常见函数图像(作图)

变式训练 4 函数 y＝f(x)的图象是圆心在原
点的单位圆的两段弧，如图所示，则不
等式 f(x)<f(－x)＋2x 的解集是
_(_－___2_2_，__0_)_∪__(_2_2_，___1_] _．
解析 由题设条件中的图象可知，f(x)是奇函数，
∴f(x)<f(－x)＋2x 可转化为 2f(x)<2x，即 f(x)<x.
4．函数的周期性的结论 (1)若 y＝f(x)在 x∈R 时，f(x＋a)＝f(x－a)恒成立，则函数 f(x)的周期为 2|a|. (2)y＝f(x)在 x∈R 时，恒有 f(x＋a)＝－f(x)或 f(x＋a)＝±f(1x)， 则函数 y＝f(x)的周期为 2|a|.
5．函数的图象 对于函数的图象要会作图、识图、用图． 作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法， 其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．
当α为偶数时，幂函数为偶函数．
变式训练
3x 5, x 0 已知函数f (x) x 5, 0 x 1,
2x 8, x 1
(1)求f ( 3), f ( 1 ), f (1), f f (2)的值.
2
(2)作出函数f (x)的图象.
(2)
(1)解：f (3) 2 3 8 5, 22
在半径为 1 的圆弧上，当 x＝±22时，f(x)＝x，又由数形
结合法可知，不等式的解集为{x|－
2 2 <x<0
或
22<x≤1}．
在- ，- b
减函数 2a
指数函数 y ax (a f 0, a 1) 的图像和性质
a>1
y
图
y=1
像
(0,1)
0<a<1
y
(0,1) y=1
0
x
0
x
1、定义域为R；
性
2、值域为（0，+∞ ）
质
3、图象过定点（０，１）
４、在Ｒ上是增函数
在Ｒ上是减函数
例4．求下列函数的定义域
1
⑴ y 0.4 x1
log4[log3(log1 x )] = 0
2
（一）知识梳理
1、对数的运算性质
如果a > 0 , a ≠ 1 , M > 0 , N > 0，那么：
loga MN = loga M +loga N
loga
M N
= loga M - loga
N
loga M n = n loga M
log a
m
N
n
=
n m
loga
N
2、换底公式：
loga
b
=
logc logc
b a
(a
>
0且a
?
1, c
0且c ? 1,b
0)
（二）对数运算性质的运用
例1、若a > 0,a ? 1, x y > 0, n ? N *,则下列各式中：
(1)(loga x )n = n loga x
(3) loga
x
=-
loga
1 x
f(x)＋g(x)也是增函数；根据同增异减判断复合函数 y＝f[g(x)]
的单调性．
3．函数的奇偶性 (1)f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0；f(x)为偶函 数⇔f(x)＝f(－x)＝f(|x|)⇔f(x)－f(－x)＝0.只有当定义域关于 原点对称时，这个函数才能具有奇偶性． (2)f(x)是偶函数⇔f(x)的图象关于 y 轴对称；f(x)是奇函数⇔f(x) 的图象关于原点对称． (3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对 称的单调区间内有相反的单调性． (4)若 f(x＋a)为奇函数⇒f(x)的图象关于点(a,0)中心对称；若 f(x＋a)为偶函数⇒f(x)的图象关于直线 x＝a 对称． (5)在 f(x)，g(x)的公共定义域上：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇 ×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
四、函数的性质与图象的综合应用 例 4 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x－4)＝－f(x)，且在
区间[0,2]上是增函数，若方程 f(x)＝m(m>0)，在区间[－8,8]
上有四个不同的根 x1，x2，x3，x4，则 x1＋x2＋x3＋x4＝_－___8____. 解析 因为定义在 R 上的奇函数，满足 f(x－4)＝－f(x)，所 以 f(4－x)＝f(x)．因此，函数图象关于直线 x＝2 对称且 f(0) ＝0，由 f(x－4)＝－f(x)知 f(x－8)＝f(x)．又因为 f(x)在区间 [0,2]上是增函数，所以 f(x)在区间[－2,0]上也是增函数，如 图所示，那么方程 f(x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同 的根 x1，x2，x3，x4，不妨设 x1<x2<x3<x4.由对称性知 x1＋x2 ＝－12，x3＋x4＝4，所以 x1＋x2＋x3＋x4＝－12＋4＝－8.
