新定义型试题
北师大版初中九年级数学上册专项素养巩固训练卷(九)数学文化及新定义型试题(练题型)课件
b
(x-3)=2时,x的值为
A. -1
解析 B
B. 4
(
C. 4和-1
)
D. 3
∵a b= ·
(x-3)= · =2,两边平方得,x
a ,其中a>0,b>0,∴x
b
x3
x
(x-3)=4,整理得x2-3x-4=0,
∴(x-4)(x+1)=0,∴x1=4,x2=-1,
刘徽、韦达、欧拉等数学家都对π有过深入的研究.目前,超级计算机已计算出π
的小数部分超过31.4万亿位.有学者发现,随着π小数部分位数的增加,0~9这10个
数字出现的频率趋于稳定,接近相同.
(1)从π的小数部分随机取出一个数字,估计数字是6的概率为
.
(2)某校进行校园文化建设,拟从以上4位数学家的画像中随机选用2幅,求其中有
所以P(有一幅是祖冲之)=
6 1
= .
12 2
解法二:令祖冲之、刘徽、韦达、欧拉分别为A、B、C、D,画树状图如图所示:
一共有12种等可能的情况,其中符合题意的有6种,
所以P(有一幅是祖冲之)=
6 1
= .
12 2
类型二 新定义型试题
6. (2023湖南娄底新化期末,4,★☆☆)定义运算:a*b=a(1-b),若a,b是方程x2-x+
丈五尺,同时立一根一尺五寸的小标杆,它的影长五寸(提示:1丈=10尺,1尺=10
寸),则竹竿的长为
A. 五丈
B. 四丈五尺
(
C. 一丈
B
)
D. 五尺
解析 B 设竹竿的长为x尺,∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺,标杆长=一尺五寸=
初中-数学-人教版-专项综合全练(四)——新定义型试题
概念：对于一列数，a1，a2，a3，…，an（n为正整数），若从第二个数开始，每一个数与前一个数的比为一定值，即 （常数），那么这一列数a1，a2，a3，…，an（n为正整数）成等比数列，这一常数q叫做该数列的公比．
例：求等比数列1，3，32，33，…，3100的和．
解：令S=l+3+32+33+…+3100，
（2）令s=1+m+m2+m3+m4+…+m2018，则ms=m+m2+m3+m4+m5+…+m2018+m2019，∴ms=m2019-1，即（m-1）s=m2019-1，∴ ，即 （m≠0且m≠1）．
7、【答案】-2
【分析】
【解答】由题意得m-5m=S，解得m=-2．
8、【答案】见答案
【分析】
【解答】（1） ．
专项综合全练（四）——新定义型试题
类型一数与新定义
（2019山东德州中考）已知：[x]表示不超过x的最大整数．例：[4.8]=4，[-0.8]=-1.现定义：{x}=x-[x]，例：{1.5}=1.5-[1.5]=0.5，则{3.9}+{-1.8}-{1}=______．
设a、b是任意两个有理数，规定a与b之间的一种运算“㊉”为 ，例如： ，（-3）㊉2=（-3）-2=-5．
1、【答案】1.1
【分析】
【解答】依题意得，{3.9}+{-1.8}-{1}=3.9-[3.9]+（-1.8）-[-1.8]-1+[1]=3.9-3-1.8+2-1+1=1.1，故答案为1.1．
2、【答案】2,-6
中考数学真题-新定义与阅读理解创新型问题
新定义与阅读理解创新型问题一、单选题1．（四川省雅安市2021年中考数学真题）定义：{}()min ,()a ab a b b a b ≤⎧=⎨>⎩，若函数()2min 123y x x x =+-++，，则该函数的最大值为（ ）A ．0B ．2C ．3D ．42．（广东省2021年中考真题数学试卷）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a ，b ，c ，记2a b cp ++=，则其面积S =-秦九韶公式．若5,4p c ==，则此三角形面积的最大值为（ ）A B ．4C ．D ．53．（内蒙古通辽市2021年中考数学真题）定义：一次函数y ax b =+的特征数为[],a b ，若一次函数2y x m =-+的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数3y x=-的图象交于A ，B 两点，且点A ，B 关于原点对称，则一次函数2y x m =-+的特征数是（ ） A ．[]2,3B ．[]2,3-C ．[]2,3-D ．[]2,3--4．（江苏省无锡市2021年中考数学真题）设1(,)P x y ，2(,)Q x y 分别是函数1C ，2C 图象上的点，当a x b≤≤时，总有1211y y -£-£恒成立，则称函数1C ，2C 在a x b ≤≤上是“逼近函数”，a x b ≤≤为“逼近区间”．则下列结论：①函数5y x =-，32y x =+在12x ≤≤上是“逼近函数”； ①函数5y x =-，24y x x =-在34x ≤≤上是“逼近函数”； ①01x ≤≤是函数21y x =-，22y x x =-的“逼近区间”； ①23x ≤≤是函数5y x =-，24y x x =-的“逼近区间”． 其中，正确的有（ ） A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①5．（2021·广西来宾市·中考真题）定义一种运算：,,a a ba b b a b≥⎧*=⎨<⎩，则不等式(21)(2)3x x +*->的解集是（ ） A ．1x >或13x <B ．113x -<<C ．1x >或1x <-D ．13x >或1x <- 6．（2021·广西中考真题）如{}1,2,M x =，我们叫集合M ，其中1，2，x 叫做集合M 的元素．