【安徽省池州市】2017届4月份高考模拟数学(理科)试卷
(全优试卷)安徽省池州市高三4月联考数学(理)试题 Word版含答案
池州市普通高中2016-2017学年第二学期高三年级教学质量检测卷 理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|316,}xA x x N =<∈，2{|540}B x x x =-+<，则()R A C B 的真子集个数为（ ）A ．1B ．3C ．4D ．72．设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若2()z z z i =+，则z =（ ） A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i + D ．1i - 3．若61(2)x x+展开式的常数项为（ ）A ．120B ．160C ．200D ． 2404．若101()2a =，121()5b -=，15log 10c =，则,,a b c 大小关系为（ ）A ． a b c >>B ．a c b >>C ． c b a >>D ．b a c >> 5．如图，网格线上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．93+．97+． 105+．109+6．“欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前300年前，上面的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”，执行该程序框图（图中“aMODb ”表示a 除以b的余数），若输入的,a b 分别为675,125，则输出的a =（ ）A ． 0B ． 25C ． 50D ．757．将函数2()2sin cos f x x x x =--(0)t t >个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则t 的最小值为（ ） A ．23π B ．3π C ． 2π D ．6π 8．某学校有2500名学生，其中高一1000人，高二900人，高三600人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取100人，从高一和高二抽取样本数分别为,a b ，且直线80ax by ++=与以(1,1)A -为圆心的圆交于,B C 两点，且120BAC ∠=，则圆C 的方程为（ ）A ．22(1)(1)1x y -++= B ．22(1)(1)2x y -++= C ． 2218(1)(1)17x y -++=D ．2212(1)(1)15x y -++= 9．已知,x y 满足约束条件204230x y ax y x y --≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，目标函数23z x y =-的最大值是2，则实数a =（ ） A ．12 B ．1 C ． 32D ．410．已知正三棱锥A BCD -的外接球半径R =，,P Q 分别是,AB BC 上的点，且满足5AP CQPB QB==，DP PQ ⊥，则该正三棱锥的高为（ ） A ．3 B．3C ．．11．已知抛物线21:8(0)C y ax a =>，直线l 倾斜角是45且过抛物线1C 的焦点，直线l 被抛物线1C 截得的线段长是16，双曲线2C ：22221x y a b-=的一个焦点在抛物线1C 的准线上，则直线l 与y 轴的交点P 到双曲线2C 的一条渐近线的距离是（ ） A ．2 BC ．D ．112．已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为'()f x ，则命题:P “12,x x R ∀∈，且12x x ≠，1212()()||2017f x f x x x -<-”是命题Q ：“x R ∀∈，'|()|2017f x <”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ． 充要条件D ．既不充分也必要条件第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量(1,)a m =-，(0,1)b =，若向量a 与b 的夹角为3π，则实数m 的值为 ． 14．已知1sin()33πα-=(0)2πα<<，则sin()6πα+= ． 15．在区间[0,1]上随机地取两个数,x y ，则事件“5y x ≤”发生的概率为 ． 16．已知在平面四边形ABCD中，AB =，2BC =，AC CD ⊥，AC CD =，则四边形ABCD 面积的最大值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17． 已知各项均不相等的等差数列{}n a 满足11a =，且125,,a a a 成等比数列．（1）求{}n a 的通项公式； （2）若*11(1)()nn n n n n a a b n N a a +++=-∈，求数列{}n b 的前n 项和n S ．18． 某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败（满分为100分）． （1）求图中a 的值；（2）根据已知条件完成下面22⨯列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？（参考公式：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为X ，求X 的分布列与数学期望()E X ．19． 如图1，四边形ABCD 中，AC BD ⊥，2222CE AE BE DE ====，将四边形ABCD 沿着BD 折叠，得到图2所示的三棱锥A BCD -，其中AB CD ⊥．（1）证明：平面ACD ⊥平面BAD ；（2）若F 为CD 中点，求二面角C AB F --的余弦值．20． 设点M 到坐标原点的距离和它到直线:(0)l x m m =->的距离之比是一个常数2． （1）求点M 的轨迹；（2）若1m =时得到的曲线是C ，将曲线C 向左平移一个单位长度后得到曲线E ，过点(2,0)P -的直线1l 与曲线E 交于不同的两点1122(,),(,)A x y B x y ，过(1,0)F 的直线,AF BF分别交曲线E 于点,D Q ，设A F F D α=，BF FQ β=，,R αβ∈，求αβ+的取值范围． 21． 设函数()ln(1)(2)f x x x a x =---．（1）若2017a =，求曲线()f x 在2x =处的切线方程； （2）若当2x ≥时，()0f x ≥，求α的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程是x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 是参数），圆C 的极坐标方程为4cos()4πρθ=+．（1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()|2|f x x a a =-+．（1）若不等式()6f x ≤的解集为{|23}x x -≤≤，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n 使()()f n m f n ≤--成立，求实数m 的取值范围．试卷答案1.B 【解析】因为{}316,xA x x =<∈N {}0,1,2=，{}2540B x x x =-+<={}14x x <<，故{}14B x x x =≤≥R 或ð，故(){}0,1A B =R I ð，故()R A B I ð的真子集个数为3，故选B.2.C 【解析】设z a bi =+，(,)a b R ∈，则z a b i =-，又()2z z z i ⋅=+，()()22221a b a b i ∴+=+-+，1,1,a b ∴==故1z i =+.故选C.3.B 【解析】61(2)x x+，展开式中的第1r +项为6261661()(2)2r r r r r r r T C x C x x--+=⋅⋅=⋅⋅， 令260r -=可得3r =，故展开式中的常数项为160．4.D 【解析】100110()()122<<=，即01a <<，同理1b >，而0c <，因此b a c >>．5. C 【解析】该几何体由一个三棱柱和一个正方体拼接而成，故所求几何体的表面积为334446105S =⨯+⨯⨯⨯=+ C.6. B 【解析】开始a =675, b =125;第一次循环：c =50, a =125, b =75;第二次循环：c =50,a =75,b =50;第三次循环：c =25, a =50, b =25; 第四次循环：c =0, a =25, b =0.退出循环，输出a =25.7. D 【解析】 ()2sin 22cos(2)6f x x x x π=-=+图象向左平移(0)t t >个单位得到()2cos(22)6f x x t π=++为奇函数，所以2t 最小值3π,6t π=.选D.8.C 【解析】由分层抽样方法知抽样比例为25:1，故从高一、高三抽取40,24，故a=40,b=24,∴直线80ax by ++=为402480x y ++=，化简为5310x y ++=，圆心(1,1)A -到直线l 的距离为d ，所求的半径为R =，所求的圆的方程为2218(1)(1)17x y -++=.9.A 【解析】不等式组20230x y x y --⎧⎨-+⎩≤≥表示的平面区域如图中直线230x y -+=与直线20x y --=所夹的点A 的左边部分，由于目标函数23z x y =-的最大值是2，作出直线232x y -=见图中虚线，可知点C 是直线20x y --=与232x y -=的交点，从而知点C 是不等式组204230x y ax y x y --⎧⎪+⎨⎪-+⎩≤≥≥表示的平面区域的最下方的一个点，直线4ax y +=过定点(0,4)B 又过点(4,2)C ，所以得12a =.10.A 【解析】易知正三棱锥A BCD -中对棱互相垂直，则有AC BD ⊥，因为5A P C QP B Q B==，所以//PQ AC ，而D P P Q ⊥，所以DP AC ⊥，所以AC ⊥平面ABD ，又因为该三棱锥是正三棱锥，所以正三棱锥A BCD -的三条侧棱相等且互相垂直，将正三棱锥A BCD -补成一个正方体，则正方体的体对角线就是其外接球直径，故2R =. 11．D 【解析】由题意得直线l 的方程是2y x a =-，由228y x a y ax=-⎧⎪⎨=⎪⎩得221240x ax a -+=，又由直线l 被抛物线1C 截得的线段长是16，得812162aa +=，得1a =，从而知抛物线1C 的准线方程是2x =-，由题意可以得双曲线的一个焦点是(2,0)-，即有2c =，222413b c a =-=-=，∴双曲线2C的渐近线方程是y =.又知点(0,2)P -，从而有1d ==，故选D. 12.B 【解析】因为12,x x R ∀∈，且12x x ≠，所以不妨设12x x <，则由1212()()||2017f x f x x x -<-可得1221|()()|20172017f x f x x x -<-，于是12211212()()20172017()()20172017f x f x x x f x f x x x -<-⎧⎨->-⎩，即11221122()2017()2017()2017()2017f x x f x x f x x f x x +<+⎧⎨->-⎩.构造函数()()2017g x f x x =+，则由单调性的定义可知()g x 在R 上单调递增，所以()()2017g x f x ''=+≥在R 上恒成立，即()2017f x '≥-在R 上恒成立，同理可证()2017f x '≤在R 上恒成立，所以P 等价于“x R ∀∈|()|2017f x '≤”，显然Q 是P 的真子集，所以P 推不出Q ，而Q 可以推出P ，所以P 是Q 的必要不充分条件.