北师大版高中数学选修4-4坐标系与参数方程直线和圆锥曲线的参数方程_课件9
2.2 直线的参数方程 课件 (北师大选修4-4)
3 5 3 5 4 2
（）如何写出直线的参数方程？ 1 l
①
（）如何求出交点 ，B所对应的参数1，t 2 ? 2 A t
二、新课讲授
问题：已知一条直线过点M 0(x0 ,y0 )，倾斜角， 求这条直线的方程. 解: 直线的普通方程为y y0 tan ( x x0 ) sin 要注意: 把它变成y y0 ( x x0 ) x 0, y0 都是常 cos y y0 x x0 进一步整理，得： 数,t才是参 sin cos 数 y y0 x x0 t 令该比例式的比值为t ,即 sin cos x=x0 t cos 整理，得到 (t是参数） y y0 t sin
(*)
由韦达定理得：1 x2 1，x1 x2 1 x
AB 1 k 2 ( x1 x 2 ) 2 4 x1 x 2 2 5 10
3 5 3 5 1 5 1 5 y1 ，y2 由(*)解得：x1 ，x 2 2 2 2 2 1 5 3 5 1 5 3 5 记直线与抛物线的交点 A( 坐标 , )，B( , ) 2 2 2 2
C. 45
0
D.135
0
一、课题引入
我们学过的直线的普通方程都有哪些? 点斜式: y y0 k ( x x0 )
y y1 x x1 两点式: y2 y1 x2 x1
y kx b
x y 1 a b
一般式: Ax B x1
tan
三、例题讲解 例1 已知直线l : x y 1 0与抛物线y x 2交于 例1.
坐标系与参数方程复习 课件(北师大版选修4-4)
6
A(4，
) 3
4 【规律方法】点的极坐标是距离和角组成的实数对，求三 O 5 角形的面积常常利用两边和夹角的正弦积的一半计算. 5 B(5，)
6
x
【例3】在以O为极点的极坐标系中，直线l的极坐标方程是
ρ cosθ -2=0,直线l与极轴相交于点M，以OM为直径的圆的极
坐标方程是_____. 【审题指导】先求圆的直角坐标方程，再化为极坐标方程. 【自主解答】直线l：ρcosθ-2=0的普通方程为x=2, M(2,0),以OM为直径的圆的普通方程是(x-1)2+y2=1,即 x2+y2=2x，化为极坐标方程为ρ=2cosθ.
练习：
7 3 ),则｜AB｜=___. 12 12 2.在极坐标系中，定点A(2, ),点B在直线 2 5 (1, ) ρ cosθ +ρ sinθ =0上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标 3 6
1.极坐标系中，点A(1，5 )，B(2，-
为_______. 3.若M、N分别是曲线ρ =2cosθ 和 sin( ) 2 上的动点，
复习
M ρ
θ
o x
θ ＝a(ρ ∈R)
ρ cosθ =a
ρ sinθ =a
下列极坐标方程如何转化为直角坐标方程
3 θ
.
y
3x
= 2 sin( ) . 4 2 ρ =4sinθ
3
. sin cos cos sin 2 4 4 2 ρ 2=4ρ sinθ ρ 2=5 3 ρ cosθ -5ρ sinθ
则M、N两点间的距离的最小值是________. 2 1
4 2
(0≤a＜π ，a≠π /2)
高考数学(北师大版)一轮复习讲义：选修4-4坐标系与参数方程(共46张)讲课文档
(5)抛物线 y2＝2px(p＞0)的参数方程为xy＝＝22pptt2 (t 为参数)． (6)圆的渐开线的参数方程为xy＝＝rrscionsθθ－＋θθcsoinsθθ (θ 为参数)． (7)平摆线的参数方程为xy＝＝rr1θ－－csoinsθθ (θ 为参数).
第十六页，共46页。
第十二页，共46页。
(2)圆的参数方程 圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2 的参数方程为
xy＝＝yx00＋＋rrscionsθθ (θ 为参数 0≤θ≤2π)．
(3)椭圆的参数方程
①椭圆ax22＋yb22＝1(a＞b＞0)的参数方程为xy＝＝bascionsθθ (θ 为参数
0≤θ≤2π)；
②
第二十五页，共46页。
题型四 参数方程与普通方程的互化 例 4.将参数方程xy＝＝s2i＋n2θsin2θ (θ 为参数)化为普通方程．
解析 将 sin2θ＝y 代入 x＝2＋sin2θ 得 x＝2＋y，即 x－y－2＝0. ∵sin2θ∈[0,1]， ∴x∈[2,3]，y∈[0,1]， ∴普通方程为 x－y－2＝0，x∈[2,3].
