精选题库广东省广州市天河区九年级上学期数学期末试卷
2023届广东省广州市天河区数学九年级第一学期期末质量检测试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图是二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象，对于下列说法：其中正确的有（ ）①ac ＞0，②2a +b ＞0，③4ac ＜b 2，④a +b +c ＜0，⑤当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个2．下列说法正确的是（ ）A ．“任意画一个三角形，其内角和为360︒”是随机事件B ．某种彩票的中奖率是1100，说明每买100张彩票，一定有1张中奖 C ．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件D ．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数一定是50次3．下列各坐标表示的点在反比例函数4y x =图象上的是（ ） A ．()1,4- B ．()1,4 C ．()1,4- D ．()2,2-4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cos A 3AC 3BC 等于（ ） A 3 B ．1C ．2D ．35．在△ABC 中，若cosA=22，tanB=3，则这个三角形一定是（ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 6．方程x 2+x-12=0的两个根为（ ）A ．x 1=-2，x 2=6B ．x 1=-6，x 2=2C ．x 1=-3，x 2=4D ．x 1=-4，x 2=37．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知正比例函数11y k x =的图象与反比例函数22k y x =的图象交于(4,2)A --，(4,2)B 两点，当12y y >时，自变量x 的取值范围是( )A ．4x >B ．40x -<<C ．4x <-或04x <<D ．40x -<<或4x >8．如图，⊙O 的半径为2，△ABC 为⊙O 内接等边三角形，O 为圆心，OD ⊥AB ，垂足为D ．OE ⊥AC ，垂足为E ，连接DE ，则DE 的长为（ ）A ．1B 2C 3D ．29．用配方法解方程x 2-4x+3＝0时，原方程应变形为（ ）A ．(x+1)2＝1B ．(x-1)2＝1C ．(x+2)2＝1D ．(x-2)2＝110．下列事件是随机事件的是（ ）A ．打开电视，正在播放新闻B ．氢气在氧气中燃烧生成水C ．离离原上草，一岁一枯荣D ．钝角三角形的内角和大于180° 二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，在反比例函数6(0)y x x=-<的图象上任取一点P ，过P 点分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，那么四边形PMON 的面积为_____．12．在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为23，则黄球的个数为______． 13．抛物线23y x =向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线是______．14．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，45A ∠=︒，4AC =，则AB 的长是__________．15．一个不透明的口袋中装有3个红球和9个黄球，这些球除了颜色外，无其他差别，从中随机摸出一个球，恰好是红球的概率为__________.16．一只不透明的袋子中装有红球和白球共30个，这些球除了颜色外都相同，校课外学习小组做摸球试验，将球搅匀后任意摸出一个球，记下颜色后放回、搅匀，通过多次重复试验，算得摸到红球的频率是20%，则袋中有__________．17．把2288y x x =-+-配方成2()y a x h k =-+的形式为y =__________． 18．如图，AB 是圆O 的弦，AB ＝202，点C 是圆O 上的一个动点，且∠ACB ＝45°，若点M 、N 分别是AB 、BC 的中点，则MN 的最大值是_____．三、解答题(共66分)19．（10分）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，点D ，E 分别在AB ，AC 上，设CD ，BE 相交于点O ，如果∠A 是锐角，∠DCB ＝∠EBC ＝12∠A ．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．20．（6分）如图，已知AB 是O 的直径，点C 在O 上，过点C 的直线与AB 的延长线交于点P ，,2AC PC COB PCB =∠=∠．()1求证:PC 是的切线； ()2求证:12BC AB =； ()3点M 是弧AB 的中点，CM 交AB 于点N ，若8AB =，求MN MC ⋅的值．21．（6分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线21y ax bx =++交y 轴于点A ，交x 轴正半轴于点()4,0B ，与过A 点的直线相交于另一点53,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，过点D 作DC x ⊥轴，垂足为C .（1）求抛物线的解析式.（2）点P 是x 轴正半轴上的一个动点，过点P 作PN x ⊥轴，交直线AD 于点M ，交抛物线于点N .①若点P 在线段OC 上（不与点O ，C 重合），连接CM ，求PCM ∆面积的最大值.②设OP 的长为t ，是否存在t ，使以点M ，C ，D ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由.22．（8分）如图所示的是夹文件用的铁(塑料)夹子在常态下的侧面示意图．AC ，BC 表示铁夹的两个面，O 点是轴，OD ⊥AC 于点D ，且AD ＝15mm ，DC ＝24mm ，OD ＝10mm ．已知文件夹是轴对称图形，试利用图②，求图①中A ，B 两点间的距离．23．（8分）解一元二次方程：x 2+4x ﹣5＝1．24．（8分）如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，42BC =，45BAC ∠=，75ABC ∠=，求AB 的长．25．（10分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 为BC 的中点，经过AD 两点的圆分别与AB ，AC 交于点E 、F ，连接DE ，DF ．（1）求证：DE ＝DF ；（2）求证：以线段BE +CF ，BD ，DC 为边围成的三角形与△ABC 相似，26．（10分）如图，反比例函数y 1＝k x与一次函数y 2＝ax +b 的图象交于点A （﹣2，5）和点B （n ，l ）． （1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）请结合图象直接写出当y 1≥y 2时自变量x 的取值范围；（3）点P 是y 轴上的一个动点，若S △APB ＝8，求点P 的坐标．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、C【分析】根据二次函数的图象与性质，结合图象分别得出a ，c ，以及b 2﹣4ac 的符号进而求出答案．【详解】①由图象可知：a ＞0，c ＜0，∴ac ＜0，故①错误； ②由于对称轴可知：﹣2b a＜1， ∴2a +b ＞0，故②正确；③由于抛物线与x 轴有两个交点，∴△＝b 2﹣4ac ＞0，故③正确；④由图象可知：x ＝1时，y ＝a +b +c ＜0，故④正确；⑤由图象可得，当x ＞﹣2b a 时，y 随着x 的增大而增大，故⑤错误； 故正确的有3个．故选：C ．【点睛】此题考查二次函数的一般式y ＝ax 2+bx +c 的性质，熟记各字母对函数图象的决定意义是解题的关键.2、C【分析】根据必然事件,随机事件,可能事件的概念解题即可.【详解】解：A. “任意画一个三角形，其内角和为360 ”是不可能事件,错误,B. 某种彩票的中奖率是1100，说明每买100张彩票，一定有1张中奖,可能事件不等于必然事件, 错误, C. “篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件,正确,D. 投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数可能是50次,错误,故选C.【点睛】本题考查了必然事件,随机事件,可能事件的概念,属于简单题,熟悉概念是解题关键.3、B【解析】根据反比例函数的性质，分别代入A 、B 、C 、D 点，横坐标与纵坐标的积为4即可.【详解】A 、（-1）×4= -4，故错误.B 、1×4= 4，故正确.C 、1×-4= -4，故错误.D 、2×（-2）= -4，故错误.故选B.【点睛】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征.4、B【分析】根据余弦函数的定义、勾股定理，即可直接求解．【详解】解：∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝，AC∴AC cosA AB ===， 2AB ∴=，∴BC 故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形，解题的基础是掌握余弦函数的定义和勾股定理．5、A【解析】试题解析：∵cos A =2，tan B ∴∠A =45°，∠B =60°． ∴∠C =180°-45°-60°=75°． ∴△ABC 为锐角三角形．故选A ．6、D【解析】试题分析：将x 2+x ﹣12分解因式成（x+4）（x ﹣1），解x+4=0或x ﹣1=0即可得出结论．x 2+x ﹣12=（x+4）（x ﹣1）=0， 则x+4=0，或x ﹣1=0， 解得：x 1=﹣4，x 2=1．考点：解一元二次方程-因式分解法7、D【解析】显然当y 1＞y 2时，正比例函数的图象在反比例函数图象的上方，结合图形可直接得出结论．【详解】∵正比例函数y 1=k 1x 的图象与反比例函数22k y x =的图象交于A （-1，-2），B （1，2）点， ∴当y 1＞y 2时，自变量x 的取值范围是-1＜x ＜0或x ＞1．故选：D ．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，数形结合的思想是解题的关键．8、C【分析】过O 作OH BC ⊥于H ，得到12BH BC =，连接OB ，由ABC ∆为O 内接等边三角形，得到30OBC ∠=︒，求得223BC BH ==，根据垂径定理和三角形的中位线定理即可得到结论．【详解】解：过O 作OH BC ⊥于H ，12BH BC ∴=， 连接OB ，ABC ∆为O 内接等边三角形，30OBC ∴∠=︒，2OB =，332BH OB ∴==， 223BC BH ∴==，OD AB ⊥，OE AC ⊥，AD BD ∴=，AE CE =，132DE BC ∴==， 故选：C ．【点睛】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了三角形中位线定理． 9、D【分析】根据配方时需在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方解答即可．【详解】移项，得 x 2-4x=-3，配方，得 x 2-2x+4=-3+4，即（x-2）2=1 ，故选：D.【点睛】本题考查了一元二次方程的解法—配方法，熟练掌握配方时需在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方是解题的关键.10、A【分析】根据随机事件的意义，事件发生的可能性大小判断即可．【详解】解：A 、打开电视，正在播放新闻，是随机事件；B 、氢气在氧气中燃烧生成水，是必然事件；C 、离离原上草，一岁一枯荣，是必然事件；D 、钝角三角形的内角和大于180°，是不可能事件；故选：A ．【点睛】本题考查可随机事件的意义，正确理解随机事件的意义是解决本题的关键.二、填空题(每小题3分,共24分)11、1【分析】设出点P 的坐标，四边形PMON 的面积等于点P 的横纵坐标的积的绝对值，把相关数值代入即可．【详解】设点P 的坐标为（x ，y ），∵点P 的反比例函数的图象上，∴xy ＝﹣1，作PM x ⊥轴于M ，作PN y ⊥轴于N ，∴四边形PMON 为矩形，∴四边形PMON 的面积为|xy |＝1，故答案为1．【点睛】考查反比例函数的比例系数的意义；用到的知识点为：在反比例函数图象上的点的横纵坐标的积等于反比例函数的比例系数．注意面积应为正值．12、1【解析】首先设黄球的个数为x 个，然后根据概率公式列方程即可求得答案．解：设黄球的个数为x 个， 根据题意得：88x+=2/3解得：x=1． ∴黄球的个数为1．13、23(2)1y x =++【分析】先得到抛物线23y x =的顶点坐标为（0，0），根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，则利用顶点式可得到平移后的抛物线的解析式为23(2)1y x =++．【详解】抛物线23y x =的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到的点的坐标为（2-，1），所以平移后的抛物线的解析式为23(2)1y x =++．故答案为：23(2)1y x =++．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，再考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．14、【分析】根据cosA=AC AB可求得AB 的长．【详解】解：由题意得，cosA=AC AB ，∴cos45°=4AB =AB =故答案为：【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．15、14【分析】直接利用概率公式求解即可求得答案．【详解】∵一个不透明的口袋中装有3个红球和9个黄球，这些球除了颜色外无其他差别， ∴从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率为：31394=+．故答案为：14． 【点睛】 本题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．16、1【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．