由cos ,||||⋅<>=a b a b a b ，得1c o s 32π=，从而解得mm =.14.3【解析】因为1cos()cos[()]sin()62333ππππααα+=--=-=，且α为锐角，所以sin()63πα+==. 15.16【解析】在区间[]0,1上随机地取两个数x 、y 构成的区域的面积为1，事件“5y x ≤”发生构成的区域的面积为15610011|66x dx x ==⎰，所以所求概率为16．16.3+【解析】设,(0,)ABC θθπ∠=∈，则在ABC ∆中，由余弦定理可得2222cos 6AC AB BC AB BC θθ=+-⋅=-，从而四边形ABCD 的面积1(s i n )2ABC A CD S S S A B B C A C C D θ∆∆=+=⋅⋅+⋅，化简得16)2S θθ=+-32cos )θθ=-3)θϕ=-，其中t a n 2ϕ=，当sin()1θϕ-=时，S取得最大值3+17.【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得2215a a a =，即2(1)14d d +=+，解得2d =或0d =（舍），所以21n a n =-. （Ⅱ）由21n a n =-，可得11411(1)(1)(1)()(21)(21)2121nn n n n n n n a a n b a a n n n n +++=-=-=-+-+-+，当n 为偶数时，111111112(1)()()()13355721212121n nS n n n n =--+++--+++=-+=--+++. 当n 为奇数时，1n +为偶数，于是1111111122(1)()()()13355721212121n n S n n n n +=--+++--+-+=--=--+++. 18.【解析】 (Ⅰ)由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知(20.0200.0300.040)101a +++⨯=，故0.005a =.(Ⅱ)由频率分布直方图知，晋级成功的频率为0.200.050.25+=， 故晋级成功的人数为1000.2525⨯=（人）， 故填表如下根据上表数据代入公式可得22100(1641349) 2.613 2.0722*******K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关．（III ）由频率分布直方图知晋级失败的频率为10.250.75-=，将频率视为概率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，这人晋级失败的概率为0.75， 故X 可视为服从二项分布，即3(4,)4X B :，4431()()()(0,1,2,3)44kk k P X k C k -===，故0044311(0)()()44256P X C ===，1134313(1)()()4464P X C === ， 22243154(2)()()44256P X C === ，331431108(3)()()44256P X C ===， 44043181(4)()()44256P X C ===，()434E X =⨯= 或（()01234325664256256256E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 19.【解析】（Ⅰ）因为AE BD ⊥且BE DE =，可得ABD ∆为等腰直角三角形， 则AB AD ⊥，又AB CD ⊥，且AD CD ⊂、平面ACD ，AD CD D =，故AB ⊥平面ACD ，又AB ⊂平面BAD ，所以平面ACD ⊥平面BAD .（Ⅱ）以E 为原点，以EC 的方向为x 轴正方向，ED 的方向为y 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.过A 点作平面BCD 的垂线，垂足为G ，根据对称性，显然G 点在x 轴上，设AG h =.由题设条件可得下列坐标：(0,0,0)E ，(2,0,0)C ，(0,1,0)B -，(0,1,0)D，)A h ，1(1,,0)2F .(1)BA h =，(2,1,0)DC =-，由于A B C D ⊥，所以210B A D C h⋅=-=，解得h =，则A 点坐标为1(2A . 由于1(2BA =，3(1,,0)2BF =，设平面ABF 的法向量(,,)u a b c =，由0u BA ⋅=及0u BF ⋅=得10,230,2a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 令9a =，由此可得(9,u =-.由于AD AB ⊥，AD AC ⊥，则2(1,DA =-为平面ABC 的一个法向量，则·(2)cos ,21202u DA u DA u DA===因为二面角C AB F --为锐角， 则二面角C AB F --20.【解析】（Ⅰ）过点M 作MH l ⊥，H 为垂足， 设点M 的坐标为(,)x y ，则|||||OM MH x m ==+，又||||OM MH =||2x m +， 故点M 的轨迹方程为22211022x y mx m +--=. 可化为2222()12x m y m m-+=，显然点M 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆. （Ⅱ）1m =时，得到的曲线C 的方程是22(1)12x y -+=， 故曲线E 的方程是2212x y +=. 设1122(,),(,)A x y B x y ,33(,)D x y ，则1133(1,),(1,)AF x y FD x y =--=-，由AF FD α=，得13y y α-=，即13y y α=-. 当AD 与x 轴不垂直时，直线AD 的方程为11(1)1y y x x =--，即111(1)x y y x y -+=，代入曲线E 的方程并注意到221112x y +=， 整理可得221111(32)2(1)0x y y x y y -+--=， 则2113132y y y x =--，即11332y x y -=-，于是132x α=-. 当AD 与x 轴垂直时，A 点的横坐标为11x =，1α=，显然132x α=-也成立.同理可得232x β=-.设直线1l 的方程为(2)y k x =+，联立22(2)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 消去y 整理得2222(21)8820k x k x k +++-=，由0k ≠及2222(8)4(21)(82)0k k k ∆=-+->，解得2102k <<. 又2122821k x x k +=-+， 则121228323262()14(6,10)21x x x x k αβ+=-+-=-+=-∈+.故求αβ+的取值范围是(6,10).21.【解析】（Ⅰ）当2017a =时，()ln(1)2017(2)f x x x x =---，则()ln(1)20171x f x x x '=-+--，所以(2)220172015f '=-=-， 又(2)000f =-=，所以曲线()f x 在2x =处的切线方程为02015(2)y x -=--.，即201540300x y +-=.（Ⅱ）由()0f x ≥得ln(1)(2)0x x a x ---≥，而2x ≥， 所以(2)ln(1)0a x x x ---≥，设函数(2)()ln(1)(2)a x g x x x x-=--≥， 于是问题 转化为()0g x ≥，对任意的2x ≥恒成立.注意到(2)0g =，所以若()0g x '≥，则()g x 单调递增，从而()(2)0g x g ≥=.而2221(2)2(1)()1(1)ax a x x a x g x x x x x ----'=-=--， 所以()0g x '≥等价于22(1)0x a x --≥， 分离参数得211[(1)2]2(1)21x a x x x ≤=-++--， 由均值不等式可得11[(1)2]221x x -++≥-， 当且仅当2x =时等号成立，于是2a ≤. 当2a >时，设2()2(1)h x x a x =--，因为(2)422(2)0h a a =-=->，又抛物线2()2(1)h x x a x =--开口向上，所以函数2()2(1)h x x a x =--有两个零点，设两个零点为12,x x ，则122x x <<，于是当2(2,)x x ∈时，()0h x <，故()0g x '<，所以()g x 单调递减，故()(2)0g x g <=，这与题设矛盾，不合题意.综上，a 的取值范围是(,2]-∞.22.【解析】（Ⅰ）∵4cos()4πρθθθ=+=-，∴2cos sin ρθθ=-，∴圆C 的直角坐标方程为220x y +-+=，即22((4x y -++=∴圆心的直角坐标为.（Ⅱ）直线l 上的点向圆C 引切线，则切线长为==≥ ∴直线l 上的点向圆C引的切线长的最小值为23.【解析】（Ⅰ）由|2|6x a a -+≤得，|2|6x a a -≤-,∴626a x a a -≤-≤-,即33a x -≤≤,∴32a -=-,∴1a =.（Ⅱ）由（1）知()|21|1f x x =-+,令()()()n f n f n ϕ=+-,则()124,211212124,22124,2n n n n n n n n ϕ⎧-≤-⎪⎪⎪=-+++=-<≤⎨⎪⎪+>⎪⎩，∴()n ϕ的最小值为4， ∴实数m 的取值范围是[4,)+∞.。
安徽省池州市高考数学四模试卷(理科)
安徽省池州市高考数学四模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）全称命题“”的否定是（）A .B .C .D .2. （2分）给出4个命题：①若x2-3x+2=0，则x=1或x=2；②若，则；③若x=y=0，则x2+y2=0；④若， x＋y是奇数，则x，y中一个是奇数，一个是偶数．那么：（）A . ①的逆命题为真B . ②的否命题为真C . ③的逆否命题为假D . ④的逆命题为假3. （2分）已知数列{an}是公比q的等比数列，给出下列六个数列：（1）{kan}(k) (2){a2n-1}(3){an+1-an} (4){anan+1} (5){nan} (6){an3},其中仍能构成等比数列的个数为（）A . 4B . 5C . 6D . 34. （2分） (2018高一下·濮阳期末) 已知，则函数有零点的概率为（）A .B .C .D .5. （2分）(2017·武邑模拟) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A . 36+12πB . 36+16πC . 40+12πD . 40+16π6. （2分）(2017·武邑模拟) 设D为△ABC中BC边上的中点，且O为AD边上靠近点A的三等分点，则（）A .B .C .D .7. （2分）执行如图的程序框图，则输出x的值是（）A . 2016B . 1024C .D . ﹣18. （2分）(2017·武邑模拟) 已知P（x0 ， y0）是椭圆C：上的一点，F1 ， F2是C的两个焦点，若，则x0的取值范围是（）A .B .C .D .9. （2分）(2017·武邑模拟) 在平行四边形ABCD中，，则 |=（）A .B .C .D .10. （2分）(2017·大庆模拟) 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A .B . 27C .D .11. （2分）(2017·武邑模拟) 已知点F2 ， P分别为双曲线的右焦点与右支上的一点，O为坐标原点，若2 |，且，则该双曲线的离心率为（）A .B .C .D .12. （2分）设函数f（x）=x3﹣2ex2+mx﹣lnx，记g（x）= ，若函数g（x）至少存在一个零点，则实数m的取值范围是（）A . （﹣∞，e2+ ]B . （0，e2+ ]C . （e2+ ，+∞]D . （﹣e2﹣，e2+ ]二、填空题 (共4题；共6分)13. （2分）已知z∈C，且|z+3﹣4i|=1，则|z|的最大值为________，最小值为________．