沪科版九年级数学上册【学案】 求“抛物线”形最值问题【新版】
沪科版九年级数学上册【教案】 求几何面积的最值问题【新版】
21.4.1 求几何面积的最值问题教学目标【知识与技能】能应用二次函数的图象来分析问题、解决问题,在应用中体会二次函数的实际意义.【过程与方法】1.通过将二次函数应用于解决实际问题体验数学在实际生活中的广泛应用,发展数学思维.2.在数学建模中使学生学会交流、合作.【情感、态度与价值观】培养学生独立思考和合作探究的能力,在交流、探讨的过程中培养学生的交际能力和语言表达能力,促进学生综合素质的养成.重点难点【重点】用二次函数的性质解决实际问题,特别是最大值、最小值问题.【难点】建立二次函数的数学模型.教学过程一、创设情境,导入新知师:二次函数有哪些性质?学生回忆.教师提示:结合函数的图象.生:y随x的变化增减的性质,有最大值或最小值.师:很好!我们今天就用二次函数和它的这些性质来解决教材21.1节开关提出的一个实际问题.二、共同探究,获取新知教师多媒体课件出示:某水产养殖户用长40m的围网,在水库中围一块矩形的水面,投放鱼苗,设此矩形水面的长为xm,面积为Sm2.那么,S与x之间有怎样的函数关系?要使围成的水面面积最大,它的长应是多少米?学生交流、讨论.生:S与x之间的函数关系式为:S=x(20-x).要使围成的水面面积最大,就要使S取得最大值,它的长应该取图象顶点的横坐标.师:你回答得很好!那怎么求出这个横坐标呢?生甲:配方,变为顶点式求出.生乙:直接用顶点横坐标的公式x=-.师:同学们回答得很好!用这两种方法都可以求出.请同学们求一下面积最大时长应是多少,并求出最大面积是多少.学生计算后回答.生:将这个函数关系式配方,得S=-(x-10)2+100(0<x<20)显然,这个函数的图象是一条开口向下的抛物线中的一段,它的顶点坐标是=100m2.(10,100),所以,当x=10m时,函数取得最大值,最大值为S最大值这就是说,当围成的矩形水面长为10m,宽为10m时,它的面积最大,最大面积是100m2.教师多媒体课件出示:某商品现在的售价为每件10元,一周可卖出50件.市场调查表明:这种商品如果每件涨价1元,每周要少卖出5件.已知该商品的进价为每件8元,问每件商品涨价多少才能使每周得到的利润最大?师:请同学们思考一下,若我们设每件商品涨价x元,那么销售额为多少?学生思考、计算.生:销售额为(10+x)(50-5x).师:进货额为多少?生:进货额为8(50-5x).师:利润呢?生:利润等于销售额减去进货额,即(10+x)(50-5x)-8(50-5x).师:那还有没有其他的计算利润的方法了呢?学生思考.生:还可以先表示出每件的利润,然后乘以数量,就是总的利润.师:思路是对的,具体的式子是什么呢?生:每件的利润为(10+x-8),数量为(50-5x),总利润为(10+x-8)(50-5x).师:变量x的取值范围怎么确定?生:x≥0且应满足50-5x>0,因为数量应为正值.师:如何求得涨价多少利润最大呢?生:x取顶点的横坐标时利润最大,此时最大值为顶点的纵坐标.师:很好,但你还要注意顶点的横坐标在不在自变量的取值范围内.当极值点在自变量的取值范围内时,极值点就是函数的最值点.若极值点不在函数自变量的取值范围内,你怎么求函数的最值呢?学生思考,交流.教师提示:请同学们画出符合这个条件一条抛物线,最值点不在自变量的取值范围内时,图象与完整的抛物线的对称轴有什么关系?学生作图后观察.生:图象在完整的抛物线的对称轴的一侧.师:在一侧,y是不是随x的变化而变化?生:是.师:所以在这种情况下,在它的两个端点处取到极值.还要注意的是,在解决有关销量与售价的问题时,你要看清楚是问售价是多少时的销售额或利润,还是问涨价多少时的销售额或利润?请同学们分别回答下列情形时的式子.教师多媒体课件出示:售价为a元时,一周可卖出m件,每涨价p元,每周要少卖出n件,每件的进价为r元1.售价为x元时的销售额s为多少?利润f为多少?教师找一生回答.教师板书:s=x(m-n),f=(x-r)(m-n)2.涨价x元时的销售额s为多少?教师找一生回答.教师板书:s=(a+x)(m-n),f=(a+x-r)(m-n)教师多媒体课件出示:如图(1),悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索,其形状可近似地看作抛物线,水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接.已知两端主塔之间水平距离为900m,两主塔塔顶距桥面的高度为81.5m,主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5m.(1)若以桥面所在直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴,建立平面直角坐标系,如图(2),求这条抛物线对应的函数表达式;(2)计算距离桥两端主塔分别为100m、50m处垂直钢索的长.解:(1)根据题意,得抛物线的顶点坐标为(0,0.5),对称轴为y轴,设抛物线对应的函数表达式为y=ax2+0.5.抛物线经过点(450,81.5),代入上式,得81.5=a·4502+0.5.解方程,得a==.答:所求抛物线对应的函数表达式为y=x2+0.5(-450≤x≤450).(2)当x=450-100=350(m)时,得y=×3502+0.5=49.5(m).当x=450-50=400(m)时,得y=×4002+0.5=64.5(m).答:距离桥两端主塔分别为100m、50m处垂直钢索的长分别为49.5m、64.5m.三、练习新知教师找两生分别板演教材第36页练习的1、2题,然后集体订正.教师引导学生完成教材第41页练习的第2题.