食饵捕食者模型
建模——捕食者
食饵——捕食者模型摘要：建立具有自身阻滞作用的两个种群食饵-捕食者模型，并结合模型的数值解和相轨线，对模型的稳定性进行了分析。
关键词：种群，数值解，平衡点，相轨线，Volterra 模型（一）模型准备自然界中不同种群之间还存在着这样一种制约的生存方式：种群甲靠有限的自然资源生存，而种群乙靠掠取甲为生。
就像生活在草原上的狼与羊，种群之间捕食与被捕食的关系普遍存在，这样两个肉弱强食的种群，它们的发展和演进又会遵循一些什么样的规律呢？（二）模型假设有羊和狼两个种群，记食饵（羊群）和捕食者（狼群）在时刻t 的数量分别为)(t x ，)(t y ，1r 为羊群的固有增长率，1N 为环境容许的最大羊群量，2N 为环境容许的最大狼群量。
1、假设羊群可以独立生存，而可被其直接利用的自然资源有限，设总量为“1”。
羊群数量的增长率可以分为两部分考虑：其一，因为草原上的资源有限，所以它的增长服从Logistic 规律，即)1(11.N xx r x -=， 其二，当两个种群在同一个自然环境中生存时，由于狼群以掠取羊群为生，所以它对羊群的增长产生了负面影响，可以合理地在因子)1(1N x-中再减去一项，该项与狼群的数量y （相对于2N 而言）成正比，于是得到羊群增长的方程为：)1()(2111.N y N x x r t x σ--= （1） 1σ的意思是：单位数量的狼（相对2N 而言）掠取1σ倍的羊（相对1N 而言）。
2、假设狼群没有羊群的存在会灭亡，设其死亡率为2r ，则狼群独自存在时，有：y r t y 2.)(-=，又因为羊群的存在为狼群提供了食物，所以它对狼群的增长产生了促进作用，而狼群的增长又受到自身的阻滞作用，于是得到狼群增长的方程为：)1()(1222.N x N y y r t y σ+--= （2） 2σ的意思是：单位数量的羊（相对1N 而言）供养2σ倍的狼（相对2N 而言）。
（三）模型建立根据模型假设中的方程（1）、（2），可得到如下的数学模型：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=--=)1()()1()(1222.2111.N x N y y r t y N y N x x r t x σσ （四）模型求解利用数学软件求微分方程的数值解，通过对数值结果和图形的观察，猜测它的解析解的构造，然后从理论上研究其平衡点，验证前面的猜测。
一类捕食者-食饵模型的敏感性分析和最优控制
一类捕食者-食饵模型的敏感性分析和最优控制一类捕食者-食饵模型的敏感性分析和最优控制捕食者-食饵模型是一种描述两种不同生物种群之间相互作用的数学模型，常用于生态系统和环境保护等领域的研究中。
其中，捕食者指的是靠捕食其他生物为生的动物，而食饵则是捕食者的猎物。
在这种模型中，捕食者的存在和数量会影响食饵的种群数量，而食饵数量的减少也会影响捕食者数量的大小。
本文将从敏感性分析和最优控制两个方面对一类捕食者-食饵模型进行研究。
一、敏感性分析在数学建模的过程中，敏感性分析是一个非常重要的环节，可以通过分析一些重要的参数的变化对模型结果的影响，来判断模型的准确性和可靠性。
对于一类捕食者-食饵模型而言，一些关键的参数包括捕食者的增长率、食饵自然死亡率和捕食率等。
以R x∈[0,1], Ry ∈[0,1] 为状态，t ∈[0, ∞) 为时间的Lotka- Voltera 模型为例，该模型的方程如下：dRx/dt= Rx(α-βRy)dRy/dt= Ry(δRx-γ)其中，Rx 和Ry 分别表示捕食者和食饵类群数量的变化，α是捕食者的出生率常数，β是捕食率常数，δ是食饵的增长率常数，γ是自然死亡率常数。
该模型可以用来描述食饵数量对捕食者数量的影响，以及捕食者的数量对食饵数量的影响。
通过敏感性分析，可以得出以下结论：1、捕食者增长率的变化对模型结果的影响较小，这是因为在该模型中，捕食者数量的增长主要依赖于食饵数量的增加，而不是捕食者自身的增长率。
因此，在此模型中，捕食者的增长率不是一个非常重要的参数。
