高三下学期高考数学试卷附答案 (25)
福建高三高中数学高考真卷带答案解析
福建高三高中数学高考真卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.复数等于（）A．B．C．D．2.数列的前项和为，若，则等于（）A．1B．C．D．3.已知集合，且，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．4.对于向量和实数，下列命题中真命题是（）A．若，则或B．若，则或C．若，则或D．若，则5.已知函数的最小正周期为，则该函数的图象（）A．关于点对称B．关于直线对称C．关于点对称D．关于直线对称6.以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（）A．B．C．D．7.已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（）A．B．C．D．8.已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．B．C．D．9.把展开成关于的多项式，其各项系数和为，则等于（）A．B．C．D．210.顶点在同一球面上的正四棱柱中，，则两点间的球面距离为（）A．B．C．D．11.已知对任意实数，有，且时，，则时（）A．B．C．D．12.如图，三行三列的方阵中有9个数，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（）A．B．C．D．二、填空题1.已知实数满足则的取值范围是________．2.已知正方形，则以为焦点，且过两点的椭圆的离心率为______．3.两封信随机投入三个空邮箱，则邮箱的信件数的数学期望．4.中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等．如果集合中元素之间的一个关系“”满足以下三个条件：（1）自反性：对于任意，都有；（2）对称性：对于，若，则有；（3）传递性：对于，若，，则有．则称“”是集合的一个等价关系．例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）．请你再列出三个等价关系：______．三、解答题1.（本小题满分12分）在中，，．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若最大边的边长为，求最小边的边长．2.（本小题满分12分）如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的大小；（Ⅲ）求点到平面的距离．3.（本小题满分12分）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交元（）的管理费，预计当每件产品的售价为元（）时，一年的销售量为万件．（Ⅰ）求分公司一年的利润（万元）与每件产品的售价的函数关系式；（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润最大，并求出的最大值．4.（本小题满分12分）如图，已知点，直线，为平面上的动点，过作直线的垂线，垂足为点，且．（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）过点的直线交轨迹于两点，交直线于点，已知，，求的值；5.（本小题满分12分）等差数列的前项和为．（Ⅰ）求数列的通项与前项和；（Ⅱ）设，求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列．6.（本小题满分14分）已知函数（Ⅰ）若，试确定函数的单调区间；（Ⅱ）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；（Ⅲ）设函数，求证：．福建高三高中数学高考真卷答案及解析一、选择题1.复数等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】略2.数列的前项和为，若，则等于（）A．1B．C．D．【答案】B【解析】略3.已知集合，且，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】略4.对于向量和实数，下列命题中真命题是（）A．若，则或B．若，则或C．若，则或D．若，则【答案】B【解析】略5.已知函数的最小正周期为，则该函数的图象（）A．关于点对称B．关于直线对称C．关于点对称D．关于直线对称【答案】A【解析】略6.以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】略7.已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】略8.已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】略9.把展开成关于的多项式，其各项系数和为，则等于（）A．B．C．D．2【答案】D【解析】略10.顶点在同一球面上的正四棱柱中，，则两点间的球面距离为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】略11.已知对任意实数，有，且时，，则时（）A．B．C．D．【答案】B【解析】略12.如图，三行三列的方阵中有9个数，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】略二、填空题1.已知实数满足则的取值范围是________．【答案】【解析】略2.已知正方形，则以为焦点，且过两点的椭圆的离心率为______．【答案】【解析】略3.两封信随机投入三个空邮箱，则邮箱的信件数的数学期望．【答案】【解析】略4.中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等．如果集合中元素之间的一个关系“”满足以下三个条件：（1）自反性：对于任意，都有；（2）对称性：对于，若，则有；（3）传递性：对于，若，，则有．则称“”是集合的一个等价关系．例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）．请你再列出三个等价关系：______．【答案】答案不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等．【解析】略三、解答题1.（本小题满分12分）在中，，．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若最大边的边长为，求最小边的边长．【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）最小边【解析】解：（Ⅰ），．又，．（Ⅱ），边最大，即．又，角最小，边为最小边．由且，得．由得：．所以，最小边．2.（本小题满分12分）如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的大小；（Ⅲ）求点到平面的距离．【答案】（Ⅰ）平面（Ⅱ）二面角的大小为（Ⅲ）点到平面的距离为【解析】解法一：（Ⅰ）取中点，连结．为正三角形，．正三棱柱中，平面平面，平面．连结，在正方形中，分别为的中点，，．在正方形中，，平面．（Ⅱ）设与交于点，在平面中，作于，连结，由（Ⅰ）得平面．，为二面角的平面角．在中，由等面积法可求得，又，．所以二面角的大小为．（Ⅲ）中，，．在正三棱柱中，到平面的距离为．设点到平面的距离为．由得，．点到平面的距离为．解法二：（Ⅰ）取中点，连结．为正三角形，．在正三棱柱中，平面平面，平面．取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，，，．，，，．平面．（Ⅱ）设平面的法向量为．，．，，令得为平面的一个法向量．由（Ⅰ）知平面，为平面的法向量．，．二面角的大小为．（Ⅲ）由（Ⅱ），为平面法向量，．点到平面的距离3.（本小题满分12分）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交元（）的管理费，预计当每件产品的售价为元（）时，一年的销售量为万件．（Ⅰ）求分公司一年的利润（万元）与每件产品的售价的函数关系式；（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润最大，并求出的最大值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）；最大值（万元）．【解析】解：（Ⅰ）分公司一年的利润（万元）与售价的函数关系式为：．（Ⅱ）．令得或（不合题意，舍去）．，．在两侧的值由正变负．所以（1）当即时，．（2）当即时，，所以答：若，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）；若，则当每件售价为元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）．4.（本小题满分12分）如图，已知点，直线，为平面上的动点，过作直线的垂线，垂足为点，且．（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）过点的直线交轨迹于两点，交直线于点，已知，，求的值；【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】解法一：（Ⅰ）设点，则，由得：，化简得．（Ⅱ）设直线的方程为：．设，，又，联立方程组，消去得：，，故由，得：，，整理得：，，．解法二：（Ⅰ）由得：，，，．所以点的轨迹是抛物线，由题意，轨迹的方程为：．（Ⅱ）由已知，，得．则：．…………①过点分别作准线的垂线，垂足分别为，，则有：．…………②由①②得：，即．5.（本小题满分12分）等差数列的前项和为．（Ⅰ）求数列的通项与前项和；（Ⅱ）设，求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列【解析】解：（Ⅰ）由已知得，，故．（Ⅱ）由（Ⅰ）得．假设数列中存在三项（互不相等）成等比数列，则．即．，．与矛盾．所以数列中任意不同的三项都不可能成等比数列．6.（本小题满分14分）已知函数（Ⅰ）若，试确定函数的单调区间；（Ⅱ）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；（Ⅲ）设函数，求证：．【答案】（Ⅰ）由得，故的单调递增区间是，由得，故的单调递减区间是（Ⅱ）实数的取值范围是（Ⅲ）【解析】解：（Ⅰ）由得，所以．由得，故的单调递增区间是，由得，故的单调递减区间是．（Ⅱ）由可知是偶函数．于是对任意成立等价于对任意成立．由得．①当时，．此时在上单调递增．故，符合题意．②当时，．当变化时的变化情况如下表：由此可得，在上，依题意，，又．综合①，②得，实数的取值范围是．（Ⅲ），，，由此得，故．。
2024年福建省高考数学真题及参考答案