师:接受能力逐步增强的表现是什么?生:y值逐渐增大.师:对.那么问题是x在什么范围内,学生的接受能力逐步增强,就是说x在什么范围内,y的值逐渐增大?类似地,我们可以把问题x在什么范围内,学生的接受能力逐步降低转化为什么?生:x在什么范围内,y的值逐渐减小?教师找一生回答:你怎么求解这个问题呢?生:我们知道二次项系数-0.1是小于0的,抛物线开口向下,求出抛物线的对称轴,在对称轴的左侧,y随x的增大而增大;在对称轴的右侧,y随x的增大而减小.师:那么对称轴怎么求呢?生:可用配方法或者用公式x=-求.师:很好!教师找另外两位同学回答第(2)(3)问,然后集体订正.师:同学们,通过刚才的学习,你们掌握得怎么样呢?我现在出几个问题来检测一下你们,好不好?教师多媒体课件出示:1.某商店销售一种品牌衬衣,若这种衬衣每天所获得的利润y元与衬衣的销售单价x元之间满足关系式y=-x2+50x+500.若要想每天获得最大利润,则单价应定为( )A.20元B.25元C.30元D.40元【答案】B2.一个小球以20m/s的速度从地面竖直向上弹出,它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系式h=20t-5t2,则当h=20m时,小球的运动时间为( )A.20sB.2sC.(2+2)sD.(2-2)s【答案】B3.出售某种文具盒,若每个获利x元,一天可售出(6-x)个,则当x= 元时,一天出售该种文具盒获得的总利润y最大.【答案】34.某商场经营某种品牌玩具,已知成批购进时单价是2.5元,现根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在一段时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.请你分析销售单价是多少元时,可以获利最多?如果设销售单价为x(x≤13.5)元,那么:(1)销售量可以表示为 ;(2)销售额可以表示为 ;(3)所获利润可以表示为 ;(4)当销售单价x是元时,可以获得最大利润,最大利润是元.【答案】(1)3200-200x (2)3200x-200x2(3)-200x2+3700x-8000 (4)9.25 9112.5师:请同学们认真思考这几个问题,然后在草稿纸上完成.教师巡视,对有疑问的学生进行指导.四、课堂小结师:本节课你学习了什么内容,有什么收获?学生回答.师:你还有什么不明白的地方?学生提问,教师解答.教学反思二次函数历来是初三学生要重点掌握的数学知识,尤其是二次函数的最值问题及在生活中的应用,更是中考尤其是压轴题中常见的题型.二次函数在知识上的难度较大,且具有特殊地位,二次函数的应用中渗透了数学建模的思想,使学生感受实际生活中的相关量之间的二次函数关系,并且通过求利益最大化的实例让学生再一次感受到了数学的实用性.在求利润时,因为有些问题比较相似,为避免学生混淆,我强调了不同问题的区别.在求最值时,在实际问题的最值点可能不是函数在全体实数范围内的极值点求到的,所以要学生注意自变量的取值范围.。
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第21章二次函数与反比例函数21.1 二次函数教学目标【知识与技能】以实际问题为例理解二次函数的概念,并掌握二次函数关系式的特点.【过程与方法】能够根据实际问题熟练地列出二次函数的关系式,并求出函数的自变量的取值范围.【情感、态度与价值观】联系学生已有知识,让学生积极参与函数的学习过程,使学生体会函数的思想.重点难点【重点】二次函数的概念.【难点】能够根据实际问题熟练地列出二次函数的关系式,并求出函数的自变量的取值范围.教学过程一、问题引入1.一次函数和反比例函数是如何表示变量之间的关系的?[一次函数的表达式是y=kx+b(k≠0),反比例函数的表达式是y=(k≠0)]2.如果改变正方体的棱长x,那么正方体的表面积y会随之改变,y和x之间有什么关系?(正方体的表面积y与棱长x之间的关系式是y=6x2.)3.物体自由下落的距离s随时间t的变化而变化,s与t之间有什么关系?(下落的距离s随时间t变化的关系式是s=gt2.)上面问题2、3中变量之间的关系可以用哪一种函数来表示?这种函数有哪些性质?它的图象是什么?它与以前学过的函数、方程等有哪些关系?这就是本节课要学习的二次函数.(教师板书课题)二、新课教授师:我们再来看几个问题.问题1 某水产养殖户用长40 m的围网,在水库中围一块矩形的水面,投放鱼苗.要使围成的水面面积最大,则它的边长应是多少米?这个问题首先要找出围成的矩形水面面积与其边长之间的关系.设围成的矩形水面的一边长为x m,那么,矩形水面的另一边长应为(20-x)m.若它的面积为S m2,则有S=x(20-x)=-x2+20x.问题2 有一玩具厂,如果安排装配工15人,那么每人每天可装配玩具190个;如果增加人数,那么每增加1人,可使每人每天少装配玩具10个.问增加多少人才能使每天装配玩具总数最多?玩具总数最多是多少?设增加x人,这时,共有(15+x)个装配工,每人每天可少装配10x个玩具,因此,每人每天只装配(190-10x)个玩具.所以,增加人数后,每天装配玩具总数y可表示为y=(190-10x)(15+x)=-10x2+40x+2 850.这两个问题中,函数关系式都是用自变量的二次式表示的.二次函数的定义:一般地,形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数.其中,x是自变量,a叫做二次项的系数,b叫做一次项的系数,c叫做常数项.二次函数的自变量的取值范围一般都是全体实数,但是在实际问题中,自变量的取值范围应使实际问题有意义.如问题1中,0<x<20,因为矩形的两边之和是20 m.