【详解】设袋中有x 个红球． 由题意可得：100%20%30x ⨯=， 解得：6x =，故答案为：1．【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．17、22(2)x --【分析】对二次函数进行配方，即可得到答案．【详解】2288y x x =-+-=22(4)8x x ---=22(444)8x x --+--=22(2)x --．故答案是：22(2)x --．【点睛】本题主要考查二次函数的顶点式，掌握二次函数的配方，是解题的关键．18、1【解析】连接OA 、OB ，如图，根据圆周角定理得到∠AOB ＝2∠ACB ＝90°，则OA ＝2AB ＝1，再根据三角形中位线性质得到MN ＝12AC ，然后利用AC 为直径时，AC 的值最大可确定MN 的最大值． 【详解】解：连接OA 、OB ，如图，∴∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°，∴△OAB为等腰直角三角形，∴OA＝22AB＝22×12＝1，∵点M、N分别是AB、BC的中点，∴MN＝12 AC，当AC为直径时，AC的值最大，∴MN的最大值为1，故答案为1．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了三角形中位线性质．三、解答题(共66分)19、存在等对边四边形，是四边形DBCE，见解析【分析】作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD延长线于F点，证明△BCF≌△CBG，得到BF＝CG，再证∠BDF ＝∠BEC，得到△BDF≌△CEG，故而BD＝CE，即四边形DBCE是等对边四边形．【详解】解：此时存在等对边四边形，是四边形DBCE．如图，作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD延长线于F点．∵∠DCB＝∠EBC＝12∠A，BC为公共边，∴△BCF≌△CBG，∴BF＝CG，∵∠BDF ＝∠ABE+∠EBC+∠DCB ，∠BEC ＝∠ABE+∠A ，∴∠BDF ＝∠BEC ，∴△BDF ≌△CEG ，∴BD ＝CE∴四边形DBCE 是等对边四边形．【点睛】此题考查新定义形式下三角形全等的判定，由题意及图形分析得到等对边四边形是四边形DBCE ，应证明线段BD ＝CE ，只能作辅助线通过证明三角形全等得到结论，继而得解此题.20、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）1．【分析】（1）根据圆周角定理，易得∠PCB+∠OCB=90︒，即OC ⊥CP ，故PC 是⊙O 的切线；（2）连接MA ，MB ，由圆周角定理可得∠ACM=∠BCM ，进而可得△MBN ∽△MCB ，故2BM MN MC =⋅；代入数据即可求得答案．【详解】()1OA OC =，CAO ACO ∴∠=∠，又22COB CAO ACO ACO COB PCB ∠=∠+∠=∠∠=∠，，ACO PCB ∴∠=∠，又AB 是O 的直径，90ACO OCB ∴∠+∠=︒，90PCB OCB ∴∠+∠=︒，即OC CP ⊥， OC 是O 的半径，PC ∴是O 的切线；()2AC PC =，CAP P ∴∠=∠，CAP ACO PCB P ∴∠=∠=∠=∠，又,COB A ACO CBO P PCB ∠=∠+∠∠=∠+∠，COB CBO ∴∠=∠，BC OC ∴=，12BC AB =∴；()3连接MA MB ，，点M 是AB 的中点，∴AM BM =，ACM BCM ∴∠=∠，ACM ABM ∠=∠，BCM ABM ∠=∠∴，BMN BMC ∠=∠，MBNMCB ∴， BM MN MC BM∴= 2BM MN MC ∴=⋅，又AB 是O 的直径，AM BM =，90,AMB AM BM ∴∠=︒=，8AB =，42BM ∴=232MN MC BM ∴⋅==．【点睛】此题主要考查圆的切线的判定及圆周角定理的运用和相似三角形的判定和性质的应用，证得2BM MN MC =⋅是解题的关键．21、（1）2311144y x x =-++；（2）①2516；②存在，当9201t +=时，以点M ，C ，D ，N 为顶点的四边形是平行四边形.【分析】（1）把()4,0B ，53,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭带入21y ax bx =++即可求得解析式； （2）先用含m 的代数式表示点P 、M 的坐标，再根据三角形的面积公式求出∆PCM 的面积和m 的函数关系式，然后求出∆PCM 的最大值；（3）由平行四边形的性质列出关于t 的一元二次方程，解方程即可得到结论【详解】解：（1）∵抛物线21y ax bx =++过点()4,0B 、点53,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴16410,5931.2a b a b ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩解得3,411.4a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴抛物线的解析式为2311144y x x =-++.（2）∵抛物线2311144y x x =-++与y 轴交于点A ，∴可知A 点坐标为()0,1.∴可设直线AD 的解析式为1y mx =+. 把点53,2D ⎛⎫⎪⎝⎭代人1y mx =+中，得5312m =+， ∴12m =.∴直线AD 的解析式为112y x =+.①∵DC x ⊥轴，∴3OC =.设OP k =，则3PC k =-，且03k <<. ∴1,12M k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ∴112MP k =+. ∴()21111125312224216PCM S PC MP k k k ∆⎛⎫⎛⎫=⋅=-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∴当12k =时，PCM ∆的面积最大，最大值为2516.②存在.由题可知52DC =，MN DC ∥. ∴当MN DC =时，以点M ，C ，D ，N 为顶点的四边形是平行四边形.已知OP 的长为t ，所以1,12M t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，2311,144N t t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭. ∴221311*********MN t t t t t ⎛⎫⎛⎫=+--++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∴当2395442t t -=时，解得10t =<（不符合题意，舍去），2t =； 当2395442t t -=-时，2935394044216⎛⎫∆=--⨯⨯=-< ⎪⎝⎭， ∴此方程无实数根.综上，当96t +=时，以点M ，C ，D ，N 为顶点的四边形是平行四边形. 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定，正确求出二次函数解析式，利用配方法把一般式化成顶点式，求出函数的最值是解题的关键22、AB ＝30(mm)【解析】解：如图所示，连接AB ，与CO 的延长线交于点E ．∵夹子是轴对称图形，对称轴是CE ，且A ，B 为一组对称点，∴CE ⊥AB ，AE ＝EB ．在Rt △AEC 和Rt △ODC 中，∵∠ACE ＝∠OCD ，∴Rt △AEC ∽Rt △ODC ，∴AE OD AC OC=．∵26OC ===(mm)， ∴·39101526AC OD AE OC ⨯===(mm)． ∴AB ＝2AE ＝15×2＝30(mm)．23、x 2＝﹣5，x 2＝2．【分析】利用因式分解法解方程．【详解】(x+5)(x ﹣2)＝2，x+5＝2或x ﹣2＝2，所以x 2＝﹣5，x 2＝2．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．24、3【分析】如图，连接OC OB OA 、、，过点O 作OE AB ⊥于点E ，通过勾股定理确定OB 、OC 的长，利用AB 与BE 的关系确定最终答案.【详解】如解图所示，连接OC OB OA 、、，过点O 作OE AB ⊥于点E ，45BAC ∠=，且2BOC BAC ∠=∠， 90BOC ∴∠=，在BOC 中，90BOC ∠=，OB OC =，42BC =22232OB OC BC ∴+==，4OB OC ∴==，90BOC ∠=，OB OC =，45OBC ∴∠=，75ABC ∠=，754530ABO ABC OBC ∴∠=∠-∠=-=， AB 是O 的弦，OE 过O 的圆心O ，且OE AB ⊥于点E ，1BE AB 2∴=，且90BEO ∠=， 30EBO ABO ∠=∠=，114222EO OB ∴==⨯=， 22224223BE OB EO ∴=-=-=，222343AB BE ∴==⨯=．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、勾股定理，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．25、（1）详见解析；（2）详见解析【分析】（1）连接AD ，证明∠BAD ＝∠CAD 即可得出DE DF =，则结论得出；（2）在AE 上截取EG ＝CF ，连接DG ，证明△GED ≌△CFD ，得出DG ＝CD ，∠EGD ＝∠C ，则可得出结论△DBG ∽△ABC ．【详解】（1）证明：连接AD ，∵AB ＝AC ，BD ＝DC ，∴∠BAD ＝∠CAD ，∴DE DF =，∴DE ＝DF ．（2）证明：在AE 上截取EG ＝CF ，连接DG ，∵四边形AEDF内接于圆，∴∠DFC＝∠DEG，∵DE＝DF，∴△GED≌△CFD（SAS），∴DG＝CD，∠EGD＝∠C，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△DBG∽△ABC，即以线段BE+CF，BD，DC为边围成的三角形与△ABC相似．【点睛】本题考查了圆的综合问题，熟练掌握圆的内接四边形性质与相似三角形的判定是解题的关键．26、（1）y1＝﹣10x，y2＝12x+6；（2）x≤﹣10或﹣2≤x＜0；（3）点P的坐标为（0，4）或（0，1）．【分析】（1）先把A点坐标代入y＝kx中求出k得到反比例函数解析式为y＝﹣10x，再利用反比例函数解析式确定B（﹣10，1），然后利用待定系数法求一次解析式；（2）根据图象即可求得；（3）设一次函数图象与y轴的交点为Q，易得Q（0，6），设P（0，m），利用三角形面积公式，利用S△APB＝S△BPQ﹣S△APQ得到12|m﹣6|×（10﹣2）＝1，然后解方程求出m即可得到点P的坐标．【详解】解：（1）把A（﹣2，5）代入反比例函数y1＝kx得k＝﹣2×5＝﹣10，∴反比例函数解析式为y1＝﹣10x，把B（n，1）代入y1＝﹣10x得n＝﹣10，则B（﹣10，1），把A（﹣2，5）、B（﹣10，1）代入y2＝ax+b得25101a ba b-+=⎧⎨-+=⎩，解得126ab⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴一次函数解析式为y2＝12x+6；（2）由图象可知，y1≥y2时自变量x的取值范围是x≤﹣10或﹣2≤x＜0；（3）设y＝12x+6与y轴的交点为Q，易得Q（0，6），设P（0，m），∴S△APB＝S△BPQ﹣S△APQ＝1，12|m﹣6|×（10﹣2）＝1，解得m1＝4，m2＝1．∴点P的坐标为（0，4）或（0，1）．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．。
广东省广州市天河区2022-2023学年九年级上学期数学期末试题(含解析)
广东省广州市天河区2022-2023学年九年级上学期数学期末试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________．．．．A．B．33试卷第2页，共4页(1)用尺规作，使它与(2)若，求的取值范围．19．已知抛物线EAD V m AB BC =+m 2y ax bx =+试卷第4页，共4页参考答案：1．C【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐项判断即可．【详解】A ．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C ．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；D ．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意，故选：C ．【点睛】本题考查轴对称图形、中心对称图形，理解轴对称图形和中心对称图形是解答的关键．2．D【分析】一定不能发生的事件是不可能事件，据此判定即可．【详解】A 、经过红绿灯路口，遇到绿灯是随机事件，不符合题意；B 、射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，不符合题意；C 、班里的两名同学的生日是同一天是随机事件，不符合题意；D 、从一个只装有白球的袋中摸球，摸出黄球是不可能事件，符合题意；故选D ．【点睛】本题考查了不可能事件即一定不能发生的事件，熟练掌握定义是解题的关键．3．A【分析】根据关于原点对称的点横坐标和纵坐标都互为相反数，即可进行解答．【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是，故选：A ．【点睛】本题主要考查了关于原点对称点的坐标特征，解题的关键是掌握关于原点对称的点横坐标和纵坐标都互为相反数．4．A【分析】方程两边同时加上1，再写为完全平方式即可．【详解】解：两边同时加1，得：，配方，得：，故选：A ．【点睛】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方的方法和步骤．5．D【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可求解．()5,1-()5,1-2213x x ++=()213x +=答案第2页，共15页【详解】解：∵关于的一元二次方程没有实数根，∴，解得：．故选：D【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键．6．C【分析】首先连接CD ，由AD 是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得，又由圆周角定理，可得，再用三角形内角和定理求得答案．