集合中的元素具有确定性（如x 必然存在），互异性（如1x ≠，2x ≠），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合{},1,2N x =，我们说M N =．已知集合{}1,0,A a =，集合1,,b B a a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，若A B =，则b a -的值是（ ） A ．－1B ．0C ．1D ．27．（2021·湖北中考真题）定义新运算“※”：对于实数m ，n ，p ，q ，有[][],,m p q n mn pq =+※，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：[][]2,34,5253422=⨯+⨯=※．若关于x 的方程[]21,52,0x x k k ⎡⎤⎣⎦+-=※有两个实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．54k <且0k ≠ B ．54k ≤C ．54k ≤且0k ≠ D ．54k ≥8．（2021·甘肃武威市·中考真题）对于任意的有理数,a b ，如果满足2323a b a b++=+，那么我们称这一对数,a b为“相随数对”，记为(),a b ．若(),m n 是“相随数对”，则()323[]21m m n ++-=（ ） A ．2- B ．1- C ．2 D ．3二、填空题9．（广西贵港市2021年中考数学真题）我们规定：若()()1122,,,a x y b x y →→==，则1212a b x x y y →→⋅=+．例如(1,3),(2,4)a b →→==，则123421214a b →→⋅=⨯+⨯=+=．已知(1,1),(3,4)a x x b x →→=+-=-，且23x -……，则a b →→⋅的最大值是________．10．（辽宁省丹东市2021年中考数学试题）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果ABC 是锐角（或直角）三角形，则其费马点P 是三角形内一点，且满足120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若AB AC BC ===P 为ABC 的费马点，则PA PB PC ++=_________；若2,4AB BC AC ===，P 为ABC 的费马点，则PA PB PC ++=_________．11．（浙江省宁波市2021年中考数学试卷）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点(),A x y ，我们把点11,B x y ⎛⎫⎪⎝⎭称为点A 的“倒数点”．如图，矩形OCDE 的顶点C 为()3,0，顶点E 在y 轴上，函数()20=>y x x的图象与DE 交于点A ．若点B 是点A 的“倒数点”，且点B 在矩形OCDE 的一边上，则OBC 的面积为_________．12．（山东省菏泽市2021年中考数学真题）定义：[],,a b c 为二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的特征数，下面给出特征数为[],1,2m m m --的二次函数的一些结论：①当1m =时，函数图象的对称轴是y 轴；①当2m =时，函数图象过原点；①当0m >时，函数有最小值；①如果0m <，当12x >时，y 随x 的增大而减小，其中所有正确结论的序号是______．13．（2021·湖南娄底市·中考真题）弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作1rad ．已知1rad,60αβ==︒，则α与β的大小关系是α________β．14．（2021·上海中考真题）定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为2，中心为O ，在正方形外有一点,2P OP =，当正方形绕着点O 旋转时，则点P 到正方形的最短距离d 的取值范围为__________．15．（2021·湖北中考真题）对于任意实数a 、b ，定义一种运算：22a b a b ab ⊗=+-，若()13x x ⊗-=，则x 的值为________．三、解答题16．（江苏省南通市2021年中考数学试题）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点(1,1)是函数1122y x =+的图象的“等值点”． （1）分别判断函数22,y x y x x =+=-的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由； （2）设函数3(0),y x y x b x=>=-+的图象的“等值点”分别为点A ，B ，过点B 作BC x ⊥轴，垂足为C ．当ABC 的面积为3时，求b 的值；（3）若函数22()y x x m =-≥的图象记为1W ，将其沿直线x m =翻折后的图象记为2W ．当12,W W 两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m 的取值范围．17．（江苏省常州市2021年数学中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，对于A 、A '两点，若在y 轴上存在点T ，使得90ATA '∠=︒，且TA TA '=，则称A 、A '两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点．