具Holling Ⅳ功能反应的捕食与被捕食模型的稳定性分析

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具有Holling Ⅳ功能性反应的捕食系统的多重周期正解

具有Holling Ⅳ功能性反应的捕食系统的多重周期正解佟玉强;李卫东【摘要】利用重合度理论中的延拓定理,研究了一类食饵具有Smith增长和捕食者具有HollingⅣ型功能性反应的捕食者-食饵系统正周期解的存在性问题.运用分析技巧得到了两个有界开集和至少存在两个周期正解的充分条件.获得了一些新结果.【期刊名称】《辽宁大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(041)002【总页数】7页(P110-116)【关键词】捕食者-食饵系统;Holling Ⅳ型功能性反应;多周期解;重合度理论【作者】佟玉强;李卫东【作者单位】朝阳师范高等专科学校,辽宁朝阳122000;大连交通大学电气信息学院,辽宁大连116028【正文语种】中文【中图分类】O175.140 引言对于具有时滞的Logistic微分方程，许多学者[1～8］深入地研究了其动力学性质.然而，在食物有限情况下的科学实验表明[9］，单种群的相对增长率并不满足线性规律，更符合实际的却是非线性增长阻滞模型(即Smith模型或食物有限模型).对于如下具有Smith增长模型:其中，r(t)，k(t)，a(t)是具有周期ω ＞0 的恒正连续有界函数，bj(t)，dj(t)(j=1，2，…，m)是具有周期ω＞0的非负连续有界函数，状态依赖时滞τj，ηj是连续非负有界的ω周期函数，文献[10］给出了至少存在一个正周期解的充分性条件.本文中我们考虑食饵具有Smith增长和捕食者具有Holling IV型功能性反应的非自治捕食者－食饵两种群系统:其中，y1(t)，y2(t)分别表示 t时刻食饵和捕食者的种群密度，r(t)，a(t)，bj(t)，k(t)，c(t)，dj(t)，d(t)，D(t)，τj(t)，ηj(t)，σ(t)(j=1，2，3，…，m)和h(t)≠const都是周期ω ＞0 的恒正连续有界函数.关于系统(1)各参数的详细生态意义可参见文献[10，11］.记表示由[－τ，0］到的连续向量函数的全体.本文考虑初值问题其中近年来，重合度理论作为一种强有力工具，广泛应用于研究非自治系统的周期解问题[11～15］，但对存在两个以上周期解却不多见.本文利用延拓定理研究系统(1)周期解的存在性，给出了至少存在两个周期正解的代数判据.因此，本文改进和推广了文献[10］的研究成果.1 主要结果引理1是系统(1)的正向不变集.证明积分系统(1)即得，从略.为了证明系统(1)正周期解的存在性，现引入重合度理论中的延拓定理[16］如下: 设X，Z是赋范向量空间，L:DomL⊂X→Z为线性映射，N:X→Z为连续映射.如果dim KerL=dim)(Z/lm L)＜+∞且lm L为Z中的闭子集，称L为指标为零Fredholm算子.如果L为指标为零Fredholm算子，又存在连续投影P:X→X和Q:Z→Z满足lm P=KerL和lm L=DerQ=lm(I－Q)，那么可逆的，记其逆为KP.设Ω是X的有界开集，若)有界且是紧的，则称N在Ω¯是L－紧的.由于lm Q与KerL同构，因此存在同构映射J:lm Q→KerL.引理2设L是指标为零Fredholm算子，N在¯Ω上是L－紧的.假设则方程Lx=Nx在DomL∩¯Ω内至少存在一个解.对连续的ω周期函数g(t)本文采用记号:且令定理2 如果除正初值条件(2)外还满足则系统(1)至少存在两个ω周期正解.证明作变换yi(t)=exj(t)，i=1，2将系统(1)化为对λ∈(0，1)现考察系统我们取是系统(4)的ω周期解，对系统(4)各式两端从0到ω积分有由式(4)～(6)，我们得由于x∈X 所以存在ξi，ti∈[0，ω］，使得一方面，由式(6)和(9)得到结合式(7)，∀t∈[0，ω］有这显然蕴含着即据此，在定理所给定的条件下，可知存在q±＞0，使得另一方面，由式(6)和(9)得到，结合式(7)，∀t∈[0，ω］有这同样有即于是，在定理所给定的条件下，可知存在p±＞0使得由h(t)≠con st是恒正的ω周期函数，可以验证p－＜p+＜q+，且由hL=q－q+＜hu=p－p+有这样，由式(7)和(12)，∀t∈[0，ω］有类似地，我们利用式(9)和(13)，由式(5)得到即结合式(8)，∀t∈[0，ω］有再利用式(9)，(12)和(13)，由式(5)可得即则结合式(8)，∀t∈[0，ω］有取}定义范数，则在范数· 下X是Banach空间.令DomL⊂X，其中，再令N:X→X，即定义两个连续投影为易知KerL=lm P=R2，lm L=KerQ={x(t)∈X:¯x1=¯x2=0}是X的闭子集，dim KerL=dim(Z/lm L)=2.因此，L是指标为零Fredholm算子.定义L的广义逆为KP:lm L→DomL∩KerP如下:易于验证QN和KP(I－Q)N连续.由前面讨论可知ln q－＜ln p－＜ln p+＜ln q+＜ρ.