2024年福建省高考数学真题及参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.已知集合{}553<<-=x x A ，{}3,2,0,13--=，B ，则=B A （）A.{}0,1-B.{}32， C.{}0,13--， D.{}2,0,1-2.若i z z+=-11，则=z （）A.i --1B.i +-1C.i -1D.i +13.已知向量()1,0=a，()x b ,2= ，若()a b b 4-⊥，则=x （）A.2- B.1- C.1D.24.已知()m =+βαcos ，2tan tan =βα，则()=-βαcos （）A.m3- B.3m -C.3m D.m35.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为3，则圆锥的体积为（）A.π32 B.π33 C.π36 D.π396.已知函数()()⎪⎩⎪⎨⎧≥++<---=0,1ln 0,22x x e x a ax x x f x 在R 上单调递增，则a 的取值范围是（）A.(]0，∞-B.[]0,1-C.[]1,1-D.[)∞+，07.当[]π2,0∈x 时，曲线x y sin =与⎪⎭⎫⎝⎛-=63sin 2πx y 的交点个数为（）A.3B.4C.6D.88.已知函数()x f 定义域为R ，()()()21-+->x f x f x f ，且当3<x 时，()x x f =，则下列结论中一定正确的是（）A.()10010>fB.()100020>fC.()100010<f D.()1000020<f二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，由选错的得0分.9.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值1.2=x ，样本方差01.02=S ，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.08.1，N ，假设失去出口后的亩收入Y 服从发正态分布()2,S x N ，则（）（若随机变量Z 服从正态分布()2,σμN ，则()8413.0≈+<σμZ P ）A.()2.02>>X PB.()5.0<>Z X PC.()5.0>>Z Y P D.()8.0<>Z Y P 10.设函数()()()412--=x x x f ，则（）A.3=x 是()x f 的极小值点B.当10<<x 时，()()2xf x f <C.当21<<x 时，()0124<-<-x f D.当01<<-x 时，()()x f x f >-211.造型可以看作图中的曲线C 的一部分，已知C 过坐标原点O ，且C 上的点满足横坐标大于2-，到点()02，F 的距离与到定直线()0<=a a x 的距离之积为4，则（）A .2-=aB .点()022，在C 上C .C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D .当点()00,y x 在C 上时，2400+≤x y三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设双曲线()0,012222>>=-b a by a x C ：的左右焦点分别为21,F F ，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于B A ,两点，若131=A F ，10=AB ，则C 的离心率为.13.若曲线x e y x+=在点()1,0处的切线也是曲线()a x y ++=1ln 的切线，则=a .14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字1,3,5,7，乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两个各自从自己特有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片的数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分小于2的概率为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）记ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.已知B C cos 2sin =，ab c b a 2222=-+.（1）求B ；（2）若ABC ∆的面积为33+，求c .16.（15分）已知()30，A 和⎪⎭⎫⎝⎛233，P 为椭圆()012222>>=+b a b y a x C ：上两点.（1）求C 的离心率；（2）若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP ∆的面积为9，求l 的方程.17.（15分）如图，四棱锥ABCD P -中，⊥P A 底面ABCD ，2==PC P A ，1=BC ，3=AB .（1）若PB AD ⊥，证明：∥AD 平面PBC ；（2）若DC AD ⊥，且二面角D CP A --的正弦值为742，求AD .18.（17分）已知函数()()312ln-++-=x b ax xx x f .（1）若0=b ，且()0≥'x f ，求a 的最小值；（2）证明：曲线()x f y =是中心对称图形；（3）若()2->x f ，当且仅当21<<x ，求b 的取值范围.19.（17分）设m 为正整数，数列242.1,,,+m a a a 是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j i <后剩余的m 4项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列242.1,,,+m a a a 是()j i ,一一可分数列.（1）写出所有的()j i ,，61≤<≤j i ，使数列62.1,,,a a a 是()j i ,一一可分数列；（2）当3≥m 时，证明：数列242.1,,,+m a a a 是()13,2一一可分数列；（3）从242,1+m ，， 中一次任取两个数i 和j ()j i <，记数列242.1,,,+m a a a 是()j i ,一一可分数列的概率的概率为m P ，证明：81>m P .参考答案一、单项选择题1.A解析：∵553<<-x ，∴3355<<-x .∵2513<<，∴1523-<-<-.∴{}0,1-=B A .2.C解析：∵i z z +=-11，∴()()i i i z i iz z i z -=+=⇒+=⇒-+=11111.3.D 解析：()4,24-=-x a b ，∵()a b b4-⊥，∴()044=-+x x ，∴2=x .4.A解析：∵()m =+βαcos ，2tan tan =βα，∴()()32121tan tan 1tan tan 1sin sin cos cos sin sin cos cos cos cos -=-+=-+=-+=+-βαβαβαβαβαβαβαβα.∴()m 3cos -=-βα.5.B解析：由32⋅==r rl S ππ侧可得32=l ，∴3=r .∴ππ33393131=⋅⋅==Sh V .6.B由()()0,1ln ≥++=x x e x f x为增函数，故此分段函数在R 上递增，只需满足：⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-=--1022a a a，解得01≤≤-a .7.C解析：∴32π=T .8.B解析：()()()123f f f +>，()22=f ，()11=f .()()()()()122234f f f f f +>+>，()()()()()1223345f f f f f +>+>，……()()()8912123410>+>f f f ，……，()()()9871233237715>+>f f f ，()()()15971377261016>+>f f f .∴()100020>f .二、多项选择题9.BC 解析：已知()21.08.1~，N X ，由题目所给条件：若随机变量Z 服从正态分布，()8413.0≈+<σμZ P ，则()8413.09.1≈<X P ，易得()1587.08413.012≈-<>X P .故A 错误，B 正确；对于C：()21.01.2~，N Y ，∴()5.01.2=>Y P ，即()()5.01.22=>>>Y P Y P ，故C正确；对于D：同上易得()8413.02.2≈<Y P .由正态密度曲线的对称性可知()()8.08412.02.22>≈<=>Y P Y P .故D 错误.10.ACD解析：对于A：()()()()()()31314122--=-+--='x x x x x x f .令()0='x f ，解得11=x ，32=x .x 变化时，()x f '与()x f 变化如下表：故A 正确；对于B：当10<<x 时，102<<<x x ，又()x f 在()1,0上单调递增，所以()()x f xf <2，故B 错误；对于C ：令()2112<<-=x x t ，则31<<x .()x f 在()3,1上单调递减，()()()13f t f f <<，()43-=f ，()11=f ，即()0121<-<-x f .故C 正确；对于D：()()()412--=x x x f ，()()()()()21421222---=---=-x x x x x f .∴()()()()()32122212-=--=--x x x x f x f .当01<<-x 时，()013<-x ，∴()()x f x f -<2成立.故D 正确.11.ABD解析：对于A：O 点在曲线C 上，O 到F 的距离和到a x =的距离之积为4，即42=⨯a ，解得2±=a .又∵0<a ，∴2-=a ，故A 正确；对于B：由图象可知曲线C 与x 轴正半轴相交于一点，不妨设B 点.设()0,m B ，其中2>m ，由定义可得()()422=+-m m ，解得22±=m .又∵2>m ，∴22=m ，故B 正确；对于C：设C 上一点()y x P ,，()()42222=++-x y x ，其中2->x .化简得曲线C 的轨迹方程为()()2222216--+=x x y ，其中2->x .已知2=x 时，12=y ，对x 求导()()2223232--+-=x x y .2122-==x y ，则在2=x 是下降趋势，即存在2<x 时，1>y 成立，故C 错误；对于D：()()2222216--+=x x y ，∵()022≥-x ，∴()22216+≤x y .∴240+≤x y .又∵20->x ，2400+≤x y ，则24000+≤≤x y y ，故D 正确.三、填空题12.23解析：作图易得131=A F ，52=AF ，且212F F AF ⊥，12222121=-=AF A F F F .由双曲线定义可得：8221=-=AF A F a ，6221==F F c ，则23==a c e .13.2ln 解析：1+='xe y ，20='==x y k ，切线l 的方程：12+=x y .设l 与曲线()a x y ++=1ln 的切点横坐标为0x ，110+='x y ，则2110=+=x k ，解得210-=x .代入12+=x y 可得切点为⎪⎭⎫⎝⎛-021，，再代入()a x y ++=1ln ，a +=21ln 0，即2ln =a .14.21解析：不妨确定甲的出牌顺序为7,5,3,1.乙随机出牌有2444=A 种基本事件.甲的数字1最小，乙的数字8最大.若数字1和数字8轮次不一致，乙最少得2分，甲最多2分.站在甲的视角下，分四种情况：①8对1，则7必得分（1）若得3分：3,5都得分，3对2,5对4（1种情况）（2）若得2分：3,5只有一个得分（ⅰ）：5得分，3不得分：5对2,3对4或6（2种情况）；5对4,3对6（1种情况）；（ⅱ）：3得分，5不得分：3对2,5对6（1种情况）；②8对3,7必得分5得分：5对2,4,7对应2种情况，共有422=⨯种情况；③8对5,7必得分3得分：3对2,7对应2中情况，共有221=⨯种情况；④8对7，最多得2分3得分，5得分：3对2,5对4（1种情况）.共有12种情况，甲总得分不小于2的概率为212412=.四、解答题15.解：（1）∵ab c b a 2222=-+，∴22222cos 222==-+=ab ab ab c b a C .∴22cos 1sin 2=-=C C .又∵B C cos 2sin =，∴22cos 2=B ，∴21cos =B ，∴3π=B .（2）∵33sin 21+==∆Bac S ABC ，∴333sin 21+=ac π.即434+=ac ……①由（1）易知4π=C ，3π=B .由正弦定理C c A a sin sin =，()CcC B a sin sin =+.∴4sin43sin πππc a =⎪⎭⎫ ⎝⎛+，∴224269c =+，∴c a 213+=.代入①式解得22=c .16.解：（1）将()30，A ，⎪⎭⎫⎝⎛233，P 代入椭圆12222=+b y a x 得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=149919222b a b ，可得⎪⎩⎪⎨⎧==91222b a ，∴3222=-=b a c ，∴32=a ，3=c .