，已知△ABC，∠BAC＝90°，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形（保留作图痕迹，不写作法）49．如图，已知△ABC中，AB＝12，BC＝8，AC＝6，点D，E分别在AB，AC 上，如果以A，D，E为顶点的三角形和以A，B，C为顶点的三角形相似，且相似比为1：3．（1）根据题意确定D，E的位置，画出简图；（2）求AD，AE和DE的长．50．如图，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，A、B、C三点都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中A（1，8），B（3，8），C（4，7）．（1）若D（2，3），请在网格图中画一个格点△DEF，使△DEF∽△ABC，且相似比为2：1；（2）求∠D的正弦值；（3）若△ABC外接圆的圆心为P，则点P的坐标为．苏科新版九年级下学期《6.5 相似三角形的性质》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．如图所示，△ACB∽△A′CB′，∠BCB′＝30°，则∠ACA′的度数为（）A．20°B．30°C．35°D．40°【分析】根据相似三角形性质求出∠ACB＝∠A′CB′，都减去∠A′CB即可．【解答】解：∵△ACB∽△A′CB′，∴∠ACB＝∠A′CB′，∴∠ACB﹣∠A′CB＝∠A′CB′﹣∠A′CB，∴∠ACA′＝∠BCB′，∵∠BCB′＝30°，∴∠ACA′＝30°，故选：B．【点评】本题考查了相似三角形性质的应用，注意：相似三角形的对应角相等．2．若△ABC∽△A′B′C′，∠A＝40°，∠C＝110°，则∠B′等于（）A．30°B．50°C．40°D．70°【分析】根据三角形的内角和定理求出∠B，再根据相似三角形对应角相等解答．【解答】解：∵∠A＝40°，∠C＝110°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣40°﹣110°＝30°，∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B′＝∠B＝30°．故选：A．【点评】本题考查了相似三角形对应角相等的性质，三角形的内角和定理，是基础题，熟记性质是解题的关键．3．一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，则其它两边的和是（）A．19B．17C．24D．21【分析】根据相似三角形的性质三边对应成比例作答即．【解答】解：设另一个三角形的最短边为x，第二短边为y，根据相似三角形的三边对应成比例，知，∴x＝9，y＝15，∴x+y＝24．故选：C．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的三边对应成比例．运用此性质时，关键是对应边要找准．寻找对应边的一般方法有：最长边是对应边，最短边是对应边；对应角所对的边是对应边．4．已知△ABC∽△A1B1C1，且∠A＝50°，∠B＝95°，则∠C1等于（）A．50°B．95°C．35°D．25°【分析】先由三角形内角和定理求出∠C的度数，再根据相似三角形的对应角相等得出∠C1＝∠C．【解答】解：△ABC中，∵∠A＝50°，∠B＝95°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝35°，∵△ABC∽△A1B1C1，∴∠C1＝∠C＝35°．故选：C．【点评】本题考查了三角形内角和定理及相似三角形的性质，熟练掌握性质及定理是解题的关键．5．若△ABC∽△DEF，且对应中线比为2：3，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．3：2B．2：3C．4：9D．9：16【分析】根据相似三角形对应中线的比等于相似比求出相似比，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，对应中线比为2：3，∴△ABC与△DEF的相似比为2：3，∴△ABC与△DEF的面积比为4：9，故选：C．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．6．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（）A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解可得．【解答】解：设另一个三角形的最长边长为xcm，根据题意，得：＝，解得：x＝4.5，即另一个三角形的最长边长为4.5cm，故选：C．【点评】本题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．7．已知△ABC∽△DEF，相似比为3，且△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（）A．2B．3C．6D．54【分析】由△ABC∽△DEF，相似比为3，且△ABC的周长为18，根据相似三角形的周长的比等于相似比，即可求得△DEF的周长．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为3，△ABC的周长为18，∴，∴△DEF的周长为6．故选：C．【点评】此题考查了相似三角形的性质．注意掌握相似三角形的周长的比等于相似比是解此题的关键．8．若△ABC∽△A′B′C′且，△ABC的周长为15cm，则△A′B′C′的周长为（）A．18B．20C．D．【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，可得＝，由△ABC的周长为15cm，即可求得△A′B′C′的周长．【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，∴＝，∵△ABC的周长为15cm，∴△A′B′C′的周长为20cm．故选：B．【点评】此题考查了相似三角形的性质：相似三角形的周长得比等于相似比．9．如图，在▱ABCD中，E为CD的中点，AE交BD于点O，S△DOE＝12cm2，则S△AOB等于（）A．24cm2B．36cm2C．48cm2D．60cm2【分析】由AB∥CD，容易得出△AOB∽△EOD，又E为DC边的中点，AB＝CD，故相似比为AB：ED＝2：1，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求S△AOB．【解答】解：∵在▱ABCD中，E为CD中点，∴AB＝CD＝2DE，又∵AB∥CD，∴△AOB∽△EOD，∴＝（）2＝4，∴S△AOB ＝4S△DOE＝48cm2．故选：C．【点评】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质．关键是明确相似三角形的面积比等于相似比的平方．10．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A，BC＝，AC＝3，则CD的长为（）A．1B．C．2D．【分析】由条件可证明△CBD∽△CAB，可得到＝，代入可求得CD．【解答】解：∵∠DBC＝∠A，∠C＝∠C，∴△CBD∽△CAB，∴＝，即＝，∴CD＝2，故选：C．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．11．如图，在△ABC中，D为AB中点，DE∥BC交AC于E点，则△ADE与△ABC的面积比为（）A．1：1B．1：2C．1：3D．1：4【分析】由DE∥BC，易得△ADE∽△ABC，又由D是边AB的中点，可得AD：AB＝1：2，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△ADE 的面积与△ABC的面积之比．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵D是边AB的中点，∴AD：AB＝1：2，∴＝（）2＝．故选：D．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方定理的应用是解此题的关键．12．如图，Rt△ABC内接于⊙O，AB＝3，BC＝4，点D为的中点，连结AD 与BC相交于点E，则DE：AE等于（）A．3：4B．1：3C．2：3D．2：5【分析】根据垂径定理得到OD⊥BC，CM＝BC＝2，推出△ABE∽△DME，得到比例式，代入数值即可得到结果．【解答】解：连接OD交BC于M，∵点D为的中点，∴OD⊥BC，CM＝BC＝2，∴∠DME＝∠B＝90°，∵∠AEB＝∠DEM，∴△ABE∽△DME，∴，∵Rt△ABC内接于⊙O，∴AC是⊙O的直径．∴AC＝＝5，∴OC＝OD＝，∴（OD﹣DM）2+CM2＝OC2，即（﹣DM）2+22＝（）2，∴DM＝1，DM＝4（不合题意舍去），∴DE：AE＝DM：AB＝1：3．故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．13．如图，矩形ABCD中，DE⊥AC，E为垂足，图中相似三角形共有（全等三角形除外）（）A．3对B．4对C．5对D．6对【分析】由矩形的性质可以得出∠ADC＝∠ABC＝90°，∠DCA＝∠BAC，∠DAC ＝∠BCA，DE⊥AC就有∠AED＝∠CED＝90°，进而得出∠ADE＝∠ACD，∠DAC＝∠CDE，就有△AED∽△DEC，△AED∽△ADC，△AED∽△CBA，△DEC∽△ADC，△DEC∽△CBA就可以得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，AD∥BC，CD∥BA，∴∠DCA＝∠BAC，∠DAC＝∠BCA．∵DE⊥AC，∴∠AED＝∠CED＝90°．∴∠DAE+∠ADE＝90°，∵∠DAE+∠ACD＝90°，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠ACD．∠DAE＝∠EDC．∴△AED∽△DEC，△AED∽△ADC，△AED∽△CBA，△DEC∽△ADC，△DEC∽△CBA．共有5对．故选：C．【点评】本题考查了矩形的性质的运用，垂直的性质的运用，相似三角形的判定方法的运用，解答时运用合适的方法判定量三角形相似是关键．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果AC＝3，AB ＝6，那么AD的值为（）A．B．C．D．3【分析】根据射影定理得到：AC2＝AD•AB，把相关线段的长度代入即可求得线段AD的长度．【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴AC2＝AD•AB，又∵AC＝3，AB＝6，∴32＝6AD，则AD＝．故选：A．【点评】本题考查了射影定理．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．15．如图，△ABC中，点D在线段BC上，且∠BAD＝∠C，则下列结论一定正确的是（）A．AB2＝AC•BD B．AB•AD＝BD•BCC．AB2＝BC•BD D．AB•AD＝BD•CD【分析】先证明△BAD∽△BCA，则利用相似的性质得AB：BC＝BD：AB，然后根据比例性质得到AB2＝BC•BD．【解答】解：∵∠BAD＝∠C，而∠ABD＝∠CBA，∴△BAD∽△BCA，∴AB：BC＝BD：AB，∴AB2＝BC•BD．故选：C．【点评】本题考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．也考查了相似三角形的判定与性质．二．填空题（共15小题）16．如果两个相似三角形的面积的比是4：9，那么它们对应的角平分线的比是2：3．【分析】先根据相似三角形面积的比求出其相似比，再根据其对应的角平分线的比等于相似比即可解答．【解答】解：∵两个相似三角形的面积比是4：9，∴这两个相似三角形的相似比是2：3，∵其对应角平分线的比等于相似比，∴它们对应的角平分线比是2：3．故答案为2：3．