我们取，显然M与λ的选取无关.令则Ω1，Ω2均为X的有界开集.下面我们根据Arzela-Ascoli定理，证明N在)上是L－紧的.对于，由Ω1定义可得因此)是R2上的有界集.易知，且由KP的定义知这表明集合{KP(I－Q)Nx:x∈Ω1}是一致有界且等度连续的，因此N在¯Ω1上是L －紧的.同理可证，N在上是L－紧的.综上讨论，根据及)，均有Lx≠λNx，于是引理 3的条件(a)满足.当 x是常值向量时，由积分中值定理知存在，使得由于代数方程组在定理理所给定的条件下存在正解:u=u±，v=v±，其中由于，且及所以可见，当时，x是 R2中的常值向量且QNx≠0，从而引理2 的条件(b)满足.注意到，直接计算得这里同构J可取恒同映射，因为lm Q=KerL.至此，Ω1，Ω2均满足引理3的所有条件.由引理3，系统(4)分别在Ω1和Ω2内均至少存在一个ω周期解.又Ω1∩Ω2=φ故系统(1)至少存在两个ω周期正解.证毕注:系统(1)至少有两个ω周期正解是无法用本文所列文献[11～14］的方法来判定的.易见，如果将系统(1)中时滞改为常时滞，那么定理的结论仍然成立.参考文献:【相关文献】[1]Gopalsamy K.Stability and Oscillations in Delay Differential Equations of Population Dynamics[M］.Kluwer Academic Publishers，Boston，1992.[2]Gyori I and Ladas G.Oscillation Theory of Delay Differential Equations[M］.Oxford Science Publications，Oxford，1991.[3]Lenhart SM and Travis C C.Global Stability of a Biological Model with TimeDelay[J］.Proc.Amer.Math.Soc.，1986，96:75 －78.[4]Kuang Y.Differential Equations with Applications in Population Dynamics[M］.Academic Press，Boston，1993.[5]Yu JS.Global Attrativity of Zero Solution for a Class of Functional Equtions and its Applications[J］.CIENCE IN CHINA(Series)(in Chinese)，1996，26:23 －33.[6]Li Y K.On a Periodic Logistic Equation with Several Delays[J］.Advances in Mathematics，1999，28(2):135 －142.[7]范猛，王克.具有遗传效应单种群模型的正周期解[J］.应用数学，2000，13(2):58－61.[8]Chen F D，Shi J L.Periodicity in a Logistic Type System with SeveralDelays[J］.Computers and Mathematics with Applications，2004，48:35 －44.[9]Smith F E.Population Dynamics in Daphnia Magna and a new Model for Population Grow th [J］.Ecdagy，1963，44:651－663.[10]Chen R D，Sun D X，Shi J L.Periodicity in a food-limited Population Model with Toxicants and State Dependent Delays[J］.Mathematical Analysis and Applications，2003，288:136 －146.[11]叶丹，范猛，张伟鹏.一类捕食者－食饵系统正周期解的存在性[J］.生物数学学报，2004，19(2):161－168.[12]张正球，王志成.基于比率的三种群捕食者－食饵扩散系统的周期解[J］.数学学报，2004，47(3):531－540.[13]高建国.具有时滞和基于比率的一类捕食者－食饵系统全局周期解的存在性[J］.生物数学学报，2005，20(3):315－329.[14]程荣福.一类具生物控制的多滞量捕食模型正周期解的存在性[J］.北华大学学报，自然科学版，2010，11(1).1－6.[15]田德生，朱长青，朱永松.HollingⅣ 捕食－食饵时滞系统的多个周期解[J］.纯粹数学与应用数学，2009，25(2):339－345.[16]Gaines R E，Mawhin J L.Coincidence Degree and Nonlinear DifferentialEquations[M］.Berlin:Springer-Verlag，1977:40－45.。