【详解】解：连接CD ，∵AD 是的直径，∴．∵，∴．故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理、三角形的内角和定理．熟练掌握圆周角定理是解此题的关键．7．B【分析】连接，则，再根据即可求解．【详解】解：连接，∵与相切于点，x 240x x k --=()()2440k ∆=--⨯-<4k <-()200ax bx c a ++=≠240b ac ∆=->240b ac ∆=-=24<0b ac ∆=-O e =90ACD ∠︒20D B ∠=∠=︒O e =90ACD ∠︒20D B ∠=∠=︒18090180902070CAD D ∠=︒-︒-∠=︒-︒-︒=︒OT OT PT ⊥cos PT OP OPT =⋅∠OT PT O e T答案第4页，共15页：设等腰三角形底边长为d ，高为h ，为等腰三角形，，，，即，整理得：，，，，则，时，有最大值，最大值为324，时，S 有最大值，最大值为18，方案3：设半圆半径为r ，∵半圆的弧长为12米，122d AB =11262AC BC ==⨯=22CD AC =22362d h ⎛⎫+= ⎪⎝⎭22364d h =-dh 222213644d d h d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭T ()2221136972324441616T T S T T T ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭722S 62答案第6页，共15页，由此发现，随着投篮次数的增多，投中的频率在附近摆动．根据频率的稳定性，估计这名球员一次投中的概率为．故答案为：．【点睛】本题考查了用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定的数据附近左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的数据的近似值就是这个事件的概率．【分析】连接，根据垂径定理和勾股定理即可求解．【详解】解：连接，∵为的中点，∴，∵的直径为10，∴，10000.801=0.80.80.8,AO OP ,AO OP P AB OP AB ⊥142AP AB ==O e 5AO =由题意得，根据是边的中点，可得：∵绕点O 顺时针旋转∴EDF ∠=∠O ()BC DF ABC V 60BOD NOF ∠=∠=答案第8页，共15页1=-1，x 2=8．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．见解析【分析】(1)延长到点E ，使得，连接即可．，得到，结合三角形三边关系定理计算即可．【详解】（1）如图，延长到点E ，使得，连接，即为所求．（2）∵，∴，∴．8BD BD DE =AE EAD BCD V ≌△AE BC =BD BD DE =AE EAD EAD BCD V ≌△4BD =AE BC =2248m AB BC AB AE BE BD =+=+==⨯=＞答案第10页，共15页）设边的中点为点E ，的半径为r ，可得，在中，根据勾股定理求出即可求解．【详解】（1）解：如图，点D 和即为所求；∵，为的中点，，的半径，与边相切；）解：设边的中点为点E ，的半径为r ，，，，中，，AB A e AD AE BE r ===Rt △ABD A e AB AC =D BC BC A e BC AB A e AE BE r ==6cm 3cm ABD 222AB BD AD =+如图，3,AB AC BC ===答案第12页，共15页，，，，，，这个三角形的外接圆面积为；当第三边长是5时，三角形三边长为3，4，5，如图，，点O 为的外接圆，连接，∵，∴，∴，∵点O 为的外接圆，122BC =225AB BD -=OB r =22BD OD +)2252-+9510r =295811020ππ⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭3,4,5AB AC BC ===ABC V OA 3,4,5AB AC BC ===222AB AC BC +=90BAC ∠=︒ABC V即，，面积的最小值为1．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，求方程的解，一次函数的解析式，完全平方式的性质，熟练掌握根的判别式，解析式的确定，完全平方式的非负性是解题的关键．(1)10【分析】(1)连接，根据正方形的性质，切线的性质，证明即可．与半圆于点M ，当点E 与点M 重合时，最短，运用勾股定理计算即可．根据为直径，则，得到是定值，故t 的最小值，有最小值确定，且当E 位于正方形对角线交点处时，取得最小值．【详解】（1）连接，210b ⎫≥⎪⎭12b b +≥1111222x CD B b b æöç÷=´=+ç÷ç÷è³ø´2=15-,OE OD OED OAD V ≌OD DE AB 10,90AB AEB =∠=︒22100EA EB +=2EC ,OE OD。
2020-2021学年广东省广州市天河区九年级(上)期末数学试卷及参考答案
2020-2021学年广东省广州市天河区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分．每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．）1．（3分）下列选项的汽车标志图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）“购买1张彩票，中奖”这个事件是（）A．确定事件B．不可能事件C．必然事件D．随机事件3．（3分）二次函数y＝（x﹣4）2+5的图象的顶点坐标是（）A．（4，5）B．（﹣4，5）C．（4，﹣5）D．（﹣4，﹣5）．4．（3分）点（1，﹣1）关于原点对称的点的坐标为（）A．（1，1）B．（1，﹣1）C．（﹣1，﹣1）D．（﹣1，1）5．（3分）方程x2﹣4x+4＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．有一个实数根D．没有实数根6．（3分）四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠ABC＝60°，则∠ADC的度数为（）A．60°B．120°C．150°D．30°7．（3分）在英语单词rotation（旋转）中任意选择一个字母，字母为“t”的概率与字母为“o”的概率之和为（）A．B．C．D．8．（3分）一个圆的半径为4，则该圆的内接正方形的边长为（）A．2B．3C．4D．59．（3分）2017﹣2018赛季中国男子篮球职业联赛，采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（）A．x（x﹣1）＝380B．x（x﹣1）＝380C．x（x+1）＝380D．x（x+1）＝38010．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，下列结论：①ac＜0；②当x≥1时，y随x的增大而减小；③2a+b＝0；④b2﹣4ac＜0；⑤4a﹣2b+c＞0，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分．）11．（3分）方程x2﹣2x﹣3＝0的解是．12．（3分）如图，E是正方形ABCD中CD边上的中点，AB＝4，把△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，若连接EF，则EF＝．13．（3分）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数可能是个．14．（3分）若x＝1是关于x的一元二次方程x2+3mx+n＝0的解，则6m+2n＝．15．（3分）Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC沿AC所在直线旋转一周，所得几何体的全面积是（结果保留π）．16．（3分）已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16cm，CD ＝12cm，则弦AB和CD之间的距离是cm．三、解答题（本大题有9小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．）17．（4分）解方程：6x2﹣2x﹣1＝2x2﹣2x．18．（4分）如图，D是△ABC的边BC延长线上一点，连接AD，把△ACD绕点A顺时针旋转60°恰好得到△ABE，其中D，E是对应点，若∠CAD＝18°，求∠EAC的度数．19．（6分）某商场某型号的计算机2018年销售量为2880台，2020年受疫情影响，年销售量下降为2000台，求销售量的年平均下降率．（结果保留整数）20．（6分）经过某路口的汽车只能向左转或者向右转，如果两种可能性相同，现有两辆汽车经过这个路口，请用列举法求事件“一辆汽车向左转，一辆汽车向右转”的概率．21．（8分）如图，已知△ABC，∠B＝40°，AB＝AC．（1）尺规作图：作⊙O，使它经过A，B，C三点；（2）在（1）中所作的⊙O中，∠ACB的平分线CD交⊙O于点D，连接OD，OC，求∠DOC的度数．22．（10分）如图，在正方形ABCD中，分别以B，D为圆心，以正方形的边长2为半径画弧，形成阴影部分的树叶图案．（计算时π取3）（1）求的长和阴影部分的面积；（2）若在正方形ABCD中随机撒一粒豆子，求豆子落在阴影区域内的概率．（豆子落在弧上不计）23．（10分）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（0，1），点M是x轴上的一个动点．连接AM，过点M作y轴的平行线交线段AM的垂直平分线于点P（x，y）．（1）求y关于x的函数关系式；（2）在（1）中，若求得的函数图象是直线，请求出它与直线y＝x+1、坐标轴围成的图形面积；若是抛物线，设它与直线y＝x+1交于点B，C，顶点为Q，求△QBC的面积．24．（12分）如图，AD，BC，CD分别与⊙O相切于A，B，E三点，AB是⊙O的直径．（1）连接OC，OD，若OC＝4，OD＝3，求CD的长；（2）若AD＝x，BC＝y，AB＝4，请画出y关于x的函数图象．25．（12分）对于实数a和b，定义新运算“⊗”：a⊗b＝．（1）若（2x﹣1）⊗（3﹣2x）＝x2，求实数x的值；（2）设函数y1＝（2﹣x2）⊗（4x﹣x2），若函数y2＝y1﹣m的图象与坐标轴恰有两个交点，求实数m的取值范围．2020-2021学年广东省广州市天河区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分．每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．）1．【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、是中心对称图形，故此选项符合题意；C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：B．【点评】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的概念．2．【分析】根据事件发生可能性的大小进行判断即可．【解答】解：购买1张彩票，可能中奖，也可能不中奖，因此“购买1张彩票，中奖”这个事件是随机事件，故选：D．【点评】本题考查事件发生的可能性，理解随机事件、必然事件、不可能事件，确定事件的意义是正确判断的前提．3．【分析】根据二次函数的顶点式可直接得出图象的顶点坐标，可得到答案．【解答】解：∵y＝（x﹣4）2+5，∴其图象的顶点坐标为（4，5），故选：A．【点评】本题主要考查二次函数的顶点坐标，掌握二次函数顶点式y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k）是解题的关键．4．【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．【解答】解：（1，﹣1）关于原点对称的点的坐标是（﹣1，1），故选：D．【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．5．【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式Δ＝b2﹣4ac的值的符号就可以了．【解答】解：∵a＝1，b＝﹣4，c＝4，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×4＝0，∴方程有两个相等的实数根．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac 有如下关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．6．【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算，得到答案．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝60°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣60°＝120°，故选：B．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．7．【分析】根据概率的对应得出字母为“t”的概率、字母为“o”的概率，再求和即可．【解答】解：单词rotation中共8个字母，其中字母“t”有2个，字母“o”有2个，所以任意选择一个字母，是“t”的概率与“o”的概率相等，都是＝，所以+＝，故选：D．【点评】本题考查概率的计算方法，理解概率的意义是解决问题的关键．8．【分析】根据正方形与圆的性质得出AB＝BC，以及AB2+BC2＝AC2，进而得出正方形的边长即可．【解答】解：如图所示：⊙O的半径为4，∵四边形ABCD是正方形，∠B＝90°，∴AC是⊙O的直径，∴AC＝2×4＝8，∵AB2+BC2＝AC2，AB＝BC，∴AB2+BC2＝64，解得：AB＝4，即⊙O的内接正方形的边长等于4．故选：C．【点评】本题主要考查了正方形与它的外接圆的性质，根据已知得出AB2+BC2＝AC2是解题关键．9．【分析】设参赛队伍有x支，根据参加篮球职业联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛380场，可列出方程．【解答】解：设参赛队伍有x支，则x（x﹣1）＝380．故选：B．【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数作为等量关系列方程求解．10．