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形对应边的比、对应高线的比、对应角平分线的比、周长的比都等于相似比；面积的比等于相似比的平方．17．如图，已知△ADE∽△ABC，且AD＝3，DC＝4，AE＝2，则BE＝8.5．【分析】先求出AC的长，再根据相似三角形对应边成比例列式求出AB的长，然后根据DE＝AB﹣AE，代入数据进行计算即可得解．【解答】解：∵AD＝3，DC＝4，∴AC＝AD+DC＝3+4＝7，∵△ADE∽△ABC，∴＝，即＝，解得AB＝10.5，∴DE＝AB﹣AE＝10.5﹣2＝8.5．故答案为：8.5．【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形对应边成比例并列出比例式是解题的关键．18．若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为2：3，则S△ABC：S△DEF＝4：9．【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为2：3，∴S△ABC ：S△DEF＝（）2＝．故答案为：4：9．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形面积的比等于相似比．19．若两个三角形的相似比为2：3，则这两个三角形周长的比为2：3．【分析】根据相似三角形的性质：周长比等于相似比即可解得．【解答】解：∵两个相似三角形的相似比为2：3，∴它们的周长比为：2：3．故答案为：2：3．【点评】此题主要考查相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比．20．已知△ABC∽△DEF，且它们的面积之比为4：9，则它们的相似比为2：3．【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，可直接得出结果．【解答】解：因为△ABC∽△DEF，所以△ABC与△DEF的面积比等于相似比的平方，因为S△ABC ：S△DEF＝2：9＝（）2，所以△ABC与△DEF的相似比为2：3，故答案为：2：3．【点评】本题比较容易，考查相似三角形的性质．利用相似三角形的性质时，要注意相似比的顺序，同时也不能忽视面积比与相似比的关系．相似比是联系周长、面积、对应线段等的媒介，也是相似三角形计算中常用的一个比值．21．如图，点P在正方形ABCD内，△PBC是正三角形，BD和PC相交于点E．给出下列结论：①∠PBD＝15°；②△PDE为等腰三角形；③△PDE∽△PCD；④△PBD、正方形ABCD的面积分别为S1，S，若S＝4，则S1＝1．其中正确的是①②③．【分析】根据等边三角形性质得出∠PCB＝60°，PC＝BC，∠PBC＝60°，根据正方形性质和等腰三角形性质求出∠DBC＝45°，即可判断①；根据三角形内角和定理和三角形外角性质求出∠DPC＝∠PDC＝75°，即可判断②；根据三角形相似的判定即可判断③；根据三角形的面积求出△PBC，△DPC，△DBC的面积，即可判断④．【解答】解：∵△PBC是等边三角形，∴∠PCB＝60°，PC＝BC，∠PBC＝60°，∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠DCB＝90°，∴∠DBC＝45°，∴∠PBD＝60°﹣45°＝15°，∴①正确；∵∠DCB＝90°，∠PCB＝60°，∴∠DCP＝90°﹣60°＝30°，∵BC＝PC，BC＝CD，∴PC＝DC，∴∠CPD＝∠PDC＝（180°﹣30°）＝75°，∵∠DCP＝30°，∠BDC＝45°，∴∠DEP＝45°+30°＝75°＝∠DPC，∴DP＝DE，∴△PDE为等腰三角形，∴②正确；∵∠DPC＝∠DPC，∠DEP＝∠PDC＝75°，∴△PDE∽△DCP，∴③正确；过P作PN⊥CD，PM⊥BC，则∠PNC＝∠PMC＝90°，∵正方形ABCD的面积是4，∴BC＝DC＝2，∵PC＝BC，∴PC＝2，∵∠DCP＝30°，∠PNC＝90°，∴PN＝PC＝1，PM＝PC×sin60°＝2×＝，∴S1＝S△PBD+S△PDC﹣S△DBC＝S△PBC＝×2×+×2×1﹣×2×2＝﹣1，∴④错误；故答案为：①②③．【点评】本题考查了正方形性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，三角形面积，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，相似三角形的判定等知识点的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道中等题．22．如图Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为BC上任意一点，连接P A，以P A，PC为邻边作平行四边形P AQC，连接PQ，则PQ的最小值为．【分析】以P A，PC为邻边作平行四边形P AQC，由平行四边形的性质可知O是AC中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作BC的垂线P′O，然后根据△P′OC和△ABC相似，利用相似三角形的性质即可求出PQ的最小值．【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝＝5，∵四边形APCQ是平行四边形，∴PO＝QO，CO＝AO，∵PQ最短也就是PO最短，∴过O作BC的垂线OP′，∵∠ACB＝∠P′CO，∠CP′O＝∠CAB＝90°，∴△CAB∽△CP′O，∴，∴，∴OP ′＝，∴则PQ 的最小值为2OP ′＝，故答案为：．【点评】本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是做高线各种相似三角形．23．如图，△ABC 是等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截，AB 被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC 的面积的 ．【分析】根据题意，易证△AEH ∽△AFG ∽△ABC ，利用相似比，可求出S △AEH 、S △AFG 面积比，再求出S △ABC ．【解答】解：∵AB 被截成三等分，∴△AEH ∽△AFG ∽△ABC ，∴，，∴S △AFG ：S △ABC ＝4：9，S △AEH ：S △ABC ＝1：9，∴S 阴影部分的面积＝S △ABC ﹣S △ABC ＝S △ABC ．故答案为．【点评】本题主要考查了利用三等分点求得各相似三角形的相似比，从而求出面积比计算阴影部分的面积，难度适中．24．如图：AB、CD相交于O，且∠A＝∠C，若OA＝3，OD＝4，OB＝2，则OC＝．【分析】首先根据已知条件证△AOD∽△COB，然后根据相似三角形的对应线段成比例求出OC的长．【解答】解：∵∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC，∴△AOD∽△COB；∴，即OC＝，又∵OA＝3，OD＝4，OB＝2，∴OC＝【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质．25．在正方形网格中（图），请画一个正方形使它等于已知正方形ABCD的面积的2倍．【分析】根据相似形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方，即可解决．【解答】解：由于正方形的对角线是边长的倍，则以正方形ABCD的对角线AC为边长的正方形的面积是原正方形的面积的2倍．【点评】本题利用了正方形的性质：正方形的对角线是边长的倍．26．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．（Ⅰ）△ABC的面积等于6；（Ⅱ）若四边形DEFG是△ABC中所能包含的面积最大的正方形，请你在如图所示的网格中，用直尺和三角尺画出该正方形，并简要说明画图方法（不要求证明）取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG即为所求．【分析】（Ⅰ）△ABC以AB为底，高为3个单位，求出面积即可；（Ⅱ）作出所求的正方形，如图所示，画图方法为：取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG即为所求【解答】解：（Ⅰ）△ABC的面积为：×4×3＝6；（Ⅱ）如图，取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG即为所求．故答案为：（Ⅰ）6；（Ⅱ）取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC 交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG即为所求．【点评】此题考查了作图﹣位似变换，三角形的面积，以及正方形的性质，作出正确的图形是解本题的关键．27．如图所示，平移方格纸中的图形，使点A平移到A′处，画出放大一倍后的图形．（所画图中线段必须借助直尺画直，并用阴影表示）．【分析】先作出各个关键点的对应点，顺次连接即可．【解答】解：【点评】本题的关键是作各个关键点的对应点．28．如图，在大小为4×4的正方形方格中，△ABC的顶点A、B、C在单位正方形的顶点上，请在图中画一个△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC（相似比不为1），且点A1、B1、C1都在单位正方形的顶点上．答案如图．【分析】在4×4的方格纸中，使△A1B1C1与格点三角形ABC相似，根据对应边相似比相等，对应角相等，可知要画一个135度的钝角，钝角的两边只能缩小，又要在格点上所以要缩小为1和2，画出这样的两边长后，三角形的三点就确定了．【解答】解：如图【点评】本题主要考查了相似三角形的画法，根据的主要是相似三角形的性质．注意根据本题中的要求只能画缩小的相似图形．29．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AD＝8，DB＝2，则CD的长为4．【分析】根据射影定理得到：CD2＝AD•BD，把相关线段的长度代入计算即可．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AD＝8，DB ＝2，∴CD2＝AD•BD＝8×2，则CD＝4．故答案是：4．【点评】本题考查了射影定理．Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：①AD2＝BD•DC；②AB2＝BD•BC；AC2＝CD•BC．30．如图，若CD是Rt△ABC斜边上的高，AD＝3，CD＝4，则BC＝．【分析】由三角形的性质：直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影比例中项，即CD2＝AD×BD，可将BD的长求出，然后在Rt△BCD中，根据勾股定理可将BC的边求出．【解答】解：∵若CD是Rt△ABC斜边上的高，AD＝3，CD＝4∴CD2＝AD×BD，即42＝3×BD解得：BD＝在Rt△BCD中，∵BC2＝CD2+BD2，∴BC＝＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查三角形的性质及对勾股定理的应用．三．解答题（共20小题）31．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，经几秒钟△PBQ与△ABC相似？试说明理由．【分析】首先设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，由题意可得AP＝2xcm，BQ＝4xcm，BP＝AB﹣AP＝（8﹣2x）cm，又由∠B是公共角，分别从与分析，即可求得答案．