第二十八页，共46页。
解析
(1)直线 l 的参数方程为x＝1＋2t
y＝2＋
3 2t
(t 为参数)．
(2)将xy＝＝21＋＋2t23t
代入 x2＋y2＝9，
得：t2＋(1＋2 3)t－4＝0，
∴t1t2＝－4. 由参数 t 的几何意义得直线 l 和圆 x2＋y2＝9 的两个交点到点 A
第九页，共46页。
5．圆锥曲线的极坐标方程 设定点 F 到定直线 l 的距离为 p，e 为离心率，则 圆锥曲线的极坐标方程是 ρ＝1－eepcosθ. 当 0＜e＜1 时，方程 ρ＝1－eepcosθ表示椭圆； 当 e＝1 时，方程 ρ＝1－pcosθ表示抛物线； 当 e＞1 时，方程 ρ＝1－eepcosθ表示双曲线，其中 ρ∈R.
高中数学(北师大版)选修4-4 课件：第二章 参数方程本章整合 (共34张PPT)
������2 分析： (1)利用椭圆 2 ������
+
������2 ������
2=1(a>0,b>0)的参数方程为
������ .转化为求关于 sin30°
θ 的三角函数的最值问题,利用辅助角公
1.1 平面直角坐标系与曲线方程 专题一 专题二 专题三
知识网络
专题归纳
高考体验
������ = 2cos������, (θ 为参数 ). ������ = 3sin������ 直线 l 的普通方程为 2x+y-6=0. (2)曲线 C 上任意一点 P(2cos θ,3sin θ)到 l 的距离为 解： (1)曲线 C 的参数方程为 d= |4cos θ+ 3sin θ- 6|,
25 y= (x-1)2-1,即为所求普通方程. 9
5 t= (x-1),代入 3
y=t2-1,
-6-
1.1 平面直角坐标系与曲线方程 专题一 专题二 专题三
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专题二 用参数方程研究最值问题 在圆锥曲线中常涉及曲线上某点到另外一点的距离问题,利用参 数方程可以转化到三角函数、二次函数等问题来求解,利用三角函 数的有界性及参数的范围得最大值或最小值.
本章整合
-1-
1.1 平面直角坐标系与曲线方程
知识网络
专题归纳
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答案：①直线的参数方程 ②椭圆的参数方程 ③参数方程与 普通方程的互化 ④参数方程化成普通方程 ⑤平摆线 ⑥渐开 线的参数方程
-2-
1.1 平面直角坐标系与曲线方程 专题一 专题二 专题三
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专题一 参数方程和普通方程的互化 通过消去参数将曲线的参数方程化为普通方程,有利于识别曲线 的类型.在参数方程与普通方程的互化中,必须使两种方程中x,y的 取值范围保持一致.由于参数方程中的参数多数都用角表示,消参 的过程就要用到三角函数的有关变形公式,故参数方程与三角函数 关系紧密,必须熟练掌握三角变形公式.
2.2 直线的参数方程 课件 (北师大选修4-4)
我们学过的直线的普通方程都有哪些? 点斜式: y y0 k ( x x0 )
y y1 x x1 两点式: y2 y1 x2 x1
y kx b
x y 1 a b
一般式: Ax By C 0
y2 y1 k x2 x1
tan
①
（ ） AB 、 MB 与t1，t 2有什么关系？ 3 MA
探究
直线与曲线y f ( x)交于M 1 , M 2两点，对应的参数 分别为t1 , t2 . (1)曲线的弦M 1M 2的长是多少？
（2）线段M 1M 2的中点M 对应的参数t的值是多少？
(1) M 1M 2 t1 t2 t1 t2 (2)t 2
程中参数t的几何意义吗？
y M M0
又 e是单位向量， e 1 这就是t的几何 M 0M t e t 意义,要牢记
所以,直线参数方程中 参数t的绝对值等于直 线上动点M到定点M0的 距离. |t|=|M0M|
e
O
x
我们是否可以根据t的值来确定向量 M 0 M
x x0 t cos （t为参数） y y0 t sin
问题：已知一条直线过点M 0(x0 ,y0 )，倾斜角， 求这条直线的方程. 解: 在直线上任取一点M(x,y),则
x
x 3 t sin 200 （）直线 1 （t为参数）的倾斜角是（ ） B 0 y t cos 20 A.200 B .700 C .1100 D.1600
C. 45
0
D.135
0
(*)
由韦达定理得：1 x2 1，x1 x2 1 x
高三数学,一轮复习北师大版,(文)选修4-4 ,坐标系与参数方程 , 课件
-5√3 -5
π
B. 10, 3 2π D. 10, 3
4π
关闭
设点 (-5,-5√3)的极坐标为 (ρ,θ), = √3.