【分析】由抛物线的开口方向及与y轴交点的位置，即可判断①；由二次函数的性质即可判断②；由抛物线对称轴为直线x＝1，即可得出b＝﹣2a，进而可得出2a+b＝0，即可判断③；④由抛物线与x轴的交点情况即可判断④；⑤由当x＝﹣2时，y＞0可得出4a﹣2b+c＞0，即可判断⑤．【解答】解：∵抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴，∴a＞0，c＜0，∴ac＜0，结论①正确；∵抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线x＝1，∴当x≥1时，y随x的增大而增大，结论②错误；∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴2a+b＝0，结论③正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，结论④错误；∵当x＝﹣2时，y＞0，∴4a﹣2b+c＞0，结论⑤正确．故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质，逐一分析五条结论的正误是解题的关键．二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分．）11．【分析】先方程左边因式分解，然后根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0．”进行求解．【解答】解：方程x2﹣2x﹣3＝0左边因式分解，得（x﹣3）（x+1）＝0解得x1＝3，x2＝﹣1．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．12．【分析】由旋转的性质得出AE＝AF，∠EAF＝90°，求出DE＝2，由勾股定理可得出答案．【解答】解：∵把△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，∴AE＝AF，∠EAF＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝AD＝4，∵E是CD的中点，∴DE＝CD＝2，∴AE＝＝＝2，∴EF＝＝＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．13．【分析】设袋子中红球有x个，根据摸出红球的频率稳定在0.25左右列出关于x的方程，求出x的值，从而得出答案．【解答】解：设袋子中红球有x个，根据题意，得：＝0.25，解得x＝5，即袋子中红球的个数可能是5个，故答案为：5．【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．14．【分析】先把x＝1代入x2+3mx+n＝0，得到3m+n＝﹣1，再把要求的式子进行整理，然后代入即可．【解答】解：把x＝1代入x2+3mx+n＝0得：1+3m+n＝0，3m+n＝﹣1，则6m+2n＝2（3m+n）＝2×（﹣1）＝﹣2；故答案为：﹣2．【点评】此题考查了一元二次方程的解，解题的关键是把x的值代入，得到一个关于m，n的方程，不要求m．n的值，要以整体的形式出现．15．【分析】过B点作BO⊥AC与O点，先利用勾股定理计算出AC＝5，再利用面积法计算出OB＝，由于△ABC沿AC所在直线旋转一周，所得几何体为共底面的两个圆锥，然后利用圆锥的侧面展开图为一扇形和扇形的面积公式可计算出所得几何体的全面积．【解答】解：如图，过B点作BO⊥AC与O点，∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝5，∵BO•AC＝AB•BC，∴OB＝＝，∴所得几何体的全面积＝×2π××4+×2π××3＝π．故答案为π．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了扇形的面积公式．16．【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可，小心别漏解．【解答】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图，∵AB＝16cm，CD＝12cm，∴AE＝8cm，CF＝6cm，∵OA＝OC＝10cm，∴EO＝6cm，OF＝8cm，∴EF＝OF﹣OE＝2cm；②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图，∵AB＝16cm，CD＝12cm，∴AF＝8cm，CE＝6cm，∵OA＝OC＝10cm，∴OF＝6cm，OE＝8cm，∴EF＝OF+OE＝14cm．∴AB与CD之间的距离为14cm或2cm．故答案为：2或14．【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用．此题难度适中，解题的关键是注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解．三、解答题（本大题有9小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．）17．【分析】方程整理后，利用公式法求出解即可．【解答】解：方程整理得：4x2﹣1＝0，这里a＝4，b＝0，c＝﹣1，∵b2﹣4ac＝16＞0，∴x＝＝，即x1＝，x2＝﹣．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．18．【分析】由旋转的性质可得∠DAE＝60°，即可求解．【解答】解：∵把△ACD绕点A顺时针旋转60°恰好得到△ABE，∴∠DAE＝60°，∴∠EAC＝∠EAD﹣∠CAD＝42°．【点评】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．19．【分析】设销售量的年平均下降率为x，根据2018年和2020年销售的台数，列出方程，求解即可．【解答】解：设销售量的年平均下降率为x，依题意可列：2880（1﹣x）2＝2000，解得：x1≈0.17＝17%．x2＝﹣（舍去）．答：销售量的年平均下降率为17%．【点评】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．20．【分析】画树状图，共有4个等可能的结果，其中“一辆汽车向左转，一辆汽车向右转”的结果有2个，再由概率公式求解即可．【解答】解：画树状图如图：共有4个等可能的结果，其中“一辆汽车向左转，一辆汽车向右转”的结果有2个，∴“一辆汽车向左转，一辆汽车向右转”的概率为＝．【点评】此题考查了列表法与树状图法求概率．解题的关键是根据题意画出树状图，再由概率＝所求情况数与总情况数之比求解．21．【分析】（1）利用尺规作AB和BC的垂直平分线即可作⊙O，使它经过A，B，C三点；（2）结合（1）根据等腰三角形的性质和的平分线可得∠ACB＝2∠ACD＝40°，再根据圆周角定理即可求∠DOC的度数．【解答】解：（1）如图，⊙O即为所求；（2）∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B＝40°，∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACB＝2∠ACD＝40°，∴∠AOD＝2∠ACD＝40°，∠AOC＝2∠B＝80°，∴∠DOC＝∠AOD+∠AOC＝120°．答：∠DOC的度数为120°．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，等腰三角形的性质，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，解决本题的关键是综合运用以上知识．22．【分析】（1）树叶形图案的面积是两个圆心角为90°，且半径为2的扇形的面积与正方形的面积的差，可据此求出树叶形图案的面积；（2）用阴影部分的面积除以正方形的面积即可求得概率．【解答】解：（1）＝＝3；S树叶形图案＝2S扇形﹣S正方形＝2×﹣22＝2；（2）豆子落在阴影区域内的概率＝＝．【点评】考查了几何概率及扇形的面积的知识，解题的关键是正确的求得阴影部分的面积．23．【分析】（1）根据题意得到x2+（y﹣1）2＝y2，变形即可求得y关于x的函数关系式；（2）求得B、C的坐标和二次函数的得到Q的坐标，然后利用三角形的面积求得即可．【解答】解：（1）如图，连接PA，∵过点M作y轴的平行线交线段AM的垂直平分线于点P（x，y）．∴PA＝PM，∵点A的坐标为（0，1），P（x，y）．∴x2+（y﹣1）2＝y2，∴y关于x的函数关系式为y＝x2+；（2）∵y＝x2+，∴Q（0，），解得或，∵直线y＝x+1与y轴的交点为（0，1），＝（1﹣）（2+﹣2+）＝．∴S△QBC【点评】本题考查了二次函数的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键．24．【分析】（1）根据切线的性质和切线长定理得到AB⊥AD，AB⊥BC，DO平分∠ADE，CO平分∠BCE，然后证明∠COD＝90°，从而利用勾股定理可计算出CD；（2）证明△AOD∽△BCO，利用相似比得到y＝（x＞0），然后利用描点法画函数图象．【解答】解：（1）∵AD，BC，CD分别与⊙O相切于A，B，E三点，∴AB⊥AD，AB⊥BC，DO平分∠ADE，CO平分∠BCE，∴AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD＝180°，∵∠ODE＝∠ADE，∠OCE＝∠BCE，∴∠ODE+∠OCE＝（∠ADE+∠BCE）＝90°，∴∠COD＝90°，∴CD＝＝＝5；（2）∵∠COD＝90°，∴∠AOD+∠BOC＝90°，∵∠AOD+∠ADO＝90°，∴∠ADO＝∠BOC，∴△AOD∽△BCO，∴＝，即＝，∴y＝（x＞0），如图，【点评】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时，利用相似比进行几何计算．也考查了切线的性质．25．【分析】（1）分2x﹣1≤3﹣2x，2x﹣1＞3﹣2x两种情况，分别求解即可；（2）分（2﹣x2）≤（4x﹣x2），（2﹣x2）＞（4x﹣x2）两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）①当2x﹣1≤3﹣2x，即x≤1时，（2x﹣1）@（3﹣2x）＝（2x﹣1）+（3﹣2x）＝x2，解得：x2＝2，x＝±，∵x≤1，∴x＝﹣；②当2x﹣1＞3﹣2x，即x＞1时，（2x﹣1）@（3﹣2x）＝（2x﹣1）﹣（3﹣2x）＝x2，解得：x1＝x2＝2，综上，x＝2或；（2）当（2﹣x2）≤（4x﹣x2），即x≥0.5时，y1＝（2﹣x2）+（4x﹣x2）＝﹣2x2+4x+2＝﹣2（x﹣1）2+4，当（2﹣x2）＞（4x﹣x2），即x＜0.5时，y1＝（2﹣x2）﹣（4x﹣x2）＝﹣4x+2，由y2＝y1﹣m的图象与坐标轴恰好有两个交点，可得，函数y1上下平移后一定距离后与坐标轴恰好有两个交点，如图（1），即为函数y1的图象，此时，图象与坐标轴只有两个交点，如果图象向上平移，图象与坐标轴始终只有两个交点，∴m≤0，如图（2），当直线经过原点的时候，y2的图象与坐标轴只有两个交点，∴﹣4×0+2﹣m＝0，解得：m＝2，如图（3），当抛物线顶点在x轴上时，y2的图象与坐标轴有三个交点，∴﹣2×（1﹣1）2+4﹣m＝0，解得：m＝4，图象继续向下平移，与坐标轴一直只有两个交点．综上，m＞4或m＝2或m≤0．【点评】本题考查的是抛物线和x轴交点，涉及到根的判别式、一元二次方程等，这类新定义题，通常按照题设的顺序逐次求解．y2与坐标轴有两个交点可以理解成y1经过平移后与坐标轴有两个交点，然后求出m的值或者范围．。
2023年广州天河区初三数学期末试题(含答案)
2023年广州天河区初三数学期末试题(含答案)一、选择题（每小题5分，共20分）1. $\frac{4}{5} + \frac{1}{10} =$A. $\frac{5}{10}$B. $\frac{9}{10}$C. $\frac{1}{2}$D.$\frac{6}{5}$2. 已知正整数 $c$，$d$，若$\frac{3}{5}=\frac{c}{20}$，$\frac{2}{3}=\frac{9}{d}$,则$\frac{cd}{30}=$A. $1$B. $2$C. $3$D. $4$3. 若 $a+b=7$ 且 $ab=12$，则$(a-b)^2=$A. $1$B. $4$C. $9$D. $16$4. $\Delta ABC$ 中$AB=AC$，两直线 $\ell_1$，$\ell_2$ 都过顶点 $A$，且与 $BC$分别交于 $D$，$E$，已知 $BD=6$，$CE=9$，则线段$DE$ 长度为A. $1$B. $2$C. $3$D. $4$二、填空题（每小题3分，共15分）1. 将 $\frac{-3}{4}$ 化成小数，得到 $____$.2. $\sqrt{0.0009}=$ $____$.3. 如图，$\Delta ABC$ 中，$AD$，$BE$，$CF$ 是三条交与同一点 $O$ 的高线，若 $AO=8$，$EF=18$，则 $BC=$ $____$.4. 已知 $x=1+\sqrt{3}$，则 $\frac{(x^2-4)(x^2-2x+1)}{(x-1)(x^2+1)}=$ $____$.5. 若 $0\leq x\leq \frac{\pi}{2}$，则 $\sin(\frac{\pi}{2}-x)+\sin(\frac{\pi}{2}+x)=$ $____$.三、解答题（每小题10分，共40分）1. 若整数 $a, b, c$ 满足 $1 \leq a < b < c \leq 100$ 且 $abc + ab + bc + ac + a + b + c = 5050$，则求 $a, b, c$ 的值。
初中数学天河区九年级数学第一学期学生期末学业质量检测考试卷.docx