具Holling功能反应的食饵—捕食者两种群模型的极限环的唯一性

Ｋｅｒｓ：ｑｌｂｉｍ；ｌｔｃｃｅ；ｇｏｌｓａｉｔｙｗｏｄｅｕｉｒｕｉｉｙｌｍｉｌｂａｔｂｌｙ；ｄｌｃｆｎｔｏｉｕａｕｃｉｎ
０引言
关于Ｈｌｎ功能反应¨ 的食饵一捕食系统讨论有很多，是大部分密度制约项仅限于线性形ｏｉｌｇ但式，然而密度制约项为非线性形式的非常少见。文献［ — ］５６对于仅食饵种群具有形如ａ一一ｘ一ｂｈｘ的非线形密度制约模型进行了讨论（（）这里ｈｘ为符合ｈ０＝，（ ≥０／，，，０的非线（）（）０ｈ ’ ），＝１２３＞１，性函数）给出了该系统完整的分析，，本文将对于食饵种群的密度制约项为非线性的如下系统进行讨论
岳宗敏等：Ｈｏｉｇ功能反应的食饵一捕食者两种群模型的极限环的唯一性具ｌｎｌ
１７４
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摘
要：研究了一类具有Ｈｌｇｏｉ功能反应的食饵一捕食者两种群模型的定性问题，中模型中的ｌｎ其
食饵具有非线性的密度制约．通过分析平衡点以及构造Ｄｌ函数给出了系统不存在极限环的条ｕｃａ件，最后运用张芷芬唯一性定理的证明了该系统极限环的存在唯一性。
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具有HollingⅣ类功能反应的三维顺环捕食者—食饵模型

具有HollingⅣ类功能反应的三维顺环捕食者—食饵模型刘会民;刘兵;刘双
【期刊名称】《生物数学学报》
【年(卷),期】2004(19)4
【摘要】考虑具有Holling Ⅳ类功能反应三维顺环捕食者-食饵系统。

利用常微分方程比较定理及Liapunov函数方法，得到了该系统持久性的充分条件，并且对于周期系统在一定条件下，系统存在唯一一个全局渐进稳定的周期正解。

最后讨论了概周期解现象，得出了概周期正解的唯一存在性和全局渐进稳定性的充分条件。

【总页数】8页(P445-452)
【关键词】充分条件;全局渐进稳定性;唯一;Liapunov函数方法;周期系统;功能反应;概周期解;食饵;捕食者;周期正解
【作者】刘会民;刘兵;刘双
【作者单位】鞍山师范学院数学系
【正文语种】中文
【中图分类】Q141;O175
【相关文献】
1.一类具有时滞和HollingⅡ类功能反应的捕食者-食饵模型 [J], 唐贵坚;唐清干
2.具有Holling第II类功能性反应的食饵-捕食者随机模型的参数估计∗ [J], 曾林;黄在堂;徐雪涵;江婷
3.具有HollingⅢ类功能反应的三维顺环捕食-食饵模型的概周期问题 [J], 唐小平;
李靖云;高文杰
4.具有HollingⅡ类功能性反应的基于比率的时滞离散N-种群捕食者-食饵模型的一致持久性 [J], 刘荣秀;高建国
5.一类食饵具有常数收获率和Holling第II类功能性反应的捕食者–食饵模型的分支分析 [J], 陆秀琴;温洁嫦
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具Holling Ⅳ功能反应和避难所的捕食系统的定性分析