∴离心率21323===a c e .（2）①当l 斜率不存在时，29332121=⨯⨯=-⋅=∆A P ABP x x PB S ，不符，舍去.②当l 斜率存在时，设l 方程：()323-=-x k y .联立()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-191232322y x x k y 可得：()()()02736212342222=--++-++k k x k k x k.由韦达定理：()34273622+--=⋅k k k x x B P ，又3=P x ，∴()3491222+--=k k k x B .∵BP 与y 轴交点⎪⎭⎫ ⎝⎛+-233,0k ，∴()9349123323213232122=+---⋅+=-+⋅=∆k k k k x x k S B P ABP 解得21=k 或23，∴l 方程x y 21=或0623=--y x .17.解：（1）证明：∵⊥P A 底面ABCD ，∴AD P A ⊥.又∵PB AD ⊥，∴⊥AD 平面P AB ，则AB AD ⊥.又∵1,32===BC AB AC ，，∴222BC AB AC +=，则BC AB ⊥，∴BC AD ∥.∵⊄AD 平面PBC ，⊂BC 平面PBC ，∴∥AD 平面PBC .（2）以D 为原点，DA 为x 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系.设0,0,,>>==q p q DC p DA ，满足4222==+AC q p ，则()()()()0,0,0,0,,0,20,0,0,D q C p P p A ，，.设平面APC 法向量为()111,,z y x m =，∴()()0,,200q p AC AP -==，，，.∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅==⋅002111qy px m AC z m AP ，取()0,,p q m = .设平面DPC 法向量为()()()0,,0,2,0,,,,222q DC p DP z y x n ===.∴⎪⎩⎪⎨⎧==⋅=+=⋅002222qy n DC z px n AP ，取()p n -=,0,2 .∴2222742142,cos ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+⋅+=p q p qn m .∴7142=+p q .又∵422=+q p ，∴3=p ，即3=AD .18.解：（1）0=b 时，()ax x x x f +-=2ln，∴()()022≥+-⋅='a x x x f .∴()22-≥x x a .又∵()2,0∈x ，设()()22-=x x x h ，当()2,0∈x 时，()2max -=x h ，∴2-≥a .∴a 的最小值为2-.（2）由题意可知()x f 的定义域为()20，.()()()()()a x b x a xx bx x a x x x f x f 2111ln 111ln1133=-+-++-++++-+=-++.∴()x f 关于()a ,1中心对称.（3）()212ln 3->-++-x b ax xx ，即()0212ln3>+-++-x b ax x x 即()()02112ln 3>++-+-+-a x b x a xx.令1-=x t ，则()1,0∈t ，()0211ln 3>++++-+=a bt at tt t g .()t g 关于()a +2,0中心对称，则当且仅当()1,0∈t 时，()0>t g 恒成立.需02=+a ，即2-=a ，()0≥'t g 在()1,0恒成立.()()()()22222212231223032112t t t b t bt bt t t t g --≥⇒--≥⇒≥+--+='.令2t m =，则()1,0∈m ，()()12122-=--=m m m m m h .()2max -=m h ，∴23-≥b ，即32-≥b .∴⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-∈,32b .19.解：（1）从1,2,3,4,5,6中删去()j i ,剩下的四个数从小到大构成等差数列，记为{}k b ，41≤≤k .设{}k b 公差为d ，已知1=d ，否则，若2≥d ，则6314≥=-d b b ，又51614=-≤-b b ，故矛盾，∴1=d ，则{}k b 可以为{}4,3,2,1，{}5,4,3,2，{}6,5,4,3，则对应()j i ,分别为()()()2,16,16,5，，.（2）证明：只需考虑前14项在去掉()13,2后如何构成3组4项的等差数列，后面剩下的()34124-=-m m 可自然依序划分为3-m 组等差数列.则只需构造{}14,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,1的一组划分，使划分出的3组数均成等差数列，取{}{}{}14,11,8,512,9,6,310,7,4,1，，，这单租数均为公差为3的等差数列，对于剩下的()34-m 个数，按每四个相邻数一组，划分为3-m 组即可.由此可见去掉()13,2后，剩余的m 4个数可以分为m 组，每组均为等差数列，故3≥m 时，24,2,1+m 是()13,2可分数列，即2421,,,+m a a a 是()13,2可分数列.（3）证明：用数学归纳法证明：共有不少于12++m m 中()j i ,的取法使24,2,1+m 是()j i ,可分数列，①当1=m 时，由（1）知，有11132++=种()j i ,的取法，②假设当n m =时，有至少12++n n 种()j i ,的取法，则当1+=n m 时，考虑数列{}64,,2,1+n 下对于()j i ,分三种情况讨论：1°当1=i 时，取()1,,,2,1,0,24+=+=n n k k j 则j i ,之间（不含j i ,）有k k 41124=--+个连续的自然数，可按形如{}{}{}14,4,14,249,8,7,65,4,3,2+--k k k k ，，， 划分，剩下的64,,44,34+++n k k ，也可按每四个连续自然数划分得到相应的等差数列，∵1,,,2,1,0+=n n k ，∴这种情况有2+n 种()j i ,的取法.2°当2=i 时，取()1,,,2,14+=+=n n k k j ，现以k 为公差构造划分为：{}13,12,11+++k k k ，，{}33,32,3,3+++k k k ，……{}14,13,12,1----k k k k ，{}k k k k 4,3,22,，{}24,23,22,2++++k k k k （注意当2=k 时，只有{}{}10,8,6,47,5,3,1，这两组）剩下的64,,44,34+++n k k ，也可按每四个连续自然数划分得到相应的等差数列，∵1,,,2+=n n k ，∴这种情况有n 种()j i ,的取法.3°当2>i 时，考虑{}64,,7,6,5+n 共24+n 个数，由归纳假设里n m =时，有至少12++n n 种()j i ,的取法.综合1°2°3°，当1+=n m 时，至少有()()()()1111222++++=+++++n n n n n n 中取法，由①②及数学归纳法原理，值共有不少于12++m m 种()j i ,的取法使24,2,1+m 为()j i ,可分数列，那么()()8188811681121411222222242=++++>++++=++++=++≥+m m m m m m m m m m m m C m m P m m ，∴81>m P .。
福建省福州市鼓楼区2025届高三下学期联合考试数学试题含解析
福建省福州市鼓楼区2025届高三下学期联合考试数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设数列{}()*n a n N ∈的各项均为正数，前n 项和为nS，212log 1log n n a a +=+，且34a =，则6S =（ ）A ．128B ．65C ．64D ．632．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若2a =，ABC 的面积为3(21)-，则b c +=（ ） A ．5B ．22C ．4D ．163．执行如图所示的程序框图，若输出的310S =，则①处应填写（ ）A ．3?k <B ．3?kC ．5?kD ．5?k <4．已知复数2(1)(1)i z a a =-+-（i 为虚数单位，1a >），则z 在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．已知抛物线()220y px p =>经过点(2,22M ，焦点为F ，则直线MF 的斜率为（ ）A ．22B ．24C ．22D ．22-6．已知复数z 满足(1)43z i i +=-，其中i 是虚数单位，则复数z 在复平面中对应的点到原点的距离为（ ）A ．52B ．522C ．52D ．547．设()()2141A B -，，，，则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ）A ．22(3)2x y -+=B ．22(3)8x y -+=C ．22(3)2x y ++=D ．22(3)8x y ++=8．已知直三棱柱中111ABC A B C -，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成的角的正弦值为（ ）． A ．32B ．105C ．155D ．639．函数()1log 1a x f x x x +=+（01a <<）的图象的大致形状是（ ） A ． B ． C ．D ．10．已知，都是偶函数，且在上单调递增，设函数，若，则（ ）A ．且B ．且C ．且D ．且11．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ）A ．23B ．43C ．2D ．412．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：()()2262x m y m -+--=与圆2C ：()()22121x y ++-=交于A ，B 两点，若OA OB =，则实数m 的值为（ ） A ．1B ．2C ．-1D ．-2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2025届广东高三10.28大联考(25-69C)数学答案