xx学校xx学年xx学期xx试卷姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题评卷人得分（每空xx 分，共xx分）试题1:气象台预报“本市明天降水概率是80%”，对此信息，下面的几种说法正确的是（）.Ａ．本市明天将有80%的地区降水Ｂ．本市明天将有80%的时间降水Ｃ．明天肯定下雨Ｄ．明天降水的可能性比较大试题2:已知是一元二次方程的一个根，则的值是（）.A． 0 B． 1 C． 2 D． -2试题3:下面计算错误的是（）.A. B. C. D.试题4:如图１,点A、B、C在⊙O上，且∠AOB=90°，则∠C的度数为（）.Ａ. 22.5° B. 30° C. 45° D. 60°试题5:如图２：是小明制作的一个圆锥型纸帽的示意图，则围成这个纸帽所用的纸的面积为（）（不计粘贴部分）.Ａ. １５０Ｂ. ３００Ｃ. ４００Ｄ. ６００试题6:如图，CD是⊙O的直径且CD＝４，CD⊥AB于点E，∠A＝30°，则弦AB的长为( ).A．１B．２C ．D．试题7:一元二次方程的根的情况为（）.Ａ.有两个不相等的实数根Ｂ.有两个相等的实数根Ｃ.没有实数根Ｄ.无法确定试题8:下面是作一项抽样调查时，所采用的选取样本的几种做法，其中合适的有（）.①为了解200台洗衣机的质量，从中随机抽取20台进行检测；②在公园里调查老年人的健康情况；③为了解某班学生当天的数学作业的情况，老师批改了一个学生的数学作业．A. 0种B. 1种C. 2种D. 3种试题9:如图，已知△ABC的三条边及三个角,则按照下面甲、乙、丙三个三角形所给的条件判断，能和△ABC全等的图形是（）.A.甲、乙B.甲、丙C.乙、丙D.乙试题10:已知⊙O1与⊙O2外切于点A，⊙O1的半径R＝2，⊙O2的半径r＝1，则与⊙O1、⊙O2相切，且半径为4的圆有( ).A．2个 B．4个C．5个D．6个试题11:要使分式有意义，则的取值范围是 .试题12:一元二次方程的根为 .试题13:已知：如图５，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径，BE切⊙O于点B，∠A＝30°，则∠CBE＝度.试题14:某厂一月份生产某机器100台，计划三月份生产280台.设二、三月份每月的平均增长率为，根据题意列出的方程是____________________.试题15:如图，矩形ABCD中，，将∠D与∠C分别沿直线AE、BF向内折叠，使点D、C重合于点G，且，则．试题16:如图，矩形草坪ABCD中，AD＝10m，AB＝m．现需要修一条由两个扇环构成的便道HEFG，扇环的圆心分别是B、D．若便道的宽为1m，则这条便道的面积是_______________ m2. （结果保留）试题17:化简：（＋）÷.试题18:解分式方程：试题19:用配方法解方程：试题20:已知：如图８，点C、D在线段AB上.请你从下面三个选项中选出两个作为条件，另一个作为结论，写出一个真命题，并给予证明.（1）PA＝PB （2）PC＝PD (3) AC＝BD ．所添条件为：∠A＝∠B（或PA＝PB或AC＝BD或AD＝BC或∠APC＝∠BPD或∠APD＝∠BPC等）全等三角形为：△PAC≌△PBD（或△APD≌△BPC）证明：（略）试题21:如图，甲转盘被分成3个面积相等的扇形、乙转盘被分成2个面积相等的扇形．两圆心中心各有一个可以自由转动的指针，随机地转动指针(当指针指在边界线上时视为无效，重转)．请回答下列问题。
天河区初三数学期末考试卷
一、选择题（每题4分，共40分）1. 若a、b、c是等差数列的连续三项，且a+b+c=12，b=4，则a+c的值为（）A. 8B. 10C. 12D. 142. 在直角坐标系中，点A（-2，3），B（4，-1），则线段AB的中点坐标为（）A.（1，1）B.（1，2）C.（2，1）D.（2，2）3. 已知函数f(x) = 2x - 3，若x=1时，f(x)的值是（）A. -1B. 0C. 1D. 24. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是BC的中线，则∠BAD的度数为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°5. 下列各组数中，能构成等差数列的是（）A. 1, 3, 5, 7, 9B. 2, 4, 6, 8, 10C. 1, 4, 7, 10, 13D. 1, 3, 6, 10, 156. 已知等比数列{an}的前三项分别为2, 4, 8，则该数列的公比为（）A. 2B. 3C. 4D. 67. 若sinα=1/2，且α为锐角，则cosα的值为（）A. √3/2B. 1/2C. 1/3D. √3/38. 在平行四边形ABCD中，已知AB=CD，AD=BC，则对角线AC与BD的交点E是（）A. AB的中点B. AD的中点C. BC的中点D. CD的中点9. 下列函数中，y=√(x-1)是（）A. 增函数B. 减函数C. 常数函数D. 一次函数10. 已知一元二次方程x^2 - 5x + 6 = 0的解为x1、x2，则方程x^2 - 5x + k = 0的解为（）A. x1、x2B. x1、x1+kC. x2、x2+kD. x1、x2+k二、填空题（每题4分，共40分）11. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(2)的值为______。
12. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是BC的中线，则∠ADB的度数为______。
13. 若sinα=√3/2，且α为锐角，则cosα的值为______。
2020—2021学年广州市天河区九年级上期末数学试卷含答案解析
2020—2021学年广州市天河区九年级上期末数学试卷含答案解析2020-2021学年广东省广州市天河区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共有10个小题，每小题3分，满分30分）1．在下列四个图案中，不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标为（4，8），半径为5，那么x轴与⊙P的位置关系是（）A．相交B．相离C．相切D．以上都不是3．将二次函数y=x2的图象向下平移1个单位，则平移后的二次函数的解析式为（）A．y=x2﹣1 B．y=x2+1 C．y=（x﹣1）2D．y=（x+1）24．下列说法正确的是（）A．掷一枚平均的骰子，骰子停止转动后，6点朝上是必定事件2=0.4，B．甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩平均数相同，方差分别是S甲2=0.6，则甲的射击成绩较稳固S乙C．“改日降雨的概率为”，表示改日有半天都在降雨D．“彩票中奖的概率为1%”，表示买100张彩票一定会中奖5．一元二次方程x2+3x﹣5=0的两根为x1，x2，则x1+x2的值是（）A．3 B．5 C．﹣3 D．﹣56．若反比例函数y=的图象通过点（2，﹣1），则该反比例函数的图象在（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、三象限D．第二、四象限7．如图，已知点A（0，1），B（0，﹣1），以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴于点C和点D，则DC的长为（）A．2 B．4 C．D．28．要组织一次篮球竞赛，赛制为单循环形式（毎两队之间都赛一场），打算安排15场竞赛，设应邀请x个球队参加竞赛，依照题意可列方程为（）A．x（x﹣1）=15 B．x（x+1）=15 C．=15 D．=159．如图，正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当y1＞y2时，x的取值范畴是（）A．x＜﹣2或x＞2 B．x＜﹣2或0＜x＜2C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣2＜x＜0或x＞210．如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1、O2、O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O动身，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2020秒时，点P的坐标是（）A．（2020，0）B．（2020，﹣1）C．（2020，1）D．（2021，0）二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）11．在一个不透亮的袋子里，装有5个红球，3个白球，它们除颜色外大小，材质都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是．12．已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是．13．已知圆锥的侧面积等于60πcm2，母线长10cm，则圆锥的底面半径是．14．以正方形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，双曲线y=通过点D，则正方形ABCD的面积是．15．已知，正六边形ABCDEF在直角坐标系的位置如图所示，A（﹣2，0），点B在原点，把正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，通过5次翻转之后，点B的坐标是．16．二次函数y=2x2的图象如图所示，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在函数图象上，四边形OBAC为菱形，且∠OBA=120°，则点C的坐标为．三、解答题（本题有9个小题，共102分，解答要求写出文字说明，证明过程或运算步骤）17．解下列方程（1）x2+7x=0；（2）x（x﹣1）=3x+5．18．如图，⊙O中，OA⊥BC，∠CDA=35°，求∠AOB的度数．19．已知抛物线y=ax2+bx+2过点A（﹣1，﹣1），B（1，3）．（1）求此抛物线的函数解析式；（2）该抛物线的对称轴是，顶点坐标是；（3）选取适当的数据填入下表，并在直角坐标系内描点画出该抛物线的图象．x ……y ……20．某校九年级（1）班50名学生需要参加体育“五选一”自选项目测试，班上学生所报自选项目的情形统计如表所示：自选项目人数频率立定跳远 b 0.18三级蛙跳12 0.24一分钟跳绳8 a投掷实心球16 0.32推铅球 5 0.10合计50 1（1）求a，b的值；（2）若该校九年级共有400名学生，试估量年级选择“一分钟跳绳”项目的总人数；（3）在选报“推铅球”的学生中，有3名男生，2名女生，为了了解学生的训练成效，从这5名学生中随机抽取两名学生进行推铅球测试，求所抽取的两名学生中至少有一名女生的概率．21．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象交于A（2，3），B（﹣3，n）两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）过B点作BC⊥x轴，垂足为C，若P是反比例函数图象上的一点，连接PC，PB，求当△PCB的面积等于5时点P的坐标．22．如图，已知△ABD是一张直角三角形纸片，其中∠A=90°，∠ADB=30°，小亮将它绕点A逆时针旋转β（0＜β＜180°）后得到△AMF，AM交直线BD于点K．（1）当β=90°时，利用尺规在图中作出旋转后的△AMF，并直截了当写出直线BD与线段MF的位置关系；（2）求△ADK为等腰三角形时β的度数．23．某校打算在一块长为80米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃．（1）如图1，将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，假如通道所占面积是整个长方形空地面积的一半，求出现在通道的宽；（2）在（1）中修建的长方形花圃中，要连续修建两个面积最大且相同的圆形区域（两个圆形区域没有公共部分）来种植某种花卉，求出两个圆心距离的取值范畴．24．已知关于x的一元二次方程x2+2x+=0有两个不相等的实数根，k为正整数．（1）求k的值；（2）当此方程有一根为零时，直线y=x+2与关于x的二次函数y=x2+2x+的图象交于A、B两点，若M是线段AB上的一个动点，过点M作MN⊥x轴，交二次函数的图象于点N，求线段MN的最大值．25．如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，∠CAE=30°，⊙O通过点C，且圆的直径AB在线段AE上．（1）证明：CE是⊙O的切线；（2）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当AB=8时，求CD+OD的最小值．2020-2021学年广东省广州市天河区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共有10个小题，每小题3分，满分30分）1．在下列四个图案中，不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形．【分析】依照中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、B、C是中心对称图形，D不是中心对称图形，故选D．【点评】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要查找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标为（4，8），半径为5，那么x轴与⊙P的位置关系是（）A．相交B．相离C．相切D．以上都不是【考点】直线与圆的位置关系；坐标与图形性质．【分析】欲求⊙P与x轴的位置关系，关键是求出点P到x轴的距离d再与⊙P的半径5比较大小即可．【解答】解：在直角坐标系内，以P（4，8）为圆心，5为半径画圆，则点P到x轴的距离为d=8，∵r=5，∴d＞r，∴⊙P与x轴的相离．故选B．【点评】本题考查直线与圆的位置关系．做好本题的关键是画出简图，明白圆心坐标到x 轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值．3．将二次函数y=x2的图象向下平移1个单位，则平移后的二次函数的解析式为（）A．y=x2﹣1 B．y=x2+1 C．y=（x﹣1）2D．y=（x+1）2【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】直截了当利用二次函数平移的性质，上加下减进而得出答案．【解答】解：将二次函数y=x2的图象向下平移1个单位，则平移后的二次函数的解析式为：y=x2﹣1．故选：A．【点评】此题要紧考查了二次函数的性质，正确经历平移规律是解题关键．4．下列说法正确的是（）A．掷一枚平均的骰子，骰子停止转动后，6点朝上是必定事件2=0.4，B．甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩平均数相同，方差分别是S甲2=0.6，则甲的射击成绩较稳固S乙C．“改日降雨的概率为”，表示改日有半天都在降雨D．“彩票中奖的概率为1%”，表示买100张彩票一定会中奖【考点】概率的意义；方差；随机事件．【分析】依照必定事件、随机事件、方差的性质、概率的概念可区别各类事件．【解答】解：A、掷一枚平均的骰子，骰子停止转动后，6点朝上是随机事件，故此选项错误；B、平均数相同的前提下，方差小的成绩稳固，故此选项正确；C、“改日降雨的概率为”，表示改日有可能降雨，故此选项错误；D、“彩票中奖的概率为1%”，表示买100张彩票可能中奖也有可能不中奖，故此选项错误；故选：B．【点评】本题考查了随机事件、方差的性质，解决本题需要正确明白得必定事件、不可能事件、随机事件的概念．5．一元二次方程x2+3x﹣5=0的两根为x1，x2，则x1+x2的值是（）A．3 B．5 C．﹣3 D．﹣5【考点】根与系数的关系．【分析】直截了当依照根与系数的关系求解．