三、典型例题【例1】判断下列函数是否为二次函数?如果是,指出其中常数a、b、c的值.(1)y=1-3x2; (2)y=x(x-5);(3)y=x-x+1; (4)y=3x(2-x)+3x2;(5)y=; (6)y=;(7)y=x4+2x2-1.解:(1)、(2)是二次函数.(1)中,a=-3,b=0,c=1;(2)中,a=1,b=-5,c=0.【例2】当k为何值时,函数y=(k-1)+1为二次函数?解:令k2+k=2,得k1=-2,k2=1.当k1=-2时,k-1=-2-1=-3≠0;当k2=1时,k-1=1-1=0.所以当k=-2时,函数y=-3x2+1为二次函数.【例3】写出下列各题的函数关系式,并判断它们是什么类型的函数.(1)正方体的表面积S(cm2)与棱长a(cm)之间的函数关系式;(2)圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函数关系式;(3)菱形的两条对角线长的和为26 cm,求菱形的面积S(cm2)与一条对角线长x(cm)之间的函数关系式.解:(1)S=6a2,是二次函数;(2)y=,是二次函数;(3)S=x(26-x),是二次函数.四、巩固练习1.(口答)下列函数中,哪些是二次函数?(1)y=3x2-1;(2)y=5x2-2x;(3)y=-2x2+x-1;(4)y=4-x3;(5)y=;(6)y=3x2+;(7)y=x2.【答案】(1)(2)(3)(7)是二次函数2.y=(m+1)-3x+1是二次函数,则m的值为.【答案】23.一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表面积S与底面半径r之间的关系式.【答案】S=4πr2五、课堂小结本节课主要学习了以下内容:1.二次函数的概念:形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数.2.能够根据实际问题熟练地列出二次函数的关系式,并求出函数的自变量的取值范围.教学反思本节课从实际问题入手,结合学生已有的知识经验,观察、归纳出二次函数的概念以及二次函数的一般表达式y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0),并使学生从中体会函数的思想.在本节课的教学过程中,学生经常列不出二次函数关系式,对于实际问题会忘记给出自变量的取值范围,这些问题要通过加强训练来解决.21.2 二次函数的图象和性质第1课时二次函数y=ax2的图象和性质教学目标【知识与技能】使学生会用描点法画出函数y=ax2的图象,理解并掌握抛物线的有关概念及其性质.【过程与方法】使学生经历探索二次函数y=ax2的图象及性质的过程,获得利用图象研究函数性质的经验,培养学生分析、解决问题的能力.【情感、态度与价值观】使学生经历探索二次函数y=ax2的图象和性质的过程,培养学生观察、思考、归纳的良好思维品质.重点难点【重点】使学生理解抛物线的有关概念及性质,会用描点法画出二次函数y=ax2的图象.【难点】用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数的性质.教学过程一、问题引入1.一次函数的图象是什么?反比例函数的图象是什么?(一次函数的图象是一条直线,反比例函数的图象是双曲线.)2.画函数图象的一般步骤是什么?一般步骤:(1)列表(取几组x,y的对应值);(2)描点(根据表中x,y的数值在坐标平面中描点(x,y));(3)连线(用平滑曲线).3.二次函数的图象是什么形状?二次函数有哪些性质?(运用描点法作二次函数的图象,然后观察、分析并归纳得到二次函数的性质.)二、新课教授【例1】画出二次函数y=x2的图象.(2)描点:根据上表中x,y的数值在平面直角坐标系中描点(x,y).(3)连线:用平滑的曲线顺次连接各点,得到函数y=x2的图象,如图所示.思考:观察二次函数y=x2的图象,思考下列问题:(1)二次函数y=x2的图象是什么形状?(2)图象是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?(3)图象有最低点吗?如果有,最低点的坐标是什么?师生活动:教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2的图象,通过数形结合解决上面的3个问题.学生动手画图,观察、讨论并归纳,积极展示探究结果,教师评价.函数y=x2的图象是一条关于y轴(x=0)对称的曲线,这条曲线叫做抛物线.实际上二次函数的图象都是抛物线.二次函数y=x2的图象可以简称为抛物线y=x2.由图象可以看出,抛物线y=x2开口向上;y轴是抛物线y=x2的对称轴:抛物线y=x2与它的对称轴的交点(0,0)叫做抛物线的顶点,它是抛物线y=x2的最低点.实际上每条抛物线都有对称轴,抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点,顶点是抛物线的最低点或最高点.【例2】在同一直角坐标系中,画出函数y=x2及y=2x2的图象.思考:函数y=x2、y=2x2的图象与函数y=x2的图象有什么共同点和不同点?师生活动:教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2、y=2x2的图象.学生动手画图,观察、讨论并归纳,回答探究的思路和结果,教师评价.抛物线y=x2、y=2x2与抛物线y=x2的开口均向上,顶点坐标都是(0,0),函数y=2x2的图象的开口较窄,y=x2的图象的开口较大.探究1:画出函数y=-x2、y=-x2、y=-2x2的图象,并考虑这些图象有什么共同点和不同点。