高三数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知复数()2i 1i 1z =−+，则z =（ ）A.B.C. 5D. 13【答案】B 【解析】【分析】先化简z 的表达式，然后求得z 的模. 【详解】()22i 1i 12i 2i 132i z =−+=−+=+，所以z .故选：B2. 已知抛物线2:2C y x =，则抛物线C 的焦点到准线的距离是（ ）A. 4B.14C. 2D.12【答案】B 【解析】【分析】根据抛物线方程求出p ，由抛物线定义可得解. 【详解】由抛物线2:2C y x =可得212x y =， 所以122p =，14p =，故抛物线C 的焦点到准线的距离是14p =. 故选：B3. 等比数列{} n a 的前n 项和为n S ，若63:3:1S S =，则93:S S =（ ） A. 4:1 B. 6:1C. 7:1D. 9:1【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列前n 项和的性质k S ，2k k S S −，32k k S S −，43k k S S −， 成等比数列求解. 【详解】因为数列{} n a 为等比数列，则3S ，63S S −，96S S −成等比数列，设3S m =，则63S m =，则632S S m −=， 故633S S S −=96632S S S S −=−，所以964S S m −=，得到97S m =，所以937S S =. 故选：C.【点睛】本题考查等比数列前n 项和性质的运用，难度一般，利用性质结论计算即可.4. 现有一个正四棱台形水库，该水库的下底面边长为2km ，上底面边长为4km ，侧棱长为，则该水库的最大蓄水量为（ ） A.3112km 3B. 3112kmC.356km 3D. 356km【答案】A 【解析】【分析】根据题意，水库的最大蓄水量等于正四棱台的体积，进而用台体的面积公式即可求解. 【详解】根据题意画出图形，如图所示，其中1AH OO =且1//AH OO .由1112,4,AB A B AA ===11AC A C =，又1AH OO =且1111//,AH OO OO AO ⊥，可得1AHO O 是长方形，则1OA O H =，所以1111A H O A O H =−=，4AH =，则，正四棱台的高4h =，下底面的面积1222S =×=，上底面的面积24416S =×=.于是正四棱台的体积(()121111241684333V S S h =++=×++×=. 故该水库的最大蓄水量为3112km 3. 故选：A.5. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的一条渐近线被圆22(3)9x y −+=所截得的弦长为2a ，则双曲线C 的焦距是（ ） A. 2 B. 3C. 4D. 6【答案】D 【解析】【分析】求出圆心到渐近线的距离，根据圆的几何性质建立弦心距、半弦长、半径的方程即可求解 【详解】不妨设双曲线的一条渐近线方程为by x a=，即0bx ay −=，则圆心()3,0到渐近线的距离3b dc ， 由圆的半径3r =及圆的几何性质可得2222222222222999939b c a a a d a a a c c c −=+=+=+=+−， 化简得2229a a c=，解得29c =，所以3,26c c ==， 故选：D6. 若函数()()2ln e 1xf x ax =+−是偶函数，则曲线()y f x =在0x =处的切线斜率为（ ）A. 12−B. 0C.12D.32【答案】B 【解析】【分析】利用偶函数的定义可求得1a =，进而求得()y f x =在0x =处的导数，可得结论.【详解】因为函数()f x 是偶函数，所以()()f x f x −=，又易得函数()f x 的定义域是R ， 即()()22ln e1ln e 1xx ax ax −++=+−， 所以()()22222e 12ln e 1ln e1ln lne e 21x xxxx x x a −− +=+−+===+ ，所以2(1)0a x −=，又R x ∈，所以解得1a =，所以()()2ln e 1xf x x =+−，所以()2212e e 11xxf x ′=+− ，所以()202012e e 0101f ××′=−+= ， 所以曲线()y f x =在0x =处的切线斜率为0. 故选：B.7. 对于非空数集,A B ，定义(){},,AB x y x A y B ×=∈∈，将A B ×称为“A 与B 的笛卡尔积”．记非空数集M 的元素个数为M ，若,A B 是两个非空数集，则4A A B BA B×+××的最小值是（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B 【解析】【分析】根据A B ×、M 的定义对.【详解】设,A m B n ==，*,N ∈m n ，则22444A A B B m n m n A B mn n m ×+×+==+×4≥=， 当且仅当4,2m n m n n m==时等号成立， 所以4A A B BA B×+××的最小值是4. 故选：B8. 已知圆22:60M x y y +−=与圆()22:(cos )(sin )102πN x y θθθ−+−=≤≤交于,A B 两点，则ABM （M 为圆M 的圆心）面积的最大值为（ ）A.B.94C.D.92【答案】C【解析】【分析】求出两圆的半径，从而可得2AB ≤，因为AMB ∠为锐角，所以要使ABM 的面积最大，只要sin AMB ∠取得最大值即可，此时2AB =，解出ABM 的面积，即可得解.【详解】由题意得：()22:39M x y +−=，所以圆心()0,3M ，半径3r =，由两圆相交于,A B 两点可知：MA MB =3r ==，所以ABM 面积1sin 2ABMS MA MB AMB =××∠ 133sin 2AMB =×××∠ 9sin 2AMB ∠， 因为N 是半径为1的圆，所以2AB ≤， 当2AB =时，MN =，又MN=，1sin 3θ=，cos θ=|AAAA |可以取最大值2； 所以当2AB =时，AMB ∠最大，且是锐角，根据函数sin y x =的单调性可知：当2AB =时，sin AMB ∠最大，在ABM 中由余弦定理可得：222cos 2MA MB AB AMB MA MB+−∠=×222332233+−=××79=，所以sin AMB ∠=所以92ABM S≤ = 故选：C.【点睛】关键点点睛：利用三角形的面积公式表示面积之后，关键点在于利用圆的几何性质寻找|AAAA |的最大值，从而确定面积的的最大值.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失，而在水平面上积聚的水层深度，一般以毫米为单位．降雨量可以直观地反映一个地区某一时间段内降水的多少，它对农业生产、水利工程、城市的排水等有着重要的影响．如图，这是,A B 两地某年上半年每月降雨量的折线统计图．下列结论正确的是（ ）A. 这年上半年A 地月平均降雨量比B 地月平均降雨量大B. 这年上半年A 地月降雨量的中位数比B 地月降雨量的中位数大C. 这年上半年A 地月降雨量的极差比B 地月降雨量的极差大D. 这年上半年A 地月降雨量的80%分位数比B 地月平均降雨量的80%分位数大 【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意将A 、B 地月降雨量按升序排列，结合平均数、中位数、极差以及百分位数的定义逐项分析判断.【详解】由题意可知：A 地月降雨量按升序排列可得：25,27,28,38,42,50， B 地月降雨量按升序排列可得：22,25,30,37,40,45， 对于选项A ：可知A 地月平均降雨量为252728384250356x +++++=，B 地月平均降雨量为22253037404519966y+++++=，因为x y >，所以这年上半年A 地月平均降雨量比B 地月平均降雨量大，故A 正确； 对于选项B ：A 地月降雨量的中位数为2838332+=，B 地月降雨量的中位数为303733.52+=， 因为3333.5<，所以A 地月降雨量的中位数比B 地月降雨量的中位数小，故B 错误； 对于选项C ：A 地月降雨量的极差为502525−=，B 地月降雨量的极差为452223−=， 因为2523>，A 地月降雨量的极差比B 地月降雨量的极差大，故C 正确； 对于选项D ：因为680% 4.8×=，可知A 地月降雨量的80%分位数为42，B 地月降雨量的80%分位数为40，且4240>，所以A 地月降雨量的80%分位数比B 地月平均降雨量的80%分位数大，故D 正确； 故选：ACD.10. 已知函数()sin 2cos f x x x =+，下列结论正确的是（ ） A. ()f x 的最小正周期为2πB. 若直线0x x =是()f x 图象的对称轴，则0sin x =C. ()f x 在[]0,π上的值域为 −D. 若(],,0,2παβαβ≠∈，且()()2f f αβ==−，则()3cos 5αβ+=【答案】ACD 【解析】【分析】应用辅助角公式化简())f x x ϕ=+且sin ϕϕ=，不妨令π02ϕ<<，结合正弦型函数的性质、诱导公式、倍角余弦公式判断各项正误.【详解】由()sin 2cos )f x x x x ϕ=++且sin ϕϕ=，不妨令π02ϕ<<，由化简后的解析式，易知其最小正周期为2π，A 对； 若直线0x x =是()f x 图象的对称轴，则0ππ2x k ϕ+=+且Z k ∈，即0ππ2x k ϕ=+−，所以0πsin sin(π)cos 2x k ϕϕ=+−=±B 错； 由[]0,πx ∈，则0[,π]x ϕϕϕ+∈+，且π3π0ππ22ϕϕ<<<<+<，所以()min π)2f x ϕϕ+=−，()maxπ2f x ==，故值域为 − ，C 对；由题设，令())2f x x ϕ+=−，则(21)πx k ϕϕ+=++或2πk ϕ−，且Z k ∈， 所以(21)πx k =+或2π2k ϕ−，又(],,0,2παβαβ≠∈，不妨令π,2π2αβϕ==−，则()23cos cos()cos 253π212cos ϕϕϕαβ+==−−=−=，D 对.故选：ACD11. 在长方体1111ABCD A B C D −中，14,,AB AD AA E F ===分别是棱111,A D BB 的中点，G 是1A B 的中点，直线1C G 与平面ABCD 交于点P ，则（ ） A. 异面直线EF 与CDB. 点C 到平面DEFC. 三棱锥1P AAC −D. 四面体CDEF 外接球的表面积是34π 【答案】ACD 【解析】【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，求出EF 与CD利用夹角的余弦公式计算后可判断A 的正误，利用向量法可求点C 到平面DEF 的距离后可判断B 的正误，求出P 的坐标后可计算三棱锥1P AAC −的体积，从而可判断C 的正误，求出球心的坐标后可求外接球的半径，计算表面积后可判断D 的正误.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则()((4,0,0,0,2,,4,C E F ，故()(4,0,0,4,2,DC EF ==，故cos ,DC EF =故异面直线,DC EF，故A 正确；因为(0,2,ED −−，设平面DEF 的法向量为(,,)n x y z = ，则由00n ED n EF ⋅= ⋅=可得20420y x y −−=+−=，取(1)n − ，而(0,CF = ，故点C 到平面DEF的距离是CF n n ⋅= B 错误；又(1(4,0,2,C G ，设(),,0P a b ，则((114,,,2,,PC a b GC =−−=−因为11,PC GC 共线，所以4224a b−−==−，故8,0b a ==，即()0,8,0P ， 故4AP =，且P 在y轴上，故1114432P AA C V −=××××=，故C 正确； 设四面体CDEF 外接球的球心为(),,O s t w ，则OCOD OF OE ===，即()2222224x y z x y z ++=−++；()()(22222244x y z x y z ++=−+−+−；()(2222222x y z x y z ++=+−+−，整理得到：2818412x y y = +=+=，故22x y z= = =故外接球的表面积为174π34π2×=，故D 正确. 故选：ACD.【点睛】思路点睛：空间几何体的外接球的计算问题，首先确定球心的位置，如果球心的位置不易求得，则可以通过空间向量的方法求出球心坐标，从而解决与球有关的计算问题.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知单位向量,a b满足|3|a b +，则a 与b 的夹角为______________．【答案】3π##60【解析】【分析】将等式|3|a b +两边平方即可.【详解】因为222|3|6913a b a a b b ++⋅+， 所以12a b ⋅= ，所以1cos ,2a b 〈〉= ，[],0π,3a b a b π∈= ，，．故答案为：3π.13. 一场篮球比赛需要3名裁判员（1名主裁判、2名助理裁判），现从9名（5男4女）裁判员中任意选取3人担任某场篮球比赛的裁判，则这3名裁判员中既有男裁判员，又有女裁判员，且男裁判员担任主裁判的概率是______． 【答案】55126【解析】【分析】求解计划是先计算出既有男裁判员又有女裁判员且男裁判员担任主裁判的情况数，再计算从9名裁判员中选3人的总情况数，最后用前者除以后者得到概率.【详解】先计算既有男裁判员又有女裁判员且男裁判员担任主裁判的情况数.因为男裁判员担任主裁判，所以先从5名男裁判员中选1名作为主裁判，有15C 5=种选法.