【解答】解：设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，则AP＝2xcm，BQ＝4xcm，∵AB＝8cm，BC＝16cm，∴BP＝AB﹣AP＝（8﹣2x）cm，∵∠B是公共角，∵①当，即时，△PBQ∽△ABC，解得：x＝2；②当，即时，△QBP∽△ABC，解得：x＝0.8，∴经2或0.8秒钟△PBQ与△ABC相似．【点评】此题考查了相似三角形的判定．此题难度适中，属于动点型题目，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．32．两个相似三角形的一对对应边的长分别是35cm和14cm，它们的周长相差60cm，求这两个三角形的周长．【分析】根据相似三角形的一对对应边的长，可得出相似比，再根据周长的比等于相似比，即可求出两个三角形的周长．【解答】解：∵三角形的对应边的比是35：14＝5：2，周长的比等于相似比，∴可以设一个三角形的周长是5x，则另一个三角形的周长是2x，∵周长相差60cm，得到5x﹣2x＝60，解得：x＝20，∴这两个三角形的周长分别为100cm，40cm．【点评】本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形周长的比等于相似比．33．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，动点P从点B出发以2cm/s的速度向点C移动，动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，如果动点P、Q同时出发，要使△CPQ与△CBA相似，所需要的时间是多少秒？【分析】若两三角形相似，则由相似三角形性质可知，其对应边成比例，据此可解出两三角形相似时所需时间．【解答】解：设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解，①若Rt△ABC∽Rt△QPC则，即解之得t＝1.2；②若Rt△ABC∽Rt△PQC则，解之得t＝；由P点在BC边上的运动速度为2cm/s，Q点在AC边上的速度为1cm/s，可求出t的取值范围应该为0＜t＜2，验证可知①②两种情况下所求的t均满足条件．所以可知要使△CPQ与△CBA 相似，所需要的时间为1.2或秒．【点评】本题综合考查了相似三角形的性质以及一元一次方程的应用问题，并且需要用到分类讨论的思想，解题时应注意解答后的验证．34．如图，△ABC中，AB＝8厘米，AC＝16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？【分析】首先设运动了ts，根据题意得：AP＝2tcm，CQ＝3tcm，然后分别从当△APQ∽△ABC与当△APQ∽△ACB时去分析求解即可求得答案．【解答】解：设运动了ts，根据题意得：AP＝2tcm，CQ＝3tcm，则AQ＝AC﹣CQ＝16﹣3t（cm），当△APQ∽△ABC时，，即，解得：t＝；当△APQ∽△ACB时，，即，解得：t＝4；故当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是：s或4s．【点评】此题考查了相似三角形的性质．此题难度适中，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．。
苏科版九年级数学下《第六章图形的相似》单元测试题含答案
第六章图形的相似一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）1．若=，则的值为（）A．1 B．C．D．2．已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a=9cm，b=4cm，则线段c长（）A．18cm B．5cm C．6cm D．±6cm3．已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB=4，那么AP的长是（）A．B．C． D．4．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C． = D． =5．如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是（）A．1：16 B．1：4 C．1：6 D．1：26．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于E，交BD于F，DE：EA=3：4，EF=3，则CD的长为（）A．4 B．7 C．3 D．127．如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD．若B（1，0），则点C的坐标为（）A．（1，2）B．（1，1） C．（，）D．（2，1）8．如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点F，AB=9，BD=3，则CF等于（）A ．1B ．2C ．3D ．49．如图，王华晚上由路灯A 下的B 处走到C 处时，测得影子CD 的长为1米，继续往前走3米到达E 处时，测得影子EF 的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A 的高度AB 等于（ ）A ．4.5米B ．6米C ．7.2米D ．8米10．如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm ，D 为BC 的中点，若动点E 以1cm/s 的速度从A 点出发，沿着A→B→A 的方向运动，设E 点的运动时间为t 秒（0≤t ＜6），连接DE ，当△BDE 是直角三角形时，t 的值为（ ）A ．2B ．2.5或3.5C ．3.5或4.5D ．2或3.5或4.5二、填空题：（本题共8小题，每小题3分，共24分）11．如果在比例尺为1：1 000 000的地图上，A 、B 两地的图上距离是3.4厘米，那么A 、B 两地的实际距离是 千米．12．如图，已知：l 1∥l 2∥l 3，AB=6，DE=5，EF=7.5，则AC= ．13．如图，△ABC 与△A′B′C′是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ．14．如图，点G是△ABC的重心，GH⊥BC，垂足为点H，若GH=3，则点A到BC的距离为．15．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，则树高AB= m．16．如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP的长度为时，△ADP和△ABC相似．17．如图，双曲线y=经过Rt△BOC斜边上的点A，且满足=，与BC交于点D，S=21，求△BODk= ．18．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB=6，BC=10，点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处，有下列结论：①∠EBG=45°；②△DEF ∽△ABG ；③S △ABG =S △FGH ；④AG +DF=FG ．其中正确的是 ．（把所有正确结论的序号都选上）三、解答题：（本大题共10大题，共76分）19．如图，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=6，M 是BC 的中点，DE ⊥AM 于点E ．（1）求证：△ADE ∽△MAB ；（2）求DE 的长．20．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，若S △ADE =4cm 2，S △EFC =9cm 2，求S △ABC ．21．如图，△ABC 中，CD 是边AB 上的高，且=．（1）求证：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大小．22．已知：如图△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，﹣3）、B（3，﹣2）、C（2，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．（1）画出△ABC向上平移6个单位得到的△A1B1C1；（2）以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC的位似比为2：1，并直接写出点A2的坐标．23．如图，一位同学想利用树影测量树高（AB），他在某一时刻测得高为1m的竹竿影长为0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上（CD），他先测得留在墙上的影高（CD）为1.2m，又测得地面部分的影长（BC）为2.7m，他测得的树高应为多少米？24．如图，把△ABC沿边BA平移到△DEF的位置，它们重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC面积的，若AB=2，求△ABC移动的距离BE的长．25．如图，点A（1，4）、B（2，a）在函数y=（x＞0）的图象上，直线AB与x轴相交于点C，AD⊥x轴于点D．（1）m= ；（2）求点C的坐标；（3）在x轴上是否存在点E，使以A、B、E为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由．26．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1．（1）求BD的长；（2）若△DCN的面积为2，求四边形ABNM的面积．27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D为边CB上的一个动点（点D不与点B 重合），过D作DO⊥AB，垂足为O，点B′在边AB上，且与点B关于直线DO对称，连接DB′，AD．（1）求证：△DOB∽△ACB；（2）若AD平分∠CAB，求线段BD的长；（3）当△AB′D为等腰三角形时，求线段BD的长．28．已知：如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=8cm ，对角线AC ，BD 交于点0．点P 从点A 出发，沿方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，点Q 从点D 出发，沿DC 方向匀速运动，速度为1cm/s ；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO 并延长，交BC 于点E ，过点Q 作QF ∥AC ，交BD 于点F ．设运动时间为t （s ）（0＜t ＜6），解答下列问题：（1）当t 为何值时，△AOP 是等腰三角形？（2）设五边形OECQF 的面积为S （cm 2），试确定S 与t 的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使S 五边形S 五边形OECQF ：S △ACD =9：16？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使OD 平分∠COP ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．《第6章图形的相似》参考答案与试题解析一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）1．若=，则的值为（）A．1 B．C．D．【考点】比例的性质．【专题】计算题．【分析】根据合分比性质求解．【解答】解：∵ =，∴==．故选D．【点评】考查了比例性质：常见比例的性质有内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质．2．已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a=9cm，b=4cm，则线段c长（）A．18cm B．5cm C．6cm D．±6cm【考点】比例线段．【分析】由c是a、b的比例中项，根据比例中项的定义，列出比例式即可得出线段c的长，注意线段不能为负．