2、食饵自然死亡率的变化对模型结果有较大的影响，当食饵自然死亡率增加时，食饵的数量减少，进而影响捕食者的数量，导致整个生态系统失衡。
3、捕食率的变化对模型结果也有较大的影响。
当捕食率增加时，捕食者数量迅速增加，会让食饵数量大幅度下降，使得捕食者数量接下来也会下降。
反之，当捕食率减小时，食饵数量随之增加，导致捕食者的数量增加。
建模——捕食者
食饵——捕食者模型摘要：建立具有自身阻滞作用的两个种群食饵-捕食者模型，并结合模型的数值解和相轨线，对模型的稳定性进行了分析。
关键词：种群，数值解，平衡点，相轨线，Volterra 模型（一）模型准备自然界中不同种群之间还存在着这样一种制约的生存方式：种群甲靠有限的自然资源生存，而种群乙靠掠取甲为生。
就像生活在草原上的狼与羊，种群之间捕食与被捕食的关系普遍存在，这样两个肉弱强食的种群，它们的发展和演进又会遵循一些什么样的规律呢？（二）模型假设有羊和狼两个种群，记食饵（羊群）和捕食者（狼群）在时刻t 的数量分别为)(t x ，)(t y ，1r 为羊群的固有增长率，1N 为环境容许的最大羊群量，2N 为环境容许的最大狼群量。
1、假设羊群可以独立生存，而可被其直接利用的自然资源有限，设总量为“1”。
羊群数量的增长率可以分为两部分考虑：其一，因为草原上的资源有限，所以它的增长服从Logistic 规律，即)1(11.N xx r x -=， 其二，当两个种群在同一个自然环境中生存时，由于狼群以掠取羊群为生，所以它对羊群的增长产生了负面影响，可以合理地在因子)1(1N x-中再减去一项，该项与狼群的数量y （相对于2N 而言）成正比，于是得到羊群增长的方程为：)1()(2111.N y N x x r t x σ--= （1） 1σ的意思是：单位数量的狼（相对2N 而言）掠取1σ倍的羊（相对1N 而言）。
2、假设狼群没有羊群的存在会灭亡，设其死亡率为2r ，则狼群独自存在时，有：y r t y 2.)(-=，又因为羊群的存在为狼群提供了食物，所以它对狼群的增长产生了促进作用，而狼群的增长又受到自身的阻滞作用，于是得到狼群增长的方程为：)1()(1222.N x N y y r t y σ+--= （2） 2σ的意思是：单位数量的羊（相对1N 而言）供养2σ倍的狼（相对2N 而言）。
（三）模型建立根据模型假设中的方程（1）、（2），可得到如下的数学模型：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=--=)1()()1()(1222.2111.N x N y y r t y N y N x x r t x σσ （四）模型求解利用数学软件求微分方程的数值解，通过对数值结果和图形的观察，猜测它的解析解的构造，然后从理论上研究其平衡点，验证前面的猜测。
食饵—捕食者模型稳定性分析00
一、模型假设1.假设捕食者离开食饵无法生存；2.假设大海中资源充足，食饵独立生存时以指数规律增长；3.成年鱼在鱼群中所占比例大致稳定4．无人为捕捞等外加环境干扰二、符号说明x(t) ——成年食饵在时刻t 的数量；y(t ) ——捕食者在时刻t的数量；k——成年鱼所占种群内的比例；N1——大海中能容纳的食饵的最大容量；N 2——大海中能容纳的捕食者的罪的容量;r1——食饵的相对增长率；r 2——捕食者的相对增长率；1——单位数量捕食者（相对于N 2）提供的供养食饵的实物量为单位数量捕食者 (相对于 N1 )消耗的供养甲实物量的 1 倍；2——单位数量食饵（相对于N1）提供的供养捕食者的实物量为单位数量捕食者 (相对于 N 2 )消耗的供养食饵实物量的 2 倍；d——捕食者离开食饵独立生存时的死亡率。
三、模型建立食用鱼独立生存时按照指数形式增长，且食用鱼的相对增长率为r1，即x rx ，而捕食者的存在使食饵的增长率减小，设减小的程度与捕食者数量成正比，于是x(t) 满足方程x (t) x(r ay) rx axy (1)系数 a 反映捕食者掠取食饵的能力。