具Holling Ⅳ功能反应和避难所的捕食系统的定性分析赵磊;郑唯唯【摘要】研究一类具Holling Ⅳ类功能反应且食饵具有避难所的捕食食饵系统.通过定义Dulac函数,给出了系统正平衡点全局渐进稳定的充分条件.通过构造Bendixson环城,给出了极限环存在的充分条件.%A predator-prey model with Holling Ⅳ functional response incorporating a constant prey refuge is investigated. Depending on a constant prey refuge, for the model,the necessary and sufficient condition of the global stability properties of the equilibria and the existence of limit cycles are given by defining a Dulac function and constructing a Bendixson ring.【期刊名称】《西安工程大学学报》【年(卷),期】2012(026)006【总页数】4页(P807-810)【关键词】避难所;Holling Ⅳ功能反应;极限环【作者】赵磊;郑唯唯【作者单位】西安工程大学理学院,陕西西安710048;西安工程大学理学院,陕西西安710048【正文语种】中文【中图分类】O175.140 引言文献［1］研究了一类具HollingⅢ类功能性反应且食饵具有避难所的捕食食饵系统的平衡点的全局稳定性及极限环的存在惟一性．文献［2］研究了一类食饵具有避难所且具有常数收获率的捕食食饵模型．文献［3］研究了一类具有避难所和扩散的捕食食饵系统的混沌现象及其Hopf分支．文献［4］研究了具BD功能反应和阶段结构的捕食系统．文献［5－6］研究了一类捕食模型解的存在性．文献［7－10］研究了一类带有扩散项的捕食模型的共存态和全局分歧．文献［11］研究一类具有Allee效应和庇护效应的捕食系统模型．本文研究一类具HollingⅣ类功能性反应且食饵具有避难所的捕食食饵系统其中 x表示食饵种群的密度，y表示捕食者种群的密度，α表示食饵种群的内禀增长率，k表示食饵种群的环境容纳量，m表示一个庇护常数，d表示捕食者的死亡率，α，β，a，c，d，m，k是正常数．1 模型的基本性质令Ω0＝｛（x，y）｜x＞m，y＞0｝，根据生物学意义，仅在Ω0或上研究系统（1）．由系统（1）的第一个方程，根据比较定理，易得引理1 系统（1）满足初始条件x（0）＞m，y（0）＞0的解（x（t），y（t））对于所有的t是正的且是有界的．证明显然系统（1）满足初始条件x（0）＞m，y（0）＞0的解（x（t），y （t））对于所有的t是正的．定义函数ω（x，y）＝cx＋y．∀ε＞0，在t充分大时，有x（t）≤k＋ε．沿着系统（1），有˙ω≤2cα（k＋ε）－min｛d，α｝ω．在t充分大时，有ω≤2cα（k＋ε）／min｛d，α｝．为了简单起见，做代换系统（1）变为（这里仍然用x，y，t代表其中 b＝α／k．Ω0转变成了Ω＝｛（x，y）｜x＞0，y＞0｝，且系统（2）是有界的．易知系统（2）最多有3个平衡点E（k－m，0），E1（x1，y1），E2（x2，y2）．其中这里始终假设引理2 当m＞k－x1或m＜k－x2时，E（k－m，0）是稳定的结点．当k－x2＜m＜k－x1时，E（k－m，0）是鞍点．如果k≤ （3／2）x1＋（1／（2a））x－11 ，当0＜m ＜k－x1 时，E1（x1，y1）是稳定的焦点或结点．如果k＞（3／2）x1＋（1／（2a））x－11 ，当0＜m ＜m1 时，E1（x1，y1）是不稳定的焦点或结点．当m1＜m＜k－x1时，E2（x2，y2）是稳定的焦点或结点．当0＜m ＜k－x2 时，E2（x2，y2）是鞍点．证明系统（2）在点E（k－m，0）的Jacobian矩阵为易看出－bk［1＋a（k－m）2］＜0．令f（m）＝－d＋cβ（k－m）－ad（k－m）2．当m＞k－x1或m＜kx2时，f（m）＞0，故E（k－m，0）是稳定的焦点或结点．当k－x2＜m＜k－x1时，f（m）＜0，故E（k－m，0）是鞍点．系统（2）在点E1（x1，y1）的Jacobian矩阵为其中由假设知．所以又Δ＝故R（m）＝0有2个相异实根，设为m1，m2，其中易知R（m）的对称轴为，当时，即当时，有m1≤0，m2＞k．对0＜m＜k－x1，R（m）＞0，又｜J（E1）｜＞0，所以E1（x1，y1）是稳定的焦点或结点．当时，即当时，有0＜m1 ＜k－x1．对0＜m ＜m1，R（m）＜0，又｜J（E1）｜＝（cβ－2adx1）x1y1 ＞0，所以E1（x1，y1）是不稳定的焦点或结点．对m1 ＜m ＜k－x1，R（m）＞0，又｜J（E1）｜＝（cβ－2adx1）x1y1 ＞0，所以E1（x1，y1）是稳定的焦点或结点．