株洲重点高中自主招生题库

2005年~2007年株洲市二中高一新生入学测试试题总汇（2010年高一入学测试题目亦来源于此）一、选择题1．下列运算正确的是（ ）A ．321x x -=B ．22122xx --=-C ．236()a a a -=·D ．236()a a -=-2．下列运算正确的是（ ）A ．a 2·a 3=a 6B ．a 8÷a 4=a 2C ．a 3+a 3=2a 6D ．(a 3)2=a 6 3．一元二次方程2x 2-6x-k=0的一个根是x 1=1,则 k 的值是（ ）A ．k= 4B ．k= - 4C ．k= 3D ．k= - 34．若mx 11-=是方程022=+-m mx 的根，则m x -的值为（ ） A ．0B ．1C ．－1D ．25．一元二次方程2x 2-7x+k=0的一个根是x 1=2,则另一个根和k 的值是（ ）A ．x 2=1 ，k=4B ．x 2= - 1, k= -4C ．x 2=32,k=6 D ．x 2= 32-,k=-6 6．如果关于x 的一元二次方程220x kx -+=中，k 是投掷骰子所得的数字（1，2，3，4，5，6），则该二次方程有两个不等实数根的概率P=（ ） A ．23B ．12C ．13D ．167．二次函数y=-x 2-4x+2的顶点坐标、对称轴分别是（ ） A ．(-2,6)，x=-2 B ．(2,6)，x=2 C ．(2,6)，x=-2D ．(-2,6)，x=2 8.如图，P (x,y)是反比例函数xy 4=在第一象限分支上的一动点，P A ⊥x 轴，随着x 逐渐增大，△APO 的面积将（ ） A ．增大 B ．减小 C ．不变 D ．无法确定9． 下列图中阴影部分的面积与算式122)21(|43|-++-的结果相同的是（ ）CD10．中国足球队在某次训练中，一队员在距离球门12米处挑射， 正好射中了2．4米高的球门横梁，若足球运行的路线是抛物 线c bx ax y ++=2（如右图），则下列结论： ①601-<a ②0601<<-a ③0>+-cb a ④a b 120-<<其中正确的结论是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④11．在物理实验课上，小明用弹簧称将铁块A 悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧称的读数y （单位N ）与铁块被提起的高度x （单位cm ）之间的函数关系的大致图象是（ ）12．设m=|1|-+x x ，则m 的最小值是（ ）A ．0B ．1C ．―1D ．213．奥运会期间，某地球迷一行56人，从旅馆乘出租车到球场为中国队加油．现有A 、B 两个出租车队，A 队比B 队少3辆车．若全部安排乘A 队的车，每辆车坐5人，车不够，每辆车坐6人，有的车未坐满；若全部安排乘B 队的车，每辆车坐4人，车不够，每辆车坐5人，有的车未坐满．则A 队有出租车（ ） A ．11辆B ．10辆C ．9辆D ．8辆14．如图，以O 为圆心的两个同心圆中，小圆的弦AB 的延长线 交大圆于点C ，若AB=4，BC=1，则下列整数与圆环的面积 最接近的是（ ）A ．10B ．13C ．16D ．1915.已知在直角坐标系中，以点A(0,3)为圆心，以3为半径作⊙A ，则 直线y=kx+2(k≠0)与⊙A 的位置关系是（ ）A ．相切B ．相交C ．相离D ．与k 值有关 16．如图，在锐角△ABC 中，以BC 为直径的半圆O 分别交AB ，D ，E 两点，且cos A ，则S △ADE ∶S 四边形DBCE 的值为（ ） A ．12B ．13CD ．CA17．已知四边形1S 的两条对角线相等，但不垂直，顺次连结1S 各边中点得四边形2S ，顺次连结2S 各边中点得四边形3S ，以此类推，则2006S 为（ ） A ．是矩形但不是菱形B ．是菱形但不是矩形C ．既是菱形又是矩形D ．既非矩形又非菱形18．如图 ,D 是直角△ABC 斜边BC 上一点,AB=AD,记∠CAD=α,∠ABC=β．若10,αβ=︒则的度数是（ ）A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．不能确定19．已知2310x x x +++=，则2004321x x x x +++++ 的值为（ ）A ．0B ． 1C ．―1D ．200420．下表给出的是某年某月的日历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数，请你运用方程的思想来研究，你发现这三个数的和不可能是（ ）A ．