14. （1分） (2019高一上·南昌月考) 已知函数，，则的值域为________.15. （2分）(2012·湖南理) 函数f（x）=sin（ωx+φ）的导函数y=f′（x）的部分图象如图所示，其中，P为图象与y轴的交点，A，C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点．（1）若φ= ，点P的坐标为（0，），则ω=________；（2）若在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为________．16. （1分）(2017·武邑模拟) 直线ax+by+c=0与圆O：x2+y2=16相交于两点M、N，若c2=a2+b2 ， P为圆O上任意一点，则的取值范围是________．三、解答题 (共7题；共55分)17. （10分） (2016高一下·内江期末) 已知数列{an}与{bn}，若a1=3且对任意正整数n满足an+1﹣an=2，数列{bn}的前n项和Sn=n2+an ．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）求数列{ }的前n项和Tn ．18. （5分）设a1 ， a2 ，…，an为1，2，…，n按任意顺序做成的一个排列，fk是集合{ai|ai＜ak ， i ＞k}元素的个数，而gk是集合{ai|ai＞ak ， i＜k}元素的个数（k=1，2，…，n），规定fn=g1=0，例如：对于排列3，1，2，f1=2，f2=0，f3=0（I）对于排列4，2，5，1，3，求（II）对于项数为2n﹣1 的一个排列，若要求2n﹣1为该排列的中间项，试求的最大值，并写出相应得一个排列（Ⅲ）证明=19. （5分）在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AD=AB=DC= BC=1，E是PC的中点，面PAC⊥面ABCD．（Ⅰ）证明：ED∥面PAB；（Ⅱ）若PC=2，PA= ，求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．20. （5分）(2017·武邑模拟) 已知圆F1：（x+1）2+y2=16，定点F2（1，0），A是圆F1上的一动点，线段F2A的垂直平分线交半径F1A于P点．（Ⅰ）求P点的轨迹C的方程；（Ⅱ）四边形EFGH的四个顶点都在曲线C上，且对角线EG，FH过原点O，若kEG•kFH=﹣，求证：四边形EFGH的面积为定值，并求出此定值．21. （10分）(2017·武邑模拟) 已知函数f（x）=x﹣ax（a＞0，且a≠1）．（1）当a=e，x取一切非负实数时，若，求b的范围；（2）若函数f（x）存在极大值g（a），求g（a）的最小值．22. （10分）(2017·武邑模拟) 将圆为参数）上的每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍，得到曲线C．（1）求出C的普通方程；（2）设直线l：x+2y﹣2=0与C的交点为P1 ， P2 ，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．23. （10分）(2017·武邑模拟) 已知函数f（x）=|x|+|x﹣3|．（1）解关于x的不等式f（x）﹣5≥x；（2）设m，n∈{y|y=f（x）}，试比较mn+4与2（m+n）的大小．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共6分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共55分) 17-1、17-2、18-1、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
2017届安徽省普通高中高考模拟卷(六)数学(理科)试卷
2017届安徽省普通高中高考模拟卷（六）数学（理科）试卷本试卷分第一部分（必考部分）和第二部分（选考部分）两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
必考部分（共140分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{}R 12,1,0,1,2,|02x A B x x -⎧⎫=--=≥⎨⎬+⎩⎭ð，则A B = （ ） A ．{}1,0,1- B ．{}1,0- C ．{}2,1,0-- D ．{}0,1,2 2. 在复平面内，复数ii+1的对应点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.阅读程序框图，当输入x 的值为2时，运行相应程序，则输出x 的值为（ ）A ．5B ．11C ．23D ． 47 4.下列命题中真命题的个数是（ ） ①若q p ∧是假命题，则,p q 都是假命题；②命题“01,23≤+-∈∀x x R x ”的否定是“32000,10x R x x ∃∈-+>”； ③若,11:,1:<≤xq x p 则p ⌝是q 的充分不必要条件. A ．0B ．1C ．2D ．35. 已知数列{}n a 为等差数列，且满足1590a a +=.若(1)mx -展开式中2x 项的系数等于数列{}n a 的第三项，则m 的值为（ ）A ．6B ．8C ．9D ．106.设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c .若sin 2sinB A =，4,3c C π==，则ABC ∆的面积为（ ）A ．83B ．163C ．D ．7.若291(4)()x x x-+的展开式中3x 的系数为（ ） A ．36 B ．-144 C.60 D ．-608.过圆锥顶点的平面截去圆锥一部分，所得几何体的三视图如图所示，则原圆推的体积为（ ）A ．1B ．23π C. 43π D ．83π 9.已知2220182018201720172ln ,2ln ,2017201720162016a b ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2201620162ln 20152015c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>10．已知函数f （x ）=2sin （ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象上相邻两个最高点的距离为π．若将函数f （x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于y 轴对称．则函数f （x ）的解析式为（ ） A ．f （x ）=2sin （x+） B ．f （x ）=2sin （x+）C ．f （x ）=2sin （2x+） D ．f （x ）=2sin （2x+）11．点A ，B ，C ，D 在同一个球的球面上，，∠ABC=90°，若四面体ABCD 体积的最大值为3，则这个球的表面积为（ ）A ．2πB ．4πC ． 8πD ．16π12．已知函数()1,0,,0,x e m x f x ax b x ⎧+-≥=⎨+<⎩其中1m <-，对于任意1x R ∈且10x ≠，均存在唯一实数2x ，使得()()21f x f x =，且12x x ≠，若()()f x f m =有4个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ）二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13. 已知向量,a b 满足()4,3,3a b =-=- ，若向量,a b 的夹角为23π，则 23a b += __________.14. 已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与椭圆()22222:10y x C a b a b+=>>相交于,,,A B C D 四点，若椭圆1C的一个焦点为()F ，且四边形ABCD 的面积为163，则椭圆1C 的离心率为 __________. 15. 已知实数,x y 满足240300x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，若66ax y +≥-恒成立，则实数的取值范围为_________.16. 向如图所示的边长为2的正方形区域内任投一点，则该点落入阴影部分的概率为.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每件一等品都能通过检测，每件二等品通过检测的概率为12．现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品． （Ⅰ）随机选取3件产品，设至少有一件通过检测为事件A ，求事件A 的概率； （Ⅱ）随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X ，求X 的分布列及数学期望EX .18．（本小题满分12分）如图，已知菱形ABCD 与直角梯形ABEF 所在的平面互相垂直，其中BE AF ∥ ，AB AF ⊥，122AB BE AF ===，3CBA π∠=，P 为DF 的中点. （Ⅰ）求证：PE ∥平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角D EF A －－的余弦值；（Ⅲ）设G 为线段AD 上一点，AG AD λ=， 若直线FG 与平面ABEF 求AG 的长.19. （本小题满分12分）如图，将数字1，2，3，…，2n（n≥3）全部填入一个2行n列的表格中，每格填一个数字。
安徽省池州市2017届高三4月联考数学(理)试题(图片版)(附答案)$773681
理科数学1.B 【解析】因为{}316,xA x x =<∈N {}0,1,2=，{}2540B x x x =-+<={}14x x <<，故{}14B x x x =≤≥R或ð，故(){}0,1A B =R I ð，故()R A B I ð的真子集个数为3，故选B.2.C 【解析】设z a bi =+，(,)a b R ∈，则z a b i =-，又()2z z z i ⋅=+，()()22221a ba b i ∴+=+-+，1,1,a b ∴==故1z i =+.故选C.3.B 【解析】61(2)x x+，展开式中的第1r +项为6261661()(2)2r r r r r r r T C x C x x--+=⋅⋅=⋅⋅， 令260r -=可得3r =，故展开式中的常数项为160．4.D 【解析】100110()()122<<=，即01a <<，同理1b >，而0c <，因此b a c >>．5. C 【解析】该几何体由一个三棱柱和一个正方体拼接而成，故所求几何体的表面积为334446105S =⨯+⨯⨯⨯=+ C.6. B 【解析】开始a =675, b =125;第一次循环：c =50, a =125, b =75;第二次循环：c=50,a =75,b =50;第三次循环：c =25, a =50, b =25; 第四次循环：c =0, a =25, b =0.退出循环，输出a =25.7. D 【解析】 ()2sin 22cos(2)6f x x x x π-=+图象向左平移(0)t t >个单位得到()2cos(22)6f x x t π=++为奇函数，所以2t 最小值3π,6t π=.选D.8.C 【解析】由分层抽样方法知抽样比例为25:1，故从高一、高三抽取40,24，故a=40,b=24,∴直线80ax by ++=为402480x y ++=，化简为5310x y ++=，圆心(1,1)A -到直线l 的距离为d ，所求的半径为R =，所求的圆的方程为2218(1)(1)17x y -++=. 