由于捕食者离开食饵无法生存，且它独立生存时死亡率为d，即y dy ，食饵的存在为捕食者提供了食物，相当于使捕食者的死亡率降低，且促使其增长。
设这种作用与食饵数量成正比，于是y(t ) 满足y (t) y( d bx)dy bxy(2)比例系数 b 反映食饵对捕食者的供养能力。
方程 (1) 、(2) 是在自然环境中食饵和捕食者之间依存和制约的关系，设这里有考虑种群自身的阻滞作用，是Volterra提出的最简单的模型。
考虑到种群自身的阻滞作用，在上两式中加入 Logistic 项，即建立以下数学模型：x1(t) r1x1 1 x11x2 N N2 1x2(t) r2x2 1 x1 x22 N N21(3)(4)下面对其平衡点进行稳定性分析：由微分方程 (3) 、 (4)f ( x 1 , x 2 )f ( x 1 , x 2 )r 1x 1 1 x 1 x 2N1 N21r 2 x 2 1 x 1 x 22 N N2 1得到如下平衡点 :P 1(N 1,0) , P 2 (N 1 (1 1) ,N 2(21) ) , P 3 (0,0)1 12 11 2因为仅当平衡点位于平面坐标系的第一象限时( x 1, x 2 0 ) 才有意义，所以，对 P 2 而言要求 2 >0。
捕食食饵模型
生物模型:设生物群体的数量N 是时间t 连续函数. 物种捕食模型: 捕食者P 的存在依赖于被捕食者的存在, 增长率由于被捕食者N 的存在而增大, 没有被捕食者时将自然趋向死亡. 被捕食者N 的增长率由于捕食者P 的存在而减少, 模型为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=P N c r tN P c r t N p n )(d dP )(d d 21 (12) 其中 21,,,c c r r p n >0是常数. 相空间为N ≥0, P ≥0, 奇点有两个, (0, 0) 和 (N *, P *) = )/,/(12c r c r n p , 当N , P 不等于零时, 轨道方程可由方程的两式消去d t 而得变量分离方程;0d d d d 12=-+-PP r P c N N r N c n p (13) 从点(N *, P *)积分到点(N , P )得C P P P P r N N N N r P N H n p =--+--=]*ln )1*[(]*ln )1*[(:),( (14) 由不等式 0ln 1:)(≥--=x x x f , 对任意x >0恒成立, 且当x 1≠ 时, 0)(>x f , )(x f 在),1[∞上从零严格单调增加到无穷大. )(x f 在]1,0(上从无穷大严格单调减少到零. 因此, ),(P N H 关于(N *,P *)点是定正函数, 且在从(N *,P *)点出发的任一射线上随着与(N *,P *)点的距离增加而从零严格单调增加至无穷大. 因此对于任一 C > 0, 轨道方程(14)表示一条闭轨, 对应于方程的周期解. 设其周期为T =T (C ), 我们可以证明在闭轨上N , P 的平均值分别为N *, P *.证: ⎰⎰⎰==--=-0d 1)(d *)(d )*(220PP c P r N c P N N t N N p T, 同理可证另一个关系式.MATLAB 中解常微分方程(组)的程序ode45的用法:[T,Y] = ODE45(@Fun,TSPAN,Y0)% TSPAN = [T0 TFINAL] 解的定义区间(行向量)% Y0 初始条件Y(0)=Y0, Y0是行向量% Fun 是一个函数名, 其函数值是(列)向量场, 即微分方程dY/dt=F(t,Y) 的右边.% 输出T 是一个列向量, 其分量T(k)为自变量的值, Y是矩阵Y(:,k) 是解的第k个分量在T的值，% 若取TSPAN = [T0 T1 ... TFINAL] . 则将得到解在指定的时刻T0, T1, ..., TFINAL 的值例: 要求解(12) ,可编程序如下:设方程中各常数都等于1, 初始条件为N(0)=1, P(0)=2; 解的定义区间为[0,8], 则微分方程函数子程序为function dydt=bushi(t,y) % 不显含t时，也要加上tdydt=zeros(2,1); dydt(1)=(1-y(2))*y(1); dydt(2)=(-1+y(1))*y(2);主程序为y0=[1 2]; tspan=[0 6.7];[T,y]=ode45(@bushi, tspan, y0);plot(y(:,1), y(:,2));上图是运行程序后的轨道图。