已知点()2,0M-、()1,0N -，点(),Q m n 在一次函数21y x =-+的图像上．（1）①如图，在点()2,0B、()0,1C -、()22D ,--中，点M 的关联点是_______（填“B ”、“C ”或“D ”）； ①若在线段MN 上存在点()1,1P 的关联点P '，则点P '的坐标是_______； （2）若在线段MN 上存在点Q 的关联点Q '，求实数m 的取值范围； （3）分别以点()4,2E 、Q 为圆心，1为半径作E 、Q ．若对E 上的任意一点G ，在Q 上总存在点G '，使得G 、G '两点互相关联，请直接写出点Q 的坐标．18．（湖南省张家界市2021年中考数学真题试题）阅读下面的材料： 如果函数()y f x =满足：对于自变量x 取值范围内的任意1x ，2x ， （1）若12x x <，都有12()()f x f x <，则称()f x 是增函数； （2）若12x x <，都有12()()f x f x >，则称()f x 是减函数． 例题：证明函数2()(0)f x x x =>是增函数． 证明：任取12x x <，且1>0x ，20x >则2212121212()()()()f x f x x x x x x x -=-=+- ①12x x <且1>0x ，20x > ①120x x +>，120x x -<①1212()()0x x x x +-<，即12())0(f x f x -<，12()()f x f x < ①函数2()(0)f x x x =>是增函数． 根据以上材料解答下列问题：（1）函数1()(0)f x x x =>，1(1)11f ==，1(2)2f =，(3)f =_______，(4)f =_______； （2）猜想1()(0)f x x x=>是函数_________（填“增”或“减”），并证明你的猜想．19．（山东省枣庄市2021年中考数学真题）小明根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对函数()20x y x x-=≠的图象与性质进行探究．因为221x y x x-==-，即21y x =-+，所以可以对比函数2y x =-来探究． 列表：（1）下表列出y 与x 的几组对应值，请写出m ，n 的值：m = ，n = ；描点：在平面直角坐标系中，以自变量x 的取值为横坐标，以y x=相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：（2）请把y 轴左边各点和右边各点，分别用条光滑曲线顺次连接起来： （3）观察图象并分析表格，回答下列问题：①当0x <时，y 随x 的增大而 ；（填“增大”或“减小”） ①函数2x y x-=的图象是由2y x =-的图象向 平移 个单位而得到．①函数图象关于点 中心对称．（填点的坐标） 20．（内蒙古赤峰市2021年中考数学真题）阅读理解： 在平面直角坐标系中，点M 的坐标为()11,x y ，点N 的坐标为()22,x y ，且x 1≠x 1，y 2≠y 2，若M 、N 为某矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为M 、N 的“相关矩形”．如图1中的矩形为点M 、N 的“相关矩形”． （1）已知点A 的坐标为()2,0．①若点B 的坐标为()4,4，则点A 、B 的“相关矩形”的周长为__________；①若点C 在直线x =4上，且点A 、C 的“相关矩形”为正方形，求直线AC 的解析式； （2）已知点P 的坐标为()3,4-，点Q 的坐标为()6,2-， 若使函数ky x=的图象与点P 、Q 的“相关矩形 ”有两个公共点，直接写出k 的取值范围．21．（湖北省荆州市2021年中考数学真题）小爱同学学习二次函数后，对函数()21y x =--进行了探究，在经历列表、描点、连线步骤后，得到如 下的函数图像．请根据函数图象，回答下列问题：（1）观察探究：①写出该函数的一条性质：__________； ①方程()211x --=-的解为：__________；①若方程()21x a --=有四个实数根，则a 的取值范围是__________．（2）延伸思考：将函数()21y x =--的图象经过怎样的平移可得到函数()21213y x =---+的图象？写出平移过程，并直接写出当123y <≤时，自变量x 的取值范围．22．（2021·江西中考真题）二次函数22y x mx =-的图象交x 轴于原点O 及点A ．感知特例（1）当1m =时，如图1，抛物线2:2L y x x =-上的点B ，O ，C ，A ，D 分别关于点A 中心对称的点为B '，O '，C '，A '，D ¢，如下表：①补全表格；①在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为L '． 形成概念我们发现形如（1）中的图象L '上的点和抛物线L 上的点关于点A 中心对称，则称L '是L 的“孔像抛物线”．例如，当2m =-时，图2中的抛物线L '是抛物线L 的“孔像抛物线”． 探究问题（2）①当1m =-时，若抛物线L 与它的“孔像抛物线”L '的函数值都随着x 的增大而减小，则x 的取值范围为_______；①在同一平面直角坐标系中，当m 取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数22y x mx =-的所有“孔像抛物线”L '，都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是______．