9.A 【解析】不等式组20230x y x y --⎧⎨-+⎩≤≥表示的平面区域如图中直线230x y -+=与直线20x y --=所夹的点A 的左边部分，由于目标函数23z x y =-的最大值是2，作出直线232x y -=见图中虚线，可知点C 是直线20x y --=与232x y -=的交点，从而知点C 是不等式组204230x y ax y x y --⎧⎪+⎨⎪-+⎩≤≥≥表示 的平面区域的最下方的一个点，直线4ax y +=过定点(0,4)B 又过点(4,2)C ，所以得12a =.10.A 【解析】易知正三棱锥A BCD -中对棱互相垂直，则有AC BD ⊥，因为5AP CQPB QB==，所以//PQ AC ，而D P P Q ⊥，所以DP AC ⊥，所以AC ⊥平面ABD ，又因为该三棱锥是正三棱锥，所以正三棱锥A BCD -的三条侧棱相等且互相垂直，将正三棱锥A BCD -补成一个正方体，则正方体的体对角线就是其外接球直径，故2R =. 11．D 【解析】由题意得直线l 的方程是2y x a =-，由228y x a y ax=-⎧⎪⎨=⎪⎩得221240x ax a -+=，又由直线l 被抛物线1C 截得的线段长是16，得812162aa +=，得1a =，从而知抛物线1C 的准线方程是 2x =-，由题意可以得双曲线的一个焦点是(2,0)-，即有2c =，222413b c a =-=-=，∴双曲线2C的渐近线方程是y =.又知点(0,2)P -，从而有1d ==，故选D. 12.B 【解析】因为12,x x R ∀∈，且12x x ≠，所以不妨设12x x <，则由1212()()||2017f x f x x x -<-可得1221|()()|20172017f x f x x x -<-，于是12211212()()20172017()()20172017f x f x x x f x f x x x -<-⎧⎨->-⎩，即11221122()2017()2017()2017()2017f x x f x x f x x f x x +<+⎧⎨->-⎩.构造函数()()2017g x f x x =+，则由单调性的定义可知()g x 在R 上单调递增，所以()()2017g x f x ''=+≥在R 上恒成立，即()2017f x '≥-在R 上恒成立，同理可证()2017f x '≤在R 上恒成立，所以P 等价于“x R ∀∈|()|2017f x '≤”，显然Q 是P 的真子集，所以P 推不出Q ，而Q 可以推出P ，所以P 是Q 的必要不充分条件.由cos ,||||⋅<>=a b a b a b ，得1c o s 32π==，从而解得mm =.14.3【解析】因为1cos()cos[()]sin()62333ππππααα+=--=-=，且α为锐角，所以sin()63πα+==. 15. 16 【解析】在区间[]0,1上随机地取两个数x 、y 构成的区域的面积为1，事件“5y x ≤”发生构成的区域的面积为15610011|66x dx x ==⎰，所以所求概率为16．16.3+,(0,)ABC θθπ∠=∈，则在ABC ∆中，由余弦定理可得2222cos 6AC AB BC AB BC θθ=+-⋅=-， 从而四边形ABCD 的面积1(sin )2ABC ACD S S S AB BC AC CD θ∆∆=+=⋅⋅+⋅， 化简得16)2S θθ=+-32cos )θθ=+-3)θϕ=-，其中tan 2ϕ=，当sin()1θϕ-=时，S取得最大值317.【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得2215a a a =，即2(1)14d d +=+，解得2d =或0d =（舍），所以21n a n =-. ………………………………………………4分 （Ⅱ）由21n a n =-，可得11411(1)(1)(1)()(21)(21)2121nn n n n n n n a a n b a a n n n n +++=-=-=-+-+-+，……………6分当n 为偶数时，111111112(1)()()()13355721212121n nS n n n n =--+++--+++=-+=--+++. 当n 为奇数时，1n +为偶数，于是1111111122(1)()()()13355721212121n n S n n n n +=--+++--+-+=--=--+++.……………………………………………………………………………………………12分18.【解析】 (Ⅰ)由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知(20.0200.0300.040)101a +++⨯=，故0.005a =.………………………………3分(Ⅱ)由频率分布直方图知，晋级成功的频率为0.200.050.25+=， 故晋级成功的人数为1000.2525⨯=（人）， 故填表如下根据上表数据代入公式可得22100(1641349) 2.613 2.0722*******K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关． ………………………………7分 （III ）由频率分布直方图知晋级失败的频率为10.250.75-=，将频率视为概率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，这人晋级失败的概率为0.75， 故X 可视为服从二项分布，即3(4,)4X B :，4431()()()(0,1,2,3)44kk k P X k C k -===， ……………………………8分 故0044311(0)()()44256P X C ===，1134313(1)()()4464P X C === ， 22243154(2)()()44256P X C === ，331431108(3)()()44256P X C ===， 44043181(4)()()44256P X C ===， 故X 的分布列为()434E X =⨯= 或（()01234325664256256256E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.……………………………………12分19.【解析】（Ⅰ）因为AE BD ⊥且BE DE =，可得ABD ∆为等腰直角三角形， 则AB AD ⊥，又AB CD ⊥，且AD CD ⊂、平面ACD ，AD CD D =，故AB ⊥平面ACD ，又AB ⊂平面BAD ，所以平面ACD ⊥平面BAD . ………………………………………………………………6分 （Ⅱ）以E 为原点，以EC 的方向为x 轴正方向，ED 的方向为y 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.过A 点作平面BCD 的垂线，垂足为G ，根据对称性，显然G 点在x 轴上，设AG h =.由题设条件可得下列坐标：(0,0,0)E ，(2,0,0)C ，(0,1,0)B -，(0,1,0)D，)A h ， 1(1,,0)2F .(1)BA h =，(2,1,0)DC =-，由于AB CD ⊥，所以2110BA DC⋅==，解得2h =， 则A 点坐标为1(2A .………………………………………………………………8分 由于1(2BA =，3(1,,0)2BF =，设平面ABF 的法向量(,,)u a b c =， 由0u BA ⋅=及0u BF ⋅=得10,230,2a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 令9a =，由此可得(9,u =-.由于AD AB ⊥，AD AC ⊥，则2(1,DA =-为平面ABC 的一个法向量，x则·(2)cos ,21202u DA u DA u DA===因为二面角C AB F --为锐角， 则二面角C AB F --的余弦值为5. (12)分20.【解析】（Ⅰ）过点M 作MH l ⊥，H 为垂足， 设点M 的坐标为(,)x y，则|||||OM MH xm ==+，又||||2OM MH =|x m +， 故点M 的轨迹方程为22211022x y mx m +--=. ……………………………………………3分可化为2222()12x m y m m-+=，显然点M 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆. ………………5分 （Ⅱ）1m =时，得到的曲线C 的方程是22(1)12x y -+=， 故曲线E 的方程是2212x y +=.…………………………………………………………6分设1122(,),(,)A x y B x y ,33(,)D x y ，则1133(1,),(1,)AF x y FD x y =--=-， 由AF FD α=，得13y y α-=，即13y y α=-. …………………………………7分当AD 与x 轴不垂直时，直线AD 的方程为11(1)1y y x x =--，即111(1)x y y x y -+=，代入曲线E 的方程并注意到221112x y +=，整理可得221111(32)2(1)0x y y x y y -+--=，则2113132y y y x =--，即11332y x y -=-，于是132x α=-.当AD 与x 轴垂直时， A 点的横坐标为11x =，1α=，显然132x α=-也成立. 同理可得232x β=-. …………………………………………………………………9分设直线1l 的方程为(2)y k x =+，联立22(2)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 消去y 整理得2222(21)8820k x k x k +++-=，由0k ≠及2222(8)4(21)(82)0k k k ∆=-+->，解得2102k <<. 又2122821k x x k +=-+， 则121228323262()14(6,10)21x x x x k αβ+=-+-=-+=-∈+.故求αβ+的取值范围是(6,10). ……………………………………………………12分21.【解析】（Ⅰ）当2017a =时，()ln(1)2017(2)f x x x x =---， 则()ln(1)20171x f x x x '=-+--，所以(2)220172015f '=-=-， 又(2)000f =-=，所以曲线()f x 在2x =处的切线方程为02015(2)y x -=--.，即201540300x y +-=. ……………………………………………………………4分 （Ⅱ）由()0f x ≥得ln(1)(2)0x x a x ---≥，而2x ≥， 所以(2)ln(1)0a x x x ---≥，设函数(2)()ln(1)(2)a x g x x x x-=--≥， 于是问题 转化为()0g x ≥，对任意的2x ≥恒成立. …………………………………6分 注意到(2)0g =，所以若()0g x '≥，则()g x 单调递增，从而()(2)0g x g ≥=.而2221(2)2(1)()1(1)ax a x x a x g x x x x x----'=-=--， 所以()0g x '≥等价于22(1)0x a x --≥， 分离参数得211[(1)2]2(1)21x a x x x ≤=-++--， 由均值不等式可得11[(1)2]221x x -++≥-， 当且仅当2x =时等号成立，于是2a ≤. ……………………………………………9分 当2a >时，设2()2(1)h x x a x =--，因为(2)422(2)0h a a =-=->，又抛物线2()2(1)h x x a x =--开口向上，所以函数2()2(1)h x x a x =--有两个零点，设两个零点为12,x x ，则122x x <<，于是当2(2,)x x ∈时，()0h x <，故()0g x '<，所以()g x 单调递减，故()(2)0g x g <=，这与题设矛盾，不合题意.综上，a 的取值范围是(,2]-∞. ………………………………………………………12分22.【解析】（Ⅰ）∵4cos()4πρθθθ=+=-，∴2cos sin ρθθ=-，∴圆C的直角坐标方程为220x y +-+=，即22((4x y -++=∴圆心的直角坐标为. ………………………………………………………5分 （Ⅱ）直线l 上的点向圆C 引切线，则切线长为==≥ ∴直线l 上的点向圆C引的切线长的最小值为 …………………………………10分23.【解析】（Ⅰ）由|2|6x a a -+≤得，|2|6x a a -≤-,……………………………1分 ∴626a x a a -≤-≤-,即33a x -≤≤,∴32a -=-,∴1a =. ……………………5分 （Ⅱ）由（1）知()|21|1f x x =-+,令()()()n f n f n ϕ=+-, ………………………7分则()124,211212124,22124,2n n n n n n n n ϕ⎧-≤-⎪⎪⎪=-+++=-<≤⎨⎪⎪+>⎪⎩，∴()n ϕ的最小值为4，……………9分 ∴实数m 的取值范围是[4,)+∞. …………………………………………………………10分。