沪科版数学九年级上册《求最值问题》教学设计1
沪科版数学九年级上册《求最值问题》教学设计1一. 教材分析《求最值问题》是沪科版数学九年级上册的一章内容。
这一章节主要介绍了求最值问题的基本方法和技巧。
通过本章的学习，学生能够掌握一元一次不等式组、二元一次不等式组和函数的最值问题的求解方法。
教材内容主要包括最值问题的定义、求解方法、实例分析等。
二. 学情分析九年级的学生已经学习过一元一次不等式组和二元一次不等式组的知识，对于函数的最值问题可能较为陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生将已学的知识与最值问题相结合，并通过实例分析来加深学生对最值问题的理解。
三. 教学目标1.理解最值问题的定义和意义。
2.掌握一元一次不等式组、二元一次不等式组和函数的最值问题的求解方法。
3.能够运用所学知识解决实际问题。
四. 教学重难点1.重点：一元一次不等式组、二元一次不等式组和函数的最值问题的求解方法。
2.难点：函数的最值问题的求解方法。
五. 教学方法1.讲授法：通过讲解最值问题的定义、求解方法和相关实例，使学生掌握最值问题的求解技巧。
2.案例分析法：通过分析实际案例，引导学生运用所学知识解决实际问题。
3.练习法：通过课堂练习和课后作业，巩固学生对最值问题的理解和掌握。
六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，内容包括最值问题的定义、求解方法和相关实例。
2.案例材料：准备一些实际案例，用于引导学生运用所学知识解决实际问题。
3.练习题：准备一些练习题，用于巩固学生对最值问题的理解和掌握。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过引入一些实际问题，引发学生对最值问题的思考，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）讲解最值问题的定义和意义，介绍一元一次不等式组、二元一次不等式组和函数的最值问题的求解方法。
3.操练（10分钟）给出一些实例，让学生运用所学知识解决实际问题。
引导学生通过小组讨论和合作，共同解决问题。
4.巩固（10分钟）给出一些练习题，让学生独立完成。
通过练习，巩固学生对最值问题的理解和掌握。
求最值问题-沪科版九年级数学上册教案
求最值问题-沪科版九年级数学上册教案1. 教学目标1.1 知识目标通过本节课的学习，学生将掌握以下知识：1.掌握求最值问题的基本概念和解题方法。
2.能够运用最值问题求解实际问题。
1.2 能力目标1.培养学生的解决问题的能力和创新思维能力。
2.培养学生的数学运算能力和计算机应用能力。
2. 教学重难点2.1 教学重点1.求最大值和最小值的概念及其解题方法。
2.运用求最值问题解决实际问题。
2.2 教学难点1.拓展学生对求最值问题思路的拓展。
2.培养学生对求最值问题的自主发现和创新思维。
3. 教学过程3.1 操作性教学•在教学一开始，教师向学生介绍求最值问题的概念，提出“找最大的和最小的”这种思路，并且让学生自己练习这种思路。
•通过教师的讲解和实例的引导，学生学会了通过最值问题求解实际问题。
3.2 观察能力教学•在教学中，教师向学生展示各种实际问题，并且让学生思考如何运用最值问题求解。
让学生思考问题的过程，要关注数据量，要注意每个数据的意义和作用。
•通过对实际问题的分析和解决，让学生加深了对最值问题的认识，培养了学生的实践性和观察能力。
4. 教学评价4.1 教学效果评价•根据课堂的反馈，学生们掌握了求最值问题的基本方法。
•通过教师的引导和实际问题的分析，学生了解了最值问题的实际运用。
4.2 学生评价•学生们认为这堂课程内容容易理解，实用性很强。
•学生们对教师的引导和鼓励非常感激，感觉这节课的学习非常有意义。
5. 总结通过本节课的学习，学生们掌握了求最值问题的基本概念和解题方法，以及运用最值问题解决实际问题的能力。
同时，本节课程的教学侧重于实际问题，通过展示各种实际问题和呈现解决过程，培养了学生的实践性和观察能力。
上海科学技术出版社初中数学九年级上册 求最值问题【区一等奖】
运动物体中的二次函数问题数学教研组童松福教学目标【知识与技能】通过图形之间的关系列出函数表达式,会利用二次函数的知识解决运动物体的应用问题。
【过程与方法】用二次函数的知识分析解决有关抛物线型问题的实际问题,感受数学的应用价值。
【情感、态度与价值观】培养学生利用数学思想解决实际问题的能力。
教学重难点【教学重点】用二次函数的知识分析解决有关抛物线型问题的实际问题。
【教学难点】通过图形之间的关系列出函数表达式,从现实问题中建立二次函数模型。
教学过程一、复习巩固我们上一节课学习了在实物中的抛物线问题（比如拱桥、喷泉等），那么我们解决这一类抛物线问题的基本解题步骤是什么（请同学回答，老师做补充并板书）坐标系，点的坐标，函数表达式，解决实际问题二、情境导入我们来看一段视频，好精彩的扣球，同学们知道这是什么比赛吗对，这是中国女排在里约奥运会中的一场关键比赛，中国女排以小组第四进入八强，从逆转巴西，到复仇荷兰，直到击败塞尔维亚捧起金杯。
我们看到了中国女排的努力拼搏，更看到了女排永不言败的精神，希望我们九（3）班的每位同学都能学习女排永不言败的精神，拼搏奋斗这一年，在中考中取得优异成绩。
当然今天我们主要是要学习在排球运动中所蕴含的相关数学知识，我们来看，在这一次扣球中我们可以把运动中的排球经过的路线近似看成一条抛物线。
我们再来看一张图片，在投篮过程中篮球经过的路线也可以近似看成一条抛物线，我们今天就来研究一下在排球、篮球等运动中的抛物线问题。