后有两种情况.从4名女裁判员中选2名作为助理裁判，有244!C 62!(42)!==−种选法. 从4名女裁判员中选1名作为助理裁判，和从4名男裁判员中选1名作为助理裁判，有144116C C =种选法.根据乘法原理，既有男裁判员又有女裁判员且男裁判员担任主裁判的情况数为5(616)110×+=种. 再计算从9名裁判员中选3人的总情况数.从9名裁判员中选3人作为裁判，总数为399873C 325232××=×=×种. 所求概率11055252126P ==. 故答案为：55126.14. 已知0x 满足 ()02000e ln 001xx x x +<<，则0003ln 1e x x x +−=_______． 【答案】3 【解析】【分析】原方程可化为01ln 001e ln e x x x x =，结合函数()e ,0x g x x x =>的单调性可得001ln x x =，故可求目标代数式的值.【详解】因为()02000e ln 001x x x x +<<，故001ln 0000111e ln ln e x x x x x x ==，因为001x <<，故011x >，所以01ln 0x >，设()e ,0x g x x x => 则()()1e 0xg x x =+>′，故()g x 在(0,+∞)上为增函数， 故001lnx x =，故001e x x =，且00ln x x =−，故00003ln 13ln e 3x x x x x +−=−=， 故答案为：3.【点睛】思路点睛：对于与指数、对数都出现的代数式，注意利用同构结合新函数的单调性进行转化.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知函数()()321342f x x a x ax =+−−+． （1）当6a =时，求()f x 的极值； （2）讨论()f x 的单调性．【答案】（1）极大值为14，极小值为12（2）答案见解析 【解析】【分析】（1）利用导数求得()f x 的极值.（2）先求得ff ′(xx )，对a 进行分类讨论，从而求得()f x 的单调区间.小问1详解】【当6a =时，()()()()322364,3363212f x x x x f x x x x x =+−+=+−=+−′， 所以()f x 在区间()(),2,1,∞∞−−+上()()0,f x f x ′>单调递增， 在区间()2,1−上()()0,f x f x ′<单调递减，所以()f x 的极大值是()28612414f −=−+++=， 极小值为()31116422f =+−+=. 【小问2详解】()()321342f x x a x ax =+−−+，()()()233313a f x x a x a x x=+−−=−+′ ，当1,33aa −==−时，()()0,f x f x ′≥单调递增； 当1,33a a −><−时，()f x 在区间(),1,,3a ∞∞−−+上()()0,f x f x ′>单调递增， 在区间1,3a−上()()0,f x f x ′<单调递减. 当1,33a a −−时，()f x 在区间(),,1,3a ∞∞−−+ 上()()0,f x f x ′>单调递增，在区间,13a−上()(0,f x f x ′<单调递减. 综上：当3a =−时，ff (xx )在R 上单调递增； 当3a <−时，()f x 在区间(),1,,3a ∞∞−−+上单调递增，在区间1,3a − 上单调递减.当3a >−时，()f x 在区间(),,1,3a ∞∞−−+ 上单调递增，在区间,13a−上单调递减. 16. 在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且()()cos cos cos b c A a B C +=−． （1）证明：2A B =．（2）若ABC 是锐角三角形，求ba的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】【分析】（1）由正弦边角关系及和差角正弦公式得到sin()sin()A C A B +=−，结合三角形内角性质即可证结论； （2）由题设得π6π4B <<，应用正弦边角关系、倍角正弦公式有12cos b a B=，即可求范围. 【小问1详解】由题设()()sin sin cos sin cos cos B C A A B C +=−， 所以sin cos sin cos sin cos sin cos B A C A A B A C +=−，则sin cos sin cos sin cos sin cos C A A C A B B A +=−，即sin()sin()A C A B +=−， 又πA C B +=−，则sin()sin sin()πB B A B =−−=，且,(0,π)A B ∈， 所以2B A B A B =−⇒=，得证. 【小问2详解】由题设π02π02ππ2A B A B <<<<<+<，即π022π02π3π2B B B<< << << ，得π6π4B <<，由sin sin 1sin sin 22cos b B B a A B B ===，而cos B ∈，故b a ∈. 17. 如图，在四棱锥P ABCD −中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为等腰梯形，其中AB CD ∥，24,AB CD AD ===．（1）证明：平面PAC ⊥平面PBD ．（2）若3PD =，求二面角B PA C −−的余弦值． 【答案】（1）证明见详解（2 【解析】【分析】（1）过D 作DE AB ⊥，垂足为M ，建系标点，利用空间向量可得AC BD ⊥，根据线面垂直的性质可得AC PD ⊥，即可证线面垂直；（2）根据题意分别求平面PAC 、平面PAB 的法向量，利用空间向量求二面角. 【小问1详解】过D 作DE AB ⊥，垂足为M ，则33,3BE AE DE ====，因为AB CD ∥，则DECD ⊥，且PD ⊥平面ABCD ，如图所示，以D 为坐标原点，,,DE DC DP 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()3,1,0,3,3,0,0,2,0,0,0,0A B C D −，可得()()3,3,0,3,3,0AC DB =−= ，因为9900AC DB ⋅=−++= ，则AC BD ⊥，又因为PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，则AC PD ⊥， 且BD PD D = ，,BD PD ⊂平面PBD ，可得AC ⊥平面PBD ， 又因为AC ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面PBD . 【小问2详解】若3PD =，由（1）可知：()0,0,3P ，可得()()()0,4,0,3,1,3,3,3,0AB PA AC ==−−=−，设平面PAC 的法向量为mm ��⃗=(xx 1,yy 1,zz 1)，则11111330330m PA x y z m AC x y ⋅=−−= ⋅=−+=， 令13x =，则113,2y z ==，可得()3,3,2m =， 设平面PAB 的法向量为nn �⃗=(xx 2,yy 2,zz 2)，则222233040n PA x y z n AB y ⋅=−−= ⋅==， 令21x =，则220,1y z ==，可得()1,0,1n =，则cos,m n m n m n⋅==⋅，由图可知二面角B PA C −−为锐二面角，所以二面角B PA C −−18. 已知()()2,0,2,0A B −，直线,AM BM 交于点M ，且直线,AM BM 的斜率之积为14−，点M 的轨迹记为曲线C ． （1）求C 的方程．（2）不过点()0,1N 的直线l 与C 交于,P Q 两点，且直线PN 与QN 的斜率之和为2，试问直线l 是否过【答案】（1）221(2)4x y x +=≠±（2）直线l 过定点(1,1)−−，理由见详解. 【解析】【分析】（1）设点(,)M x y ，利用14AM BM k k ⋅=−建立等量关系，求M 的轨迹方程. （2）分直线l 的斜率存在和不存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线l 的方程，与椭圆方程联立，求出两根之和和两根之积，根据直线PN 与QN 的斜率之和为2得到参数的关系，可得直线恒过定点，当斜率不存在时，求点,P Q 的横坐标，可得直线过定点. 【小问1详解】设(,)M x y ，则(2)2AM y k x x =≠−+，(2)2BMyk x x =≠−，由题意得，1224AM BM y yk k x x ⋅=⋅=-+-，整理得221(2)4x y x +=≠±， ∴曲线C 的方程为221(2)4x y x +=≠±.【小问2详解】 设1122)(,),(,P x y Q x y ，当l 斜率存在时，设:(1)l y kx m m =+≠， 由2214y kx m x y =++=得，222(41)8440k x kmx m +++−=， ∴222(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+->，即22410k m −+>，∴2121222844,4141km m x x x x k k −+=−=++， ∵直线PN 与QN 的斜率之和为2，∴1212112y y x x −−+=， ∴12211221212(1)(1)(1)()(1)22221kx m x kx m x m x x m kmk k x x x x m +-++--+-⋅=+=-=-，∴210m km k -+-=，整理得(1)(1)0m m k -+-=， ∵1m ≠， ∴1m k =−，∴直线l 方程为1(1)1y kx k k x +−+−，恒过定点(1,1)−−. 当直线l 斜率不存在时，1212,x x y y ==−，∵直线PN 与QN 的斜率之和为2，∴121112111111122y y y y x x x x x ------+=+==，∴11x =−，此时直线:1l x =−，恒过定点(1,1)−−. 综上得，直线l 过定点(1,1)−−.19. 某项测试共有n 道多项选择题，每道题的评分标准如下：全部选对得5分；部分选对得2分；有选错或不答得0分．记n 道题的总得分为,X X 的取值个数为n a ． （1）求123,,a a a 的值；（2）当5n =时，若某人参加这项测试，每道题得5分、2分、0分的概率相等，且每道题答对与否相互独立，求10X =的概率； （3）求数列11n n a a +的前n 项和n S ． 【答案】（1）1233,6,9a a a === （2）11243（3）9(1)n nS n =+.【解析】【分析】（1）通过列举分析的方式确定123,,a a a 的值. （2）确定10X =时分两种情况，分别计算相加即可.（3）分情况讨论每种情况下总得分的取值个数，相加计算n a ，表示11n n a a +，用裂项相消法计算前n 项和.【小问1详解】当1n =时，总得分取值为5,2,0，13a =，的当2n =时，情况如下：①两题都得5分；两题都得2分；两题都得0分；②一题得5分，一题得2分； ③一题得5分，一题得0分；④一题得2分，一题得0分.233(21)6a =+⨯-=.当3n =时，情况如下：①三题都得5分；三题都得2分；三题都得0分； ②一题得5分，两题得2分；两题得5分，一题得2分； ③一题得5分，两题得0分；两题得5分，一题得0分；. ④一题得2分，两题得0分；两题得5分，一题得0分； ⑤一题得5分，一题得2分，一题得0分，总得分与②重复，333(31)9a =+⨯-=. 综上得，1233,6,9a a a === 【小问2详解】由题意得，每道题得5分、2分、0分的概率均为13. 当两题得5分，三题得0分时，10X =，概率为23251110C 33243 ××=， 当5个题得分均为2分时，10X =，概率为5113243=， ∴10X =的概率为10111243243243+=. 【小问3详解】当题目个数为(3)n n ≥时，①全部得5分，全部得2分，全部得0分，总得分取值个数为3，②当每个题目得分为5分和2分的一种时，总得分的取值个数为11C 1n n −=−， ③当每个题目得分为5分和0分的一种时，总得分的取值个数为11C 1n n −=−， ④当每个题目得分为2分和0分的一种时，总得分的取值个数为11C 1n n −=−， ⑤当每个题目得分包含了5分、2分和0分时，总得分情况与②重复， ∴33(1)3(3)n a n n n =+-=≥，经检验得123,,a a a 均满足上式，.的∴3n a n =， ∴13(1)n a n +=+， ∴111111()9(1)91n n a a n n n n +==-++， ∴11111111(1)()()(1)92231919(1)n n S n n n n =−+−++−=−= +++ . 【点睛】思路点睛：本题属于计数原理综合题目，具体思路如下： ①全部得5分，全部得2分，全部得0分，总得分的取值个数为3.②当题目个数为n 个，每个题目得分为5分和2分的一种时，要计算总得分的取值个数，相当于有n 个位置，在1n −个空中选择一个空放入挡板，个数为11n C −，其他情况可类比分析计算.③当每个题目得分包含了5分、2分和0分时，在②中能找到相同的总得分情况，需要排除.。