食饵捕食模型
食饵- 捕食者模型1.模型建立食饵(食用鱼)和捕食者(鲨鱼)在时刻t 的数量分别记作x ( t), y( t),因为大海中资源丰富,假设当食饵独立生存时以指数规律增长,(相对)增长率为r,即 x = rx,而捕食者的存在使食饵的增长率减小,设减小的程度与捕食者数量成正比,于是x( t)满足方程x( t) = x( r - ay) = rx - axy (1)比例系数a 反映捕食者掠取食饵的能力.捕食者离开食饵无法生存,设它独自存在时死亡率为d,即 y = - dy,而食饵的存在为捕食者提供了食物,相当于使捕食者的死亡率降低,且促使其增长.设这种作用与食饵数量成正比,于是y( t)满足y( t) = y( - d + bx) = - dy + bxy (2)比例系数b 反映食饵对捕食者的供养能力.2.模型分析方程(1),(2)没有解析解,我们分两步对这个模型所描述的现象进行分析.首先,利用数学软件求微分方程的数值解,通过对数值结果和图形的观察,猜测它的解析解的构造;然后,从理论上研究其平衡点及相轨线的形状,验证前面的猜测.3.模型求解1. 数值解记食饵和捕食者的初始数量分别为x(0) = x0 , y(0) = y0 (3)为求微分方程(1),(2)及初始条件(3)的数值解x( t), y( t) (并作图)及相轨线y( x),设r = 1, d = 0. 5, a = 0. 1, b = 0. 02, x0 = 25, y0 = 2,用M A T L A B 软件求解如下：M文件function xdot=sheir(t,x)r=1;d=;a=;b=;xdot=[(r-a*x(2)).*x(1);(-d+b*x(1)).*x(2)]; >> ts=0::15>> x0=[25,2]>> [t,x]=ode45('shier',ts,x0);[t,x]>>plot (t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)'), >> pause>> plot(x(:,1),x(:,2)),grid,4.结果分析x( t), y( t)是周期函数,与此相应地, 相轨线y( x)是封闭曲线,从数值解近似地定出周期为10. 7, x 的最大、最小值分别为99. 3 和2. 0, y 的最大最小值分别为28. 4 和2. 0,并且用数值积分容易算出x( t), y( t)在一个周期的平均值为x = 25, y =10。
捕食食饵模型的开题报告
捕食食饵模型的开题报告捕食食饵模型的开题报告一、引言捕食食饵模型是生态学中的一个重要概念，用于描述捕食者和食饵之间的相互作用关系。
通过研究捕食食饵模型，我们可以更好地理解物种之间的相互依赖和生态系统的稳定性。
本文将探讨捕食食饵模型的基本原理、应用领域以及未来的研究方向。
二、捕食食饵模型的基本原理捕食食饵模型是基于捕食者和食饵之间的相互作用而建立的数学模型。
其中最著名的模型是Lotka-Volterra模型，也被称为“捕食-食饵模型”。
该模型假设捕食者的数量仅受到食饵的影响，而食饵的数量则受到捕食者的控制。
通过建立捕食者和食饵的增长方程，可以推导出它们的数量随时间的变化规律。
三、捕食食饵模型的应用领域1. 生态系统稳定性研究：捕食食饵模型可以帮助我们了解生态系统中不同物种之间的相互关系，以及它们对生态系统稳定性的影响。
通过模拟捕食者和食饵的数量变化，我们可以预测生态系统的动态变化，从而采取相应的保护措施。