【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．所以c2=4×9，解得c=±6（线段是正数，负值舍去），故选C．【点评】此题考查了比例线段；理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数．3．已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB=4，那么AP的长是（）A．B．C． D．【考点】黄金分割．【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP=AB，代入数据即可得出AP的长．【解答】解：由于P为线段AB=4的黄金分割点，且AP是较长线段；则AP=4×=2﹣2．故选A．【点评】本题考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．熟记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的，较长的线段=原线段的是解题的关键．4．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C． = D． =【考点】相似三角形的判定．【分析】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．【解答】解：A、当∠ABP=∠C时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；B、当∠APB=∠ABC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；C、当=时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；D、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．故选：D．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．5．如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是（）A．1：16 B．1：4 C．1：6 D．1：2【考点】相似三角形的性质．【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．【解答】解：∵两个相似三角形的面积比是1：4，∴两个相似三角形的相似比是1：2，∴两个相似三角形的周长比是1：2，故选：D．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．6．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于E，交BD于F，DE：EA=3：4，EF=3，则CD的长为（）A．4 B．7 C．3 D．12【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】由EF∥AB，根据平行线分线段成比例定理，即可求得，则可求得AB的长，又由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对边相等，即可求得CD的长．【解答】解：∵DE：EA=3：4，∴DE：DA=3：7∵EF∥AB，∴，∵EF=3，∴，解得：AB=7，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=7．故选B．【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理与平行四边形的性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．7．如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD．若B（1，0），则点C的坐标为（）A．（1，2）B．（1，1） C．（，）D．（2，1）【考点】位似变换；坐标与图形性质．【分析】首先利用等腰直角三角形的性质得出A点坐标，再利用位似是特殊的相似，若两个图形△ABC和△A′B′C′以原点为位似中心，相似比是k，△ABC上一点的坐标是（x，y），则在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（﹣kx，ky），进而求出即可．【解答】解：∵∠OAB=∠OCD=90°，AO=AB，CO=CD，等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形，点B的坐标为（1，0），∴BO=1，则AO=AB=，∴A（，），∵等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形，O为位似中心，相似比为1：2，∴点C的坐标为：（1，1）．故选：B．【点评】此题主要考查了位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．8．如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点F，AB=9，BD=3，则CF等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【专题】几何图形问题．【分析】利用两对相似三角形，线段成比例：AB：BD=AE：EF，CD：CF=AE：EF，可得CF=2．【解答】解：如图，∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴∠B=∠BAC=60°，∠E=∠EAD=60°，∴∠B=∠E，∠BAD=∠EAF，∴△ABD∽△AEF，∴AB：BD=AE：EF．同理：△CDF∽△EAF，∴CD：CF=AE：EF，∴AB：BD=CD：CF，即9：3=（9﹣3）：CF，∴CF=2．故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质和等边三角形的性质．此题利用了“两角法”证得两个三角形相似．9．如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于（）A．4.5米B．6米C．7.2米D．8米【考点】相似三角形的应用．【专题】压轴题；转化思想．【分析】由于人和地面是垂直的，即和路灯到地面的垂线平行，构成两组相似．根据对应边成比例，列方程解答即可．【解答】解：如图，GC⊥BC，AB⊥BC，∴GC∥AB，∴△GCD∽△ABD（两个角对应相等的两个三角形相似），∴，设BC=x，则，同理，得，∴，∴x=3，∴，∴AB=6．故选：B．【点评】本题考查相似三角形性质的应用．在解答相似三角形的有关问题时，遇到有公共边的两对相似三角形，往往会用到中介比，它是解题的桥梁，如该题中的“”．10．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s 的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（）A．2 B．2.5或3.5 C．3.5或4.5 D．2或3.5或4.5【考点】相似三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．【专题】压轴题；动点型．【分析】由Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，可求得AB的长，由D为BC的中点，可求得BD的长，然后分别从若∠DEB=90°与若∠EDB=90°时，去分析求解即可求得答案．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，∴AB=2BC=4（cm），∵BC=2cm，D为BC的中点，动点E以1cm/s的速度从A点出发，∴BD=BC=1（cm），BE=AB﹣AE=4﹣t（cm），若∠BED=90°，当A→B时，∵∠ABC=60°，∴∠BDE=30°，∴BE=BD=（cm），∴t=3.5，当B→A时，t=4+0.5=4.5．若∠BDE=90°时，当A→B时，∵∠ABC=60°，∴∠BED=30°，∴BE=2BD=2（cm），∴t=4﹣2=2，当B→A时，t=4+2=6（舍去）．综上可得：t的值为2或3.5或4.5．故选D．【点评】此题考查了含30°角的直角三角形的性质．此题属于动点问题，难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用．二、填空题：（本题共8小题，每小题3分，共24分）11．如果在比例尺为1：1 000 000的地图上，A、B两地的图上距离是3.4厘米，那么A、B两地的实际距离是34 千米．【考点】比例线段．【专题】计算题．【分析】实际距离=图上距离：比例尺，根据题意代入数据可直接得出实际距离．【解答】解：根据题意，3.4÷=3400000厘米=34千米．即实际距离是34千米．故答案为：34．【点评】本题考查了比例线段的知识，注意掌握比例线段的定义及比例尺，并能够灵活运用，同时要注意单位的转换．12．如图，已知：l 1∥l 2∥l 3，AB=6，DE=5，EF=7.5，则AC= 15 ．【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出BC 的值，即可得出答案．【解答】解：∵：l 1∥l 2∥l 3，∴=，∵AB=6，DE=5，EF=7.5，∴BC=9，∴AC=AB+BC=15，故答案为：15．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能根据定理得出正确饿比例式是解此题的关键．13．如图，△ABC 与△A′B′C′是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 （9，0） ．【考点】位似变换．【专题】网格型．【分析】位似图形的主要特征是：每对位似对应点与位似中心共线．【解答】解：直线AA′与直线BB′的交点坐标为（9，0），所以位似中心的坐标为（9，0）．【点评】本题考查位似中心的找法，各对应点所在直线的交点即为位似中心．14．如图，点G是△ABC的重心，GH⊥BC，垂足为点H，若GH=3，则点A到BC的距离为9 ．【考点】平行线分线段成比例；三角形的重心．【专题】数形结合．【分析】根据题意作图，利用重心的性质AD：GD=3：1，同时还可以求出△ADE∽△GDH，从而得出AD：GD=AE：GH=3：1，根据GH=3即可得出答案．【解答】解：设BC的中线是AD，BC的高是AE，由重心性质可知：AD：GD=3：1，∵GH⊥BC，∴△ADE∽△GDH，∴AD：GD=AE：GH=3：1，∴AE=3GH=3×3=9，故答案为9．【点评】本题主要考查了作辅助线，重心的特点，全等三角形的性质，难度适中．15．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，则树高AB= 5.5 m．【考点】相似三角形的应用．【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB．【解答】解：∵∠DEF=∠BCD=90°∠D=∠D∴△DEF∽△DCB∴=∵DE=40cm=0.4m，EF=20cm=0.2m，AC=1.5m，CD=8m，∴=∴BC=4米，∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5米，故答案为：5.5．【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．16．如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP的长度为4或9 时，△ADP和△ABC相似．【考点】相似三角形的判定．【分析】分别根据当△ADP∽△ACB时，当△ADP∽△ABC时，求出AP的长即可．