内蒙古巴彦淖尔第一中学2025届高三下学期联合考试数学试题含解析
内蒙古巴彦淖尔第一中学2025届高三下学期联合考试数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知||23z z i =-（i 为虚数单位，z 为z 的共轭复数），则复数z 在复平面内对应的点在（ ）. A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．若点(3,4)P -是角α的终边上一点，则sin 2α=（ ） A ．2425-B ．725-C ．1625D ．853．某人用随机模拟的方法估计无理数e 的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点1,0A 作x 轴的垂线与曲线x y e =相交于点B ，过B 作y 轴的垂线与y 轴相交于点C （如图），然后向矩形OABC 内投入M 粒豆子，并统计出这些豆子在曲线xy e =上方的有N 粒()N M <，则无理数e 的估计值是（ ）A ．NM N-B ．MM N-C ．M NN- D ．M N4．直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（）A ．B ．C ．D ．5．设a R ∈，0b >，则“32a b >”是“3log a b >”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．集合{}2|30A x x x =-≤，(){}|lg 2B x y x ==-，则A B ⋂=( ) A ．{}|02x x ≤< B ．{}|13x x ≤<C ．{}|23x x <≤D ．{}|02x x <≤7．设1i2i 1iz -=++，则||z = A ．0B ．12C ．1D ．28．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升(注：一斗为十升).问，米几何？”下图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S =15(单位：升)，则输入的k 的值为（ ） A ．45B ．60C ．75D ．1009．某地区高考改革，实行“3+2+1”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有（ ） A ．8种B ．12种C ．16种D ．20种10．若(1＋2ai)i ＝1－bi ，其中a ，b ∈R ，则|a ＋bi|＝( )． A ．12B 5C 5D ．511．方程()()f x f x '=的实数根0x 叫作函数()f x 的“新驻点”，如果函数()ln g x x =的“新驻点”为a ，那么a 满足（ ） A ．1a = B ．01a <<C ．23a <<D ．12a <<12．在101()2x x-的展开式中，4x 的系数为( ) A ．-120B ．120C ．-15D ．15二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省济南市2024届高三下学期高考针对性训练(5月模拟)数学试题含答案
绝密★启用并使用完毕前高考针对性训练数学试题本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设12i2iz -=+，则z =（）A ．iB ．i-C ．4i 5+D ．4i 5-2．若sin cos αα-=，则tan α=（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-3．()6111x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（）A ．5-B ．5C ．15D ．354．已知{}n a 是等比数列，且27844a a a a =-=-，则3a =（）A ．B ．C ．2-D ．2±5．某单位设置了a ，b ，c 三档工资，已知甲、乙、丙三人工资各不相同，且甲的工资比c 档高，乙的工资比b 档高，丙领取的不是b 档工资，则甲、乙、丙领取的工资档次依次为（）A ．a ，b ，cB ．b ，a ，cC ．a ，c ，bD ．b ，c ，a6．三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥．若该三棱锥的最长的棱长为9，最短的棱长为3，则该三棱锥的最大体积为（）A B C ．18D ．367．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P在C 上，且2122PF PF a ⋅= ，PO = ，则C 的离心率为（）A B C ．3D ．28．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()yf x xf y xy x y -=-，则下列结论一定成立的是（）A ．()11f =B ．()f x 为偶函数C ．()f x 有最小值D ．()f x 在[]0,1上单调递增二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．某同学投篮两次，第一次命中率为23．若第一次命中，则第二次命中率为34；若第一次未命中，则第二次命中率为12．记()1,2i A i =为第i 次命中，X 为命中次数，则（）A ．22()3P A =B ．4()3E X =C ．4()9D X =D ．123(|)4P A A =10．已知ABC △内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，外接圆半径为R ．若1a =，且()sin sin sin A b B c b C -=+，则（）A ．3sin 2A =B ．ABC △面积的最大值为34C ．3R =D ．BC 边上的高的最大值为611．已知函数()sin ln f x x x =⋅，则（）A ．曲线()y f x =在πx =处的切线斜率为ln πB ．方程()2024f x =有无数个实数根C ．曲线()y f x =上任意一点与坐标原点连线的斜率均小于1eD ．2()2x y f x =-在()1,+∞上单调递减三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．数列{}n a 满足22n n a a +-=，若11a =，44a =，则数列{}n a 的前20项的和为______．13．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，4AB =，16AA =，M ，N 分别是AB ，AD 的中点，则平面1MNC 截该四棱柱所得截面的周长为______．14．已知抛物线22x y =与圆()()22240x y rr +-=>相交于四个不同的点A ，B ，C ，D ，则r 的取值范围为______，四边形ABCD 面积的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2019年至2023年的利润（单位：亿元），得到如图所示的散点图．其中2019年至2023年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5．（1）根据散点图判断，y a bx =+和2y c dx =+哪一个适宜作为企业利润y （单位：亿元）关于年份代码x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）中的判断结果，建立y 关于x 的回归方程；（3）根据（2）的结果，估计2024年的企业利润．参考公式及数据；1221ˆni ii ni i x ynx ybx nx==-=-∑∑，ˆˆay bx =-，52155i i x ==∑，541979ii x ==∑，51390i i y ==∑，511221i i i x y ==∑，5214607.9i i i x y ==∑16．（本小题满分15分）如图，在三棱台ABC DEF -中，平面ABC ⊥平面BCFE ，AF DE ⊥，45ABC CBF ∠=∠=︒，1AC AB >=．（1）求三棱台ABC DEF -的高；（2）若直线AC 与平面ABF 所成角的正弦值为155，求BC ．17．（本小题满分15分）已知函数()22xxf x a =+-，其中0a >且1a ≠．（1）若()f x 是偶函数，求a 的值；（2）若0x >时，()0f x >，求a 的取值范围．18．（本小题满分17分）已知点21,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>上，A 到E的两焦点的距离之和为．（1）求E 的方程；（2）过抛物线()2:1C y x m m =->上一动点P ，作E 的两条切线分别交C 于另外两点Q ，R ．（ⅰ）当P 为C 的顶点时，求直线QR 在y 轴上的截距（结果用含有m 的式子表示）；（ⅱ）是否存在m ，使得直线QR 总与E 相切．若存在，求m 的值；若不存在，说明理由．19．（本小题满分17分）高斯二项式定理广泛应用于数学物理交叉领域．设,y q ∈R ，*n ∈N ，记[]11n n q q-=++⋅⋅⋅+，[][][][]!11n n n =⨯-⨯⋅⋅⋅⨯，并规定[]0!1=．记1(,)()()()()n n q F x n x y x y x qy x q y -=+=++⋅⋅⋅+，并规定()0,0()1q F x x y =+=．定义[][][](,),0(,)11(),1,2,,kqn kq F x n k D F x n n n n k x y k n-=⎧⎪=⎨-⋅⋅⋅-++=⋅⋅⋅⎪⎩（1）若1y q ==，求(),2F x 和1(,2)q D F x ；（2）求[][]!(0,)!k qn k D F n n -；（3）证明：[]0(0,)(,)!k nq k k D F n F x n x k ==∑．2024年5月济南市高三模拟考试数学试题参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678答案ABACBCDC二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．题号91011答案ABDADBCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．21013．14．4)；四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解析】（1）2y c dx =+适宜作为企业利润y （单位：亿元）关于年份代码x 的回归方程类型．