4π 3
因为 x<0,所以最小正角 θ= , ρ= (-5) + (-5√3 ) =10. 所以极坐标为 10, B
4π 3 2 2
.
解析
关闭
答案
-11知识梳理 双基自测 自测点评
-4知识梳理 双基自测 自测点评
1 2 3 4 5 6
(2)极坐标与直角坐标的关系:把直角坐标系的原点作为极点,x轴 的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,设M是平 面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标为(ρ,θ),则它们之间的 ������ 关系为x=ρcos θ,y=ρsin θ .另一种关系为ρ2=x2+y2 ,tan θ= ������ (x≠0).
1 2 3 4 5
3.已知直线 l 的参数方程为
������ = 2������, (t 为参数),圆 C 的极坐标 ������ = 1 + 4������ )
方程为 ρ=2√2sin θ,则直线 l 与圆 C 的位置关系为( A.相离 B.相切 C.相交 D.由参数确定
关闭
������ = 2������, (t 为参数)化为普通方程,得 2x-y+1=0. ������ = 1 + 4������ 将圆 C 的极坐标方程 ρ=2√2sin θ 化为直角坐标方程,得 x2+y2-2√2y=0,即 x2+(y-√2)2=2, 将直线的参数方程 圆心到直线的距离为 d= C
-8知识梳理 双基自测 自测点评
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修4-4：坐标系与参数方程 直线和圆锥曲线的参数方程》9
直线的参数方程宿州学院附属实验中学罗风云一、教材分析数学就是一副“眼镜”,透过它能看清复杂问题的简单本质,而要把握数学本质,教师自己要先吃透．“直线的参数方程”是是高考二选一内容中的一部分本节课是“平面解析几何初步”和“圆锥曲线与方程”等知识的进一步延伸,同时也是研究直线与圆、直线与圆锥曲线的另一种思维角度本节内容是在认识了曲线的参数方程概念的基础上,进一步探究直线的参数方程,笔者认为这样编排的意图主要有两点：①从抽象到具体：从一般的曲线的参数方程概念到直线的参数方程；②本节提供学生深入理解参数思想的一个契机．因此笔者将本节课定位为：如何探究直线的参数方程,体会参数的思想,进一步体现参数方程的优势．二、学情分析授课对象是高二年级的学生，他们已经学完了高中数学的所有必修内容，具备了一定的向量基础知识，对于直线和圆锥曲线也有较系统的学习三、教学目标1知识与技能：掌握直线参数方程的标准形式并理解其参数的几何意义；会应用参数的几何意义求解有关距离、点的坐标等相关问题2过程与方法：在探索参数方程的过程中,体现了数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象等数学核心素养,通过例2,让学生利用直线方程的不同形式求解,从涉及知识点的数量、求解的运算量等角度引导学生进行比较,体验直线的参数方程在解答此类试题中的优越性,从而提升学生的数学运算素养3．情感、态度与价值观：在直线参数方程的推导过程中，培养学生逻辑思维的严谨性；在师生间平等、和谐的交流中，激发学生学习数学的热情四、教学重点与难点经过上述分析，由此确定本节课的教学重点为分析直线的几何条件,选择适当的参数写出直线的参数方程教学难点为如何选择恰当的参数．突破难点的策略为从普通方程变换与平面向量变换两个角度出发进行探究．五、教法、学法分析当前,高中数学新课程标准进一步强调培养学生的数学核心素养,提出“用数学的眼光观察世界”、“用数学的思维分析世界”、“用数学的语言表达世界”．那么如何在高中数学课堂教学中,培养学生的数学核心素养呢？笔者认为,数学课堂教学须突出数学本质,教师应当设法引导学生主动参与知识的建构过程,将发现问题、分析问题、解决问题的思想方法和思想观念教给学生．本节课笔者以问题为载体,唤醒学生进行自主探究,注重学生探究能力与自主学习能力的培养,体现了“以生为本”的课改新理念六、教学过程（一）问题引导,新知探究上节课我们已经学过了曲线的参数方程的概念,今天我们将学习直线的参数方程首先来看一下问题：问题1：确定一条直线的几何条件是什么？两个定点;一个定点和直线的倾斜角问题2：已知一条直线过点,倾斜角为,求直线的普通方程直线的普通方程是．设计意图：通过回忆所学知识,为学生推导直线的参数方程做好准备．问题3：已知一条直线过点,倾斜角为,求直线的参数方程【视角一：普通方程变换】（师生共同探究）（1）当时,直线的普通方程是．即,也即,不妨设,整理得到：（为参数）．（2）当时,也满足上述的参数方程．综上所述,（为参数）为所求直线的参数方程．【视角二：平面向量变换】我们来看一下问题：思考1：数轴是怎样建立的？有三要素：原点,单位长度,正方向．思考2：数轴上点的坐标的几何意义是什么？