板书：运动物体中的二次函数问题三、合作探究让我们先来看看怎么在篮球比赛中投篮更准一点1、在篮球比赛中,姚小鸣正在投篮,已知球出手时离地面高209米,与篮圈中心的水平距离为8米,当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米,设篮球运行轨迹为抛物线,篮圈距地面3米。
（好，看完题目，我们知道了什么呢这道题要用到抛物线的知识来解决，还有一些距离和高度，那么这些距离和高度有什么用呢当然是用来转化为点的坐标的，而点的坐标必须要放在直角坐标系中。
九年级数学上册 21.4 求“抛物线”型最值问题(第2课时)课后作业1 (新版)沪科版-(新版)沪科
二次函数的应用第 2 课时求“抛物线”形最值问题一、教材题目：P28 T1-T21．如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为8 m，另一边AB为2 m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6 m.(第1题)(1)求此抛物线对应的函数表达式；(2)如果该隧道内设双行道，现有一辆货运车的高为4.3 m，宽为2.4 m，问这辆货运车能否在一侧行道内通过该隧道？2．如图，某校的围墙上部由一段段相同的拱形栅栏连接而成，其中一段拱形栅栏(图中AOB)为抛物线的一部分，拱形栅栏的跨径AB之间按相同的间距(0.2 m)用5根立柱加固，拱高OC为0.6 m.(第2题)(1)以O 为原点，OC 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，根据以上数据，求出抛物线y ＝ax 2对应的函数表达式；(2)计算一段拱形栅栏所需5根立柱的总长度．二、补充题目：部分题目来源于《典中点》3．(2014·某某)如图的一座拱桥，当水面宽AB 为12 m 时，桥洞顶部离水面4 m ，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x 轴，建立平面直角坐标系，若选取点A 为坐标原点时的抛物线对应的函数表达式是y ＝－19(x －6)2＋4，则选取点B 为坐标原点时的抛物线对应的函数表达式是________________．(第3题)6．向上发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 公尺，且时间与高度关系为y ＝ax 2＋bx.若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度是最高的( )A ．第9.5秒B ．第10秒C ．第10.5秒D ．第11秒7．比赛中羽毛球的某次运动路线可以看成是一条抛物线(如图)．若不考虑外力因素，羽毛球行进高度y(米)与水平距离x(米)之间满足y ＝－29x 2＋89x ＋109，则羽毛球飞出的水平距离为______米．(第7题)8．(2015·某某)如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m ，宽是4 m ．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y ＝－16x 2＋bx ＋c 表示，且抛物线上的点C到墙面OB 的水平距离为3 m ，到地面OA 的距离为172m .(1)求该抛物线对应的函数表达式，并计算出拱顶D 到地面OA 的距离；(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6 m ，宽为4 m ，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？(3)在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8 m ，那么两排灯的水平距离最小是多少米？(第8题)9．某跳水运动员进行10 m 跳台跳水训练时，身体(看成一点)在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面1023m ，入水处距池边的距离为4 m ，同时，运动员在距水面高度为5 m 以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．(1)求这条抛物线对应的函数表达式；(2)在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是(1)中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为335m ，问此次跳水会不会失误？并通过计算说理由．(第9题)10．(2015·某某)某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A 处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上．在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A 的水平距离为x(米)，与桌面的高度为y(米)，运行时间为t(秒)，经多次测试后，得到如下部分数据：t(秒) 0 … x(米) 0 1 2 … y(米)…(1)当t 为何值时，乒乓球达到最大高度？(2)乒乓球落在桌面时，与端点A 的水平距离是多少？ (3)乒乓球落在桌面上弹起后，y 与x 满足y ＝a(x －3)2＋k. ①用含a 的代数式表示k ；②球网高度为0.14米，球桌长(1.4×2)米．若球弹起后，恰好有唯一的击球点，可以将球沿直线扣杀到点A ，求a 的值．(第10题)答案一、教材1．解：(1)设抛物线对应的函数表达式为y ＝ax 2＋6.