69B ．54C ．40D ．27正视图 左视图 俯视图21．如图为由一些边长为1cm 正方体堆积在桌面形成的立方体的三视图，则该立方体露在外面部分的表面积是________ cm 2． A ． 11B ．15C ．18D ．2222.当A 旋转360°时，则B 旋转 度 A ． 90 B ．180 C ．270 D ．360二、填空题23．若a 表示最小的正整数，b 表示最大的负整数，c 表示绝对值最小的有理数，则BDCαβA11235...(a+b)×c =___________．24．如图，直线a ∥b ，则∠ACB =_______． 25．观察下面的各等式：32+42=52102+112+122=132+142请写出下一个由7个连续正整数组成、前4个数的平方和等于后3个数的平方和的等式为 ．26.在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD AB D 于，AC ＝10， CD ＝6，则sinB 的值为____． 27.如图，在⊙O 中，∠ACB ＝∠D ＝60°，OA ＝2，则AC 的长为_________．第27题图28．对于平面图形A ，如果存在一个圆，使图形A 上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A 被这个圆所覆盖．对于平面图形A ，如果存在两个或两个以上的圆，使图形A 上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A 被这些圆所覆盖．例如：图1中的三角形被一个圆所覆盖，图2中的四边形被两个圆所覆盖．回答下列问题：⑴ 边长为1cm 的正方形被一个半径为r 的圆所覆盖，r 的最小值是 cm ； ⑵ 边长为1cm 的等边三角形被一个半径为r 的圆所覆盖，r 的最小值是 cm ；⑶ 长为2cm ，宽为1cm 的矩形被两个半径都为r 的圆所覆盖，r 的最小值是 cm ，这两个圆的圆心距是cm ．29.分解因式：xy 2–2xy-3x = ．30.同室的4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的拿法有________种．31．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两上数的和．现以这组数中的各个数作为正方形的长度构造如下正方形：再分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个,正方形拼成如下矩形并记为①、②、③、A28° 50° aC bB（24题图）D11231511211321④③②①④．相应矩形的周长如右上表所示： 若按此规律继续作矩形，则序号为⑥的矩形周长是 ．三、解答题32．（1）解不等式组331213(1)8x x x x -⎧++⎪⎨⎪--<-⎩，，≥ ，并把解集在数轴上表示出来．（2）先化简，再求值：231()11x x x x x x---+ ，其中2x =．33.（1）解不等式组：()245132216x x x x --⎧>-⎪⎨⎪+-≤⎩，并把解集在数轴上表示出来．（2）先化简，再求值：已知12+=x ，求xx x x x x x 112122÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+---+的值．34．（1）如图(1) 、(2)，锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，变化而变化．试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值变化的规律． （2）比较大小（在空格处填写―<‖，或―=‖，或―>‖）若045α=，则sin _____cos αα；若045α<，则sin _____cos αα ；若045α>，则sin _____cos αα．（3）利用互为余角的两个角的正弦和余弦的关系，试比较下列正弦值和余弦值的大小：0000sin10,cos30,sin50,cos70．35．小华与小丽设计了A B ，两种游戏：游戏A 的规则：用3张数字分别是2，3，4的扑克牌，将牌洗匀后背面朝上放置在桌面上，第一次随机抽出一张牌记下数字后再原样放回，洗匀后再第二次随机抽出一张牌记下数字．若抽出的两张牌上的数字之和为偶数，则小华获胜；若两数字之和为奇数，则小丽获胜．