你能利用平面向量的知识进行解释吗？几何意义：,图中有：．思考3：在问题2中直线过点,倾斜角为,如果把这个平面直角坐标系中的直线作为数轴,那么怎样选择原点、单位长度和方向呢？如图所示,可以这样选择：以为原点,单位长度为直线的方向向量中的单位向量的长度,方向选择向上．思考4：你能根据直线的倾斜角确定直线的一个单位方向向量吗？根据三角函数定义,由直线的倾斜角得到直线的一个单位方向向量为．思考5：你能根据直线的单位方向向量确定直线的参数方程吗？师：在直线上,任取一个点,则与具有什么位置关系？位置关系：共线，即．师：设,能否用表示出这种关系？,用坐标表示为：．设计意图：综合运用所学知识,获取直线的方向向量和单位方向向量之间的关系,培养学生探索精神,体会数形结合思想,为接下来学生推导直线的参数方程做好了充分的准备．师：由上面的分析过程,你能求出过定点且倾斜角为的直线的参数方程吗？,即．于是,,即,．因此,经过定点,倾斜角为的直线的参数方程为：（为参数）．（*）师（补充）：仅当参数方程形如上式,才代表直线的倾斜角．问题4：上述直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？参数的取值范围又是什么？,是常量,是变量；；【课堂小练习】1直线为参数的倾斜角是．设计意图：（识别）强调仅当参数方程形如（*）式,才代表直线的倾斜角．2直线的参数方程（为参数）,那么它的普通方程为．．设计意图：通过练习2,使得学生掌握直线的一般方程和参数方程之间的互化．变式拓展：同学们请观察直线（为参数）的图像,其中直线过定点,回答一下问题：（1）求点对应的参数与;（2）求点对应的参数与（3）联想它们之间的关系．如图所示,可以得出：点在点的上方,对应参数取对应距离是点在点下方 ,对应参数取对应距离是联想关系：到点的距离和参数有如下对应关系：在点上方的点对应,两点间的距离和的数值相等, 在点下方的点对应,两点间的距离等于的绝对值设计意图：由特殊到一般,有简单到复杂,符合学生学习规律问题5：根据表达式,你能证明刚才的结论吗？,因此,对于直线上任意一点,都有；当,,则直线的单位方向向量的纵坐标恒正,即的方向总是向上的．此时,若,则与同向,即方向向上；若,则与反向,则方向向下；若,,点与重合．师：上面分别从距离与方向两方面说明了参数的几何意义．但是同学们请注意：仅当直线的参数方程形如（*）式,参数才有上述几何意义．设计意图：把向量转化为坐标,获得了直线的参数方程,在此基础上分析直线参数方程的特点,体会参数的几何意义．（二）新知应用,巩固提升例1直线过点,且它的倾斜角是（1）写出直线的参数方程；（2）求直线与直线的交点坐标解:（1）直线的参数方程是（为参数）,即（为参数）（2）把直线的参数方程代入,得,即将代入直线的参数方程,得到交点坐标为设计意图：让学生理解并学会使用直线的参数方程,为例2的顺利解答做好铺垫．例2已知直线过点,且它的倾斜角是直线与抛物线交于两点求（1）；（2）；（3）线段中点的坐标解:直线的普通方程是,由,得．（#）由（#）解得,．所以．则（1）；（2）；（3）线段中点的坐标为思考：你能根据参数方程利用的几何意义求解此题吗？解:直线的参数方程是（为参数）,即（为参数）．把它代入抛物线的方程,得,知．由参数的几何意义得：（1）；（2）；（3）线段的中点对应的参数,则线段中点的坐标为．设计意图：对于此题,初学者往往习惯用普通方程求解,但是会发现计算很复杂,而用参数方程求解则要简单的多,加深学生对参数的几何意义的理解,进一步体会研究直线的参数方程的价值．总结提炼：已知过定点,倾斜角为的直线参数方程为,直线与曲线交于两点,且对应的参数分别为、,回顾直线参数方程的建立过程,回答以下问题：（1）曲线的弦的长是多少？（2）线段的中点对应的参数的值是多少？先由学生思考,讨论,最后师生共同得到：解：（1）、分别对应参数、,则,,,则（2）由直线参数方程的定义知、的坐标可写成以下形式：,,,则,即线段的中点M对应的参数为．注意：由探究过程可知仅当直线的参数方程形如（*）式,这两个结论才成立（四）课堂小结，布置作业设计意图: 引导学生从本节课探究的思路进行小结，不仅使学生对本节课的知识结构有一个清晰的认识，而且对所用到的数学方法和涉及的数学思想也得以领会这样既可以使学生完善知识建构，又可以培养其能力【分层作业】设计意图：分层作业，让不同层次的学生各有所获，均能体会到学数学的成功感，又能恰当的提高学生的兴趣【板书设计】直线的参数方程1直线的参数方程例1 例22参数的几何意义。
高二数学北师大版选修4-4课件：2.2.1 直线的参数方程
X 新知导学 INZHI DAOXUE
Z 重难探究 HONGNAN TANJIU
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
典型例题1
已知直线l的方程为3x-4y+1=0,点P(1,1)在直线l上,写出直线l的参数方程,并求点P到点M(5,4)和点N(-2,6)的 距离.