系统（2）在点E2（x2，y2）的Jacobian矩阵为由｜J（E2）｜＝（cβ－2adx2）x2y2 ＜0，知对0＜m ＜k－x2，E2（x2，y2）是鞍点．引理3 如果m＞k－x1，则E（k－m，0）是全局渐近稳定的．证明当m＞k－x1时，E（k－m，0）是系统（2）惟一的平衡点．如果系统（2）在Ω内存在一条闭轨线，那么在这条闭轨线内部必存在一个平衡点，这是不可能的．因此系统（2）对m＞k－x1不存在极限环．从系统（2）的有界性知，E（k－m，0）是一个全局渐近稳定的．2 正平衡点的全局稳定性定理1 假设（H1）～（H4）中任意一个条件成立，则系统（2）的正平衡点E1（x1，y1）是全局渐近稳定的．注意到φ（0）＝k（k－m）＞0，易得Δ＝当k－2m≤0，－（amk－am2－1）≥0时，即k≤min｛2m，m＋1／（am）｝时，在［0，＋∞）上，φ′（x）≥0，所以D≤0．系统（2）不存在极限环．当k－2m≥0，Δ≤0，即2m≤k≤（1／3）证明定义Dulac函数B（x，y）＝x－1 y－1，由系统（2），有时，在［0，＋∞）上，φ′（x）≥0，所以D≤0．系统（2）不存在极限环．如果（H1）～（H4）中任意一个条件成立，则E1（x1，y1）是局部渐近稳定的且系统（2）在Ω中不存在极限环，由系统（2）的有界性知E1（x1，y1）是全局渐近稳定的．3 极限环的存在性定理2 假设k＞（3／2）x1＋（1／（2a））x－11 ，0＜m ＜m1，系统（2）在Ω 中至少存在一个极限环．证明对系统（2），构造一个包含E1（x1，y1）的Bendixson环域定义是直线L1：y＝0的一段是直线L2：x－（k－m）＝0的一段．定义其中系统（3）过B（k－m，x1）的轨线交直线x＝x1于点，得到了是直线L3：y－＝0的一段是直线L4：x＝0的一段．因为是系统（2）的轨线，又对，比较系统（2）与系统（3），得因此故，与系统（2）相交的正半轨均穿入环域另一方面，有假设知E1（x1，y1）是不稳定的焦点或结点．故由Poincare－Bendixson定理知，系统在⊂Ω中至少存在一个极限环．【相关文献】［1］ CHEN Liujuan，CHEN Fengde，CHEN Lijuan．Qualitative analysis of a predator－prey model with Holling type II functional response incorporating a constant prey refuge ［J］．Nonlinear Analysis：Real World Applications，2010，11（1）：246－252．［2］ JI Lili，WU Chengqiang．Qualitative analysis of a predator－prey model with constant rate prey harvesting incorporating a constant prey refuge［J］．Nonlinear Analysis：Real World Applications，2010，11（4）：2 285－2 295．［3］ LIU Xia，HAN Maoan．Chaos and Hopf bifurcation analysis for a two species predator－prey system with prey refuge and diffusion［J］．Nonlinear Analysis：Real World Applications，2011，12（1）：1 047－1 061．［4］赵磊，郑唯唯．具B－D功能反应和阶段结构的捕食系统研究［J］．纺织高校基础科学学报，2012，25（2）：141－145．［5］徐娟，李艳玲．一类捕食食饵模型正平衡解的存在性［J］．纺织高校基础科学学报，2012，25（2）：149－154．［6］任翠萍．一类捕食－食饵模型解的存在性［J］．西安工程大学学报，2010，24（4）：535－539．［7］刘立昭；李艳玲．一类带交叉扩散项的捕食－食饵模型的共存态［J］．纺织高校基础科学学报，2011，24（3）：353－357．［8］柴俊平，李艳玲．带有交叉扩散项的捕食－食饵模型的全局分歧［J］．纺织高校基础科学学报，2011，24（4）：489－494．［9］张岳，李艳玲．带有交叉扩散项的 Holling－typeⅡ捕食－食饵模型的共存［J］．纺织高校基础科学学报，2010，23（4）：439－444．［10］张玉，李艳玲，闫焱．带有扩散项的三物种捕食－食饵模型的全局分歧［J］．纺织高校基础科学学报，2009，22（1）：15－20．［11］罗立贵，郑唯唯．一类具有 Allee效应和庇护效应的捕食系统模型［J］．西安工程大学学报，2012，3（3）：381－383．。