安徽省池州市2017届高三4月联考数学(理)试题
理科数学1.B 【解析】因为{}316,xA x x =<∈N {}0,1,2=，{}2540B x x x =-+<={}14x x <<，故{}14B x x x =≤≥R或ð，故(){}0,1A B =R I ð，故()R A B I ð的真子集个数为3，故选B.2.C 【解析】设z a bi =+，(,)a b R ∈，则z a b i =-，又()2z z z i ⋅=+，()()22221a b a b i ∴+=+-+，1,1,a b ∴==故1z i =+.故选C.3.B 【解析】61(2)x x+，展开式中的第1r +项为6261661()(2)2r r r r r r r T C x C x x--+=⋅⋅=⋅⋅，令260r -=可得3r =，故展开式中的常数项为160．4.D 【解析】100110()()122<<=，即01a <<，同理1b >，而0c <，因此b a c >>．5. C 【解析】该几何体由一个三棱柱和一个正方体拼接而成，故所求几何体的表面积为334446105S =⨯+⨯⨯⨯=+ C.6. B 【解析】开始a =675, b =125;第一次循环：c =50, a =125, b =75;第二次循环：c =50, a =75,b =50;第三次循环：c =25, a =50, b =25; 第四次循环：c =0, a =25, b =0.退出循环，输出a =25.7. D 【解析】 ()2sin 22cos(2)6f x x x x π=-=+图象向左平移(0)t t >个单位得到()2cos(22)6f x x t π=++为奇函数，所以2t 最小值3π,6t π=.选D.8.C 【解析】由分层抽样方法知抽样比例为25:1，故从高一、高三抽取40,24，故a=40,b=24,∴直线80ax by ++=为402480x y ++=，化简为5310x y ++=，圆心(1,1)A -到直线l 的距离为d =，所求的半径为R ，所求的圆的方程为2218(1)(1)17x y -++=.9.A 【解析】不等式组20230x y x y --⎧⎨-+⎩≤≥表示的平面区域如图中直线230x y -+=与直线20x y --=所夹的点A 的左边部分，由于目标函数23z x y =-的最大值是2，作出直线232x y -=见图中虚线，可知点C 是直线20x y --=与232x y -=的交点，从而知点C 是不等式组204230x y ax y x y --⎧⎪+⎨⎪-+⎩≤≥≥表示 的平面区域的最下方的一个点，直线4ax y +=过定点(0,4)B 又过点(4,2)C ，所以得12a =.10.A 【解析】易知正三棱锥A BCD -中对棱互相垂直，则有AC BD ⊥，因为5AP CQPB QB==，所以//PQ AC ，而D P P Q ⊥，所以DP AC ⊥，所以AC ⊥平面ABD ，又因为该三棱锥是正三棱锥，所以正三棱锥A BCD -的三条侧棱相等且互相垂直，将正三棱锥A BCD -补成一个正方体，则正方体的体对角线就是其外接球直径，故2R =. 11．D 【解析】由题意得直线l 的方程是2y x a =-，由228y x a y ax=-⎧⎪⎨=⎪⎩得221240x ax a -+=，又由直线l 被抛物线1C 截得的线段长是16，得812162aa +=，得1a =，从而知抛物线1C 的准线方程是 2x =-，由题意可以得双曲线的一个焦点是(2,0)-，即有2c =，222413b c a =-=-=，∴双曲线 2C的渐近线方程是y =.又知点(0,2)P -，从而有1d =，故选D. 12.B 【解析】因为12,x x R ∀∈，且12x x ≠，所以不妨设12x x <，则由1212()()||2017f x f x x x -<-可得1221|()()|20172017f x f x x x -<-，于是12211212()()20172017()()20172017f x f x x x f x f x x x -<-⎧⎨->-⎩，即11221122()2017()2017()2017()2017f x x f x x f x x f x x +<+⎧⎨->-⎩.构造函数()()2017g x f x x =+，则由单调性的定义可知()g x 在R 上单调递增，所以()()2017g x f x ''=+≥在R 上恒成立，即()2017f x '≥-在R 上恒成立，同理可证()2017f x '≤在R 上恒成立，所以P 等价于“x R ∀∈|()|2017f x '≤”，显然Q 是P 的真子集，所以P 推不出Q ，而Q 可以推出P ，所以P 是Q 的必要不充分条件.由cos ,||||⋅<>=a b a b a b ，得1c o s 32π=，从而解得mm =.14.3【解析】因为1cos()cos[()]sin()62333ππππααα+=--=-=，且α为锐角，所以sin()63πα+==. 15.16【解析】在区间[]0,1上随机地取两个数x 、y 构成的区域的面积为1，事件“5y x ≤”发生构成的区域的面积为15610011|66x dx x ==⎰，所以所求概率为16．16.3,(0,)ABC θθπ∠=∈，则在ABC ∆中，由余弦定理可得2222cos 6AC AB BC AB BC θθ=+-⋅=-， 从而四边形ABCD 的面积1(sin )2ABC ACD S S S AB BC AC CD θ∆∆=+=⋅⋅+⋅， 化简得16)2S θθ=+-32cos )θθ=-3)θϕ=-， 其中tan 2ϕ=，当sin()1θϕ-=时，S取得最大值317.【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得2215a a a =，即2(1)14d d +=+，解得2d =或0d =（舍），所以21n a n =-. ………………………………………………4分 （Ⅱ）由21n a n =-，可得11411(1)(1)(1)()(21)(21)2121nn n n n n n n a a n b a a n n n n +++=-=-=-+-+-+，……………6分当n 为偶数时，111111112(1)()()()13355721212121n nS n n n n =--+++--+++=-+=--+++ .当n 为奇数时，1n +为偶数，于是1111111122(1)()()()13355721212121n n S n n n n +=--+++--+-+=--=--+++ .……………………………………………………………………………………………12分18.【解析】 (Ⅰ)由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知(20.0200.0300.040)101a +++⨯=，故0.005a =.………………………………3分(Ⅱ)由频率分布直方图知，晋级成功的频率为0.200.050.25+=， 故晋级成功的人数为1000.2525⨯=（人）， 故填表如下根据上表数据代入公式可得22100(1641349) 2.613 2.0722*******K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关． ………………………………7分 （III ）由频率分布直方图知晋级失败的频率为10.250.75-=，将频率视为概率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，这人晋级失败的概率为0.75， 故X 可视为服从二项分布，即3(4,)4X B :，4431()()()(0,1,2,3)44k k kP X k C k -===， ……………………………8分故0044311(0)()()44256P X C ===，1134313(1)()()4464P X C === ， 22243154(2)()()44256P X C === ，331431108(3)()()44256P X C === ，44043181(4)()()44256P X C === ，X()434E X =⨯= 或（()01234325664256256256E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.……………………………………12分19.【解析】（Ⅰ）因为AE BD ⊥且BE DE =，可得ABD ∆为等腰直角三角形，则AB AD ⊥，又AB CD ⊥，且AD CD ⊂、平面ACD ，AD CD D = ， 故AB ⊥平面ACD ，又AB ⊂平面BAD ，所以平面ACD ⊥平面BAD . ………………………………………………………………6分（Ⅱ）以E 为原点，以EC 的方向为x 轴正方向，ED的方向为y 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.过A 点作平面BCD 的垂线，垂足为G ，根据对称性，显然G 点在x 轴上，设AG h =.由题设条件可得下列坐标：(0,0,0)E ，(2,0,0)C ，(0,1,0)B -，(0,1,0)D，)A h ， 1(1,,0)2F.)BA h = ，(2,1,0)DC =- ，由于AB CD ⊥，所以10BA DC ⋅==，解得h =则A点坐标为1(,0,22A . ………………………………………………………………8分由于1(2BA = ，3(1,,0)2BF = ，设平面ABF 的法向量(,,)u a b c = ， 由0u BA ⋅= 及0u BF ⋅=得10,230,2a b a b ⎧++=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩令9a =，由此可得(9,u =-.由于AD AB ⊥，AD AC ⊥，则2(1,DA =-为平面ABC 的一个法向量，则·(2)cos ,22u DA u DA u DA===， 因为二面角C AB F --为锐角， 则二面角C AB F --……………………………………………12分20.【解析】（Ⅰ）过点M 作MH l ⊥，H 为垂足，x设点M 的坐标为(,)x y，则|||||OM MH x m ==+，又|||OM MH =|x m =+， 故点M 的轨迹方程为22211022x y mx m +--=. ……………………………………………3分 可化为2222()12x m y m m-+=，显然点M 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆. ………………5分 （Ⅱ）1m =时，得到的曲线C 的方程是22(1)12x y -+=， 故曲线E 的方程是2212xy +=.…………………………………………………………6分设1122(,),(,)A x y B x y ,33(,)D x y ，则1133(1,),(1,)AF x y FD x y =--=-， 由AF FD α=，得13y y α-=，即13y y α=-. …………………………………7分当AD 与x 轴不垂直时，直线AD 的方程为11(1)1y y x x =--，即111(1)x y y x y -+=，代入曲线E 的方程并注意到221112x y +=，整理可得221111(32)2(1)0x y y x y y -+--=，则2113132y y y x =--，即11332y x y -=-，于是132x α=-.