（2）由题意得：52211()115i i x x ===∑，511785i i y y ===∑，52215222221553905()4607.95317.9550.8537455()5()9795ˆ5i ii ii xy x ydx x ==-⨯-⨯⨯====⎛⎫-⨯-⨯ ⎪⎝⎭∑∑，239055()0.8568.655ˆ5ˆcy d x =-⨯=-⨯=，所以，268.65ˆ0.85y x =+．（3）令6x =，268.650.85699.25ˆy=+⨯=，估计2024年的企业利润为99.25亿元．另解（此种解法酌情给分）：（1）y a bx =+适宜作为企业利润y （单位：亿元）关于年份代码x 的回归方程类型．（2）由题意得：1234535x ++++==，511785i i y y ===∑，()()515222151221537851 5.13ˆ555105i ii i i x yx ybx x==-⨯-⨯⨯====-⨯-⨯∑∑，()78 5.1362.7ˆˆa y b x =-⨯=-⨯=，所以，7ˆ62. 5.1yx =+．（3）令6x =，62.7 5.1693.3ˆy=+⨯=，估计2024年的企业利润为93.3亿元．16．【解析】解：（1）作FO BC ⊥于点O ，因为平面ABC ⊥平面BCFE ，所以FO ⊥平面ABC ，FO 即为三棱台ABC DEF -的高．又因为AB ⊂平面ABC ，所以FO AB ⊥．连接AO ，因为AB DE ∥，AF DE ⊥，所以AB AF ⊥，FO AF F = ，所以AB ⊥平面AFO ，又AO ⊂平面AFO ，所以AB AO ⊥．45ABC CBF ∠=∠=︒，1AB =．所以1AO =，BO FO ==ABC DEF -．（2）以O 为原点，在面ABC 内，作OG BC ⊥，以OG ，OB ，OF 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，B，F，,,022AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，FB =，设平面ABF 的法向量为(),,n x y z =则022n FB n AB x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，可取()1,1,1n = ，设BC BO λ=，则22,022AC ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，设直线AC 与平面ABF 所成角为α，15sin cos ,5AC n α===，化简得281890λλ-+=，解得32λ=或34λ=（舍去，因为AC AB >，所以1λ>），所以BC =．17．【解析】（1）由题意，()()11f f -=，即112222a a +-=+-，解得，12a =或2a =-（舍）又经检验，12a =时，()f x 是偶函数．所以，a 的值为12．（2）当12a =时，0x ∀>，1()22202x xf x ⎛⎫=+->= ⎪⎝⎭成立；当12a >且1a ≠时，0x ∀>，1()22222xx x xf x a ⎛⎫=+->+- ⎪⎝⎭，又12202xx⎛⎫+-> ⎪⎝⎭已证，故此时符合题意；当102a <<时，()ln 2ln 2x xf x a a '=+，易知，此时()f x '在R 上单调递增，且(0)ln(2)0f a =<'．故存在00x >，使得当0(0,)x x ∈时，()0f x '<，从而()f x 单调递减，所以，存在02x >，使得0(0)02x f f ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，故此时不合题意．综上所述，12a ≥且1a ≠．18．【解析】（1）由题意2a =，得a =又21,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在E 上，得221112a b +=，从而1b =．故E 的方程为2212x y +=．（2）（ⅰ）当P 为C 的顶点时，()0,P m ，不妨设R 在第一象限，直线PR 的方程为y kx m =-，联立E 的方程为2212x y +=可得222(21)4220k x kmx m +-+-=．由22222Δ(4)4(21)(22)8(21)0km k m k m =-+-=-+=可得2221k m +=．联立直线PR 的方程y kx m =-与抛物线2:C y x m =-的方程可得x k =，则R 点的纵坐标为22212122R m m m y k m m ---=-=-=，由对称性知2212Q m m y --=，故直线QR 在y 轴上的截距为2212m m --．（ⅱ）要使（2）中的直线QR 与E 相切，必有22112m m b --==，即2230m m --=，解得3m =或1-（舍去）．设()11,P x y ，()22,Q x y ，()33,R x y ，则2113y x =-，2223y x =-，2333y x =-．直线PQ 的方程为211121()y y y y x x x x --=--，即1212()3y x x x x x =+--．联立椭圆方程2212x y +=可得222121212122()14()(3)2(3)20x x x x x x x x x x ⎡⎤++-++++-=⎣⎦．由[]22212121212Δ4()(3)42()12(3)2x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=++-+++-⎣⎦⎣⎦22221212128(2228)0x x x x x x =+---=可得222212*********x x x x x x +---=，即121212250x x y y y y ++++=．同理可得131313250x x y y y y ++++=．因为直线1112(1)50x x y y y ++++=同时经过点QR ，所以QR 的直线方程为1112(1)50x x y y y ++++=．联立椭圆方程2212x y +=可得222111118(1)8(5)16480x y x x y x y ⎡⎤++++++=⎣⎦，于是[]2222211111111Δ8(5)48(1)(1648)64(1)(3)0x y x y y y x y ⎡⎤=+-+++=+--=⎣⎦．故直线QR 与椭圆相切，因此3m =符合题意．19．【解析】（1）若1y q ==，222(,2)()()(1)(1)F x x y x qy x q xy y x =++=+++=+，而[]11(,2)2()(1)()2(1)q q D F x x y q x y x =+=++=+．（2）当0k =时，[][](1)2!(0,)(0,)(0,)!n n k n q q n k D F n D F n F n q y n --===．当0k ≠时，由[][][](0,)11(0)kn kq qD F n n n k y -=-⋅⋅⋅++[][][][][]()(1)()(1)/22!11!n k n k n k n k n kn k n n n n k qyqy n k --------=-⋅⋅⋅-+=-，可得[][]()(1)2!(0,)!n k n k k n k q n k D F n q y n -----=．因此[][]()(1)2!(0,)!n k n k k n k q n k D F n q y n -----=，0,1,2,,k n = ．（3）要证[]0(0,)(,)!k nq k k D F n F x n x k ==∑，只需证[][][][][]1()(1)/2(1)/200!!()()()![]!!!nnn n k n k n k kk k n k k k k n n x y x qy x qy q y x q x y n k k n k k -------==++⋅⋅⋅+==--∑∑．令1()()()()nn k k k G y x y x qy x q y a y -==++⋅⋅⋅+=∑，一方面，110101()()()()n nkkk k k n n k k k n k k x y G qy x y a q y xa xq a q a y a q y -+-==+=+=+++∑∑，另一方面，10101()()()()n nnnkn k n n k k k n k k x q y G y x q y a y xa xa q a y a q y +-==+=+=+++∑∑，当1q ≠且0x ≠时，由于()()()()nx y G qy x q y G y +=+，比较两式中ky 的系数可得111k k n k k k k xq a q a xa q a ---+=+，则[]1111(1)[]k n k k kk q n k a q q a x q x k ----+-==-⋅，由0na x =可知[][][](1)1120120!!!k k n k k k k k k n a a a a a q x a a a n k k -----=⋅⋅⋅⋅⋅=-．当1q =时，由[]11n n q qn -=++⋅⋅⋅+=，[]!!n n =可知()[][]00!C ![]!nn nn k k k n k kn k k n x y y x yx n k k --==+==-∑∑，此时命题也成立．当0x =时，[](1)/2(0,)(,)(0,)!k nq n n nk qk D F n F x n qy D F n x k -====∑也成立．综上所述，()()[]00,,!knq k k D F n F x n x k ==∑．。
江苏省东台市2025届高三下学期联合考试数学试题含解析
江苏省东台市2025届高三下学期联合考试数学试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{}1,2,3A =，{}220B x x x m =-+=，若{3}A B ⋂=，则B =（ ）A ．{}1,3-B ．{}2,3-C ．{}1,2,3--D ．{}32．陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（ ）A ．(722+πB ．(1022+πC ．(1042+πD ．(1142+π3．直线l 过抛物线24y x =的焦点且与抛物线交于A ，B 两点，则4||||AF BF +的最小值是 A ．10B ．9C ．8D ．74．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案种数是( ) A．18种B ．36种C ．54种D ．72种5．已知命题p ：“关于x 的方程240x x a -+=有实根”，若p ⌝为真命题的充分不必要条件为31a m >+，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)1,+∞B ．1,C ．(),1-∞D ．(],1-∞6．已知实数x ，y 满足约束条件2202202x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则22x y +的取值范围是（ ）A ．25,225⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4,85⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,85⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]1,87．等比数列{}n a 的各项均为正数，且384718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=( )A ．12B ．10C ．8D ．32log 5+8．已知||23z z i =-（i 为虚数单位，z 为z 的共轭复数），则复数z 在复平面内对应的点在（ ）. A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．中，如果，则的形状是（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形10．设(),1,a b ∈+∞，则“a b > ”是“log 1a b <”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件11．若双曲线C ：221x y m-=的一条渐近线方程为320x y +=，则m =（ ）A ．49B ．94C ．23D ．3212．在ABC ∆中，,2,BD DC AP PD BP AB AC λμ===+，则λμ+= （ ） A ．13-B ．13C ．12-D ．12二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