【解答】解：∵一元二次方程x2+3x﹣5=0的两根为x1，x2，∴x1+x2=﹣3．故选C．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．6．若反比例函数y=的图象通过点（2，﹣1），则该反比例函数的图象在（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、三象限D．第二、四象限【考点】反比例函数的性质．【分析】依照反比例函数图象在第一、三象限或在第二、四象限，依照（2，﹣1）所在象限即可作出判定．【解答】解：点（2，﹣1）在第四象限，则该反比例函数的图象的两个分支在第二、四象限．故选D．【点评】本题考查了反比例函数的性质，关于反比例函数y=（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在第一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．7．如图，已知点A（0，1），B（0，﹣1），以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴于点C和点D，则DC的长为（）A．2 B．4 C．D．2【考点】垂径定理；坐标与图形性质；勾股定理．【分析】依照点的坐标和图形得出AC=AB=2，OA=1，∠AOC=90°，依照勾股定理分别求出DO、CO，即可得出答案．【解答】解：∵A（0，1），B（0，﹣1），∴AC=AB=2，OA=1，∠AOC=90°，由勾股定理得：CO===，同理DO=，∴DC=2，故选D．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，坐标与图形的性质的应用，能求出CO、DO的长是解此题的关键．8．要组织一次篮球竞赛，赛制为单循环形式（毎两队之间都赛一场），打算安排15场竞赛，设应邀请x个球队参加竞赛，依照题意可列方程为（）A．x（x﹣1）=15 B．x（x+1）=15 C．=15 D．=15 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队竞赛总场数=，由此可得出方程．【解答】解：设邀请x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场竞赛，由题意得，=15，故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象一元二次方程的知识，解决本题的关键是读明白题意，得到总场数与球队之间的关系．9．如图，正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当y1＞y2时，x的取值范畴是（）A．x＜﹣2或x＞2 B．x＜﹣2或0＜x＜2C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣2＜x＜0或x＞2【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【专题】压轴题．【分析】先依照反比例函数与正比例函数的性质求出B点坐标，再由函数图象即可得出结论．【解答】解：∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，∴A、B两点关于原点对称，∵点A的横坐标为2，∴点B的横坐标为﹣2，∵由函数图象可知，当﹣2＜x＜0或x＞2时函数y1=k1x的图象在y2=的上方，∴当y1＞y2时，x的取值范畴是﹣2＜x＜0或x＞2．故选D．【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，能依照数形结合求出y1＞y2时x 的取值范畴是解答此题的关键．10．如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1、O2、O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O动身，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2020秒时，点P的坐标是（）A．（2020，0）B．（2020，﹣1）C．（2020，1）D．（2021，0）【考点】规律型：点的坐标．【专题】压轴题；规律型．【分析】依照图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点A2020的坐标．【解答】解：半径为1个单位长度的半圆的周长为：，∵点P从原点O动身，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，∴点P1秒走个半圆，当点P从原点O动身，沿这条曲线向右运动，运动时刻为1秒时，点P的坐标为（1，1），当点P从原点O动身，沿这条曲线向右运动，运动时刻为2秒时，点P的坐标为（2，0），当点P从原点O动身，沿这条曲线向右运动，运动时刻为3秒时，点P的坐标为（3，﹣1），当点P从原点O动身，沿这条曲线向右运动，运动时刻为4秒时，点P的坐标为（4，0），当点P从原点O动身，沿这条曲线向右运动，运动时刻为5秒时，点P的坐标为（5，1），当点P从原点O动身，沿这条曲线向右运动，运动时刻为6秒时，点P的坐标为（6，0），…，∵2020÷4=503 (3)∴A2020的坐标是（2020，﹣1），故选：B．【点评】此题考查了点的规律变化，解答本题的关键是认真观看图象，得到点的变化规律，解决问题．二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）11．在一个不透亮的袋子里，装有5个红球，3个白球，它们除颜色外大小，材质都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是．【考点】概率公式．【分析】由题意可得红球的个数，依照概率公式运算其概率即可得出结果．【解答】解：∵共有（5+3）个球，红球有5个，∴摸出的球是红球的概率是：P=，故答案为：．【点评】本题要紧考查概率的运算，一样方法：假如一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A显现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．12．已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是3．【考点】根与系数的关系．【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系，两个根的积是3，即可求解．【解答】解：设方程的另一个解是a，则1×a=3，解得：a=3．故答案是：3．【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，正确明白得根与系数的关系是关键．13．已知圆锥的侧面积等于60πcm2，母线长10cm，则圆锥的底面半径是6．【考点】圆锥的运算．【分析】圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．【解答】解：设底面半径为r，则60π=πr×10，解得r=6cm．故答案为：6．【点评】本题考查了圆锥的运算：圆锥的侧面展开图为一扇形，那个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．14．以正方形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，双曲线y=通过点D，则正方形ABCD的面积是12．【考点】反比例函数图象上点的坐标特点．【分析】设D（a，a），代入反比例函数的解析式即可求出a的值，进而可得出结论．【解答】解：设D（a，a），∵双曲线y=通过点D，∴a2=3，解得a=，∴AD=2，∴正方形ABCD的面积=AD2=（2）2=12．故答案为：12．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．15．已知，正六边形ABCDEF在直角坐标系的位置如图所示，A（﹣2，0），点B在原点，把正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，通过5次翻转之后，点B的坐标是（11，）．【考点】正多边形和圆；坐标与图形变化-旋转．【专题】规律型．【分析】依照正六边形的性质，求出5次翻转前进的距离=2×5=10，过点B作BG⊥x于G，求出∠BAG=60°，然后求出AG、BG，再求出OG，然后写出点B的坐标即可．【解答】解：∵正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，A（﹣2，0），∴AB=2，∴翻转前进的距离=2×5=10，如图，过点B作BG⊥x于G，则∠BAG=60°，∴AG=2×=1，BG=2×=，∴OG=10+1=11，∴点B的坐标为（11，）．故答案为：（11，）．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，正六边形的性质，确定出最后点B所在的位置是解题的关键，难点在于作辅助线构造出直角三角形．16．二次函数y=2x2的图象如图所示，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在函数图象上，四边形OBAC为菱形，且∠OBA=120°，则点C的坐标为（﹣，）．【考点】菱形的性质；二次函数图象上点的坐标特点．【分析】连结BC交OA于D，如图，依照菱形的性质得BC⊥OA，∠OBD=60°，利用含30度的直角三角形三边的关系得OD=BD，设BD=t，则OD=t，B（t，t），利用二次函数图象上点的坐标特点得2t2=t，得出BD=，OD=，然后依照菱形的性质得出C点坐标．【解答】解：连结BC交OA于D，如图，∵四边形OBAC为菱形，∴BC⊥OA，∵∠OBA=120°，∴∠OBD=60°，∴OD=BD，设BD=t，则OD=t，∴B（t，t），把B（t，t）代入y=2x2得2t2=t，解得t1=0（舍去），t2=，∴BD=，OD=，故C点坐标为：（﹣，）．故答案为：（﹣，）．【点评】本题考查了菱形的性质、二次函数图象上点的坐标特点，依照二次函数图象上点的坐标性质得出BD的长是解题关键．三、解答题（本题有9个小题，共102分，解答要求写出文字说明，证明过程或运算步骤）17．解下列方程（1）x2+7x=0；（2）x（x﹣1）=3x+5．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】（1）提取公因式x，将原式化为两式相乘的形式，再依照“两式相乘积为0，这两式中至少有一式为0”来解题；（2）第一去括号并把方程化为一样式，然后利用因式分解法解方程即可．【解答】解：（1）∵x2+7x=0，∴x（x+7）=0，∴x=0或x+7=0，∴x1=0，x2=﹣7；（2）∵x（x﹣1）=3x+5，∴x2﹣4x﹣5=0，∴（x﹣5）（x+1）=0，∴x+1=0或x﹣5=0，∴x1=﹣1，x2=5．【点评】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程ax2+bx+c=0的方法：先把方程化为一样式，再把方程左边因式分解，然后把方程转化为两个一元一次方程，最后解一元一次方程即可．18．如图，⊙O中，OA⊥BC，∠CDA=35°，求∠AOB的度数．【考点】圆周角定理；垂径定理．【分析】由在⊙O中，OA⊥BC，依照垂径定理可得：=，又由圆周角定理，可求得∠AOB的度数．【解答】解：∵在⊙O中，OA⊥BC，∴=，∵∠CDA=35°，∴∠AOB=2∠CDA=70°．【点评】此题考查了圆周角定理与垂径定理，难度不大，注意依照垂径定理可得：=．19．已知抛物线y=ax2+bx+2过点A（﹣1，﹣1），B（1，3）．（1）求此抛物线的函数解析式；（2）该抛物线的对称轴是x=1，顶点坐标是（1，3）；（3）选取适当的数据填入下表，并在直角坐标系内描点画出该抛物线的图象．x ……y ……【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象；二次函数的性质．【分析】（1）将A与B坐标代入二次函数解析式求出a与c的值，即可确定出二次函数解析式；（2）化成顶点式确定出对称轴，以及顶点坐标，（3）依照5点法画出图象即可．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+2过点A（﹣1，﹣1），B（1，3）．∴，解得：，则二次函数解析式为y=﹣x2+2x+2；（2）∵y=﹣x2+2x+2=﹣（x﹣1）2+3，∴对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，3），（3）列表：x …﹣1 0 1 2 3 …y …﹣1 2 3 2 ﹣1 …描点、连线找出抛物线如图：【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象，以及二次函数的性质，熟练把握待定系数法是解本题的关键．20．某校九年级（1）班50名学生需要参加体育“五选一”自选项目测试，班上学生所报自选项目的情形统计如表所示：自选项目人数频率立定跳远 b 0.18三级蛙跳12 0.24一分钟跳绳8 a投掷实心球16 0.32推铅球 5 0.10合计50 1（1）求a，b的值；（2）若该校九年级共有400名学生，试估量年级选择“一分钟跳绳”项目的总人数；（3）在选报“推铅球”的学生中，有3名男生，2名女生，为了了解学生的训练成效，从这5名学生中随机抽取两名学生进行推铅球测试，求所抽取的两名学生中至少有一名女生的概率．【考点】列表法与树状图法；用样本估量总体．【分析】（1）依照表格求出a与b的值即可；（2）运算出50名学生选择“一分钟跳绳”项目的人数，进而可估量该校九年级有400名学生，选择“一分钟跳绳”项目的总人数；（3）列表得出所有等可能的情形数，找出抽取的两名学生中至多有一名女生的情形，即可求出所求概率．【解答】解：（1）依照题意得：a=1﹣（0.18+0.24+0.32+0.10）=0.16；b=50×0.18=9；（2）400××100%=64（人）；（3）男生编号为A、B、C，女生编号为D、E，由列举法可得：AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE共10种，其中DE为女女组合，AB、AC、BC是男生组合，∴抽取的两名学生中至多有一名女生的概率为：．【点评】此题考查了条形统计图和频数（率）分布直方图，用到的知识点是样本容量、概率公式，利用统计图猎取信息时，必须认真观看、分析、研究统计图，才能作出正确的判定和解决问题．21．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象交于A（2，3），B（﹣3，n）两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）过B点作BC⊥x轴，垂足为C，若P是反比例函数图象上的一点，连接PC，PB，求当△PCB的面积等于5时点P的坐标．