当AD 与x 轴垂直时，A 点的横坐标为11x =，1α=，显然132x α=-也成立. 同理可得232x β=-. …………………………………………………………………9分 设直线1l 的方程为(2)y k x =+，联立22(2)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 消去y 整理得2222(21)8820k x k x k +++-=，由0k ≠及2222(8)4(21)(82)0k k k ∆=-+->，解得2102k <<. 又2122821k x x k +=-+，则121228323262()14(6,10)21x x x x k αβ+=-+-=-+=-∈+.故求αβ+的取值范围是(6,10). ……………………………………………………12分 21.【解析】（Ⅰ）当2017a =时，()ln(1)2017(2)f x x x x =---，则()ln(1)20171x f x x x '=-+--，所以(2)220172015f '=-=-， 又(2)000f =-=，所以曲线()f x 在2x =处的切线方程为02015(2)y x -=--.，即201540300x y +-=. ……………………………………………………………4分 （Ⅱ）由()0f x ≥得ln(1)(2)0x x a x ---≥，而2x ≥， 所以(2)ln(1)0a x x x ---≥，设函数(2)()ln(1)(2)a x g x x x x-=--≥， 于是问题 转化为()0g x ≥，对任意的2x ≥恒成立. …………………………………6分 注意到(2)0g =，所以若()0g x '≥，则()g x 单调递增，从而()(2)0g x g ≥=.而2221(2)2(1)()1(1)ax a x x a x g x x x x x ----'=-=--， 所以()0g x '≥等价于22(1)0x a x --≥， 分离参数得211[(1)2]2(1)21x a x x x ≤=-++--， 由均值不等式可得11[(1)2]221x x -++≥-， 当且仅当2x =时等号成立，于是2a ≤. ……………………………………………9分 当2a >时，设2()2(1)h x x a x =--，因为(2)422(2)0h a a =-=->，又抛物线2()2(1)h x x a x =--开口向上，所以函数2()2(1)h x x a x =--有两个零点，设两个零点为12,x x ，则122x x <<，于是当2(2,)x x ∈时，()0h x <，故()0g x '<，所以()g x 单调递减，故()(2)0g x g <=，这与题设矛盾，不合题意.综上，a 的取值范围是(,2]-∞. ………………………………………………………12分22.【解析】（Ⅰ）∵4cos()4πρθθθ=+=-，∴2cos sin ρθθ=-，∴圆C的直角坐标方程为220x y +-+=，即22((4x y +=∴圆心的直角坐标为. ………………………………………………………5分 （Ⅱ）直线l 上的点向圆C 引切线，则切线长为==， ∴直线l 上的点向圆C引的切线长的最小值为. …………………………………10分23.【解析】（Ⅰ）由|2|6x a a -+≤得，|2|6x a a -≤-, ……………………………1分 ∴626a x a a -≤-≤-,即33a x -≤≤,∴32a -=-,∴1a =. ……………………5分 （Ⅱ）由（1）知()|21|1f x x =-+,令()()()n f n f n ϕ=+-, ………………………7分则()124,211212124,22124,2n n n n n n n n ϕ⎧-≤-⎪⎪⎪=-+++=-<≤⎨⎪⎪+>⎪⎩，∴()n ϕ的最小值为4，……………9分 ∴实数m 的取值范围是[4,)+∞. …………………………………………………………10分。
【安徽省池州】2017届高三4月联考数学年(理科)试题
安徽省池州市2017届高三4月联考数学（理科）试卷解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解析】集合,集合,所以或,真子集有,共3个,选B.2．【解析】设,由有,解得,所以,选C.3．4．【解析】因为,,所以大小关系为.5．6．【解析】当此时否,否,是,输出,选B.7．8．9．【解析】当时,画出可行域如下图三角形ABC边界及内部,目标函数,写成直线的斜截式有,当有最大值时,这条直线的纵截距最小,,所以目标函数在A点取得最大值.联立,求得,符合;当时,画出可行域,红色区域,由于可行域是一个向轴负方向敞开的图形,所以不能取到最大值,不合题意,综上所述, ,选A.10．点睛:本题考查了利用外接球的半径求正三棱锥的高,属于中档题. 本题思路: 由已知条件分别求出的表达式,解出之间的关系,再利用外接球的球心到各顶点距离相等,求出的值,再求出正三棱锥的高.11．【解析】抛物线的焦点为,由弦长计算公式有,所以抛物线的标线方程为,准线方程为 ,故双曲线的一个焦点坐标为,即 ,所以,渐近线方程为,直线 方程为,所以点,点P 到双曲线的一条渐近线的距离为 ,选D.点睛: 本题主要考查了抛物线与双曲线的简单几何性质, 属于中档题. 先由直线过抛物线的焦点,求出弦长,由弦长求出的值,根据双曲线中的关系求出 ,渐近线方程等,由点到直线距离公式求出点P 到双曲线的一条渐近线的距离.12．点睛: 本题主要考查了充分必要条件, 涉及导数的定义与曲线上割线的斜率,属于中档题. 注意当判断命题为假时,可以举出反例.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．【解析】,显然,所以.14．【解析】因为,且,所以,且,所以.15．【解析】由题意画出事件“”所表示的图象,如图阴影部分,阴影部分的面积为,由几何概型概率公式有事件“”的概率为.16．【解析】设,则在中,由余弦定理有,所以四边形面积,所以当时, 四边形面积有最大值.点睛: 本题主要考查解三角形, 属于中档题. 本题思路: 在中中,已知长,想到用余弦定理求出另一边的表达式,把四边形面积写成这两个三角形面积之和,用辅助角公式化为,当时, 四边形面积有最大值.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．【解析】试题分析: (1)设等差数列的公差为,由展开求出公差,再写出数列的通项公式; (2)将化简,分为奇偶,利用裂项相消求出数列的前项和.试题解析:（Ⅰ）设等差数列的公差为，由题意得，即，解得或（舍），所以.（Ⅱ）由，可得，当为偶数时，.当为奇数时，为偶数，于是.18．【解析】试题分析: (1)利用所有矩形的面积和为1,求出;(2)由频率分布直方图求出晋级成功的人数,填表,计算的值,与临界值表中比较,得出结论; (3)求出晋级失败的概率,4人中晋级失败的人数为,则服从二项分布, 再求出分布列和数学期望.试题解析：(Ⅰ)由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知，故.由频率分布直方图知，晋级成功的频率为，故晋级成功的人数为（人），根据上表数据代入公式可得，的把握认为“晋级成功”与性别有关．故的分布列为或（. 19．【解析】试题分析: (1)由面面垂直的判定定理得出证明; (2)以E为原点,建立空间直角坐标系标,设,由,求出,求出平面的一个法向量,由已知条件找出平面的一个法向量,利用公式求出二面角的余弦值.（Ⅱ）以为原点，以的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.过点作平面的垂线，垂足为，根据对称性，显然点在轴上，设.由题设条件可得下列坐标：，，，，，.，，由于，所以，解得，则点坐标为. 由于，，设平面的法向量，由及得令，由此可得.由于，，则为平面的一个法向量，则，因为二面角为锐角，则二面角的余弦值为.20．【解析】试题分析: (1)设，直接法求出点的轨迹方程，由轨迹方程判断出轨迹; (2)由已知条件求出曲线E的方程,利用向量坐标运算求出,设直线的斜率为,联立直线的方程和曲线E的方程,利用韦达定理求出,再求出的范围.试题解析:（Ⅰ）过点作，为垂足，设点的坐标为，则，又，所以，故点的轨迹方程为.可化为，显然点的轨迹为焦点在轴上的椭圆.（Ⅱ）时，得到的曲线的方程是，故曲线的方程是.设,，则，由，得，即.当与轴不垂直时，直线的方程为，即，代入曲线的方程并注意到，整理可得，则，即，于是.当与轴垂直时，A点的横坐标为，，显然也成立.同理可得.设直线的方程为，联立，消去y整理得，由及，解得.又，则.故求的取值范围是.点睛:本题考查了轨迹方程的求法以及直线与椭圆相交时相关问题,属于中档题.在(1)中,求轨迹与求轨迹方程不一样,把轨迹方程求出来后,再判断是什么类型的曲线;在(2)中,注意向量坐标运算求出的表达式,再联立直线的方程和椭圆方程求出,进而求出的范围.21．（Ⅱ）由得，而，所以，设函数，于是问题转化为，对任意的恒成立.注意到，所以若，则单调递增，从而.而，所以等价于，分离参数得，由均值不等式可得，当且仅当时等号成立，于是.当时，设，因为，又抛物线开口向上，所以函数有两个零点，设两个零点为，则，于是当时，，故，所以单调递减，故，这与题设矛盾，不合题意.综上，的取值范围是.点睛:本题主要考查了导数的几何意义及恒成立问题转化为求函数的最小值,属于中档题.在(1)中,导数的几何意义是函数在某一点处切线的斜率,所以本题求切线方程是容易题;在(2)中,注意等价转化,转化为求函数在上为增函数,分离出参数,求的最大值.得到的范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．【解析】试题分析: (1)由,将极坐标方程转化为直角坐标方程; (2)求出直线上的点与圆心之间的距离, 由勾股定理求出切线长,再求出最小值.（Ⅰ）∵，∴，∴圆的直角坐标方程为，即∴圆心的直角坐标为.（Ⅱ）直线上的点向圆引切线，则切线长为，∴直线上的点向圆引的切线长的最小值为.23．【解析】试题分析：（1）由题意得，，解得，再由已知不等式的解集为，可得到的值；（2）在（1）的条件下，，即，即，求得的最小值为，可得的范围.考点：1.绝对值不等式的解法；2.函数最值的应用.。
2017高考模拟试卷理数及答案
高三（2017届）数学模拟试题（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：（共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．设集合A={x|x 2﹣2x ﹣3＜0}，B={x|y=lnx}，则A ∩B=（ ）A （0，3）B （0，2）C （0，1）D （1，2） 2. 复数z=i 2(1+i)的虚部为（ ）A. 1B. iC. -1D. - i{}n a 中，4a 与14a 的等比中项为22，则27211log log a a +的值 为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 4．在四边形ABCD 中，“AB =2DC ”是“四边形ABCD 为梯形”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 5．已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)(x ∈R ,A >0,ω>0, |φ|<2π)的图象（部分）如图所示，则f (x )的解析式是（ ）A ．f (x )=5sin(3πx -6π Ｂ．f (x )=5sin(6πx -6π)Ｃ．f (x )=5sin(3πx +6π) Ｄ． f (x )=5sin(6πx +6π)6.如右图所示的程序框图，若输出的88S =，则判断框内应填入的条件是（ ）A ．3?k >B ．4?k >C ．5?k >D ．6?k >7. 设323log ,log 3,log 2a b c π===，则( )A.a b c >>B.a cb >>C.b ac >> D. b c a >>8.一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（ ）x －5y O 5 2 5A ．433 B ．533 C ．23 D ．833x y 、满足121y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，如果目标函数z x y =-的最小值为-1，则实数m =（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3 10．函数()2sin f x x x =+的部分图象可能是( )11. 已知双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>：的右焦点为F ,过F 且斜率为3的直线交C 于A B 、两点，若4AF FB =,则C 的离心率为A ．95 B. 75 C. 58 D. 6512、已知定义在R 上的可导函数f(x)的导函数为/()f x ，满足/()f x <()f x ,且()(2)f x f x -=+，(2)1f =，则不等式()x f x e <的解集为（ ）A. ()2,-+∞B. (0，+∞)C.(1, +∞)D.(2, +∞)第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：（本大题共4个小题,每小题5分,共20分）. 13. (4y x 的展开式中33x y 的系数为 。
