第二讲 解三角形应用举例
解三角形应用举例
解三角形应用举例一、测量距离问题例1(1)如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B 的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，若测得CD＝32km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，则A，B两点间的距离为km.答案6 4解析∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，∴AC＝DC＝32km.在△BCD中，∠DBC＝180°－∠CDB－∠ACD－∠ACB＝45°，由正弦定理，得BC＝DCsin∠DBC·sin∠BDC＝32sin 45°·sin 30°＝64(km).在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 45°＝34＋38－2×32×64×22＝38.∴AB＝64km.∴A，B两点间的距离为64km.(2)如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 3 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为m.答案900解析由已知，得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°.又∠PBA＝∠PBQ＝60°，∴∠AQB＝30°，∴AB＝BQ.又PB为公共边，∴△PAB≌△PQB，∴PQ ＝PA.在Rt△PAB中，AP＝AB·tan 60°＝900(m)，故PQ＝900 m，∴P，Q两点间的距离为900 m.二、测量高度问题例2如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B 两点间的距离为60 m，则树的高度为m.答案30＋30 3解析在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB ＝15°，AB＝60 m，sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝22×32－22×12＝6－2 4，由正弦定理得PB sin 30°＝AB sin 15°， 所以PB ＝12×606－24＝30(6＋2)， 所以树的高度为PB ·sin 45°＝30(6＋2)×22＝(30＋303)(m ). 三、测量角度问题例3 已知岛A 南偏西38°方向，距岛A 3海里的B 处有一艘缉私艇.岛A 处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？⎝⎛⎭⎫参考数据：sin 38°≈5314，sin 22°≈3314 解 如图，设缉私艇在C 处截住走私船，D 为岛A 正南方向上一点，缉私艇的速度为x 海里/小时，结合题意知BC ＝0.5x ，AC ＝5，∠BAC ＝180°－38°－22°＝120°.由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·ACcos 120°，所以BC 2＝49，所以BC ＝0.5x ＝7， 解得x ＝14.又由正弦定理得sin ∠ABC ＝AC ·sin ∠BAC BC＝5×327＝5314， 所以∠ABC ＝38°，又∠BAD ＝38°，所以BC ∥AD ，故缉私艇以14海里/小时的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船. 素养提升 数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程，主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或数学术语予以表征.从实际问题中抽象出距离、高度、角度等数学问题，然后利用正弦定理、余弦定理求解，很好地体现了数学抽象的数学素养.。
解三角形应用举例(二)
B
80
A0
A
B0
C
已知△ABC中， BC＝85mm，AB＝340mm，∠C＝80°，
求AC． 解：（如图）在△ABC中， 由正弦定理可得： BC sin C 85 sin 80 sin A 0.2462 AB 340 因为BC＜AB，所以A为税角 ， A＝14°15′ ∴ B＝180°－（A＋C）＝85°45′ 又由正弦定理： AB sin B 340 sin 85 45 AC 344.3( mm) sin C 0.9848
A0 A A0C AC ( AB BC ) AC ( 340 85) 344.3 80.7 81( mm )
答：活塞移动的距离为81mm．
解三角形应用举例
总结 实际问题 抽象概括 示意图 数学模型 推 演 理 算 实际问题的解 还原说明 数学模型的解
B
A
C
CD=BD-BC=42-28=14(m) 答：山的高度约为14米。
D
测量术语： 1 仰角，俯角 2 方向角：北偏西，南偏东 3 方位角：从正北方向顺时针旋转 到目标方向线的水平角
例 2 如图, 某渔轮在航行中不幸遇 险, 发出呼救信号. 我海军舰艇在 A处获悉后, 测出该渔轮在方位角为45 0 , 距离为10n mile的C处, 并测得渔轮正沿方位角 为105 0 的方向,以9 n mile / h的速度向小岛靠拢 .我海军舰艇立 即以21 n mile / h的速度前去营救 .求舰艇的航向和靠近 渔轮所需的时间 (角度精确到 0.10 , 时间精确到1 min).
答 舰艇应沿着方位角66.8 0 的方向航行, 经过40 min 就可靠近渔轮.
《解直角三角形应用举例》课件
如图，当组合体运行到地球表面
P 点的正上方时，从中能直接看到的地球
表面最远的点在什么位置？最远点与 P 点
的距离是多少 (地球半径约为 6 400 km，π
取 3.142，结果取整数)？
F
P
FQ 是☉O 的切线，
∠FQO 为直角
Q
最远点
O
的长，要先
解：在 Rt△AOC 中,∵sin75°=
,
∴OC ≈ 38.8 cm.