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）将A坐标代入反比例函数解析式中求出m的值，即可确定出反比例函数解析式；（2）由B点（﹣3，n）在反比例函数y=的图象上，因此得到B（﹣3，﹣2），求得BC=2，设△PBC在BC边上的高为h，依照三角形的面积公式列方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵反比例函数y=的图象通过点A（2，3），∴m=6．∴反比例函数的解析式是y=；（2）∵B点（﹣3，n）在反比例函数y=的图象上，∴n=﹣2，∴B（﹣3，﹣2），∴BC=2，设△PBC在BC边上的高为h，则BCh=5，∴h=5，∵P是反比例函数图象上的一点，∴点P的横坐标为：﹣8或2，∴点P的坐标为（﹣8，﹣），（2，3）．【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，一次函数与坐标轴的交点，以及反比例函数的图象与性质，熟练把握待定系数法是解本题的关键．22．如图，已知△ABD是一张直角三角形纸片，其中∠A=90°，∠ADB=30°，小亮将它绕点A逆时针旋转β（0＜β＜180°）后得到△AMF，AM交直线BD于点K．（1）当β=90°时，利用尺规在图中作出旋转后的△AMF，并直截了当写出直线BD与线段MF的位置关系；（2）求△ADK为等腰三角形时β的度数．【考点】作图-旋转变换．【专题】运算题；作图题．【分析】（1）在AB的延长线上截取AM=AD，在DA的延长线上截取AF=AB，连结FM 得到△AMF，依照旋转的性质可判定直线BD与线段MF垂直；（2）依照旋转的性质得∠MAD=β，分类讨论：当KA=KD时，依照等腰三角形的性质得∠KAD=∠D=30°，即β=30°；当DK=DA时，依照等腰三角形的性质得∠DKA=∠DAK，然后依照三角形内角和可运算出∠DAK=75°，即β=75°；当AK=AD时，依照等腰三角形的性质得∠AKD=∠D=30°，然后依照三角形内角和可运算出∠KAD=120°，即β=120°．【解答】解：（1）如图，△AMF为所作，因为△ADB绕点A逆时针旋转90°后得到△AMF，因此BD旋转90°得到MF，因此BD⊥MF；（2）∵△ABD绕点A逆时针旋转β（0＜β＜180°）后得到△AMF，∴∠MAD=β，当KA=KD时，则∠KAD=∠D=30°，即β=30°；当DK=DA时，则∠DKA=∠DAK，而∠D=30°，因此∠DAK=（180°﹣30°）=75°，即β=75°；当AK=AD时，则∠AKD=∠D=30°，则∠KAD=180°﹣30°﹣30°=120°，即β=120°，综上所述，β的度数为30°或75°或120°．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：依照旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此能够通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．应用分类讨论思想和等腰三角形的性质是解决第（2）问的关键．23．某校打算在一块长为80米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃．（1）如图1，将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，假如通道所占面积是整个长方形空地面积的一半，求出现在通道的宽；（2）在（1）中修建的长方形花圃中，要连续修建两个面积最大且相同的圆形区域（两个圆形区域没有公共部分）来种植某种花卉，求出两个圆心距离的取值范畴．【考点】一元二次方程的应用；圆与圆的位置关系．【专题】几何图形问题．【分析】（1）可设通道的宽是x米，依照通道所占面积是整个长方形空地面积的一半，列出方程进行运算即可；（2）设两圆圆形距为d，当两圆只有一个公共点时，d有最小值，当两圆分别与花圃的宽相切时，d有最大值，依此可求两个圆心距离的取值范畴．【解答】解：（1）设通道的宽是x米，依题意有（40﹣2x）（80﹣2x）=×80×40，解得x1=30+10（不合题意），x2=30﹣10．答：通道的宽是（30﹣10）米．（2）∵40﹣2x=20﹣20，∴圆形区域的半径为10﹣10，面积最大，设两圆圆形距为d，当两圆只有一个公共点时，d有最小值，为20﹣20米，当两圆分别与花圃的宽相切时，d有最大值，d=80﹣2a﹣2r=80﹣2（30﹣10）﹣2（10﹣10）=40米，∴两个圆心距离的取值范畴是20﹣20＜d≤40．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是表示出花圃的长和宽．注意判定所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．24．已知关于x的一元二次方程x2+2x+=0有两个不相等的实数根，k为正整数．（1）求k的值；（2）当此方程有一根为零时，直线y=x+2与关于x的二次函数y=x2+2x+的图象交于A、B两点，若M是线段AB上的一个动点，过点M作MN⊥x轴，交二次函数的图象于点N，求线段MN的最大值．【考点】二次函数综合题．【专题】综合题．【分析】（1）依照判别式的意义得到△=22﹣4×＞0，然后解不等式得到k的范畴，再在k的取值范畴内找出正整数即可；（2）先把x=0代入x2+2x+=0中求出k=﹣1，从而得到二次函数解析式为y=x2+2x，依照二次函数图象上点的坐标特点，设M（t，t+2）（﹣2＜t＜1），则N（t，t2+2t），因此MN可表示为t2﹣t+2，然后依照二次函数的性质求解．【解答】解：（1）依照题意得△=22﹣4×＞0，解得k＜3，而k为正整数，因此k=1或2；（2）当x=0代入x2+2x+=0得k=1，则方程为x2+2x=0，二次函数为y=x2+2x，解方程组得或，则A（﹣2，0），B（1，3），如图，设M（t，t+2）（﹣2＜t＜1），则N（t，t2+2t），因此MN=t+2﹣（t2+2t）=﹣t2﹣t+2=﹣（t+）2+，当t=﹣时，MN有最大值，最大值为．【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练把握二次函数图象上点的坐标特点和二次函数的性质；明白得根的判别式的意义和一元二次方程根的定义；会通过解方程组求一次函数与二次函数图象的交点坐标．25．如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，∠CAE=30°，⊙O通过点C，且圆的直径AB在线段AE上．（1）证明：CE是⊙O的切线；（2）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当AB=8时，求CD+OD的最小值．【考点】切线的判定．【分析】（1）连接OC，如图1，要证CE是⊙O的切线，只需证到∠OCE=90°即可；（2）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，易证四边形AOCF是菱形，依照对称性可得DF=DO．过点D作DH⊥OC于H，易得DH=DC，从而有CD+OD=DH+FD．依照两点之间线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小，然后在Rt△OHF中运用三角函数即可解决问题．【解答】（1）证明：连接OC，如图1所示：。
天河区初三期末数学试卷
一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列各数中，是正数的是（）A. -2B. 0C. 1D. -32. 已知a > b，下列不等式中正确的是（）A. a + 1 > b + 1B. a - 1 < b - 1C. a + 1 < b + 1D. a - 1 > b - 13. 下列函数中，是反比例函数的是（）A. y = 2x + 3B. y = x^2C. y = 1/xD. y = 3x - 24. 在△ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C的度数是（）A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°5. 已知一元二次方程x^2 - 4x + 3 = 0，则该方程的解为（）A. x = 1, x = 3B. x = 2, x = 2C. x = -1, x = -3D. x = 1, x = -3二、填空题（每题5分，共25分）6. 计算：(-3)^2 + (-2)^3 - 5^2 = ______7. 已知等差数列{an}中，a1 = 2，公差d = 3，则a10 = ______8. 在△ABC中，AB = 5，AC = 8，BC = 10，则△ABC是______三角形。
9. 已知函数y = 2x - 3，当x = 4时，y的值为______。
10. 已知一元二次方程x^2 - 5x + 6 = 0，则该方程的解为______。
三、解答题（共50分）11. （10分）已知数列{an}的通项公式为an = 3n - 2，求：（1）数列{an}的前5项；（2）数列{an}的求和公式。
12. （10分）已知函数y = 2x + 3，求：（1）函数的对称轴；（2）函数的增减性。
13. （10分）已知△ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，求△ABC的周长。
14. （10分）已知一元二次方程x^2 - 4x + 3 = 0，求：（1）该方程的判别式；（2）该方程的根。
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2017-2018学年广东省广州市天河区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题有十个小题，每小题三分，满分30分，下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．）1．（3分）下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是（）A． B．C．D．2．（3分）下列事件是必然事件的是（）A．抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上B．打开电视频道，正在播放《今日在线》C．射击运动员射击一次，命中十环D．方程x2﹣x=0必有实数根3．（3分）对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．对称轴是x=﹣1C．顶点坐标是（1，2）D．与x轴有两个交点4．（3分）某反比例函数的图象经过点（﹣2，3），则该图象一定不经过点（）A．（1，6） B．（﹣1，6）C．（2，﹣3）D．（3，﹣2）5．（3分）Rt ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，以点C为圆心，5cm为半径的圆与直线AB的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．无法确定6．（3分）下列一元二次方程中，两个实数根之和为1的是（）A．x2+x+2=0 B．x2+x﹣2=0 C．x2﹣x+2=0 D．x2﹣x﹣2=07．（3分）一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元，设两次降价的百分率都为x，则x满足等式（）A．16（1+2x）=25 B．25（1﹣2x）=16 C．25（1﹣x）2=16 D．16（1+x）2=25 8．（3分）如图，已知CD为圆O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若角D=50°，则角C的度数是（）A．50°B．25°C．30°D．40°9．（3分）a≠0，函数y=与y=﹣ax2+a在同一直角坐标系中的大致图象可能是（）A． B． C．D．10．（3分）把一副三角板如图（1）放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=4，CD=5．把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图2），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长度为（）A． B．C．D．4二、填空题（本题有六个小题，每小题三分，共18分）11．（3分）如图，在△ABC中∠BAC=60°，将△ABC绕着点A顺时针旋转20°后，得到△ADE，则∠BAE=12．（3分）已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是．13．（3分）袋中装有6个黑球和n个白球，经过若干次试验，发现“若从中任摸一个球，恰好是白球的概率为”，则这个袋中白球大约有个．14．（3分）如图，已知圆锥的母线长为2，高所在直线与母线的夹角为30°，则圆锥的侧面积为．15．（3分）如图点P（1，2）在反比例函数的图象上，当x＜1时，y的取值范围是．16．（3分）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出以下结论：①abc＜0②b2﹣4ac＞0③4b+c＜0④若B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2⑤当﹣3≤x≤1时，y≥0，其中正确的结论是（填写代表正确结论的序号）．三.解答题（本题有9个小题，共102分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤）17．（9分）（1）解方程：x2﹣8x+1=0；（2）若方程x2﹣4x﹣5=0的两根分别为x1，x2，求x12+x22的值．18．（9分）如图，若等腰三角形ABC中，AB=AC，O是底边BC的中点，圆O与腰AB相切于点D，求证：AC与圆O相切．19．（10分）如图，△AOB的三个顶点都在网格的格点上，网格中的每个小正方形的边长均为一个长度单位，以点O建立平面直角坐标系，若△AOB绕点O逆时针旋转90°后，得到△A1OB1（A和A1是对应点）（1）写出点A1，B1的坐标；（2）求旋转过程中边OB扫过的面积（结果保留π）．20．（10分）摸球活动：在一个口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4，随机摸取一个小球，然后放回，再随机摸出一个小球，此活动回答以下问题（1）求“两次取的小球标号相同”这个事件的概率；（2）设计一个概率为的事件，并说明理由．21．