1.5 正弦函数的图像与性质课件2020-2021学年高二数学北师大版必修4第一章三角函数

§5 正弦函数的图像与性质
导思
1.画正弦函数图像的方法有哪些? 2.利用“五点法”画正弦函数的图像,五个关键点分别是哪五个? 3.正弦函数的性质有哪些?
1.正弦函数的图像
(1)“五点法”画图:在精确度要求不太高时,我们可以找出正弦曲线上的 (0,0),__( 2__,1_)___, _(_π__,_0_)_,___(3_2__, _1_)__,(2π,0)五个关键点画出正弦函数在 一个周期上的图像.
提示:依次是(0,0), ( , A) ,(π,0), (3 , A) ,(2π,0).
2
2
2.正弦函数的性质
性质 函数 y=sin x
图像
定义域 值域 奇偶性 周期性
R _[_-_1_,_1_]_ _奇__函__数__ 周期函数,最小正周期为__2_π_
函数 性质
y=sin x
单调性
在每一个区间___[2_k____2__, 2_k____2_]___(k∈Z)上是增加的; 在每一个区间___[_2_k____2_,_2_k____3_2_]_____(k∈Z)上是减少的
(2)正弦曲线:将函数y=sin x(x∈[0,2π])的图像向左、向右平行移动(每次平 移_2_π__个单位长度),就可以得到正弦函数y=sin x(x∈R)的图像._正__弦__函__数__的图 像叫作正弦曲线.
【思考】
利用五点法作函数y=Asin x(A>0)的图像时,选取的五个关键点是什么?
2
3
3
观察图像可知,在[0,2π]上,
当 <x≤ ,或 2 ≤x< 5 时,不等式 1 <sin x≤ 3 成立.
6
3
3
6
2
2
所以
1 <sin x≤
2
3 2
的解集为
{x|
6
2k
x
3
2k或
2 3
2k
x
5 6
2k,
k
Z}
.
类型三 正弦函数的单调性及应用(逻辑推理)
【题组训练】
1.比较下列三角函数值的大小.
最值
当x=2kπ+ ,k∈Z时,y取最大值1,当x=2kπ+ 3π ,k∈Z时,
2
2
y取最小值-1.
【思考】如何求正弦函数的递增区间?
提示:求一个完整的递增区间,例如, ( , )
22
整数倍,即 ( 2k, 2k) ,k∈Z.
2
2
,再在区间两个端点上加周期的
【基础小测】－3) 与sin (－13 ) .
5
4
(2)sin 196°与cos 156°.
2.求函数y=2sin (－x) 的递增区间.
4
【解题策略】 1.利用函数的单调性比较大小的步骤 (1)先将异名化同名,即统一为正弦函数. (2)将不是同一单调区间的角用诱导公式转化到同一单调区间. (3)利用单调性来比较大小. 2.求三角函数单调区间的方法 确定正弦函数单调区间的基本思想是整体换元思想.若x的系数为负,通常利用 诱导公式化为正数再求解.有时还应兼顾函数的定义域.
角度3 求参数的取值范围 【典例】函数f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π]的图像与直线y=k有且仅有两 个不同的交点,求实数k的取值范围. 【思路导引】画出函数f(x)的图像,通过平移y=k求解k的取值范围.
【解题策略】 1.用三角函数图像解三角不等式的方法 (1)作出相应正弦函数在[0,2π]上的图像. (2)写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集. (3)根据公式一写出不等式的解集. 2.利用函数的图像判断该函数对应方程的解的个数 可以利用函数的图像与x轴的交点的个数判断.也可以将该函数对应的方程拆 分成两个简单函数,利用这两个函数图像交点的个数判断.
【补偿训练】 (1)用“五点法”画出函数y=2sin x(0≤x≤2π)的图像. (2)用“五点法”画出函数y=sin 2x(0≤x≤π)的图像.
类型二 正弦函数图像的应用(直观想象)
角度1 解不等式 【典例】利用y=sin x的图像,在[0,2π]内求满足sin x≥- 1 的x的范围.
2
【思路导引】画出y=sin x在[0,2π]内的图像,数形结合可解.
【题组训练】
利用正弦曲线,求满足 1 <sin x≤ 3 的x的集合.
2
2
【解析】首先作出y=sin x在[0,2π]上的图像.如图所示,作直线y= 1 ,
2
根据特殊角的正弦值,可知该直线与y=sin x,x∈[0,2π]的交点横坐标
为 和 5 ;
6
6
作直线y= 3 ,该直线与y=sin x,x∈[0,2π]的交点横坐标为 和 2.
(1)用“五点法”画图时的“五点”是正弦函数图像的一个最高点,一个最低点,
三个和x轴的交点.
()
(2)函数y=sin x的图像关于原点对称. ( )
(3)正弦函数y=sin x是周期函数.
()
(4)正弦函数y=sin x的最大值为1,最小值为-1. ( )
2.点M ( ,m) 在函数y=sin x的图像上,则m的值为 ( )
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类型一 “五点法”作函数的图像(直观想象) 【题组训练】 1.利用“五点法”作出y=-2+sin x(x∈[0,2π])的简图. 2.作出函数y=-2sin x(0≤x≤2π)的简图.
【解题策略】“五点法”作图中“五点”的含义
【拓展延伸】正弦曲线的简单变换 (1)函数y=-sin x的图像与y=sin x的图像关于x轴对称. (2)函数y=sin x与y=sin x+k的图像间的关系. 当k>0时,把y=sin x的图像向上平移k个单位得到函数y=sin x+k的图像; 当k<0时,把y=sin x的图像向下平移|k|个单位得到函数y=sin x+k的图像.
角度2 判断方程解的个数
【典例】方程|sin x|= 1 的根中,在[0,2]内的有
()
2
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【思路导引】分别画出y=|sin x|与y= 1 的图像,求出它们在[0,2]内的交点,
2
交点的横坐标即为|sin x|= 1 的根.
2
【变式探究】 求方程lg x=sin x的实数解的个数. 【解析】作出y=lg x,y=sin x在同一坐标系内的图像,则方程根的个数即为两 函数图像交点的个数,由图像知方程有三个实根.
4
A. 1
B. 2
C. 3
D.1
2
2
2
【解析】选B.将 ( , m) 代入y=sin
4
x中,得m=
sin 4
2. 2
3.(教材二次开发:习题改编)函数y=1+2sin x在[0,2π]上的单调减区间为 ________,最大值为________. 【解析】由正弦函数的图像(图略)可知. 答案: [ , 3 ] 3