【解答】解：当△ADP∽△ACB时，∴=，∴=，解得：AP=9，当△ADP∽△ABC时，∴=，∴=，解得：AP=4，∴当AP的长度为4或9时，△ADP和△ABC相似．故答案为：4或9．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，利用倒推法以及分类讨论得出是解题关键．17．如图，双曲线y=经过Rt △BOC 斜边上的点A ，且满足=，与BC 交于点D ，S △BOD =21，求k= 8 ．【考点】反比例函数系数k 的几何意义；相似三角形的判定与性质．【分析】过A 作AE ⊥x 轴于点E ，根据反比例函数的比例系数k 的几何意义可得S 四边形AECB =S △BOD ，根据△OAE ∽△OBC ，相似三角形面积的比等于相似比的平方，据此即可求得△OAE 的面积，从而求得k 的值．【解答】解：过A 作AE ⊥x 轴于点E ．∵S △OAE =S △OCD ，∴S 四边形AECB =S △BOD =21，∵AE ∥BC ，∴△OAE ∽△OBC ，∴==（）2=，∴S △OAE =4，则k=8．故答案是：8．【点评】本题考查反比例函数系数k 的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．18．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB=6，BC=10，点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处，有下列结论：①∠EBG=45°；②△DEF ∽△ABG ；③S △ABG =S △FGH ；④AG +DF=FG ．其中正确的是 ①③④ ．（把所有正确结论的序号都选上）【考点】相似形综合题．【专题】综合题．【分析】由折叠性质得∠1=∠2，CE=FE ，BF=BC=10，则在Rt △ABF 中利用勾股定理可计算出AF=8，所以DF=AD ﹣AF=2，设EF=x ，则CE=x ，DE=CD ﹣CE=6﹣x ，在Rt △DEF 中利用勾股定理得（6﹣x ）2+22=x 2，解得x=，即ED=；再利用折叠性质得∠3=∠4，BH=BA=6，AG=HG ，易得∠2+∠3=45°，于是可对①进行判断；设AG=y ，则GH=y ，GF=8﹣y ，在Rt △HGF 中利用勾股定理得到y 2+42=（8﹣y ）2，解得y=3，则AG=GH=3，GF=5，由于∠A=∠D 和≠，可判断△ABG 与△DEF 不相似，则可对②进行判断；根据三角形面积公式可对③进行判断；利用AG=3，GF=5，DF=2可对④进行判断．【解答】解：∵△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处，∴∠1=∠2，CE=FE ，BF=BC=10，在Rt △ABF 中，∵AB=6，BF=10，∴AF==8，∴DF=AD ﹣AF=10﹣8=2，设EF=x ，则CE=x ，DE=CD ﹣CE=6﹣x ，在Rt △DEF 中，∵DE 2+DF 2=EF 2，∴（6﹣x ）2+22=x 2，解得x=，∴ED=，∵△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处，∴∠3=∠4，BH=BA=6，AG=HG ，∴∠2+∠3=∠ABC=45°，所以①正确；HF=BF ﹣BH=10﹣6=4，设AG=y ，则GH=y ，GF=8﹣y ，在Rt △HGF 中，∵GH 2+HF 2=GF 2，∴y 2+42=（8﹣y ）2，解得y=3，∴AG=GH=3，GF=5，∵∠A=∠D ， ==， =，∴≠，∴△ABG 与△DEF 不相似，所以②错误；∵S △ABG =•6•3=9，S △FGH =•GH•HF=×3×4=6，∴S △ABG =S △FGH ，所以③正确；∵AG+DF=3+2=5，而GF=5，∴AG+DF=GF ，所以④正确．故答案为①③④．【点评】本题考查了相似形综合题：熟练掌握折叠和矩形的性质、相似三角形的判定方法；会运用勾股定理计算线段的长．三、解答题：（本大题共10大题，共76分）19．如图，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=6，M 是BC 的中点，DE ⊥AM 于点E ．（1）求证：△ADE ∽△MAB ；（2）求DE 的长．【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质．【分析】（1）先根据矩形的性质，得到AD ∥BC ，则∠DAE=∠AMB ，又由∠DEA=∠B ，根据有两角对应相等的两三角形相似，即可证明出△DAE ∽△AMB ；（2）由△DAE ∽△AMB ，根据相似三角形的对应边成比例，即可求出DE 的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠DAE=∠AMB ，又∵∠DEA=∠B=90°，∴△DAE ∽△AMB ；（2）由（1）知△DAE ∽△AMB ，∴DE ：AD=AB ：AM ，∵M 是边BC 的中点，BC=6，∴BM=3，又∵AB=4，∠B=90°，∴AM=5，∴DE ：6=4：5，∴DE=．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质．（1）中根据矩形的对边平行进而得出∠DAE=∠AMB 是解题的关键．20．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，若S △ADE =4cm 2，S △EFC =9cm 2，求S △ABC ．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】首先求出△ADE ∽△ECF ，得出S △ADE ：S △ECF =（AE ：EC ）2，进而得出AE ：EC=2：3，在得出S △ABC ：S △ADE =（5：2）2，求出答案即可．【解答】解：∵DE ∥BC ，EF ∥AB ，∴∠A=∠FEC ，∠AED=∠C ，∴△ADE ∽△ECF ；∴S △ADE ：S △ECF =（AE ：EC ）2，∵S △ADE =4cm 2，S △EFC =9cm 2，∴（AE ：EC ）2=4：9，∴AE ：EC=2：3，即EC ：AE=3：2，∴（EC+AE ）：AE=5：2，即AC ：AE=5：2．∵DE ∥BC ，∴∠C=∠AED ，又∵∠A=∠A ，∴△ABC ∽△ADE ，∴S △ABC ：S △ADE =（AC ：AE ）2，∴S △ABC ：4=（5：2）2，∴S △ABC =25cm 2．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出S △ABC ：S △ADE =（AC ：AE ）2进而求出是解题关键．21．如图，△ABC 中，CD 是边AB 上的高，且=．（1）求证：△ACD ∽△CBD ；（2）求∠ACB 的大小．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明△ACD ∽△CBD ；（2）由（1）知△ACD ∽△CBD ，然后根据相似三角形的对应角相等可得：∠A=∠BCD ，然后由∠A+∠ACD=90°，可得：∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．【解答】（1）证明：∵CD 是边AB 上的高，∴∠ADC=∠CDB=90°，∵=．∴△ACD ∽△CBD ；（2）解：∵△ACD ∽△CBD ，∴∠A=∠BCD ，在△ACD 中，∠ADC=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：熟记相似三角形的判定定理与性质定理．22．已知：如图△ABC 三个顶点的坐标分别为A （0，﹣3）、B （3，﹣2）、C （2，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．（1）画出△ABC 向上平移6个单位得到的△A 1B 1C 1；（2）以点C 为位似中心，在网格中画出△A 2B 2C 2，使△A 2B 2C 2与△ABC 位似，且△A 2B 2C 2与△ABC 的位似比为2：1，并直接写出点A 2的坐标．【考点】作图-位似变换；作图-平移变换．【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出．【解答】解：（1）如图所示：△A 1B 1C 1，即为所求；（2）如图所示：△A 2B 2C 2，即为所求，A 2坐标（﹣2，﹣2）．【点评】此题主要考查了位似变换和平移变换，根据题意正确得出对应点位置是解题关键．23．如图，一位同学想利用树影测量树高（AB），他在某一时刻测得高为1m的竹竿影长为0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上（CD），他先测得留在墙上的影高（CD）为1.2m，又测得地面部分的影长（BC）为2.7m，他测得的树高应为多少米？【考点】相似三角形的应用．【分析】先求出墙上的影高CD落在地面上时的长度，再设树高为h，根据同一时刻物高与影长成正比列出关系式求出h的值即可．【解答】解：过D作DE∥BC交AB于点E，设墙上的影高CD落在地面上时的长度为xm，树高为hm，∵某一时刻测得长为1m的竹竿影长为0.9m，墙上的影高CD为1.2m，∴=，解得x=1.08（m），∴树的影长为：1.08+2.7=3.78（m），∴=，解得h=4.2（m）．答：测得的树高为4.2米．【点评】本题考查的是相似三角形的应用，解答此题的关键是正确求出树的影长，这是此题的易错点．24．如图，把△ABC沿边BA平移到△DEF的位置，它们重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC面积的，若AB=2，求△ABC移动的距离BE的长．【考点】平移的性质．【分析】根据平移的性质得到EF∥AC，证得△BEG∽△BAC，由相似三角形的性质得到==，即可得到结论．【解答】解：∵把△ABC沿边BA平移到△DEF的位置，∴EF∥AC，∴△BEG∽△BAC，∴==，∵AB=2，∴BE=．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质、平移的性质，关键在于求证△ABC与阴影部分为相似三角形．25．如图，点A（1，4）、B（2，a）在函数y=（x＞0）的图象上，直线AB与x轴相交于点C，AD⊥x轴于点D．（1）m= 4 ；（2）求点C的坐标；（3）在x轴上是否存在点E，使以A、B、E为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由．【考点】反比例函数综合题．【分析】（1）有点A的坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征，即可得出m的值；（2）由反比例函数的解析式结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出点B的坐标，利用待定系数法即可求出直线AB的解析式，再领y=0求出x值即可得出点C的坐标；（3）假设存在，设点E的坐标为（n，0），分∠ABE=90°、∠BAE=90°以及∠AEB=90°三种情况考虑：①当∠ABE=90°时，根据等腰三角形的性质，利用勾股定理即可找出关于n的一元二次方程，解方程即可得出结论；②当∠BAE=90°时，根据∠ABE＞∠ACD可得出两三角形不可能相似；③当∠AEB=90°时，根据A、B的坐标可得出AB的长度，以AB为直径作圆可知圆与x轴无交点，故该情况不存在．综上即可得出结论．【解答】解：（1）∵点A（1，4）在反比例函数y=（x＞0）的图象上，∴m=1×4=4，故答案为：4．（2）∵点B（2，a）在反比例函数y=的图象上，∴a==2，∴B（2，2）．设过点A、B的直线的解析式为y=kx+b，∴，解得：，∴过点A、B的直线的解析式为y=﹣2x+6．当y=0时，有﹣2x+6=0，解得：x=3，∴点C的坐标为（3，0）．（3）假设存在，设点E的坐标为（n，0）．①当∠ABE=90°时（如图1所示），∵A（1，4），B（2，2），C（3，0），∴B是AC的中点，∴EB垂直平分AC，EA=EC=n+3．