游戏B 的规则：用4张数字分别是5，6，8，8的扑克牌，将牌洗匀后背面朝上放置在桌面上，小华先随机抽出一张牌，抽出的牌不放回，小丽从剩下的牌中再随机抽出一张牌．若小华抽出的牌面上的数字比小丽抽出的牌面上的数字大，则小华获胜；否则小丽获胜．请你帮小丽选择其中一种游戏，使她获胜的可能性较大，并通过概率计算说明理由．36．如图，在R t△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E．（1）求证：点E是边BC的中点；（2）若EC=3，BD=62，求⊙O的直径AC的长度；（3）若以点O，D，E，C为顶点的四边形是正方形，试判断△ABC的形状，并说明理由．37． 如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC ，以AC 为直径作圆，交AB 于D ，交BC 于E ， （1）求证：EC=ED ；（2）已知：AB=5，BC=6，求CD 长．38．a 、b 为实数，关于x 的方程2||2x ax b ++=有三个不等的实数根．（1）求证：2480a b --=；（2）若该方程的三个不等实根，恰为一个三角形三内角的度数，求证该三角形必有一个内角是060；（3）若该方程的三个不等实根为一直角三角形的三条边，求a 和b 的值．39．某运输部门规定：办理托运，当一件物品的重量不超过a 千克（a ＜18）时，需付基础费30元和保险费b 元；为了限制过重物品的托运，当一件物品超过a 千克时，除了付以上基础费和保险费外，超过部分还需每千克付c 元的超重费．设某件物品的重量为x 千克，支付费用为y 元．（1）当0＜x ≤a 时，y = (用含b 的代数式表示)；当x ＞a 时，y = (用含a 、b 、c 的代数式表示)； （2）甲、乙、丙三人各托运一件物品，物品的重量与支付费用如下表所示：①试根据以上提供的信息确定a 、b 、c 的值，并写出支付费用y （元）与每件物品重量x （千克）的函数关系式；②试问在物品可拆分的情况下，用不超过120元的费用能否托运50千克的物品？若能，请你设计出一种托运方案；若不能请你说明理由．40．某书店为某畅销书定价如下：（根据一次购书数量的不同定出三种不同价格）（1n 的值．（2）若该书每本进价是8元，现有两人来买书，每人至少买1本，两人共买60本（不合伙购买），则书店至少能赚多少钱？至多能赚多少钱？41．已知抛物线2213188y x mx m m =++-与x 轴交于1212(,0),(,0)()A x B x x x <两点，与y 轴交于点C （0，b ），O 为原点． （1）求m 的取值范围； （2）若118m >且OA+OB=3OC ，求抛物线的解析式及A 、B 、C 的坐标． （3）在（2）的情形下，点P 、Q 分别从A 、O 两点同时出发以相同的速度沿AB 、OC 向B 、C 运动，联结PQ 与BC 交于M ，设AP=k ，问是否存在k ，使以P 、B 、M 为顶点的三角形与⊿ABC 相似．若存在，求所有的k 值，若不存在说明理由．42．已知抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴交于不同的两点A 和B （4，0），与y 轴交于点C （0，8），其对称轴为x=1． （I ）求此抛物线的解析式；（II ）过A 、B 、C 三点作⊙O 与y 轴的负半轴交于点D ，求经过原点O 且与直线AD 垂直（垂足为E ）的直线OE 的方程；（III ）设⊙O′与抛物线的另一个交点为P ，直线OE 与直线BC 的交点为Q ，直线m x =与抛物线的交点为R ，直线m x =与直线OE 的交点为S ． 是否存在整数m ，使得以点P 、Q 、R 、S 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．43．如图1和2，在20×20的等距网格（每格的宽和高均是1个单位长）中，Rt△ABC从点A与点M重合的位置开始，以每秒1个单位长的速度先向下平移，当BC边与网的底部重合时，继续同样的速度向右平移，当点C与点P重合时，Rt△ABC停止移动．设运动时间为x秒，△QAC的面积为y．（1）如图1，当Rt△ABC向下平移到Rt△A1B1C1的位置时，请你在网格中画出Rt△A1B1C1关于直线QN成轴对称的图形；（2）如图2，在Rt△ABC向下平移的过程中，请你求出y与x的函数关系式，并说明当x 分别取何值时，y取得最大值和最小值？最大值和最小值分别是多少？（3）在Rt△ABC向右平移的过程中，请你说明当x取何值时，y取得最大值和最小值？