安徽省池州市高三数学4月联考试题 理(扫描版)
安徽省池州市2017届高三数学4月联考试题理（扫描版）理科数学1.B 【解析】因为{}316,xA x x =<∈N {}0,1,2=，{}2540B x x x =-+<={}14x x <<，故{}14B x x x =≤≥R或ð，故(){}0,1A B =R I ð，故()R A B I ð的真子集个数为3，故选B.2.C 【解析】设z a bi =+，(,)a b R ∈，则z a b i =-，又()2z z z i ⋅=+，()()22221a b ab i ∴+=+-+，1,1,a b ∴==故1z i =+.故选C.3.B 【解析】61(2)x x+，展开式中的第1r +项为6261661()(2)2r r r r r r r T C x C x x--+=⋅⋅=⋅⋅， 令260r -=可得3r =，故展开式中的常数项为160．4.D 【解析】100110()()122<<=，即01a <<，同理1b >，而0c <，因此b a c >>．5. C 【解析】该几何体由一个三棱柱和一个正方体拼接而成，故所求几何体的表面积为334446105S =⨯+⨯⨯⨯=+ C.6. B 【解析】开始a =675, b =125;第一次循环：c =50, a =125, b =75;第二次循环：c =50,a =75,b =50;第三次循环：c=25, a =50, b =25; 第四次循环：c =0, a =25, b =0.退出循环，输出a =25.7. D 【解析】 ()2sin 22cos(2)6f x x x x π=-=+图象向左平移(0)t t >个单位得到()2cos(22)6f x x t π=++为奇函数，所以2t 最小值3π,6t π=.选D.8.C 【解析】由分层抽样方法知抽样比例为25:1，故从高一、高三抽取40,24，故a=40,b=24,∴直线80ax by ++=为402480x y ++=，化简为5310x y ++=，圆心(1,1)A -到直线l 的距离为d ，所求的半径为R =，所求的圆的方程为2218(1)(1)17x y -++=.9.A 【解析】不等式组20230x y x y --⎧⎨-+⎩≤≥表示的平面区域如图中直线230x y -+=与直线20x y --=所夹的点A 的左边部分，由于目标函数23z x y =-的最大值是2，作出直线232x y -=见图中虚线，可知点C 是直线20x y --=与232x y -=的交点，从而知点C 是不等式组204230x y ax y x y --⎧⎪+⎨⎪-+⎩≤≥≥表示的平面区域的最下方的一个点，直线4ax y +=过定点(0,4)B 又过点(4,2)C ，所以得12a =.10.A 【解析】易知正三棱锥A BCD -中对棱互相垂直，则有AC BD ⊥，因为5A P C QP B Q B==，所以//PQ AC ，而D P P Q ⊥，所以DP AC ⊥，所以AC ⊥平面ABD ，又因为该三棱锥是正三棱锥，所以正三棱锥A BCD -的三条侧棱相等且互相垂直，将正三棱锥A BCD -补成一个正方体，则正方体的体对角线就是其外接球直径，故2R =. 11．D 【解析】由题意得直线l 的方程是2y x a =-，由228y x a y ax=-⎧⎪⎨=⎪⎩得221240x ax a -+=，又由直线l 被抛物线1C 截得的线段长是16，得812162aa +=，得1a =，从而知抛物线1C 的准线方程是 2x =-，由题意可以得双曲线的一个焦点是(2,0)-，即有2c =，222413b c a =-=-=，∴双曲线2C的渐近线方程是y =.又知点(0,2)P -，从而有1d ==，故选D. 12.B 【解析】因为12,x x R ∀∈，且12x x ≠，所以不妨设12x x <，则由1212()()||2017f x f x x x -<-可得1221|()()|20172017f x f x x x -<-，于是12211212()()20172017()()20172017f x f x x x f x f x x x -<-⎧⎨->-⎩，即11221122()2017()2017()2017()2017f x x f x x f x x f x x +<+⎧⎨->-⎩.构造函数()()2017g x f x x =+，则由单调性的定义可知()g x 在R 上单调递增，所以()()2017g x f x ''=+≥在R 上恒成立，即()2017f x '≥-在R 上恒成立，同理可证()2017f x '≤在R 上恒成立，所以P 等价于“x R ∀∈|()|2017f x '≤”，显然Q 是P 的真子集，所以P 推不出Q ，而Q 可以推出P ，所以P 是Q 的必要不充分条件.由cos ,||||⋅<>=a b a b a b ，得1c o s 32π=，从而解得mm =.【解析】因为1cos()cos[()]sin()62333ππππααα+=--=-=，且α为锐角，所以sin()63πα+==. 15.16【解析】在区间[]0,1上随机地取两个数x 、y 构成的区域的面积为1，事件“5y x ≤”发生构成的区域的面积为15610011|66x dx x ==⎰，所以所求概率为16．16.3+,(0,)ABC θθπ∠=∈，则在ABC ∆中，由余弦定理可得2222cos 6AC AB BC AB BC θθ=+-⋅=-， 从而四边形ABCD 的面积1(sin )2ABC ACD S S S AB BC AC CD θ∆∆=+=⋅⋅+⋅， 化简得16)2S θθ=+-32cos )θθ=+-3)θϕ=+-，其中tan 2ϕ=，当sin()1θϕ-=时，S取得最大值3+17.【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得2215a a a =，即2(1)14d d +=+，解得2d =或0d =（舍），所以21n a n =-. ………………………………………………4分 （Ⅱ）由21n a n =-，可得11411(1)(1)(1)()(21)(21)2121nn n n n n n n a a n b a a n n n n +++=-=-=-+-+-+，……………6分当n 为偶数时，111111112(1)()()()13355721212121n nS n n n n =--+++--+++=-+=--+++. 当n 为奇数时，1n +为偶数，于是1111111122(1)()()()13355721212121n n S n n n n +=--+++--+-+=--=--+++. ……………………………………………………………………………………………12分18.【解析】 (Ⅰ)由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知(20.0200.0300.040)101a +++⨯=，故0.005a =.………………………………3分(Ⅱ)由频率分布直方图知，晋级成功的频率为0.200.050.25+=， 故晋级成功的人数为1000.2525⨯=（人）， 故填表如下根据上表数据代入公式可得22100(1641349) 2.613 2.0722*******K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关． ………………………………7分（III ）由频率分布直方图知晋级失败的频率为10.250.75-=，将频率视为概率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，这人晋级失败的概率为0.75， 故X 可视为服从二项分布，即3(4,)4X B :，4431()()()(0,1,2,3)44kk k P X k C k -===， ……………………………8分故0044311(0)()()44256P X C ===，1134313(1)()()4464P X C === ， 22243154(2)()()44256P X C === ，331431108(3)()()44256P X C ===， 44043181(4)()()44256P X C ===， 故的分布列为()434E X =⨯= 或（()01234325664256256256E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………………………………12分19.【解析】（Ⅰ）因为AE BD ⊥且BE DE =，可得ABD ∆为等腰直角三角形，则AB AD ⊥，又AB CD ⊥，且AD CD ⊂、平面ACD ，AD CD D =，故AB ⊥平面ACD ，又AB ⊂平面BAD ，所以平面ACD ⊥平面BAD . ………………………………………………………………6分（Ⅱ）以E 为原点，以EC 的方向为x 轴正方向，ED 的方向为y 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.过A 点作平面BCD 的垂线，垂足为G ，根据对称性，显然G 点在x 轴上，设AG h =.由题设条件可得下列坐标：(0,0,0)E ，(2,0,0)C ，(0,1,0)B -，(0,1,0)D，)A h ， 1(1,,0)2F .(1)BA h =，(2,1,0)DC =-，由于AB CD ⊥，所以2110BA DC⋅==，解得h =则A 点坐标为1(2A. ………………………………………………………………8分 由于1(2BA =，3(1,,0)2BF =，设平面ABF 的法向量(,,)u a b c =， 由0u BA ⋅=及0u BF ⋅=得10,230,2a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 令9a =，由此可得(9,u =-.由于AD AB ⊥，AD AC ⊥，则2(1,DA =-为平面ABC 的一个法向量，则·(2)cos ,21202u DA u DA u DA===因为二面角C AB F --为锐角， 则二面角C AB F --. ……………………………………………12分x20.【解析】（Ⅰ）过点M 作MH l ⊥，H 为垂足， 设点M 的坐标为(,)x y，则|||||OM MH x m ==+，又||||2OM MH =|x m +， 故点M 的轨迹方程为22211022x y mx m +--=. ……………………………………………3分可化为2222()12x m y m m-+=，显然点M 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆. ………………5分（Ⅱ）1m =时，得到的曲线C 的方程是22(1)12x y -+=，故曲线E 的方程是2212x y +=.