25高三数学测试卷25附答案
QOF 2F 1P yx江苏高考数学预测卷25一、填空题: 本大题共14小题，每小题5分，共计70分.1．已知集合{}|M y R y x =∈=，{}22|2N y R x y =∈+=，则M N =2．复数Z ＝12i i-的虚部是 ；3．设a 、b 为两条直线，α、β为两个平面，有下列四个命题：①若a ⊂α，b β⊂，且a ∥b ，则α∥β；②若a ⊂α，b β⊂，且a ⊥b ，则α⊥β； ③若a ∥α，b α⊂，则a ∥b ；④若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b ； 其中正确命题的序号为4．曲线xy e =（其中 71828.2=e ）在1x =处的切线方程为5．若不等式组0024x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域被直线y kx =分为面积相等的两部分，则k 的值为 6．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况， 抽出了一个容量为n 的样本，其频率分布直方 图如图所示，其中支出在[50,60)元的同学有30人，则n 的值为_____________．7．如图，已知12,F F 是椭圆2222:1x y C a b+= (0)a b >>的左、右焦点，点P在椭圆C 上，线段2PF 与圆222x y b +=相切于点Q ，且点Q 为线段2PF 的中点，则椭圆C 的离心率为 .8．连续两次掷一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），记出现向上的点数分别为,m n ，设向量(),m n =a ，()3,3=-b ，则a 与b 的夹角为锐角的概率是 ．9．已知数列}{n a ，其前n 项和121110982,1a a a a a n n S n ++++++=则= 。
10．可以证明：“正三角形内任意一点到三边的距离之和是一个定值”，我们将空间与平面进行类比，可得结论： 11．已知非零向量a 、b 满足a b b +=，① 若a 、b 共线，则a ＝－2b ；②若a 、b 不共线，则以2a a b b +、、2 为边长的三角形为直角三角形； ③22b a b >+； ④22b a b <+。
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2019-2020学年度第二学期第*次考试试卷高考数学模拟测试学校：__________题号一 二 三 总分 得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分 一、选择题1．当a ＞1时，函数y ＝log a x 和y=（1－a ）x 的图象只能是（ ） （1994上海11）2．设ω=－21+23i,A ={x |x =ωk +ω－k ,k ∈Z},则集合A 中的元素有 A.1个B.2个C.3个D.4个 分析:本题考查ω的周期性及整数的划分.解:设ω=－21+23i,则ω3k =1,ω3k +1=ω,ω3k +2=ω(k ∈Z), ①当k =3n ,n ∈Z 时，x =1+1=2; ②当k =3n +1,n ∈Z 时，x =ω+ω1=ω+ω2=ω+ω=－1;③当k =3n +2,n ∈Z 时，x =ω2+21ω=ω2+ω=－1.3．设U =R ，{|0}A x x =>，{|1}B x x =>，则U A B =I ð( )A ．{|01}x x ≤<B ．{|01}x x <≤C ．{|0}x x <D ．{|1}x x > （2009浙江理）第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题4．9的平方根是________，364的平方根是 _________5．函数y ＝ 12sin2x － 32cos2x 的最小正周期是____________．6．函数sin y x =与y x =的交点个数为__________．7．对于大于1的自然数m 的n 次幂可用奇数进行如图所示的“分裂”，仿此，记36的“分裂”中最小的数为a ，而26的“分裂”中最大的数是b ，则a ＋b ＝ ▲ ．8．函数234y x x =--+的定义域为 .9．幂函数()f x 的图象经过点()3,3，则()f x = ▲ .10．不等式032>+-x x 的解集是_____________． 11．已知某四面体的六条棱长分别为5，3，2，2，2，2，则两条较长棱所在直线所成角的余弦值为 ▲ ．12．“tan 0α=，且tan 0β=”是“tan()0αβ+=”成立的 ▲ 条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中选填一种）13．在等差数列{}n a 中，n S 表示其前n 项，若m n S n =，)(n m n m S m ≠=，则m n S +的取值范围是 ▲ ．（4，∞+）14．若函数f(x)=2sin ωx(ω>0)在22,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的最大值为 .15．一个首项为20-的等差数列，如果从第7项起各项都是正数，则公差d 的取值范围是__________；16．若数列{}n a 满足212n n a p a +=（p 为正常数，n *∈N ），则称{}n a 为“等方比数列”． 甲：数列{}n a 是等方比数列；乙：数列{}n a 是等比数列，则甲是乙 条件17．设圆过双曲线16922y x -=1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 . （1998全国，16）三、解答题18．（本小题16分）已知1()log 1ax f x x+=-(0,1)a a >≠. （1） 求函数)(x f 的定义域；（2） 试判别函数)(x f 的奇偶性，并说明理由；（3） 求使()0f x <的x 的取值范围．19．已知关于x 的方程242(1)0x m x m -++=的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦，求m 的值．20．如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,13,2AB AC AA BC ====,D 是BC 的中点,E 为AB 的中点,F 是1CC 上一点,且2CF =.(1)求证:1//C E 平面ADF ;(2)试在1BB 上找一点G ,使得CG ⊥平面ADF ;(3)求三棱锥1C ADF -的体积.21． 设椭圆C : ()222210x y a b a b +=>>过点（0，4），离心率为35． （1）求C 的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为54的直线被C 所截线段的中点坐标． 22．设平面向量a r ＝(cos ,sin )x x ，(cos 23,sin )b x x =+r ，(sin ,cos )c αα=r ，x R ∈，⑶ a c ⊥r r ，求cos(22)x α+的值；⑵若(0,)2x π∈，证明:a r 和b r 不可能平行； ⑶若0α=，求函数()(2)f x a b c =-r r r g的最大值，并求出相应的x 值．(2011年3月苏、锡、常、镇四市高三数学教学情况调查一)（14分）23．如图甲，设M N ，是直角梯形ABCD 两腰AD BC ，的中点，DE AB E ⊥于,现将ADE V 沿DE 折起，使二面角45A DE B --o 为，如图乙，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B(1)证明：MN ∥平面ABE ;(2)证明：平面ADN ADE ⊥平面24．已知各项均为正数的等比数列765{}:2,n m n a a a a a a =+⋅满足若1192,a m n=+则的最小值为 ▲ .25．一袋中有2个白球，2个黑球，做一次不放回抽样试验，从袋中连取2个球，观察球的颜色情况，记“第一次取出的是白球”为事件A ；“第二次取出的是白球”为事件B ，则两事件是否独立？若做有放回试验呢？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题4．,5．π6．7．428．)1,1(9．1 2 x10．11．不可能为两异面直线的长，这是可以反证的（假设为异面直线的长，则会出现六条棱共面的情形，这与假设矛盾）．故根据余弦定理得较长棱所在直线所成角的余弦值为；12．充分不必要；13．（4，）；14．3 415．16．必要不充分17．解析：如图8—15所示，设圆心P （x0，y0）则|x0|＝＝4，代入＝1，得y02＝∴|OP|＝．评述：本题重点考查双曲线的对称性、两点间距离公式以及数形结合的思想. 解析：316 解析：如图8—15所示，设圆心P （x 0，y 0）则|x 0|＝2352+=+a c ＝4，代入16922y x -＝1，得y 02＝9716⨯ ∴|OP |＝3162020=+y x ． 评述：本题重点考查双曲线的对称性、两点间距离公式以及数形结合的思想.三、解答题18． 解：（1）由101x x+>-得(1)(1)0x x +->即(1)(1)0x x +-<故定义域为(1,1)-………4分 （2）11()log log 11a a x x f x x x -+-==-+-Q ∴()()f x f x -=-又定义域为(1,1)-故该函数为奇函数 ………9分（3）1log 01ax x+<- 10 当01a <<时111x x+>- 可变形为1101x x +->-，即201x x >-，(1)0x x ->，则01x << 又定义域为(1,1)-，故01x << ………12分19．20． （1）证明：连CE 交AD 于M ，连MF 。
因为,D E 为中点，所以，M 为ABC ∆的重心，故123CM CF CE CC ==从而有1//FM C E ，又∵FM ⊆平面AFD ,1C E ⊄平面AFD ，∴1//C E 平面ADF ;----------5分（2）G 为1BB 上使得1BG =的点。
∵此时，FCD CBG ∆≅∆,∴CFD BCG ∠=∠,而2CFD CDF π∠+∠=,∴2BCG CDF π∠+∠=故CG FD ⊥，又AD BC ⊥,1AD BB ⊥，∴AD ⊥平面11BB C C ，从而有AD CG ⊥，又AD FD D =I∴CG ⊥平面ADF --------------------------10分(3) ∵1//C E 平面ADF ,∴123C ADF E ADF F ADE V V V ---===---------------------14分 21．22．⑴若a c ⊥r r ，则0a c •=r r ，()cos sin sin cos 0,sin 0x x x ααα+=+=所以()()2cos 2212sin 1x x αα+=-+=.⑵假设a r 与b r 平行，则(cos sin sin cos 230x x x x -+=即sin 0x =，而0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin 0x >，矛盾.⑶若()0,0,1c α==r 则()()()()(()2cos ,sin cos 2cos cos sin sin 2212sin 14sin 3f x a b c x x x x x x x x x x x π=•-=•+-=++-⎛⎫=-+=++ ⎪⎝⎭r r r 所以max ()5,2()6f x x k k Z ππ==-∈. 23．24．4；25．。