方法 累加法与累乘法

方法1：累加法与累乘法
A组
1.☆[累加法] 设数列{a n}中，a₁＝2，a n+1＝a n＋n＋2，则通项a n＝．
2.◇设数列{a n}中，a₁＝3，a n＝a n-1＋2n，则通项a n＝．
3.◇(2010辽宁卷T16) 已知数列{a n}满足a₁＝33，a n+1－a n＝2n，则a n
n的最小值为．
4.◇(2011四川卷T8) 数列{a n}的首项为3，{b n}为等差数列且b n＝a n+1－a n (n∈N*)．若b₃＝－2，b10＝12，则
a8＝．
5. ◇(2015江苏卷T11)[累加法＆裂项相消法] 设数列{a n }满足a ₁＝1，且a n +1－a n ＝n ＋1 (n ∈N *)，则数列{1
a n
}
前10项的和为 ．
6. ◇数列{a n }满足a ₁＝1，且对任意的m , n ∈N *，都有a m +n ＝a m ＋a n ＋mn ，则1 a ₁＋1 a ₂＋1 a ₃＋…＋1
a 2012＝ ．
7. ◇已知数列{a n }中，a ₁＝p ，a ₂＝q ，且a n +2－2a n +1＋a n ＝d ，求数列{a n }的通项公式．
8. ☆[累乘法] 已知数列{a n }中，a ₁＝2，满足a n +1＝n ＋2
n a n ，求数列{a n }的通项公式．
9.◇已知数列{a n}中，a₁＝5，满足a n＝(1＋1
n)a n-1，求数列{a n}的通项公式．
10.◇已知数列{a n}中，a₁＝1
3 ，满足a n+1＝(1
3 ＋2
3n)a n，求数列{a n}的通项公式．
11.◇在数列{a n}与{b n}中，a₁＝1，b₁＝4，数列{a n}的前n项和S n满足nS n+1－(n＋3)S n＝0，2a n+1为b n与b n+1的
等比中项，n∈N*．
⑴求a₂, b₂的值；
⑵求数列{a n}与{b n}的通项公式．
B组
12.◇[累加法＆错位相减法] 在数列{a n}中，a₁＝1，a n+1＝(1＋1
n)a n＋
n＋1
2n．求数列{a n}的通项公式及前n项和
S n．
C组
13.◇对于数列{a n}，定义{Δa n}为数列{a n}的一阶差分数列，其中Δa n＝a n+1－a n(n∈N*)．对于正整数k，规定
{Δk a n}为数列{a n}的k阶差分数列，其中Δk a n＝Δ(Δk-1a n)＝Δk-1a n+1－Δk-1a n．若数列{Δ²a n}的各项均为2，且满足a11＝a2015＝0，则a₁的值为．
解析：因为数列{Δ²a n }的各项均为2，即Δa n +1－Δa n ＝2，所以Δa n ＝Δa ₁＋2n －2， /*{Δa n }为等差数列．*/ 即a n +1－a n ＝Δa ₁＋2n －2，所以a n －a ₁＝(a n －a n -1)＋(a n -1－a n -2)＋…＋(a ₂－a ₁) ＝(n －1)Δa ₁＋(2＋4＋6＋…＋2n －4)＝(n －1)Δa ₁＋(n －1)(n －2)，
所以⎩⎨⎧a 11－a ₁＝10Δa ₁＋10×9a 2015－a ₁＝2014Δa ₁＋2014×2013，即⎩⎨⎧0－a ₁＝10Δa ₁＋10×90－a ₁＝2014Δa ₁＋2014×2013
，解得a ₁＝20140．。