两类具有Holling功能反应的食饵—捕食者模型的定性分析

南京航空航天大学硕士学位论文两类具有Holling功能反应的食饵—捕食者模型的定性分析姓名：***申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：***20070301南京航空航天大学硕士学位论文摘要近年来，捕食关系成为数学与生态学界研究的一个重要课题。

食饵—捕食者相互作用的研究具有非常重要的理论意义和应用价值，其中生物种群持续生存是捕食理论中的一个重要而又广泛的问题，它受到越来越多的学者的关注。

本文在已有的Lotka-Volterra模型的基础上，对两类具有Holling型功能反应函数的食饵—捕食者模型进行了讨论。

本文首先讨论了一类两种群具有密度制约的Holling III类功能反应模型。

利用定性分析的方法，讨论了模型在收获率条件下平衡点的稳定性，解的有界性，极限环的存在性问题。

然后本文讨论了一类具有两捕食者和一食饵三种群并有Holling型功能反应的周期系数的三维模型，利用Brouwer不动点定理，得到系统存在唯一、全局渐近稳定周期解的充分条件。

最后本文进一步考虑概周期情形，讨论了对应的概周期系统的一致持续生存性，得到了存在唯一、全局渐近稳定正概周期解的充分条件。

这些结果推广了已知的一些结论。

关键词：食饵—捕食者系统，Holling III功能反应，正周期解，正概周期解，全局渐近稳定性I两类具有Holling功能反应的食饵—捕食者模型的定性分析IIAbstractIn recent years, the predator-prey relation has become a very important part inmathematics and ecology. The predator-prey theory has a great importance in both theory and applications. One of the most important questions in population ecology is to find the permanence conditions for the species, which has received a great deal of attention of many mathematicians and biologists. Based on the Lotka-V olterra population models, this thesis studies two classes of predator-prey systems with Holling functional responses. Firstly, this thesis studies the predator-prey system with Holling’s type III functional response under density restriction and linear harvesting rate. Using qualitative analysis methods, the paper studies the boundedness of solutions and the existence of limit cycles. Secondly, two-predator and one-prey systems of three species with Holling’s type III functional response and periodic coefficients are studied. With the help of differential inequality and Liapunov functions, some sufficient conditions are obtained for the existence and global stability of positive periodic solutions and positive almost periodic solutions. These results generalize some existing results.KEY WORDS: prey-predator system, Holling’s type III functional response, positive periodic solution, positive almost periodic solution, global asymptotic stability承诺书本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作所取得的成果。

一类具有时滞Holling—Ⅳ型捕食-食饵系统的Hopf分支

Ｖｎ．６Ｎｏ１１１．
Ｊｎ２０ａ．０７
类具有时滞Ｈｌｎ — ｏｉｇＩｌＶ型捕食一饵系统的Ｈｐ分支食ｏｆ
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郑宗剑林怡平
（昆明理工大学理学院，昆明６０９）５０３
摘要研究了一类具有时滞的Ｈｌｎ－ｏｉＩｌｇＶ型功能性反应和Ｌｓｅ形式的捕食者数量反应的两种群竞争模型．ｅｉｌｓ讨论了平
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ＫｅｒｓＨｏｆｂｆｒａｉｎ；ｄｌｙ；ｓａｉｔｙｗｏｄ：ｐｉｃｔｕｏｅａｔｂｌｙ；ｅｕｌｒｍ；ＨｏｌｇＩｉｑｉｂｉｉｕｌｎ－Ｖｉ
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收稿日期：０６— ３—２．２００４
作者简介：郑宗剑（９２一）男，１８，硕士研究生，主要从事动力系统分支与混沌的学习与研究通讯作者：林怡平（９４一）女，１５，教授，主要从事动力系统分支与混沌的研究．
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具Holling-IV功能反应函数的捕食系统的定性分析