思路分析:由直线 l 的方程可知,直线的斜率为34,即直线的倾斜角(设为 α) 的正切值为34,即 tan α=34,则 sin α=35,cos α=45.因为点 P 在直线 l 上,为了方 便运算,选择点 P 作为直线上的定点,到点 M 和点 N 的距离可以根据参
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Z 重难探究 HONGNAN TANJIU
温馨提示
当λ>0时,M为内分点;当λ<0且λ≠-1时,M为外分点;当λ=0时,点M与Q重合.
做一做1
直线
������
=
−2
+
������cos30°, (t
为参数)的倾斜角
α
等于
(
)
������ = 3−������sin60°
探究一
探究二
探究三
∴t1+t2=−1
+1s0icno2s������������,t1t2=
3 2(1+si
n
2
������),
∴|PA|·|PB|=|t1t2|=
3 2(1+si n2������ )
.
又∵Δ=( 10cos α)2-4(1+sin2α)×32≥0,
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d2=(x-1)2+y2=(t2-1)2+4t2=(t2+1)2.
∵
d
2 min
=1,∴dmin=1.
4.双曲线 y2 x2 1的参数方程为________ . 94
x 2tan,
答案
:
y
3
cos
(为参数)
5.双曲线
x
3
cos
,
(为参数)的焦距为
________
.
y 2tan
答案 : 2 13
解析 : 化为 x2 y2 1,则c2 9 4 13,c 13, 94
焦距为2 13.
6.参数方程
x
2t
2
,
(t为参数),
表示的曲线是
________
.
y 4t
答案:抛物线
解析 :消去t得, x
2
双曲线的参数方程 随堂验收
1.参数方程
x
a 2
(t
1), t
y
b
(t
1)
2 t
(a､b为非零常数,t为参数)表示
的图形是( )
A.直线
B.椭圆
C.抛物线
D.双曲线
答案:D
解析
:由题意,可得
x a
2
1 4
(t 2
2
1 t2
),
y b
2
1 4
(t 2
2
1 t2
),
两式相减得 x2 a2
y2 b2
1,为双曲线.
2.若抛物线方程为
x 正半轴
上的截距是( ) y 4t
A.1
B.2
C.4
D.不存在
答案:B
解析
:
x y
4t 2 4
1,
4t2 1 x,
y 4
2
,即y2
8x, 表示抛物线.
7.圆锥曲线
x y
2tan 3sec
,
(为参数)的离心率是
________
.
答案 : 3 3
解析 :由题意,可得圆锥曲线为焦点在y轴上的双曲线
y2 x2 1,其中a2 9, b2 4,c2 13,e c 3 .
94
a3
x 2 pt2 ,
8.如果曲线
y
2
pt
(t为参数,p为正常数)上的两点M
､N对应的参数分别为t1和t2,且t1+t2=0,那么
|MN|=________.
答案:4p|t1| 解析:显然线段MN垂直于抛物的对称轴,即x轴,|MN|=2p|t1-
t2|=2p|2t1|=4p|t1|.
16t
2
y2
y2
4 x
1,
令x 0,则y2 4,即y 2.
又因为在y轴正半轴截距, 所以选B.
x t2, 3.点P(1,0)到曲线
y 2t 最短距离是( )
(其中t是参数,t∈R)上的点的
A.0 B.1 答案:B
C. 2 D.2
解析:设点P到曲线上点的距离为d,∴由两点间的距离公式得