2. 捕食者控制害虫：许多农作物受到害虫的威胁，而捕食者可以帮助控制害虫的数量。
通过建立捕食食饵模型，我们可以研究捕食者和害虫之间的相互作用关系，找到最佳的捕食者引入策略，以降低害虫的数量和农作物损失。
3. 捕食者保护和保护区规划：许多捕食者物种正面临灭绝的威胁，而保护捕食者对于生态系统的平衡至关重要。
通过研究捕食食饵模型，我们可以了解捕食者与食饵之间的相互依赖关系，从而制定更有效的保护措施和保护区规划。
四、捕食食饵模型的未来研究方向1. 考虑环境因素：目前的捕食食饵模型主要关注捕食者和食饵之间的数量变化，而忽略了环境因素对它们的影响。
未来的研究可以将环境因素纳入模型，以更准确地预测物种数量的变化。
2. 多物种相互作用：现有的捕食食饵模型通常只考虑两个物种之间的相互作用，而实际生态系统中存在着多种物种的相互关系。
未来的研究可以将多物种相互作用纳入模型，以更全面地理解生态系统的复杂性。
3. 模型验证和实证研究：目前的捕食食饵模型主要基于理论推导和数学模拟，缺乏实证研究的支持。
食饵捕食者模型进一步研究(matlab)
一、食饵-捕食者模型的进一步研究
1）在食饵—捕食者模型（231页1，2式）中研究参数及初始值的变化对食饵和捕食者数量的周期、最大（小）值的影响。
【注：给出不同参数画图即可】
解：取三组不同初值分别为①x0=25,y0=2②x0=25,y0=4③x0=100,y0=2，在matlab中绘图如下
.
分析：
第一组作为对照组，第二组与第一组相比，捕食者初始数量增加，由图象可以看出，捕食者和食饵数量周期均缩短，最大值均变小，最小值均变大；第三组与第一组相比，捕食者和食饵数量周期均增长，最大值均变大，最小值均变小。
2）在上述模型中引入Logistic项（235页16，17式），分析相轨线及参数的影响。
【注：给出不同参数画图即可】
解：取五组不同的参数
①r1=1;r2=0.3;σ1=2; σ2=8;N1=3000;N2=400;（对照）
②r1=2;r2=0.3;σ1=2; σ2=8;N1=3000;N2=400;（食饵增长率变高）
③r1=1;r2=0.6;σ1=2; σ2=8;N1=3000;N2=400;（捕食者增长率高）
④r1=1;r2=0.3;σ1=4; σ2=8;N1=3000;N2=400;（σ1即捕食者掠取食饵能力变大）
⑤r1=1;r2=0.3;σ1=2; σ2=12;N1=3000;N2=400;（σ2即食饵对捕食者的供养能力变大）
在matlab中绘图如下：
从图象可以看出：
⑴改变食饵增长率r1和捕食者增长率r2不会改变最后的稳定点，即最终的稳定点与食饵和捕食者的增长率无关。
⑵第一二三组比较，。
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食饵——捕食者模型摘要自然界中不同种群之间存在着一种有趣的既有依存，又有制约的生存方式：种群甲靠丰富的自然资源生长，而种群乙靠捕食种群甲为生。
生态学上称种群甲为食饵)(Pr ey ，种群乙为捕食者)(Pr edator ，二者共处组成食饵——捕食者系统（简称P P -系统）。
为了对食饵、捕食者的数量关系做出分析和预测，建立了食饵——捕食者模型：根据微分方程稳定性理论辅之以相轨线分析，对具有自身阻滞作用的两种群的数量关系做出分析和预测。
关键词食饵——捕食者，模型，生态学，Logistic 规律。
问题重述讨论具有自身阻滞作用的两种群食饵——捕食者模型，首先根据两种群的相互关系建立模型，解释参数的意义，然后进行稳定性分析，解释平衡点稳定的实际意义，对模型进行相轨线分析来验证理论分析的正确性。
模型建立种群甲（食饵）靠丰富的自然资源生长，而种群乙（捕食者）靠捕食种群甲为生，食饵（甲）和捕食者（乙）在t 时刻的数量分别记为)(t x ，)(t y ，r 是甲的固有增长率，种群甲和乙的最大容量分别为N 、M 。
数量的演变均遵从Logistic 规律。