在 Rt△BOC 中,∵tan30°=
,
∴BC ≈ 67.3 cm.
答：该台灯照亮水平面的宽度 BC 约为67.3 cm.
易错警示：注意结果必须根据题目要求精确到0.1cm.
技巧点拨：
借助公共边解双直角三角形
面的夹角是 30°,拉索 CD 与水平桥面的夹角是 60°,
两拉索顶端的距离 BC 为 2米.两拉索底端的距离 AD 为
20米,请求出立柱 BH 的长.(结果精确到0.1米, 3≈1.732)
解：设 DH =x 米. ∵ ∠CDH =60° ,∠H =90°,
∴ CH =DH·tan60°= 3x 米，
∴ 此时南楼的影子落在北楼上约 3.5 m 高.
解：(2)如图，若使每层楼在冬天都受阳光照射，则
DC =0 m，即点 C 与点 D 重合.
当点 C 与点 D 重合时，
tan∠ACB
∴ BD=
= ，即
tan32°
=
tan32°=
16
tan32°
，
≈ 25.6 (m)，
解三角形应用举例
B C
α β
A
D
BC AB = sin(α β ) sin(90 + β )
BC sin(90 + β ) BC cos β = 所以，AB = sin(α β ) sin(α β )
解RtABD, 得 BC cos β sin α BD = AB sin ∠BAD = sin(α β ) 28 cos 30 sin 60 = sin(60 30 ) = 42(m)
视 线
N 仰角 俯角
水平线
方位角 60度
目标方向线
视 线
二、例 题 讲 解
例2、如图，要测底部不能到达的烟囱的高 ，从与烟囱底部在 、如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB， 间的距离是12m.已知测角仪器高 已知测角仪器高1.5m,求烟囱的高。 求烟囱的高。 ， 间的距离是 求烟囱的高 β = 60° CD间的距离是 已知测角仪器高 想一想 图中给出了怎样的一个 几何图形？已知什么， 几何图形？已知什么， 求什么？ 求什么？
a sin β AC = sin(α β ) a sin α sin β AB = AE + h = AC sin α + h = +h sin(α β )
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练习: 在山顶铁塔上B处测得地面 练习 在山顶铁塔上 处测得地面 上一点A的俯角 的俯角α＝ ° 上一点 的俯角 ＝ 60° ，在塔底 C处测得 处的俯角 ＝30°。已 处测得A处的俯角 处测得 处的俯角β＝ ° 知铁塔BC部分的高为 部分的高为28m，求出 知铁塔 部分的高为 ， 山高CD. 山高 分析：根据已知条件， 分析：根据已知条件，应该设 法计算出AB或 的长 法计算出 或AC的长 解：在⊿ABC中， 中 ∠BCA=90°+β, ° ∠ABC=90°-α, ∠BAC=α° β, ∠BAD=α.根据正弦定理， 根据正弦定理， 根据正弦定理
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28cos 30 sin 60 sin(60 30 )
42(m)
CD=BD-BC=42-28=14(m)
答：山的高度约为14米。
例2
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，
到A处时测得公路北测远处一山顶D在西偏北15º的方向上，
行驶5km后到达B处，测得此山顶在西偏北25º的方向上，
仰角为8º，求此山的高度CD. sin150 0.26,sin100 0.17,
tan 80 0.14
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
2.某人向东方向走了x千米，然后向右转120°，再朝新方向走了3千米， 结果他离出发点恰好 13 千米，求x的值。 3.如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测 出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA ＝5，A，B，C，D四点共圆，求AC的长.
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
跟踪训练1 甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处， 乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速 度是每小时 3a 海里，问甲船应沿着什么方向前进， 才能最快与乙船相遇？ 解答
3.某人向东方向走了x千米，然后向右转120°，再朝新方向走了3千米， 结果他离出发点恰好 13 千米，那么x的值是__4_. 答案 解析
由余弦定理，得x2＋9－3x＝13， 整理得x2－3x－4＝0，解得x＝4.
解三角形应用举例
3 .
14
在Rt HAO中，AH＝350米，cos HAO＝11， 14
所以OA＝ AH ＝4900 445(米)． cos HAO 11
答：扇形的半径OA的长约为445米．
测量角度问题
【例5】 缉私艇发现在北偏东45°方向，距离12 n mile的海面上有一走私船正以10 n mile/h的 速度沿东偏南15°方向逃窜．缉私艇的速度 为14 n mile/h.若要在最短的时间内追上该走 私船，缉私艇应沿北偏东45°＋α的方向去 追．求追及所需的时间和角α的正弦值．
方法2：连结AC， 作OH AC，交AC于H. 由题意，得 CD＝500米，AD＝300米，CDA＝120. 在 ACD中， AC 2＝CD 2＋AD 2－2?CD·AD·cos120 ＝5002＋3002＋2 500 300 1＝7002，
2 所以AC＝700(米)．
则cos CAD＝ AC2 AD2 CD2 ＝11. 2 AC AD 14
44
得A＋ ，故A＝ .