由勾股定理得：AD2+DE2=AE2，即42+（x+1）2=（x+3）2，解得：x=﹣2，此时点E的坐标为（﹣2，0）；②当∠BAE=90°时，∠ABE＞∠ACD，故△EBA与△ACD不可能相似；③当∠AEB=90°时，∵A（1，4），B（2，2），∴AB=，2＞，∴以AB为直径作圆与x轴无交点（如图3），∴不存在∠AEB=90°．综上可知：在x轴上存在点E，使以A、B、E为顶点的三角形与△ACD相似，点E的坐标为（﹣2，0）．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征求出m 值；（2）根据待定系数法求出直线AB的解析式；（3）分∠ABE=90°、∠BAE=90°以及∠AEB=90°三种情况考虑．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．26．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1．（1）求BD的长；（2）若△DCN的面积为2，求四边形ABNM的面积．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【专题】几何综合题．【分析】（1）由四边形ABCD为平行四边形，得到对边平行且相等，且对角线互相平分，根据两直线平行内错角相等得到两对角相等，进而确定出三角形MND与三角形CNB相似，由相似得比例，得到DN：BN=1：2，设OB=OD=x，表示出BN与DN，求出x的值，即可确定出BD的长；（2）由相似三角形相似比为1：2，得到CN=2MN，BN=2DN．已知△DCN的面积，则由线段之比，得到△MND与△CNB的面积，从而得到S△ABD =S△BCD=S△BCN+S△CND，最后由S四边形ABNM=S△ABD﹣S△MND求解．【解答】解：（1）∵平行四边形ABCD，∴AD∥BC，AD=BC，OB=OD，∴∠DMN=∠BCN，∠MDN=∠NBC，∴△MND∽△CNB，∴=，∵M为AD中点，∴MD=AD=BC，即=，∴=，即BN=2DN ，设OB=OD=x ，则有BD=2x ，BN=OB+ON=x+1，DN=x ﹣1，∴x+1=2（x ﹣1），解得：x=3，∴BD=2x=6；（2）∵△MND ∽△CNB ，且相似比为1：2，∴MN ：CN=DN ：BN=1：2，∴S △MND =S △CND =1，S △BNC =2S △CND =4．∴S △ABD =S △BCD =S △BCN +S △CND =4+2=6∴S 四边形ABNM =S △ABD ﹣S △MND =6﹣1=5．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．27．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D 为边CB 上的一个动点（点D 不与点B 重合），过D 作DO ⊥AB ，垂足为O ，点B′在边AB 上，且与点B 关于直线DO 对称，连接DB′，AD ．（1）求证：△DOB ∽△ACB ；（2）若AD 平分∠CAB ，求线段BD 的长；（3）当△AB′D 为等腰三角形时，求线段BD 的长．【考点】相似形综合题．【分析】（1）由∠DOB=∠ACB=90°，∠B=∠B ，容易证明△DOB ∽△ACB ；（2）先由勾股定理求出AB ，由角平分线的性质得出DC=DO ，再由HL 证明Rt △ACD ≌Rt △AOD ，得出AC=AO ，设BD=x ，则DC=DO=8﹣x ，由勾股定理得出方程，解方程即可；（3）根据题意得出当△AB′D 为等腰三角形时，AB′=DB′，由△DOB ∽△ACB ，得出=，设BD=5x ，则AB′=DB′=5x，BO=B′O=4x，由AB′+B′O +BO=AB ，得出方程，解方程求出x ，即可得出BD ．【解答】（1）证明：∵DO⊥AB，∴∠DOB=∠DOA=90°，∴∠DOB=∠ACB=90°，又∵∠B=∠B，∴△DOB∽△ACB；（2）解：∵∠ACB=90°，∴AB===10，∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DO⊥AB，∴DC=DO，在Rt△ACD和Rt△AOD中，，∴Rt△ACD≌Rt△AOD（HL），∴AC=AO=6，设BD=x，则DC=DO=8﹣x，OB=AB﹣AO=4，在Rt△BOD中，根据勾股定理得：DO2+OB2=BD2，即（8﹣x）2+42=x2，解得：x=5，∴BD的长为5；（3）解：∵点B′与点B关于直线DO对称，∴∠B=∠OB′D，BO=B′O，BD=B′D，∵∠B为锐角，∴∠OB′D也为锐角，∴∠AB′D为钝角，∴当△AB′D为等腰三角形时，AB′=DB′，∵△DOB∽△ACB，∴==，设BD=5x，则AB′=DB′=5x，BO=B′O=4x，∵AB′+B′O+BO=AB，∴5x+4x+4x=10，解得：x=，∴BD=．【点评】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要根据题意列出方程，解方程才能得出结果．28．（2016•青岛）已知：如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=8cm ，对角线AC ，BD 交于点0．点P 从点A 出发，沿方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，点Q 从点D 出发，沿DC 方向匀速运动，速度为1cm/s ；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO 并延长，交BC 于点E ，过点Q 作QF ∥AC ，交BD 于点F ．设运动时间为t （s ）（0＜t ＜6），解答下列问题：（1）当t 为何值时，△AOP 是等腰三角形？（2）设五边形OECQF 的面积为S （cm 2），试确定S 与t 的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使S 五边形S 五边形OECQF ：S △ACD =9：16？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使OD 平分∠COP ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【考点】四边形综合题．【分析】（1）根据矩形的性质和勾股定理得到AC=10，①当AP=PO=t ，如图1，过P 作PM ⊥AO ，根据相似三角形的性质得到AP=t=，②当AP=AO=t=5，于是得到结论；（2）过点O 作OH ⊥BC 交BC 于点H ，已知BE=PD ，则可求△BOE 的面积；可证得△DFQ ∽△DOC ，由相似三角形的面积比可求得△DFQ 的面积，从而可求五边形OECQF 的面积．（3）根据题意列方程得到t=，t=0，（不合题意，舍去），于是得到结论；（4）由角平分线的性质得到DM=DN=，根据勾股定理得到ON=OM==，由三角形的面积公式得到OP=5﹣t ，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=8cm ，∴AC=10，①当AP=PO=t ，如图1，。
苏科版九年级数学下册6-5 相似三角形的性质 章节培优训练【含答案】
苏科版九年级数学下册6-5 相似三角形的性质章节培优训练一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF面积之比为1：4．若BC＝1，则EF的长是（）A．B．2 C．4 D．162．若两个相似三角形的相似比是1：2，则它们的面积比等于（）A．1：B．1：2 C．1：3 D．1：43．已知△ABC和△A1B1C1相似，相似比为1：2，则△ABC与△A1B1C1的周长的比为（）A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：14．若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF＝3：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．3：4 B．4：3 C．：2 D．2：5．在Rt△ABC中，如果将△ABC各边长度都扩大3倍，则锐角A的余弦值（）A．不变化B．扩大为原来的3倍C．缩小为原来的D．扩大为原来的9倍6．如图，E是矩形ABCD中AD边的中点，BE交AC于点F，△AEF的面积为2，则四边形CDEF的面积为（）A．6 B．8 C．10 D．127．在如图的正方形网格图中，A、B、C、D都是格点，AB、CD相交于点E，则CE：ED 的比值为（）A．B．C．D．8．如图，在▱ABCD中，点E在DC边上，连接AE，交BD于点F，若DE：EC＝3：2，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：5 B．9：4 C．9：25 D．3：29．如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC．若AD＝1，BD＝2，则△ADE 与△ABC的面积之比为（）A．B．C．D．10．如图，已知点D、E是AB的三等分点，DF、EG将△ABC分成三部分，且DF∥EG ∥BC，图中三部分的面积分别为S1，S2，S3，则S1：S2：S3＝（）A．1：2：3 B．1：2：4 C．1：3：5 D．2：3：4二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．顺次连接三角形三边的中点，所得的三角形与原三角形的相似比是．12．若△ABC～△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为．13．两个相似三角形的面积比为9：16，其中较大的三角形的周长为64cm，则较小的三角形的周长为cm．14．两个相似三角形周长之比为2：3，面积之差为10cm2，则它们的面积之和为cm2．15．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB．若AD＝1，BD＝2，则AC的长．16．如图，在矩形ABCD中，E是边AB中点，连接DE交AC于点F，若AB＝12，AD＝9，则CF的长为．17．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是AB边上一点（不与A、B 重合），若过点D的直线截得的三角形与△ABC相似，并且平分△ABC的周长，则AD 的长为．18．如图，O为Rt△ABC斜边中点，AB＝10，BC＝6，M，N在AC边上，∠MON＝∠B，若△OMN与△OBC相似，则CM＝．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．如图，已知△ABC∽△ADE，AB＝30cm，BD＝18cm，BC＝20cm，∠BAC＝75°，∠ABC＝40°．求：（1）∠ADE和∠AED的度数；（2）DE的长．20．如图，已知△ABC中，AT为∠BAC的平分线，（1）若AB＝3，AC＝4，BC＝5，求△ABT与△ACT的面积之比．（2）求证：．21．如图，O是▱ABCD对角线BD上的一点，且∠AOC＝2∠ABC，OC＝OD，连接OA．（1）求证：▱ABCD是菱形；（2）求证：CD2＝OD•BD．22．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝6厘米，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D向点A以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动时间（0≤t≤6）．那么：（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？（2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？23．