于是对种群甲有)1()(Nxrx t x-= 其中因子)1(Nx-反映由于甲对有限资源的消耗导致的对它本身增长的阻滞作用，N x可解释为相对于N 而言单位数量的甲消耗别的供养甲的食物量（设食物总量为1）。
当两个种群在同一自然环境中生存时，考察由于乙消耗同一种有限资源对甲的增长产生的影响，可以合理的在因子)1(N x-中再减去一项，该项与种群乙的数量y （相对于M 而言）成正比，于是得到种群甲增长的方程为)1()(1MyN x rx t xσ--= （1） 这里的意义是：单位数量乙（相对于M 而言）消耗的供养甲的食物量为单位数量甲（相对N ）消耗的供养甲的食物量的1σ倍。
类似的，甲的存在也影响了乙的增长，种群乙没有甲的存在会死亡，设其死亡率为d ，甲为乙提供食物，甲对乙的增长起到了促进作用，乙的增长又会受到自身的阻滞作用，于是得到种群乙增长的方程为)1()(2M yN x dy t y-+-=σ （2） 其中：2σ反映食饵对捕食者的供养能力。
稳定性分析为了研究种群甲、乙的结局，即∞→t 时，)(t x 、)(t y 的趋向，需对它的平衡点进行稳定性分析。
首先根据微分方程（1）、（2）解代数方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-≡=--≡0)1(),(0)1(),(21M yN x dy y x g M y N x rx y x f σσ （3） 得到4个平衡点：)0,(1N P ，),0(2M P -，⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++21221131)1(,1)1(σσσσσσM N P ，)0,0(4P 。
按照判断平衡点稳定性的方法计算⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=)21()21(2211M y N x d N y d M x r M y N x r g g f f A y xy xσσσσ 4,3,2,1,|)(=+-=i g f p i p y x4,3,2,1,|det ==i A qi p将4个平衡点p ，q 的结果及稳定条件列入下表1.上表的稳定条件由微分方程稳定性理论分析：“若0>p ，0>q ，则平衡点稳定；若0<p 或0<q ，则平衡点不稳定”可以得到，且平衡点要在第一象限。
在代数方程（3）中记MyN x y x 11),(σϕ--= MyN x y x -+-=21),(σψ对于1σ，2σ的不同取值范围，直线0=ϕ和0=ψ在相平面上的相对位置不同。
模型计算与验证数值解：记食饵和捕食者的初始数量分别为0)0(x x =，0)0(y y = （4）为求微分方程（1）、（2）及初始条件（4）的数值解)(t x ，)(t y （并作图）及相轨线)(x y ，把⎪⎩⎪⎨⎧=-+-≡=--≡0)1(),(0)1(),(21M yN x dy y x g M y N x rx y x f σσ用⎩⎨⎧=-+-≡=--≡0)(),(0)(),(my bx d y y x g ay nx r x y x f 代替，设1=r ，5.0=d ，5.01=σ，2.02=σ，100=N ，10=M ，则有1=r ，5.0=d ，05.01==M r a σ，001.02==N d b σ，01.01==N n ，1.01==Mm 。
MATLAB 代码为：12<σ12>σr=1;d=0.5;a=0.05;b=0.001;n=0.01;m=0.1;xdot=[(r-n*x(1)-a*x(2)).*x(1);(-d+b*x(1)-m*x(2)).*x(2)]; >> clear;>> ts=0:0.1:25; >> x0=[25,2];>> [t,x]=ode45('shier',ts,x0)>> plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)'), >> pause,>> plot(x(:,1),x(:,2)),grid,设1=r ，5.0=d ，21=σ，2.02=σ，100=N ，10=M ，则有1=r ，5.0=d ，2.01==M r a σ，001.02==N d b σ，01.01==N n ，1.01==Mm 。