具Holling-IV功能反应函数的捕食系统的定性分析种群生态学,是生物数学的一个重要研究分支.而种群之间的相互制约问题,是生物入侵问题研究的重点.种群之间的相互制约关系可以用一个函数来表示,称为功能反应函数.根据种群的不同,功能反应函数可以划分为很多类,如Holling型、Beddington型等等,而本文主要研究功能反应函数应用较为广泛的Holling-IV型的系统.本文首先介绍了具有Holling-IV型功能反应函数的捕食系统的提出与目前的研究状况.其次,本文讨论了该系统的平衡点的存在性与稳定性,具有正初始条件的解的有界性,极限环存在和不存在的充分条件.然后,本文研究了具有时滞和Holling-IV型反应函数的捕食系统,采用时滞微分方程的理论,分析时滞系统的平衡点的稳定性和Hopf分岔,得出了系统稳定和分岔的一些充分条件.最后,对于具有脉冲和Holling-IV型功能反应函数的捕食系统,利用脉冲微分方程理论的比较定理、Floquent定理等对脉冲系统进行分析,得到了该系统的稳定与持久的一些充分条件.。

捕食者-被捕食者模型稳定性分析报告

被捕食者—捕食者模型稳定性分析【摘要】自然界中不同种群之间还存在着一种非常有趣的既有相互依存、又有相互制约的生活方式：种群甲靠丰富的天然资源生存，种群乙靠捕食甲为生，形成食饵-捕食者系统，如食用鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，害虫和益虫等。

本文是基于食饵—捕食者之间的有关规律，建立具有自身阻滞作用的两种群食饵—捕食者模型，分析平衡点的稳定性，进行相轨线分析，并用数值模拟方法验证理论分析的正确性。

【关键词】食饵—捕食者模型相轨线平衡点稳定性一、问题重述在自然界中，存在这种食饵—捕食者关系模型的物种很多。

下面讨论具有自身阻滞作用的两种群食饵-捕食者模型，首先根据该两种群的相互关系建立模型，解释参数的意义，然后进行稳定性分析，解释平衡点稳定的实际意义，对模型进行相轨线分析来验证理论分析的正确性。

二、问题分析本文选择渔场中的食饵(食用鱼)和捕食者(鲨鱼)为研究对象，建立微分方程，并利用数学软件MATLAB 求出微分方程的数值解，通过对数值结果和图形的观察，猜测出它的解析解构造。

然后，从理论上研究其平衡点及相轨线的形状，验证前面的猜测。

三、模型假设1.假设捕食者（鲨鱼）离开食饵无法生存；2.假设大海中资源丰富，食饵独立生存时以指数规律增长；四、符号说明)(t x /)(1t x ——食饵(食用鱼)在时刻t 的数量；)(t y /)(2t x ——捕食者(鲨鱼)在时刻t 的数量；1r ——食饵(食用鱼)的相对增长率；2r ——捕食者(鲨鱼)的相对增长率；1N ——大海中能容纳的食饵(食用鱼)的最大容量；2N ——大海中能容纳的捕食者(鲨鱼)的罪的容量；1σ——单位数量捕食者（相对于2N ）提供的供养食饵的实物量为单位数量捕食者(相对于1N )消耗的供养甲实物量的1σ倍；2σ——单位数量食饵（相对于1N ）提供的供养捕食者的实物量为单位数量捕食者(相对于2N )消耗的供养食饵实物量的2σ倍；d ——捕食者离开食饵独立生存时的死亡率。