（填“2y ax bx c =++”或“2y ax bx =+”或“2y ax c =+”或“2y ax =”，其中0abc ≠）；①若二次函数22y x mx =-及它的“孔像抛物线”与直线y m =有且只有三个交点，求m 的值． 23．（2021·北京中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，对于点A 和线段BC ，给出如下定义：若将线段BC 绕点A 旋转可以得到O 的弦B C ''（,B C ''分别是,B C 的对应点），则称线段BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”．（1）如图，点112233,,,,,,A B C B C B C 的横､纵坐标都是整数．在线段112233,,B C B C B C 中，O 的以点A 为中心的“关联线段”是______________； （2）ABC 是边长为1的等边三角形，点()0,A t ，其中0t ≠．若BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”，求t 的值；（3）在ABC 中，1,2AB AC ==．若BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”，直接写出OA 的最小值和最大值，以及相应的BC 长．24．（2021·四川中考真题）阅读以下材料，苏格兰数学家纳皮尔（J ．Npler ，1550－1617年）是对数的创始人，他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler ．1707－1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地．若x a N =（0a >且1a ≠），那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，比如指数式4216=可以转化为对数式24log 16=，对数式32log 9=可以转化为指数式239=．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log ()log log (0,1,0,0)a a a M N M N a a M N ⋅=+>≠>>，理由如下：设log ,log a a M m N n ==，则,n m M a N a ==．m n m n M N a a a +∴⋅=⋅=．由对数的定义得log ()a m n M N +=⋅又log log a a m n M N +=+log ()log log a a a M N M N ∴⋅=+．根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：（1）填空：①2log 32=___________；①3log 27=_______，①7log l =________； （2）求证：log log log (0,1,0,0)aa a MM N a a M N N=->≠>>； （3）拓展运用：计算555log 125log 6log 30+-．25．（2021·重庆中考真题）如果一个自然数M 的个位数字不为0，且能分解成A B ⨯，其中A 与B 都是两位数，A 与B 的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数M 为“合和数”，并把数M 分解成M A B =⨯的过程，称为“合分解”． 例如6092129=⨯，21和29的十位数字相同，个位数字之和为10，609∴是“合和数”．又如2341813=⨯，18和13的十位数相同，但个位数字之和不等于10，234∴不是“合和数”．（1）判断168，621是否是“合和数”？并说明理由；（2）把一个四位“合和数”M 进行“合分解”，即M A B =⨯．A 的各个数位数字之和与B 的各个数位数字之和的和记为()P M ；A 的各个数位数字之和与B 的各个数位数字之和的差的绝对值记为()Q M ．令()()()P M G M Q M =，当()G M 能被4整除时，求出所有满足条件的M ．26．（2021·重庆中考真题）对于任意一个四位数m ，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m 为“共生数”例如：3507m =，因为372(50)+=⨯+，所以3507是“共生数”：4135m =，因为452(13)+≠⨯+，所以4135不是“共生数”； （1）判断5313，6437是否为“共生数”？并说明理由；（2）对于“共生数”n ，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除时，记()3nF n =．求满足()F n 各数位上的数字之和是偶数的所有n ． 27．（2021·四川中考真题）已知平面直角坐标系中，点P （00,x y ）和直线Ax ＋By ＋C ＝0（其中A ，B 不全为0），则点P 到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离d可用公式d =来计算．