的取值范围是（ ）
（A）（-1，1）
（B）（0，1）
（C）（-1，0）∪(0,1) （D）(-∞,-1)∪(1,+∞)
【解析】选D.∵f(x)在R上为减函数且f(|x|)<f(1),
∴|x|>1,解得x>1或x<-1.
例，画出函数 y = - x 2 +2 x +1 的图像并写 出函数的单调区间。
(1) y=x2+2 x +1 (2) y= x2 2x
考点整合
1．函数的三要素：定义域、值域、对应关系
两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一个函
数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数．
2．函数的单调性
(1)单调性的定义的等价形式：设 x1，x2∈[a，b]，那么(x1－x2)[f(x1)
－
f(x2)]>0
⇔
f(x1)－f(x2) x1－x2
>0
⇔
f(x)
在
[a，
b]
上
是
增
函
数
；
(x1
－
x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔f(xx1)1－ －fx(2x2)<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．
(2)若函数 f(x)和 g(x)都是减函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)
是减函数；若函数 f(x)和 g(x)都是增函数，则在公共定义域内，
学习案
学点二 分段函数
1.画出函数 y x 的图象.
x, x ≥ 0,
由绝对值的集合意义知，
y
y
x,
x
图像如下:
0.
o
x
观察下面两组图像，它们是否也有对称性呢？
y
（1）
O x
（2）
fx = x3
y
熟
练
-1 O 1 x
记
f(x)=x2
忆
f (x) 1 (x 0) x
fx = x
练一练：
判断函数的奇偶性:
过定点
(1 ,0),
即当x ＝1时,y＝0
在(0,+∞)上是 增函数 当x>1时， y>0
质 当x=1时， y=0
当0<x<1时，y<0
在(0,+∞)上是 减函数
当x>1时， y<0 当x=1时， y=0 当0<x<1时，y>0
(3)根据对称性（关于x轴对称）已知
f (x ) log3 x
的图象，你能画出 y
f x x2 1 1 x2
y
在(-∞,+∞)
o x 是减函数
y
在(-∞,0)
o
x 和(0,+∞)
是减函数
y
在 - ，- b
增函数 2a
o x 在 b , 2a 减函数
y
在(-∞,+∞)
o x 是增函数 y
在(-∞,0)
o x 和(0,+∞)
是增函数
y
在 b ,
2a
o
x 增函数
f ( 1 ) 1 5,
f (1) 13 5 2,
f f (2) f (1) 2.
学习案
2.作出下列函数的图象
y
4
(1)y x 2(xZ,且 x 2)
3
2
1
-2 -1 o 1 2 3 x
(2) y 4 ( x 4且x 0) x
补充练习：求下列各式中x的值。
log2 (log5 x ) =1
重要结论：(1)若函数 y＝f(x)满足 f(a＋x)＝f(a－x)，即 f(x) ＝f(2a－x)，则 f(x)的图象关于直线 x＝a 对称． (2)若 f(x)满足 f(a＋x)＝f(b－x)，则函数 f(x)的图象关于直线 x＝a＋2 b对称． (3)若函数 y＝f(x)满足 f(x)＝2b－f(2a－x)，则该函数图象关 于点(a，b)成中心对称．
y x3
y x2
yx
1
y x2
y x1
幂函数的性质
(1) 所有的幂函数在(0,+∞)都有定义，并 且图象都通过点(1,1);
(2) 如果α＞０，则幂函数图象过原点， 并且在区间[0,+∞)上是增函数；
(3) 如果α＜０，则幂函数图象在区间 (0,+∞)上是减函数;
(4) 当α为奇数时，幂函数为奇函数；
• 求函数的定义域
1 f (x ) = x +2 + x 2 - x - 6
f (x ) = x - 1+ 1- x
三、函数性质及应用 例 3 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x≥0 时，f(x)＝x2，