将(4，2)代入上式，得a ＝－14，所以此抛物线对应的函数表达式为y ＝－14x 2＋6(－4≤x≤4)．(2)当x ＝2.4时，y ＝－142＋6＝4.56，而4.56＞4.3，所以这辆货运车能在一侧行道内通过该隧道．2．解：(1)由题意知，抛物线过点(0.2＝0.6，解得a ＝53，所以抛物线对应的函数表达式为y ＝53x 2.(2)当x ＝0.2时，y ＝532＝115，当x ＝0.4时，y ＝532＝415，所以5根立柱的总长度为⎝ ⎛⎭⎪⎫0.6－115×2＋⎝⎛⎭⎪⎫0.6－415×2＋0.6＝73(m )．二、典中点3.y ＝－19(x ＋6)2＋46．C 点拨：当x ＝7时，y ＝49a ＋7b ；当x ＝14时，y ＝196a ＋14b.根据题意得49a ＋7b ＝196a ＋14b ，∴b ＝－21a ，根据二次函数的图象的对称性及抛物线的开口方向知，当x ＝－b2a 时，y 最大即高度最高．故选C .7．58．解：(1)根据题意得B(0，4)，C ⎝⎛⎭⎪⎫3，172，把点B(0，4)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，172的坐标代入y ＝－16x 2＋bx ＋c 得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝4，－16×32＋3b ＋c ＝172.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝4. 所以抛物线对应的函数表达式为y ＝－16x 2＋2x ＋4，即y ＝－16(x －6)2＋10，所以D(6，10)，所以拱顶D 到地面OA 的距离为10 m .(2)由题意得货运汽车最外侧与地面OA 的交点为(2，0)或(10，0)，当x ＝2或x ＝10时，y ＝223＞6，所以这辆货车能安全通过．(3)令y ＝8，则－16(x －6)2＋10＝8，解得x 1＝6＋23，x 2＝6－23，则x 1－x 2＝43，所以两排灯的水平距离最小是43m .9．解：(1)在给定的直角坐标系下，设最高点为A ，入水点为B ，抛物线对应的函数表达式为y ＝ax 2，知O(0，0)，B(2，－10)，且顶点A 的纵坐标为23.∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，4ac －b 24a ＝23，4a ＋2b ＋c ＝－10.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－256，b ＝103，c ＝0.或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－2，c ＝0.∵－b 2a ＞0，a ＜0，∴b ＞0，∴a ＝－256，b ＝103.∴y＝－256x 2＋103x.(2)当运动员在空中距池边的水平距离为335m 时，x ＝335－2＝85，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－256×⎝ ⎛⎭⎪⎫852＋103×85＝－163，∴此时运动员距水面的高为10－163＝143.∵143＜5.∴此次跳水会出现失误．10．，乒乓球达到最大高度．(2)由表格中数据可得y 是x 的二次函数，可设y ＝m(x －1)2， 将点(0)的坐标代入，可得m ＝－15，则y ＝－15(x －1)2，当y ＝0 时，0＝－15(x －1)2，解得x 1＝52，x 2＝－12(舍去)，即乒乓球落在桌面时，与端点A 的水平距离是52m .(3)①由(2)得乒乓球落在桌面上时，对应点为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0， 代入y ＝a(x －3)2＋k ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫52－32a ＋k ＝0， 化简得k ＝－14a ；②由题意可得，扣杀路线在直线y ＝110x 上，由①得，y ＝a(x －3)2－14a ，令a(x －3)2－14a ＝110x ， 整理得20ax 2－(120a ＋2)x ＋175a ＝0，当Δ＝(120a ＋2)2－4×20a×175a＝0时符合题意， 解方程得a 1＝－6＋3510，a 2＝－6－3510，当a ＝－6＋3510时，求得x ＝－352，不符合题意舍去；当a ＝－6－3510时，求得x ＝352，符合题意．∴当a ＝－6－3510时，能恰好将球扣杀到点A.。
九年级数学上第21章二次函数与反比例函数21.4二次函数的应用2求抛物线型最值问题教案沪科
21.4 求“抛物线”形最值问题教学目标【知识与技能】通过建立数学模型学会用二次函数知识解决有关的实际问题.【过程与方法】1.掌握数学建模的思想,体会数学与生活的密切联系.2.在数学建模中,使学生学会交流、合作.【情感、态度与价值观】培养学生思考和合作探究的能力,在交流、探讨的过程中培养学生的交际能力和语言表达能力,促进学生综合素质的养成.重点难点【重点】根据具体情境建立适当的直角坐标系,并将有关线段转化为坐标系中的点.【难点】建立适当的直角坐标系,并选用简便的方式求出二次函数表达式.教学过程一、创设情境,导入新知师:前面我们把一些实际问题转化成了求二次函数的极值问题.本节我们继续学习二次函数的应用.同学们看这样一个问题.教师多媒体课件出示:一个涵洞成抛物线形,它的截面如图所示,现测得当水面宽AB=1.6 m时,涵洞顶点与水面的距离为2.4 m.这时,离开水面1.5 m处,涵洞宽ED是多少?是否会超过1 m?你能求出来吗?二、共同探究,获取新知师:我们以前求过坐标系里的这种问题,现在没有坐标系怎么办呢?