如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）（如图2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．24．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm，现有动点P从点A出发，沿AC 向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求：（1）当t＝3时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？（2）若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式．（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF面积之比为1：4．若BC＝1，则EF的长是（）A．B．2 C．4 D．16【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方计算，得到答案．∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF面积之比为1：4，∴△ABC与△DEF相似比为1：2，即，∵BC＝1，∴EF＝2，故选：B．2．若两个相似三角形的相似比是1：2，则它们的面积比等于（）A．1：B．1：2 C．1：3 D．1：4【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．∵两个相似三角形的相似比是1：2，∴这两个三角形们的面积比为1：4，故选：D．3．已知△ABC和△A1B1C1相似，相似比为1：2，则△ABC与△A1B1C1的周长的比为（）A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：1【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比解决问题即可．∵△ABC∽△A1B1C1，且相似比为1：2，∴△ABC与△A1B1C1的周长比为1：2，故选：A．4．若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF＝3：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．3：4 B．4：3 C．：2 D．2：【分析】由△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝3：4，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．∵△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝3：4，∴△ABC与△DEF的相似比为：：2，∴△ABC与△DEF的周长比为：：2．故选：C．5．在Rt△ABC中，如果将△ABC各边长度都扩大3倍，则锐角A的余弦值（）A．不变化B．扩大为原来的3倍C．缩小为原来的D．扩大为原来的9倍【分析】根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，可得答案．Rt△ABC中，cos A，Rt△ABC中，各边的长度都扩大3倍，那么锐角A的余弦，cos A．故选：A．6．如图，E是矩形ABCD中AD边的中点，BE交AC于点F，△AEF的面积为2，则四边形CDEF的面积为（）A．6 B．8 C．10 D．12【分析】用矩形的性质得到AD∥BC，BC＝AD，再证明△AEF∽△CBF得到，由相似三角形的性质得到S△CBF＝4S△AEF＝8，利用三角形的面积公式得到S△ABF S△CBF＝4，S△ABC＝S△ADC＝S△CBF+S△ABF＝12，然后利用△ADC的面积减去△AEF的面积得到四边CDEF的面积．∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，BC＝AD，AB＝CD，∠ABC＝∠D＝90°，∴S△ABC＝S△ADC，∵E是矩形ABCD中AD边的中点，∴BC＝AD＝2AE，∵AE∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴，∴（）2，∴S△CBF＝4S△AEF＝8，∴S△ABF S△CBF＝4，∴S△ABC＝S△ADC＝S△CBF+S△ABF＝12，∴四边CDEF的面积为：S△ADC﹣S△AEF＝12﹣2＝10，故选：C．7．在如图的正方形网格图中，A、B、C、D都是格点，AB、CD相交于点E，则CE：ED 的比值为（）A．B．C．D．【分析】设小正方形的边长为1，由平行线分线段成比例可求CN，DG的长，通过证明△CEN∽△DEG，可得，可求解．如图，过点A作AF⊥BD，交BD的延长线于F，过点C作CH⊥BD于H，设AB与CH 的交点为N，与DM交于点G，小正方形的边长为1，∵AF∥CH，∴△BNH∽△BAF，∴，∴NH AF，∴CN＝CH﹣NH，∵DM∥AF，∴，∴DG，∵CH∥DM，∴△CEN∽△DEG，∴，故选：C．8．如图，在▱ABCD中，点E在DC边上，连接AE，交BD于点F，若DE：EC＝3：2，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：5 B．9：4 C．9：25 D．3：2【分析】利用平行四边形的性质得到DC∥AB，DC＝AB，则可判断△DEF∽△BAF，然后根据相似三角形的性质求解．∵DE：EC＝3：2，∴DE：DC＝3：5，∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，DC＝AB，∴DE：AB＝3：5，∵DE∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴（）2＝（）2．故选：C．9．如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC．若AD＝1，BD＝2，则△ADE 与△ABC的面积之比为（）A．B．C．D．【分析】先证明△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的性质求解．∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴（）2＝（）2．故选：D．10．如图，已知点D、E是AB的三等分点，DF、EG将△ABC分成三部分，且DF∥EG ∥BC，图中三部分的面积分别为S1，S2，S3，则S1：S2：S3＝（）A．1：2：3 B．1：2：4 C．1：3：5 D．2：3：4【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求解．∵点D、E是AB的三等分点，∴，，∵DF∥EG∥BC，∴△ADF∽△AEG，△ADF∽△ABC，∴，，∴S1：S2：S3＝1：3：5，故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．顺次连接三角形三边的中点，所得的三角形与原三角形的相似比是1：2．【分析】利用三角形的中位线定理得到三角形的相似比即可．因为，顺次连接三角形三边的中点，所得的三角形的三边的长等于原三角形对应边的一半，所以，顺次连接三角形三边的中点，所得的三角形与原三角形对应边的比是1：2，所以，所得的三角形与原三角形的相似比为1：2，故1：2．12．若△ABC～△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为3：2．【分析】直接利用相似三角形对应高的比等于相似比进而得出答案．∵△ABC∽△DEF，相似比为3：2，∴对应高的比为：3：2．故3：213．两个相似三角形的面积比为9：16，其中较大的三角形的周长为64cm，则较小的三角形的周长为48cm．【分析】根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算即可．两个相似多边形的面积比是9：16，面积比是周长比的平方，则大多边形与小多边形的相似比是4：3．相似多边形周长的比等于相似比，因而设小多边形的周长为xcm，则有64：x＝4：3，解得x＝48，故48．14．两个相似三角形周长之比为2：3，面积之差为10cm2，则它们的面积之和为26cm2．【分析】由两个相似三角形的周长比为2：3，根据相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得它们的面积比，又由它们的面积之差为10cm2，即可求得答案．∵两个相似三角形的周长比为2：3，∴这两个相似三角形的相似比为2：3，∴它们的面积比为：4：9，设此两个三角形的面积分别为4xcm2，9xcm2，∵它们的面积之差为10cm2，∴9x﹣4x＝10，解得：x＝2，∴它们的面积之和是：9x+4x＝13x＝26（cm2）．故26．15．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB．若AD＝1，BD＝2，则AC的长．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到CD＝BD＝2，证明△ACD∽△ABC，根据相似三角形的性质计算，得到答案．∵BC的垂直平分线MN交AB于点D，∴CD＝BD＝2，∴∠B＝∠DCB，AB＝AD+BD＝3，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠DCB＝∠B，∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AD×AB＝1×3＝3，∴AC，故．16．如图，在矩形ABCD中，E是边AB中点，连接DE交AC于点F，若AB＝12，AD＝9，则CF的长为10．【分析】由勾股定理可求AC的长，通过证明△AEF∽△CDF，可得，可得CF＝2AF，即可求解．∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝9，AB＝CD＝12，∠B＝90°，∴AC15，∵E是边AB中点，∴AE＝6，∵AB∥CD，∴△AEF∽△CDF，∴，∴CF＝2AF，∵AF+CF＝AC＝15，∴AF＝5，∴CF＝10，故10．17．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是AB边上一点（不与A、B 重合），若过点D的直线截得的三角形与△ABC相似，并且平分△ABC的周长，则AD的长为或或．【分析】利用勾股定理计算出AB＝5，则△ABC的周长为12，设AD＝x，讨论：（1）作DE⊥AC于E，如图1，则AE＝6﹣x，利用△ADE∽△ABC得到x：5＝（6﹣x）：4；（2）作DF⊥BC于E，如图2，则BD＝5﹣x，BF＝1+x，利用△BDF∽△BAC得到（5﹣x）：5＝（1+x）：3；（3）作DG⊥AC于G，如图3，则AG＝6﹣x，利用Rt△ADG∽Rt△ACB 得到x：4＝（6﹣x）：5，然后分别解关于x的方程即可．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB5，∴△ABC的周长为3+4+5＝12，设AD＝x，（1）作DE⊥AC于E，如图1，则AE＝6﹣x，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴AD：AB＝AE：AC，即x：5＝（6﹣x）：4，解得x；（2）作DF⊥BC于E，如图2，则BD＝5﹣x，BF＝6﹣（5﹣x）＝1+x，∵DF∥AC，∴△BDF∽△BAC，∴BD：BA＝BF：BC，即（5﹣x）：5＝（1+x）：3，解得x；（3）作DG⊥AB，交BC于G，如图3，则AG＝6﹣x，∵∠DAG＝∠CAB，∠ADG＝∠C＝90°，∴Rt△ADG∽Rt△ACB，∴AD：AC＝AG：AB，即x：4＝（6﹣x）：5，解得x，综上所述，AD的长为或或．故答案为或或．18．如图，O为Rt△ABC斜边中点，AB＝10，BC＝6，M，N在AC边上，∠MON＝∠B，若△OMN与△OBC相似，则CM＝或．