例如：求点P （1，2）到直线y ＝2x ＋1的距离，因为直线y ＝2x ＋1可化为2x －y ＋1＝0，其中A ＝2，B ＝－1，C ＝1，所以点P （1，2）到直线y ＝2x ＋1的距离为：5d ==== 根据以上材料，解答下列问题：（1）求点M （0，3）到直线9y =+的距离；（2）在（1）的条件下，①M 的半径r ＝ 4，判断①M与直线9y =+的位置关系，若相交，设其弦长为n ，求n 的值；若不相交，说明理由．28．（2021·湖北中考真题）数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．猜想发现：由5510+==；112333+==；0.40.40.8+==；1525+>=；0.2 3.2 1.6+>=；111282+>= 猜想：如果0a >，0b >，那么存在a b +≥a b =时等号成立）． 猜想证明：①20≥①①0=，即a b =时，0a b -=，①a b += ①0≠，即a b ¹时，0a b ->，①a b +>综合上述可得：若0a >，0b >，则a b +≥a b =时等号成立）．猜想运用：（1）对于函数()10y x x x=+>，当x 取何值时，函数y 的值最小？最小值是多少？ 变式探究：（2）对于函数()133y x x x =+>-，当x 取何值时，函数y 的值最小？最小值是多少？ 拓展应用：（3）疫情期间、为了解决疑似人员的临隔离问题．高速公路榆测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图．设每间离房的面积为S （米2）．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积S 最大？最大面积是多少？29．（2021·内蒙古中考真题）数学课上，有这样一道探究题． 如图，已知ABC 中，AB =AC =m ，BC =n ，()0180BAC αα∠=︒<<︒，点P 为平面内不与点A 、C 重合的任意一点，将线段CP 绕点P 顺时针旋转a ，得线段PD ，E 、F 分别是CB 、CD 的中点，设直线AP 与直线EF 相交所成的较小角为β，探究EFAP的值和β的度数与m 、n 、α的关系，请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务： （1）填空： （问题发现）小明研究了60α=︒时，如图1，求出了EFPA =___________，β=___________； 小红研究了90α=︒时，如图2，求出了EFPA=___________，β=___________； （类比探究）他们又共同研究了α=120°时，如图3，也求出了EFPA； （归纳总结）最后他们终于共同探究得出规律：EFPA=__________(用含m 、n 的式子表示)；β=___________ (用含α的式子表示)． （2）求出120α=︒时EFPA的值和β的度数．30．（2021·山东中考真题）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD 中，AB AD =，CB CD =，问四边形ABCD 是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图1，垂美四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ．猜想：22AB CD +与22AD BC +有什么关系？并证明你的猜想．（3）解决问题：如图3，分别以Rt ACB △的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE ，连结CE ，BG ，GE ．已知4AC =，5AB =，求GE 的长．31．（2021·湖北中考真题）已知等边三角形ABC ，过A 点作AC 的垂线l ，点P 为l 上一动点（不与点A 重合），连接CP ，把线段CP 绕点C 逆时针方向旋转60︒得到CQ ，连QB ．（1）如图1，直接写出线段AP与BQ的数量关系；（2）如图2，当点P、B在AC同侧且AP AC时，求证：直线PB垂直平分线段CQ；（3）如图3，若等边三角形ABC的边长为4，点P、B分别位于直线AC异侧，且APQ求线段AP的长度．32．（2021·江苏中考真题）如图，在①O中，AB为直径，P为AB上一点，P A＝1，PB＝m（m为常数，且m＞0）．过点P的弦CD①AB，Q为BC上一动点（与点B不重合），AH①QD，垂足为H．连接AD、BQ．（1）若m＝3．①求证：①OAD＝60°；①求BQDH的值；（2）用含m的代数式表示BQDH，请直接写出结果；（3）存在一个大小确定的①O，对于点Q的任意位置，都有BQ2﹣2DH2+PB2的值是一个定值，求此时①Q 的度数．。
初中数学中考几何题中的新定义型题集锦
初中数学中考几何题中的新定义型题集锦在近年的中考试题中，在近年的中考试题中，涌现出了许多创意新颖、涌现出了许多创意新颖、涌现出了许多创意新颖、情境熟悉的几何新定义型试题，情境熟悉的几何新定义型试题，情境熟悉的几何新定义型试题，为了便为了便于同学们了解掌握这方面的信息，现从近年的中考试题中精选数例，供同学们参考与借鉴。
一、定义一种新的几何体一、定义一种新的几何体例1（2001年泰州市）我们把相似形的概念推广到空间：我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体，如图1，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体。
都是相似体。