…………………………………………………………6分设1122(,),(,)A x y B x y ,33(,)D x y ，则1133(1,),(1,)AF x y FD x y =--=-， 由AF FD α=，得13y y α-=，即13y y α=-. …………………………………7分当AD 与x 轴不垂直时，直线AD 的方程为11(1)1y y x x =--，即111(1)x y y x y -+=，代入曲线E 的方程并注意到221112x y +=， 整理可得221111(32)2(1)0x y y x y y -+--=，则2113132y y y x =--，即11332y x y -=-，于是132x α=-.当AD 与x 轴垂直时，A 点的横坐标为11x =，1α=，显然132x α=-也成立. 同理可得232x β=-. …………………………………………………………………9分 设直线1l 的方程为(2)y k x =+，联立22(2)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 消去y 整理得2222(21)8820k x k x k +++-=，由0k ≠及2222(8)4(21)(82)0k k k ∆=-+->，解得2102k <<. 又2122821k x x k +=-+，则121228323262()14(6,10)21x x x x k αβ+=-+-=-+=-∈+.故求αβ+的取值范围是(6,10). ……………………………………………………12分21.【解析】（Ⅰ）当2017a =时，()ln(1)2017(2)f x x x x =---， 则()ln(1)20171x f x x x '=-+--，所以(2)220172015f '=-=-， 又(2)000f =-=，所以曲线()f x 在2x =处的切线方程为02015(2)y x -=--.，即201540300x y +-=. ……………………………………………………………4分 （Ⅱ）由()0f x ≥得ln(1)(2)0x x a x ---≥，而2x ≥， 所以(2)ln(1)0a x x x ---≥，设函数(2)()ln(1)(2)a x g x x x x-=--≥， 于是问题 转化为()0g x ≥，对任意的2x ≥恒成立. …………………………………6分注意到(2)0g =，所以若()0g x '≥，则()g x 单调递增，从而()(2)0g x g ≥=.而2221(2)2(1)()1(1)ax a x x a x g x x x x x ----'=-=--， 所以()0g x '≥等价于22(1)0x a x --≥， 分离参数得211[(1)2]2(1)21x a x x x ≤=-++--， 由均值不等式可得11[(1)2]221x x -++≥-， 当且仅当2x =时等号成立，于是2a ≤. ……………………………………………9分当2a >时，设2()2(1)h x x a x =--，因为(2)422(2)0h a a =-=->，又抛物线2()2(1)h x x a x =--开口向上，所以函数2()2(1)h x x a x =--有两个零点，设两个零点为12,x x ，则122x x <<，于是当2(2,)x x ∈时，()0h x <，故()0g x '<，所以()g x 单调递减，故()(2)0g x g <=，这与题设矛盾，不合题意.综上，a 的取值范围是(,2]-∞. ………………………………………………………12分22.【解析】（Ⅰ）∵4cos()4πρθθθ=+=-，∴2cos sin ρθθ=-，∴圆C的直角坐标方程为220x y +-+=，即22((4x y -++=∴圆心的直角坐标为. ………………………………………………………5分（Ⅱ）直线l 上的点向圆C 引切线，则切线长为== ∴直线l 上的点向圆C引的切线长的最小值为…………………………………10分23.【解析】（Ⅰ）由|2|6x a a -+≤得，|2|6x a a -≤-,……………………………1分 ∴626a x a a -≤-≤-,即33a x -≤≤,∴32a -=-,∴1a =. ……………………5分 （Ⅱ）由（1）知()|21|1f x x =-+,令()()()n f n f n ϕ=+-, ………………………7分则()124,211212124,22124,2n n n n n n n n ϕ⎧-≤-⎪⎪⎪=-+++=-<≤⎨⎪⎪+>⎪⎩，∴()n ϕ的最小值为4，……………9分 ∴实数m 的取值范围是[4,)+∞. …………………………………………………………10分。
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安徽省池州市2017届4月份高考模拟数学（理科）试卷
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{|316,}x A x x =<∈N ，2{|540}B x x x =-+<，则()A C B R 的真子集个数为（ ） A ．1
B ．3
C ．4
D ．7
2．设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若2(i)z z z =+，则z =（ ） A ．1i --
B ．1i -+
C ．1i +
D ．1i -
3．若61
(2)x x
+展开式的常数项为（ ）
A ．120
B ．160
C ．200
D ．240
4．若101()2a =，1
21()5
b -=，15log 10
c =，则,,a b c 大小关系为（ ）
A ．a b c >>
B ．a c b >>
C ．c b a >>
D ．b a c >>
5．如图，网格线上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为
（ ）
A ．93+
B ．97+
C ．105+
D ．109+6．“欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前300年前，上面的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”，执行该程序框图（图中“aMODb ”表示a 除以b 的余数），若输入的,a b 分别为675,125，则输出的a =（ ）
A ．0
B ．25
C ．50
D ．75
7．
将函数2()2sin cos f x x x x =-(0)t t >个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则t 的最小值为（ ）
A ．
2π3 B ．π3 C ．π2 D ．π
6
8．某学校有2 500名学生，其中高一1 000人，高二900人，高三600人，为了了解学生的身体健康状况，
采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取100人，从高一和高二抽取样本数分别为,a b ，且直线
80ax by ++=与以(1,1)A -为圆心的圆交于,B C 两点，且120BAC ∠=︒，则圆C 的方程为（ ）
A ．22(1)(1)1x y -++=
B ．22(1)(1)2x y -++=
C ．2218(1)(1)17x y -++=
D ．2212(1)(1)15
x y -++=
9．已知,x y 满足约束条件204230x y ax y x y --≤⎧⎪
+≥⎨⎪-+≥⎩
，目标函数23z x y =-的最大值是2，则实数a =（ ）
A ．
12
B ．1
C ．
32
D ．4
10．已知正三棱锥A BCD -
的外接球半径R =
，,P Q 分别是,AB BC 上的点，且满足5AP CQ PB QB ==，DP PQ ⊥，则该正三棱锥的高为（ ）
A
B
C
D
．
11．已知抛物线21:8(0)C y ax a =>，直线l 倾斜角是45︒且过抛物线1C 的焦点，直线l 被抛物线1C
截得的
线段长是16，双曲线2C :22
221x y a b
-=的一个焦点在抛物线1C 的准线上，则直线l 与y 轴的交点P 到双曲线2
C 的一条渐近线的距离是（ ） A ．2
B
C
D ．1
12．已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为'()f x ，则命题:P “12,x x ∀∈R ，且12x x ≠，
1212
()()
|
|2017f x f x x x -<-”是命题Q ：“x ∀∈R ，'|()|2017f x <”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也必要条件
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．已知向量(1,)a m =-，(0,1)b =，若向量a 与b 的夹角为
π
3
，则实数m 的值为________． 14．已知π1sin()33α-=π
(0)2
α<<，则πsin()6α+=________．
15．在区间[0,1]上随机地取两个数,x y ，则事件“5y x ≤”发生的概率为________．
16．已知在平面四边形ABCD
中，AB =2BC =，AC CD ⊥，AC CD =，则四边形ABCD 面积的最大值为________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知各项均不相等的等差数列{}n a 满足11a =，且125,,a a a 成等比数列． （1）求{}n a 的通项公式；
（2）若*1
1
(1)
()n
n n n n n a a b n a a +++=-∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n S ．
18．某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败（满分为100分）． （1）求图中a 的值；
（2）根据已知条件完成下面22⨯列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？
（参考公式：2
2
()()()()()
n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）
（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为
X ，求X 的分布列与数学期望()E X ．
19．如图1，四边形ABCD 中，AC BD ⊥，2222CE AE BE DE ====，将四边形ABCD 沿着BD 折叠，得到图2所示的三棱锥A BCD -，其中AB CD ⊥．
（1）证明：平面ACD ⊥平面BAD ；
（2）若F 为CD 中点，求二面角C AB F --的余弦值．
20．设点M 到坐标原点的距离和它到直线:(0)l x m m =-> （1）求点M 的轨迹；
（2）若1m =时得到的曲线是C ，将曲线C 向左平移一个单位长度后得到曲线E ，过点(2,0)P -的直线1l 与
曲线E 交于不同的两点1122(,),(,)A x y B x y ，过(1,0)F 的直线,AF BF 分别交曲线E 于点,D Q ，设A F F D
α=，
BF FQ β=，,αβ∈R ，求αβ+的取值范围．
21．设函数()ln(1)(2)f x x x a x =---．
（1）若2017a =，求曲线()f x 在2x =处的切线方程； （2）若当2x ≥时，()0f x ≥，求α的取值范围． 选修4-4：坐标系与参数方程
22．已知直线l
的参数方程是2
x y ⎧=⎪⎪
⎨
⎪=+⎪⎩
（t 是参数），圆C 的极坐标方程为4cos()4πρθ=+．
（1）求圆心C 的直角坐标；
（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 选修4-5：不等式选讲
23．已知函数()|2|f x x a a =-+．
（1）若不等式()6f x ≤的解集为{|23}x x -≤≤，求实数a 的值；
（2）在（1）的条件下，若存在实数n 使()()f n m f n ≤--成立，求实数m 的取值范围．。