【分析】分两种情形分别求解：①如图1中，当∠MON＝∠OMN时．②如图2中，当∠MON＝∠ONM时．∵∠ACB＝90°，AO＝OB，∴OC＝OA＝OB，∴∠B＝∠OCB，∵∠MON＝∠B，若△OMN与△OBC相似，∴有两种情形：①如图1中，当∠MON＝∠OMN时，∵∠OMN＝∠B，∠OMC+∠OMN＝180°，∴∠OMC+∠B＝180°，∴∠MOB+∠BCM＝180°，∴∠MOB＝90°，∵∠AOM＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△AOM∽△ACB，∴，∴，∴AM，∴CM＝AC﹣AM＝8．②如图2中，当∠MON＝∠ONM时，∵∠BOC＝∠OMN，∴∠A+∠ACO＝∠ACO+∠MOC，∴∠MOC＝∠A，∵∠MCO＝∠ACO，∴△OCM∽△ACO，∴OC2＝CM•CA，∴25＝CM•8，∴CM，故答案为或．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．如图，已知△ABC∽△ADE，AB＝30cm，BD＝18cm，BC＝20cm，∠BAC＝75°，∠ABC＝40°．求：（1）∠ADE和∠AED的度数；（2）DE的长．【分析】（1）根据三角形的内角和得到∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝65°，根据相似三角形的对应角相等即可得到结论；（2）根据相似三角形的对应边的比相等即可得到结论．（1）∵∠BAC＝75°，∠ABC＝40°，∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝65°，∵△ABC∽△ADE，∴∠ADE＝∠ABC＝40°，∠AED＝∠ACB＝65°；（2）∵△ABC∽△ADE，∴，∵AB＝30cm，BD＝18cm，BC＝20cm，∴，∴DE＝8（cm）．20．如图，已知△ABC中，AT为∠BAC的平分线，（1）若AB＝3，AC＝4，BC＝5，求△ABT与△ACT的面积之比．（2）求证：．【分析】（1）过T作TD⊥AB，TE⊥AC，垂足分别为D，E，根据角平分线的性质可得TD＝TE，再利用三角形的面积公式可证明结论；（2）设△ABC中BC边上的高为h，根据三角形的面积公式可求解S△ABT：S△ACT＝BT：TC，再结合（1）的结论可证明结论．（1）过T作TD⊥AB，TE⊥AC，垂足分别为D，E，∵AT为∠BAC的平分线，∴TD＝TE，∵S△ABT AB•TD，S△ACT AC•TE，AB＝3，AC＝4，∴S△ABT：S△ACT＝AB：AC＝3：4；（2）设△ABC中BC边上的高为h，则S△ABT BT•h，S△ACT TC•h，∴S△ABT：S△ACT＝BT：TC，由（1）知S△ABT：S△ACT＝AB：AC，∴．21．如图，O是▱ABCD对角线BD上的一点，且∠AOC＝2∠ABC，OC＝OD，连接OA．（1）求证：▱ABCD是菱形；（2）求证：CD2＝OD•BD．【分析】（1）连接AC，交BD与H，由角的数量关系可证OA＝OD＝OC，由等腰三角形的性质可得OB⊥AC，由菱形的判定可得结论；（2）通过证明△CDO∽△BDC，可得，可得结论．证明：（1）连接AC，交BD与H，∵OC＝OD，∴∠DCO＝∠CDO，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC＝∠ADO+∠CDO，AH＝CH，∵∠AOB＝∠ADO+∠DAO，∠COB＝∠DCO+∠CDO＝2∠CDO，∠AOC＝2∠ABC，∴∠AOB+∠COB＝2∠ADO+2∠CDO，∴∠AOB＝2∠ADO，∴∠DAO＝∠ADO，∴OA＝OD，∴OA＝OC，又∵AH＝CH，∴OB⊥AC，∴平行四边形ABCD是菱形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD，∴∠BDC＝∠CBD．由（1）得∠ODC＝∠OCD，∴∠OCD＝∠DBC．在△CDO和△BDC中，∵∠ODC＝∠CDB，∠OCD＝∠CBD∴△CDO∽△BDC．∴，即CD2＝OD•BD．22．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝6厘米，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D向点A以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动时间（0≤t≤6）．那么：（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？（2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？【分析】（1）根据题意得出DQ＝t，AP＝2t，QA＝6﹣t，由于△QAP为等腰直角三角形，则6﹣t＝2t，求出t的值即可；（2）由于以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC的对应边不能确定，故应分两种情况进行讨论．（1）∵AB＝12厘米，BC＝6厘米，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D向点A以1厘米/秒的速度移动，∴DQ＝t，AP＝2t，QA＝6﹣t，当△QAP为等腰直角三角形即6﹣t＝2t，解得t＝2；（2）两种情况：当时，即，解得t＝1.2（秒）；当时，即，解得t＝3（秒）．故当经过1.2秒或3秒时，△QAP与△ABC相似．23．如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）（如图2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．【分析】（1）根据勾股定理求出AB，分△BPQ∽△BAC、△BPQ∽△BCA两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；（2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB＝5t，PM＝3t，BQ＝8﹣4t，根据△ACQ∽△CMP，得出AC：CM＝CQ：MP，代入计算即可．（1）①当△BPQ∽△BAC时，∵，BP＝3t，QC＝2t，AB＝10cm，BC＝8cm，∴，∴，②当△BPQ∽△BCA时，∵，∴，∴；∴或时，△BPQ与△ABC相似；（2）如图所示，过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB＝3t，，，，∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°，∴∠NAC＝∠PCM且∠ACQ＝∠PMC＝90°，∴△ACQ∽△CMP，∴，∴解得：；24．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm，现有动点P从点A出发，沿AC 向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求：（1）当t＝3时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？（2）若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式．（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？【分析】（1）在Rt△CPQ中，当t＝3，可知CP、CQ的长，运用勾股定理可将PQ的长求出；（2）由点P，点Q的运动速度和运动时间，又知AC，BC的长，可将CP、CQ用含t 的表达式求出，代入直角三角形面积公式S△CPQ CP×CQ求解；（3）应分两种情况：当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，根据，可将时间t求出；当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，根据，可求出时间t．由题意得AP＝4t，CQ＝2t，则CP＝20﹣4t，（1）当t＝3时，CP＝20﹣4t＝8cm，CQ＝2t＝6cm，由勾股定理得PQ；（2）由题意得AP＝4t，CQ＝2t，则CP＝20﹣4t，因此Rt△CPQ的面积为S cm2；（3）分两种情况：①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，，即，解得t＝3；②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，，即，解得t．因此t＝3或t时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．。
苏教版初中数学九年级下册第6章《相似三角形》测试卷
苏教版初中数学九年级下册第6章《相似三角形》测试卷班级 姓名 得分一、选择题（每题4分，共40分）1、下列多边形一定相似的为（ ）A 、两个矩形B 、两个菱形C 、两个正方形D 、两个平行四边形 2、下列说法不正确的是（ ）A 、 两对应角相等的三角形是相似三角形；B 、两对应边成比例的三角形是相似三角形；C 、三边对应成比例的三角形是相似三角形；D 、以上有两个说法是正确。
3、如图，DE ∥BC ，EF ∥AB ，则图中相似三角形有（ ） A 、2对 B 、3对 C 、4对 D 、5对4、已知3x=4y ，则yx= （ ） A 、34 B 、43 C 、43- D 、以上都不对 5、下列各组中得四条线段成比列得是（ ） A 、4cm 、2cm 、1cm 、3cm B 、1cm 、2cm 、3cm 、4cm C 、25cm 、35cm 、45cm 、55cm D 、1cm 、2cm 、20cm 、40cm 6、若x 是3和6的比例中项，则x 的值为 （ ） A 、23 B 、23- C 、32± D 、23±7、若P 是线段AB 的黄金分割点（PA ＞PB ），设AB=1，则PA 的长约为 （ ）A 、0.191B 、0.382C 、0.5D 、0.618 8、如果cd ab =，则下列正确得是（ ）A 、d b c a ::=B 、b c d a ::=C 、d c b a ::=D 、a b c d ::= 9、如图，若P 为△ABC 的边AB 上一点（AB>AC ），则下列条件不一定能保证△ACP ∽△ABC 的有（ ） A 、∠ACP=∠B B 、∠APC=∠ACB C 、AC APAB AC = D 、ABAC BC PC =10、已知D 、E 为△ABC 的边AB 、AC 上的两点，且AB=8，AC=6，AD=4，AE=3，A BC D EF A BCP则ADE S ∆∶ABC S ∆=（ ）A 、1∶2B 、1∶4C 、1∶3D 、2∶5二、填空题（每题4分，共32分）11、在比例尺为1：8000000的“中国政区”地图上，量得甲市与乙市之间的距离是6.5cm ，则这两市之间的实际距离为 km12、小明的身高是1.6m ，他的影长为2m ，同一时刻教学楼的影长为24m ，则教学楼高是13、已知AD 为Rt △ABC 斜边BC 上的高，且AB=15cm ，BD=9cm ，则AD= ，CD= 14、如图四，在平行四边形ABCD 中，AB = 4cm ,AD = 7cm , ∠ABC 的平分线交AD 于点E ，交CD 的延长线于点F ，则DF = _________cm 15、若△ABC ∽△A ′B ′C ′，且43=''B A AB ，△ABC 的周长为 12cm ，则△A ′B ′C ′的周长为 16、已知：x ∶y ∶z=2∶3∶4，则zy x zy x 32+--+的值为17、٭如图5,ΔABC 中,DE ∥FG ∥BC,AD ∶DF ∶FB=1∶2∶3, 则DFGE FBCG S S 四边形四边形：=18. 如图，平行四边形ABCD 中，M 是BC 的中点，且AM=9，BD=12，AD=10，则该平行四边形的面积是_____________三、解答题19、已知AB ∥CD ，AD 、BC 交于点O 。