食饵—捕食者模型

楚雄师范学院数学系《数学模型》课程
食饵—捕食者模型
3. 讨论具有自身阻滞作用的两种群食饵-捕食者模型，首先根据该两种群的相互关系建立模型，解释参数的意义，然后进行稳定性分析，解释平衡点稳定的实际意义，对模型进行相轨线分析来验证理论分析的正确性，并用matlab 软件画出图形。

自然界中不同种群之间还存在着一种非常有趣的既有相互依存、又有相互制约的生活方式：种群甲靠丰富的天然资源生长，而种群乙靠捕食甲为生，形成鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，落叶松和蚜虫等等都是这种生存方式的典型，生态学称种群甲为食饵，种群乙为捕食者。

二者共同组成食饵—捕食者系统。

一食饵—捕食者
选用食饵(食用鱼)和捕食者(鲨鱼)为研究对象,设)(t x /)(1t x 为食饵(食用鱼)在时刻t 的数量，)(t y /)(2t x 为捕食者(鲨鱼)在时刻t 的数量，1r 为食饵(食用鱼)的相对增长率，2r 为捕食者(鲨鱼)的相对增长率；1N 为大海中能容纳的食饵(食用鱼)的最大容量，2N 为大海中能容纳的捕食者(鲨鱼)的最大容量，1σ为单位数量捕食者（相对于2N ）提供的供养食饵的实物量为单位数量捕食者(相对于1N )消耗的供养甲实物量的1σ倍；2σ为单位数量食饵（相对于1N ）提供的供养捕食者的实物量为单位数量捕食者(相对于2N )消耗的供养食饵实物量的2σ倍；d 为捕食者离开食饵独立生存时的死亡率
二模型假设
1.假设捕食者（鲨鱼）离开食饵无法生存；
2.假设大海中资源丰富，食饵独立生存时以指数规律增长；
三模型建立
食饵(食用鱼)独立生存时以指数规律增长，且食饵(食用鱼)的相对增长率为
1r ，即rx x ='，而捕食者的存在使食饵的增长率减小，设减小的程度与捕食者数
量成正比，于是)(t x 满足方程
axy rx ay r x t x -=-=')()( (1)
比例系数a 反映捕食者掠取食饵的能力。

由于捕食者离开食饵无法生存，且它独立生存时死亡率为d ，即dy y -='，而食饵的存在为捕食者提供了食物，相当于使捕食者的死亡率降低，且促使其增长。

设这种作用与食饵数量成正比，于是)(t y 满足
bxy dy bx d y t y +-=+-=')()( (2)
比例系数b 反映食饵对捕食者的供养能力。

方程(1)、(2)是在自然环境中食饵和捕食者之间依存和制约的关系，这里没有考虑种群自身的阻滞作用，是Volterra 提出的最简单的模型。

结果如下。

不考虑自身阻滞作用:数值解
令x(0)=x0,y(0)=0,设r=1,d=0.5,a=0.1,b=0.02,x0=25,y0=2 使用Matlab 求解 求解如下
1）先建立M 文件 function xdot=shier(t,x) r=1;d=0.5;a=0.1;b=0.02;
xdot=[(r-a*x(2)).*x(1);(-d+b*x(1)).*x(2)]; 2)在命令窗口输入如下命令： ts=0:0.1:15; >> x0=[25,2];
>> [t,x]=ode45('shier',ts,x0);[t,x],
>> ts=0:0.1:15;
x0=[25,2];
[t,x]=ode45('shier',ts,x0);[t,x],
ans =
省略
>> plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)'),
>>>> pause
>> plot(x(:,1),x(:,2)),grid,
（可以猜测，x(t),y(t)是周期函数,与此相应地相轨线y(x)封闭曲线，从数值解近似定出周期为10.7，x 的最大最小值分别为99.3，2.0，y 的最大，最小值分别为28.4和2.0，容易算出x(t),y(t)再一个周期的平均值为25，10.）
考虑阻滞作用
下面对（3）（4）进行平衡点稳定性分析： 由微分方程(3)、(4)
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪
⎪⎨
⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛=-+---2211212222111111),(),(2121N x N x x r N x N x x r x x g x x f σσ 令f(x1,x2)=0,g(x1,x2)=0 得到如下平衡点:
)0,(11N P , )1)
1(,1)1((
2
12221112σσσσσσ+-++N N P , )0,0(3P
因为仅当平衡点位于平面坐标系的第一象限时(0,21≥x x )才有意义，所以，对2P 而言要求2σ>0。

按照判断平衡点稳定性的方法计算：
⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤-+--
--=⎢⎢
⎣⎡⎥⎥⎦⎤=)21()
21(2211221
2
222
1112
2
111121
21
N x N x r N x r N x r N x N x r g g f f A x x x x σσσσ
根据p 等于主对角线元素之和的相反数，而q 为其行列式的值，我们得到下表：
五模型分析与检验
1.平衡点稳定性的分析及其实际意义：
1) 对)0,(11N P 而言，有p =)1(221--σr r ，q =)1(221--σr r ，故当2σ<1时，平衡点)0,(11N P 是稳定的。

意义：如果)0,(11N P 稳定，则种群乙灭绝，没有种群的共存。

2)对)1)1(,1)1((
212221112σσσσσσ+-++N N P 而言，有p =2
122111)1()1(σσσσ+-++r r ，
q =
2121211)1)(1(σσσσ+-+r r ，故当2σ>1时，平衡点)1)
1(,1)1((2
12221112σσσσσσ+-++N N P 是稳定的。

意义：如果)1)
1(,1)1((2
12221112σσσσσσ+-++N N P 稳定，则两物种恒稳发展，会互相依
存生长下去。

3)对)0,0(3P 而言，由于21r r p +-=，21r r q -= ，又有题知1r >0,2r >0,故q <0,即)0,(11N P 是不稳定的。

六用MATLAB 求解验证
下面将进行MATLAB 软件求解此微分方程组中的)(1t x 、)(2t x 的图形及相轨线
图形。

设21=σ，62=σ，11=r ，3.02=r ，30001=N ,4002=N ,使用MATLAB 软件求 1)建立M 文件
function y=fun(t,x)
y=[x(1).*(1-x(1)./3000-2*x(2)./400);0.3.*x(2).*(-1+6.*x(1)./3000-x(2)./400)];
2)在命令窗口输入如下命令：
ts=0:0.1:20
ts =省略
>> x0 =[3000 60] x0 =
3000 60
>> [t,x]=ode45('fun',[0,20],[3000,60])
t =省略
>> plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)')
图1.数值解)(1t x ，)(2t x 的图形
>> plot(x(:,1),x(:,2)),grid,
图2.相轨线图形
从数值解及)(1t x ，)(2t x 的图形可以看出他们的数量变化情况，随着时间的推移，都趋于一个稳定的值，从数值解中可以近似的得到稳定值为：(750,150)。

参考文献：数学模型（教材，第三版）P192-P196。