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其中（）为功能反应函数，它代表捕食者对食饵
的捕获能力．ＨｏｌｌｉｎｇＩＩＩ功能反应函数为，这
ｆ
６
’
？【一＋
研究了带有ＨｏｌｌｉｎｇＩＶ功能反应的捕食与被捕食模
型的稳定性与Ｈｏｐｆ分支．在上述工作的启发下，我
２０１７年５月第３６卷第５期
洛阳师范学院学报
ＪｏｕｎａｒｌｏｆＬｕｏｙａｎｇＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉＮｏ．５
具ＨｏｌｌｉｎｇＩＶ功能反应的捕食与被捕食模型的稳定性分析
丁建华，金俊栋２
（１．甘肃有色冶金职业技术学院公共基础部，甘肃金昌７３７１００；２．甘肃农业大学理学院，甘肃兰州７３００７０）
摘
件．
要：研究了具ＨｏｌｌｉｎｇＩＶ功能反应的捕食与被捕食模型，讨论了系统的有界性．采用Ｒｏｕｔｈ—Ｈｕｒｗｉｔｚ判别法
得到正平衡点局部渐近稳定性的充分条件，同时通过构建李亚普洛夫函数得到正平衡点全局渐近稳定性的条
关键词：平衡点；稳定性；ＨｏＮｉｎｇＩＶ功能反应
中图分类号：０１７５．１４
文献标识码：Ａ
文章编号：１０ｏ９— ４９７０（２０１７）０５— ００１ｌ一０３ＨｏｌｌｉｎｇＩＶ型函数．紧接着，其他学者对Ｈｏｌｌｉｎｇ功
（￡）＝＋，
处的雅克比矩阵为
】
＋６Ｘ＝－ｄｉ－＋旦坐＋
＋
＋一ｅ一＋ｄｔ６Ｘ一）詈）一
＝ｒｘ（１
其中
Ｊ２１：一
一
（
（）ＩＪｌ２＝一
＋似＋６１ ’
０引言
在１９６５年，Ｈｏｌｌｉｎｇ … 对不同类型的物种通过试验的方法，提出了三种不同的功能反应函数，即
能反应捕食系统的模型进行了进一步的研究，得到许多深刻而系统的结论［２］．ＷｅｎＳｈｅｎｇＹａｎｇ等人在文献［６］中研究了食饵带年龄结构的ＨｏｌｌｉｎｇＩＶ型的周期捕食与被捕食系统的持久性．文献［７］利
；：０，
；
一 ’
ｃｘｙ一ｑＥｘ＋Ｃ（一ｄ十ｅｘ＋８（＋詈ｙ））
＝一＋（ｒ－ｑＥ＋）＋（ — ｄ）．
由于ｒ一＜０时，ｄｘ＜Ｏ
．
则正平衡点Ｅ（ ‘ ，Ｙ）处的特征方程为
【ａｙ＝），（＋南
）
增加时，单位捕食者消耗食饵的比率也在增加，许许多多实验和数据显示，当资源达到较高水平时，
不仅不会促进个体的增长，还会抑制对某些个体的
其中表示食饵种群的密度；Ｙ表示捕食者种群的
密度；ｒ表示食饵种群的内禀增长率；ｋ表示环境容纳量；ｄ表示捕食者的死亡率；ｅ表示转化率，即每
基金项目：国家自然科学基金资助项目（１０７７１０４８）
作者简介：丁建华（１９８６一），女，硕士，讲师．研究方向：生物数学、最优控制理论；金俊栋（１９８４一），男，硕士，讲师．研究
方向：应用数学、无穷维动力系统．
增长．为了模拟这种抑制的作用，Ａｎｄｒｅｗｓ研究了
一
类函数（）＝—
口＋ｎ＋
，同时将此函数称为
捕食一个食饵转化为捕食者的效率；ｇ表示食饵种群捕获能力；Ｅ表示对捕食者种群捕获努力程度．
收稿日期：２０１６—１２— ２９
用模型
ＨｏｌｌｉｎｇＩ，ＨｏｌｌｉｎｇＩＩ，ＨｏｌｌｉｎｇＩＩＩ，不同种类的捕食与
被捕食模型的一般形式为
ｆ警＝（１一詈）一（）ｙ
【ｅｃｆｙｆ＝ｙＥ — Ｄ＋（）］
・
ｌｌ・
洛阳师范学院学报２０１７年第５期
１系统的有界性
定理３设正平衡点Ｅ（，Ｙ）存在，当
（）＞０且ｂ＞部渐近稳定的．
时，平衡点Ｅ（，Ｙ）是局
证明由于系统（１）在正平衡点Ｅ（，Ｙ）
们研究如下数学模型．
是Ｓｉｇｍｏｉｄａｌ反应函数的简单形式，Ｓｉｇｍｏｉｄａｌ反应
函数被描述为（）＝— ．
Ｉ．ｄｘ＝ｒｘ（１一｝）一
？
一ｑＥｘ
（，１、）
ＨｏｌｌｉｎｇＩ，ＨｏｌｌｉｎｇＩＩ，ＨｏｌｌｉｎｇＩＩＩ表明食饵种群