（1）下列几何体中，一定属于相似体的是（）下列几何体中，一定属于相似体的是（） A. 两个球体两个球体 B. 两个圆锥体两个圆锥体C. 两个圆柱体两个圆柱体D. 两个长方体两个长方体 （2）请猜想出相似体的主要性质：）请猜想出相似体的主要性质：①相似体的一切对应线段（或弧长）的比等于_______；②相似体表面积的比等于_______；③相似体体积的比等于_______。
（3）假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一个人的人体是相似体，一个小朋友上幼儿园时身高为1.1m ，体重为18kg ，到了初三，身高为1.65m ，问他的体重为多少？（不考虑不同时期人体平均密度的变化）（不考虑不同时期人体平均密度的变化）解：（1）由相似体的定义可知，应选A 。
（2）①相似比；②相似比的平方；③相似比的立方。
）①相似比；②相似比的平方；③相似比的立方。
（3）设初三时体重为x kg ，则由题意，得，则由题意，得()31.1:65.118:x =，解之，得()kg 75.60x »故到了初三时，他的体重约为60.75kg 。
二、定义一种新的规则二、定义一种新的规则例2 （2003年安徽省）如图2，这些等腰三角形与正三角形的形状有差异，我们把它与正三角形的接近程度称为“正度”，在研究“正度”时，应保证相似三角形的“正度”相等。
＂新定义＂型创新试题
思想方法．
一
、
、
在 坐标 系 中 新 定 义
图２ ． ． ２
例 １ 定义 ： 平面 内的直线 ｌ 。 与 Ｚ ： ， 相交 于点 ０， 对 于该平面 内任 意一点 Ｍ， 点＾ ｆ 到直线 ｌ ， ， ￡ ： 的距离分 别
— —
、 ／ ＼ 一
＼
◆ 图３
ｊ
； 当点 曰的横坐标 为 ４ ｎ （ ｎ为正 整数 ） 时， ｍ＝
。． ．＋ 。． 。＋
一
（ 用含 ｔ ＇ ｔ 的代 数式表示 ） ． 解析 在图形 中标 出点 曰的位置 （ 如图 １ ） ， 可知 丑
Ａ ｖ致掌大世界 ０ ＿ ． Ｙ＝ｘ ＋ ２的直角距离．
试题 ， 通 过 在试 题 中 给 出新 的 定 义 ， 考 查 学 生 的 现 场 学
２时 ， ｍ＝ ９ ； 当 ｎ＝３时 ， ｍ：１ ５ ． 猜想 这是 一个公 差 为
６的等差数列 ， 所 以当点 Ｂ的横坐标为 ４ ｎ （ ｎ为正整 数 ）
时， ｍ＝ ６ ｎ一 ３ ．
习能力 （ 即 自学能力 ） 、 阅读理解 能。 我 们把 ｄ （ Ｐ ｏ ， Ｑ）的 最 小 值 叫 做 Ｐ ０ 到直线 Ｙ＝ａ ｘ＋ｂ的直角距 离， 试求 点 Ｍ（ ２， １ ） 到 直线
。．
轴上 的整点 ， 记 ＡＡ Ｏ Ｂ内部 （ 不 包括 边界 ） 的整数 点个
数 为 ｍ， 当 ｍ ＝３时 ， 点 Ｂ 的横 坐 标 的 所 有 可 能 值是
解析
到直 线 ｌ 。 和Ｚ ２ 的距离分别是 １和 ２ ， 这样 的点在平面 被直线 ｚ ， 和Ｚ ： 的四个区域 ， 各有 一个 点 ， 得答案 Ｃ ．
“新定义”试题
“新定义”试题作者：徐晓红来源：《中学数学杂志(初中版)》2013年第04期以“新定义”为背景设置的试题是中考培养学生自主学习能力、阅读理解能力、迁移和创新能力的基本题型之一，已成为近几年中考的热点和焦点.此类试题立足基础，不受常规题型的束缚，源于教材又高于教材，是书本知识的拓宽和延伸，能较好地考查学生综合分析问题、解决问题的能力，充分体现了“由知识立意向能力立意转变”的中考命题思想.纵观近几年中考试题中，越来越多的“新定义”试题出现在压轴题中，现选取2013年部分此类压轴试题，通过对其进行分析归类、归纳总结，试图达到洞察其变化规律、明晰其命题套路、寻找其解题方法之目的.1 新定义“点”例1 （北京市）对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在两个点A，B，使得∠APB=60°，则称P为⊙C 的关联点.已知点D（12，12），E（0，-2），F（23，0）.（1）当⊙O的半径为1时，①在点D，E，F中，⊙O的关联点是；②过点F作直线l交y轴正半轴于点G，使∠GFO=30°，若直线l上的点P（m，n）是⊙O的关联点，求m的取值范围；（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围.分析（1）①需数形结合，画出⊙O，找到点D、E、F，则点D在⊙O内，点E、F在⊙O 外，根据“关联点”的定义，易知点D为⊙O的关联点.至于点E、F，可分别作⊙O的两条切线，得到∠AEB或∠AFB，再借助切线的性质来判断∠AEB或∠AFB与60°的大小关系即可.②直线l与⊙O相离，直线外的点如果作圆的切线，此时切点与点P及圆心O组成的角小于30°，故不可能是关联点.而相切如果正好是30°，则意味着点到圆心的距离等于2.所以有m2+（-33m+2）2=4，解得m=0或3.因此点到圆心的距离小于2的均可以是关联点.（2）根据题意可知，由点E或点F所作⊙O的两条切线得到的∠AEB或∠AFB均需等于60°，因为OE=2，OF=23，则EF=4，故只要取EF的中点为圆心，1为半径作圆，则线段EF 上的所有点都是该圆的关联点，此时为最小圆，当半径大于1时，也同样满足.简解（1）①D、E；②0≤m≤3.（2）以线段EF的中点为圆心作圆，其半径r的取值范围是r≥1.评析本题以平面直角坐标系为背景，给出了“关联点”的新定义，背景公平、材料新颖，但并不神秘，表面上看是没有见过的陌生问题，但只要理解了何谓“关联点”，并紧扣新定义，将新定义作为解题的依据，就可以将其转化为我们熟悉的数学问题，把握问题解决的关键点.本题着重考查了学生的阅读理解能力和面对新定义自主解决问题能力，寓数形结合、方程思想、特殊化的方式找临界值等数学思想方法于其中，立足于基础知识的运用，其中涉及知识点有“关联点”定义、直线与圆的位置关系、切线长定理、切线的性质、勾股定理、直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半等.。