最大值和最值分别是多少？为什么？44．若干个1与2排成一行：1，2，1，2，2，1，2，2，2，1，2，…… ，规则是：第1个数是1，第2个数是2，第3个数是1，一般地，先写一行1，再在第k 个1与第k+1个1之间插入k 个2（k=1,2,3,---）．试问： （1）第2006个数是1还是2？（2）前2006个数的和是多少？前2006个数的平方和是多少？ （3）前2006个数两两乘积的和是多少？44．设a ，b ，c 为互不相等的实数，且满足如下关系：①14162222++=+a a c b ；②542--=a a bc ．求a 的取值范围．株洲市二中2010年下学期高一数学入学分班试题时长120分钟总分150分一、选择题（每小题5分，共50分）1．二次函数y=2x 2+4x+3的顶点坐标、对称轴分别是（ ）A ．(-1,1)，x=-1B ．(1,1)，x=1C ．(4,3)，x=4D ．(-4,3)，x=-42．设x 为正整数，若1+x 是完全平方数，则它前面的一个完全平方数是（ ）A ．xB ．12+-x xC ．112++-x xD ．212++-x x 3．已知关于023,034,045=+-=+-=+-c x b x a x x 有两个解无解的方程只有一个解，则化简b a b c c a ---+-的结果是（ ）A 、2aB 、2bC 、2cD 、0 4．2007年的夏天，我市旱情严重．7月10号、15号某居民区的人日均用水量的变化情况如图所示．若10号、15号该区的人均用水量分别为18千克和15千克，并一直按此趋势直线下降．当人日均用水量低于10千克时，政府将向区居民送水．那么政府应开始送水的日期为（ ）号．A ．23B ．24C ．25D ．265．若x 为任意实数时，二次三项式26x x c -+的值都不小于0，则常数c 满足的条件是 （ ）A ． c ≥0B ． c ＞0C ． c ≥9D ． c ＞9 6．如图是韩老师早晨出门散步时，离家的距离．．（y ）与时间（x ）之间的函数图象．若用黑点表示韩老师家的位置，则韩老师散步行走的路线可能是（ ）7.如图AD 是△ABC 的中线，∠ADC=60°，BC=4，把△ADC 沿直线AD 折叠后，使AB 和DC’相交于点E ，点C 落在C’ 的位置上，那么BC’为（ ）A ．1B ．3C ．2D ．22(第6题)（A ）（B ）（C ）（D ）俯视图左视图主视图 A B8．如图 ，在△ABC 中，已知∠C =90°，AC ＝60 cm ，AB =100 cm ，a 、b 、c …是在△ABC 内部的矩形，它们的一个顶点在AB 上，一组对边分别在AC 上或与AC 平行，另一组对边分别在BC 上或与BC 平行． 若各矩形在AC 上的边长相等，矩形a 的一边长是72 cm ，则这样的矩形a 、b 、c …的个数是（ ）A ． 7B ． 8C ． 9D ． 109．如图 ，MN 是⊙O 的直径，2MN =，点A 在⊙O 上，30AMN = ∠，B 为弧AN 的中点，P 是直径MN 上一动点，则PA PB +的最小值为（ ）A ．1B ．2 C．D ．10.如图，是几个相同的小正方体搭成的几何体的三种视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（ ）个．A ．5B ．6C ．7D ．8二、填空题（每小题5分，共25分）11．函数21--=x x y 中，自变量x 的取值范围是 ． 12.从－2，－1，1，2这四个数中，任取两个不同的数作为一次函数y kx b =+的系数k ，b ，则一次函数y kx b =+的图象不经过第四象限的概率是________．13.如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD AB ⊥于H ，AC=10，CD=12，那么sin ABD ∠的值是 ．14．对于正数x ，规定f （x ）=x 1x +，计算f （12006）+ f （12005）+ f （12004）+ …f （13）+ f （12）+ f （1）+ f （1）+ f （2）+ f （3）+ … + f （2004）+ f （2005）+ f （2006）= ．15．如图，二次函数y =ax 2+bx +c (a >0)．图象的顶点为D ，其图象与x 轴的交点B 的横坐标MN分别为–1、3，与y 轴负半轴交于点C ．下面四个结论：①2a +b =0；②a +b +c >0；③当1x ≤时，y 随x 值的增大而增大；④当0c bx ax 3x 12<++≤≤-时，⑤只有当a = 12 时，△ABD 是等腰直角三角形；那么，其中正确的结论是．