学生思考,讨论.生:建立坐标系.师:你怎么建立呢?生甲:以A、B所在的直线为x轴,以线段AB的垂直平分线为y轴建立坐标系.生乙:以过涵洞最高点且在水平方向的直线为x轴,以AB的垂直平分线为y轴,建立坐标系.师:这两种方法都是可以的,但哪种更方便呢?学生讨论,交流.生:用第二种方法建立的坐标系更为简便.师:为什么?生:因为这样的表达式是y=ax2的形式,比较简单.师:对.那你能用第二种方法建立坐标系吗?学生作图、计算.教师提示:建立坐标系要用到已知了的哪些条件?生:当水面宽AB=1.6 m时,涵洞顶点与水面的距离为2.4 m.师:这个条件怎么用呢?生:把x==0.8,y=-2.4代入y=ax2,得到关于a的一元一次方程,解这个方程得到a的值,进而得到表达式.师:很好!我们再看一个例子.【例1】上抛物体不计空气阻力的情况下,有如下的表达式:h=v0t-gt2,其中h是物体上升的高度,v0是物体被上抛时竖直向上的初始速度,g是重力加速度(取g=10 m/s2),t是物体抛出后经过的时间.在一次排球比赛中,排球从靠近地面处被垫起时竖直向上的初始速度为10 m/s.(1)问排球上升的最大高度是多少?(2)已知某运动员在2.5 m高度时扣球效果最佳,如果她要打快攻,问该运动员在排球被垫起后多长时间扣球最佳?(精确到0.1s)解:(1)根据题意,得h=10t-×10t2=-5(t-1)2+5(t≥0).因为抛物线开口向下,顶点坐标为(1,5).答:排球上升的最大高度是5 m.(2)当h=2.5 m时,得10t-5t2=2.5解方程,得t1≈0.3(s),t2≈1.7(s).排球在上升和下落中,各有一次经过2.5 m的高度,但第一次经过时离排球被垫起仅有0.3s,要打快攻,选择此时扣球,可令对方措手不及,易获成功.答:该运动员应在排球被垫起后0.3s时扣球最佳.教师多媒体课件出示:【例2】行驶中的汽车,在制动后由于汽车具有惯性,还要继续向前滑行一段距离才能停止,这段距离称为“制动距离”.为了了解某型号汽车的制动性能,对其进行了测试,测得数据如下表:制动时车速度/km·h-10 10 20 30 40 50制动距离/m 0 0.3 1.0 2.1 3.6 5.5现有一辆该型号汽车在公路上发生了交通事故,现场测得制动距离为46.5 m,则交通事故发生时车速是多少?是否因超速(该段公路最高限速为110 km/h)行驶导致了交通事故?学生思考交流.教师提示:前面我们在学习一次函数时,给出一些数据让你根据数据来用一次函数模拟,现在你用什么函数来模拟呢?学生讨论.生:在坐标系中描点,看这些点大致在什么样的曲线上.师:对!现在请同学们以制动时车速的数据为横坐标(x值),在平面直角坐标系中描出这些数据对应的点.学生作图,作完图象后,观察图象上点的整体分布后回答:应用二次函数模拟.师:为什么选用二次函数呢?生:因为这些点的分布近似在一条抛物线上.师:你能求出这条抛物线的表达式吗?生:能.教师找一生回答:你是怎样求的?生:设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c,在已知数据中,任选三组,如取(0,0),(10,0.3),(20,1.0),分别代入所设函数关系式,得到一个三元一次方程组,然后解这个三元一次方程组求出a、b、c的值,从而得到表达式.师:很好!现在请同学们写出得到的方程组并求解.学生得到方程组:解方程组,得∴表达式为y=0.002x2+0.01x(x≥0).师:你怎样算出这起交通事故发生时车速是多少呢?生:把y=46.5 m代入函数关系式,得到一个关于x的一元一次方程,解这个方程得出x的值,即车速.即46.5=0.02x2+0.01x,解方程,得x1=150(km/h),x2=-155(km/h)(舍去).故车速为150 km/h.师:你怎样知道这辆车有没有超速呢?生:当得到的速度大于限速时就超速,否则不超速.因为150 km/h>110 km/h,所以在事故发生时,该汽车属于超速行驶.师:对.三、练习新知教师多媒体课件出示:1.周长为12的矩形窗户,当面积最大时,其边长为( )A.3B.6C.2D.【答案】A2.从地面垂直向上抛出一个小球,小球的高度h(m)与小球的运动时间t(秒)的函数关系式是h=9.8t-4.9t2,那么小球在运动中的最大高度为 m.【答案】4.93.一跳水运动员从10 m的高台上跳下,他的高度h(m)与所用时间t(s)的关系为y=-5(t-2)(t+1).请你帮助该运动员计算一下,他起跳后多长时间达到最大高度?最大高度是多少?【答案】h=-5(t-2)(t+1)=-5(t2-t-2)=-5(t-)2+.∵a=-5<0,∴抛物线开口向下.当t=时,h最大=.四、课堂小结师:今天你又学习了什么内容?有什么收获?学生回答.师:你还有什么疑问?学生提问,教师解答.教学反思本节课的教学目标:继续经历利用二次函数知识解决最值问题;会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关距离、建立函数模型等问题;发展应用数学知识解决问题的能力,体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值.建立函数模型时采用最简便的法则,即一般把图象的顶点放在坐标系的原点,这样就可以设表达式为y=ax2的形式了,只需求出一个未知量a即可.有的情况下要设顶点式和交点式.在求出表达式后的问题一般是给出一点的x值求y值或给出一点的y值求x值.在解题过程中要注意利用二次函数图象的对称性.。
第3课时 利用二次函数表达式解决抛物线形运动问题课件+2024-2025学年沪科版数学九年级上册
所以抛物线对应的函数表达式为y=-112(x-2)2+3.