函数创新试题之“新定义型”函数问题
函数创新试题之“新定义型”函数近几年高考试题或模拟试题中出现了一种函数创新试题——“新定义型”函数。
它是以“新定义型”函数的定义或性质为载体，考察学生的创新能力和运用数学知识综合解决问题的能力。
本文在此介绍几种常见的“新定义型”函数，旨在探索题型规律，提高解题的方法。
一、密切函数例1.设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数，若对任意的x [a,b]，都有︱f（x）-g(x)︱≦1。
则称f(x)和g(x)在[a,b]上是“密切函数”，[a,b]称为“密切区间”，设f(x)=x2 -3x+4 与g(x)=2x-3在[a,b]上是“密切函数”，则它的“密切区间”可以是（）A，[3，4] B，[2，4] C，[2，3] D，[1，4]解析：由∣f(x)-g(x)∣=∣x2-5x+7∣=x2-5x+7≦1 得2≦x ≦3,故所求密切区间可以是[2，3] ，故应选C.二，科比函数例2，对于函数f(x),若在其定义域内存在两个实数a,b(a﹤,b),使当x [a,b]时，f(x)的值域也是[a,b],则称函数f(x)为“科比函数”。
若函数f(x)=k+ 是科比函数，则实数k的取值范围是（）A.（，＋∞）B、 C. D.解析：因为f(x)=k+ 是增函数，若f(x)=k+ 是“科比函数”，则存在实数a,b(-2≦a﹤b),使f(a)=a,f(b)=b,即a=k+ , b=k+ 所以a,b为方程x=k+ 的两个实数根，从而方程k=x- 有两个不同实根，令=t 则k=t2-t-2 (t≧0) 当t=0时,k=-2;当t= 时,k= ,由图可知，当﹤k≦-2 时，直线y=k与曲线y=t2-t-2(t≧0)有两个不同交点，即方程k=t2-t-2有两个不等实根，故实数k的取值范围是故应选C.三，保等比数列函数例3，定义在上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列﹛a n﹜、﹛f(a n)﹜仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”。
华师大版数学七年级下册_5 3全练《专项综合全练(一)_新定义型试题》
专项综合全练(一) 新定义型试题类型一 运算类新定义1.定义运算“*”，其规则为23a b a b +*=，则方程44x *=的解为（ ） A.3x =-B.3x =C.2x =D.4x =2.设x ，y 是任意两个有理数，规定x 与y 之间的一种运算“⊕”为345(),435().x y x y x y x y x y +-≥⎧⊕=⎨+-<⎩ (1)求1(1)⊕-的值；(2)若2((2))3m m -⊕+=，求m 的值.3.已知a ，b ，c ，d 都是有理数，现规定一种新的运算：a b ad bc c d =-， 例如：121423234=⨯-⨯=-. (1)计算：2355-； (2)若3612x x -=-，求x 的值.4.对于有理数a ，b 定义一种新运算，规定2a b a ab =-☆，(1)求3()4-☆的值；(2)若254()()x -=☆☆，求x 的值.类型二 概念类新定义5.若关于x 的一元一次方程()0ax b a =≠的解恰好为a b +，即x a b =+，则称该方程为“友好方程”.例如：方24x =-程的解为2x =-，而242-=-+，则方程24x =-为“友好方程”.(1)①24x -=；②3 4.5x =-；③112x =-三个方程中，为“友好方程”的是_________(填写序号)；(2)若关于x 的一元一次方程3x b =是“友好方程”，求b 的值；(3)若关于x 的一元一次方程221x m -=+是“友好方程”，求m 的值.6.【新定义】A ，B ，C 为数轴上的三点，若点C 到点A 的距离是点C 到点B 的距离的3倍，我们就称点C 是[],A B 的幸运点.【特例感知】(1)如图，点A 表示的数为-1，点B 表示的数为3，表示2的点C 到点A 的距离是3，到点B 的距离是1，那么点C 是[],A B 的幸运点.①[],B A的幸运点表示的数是__________；A.-1B.0C.1D.2②试说明A是[],C E的幸运点；(2)如图，M，N为数轴上的两点，点M所表示的数为-2，点N所表示的数为4，则[]M N的幸运点表示的数为________；,【拓展应用】(3)如图，A，B为数轴上的两点，点A所表示的数为-20，点B所表示的数为40.有一只电子蚂蚁P从点B出发，以每秒5个单位的速度向左运动，到达点A停止.当t为何值时，P，A和B三个点中恰好有一个点为其余两点的幸运点？参考答案1.D 根据题中的新定义化简得843x +=，去分母，得812x +=，解得4x =，故选D 。
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新定义型试题
作者：刘芳
来源：《初中生世界(初三年级)》2007年第05期
在近几年各地的中考试题中，出现了一些新定义型试题.这些试题定义了新的概念、运算或图形，要求考生按照这种新的定义进行运算或推理.它们是书本知识的拓宽和延伸，有利于考查基础知识和应变能力.本文选择几个典型问题，探讨它们的解法.