42
4
2由S＝1 AC·ABsinA＝3 2 AB＝3，得AB＝2 2.
2
4
由此及余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC ABcosA
＝9＋8－2 3 2 2 2 ＝5，故BC＝ 5. 2
测量距离问题
【例1】 如图，某住宅小区的平面图呈 扇形AOC.小区的两个出入口设 置在点A及点C处，小区里有两 条笔直的小路AD，DC，且拐弯处的转角为120°. 已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走 到A用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米， 求该扇形的半径OA的长(精确到1米)．
【解析】方法1：设该扇形的半径为r米． 由题意，得 CD＝500米，DA＝300米，CDO＝60. 在 CDO中， CD2＋OD2－2 CD OD cos60＝OC2，
解三角形应用举例
B
例4:如图,在山顶铁塔上B处测得地面上一 点A的俯角,在塔底C处测得A处的俯角.已 知铁塔BC部分的高为27.3米,求出山高 CD.
例5:一辆汽车在一条水平的公路上向正 东行驶,到A处时测得公路南侧远处一山 顶D在东偏南15°的方向上,行驶5KM后 到达B处,测得此山顶在东偏南25°的方 向上,仰角为8° ,求此山的高度CD.
(1)已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5° (2)已知B=62.7°Ｃ＝６５.8° ,b=3.16cm; (3)已知三边的长分别为 a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm.
例8:在某市进行城市环境建设中，要把 一个三角形的区域改造城市内公园，经 过测量得到这个三角形区域的三条边长 分别为68m,88m,127m,这个区域的面 积是多少？ （精确到0.1cm2）
例1 设A,B两点在河的两岸,要测量两点之间的 距离,测量者在A的 同侧,在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离是55cm,
BAC 51, ACB 75
求A,B两点间的距离
B
A
C
例 2 如图A,B两点都在河的对岸(不可到达),设 计一种测量A,B两点距离的方法
A B
例3 : AB是底部B不可到达的一个建筑物,A 为建筑物的最高点,设计一种测量建筑物高 度AB的方法. A
例6:如图一艘海轮从A出发,沿北偏东75°的方 向航行67.5海里后到达海岛B,然后从B出发,沿 北偏东32°的方向航向54海里后到达海岛C. 如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿 怎样的方向航行,需要航行多少距离?，根据下列条件，求三角 形的面积S（精确到0.1cm2）
解三角形应用举例 (2)
C
A
D
新课讲授
2 如图，在山顶铁塔上 B 处测得地面上 A 的俯角 ＝54o40'，在塔底 C 处测得 一点 A 处的俯角 =50o1' .已知铁塔 BC 部分的高 为 27.3 m，求出山高 CD(精确到 1m). B 问题 3:哪个三角形已经知道
三个条件?
问题 4:要求 CD,必须借助哪个 三角形?还需要什么条件?
C
A
D
新课讲授
2 如图，在山顶铁塔上 B 处测得地面上 A 的俯角 ＝54o40'，在塔底 C 处测得 一点 A 处的俯角 =50o1' .已知铁塔 BC 部分的高 为 27.3 m，求出山高 CD(精确到 1m). B 问题 3:哪个三角形已经知道
三个条件?
问题 4:要求 CD,必须借助哪个 三角形?还需要什么条件?
B
新课讲授
1 AB 是底部 B 不可到达的一个建筑物， A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度 AB 的方法。 A
B
新课讲授
1 AB 是底部 B 不可到达的一个建筑物， A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度 AB 的方法。
分析： AB 长的关键是 求 先求 AE，在 ACE 中， 如能求出 C 点到建筑物 顶部 A 的距离 CA， 再测 出由 C 点观察 A 的仰角， 就可以计算出 AE 的长.
问题 6：欲求出 CD， 大家思考在哪个三 角形中研究比较适 合呢？
新课讲授
3 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向 正东行驶，到 A 处时测得公路南侧远处一山 顶 D 在东偏南 15o 的方向上，行驶 5km 后到 达 B 处，测得此山顶在东偏南 25o 的方向上， 仰角为 8o，求此山的高度 CD.