当x=0时,y=-112×4+3=83>2.44,
所以球不能射进球门.
探 (2)设小明带球向正后方移动n m,则移动后的抛物线对应的函数
究
与 应
表达式为y=-112(x-2-n)2+3.
用 把(0,2.25)代入,得2.25=-112(0-2-n)2+3,
检 测
出的曲线是抛物线y=-2x2+8x的一部分.将抛物线对应的函
数表达式配方成顶点式为 y=-2(x-2)2+8 .由于抛物线开口
向下,故当与出水点的水平距离为 2 m时,喷出的水达到
最大高度,是 8 m.
课 2.一个网球发射器向空中发射网球,网球飞行的路线是一条
堂
小 抛物线,如果网球距离地面的高度h(米)关于飞行时间t(秒)的
解方程,得t1≈0.3(s),t2≈1.7(s). 排球在上升和下落中,各有一次经过2.5 m高度,但第一次经过时
离排球被垫起仅有0.3 s,要打快攻,选择此时扣球,可令对方措手
不及,易获成功.
答:该运动员应在排球被垫起后0.3 s时扣球最佳.
探 究
变式 (2023温州)一次足球训练中,小明从球门正前方8 m的A
谢 谢 观 看！
应
用 快攻,问该运动员在排球被垫起后多长时间扣球最佳?(精确
到0.1 s)
探 究
解:(1)根据题意,得h=10t-12×10t2=-5(t-1)2+5(t≥0).
与 因为抛物线开口向下,顶点坐标为(1,5).
应 用
答:排球上升的最大高度是5 m.
(2)当h=2.5 m时,得10t-5t2=2.5.
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时，火箭到达它的最高点，最高点的高度是__________m.
☆ 合作探究 ☆
1、如图，某学生推铅球，铅球出手（点 A 处）的高度是 5 m，出手
3
后的铅球沿一段抛物线运行，当运行到最高 y 3 m 时，水平距离
4m．
（1）试求铅球运行高度 y 与水平距离 x 之间的函数关系式；
（2）铅球落地点为 C，求此次铅球被推出的距离 OC．
建立二次函数模型
求出函数解析式
解
决问题
☆ 达标检测 ☆
1、某桥的拱桥是抛物线形，建立如图 1 所示的坐标系，其函数解析
式为 y 1 x2 ，当水位在 AB 位置时，水面宽 AB 为 30m，这时水面 25
离桥顶的高度 h 是（ ）
A．5m
B．6m
C．8m
Байду номын сангаас
D．9m
2、小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线 y 1 x2 3.5 的一 5
☆ 预习导航 ☆
链接：
y
（1）一抛物线如右图所示，则它的解析式为
_________
____________；当 x=1 时，y=___________.
（2）顶点为（－3，4）且过点（2，－1）的抛
物线的解析式为
___．
-1 O -3
3x
（3）当一枚火箭竖直向上发射后，它的高度 h(m)
与
时间 t(s)的关系可用公式 h=-5t2+150t+10 来表示，则当1 t=_____s
21.4 求“抛物线”形最值问题
教学思路 学习目标：通过建立数学模型，用二次函数的知识解决有关实际问
（纠错栏）
题．
学习重点：根据具体的情境建立适当的平面直角坐标系，将有关线
段的长度转化为坐标系中点的坐标,求出函数的解析式，从而解决实
际问题。
预设难点：建立适当的平面直角坐标系，并用简便的方法求出二次
函数解析式。
部分（如图 2），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离 l 是（ ）
A．3.5m
B．4m
C．4.5m
D．4.6m
3.05
h
2.5 l
图1
图2
3、一抛物线形桥的拱肋 ACB 视为抛物线的一部分，桥面(视为水平 的)与拱肋用垂直于桥面的系杆连接，相邻系杆之间的间距均为 5 米 (不考虑系杆的粗细)，拱肋的跨度 AB 为 280 米，距离拱肋的右端 70 米处的系杆 EF 的长度为 42 米．以 AB 所在直线为 x 轴，抛物线的对 称轴为 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．
2
（1）求抛物线的解析式； （2）正中间系杆 OC 的长度是多少米？是否存在一根系杆的长度恰 好是 OC 长度的一半？请说明理由．
y
C E
x
A
O
F
B
3
2、某单行隧道横断面由抛物线与矩形 ABCD 的三边组成，尺寸如图 所示． （1）建立适当的平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数关系式；
1
教学思路 （2）某卡车空车时能通过此隧道，现装载一集装箱箱宽 3m，车与箱 （纠错栏） 共高 4.5m，此车能否通过隧道？并说
明理由．
A
D
B
C
☆ 归纳反思 ☆
实际问题