一、定义新运算
例1用“☆”定义新运算：对于任意实数a、b，都有a☆b=b2+1.例如7☆4
=42+1=17，那么5☆3=_______；当m为实数时，m☆(m☆2)=_______.
(2006年北京市中考试题)
分析：这种题型主要考查模仿能力，要求同学们根据所给的定义，进行混合运算来完成．解：10；26.
二、定义新图形
例2我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形，请解答下列问题：
(1)写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；
(2)探究当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论.(2006年北京市中考试题)
分析：(1)对角线相等的特殊四边形有：等腰梯形、矩形、正方形；
(2)由于已知条件比较分散，我们通常可用平移(或旋转)的方法，转化在同一个三角形中来处理．由于图形的变化，在推理的过程中，还必须运用分类讨论的数学思想.
解：(1)略．
(2)结论：等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长．
已知：四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC＝BD,且∠AOD=60°．
求证：BC+AD≥AC．
证明：如图1，过点D作DF∥AC，在DF上截取DE，使DE=AC.
连结CE、BE，则四边形ACED是平行四边形，所以ＣＥ＝ＡＤ.
因为∠EDO=60°，
所以△BDE是等边三角形，DE=BE=AC．
①当BC与CE不在同一条直线上时，
在△BCE中，有BC+CE＞BE，所以BC+AD＞AC.
②当BC与CE在同一条直线上时，如图2所示，
有BC+CE=BE，
因此BC+AD=AC.
综合①、②，得BC+AD≥AC.
例3如图3，凸四边形ABCD中，如果点P满足∠APD=∠APB=α，且∠BPC＝
∠CPD=β，则称点P为四边形ABCD的一个半等角点．
(1)在图4正方形ABCD内画一个半等角点P，且满足α≠β．
(2)在图5四边形ABCD中画出一个半等角点P，保留画图痕迹(不需写出画法).
(3)若四边形ABCD有两个半等角点P1、P２(如图6），证明线段P1P２上任一点也是它的半等角点．(2006年安徽省中考试题)
分析：(1)根据半等角点的概念及其试题的要求，所求的点在AC上，且不能为AC的中点和两个端点；(2)我们利用对称性来处理；(3)我们可以把问题转化为证明直线P1P２是四边形ABCD的对称轴.
略解（１）根据分析（１）作图，图略．
(2)画点B关于AC的对称点Ｂ′，延长DＢ′交AC于点P，点P为所求，具体画图略．
(3)连P1A、P1Ｄ、P1Ｂ、P1Ｃ和P２Ｄ、P２Ｂ，根据题意，
∠AP1Ｄ=∠AP1Ｂ，∠DP1C=∠ＢP1Ｃ，
∴∠AP1B+∠BP1C=180°．
∴P1在AC上，
同理，P２也在AC上．
在△DP1P２和△BP1P２中，
∠DP２P1=∠BP２P1，∠DP1P２=∠BP1P２，P1P２公共，
∴△DP1P２≌△BP1P２．
所以DP1=BP1，DP２=BP２，于是B、D关于AC对称.设P是P1P２上任一点，
连结PD、PB，由对称性，得∠DPA=∠BPA，∠DPC=∠BPC，
所以点P是四边形的半等角点．
三、定义新数
例4如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．
如：4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此4,12,20这三个数都是神秘数．
(1)28和2012这两个数是神秘数吗?为什么?
(2)设两个连续偶数2k+2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗?为什么?
(3)两个连续奇数的平方差(取正数)是神秘数吗?为什么?
(2006年浙江省实验区中考试题)
解：(1)找规律：4=4×1=22-02，12=4×3=42-22，20=4×5=62-42，28=4×7=82-62，…2012=4×503=5042-5022，所以28和2012都是神秘数．
(2)(2k+2)2-(2k)2=4(2k+1)，因此由这两个连续偶数2k+2和2k构造的神秘数是4的倍数．
(3)由(2)知，神秘数一定可以表示成4(2k+1)的形式，因为2k+1是奇数，因此神秘数是4的倍数，但一定不是8的倍数.另一方面，设两个连续奇数为2n+1和2n-1（n为正整数），则（2n+1)2-(2n-1)2=8n，即两个连续奇数的平方差是8的倍数.因此，两个连续奇数的平方差不是神秘数.。