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第二讲解三角形应用举例
新课讲授一：
解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解
【例1】如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC=︒
75。
求A、B两点的距离(精确到0.1m)
51，∠ACB=︒
提问1：∆ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？
提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？
变式练习一：
两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30︒，灯塔B在观察站C南偏东60︒，则A、B之间的距离为多少？
【例2】如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法。
变式训练二：
若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得∠BCA=60︒，∠ACD=30︒，∠CDB=45︒，∠BDA =60︒，则AB多少？
归纳总结一:
解斜三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解
（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解
【例】某人在M汽车站的北偏西20︒的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶。
公路的走向
是M 站的北偏东40︒。
开始时，汽车到A 的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A 的距离缩短了10千米。
问汽车还需行驶多远，才能到达M 汽车站？
新课讲授二：
提问：现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题
【例1】AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法。
【例2】如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角α=5404'︒，在塔底C 处测得A 处的俯角β=501'︒。
已知铁塔BC 部分的高为27.3 m,求出山高CD(精确到1 m)
【例3】如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15︒的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在东偏南25︒的方向上,仰角为8︒,求此山的高度CD.
归纳总结二：
利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化。
新课讲授三：
前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题。
然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨这方面的测量问题。
【例1】如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75︒的方向航行67.5 n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32︒的方向航行54.0 n mile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1︒,距离精确到0.01n mile)
【例2】在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2θ，
再继续前进103m至D点，测得顶端A的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE的高。
【例3】某巡逻艇在A处发现北偏东45︒相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75︒的方向以10海里/小
时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？
归纳总结三：
解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：
（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。
（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。
新课讲授四：
重点：推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目
难点：利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题
以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式。
在
∆ABC 中，边BC 、CA 、AB 上的高分别记为h a 、h b 、h c ，那么它们如何用已知边和角表示？
h a =bsinC=csinB h b =csinA=asinC h c =asinB=bsinaA
根据以前学过的三角形面积公式S=
21ah,应用以上求出的高的公式如h a =bsinC 代入，可以推导出下面的三角形面积公式，S=2
1absinC ，大家能推出其它的几个公式吗？ 同理可得，S=21bcsinA, S=2
1acsinB 【例1】在∆ABC 中，根据下列条件，求三角形的面积S （精确到0.1cm 2）
（1）已知a=14 cm, c=24 cm, B=150︒;
（2）已知B=60︒, C=45︒, b=4 cm;
（3）已知三边的长分别为a=3 cm,b=4 cm, c=6 cm
【例2】如图,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm 2）？
变式练习：已知在∆ABC 中，∠B=30︒,b=6,c=63,求a 及∆ABC 的面积S
【例3】在∆ABC 中，求证：
（1）;sin sin sin 222222C
B A c b a +=+ （2）2a +2b +2c =2（bccosA+cacosB+abcos
C ）
变式练习：判断满足sinC =
B A B A cos cos sin sin ++条件的三角形形状。
归纳总结四：
解三角形在实际应用中，根据题意建立数学模型，画出示意图，然后利用正弦定理和余弦定理或列出方程求出未知数
掌握四类问题的基本解决方法：
1、测量高度问题
2、测量距离问题
3、测量角度问题
4、三角形面积计算
课堂练习：
一、选择题
1.在△ABC 中，B=45°，C=60°,边c=1，则最短边的边长等于（ ）
C. 12
2.在△ABC 中，cos cos cos a b c A B C
==,则△ABC 一定是( ). A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形
3. 在△ABC 中，已知AB=2，BC=5, △ABC 面积为4，∠ABC 余弦值为（ ） A. 35 B. 35- C.± 35 D. ±45
4.已知在△ABC 的三边分别为5，7，8，则它的面积为（ ）
A. B. C.140 D.
5.甲船在A 点处发现乙船在北偏东60°的B 处，乙船以每小时a 海里的速度向正北行驶，海里，为使甲船与乙船最快相遇，甲船前进的方向为（ ）
A.北偏东150°
B. 北偏西30°
C. 北偏东30°
D. 南偏东30°
二、填空题
6.在△ABC 中，B=60°，b 2=ac,则△ABC 为 （形状）
7.三角形一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8：5，则这个三角形面积为
8.钝角△ABC ，a=1,b=2则最大边c 的取值范围是
三、解答题：
9．某巡逻艇在A 处发现北偏东45︒相距9海里的C 处有一艘走私船，正沿南偏东75︒的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？
10.（09浙江高考题）在△ABC 中，cos 25
A =,3A
B A
C ∙= ,求 （1）三角形△ABC 面积；（2）若b+c=6,求a 的值。
11．在三角形△ABC 中，求证： 22
(cos cos )c a B b A a b -=-。