MATLAB 代码为：11<σ，12<σ时，数值解)(t x ，)(t y 的图形。
相轨线)(x y 的图形r=1;d=0.5;a=0.2;b=0.001;n=0.01;m=0.1;xdot=[(r-n*x(1)-a*x(2)).*x(1);(-d+b*x(1)-m*x(2)).*x(2)]; >> clear;>> ts=0:0.1:25; >> x0=[25,2];>> [t,x]=ode45('shier',ts,x0);>> plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)'), >> pause,>> plot(x(:,1),x(:,2)),grid,设1=r ，5.0=d ，5.01=σ，22=σ，100=N ，10=M ，则有1=r ，5.0=d ，05.01==M r a σ，01.02==N d b σ，01.01==N n ，1.01==Mm 。
11>σ，12<σ时，数值解)(t x ，)(t y 的图形。
相轨线)(x y 的图形MATLAB 代码为： function xdot=shier(t,x)r=1;d=0.5;a=0.05;b=0.01;n=0.01;m=0.1;xdot=[(r-n*x(1)-a*x(2)).*x(1);(-d+b*x(1)-m*x(2)).*x(2)]; >> clear;>> ts=0:0.1:25; >> x0=[25,2];>> [t,x]=ode45('shier',ts,x0);>> plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)'), >> pause,>> plot(x(:,1),x(:,2)),grid,设1=r ，5.0=d ，21=σ，22=σ，100=N ，10=M ，则有1=r ，5.0=d ，11<σ，12>σ时，数值解)(t x ，)(t y 的图形。
相轨线)(x y 的图形2.01==M r a σ，01.02==N d b σ，01.01==N n ，1.01==Mm 。
MATLAB 代码为： function xdot=shier(t,x)r=1;d=0.5;a=0.2;b=0.01;n=0.01;m=0.1;xdot=[(r-n*x(1)-a*x(2)).*x(1);(-d+b*x(1)-m*x(2)).*x(2)]; >> clear;>> ts=0:0.1:25; >> x0=[25,2];>> [t,x]=ode45('shier',ts,x0);>> plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)'), >> pause,>> plot(x(:,1),x(:,2)),grid,11>σ，12>σ时，数值解)(t x ，)(t y 的图形。
相轨线)(x y 的图形模型解释根据模型中2σ与1的大小关系（2σ与1的大小关系定了，与1σ与1的大小关系无关，即点1P ，3P 的稳定性由2σ与1的大小关系决定），说明1P ，3P 两稳定点在生态学上的意义。
当12<σ时，点1P 稳定，因食饵不能为捕食者提供足够食物，即捕食者灭绝，而食饵趋向最大容量；当12>σ时，点3P 稳定，这时食饵与捕食者的数量随时间的增加趋于各自的极限值，而趋于生态平衡，时间足够长之后，食饵与捕食者将保持自己的数量不会有大的变化。
参考文献数学建模/姜启源，谢金星，叶俊编.—3版.—北京：高等教育出版社，2003.8（2010重印）数学建模与实验/陈恩水，王峰编.—北京：科学出版社，2008MATLAB 数学建模与仿真/周品，赵新芬编著，—北京：国防出版社，2008.4 数学建模选讲/王树禾编著.—北京：科学出版社，2008。