三、解答题．（16题12分，17题15分，18题15分，19题15分，20题18分．共75分）16.先化简，再求代数式22a b ab b a a a ⎛⎫--÷- ⎪⎝⎭的值，其中3tan 301a =+，45b = ．17．已知关于x 的方程0)21(4)12(2=-++-k x k x ．⑴ 求证:无论k 取何值,这个方程总有实数根;⑵ 若等腰三角形ABC 的一边长a =4,另两边的长b 、c 恰好是这个方程的两个根,求三角形ABC 的周长．18．某校九年级三班为开展―迎2008年北京奥运会‖的主题班会活动，派了小林和小明两位同学去学校附近的超市购买钢笔作为奖品．已知该超市的锦江牌钢笔每支8元，红梅牌钢每支4．8元，他们要购买这两种笔共40支．（1）如果他们两人一共带了240元，全部用于购买奖品，那么能买这两种笔各多少支？（2）小林和小明根据主题班会活动的设奖情况，决定所购买的锦江牌钢笔的数量要少于红梅牌钢笔的数量的12，但又不少于红梅牌钢笔的数量的14．如果他们买了锦江牌钢笔x支，买这两种笔共花了y元．①请写出y（元）关于x（支）的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；②请帮他们计算一下，这两种笔各购买多少支时，所花的钱最少，此时花了多少元？19．在芦淞服装批发市场，某种品牌的时装当季节将来临时，价格呈上升趋势，设这种时装开始时定价为20元/件（第1周价格），并且每周价格上涨，如图示，从第6周开始到第11周保持30元/件的价格平稳销售；从第12周开始，当季节即将过去时，每周下跌，直到第16周周末，该服装不再销售．⑴求销售价格y（元/件）与周次x之间的函数关系式；⑵若这种时装每件进价Z（元/件）与周次x次之间的关系为Z＝()128125.02+--x（1≤x ≤16），且x为整数，试问该服装第几周出售时，每件销售利润最大？最大利润为多少？20．设抛物线22y ax bx =+-与x 轴交于两个不同的点A(-1,0)、B(m,0)，与y 轴交于点C ．且∠ACB=90°．(1)求m 的值和抛物线的解析式；(2)已知点D(1，n )在抛物线上，过点A 的直线1y x =+交抛物线于另一点E ．若点P 在x 轴上，以点P 、B 、D 为顶点的三角形与△AEB 相似，求点P 的坐标． (3)在(2)的条件下，求△BDP 的外接圆半径．30°第3题图 第16题H GFE C B A a decb A BC株洲市二中2012年高中新生自主招生测试数学试卷本卷共18题，时量90分钟，满分100分一、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分，每小题有且只有一个正确答案） 1． 已知2222()8 ()12 a b a b a b +=-=+，，则的值为（ ）A ．10B ．8C ．20D ．42．不相等的有理数a,b,c 在数轴上的对应点分别是A 、B 、C ，如果||||||a b b c a c -+-=-，那么（ ）点BA 、在A 、C 点的右边B 、在A 、C 点的右边 C 、在A 、C 点之间D 、上述三种均可能 3．将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm 的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（ ） A.3cm B. 6cm C.cm D. cm4、如图，△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截成三等分，则图中四边形EFGH 的面积为（ ） A ．24cm B ．2C ．2D ．25、已知函数2y ax bx c =++的最小值是 -3，那么关于x 的方程220ax bx c +++=的根的情况是 （ ）A ．无实数根B ．有两个相等实数根C ．有两个不等的实数根D ．不能确定6、已知函数()()()()22113513x x y x x ⎧--⎪=⎨--⎪⎩≤＞，则使y =k 成立的x 值恰好有三个，则k 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37、如图，直线AB 与半径为2的⊙O 相切于点C ，D 是⊙O 上一点，且∠EDC ＝30°，弦EF ∥AB ，则EF 的长度为（ ）A ．4 B．．．8、如图 ，a ，b ，c ，d ，e 分别代表1，2，3，4，5中的一个数。