（12分）北方某水果商店从南方购进一种水果，其进货成本是每吨0.4万元，根据市场调查，这种水果在北方市场上的销售量为y（吨），销售价x（万元）之间的函数关系为y=﹣x+2.6（1）当每吨销售价为多少万元时，销售利润为0.96万元？（2）填空当每吨销售价为万元时，可得最大利润为万元．22．（12分）如图，已知点D在双曲线y=（x大于零）的图象上，以D为圆心的圆D与y轴相切于点C （0，4），与x轴交于A、B两点（1）求点D的坐标；（2）求点A和点B的坐标．23．（12分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A（2，0 ），B（0，﹣1）和C（4，5），与x轴的另一个交点为D．（1）求该二次函数的解析式；（2）求三角形BDC的面积．24．（14分）如图，过点A（1，0）作x轴的垂线，交反比例函数y=（x大于零）的图象交于点M，已知三角形AOM的面积为3．（1）求k的值；（2）说点B的坐标为（t，0），若以AB为一边的正方形ABCD有顶点在该反比例函数的图象上，求t的值．25．（14分）已知抛物线y=x2+bx+c的顶点为D，且经过A（1，0）；B（0，2）两点，将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，点B落到点C的位置，将该抛物线沿着对称轴上下平移，使之经过点C，此时得到的新抛物线与y轴的交点为B1，顶点为D．（1）求新抛物线的解析式；（2）若点N在新抛物线上，满足三角形NBB1的面积是三角形NDD1面积的2倍，求点N坐标．2017-2018学年广东省广州市天河区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有十个小题，每小题三分，满分30分，下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．）1．（3分）下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是（）A． B．C．D．【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形；故A正确；B、是中心对称图形，也是轴对称图形；故B错误；C、是中心对称图形，也是轴对称图形；故C错误；D、不是中心对称图形，是轴对称图形；故D错误；故选：A．2．（3分）下列事件是必然事件的是（）A．抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上B．打开电视频道，正在播放《今日在线》C．射击运动员射击一次，命中十环D．方程x2﹣x=0必有实数根【解答】解：A、抛掷一枚硬币，四次中有两次正面朝上是随机事件，故本选项错误；B、打开电视频道，正在播放《今日在线》是随机事件，故本选项错误；C、射击运动员射击一次，命中十环是随机事件，故本选项错误；D、方程x2﹣x=0必有实数根是必然事件，故本选项正确；故选：D．3．（3分）对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．对称轴是x=﹣1C．顶点坐标是（1，2）D．与x轴有两个交点【解答】解：二次函数y=（x﹣1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，抛物线与x轴没有公共点．故选：C．4．（3分）某反比例函数的图象经过点（﹣2，3），则该图象一定不经过点（）A．（1，6） B．（﹣1，6）C．（2，﹣3）D．（3，﹣2）【解答】解：∵反比例函数的图象经过点（﹣2，3），∴k=﹣2×3=﹣6，∴反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值﹣6，即xy=﹣6，∴该图象一定不经过点（1，6）．故选：A．5．（3分）Rt ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，以点C为圆心，5cm为半径的圆与直线AB的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．无法确定【解答】解：过C点作CD⊥AB，垂足为D，∵∠ACB=90°，BC=6，AC=8，由勾股定理，得AB==10，根据三角形计算面积的方法可知，BC×AC=AB×CD，∴CD==4.8＜5，∴⊙C与直线AB相交．故选：B．6．（3分）下列一元二次方程中，两个实数根之和为1的是（）A．x2+x+2=0 B．x2+x﹣2=0 C．x2﹣x+2=0 D．x2﹣x﹣2=0【解答】解：A、方程没有实数解，所以A选项错误；B、两个实数根之和为﹣1，所以B选项错误；C、方程没有实数解，所以C选项错误；D、两个实数根之和为1，所以D选项正确．故选：D．7．（3分）一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元，设两次降价的百分率都为x，则x满足等式（）A．16（1+2x）=25 B．25（1﹣2x）=16 C．25（1﹣x）2=16 D．16（1+x）2=25【解答】解：第一次降价后的价格为：25×（1﹣x）；第二次降价后的价格为：25×（1﹣x）2；∵两次降价后的价格为16元，∴25（1﹣x）2=16．故选：C．8．（3分）如图，已知CD为圆O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若角D=50°，则角C的度数是（）A．50°B．25°C．30°D．40°【解答】解：∵OA∥DE，∴∠AOD=∠D=50°，∴∠C=∠AOD=25°．故选：B．9．（3分）a≠0，函数y=与y=﹣ax2+a在同一直角坐标系中的大致图象可能是（）A． B． C．D．【解答】解：当a＞0时，函数y=的图象位于一、三象限，y=﹣ax2+a的开口向下，交y轴的正半轴，没有符合的选项，当a＜0时，函数y=的图象位于二、四象限，y=﹣ax2+a的开口向上，交y轴的负半轴，D选项符合；故选：D．10．（3分）把一副三角板如图（1）放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=4，CD=5．把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图2），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长度为（）A． B．C．D．4【解答】解：由题意易知：∠CAB=45°，∠ACD=30°．若旋转角度为15°，则∠ACO=30°+15°=45°．∴∠AOC=180°﹣∠ACO﹣∠CAO=90°．在等腰Rt△ABC中，AB=4，则AC=BC=2．同理可求得：AO=OC=2．在Rt△AOD1中，OA=2，OD1=CD1﹣OC=3，由勾股定理得：AD1=．故选：A．二、填空题（本题有六个小题，每小题三分，共18分）11．（3分）如图，在△ABC中∠BAC=60°，将△ABC绕着点A顺时针旋转20°后，得到△ADE，则∠BAE=80°【解答】解：∵△ABC绕着点A顺时针旋转20°后得到△ADE，∴∠CAE=20°，∵∠BAC=60°，∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=60°+20°=80°．故答案为：80°．12．（3分）已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是3．【解答】解：设方程的另一个解是a，则1×a=3，解得：a=3．故答案是：3．13．（3分）袋中装有6个黑球和n个白球，经过若干次试验，发现“若从中任摸一个球，恰好是白球的概率为”，则这个袋中白球大约有2个．【解答】解：∵袋中装有6个黑球和n个白球，∴袋中一共有球（6+n）个，∵从中任摸一个球，恰好是白球的概率为，∴=，解得：n=2．故答案为：2．14．（3分）如图，已知圆锥的母线长为2，高所在直线与母线的夹角为30°，则圆锥的侧面积为2π．【解答】解：∵AO⊥BC，∠BAO=30°，∴OB=AB=1，∴圆锥的侧面积=×2π×1×2=2π，故答案为：2π．15．（3分）如图点P（1，2）在反比例函数的图象上，当x＜1时，y的取值范围是y＞2或y＜0．【解答】解：当x＜1时，y＞2或y＜0．故答案为y＞2或y＜0．16．（3分）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出以下结论：①abc＜0②b2﹣4ac＞0③4b+c＜0④若B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2⑤当﹣3≤x≤1时，y≥0，其中正确的结论是（填写代表正确结论的序号）②③⑤．【解答】解：由图象可知，a＜0，b＜0，c＞0，∴abc＞0，故①错误．∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故②正确．∵抛物线对称轴为x=﹣1，与x轴交于A（﹣3，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），∴a+b+c=0，﹣=﹣1，∴b=2a，c=﹣3a，∴4b+c=8a﹣3a=5a＜0，故③正确．∵B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，又点C离对称轴近，∴y1，＜y2，故④错误，由图象可知，﹣3≤x≤1时，y≥0，故⑤正确．∴②③⑤正确，故答案为②③⑤．三.解答题（本题有9个小题，共102分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤）17．（9分）（1）解方程：x2﹣8x+1=0；（2）若方程x2﹣4x﹣5=0的两根分别为x1，x2，求x12+x22的值．【解答】解：（1）移项可得x2﹣8x=﹣1，两边加16可得x2﹣8x+16=﹣1+16，配方可得（x﹣4）2=15，两边开方可得x﹣4=±，∴x=4+或x=4﹣；（2）由根与系数的关系可得x1+x2=4，x1x2=﹣5，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=42﹣2×（﹣5）=26．18．（9分）如图，若等腰三角形ABC中，AB=AC，O是底边BC的中点，圆O与腰AB相切于点D，求证：AC与圆O相切．【解答】证明：连接OD，过点O作OE⊥AC于E点，则∠OEC=90°，∵AB切⊙O于D，∴OD⊥AB，∴∠ODB=90°，∴∠ODB=∠OEC，又∵O是BC的中点，∴OB=OC，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴△OBD≌△OCE，∴OE=OD，即OE是⊙O的半径，∴AC与⊙O相切．19．（10分）如图，△AOB的三个顶点都在网格的格点上，网格中的每个小正方形的边长均为一个长度单位，以点O建立平面直角坐标系，若△AOB绕点O逆时针旋转90°后，得到△A1OB1（A和A1是对应点）（1）写出点A1，B1的坐标；（2）求旋转过程中边OB扫过的面积（结果保留π）．【解答】解：（1）如图，△A1OB1为所作；所以点A1的坐标为（﹣4，1），点B1的坐标为（﹣3，3）（2）OB=，所以旋转过程中边OB扫过的面积=．20．（10分）摸球活动：在一个口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4，随机摸取一个小球，然后放回，再随机摸出一个小球，此活动回答以下问题（1）求“两次取的小球标号相同”这个事件的概率；（2）设计一个概率为的事件，并说明理由．【解答】解：（1）树状图如图．由树状图知共有16种等可能结果，其中两次取的小球标号相同的有4种，则两次取的小球标号相同的概率为=；（2）设计事件：求“两次取出的小球编号和为偶数”这个事件的概率．由（1）中树状图知，共有16种等可能结果，其中两次取出的小球的编号和为偶数的情况有8种，所以两次取出的小球的编号和为偶数的概率为．21．（12分）北方某水果商店从南方购进一种水果，其进货成本是每吨0.4万元，根据市场调查，这种水果在北方市场上的销售量为y（吨），销售价x（万元）之间的函数关系为y=﹣x+2.6（1）当每吨销售价为多少万元时，销售利润为0.96万元？（2）填空当每吨销售价为 1.5万元时，可得最大利润为 1.21万元．【解答】解：（1）设销售利润为w万元．w=（x﹣0.4）y=（x﹣0.4）（﹣x+2.6）=﹣x2+3x﹣1.04，令w=0.96，则﹣x2+3x﹣1.04=0.96解得x1=1，x2=2，答：当每吨销售价为1万元或2万元时，销售利润为0.96万元．（2）w=﹣x2+3x﹣1.04=﹣（x﹣1.5）2+1.21当x=1.5时，w最大=1.21∴每吨销售价为 1.5万元时，销售利润最大，最大利润是 1.21万元．故答案为1.5，1.21．22．（12分）如图，已知点D在双曲线y=（x大于零）的图象上，以D为圆心的圆D与y轴相切于点C （0，4），与x轴交于A、B两点（1）求点D的坐标；（2）求点A和点B的坐标．【解答】解：（1）∵以点D为圆心的⊙D与y轴相切于点C（0，4），∴点D的纵坐标为4，∵点D在y=上，∴4=，∴x=5，∴D（5，4），（2）作DE⊥AB与H，连接AD、BD．在Rt△AED中，DA=5，DE=4，∴AE==3，∴OA=5﹣3=2，OB=5+3=8，∴A（2，0），B（8，0）．23．（12分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A（2，0 ），B（0，﹣1）和C（4，5），与x轴的另一个交点为D．（1）求该二次函数的解析式；（2）求三角形BDC的面积．【解答】解：（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，把A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点坐标代入解析式得到：，解得，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣1．（2）对于抛物线y=x2﹣x﹣1，令y=0，得x2﹣x﹣1=0，解得x=2或﹣1，∴另一个交点为D坐标为（﹣1，0），∵直线BC的解析式为y=x﹣1，令y=0，得x=，设直线BC与x轴交于点H，则H（，0），∴S△BCD=S△DHC+S△DHB=××5+××1=5．24．（14分）如图，过点A（1，0）作x轴的垂线，交反比例函数y=（x大于零）的图象交于点M，已知三角形AOM的面积为3．（1）求k的值；（2）说点B的坐标为（t，0），若以AB为一边的正方形ABCD有顶点在该反比例函数的图象上，求t的值．【解答】解：（1）根据题意得|k|=3，而k＞0，∴k=6；（2）四边形ABCD为正方形，当B点在A点左侧时，AB=1﹣t，则D（1，1﹣t），所以1?（1﹣t）=6，解得t=﹣5；当点B在点A的右侧，则AB=t﹣1，∴C（t，t﹣1），D（1，t﹣1），若D（1，t﹣1）在反比例函数图象上时，则t﹣1=6，解得t=7；若C（t，t﹣1）在反比例函数图象上时，则t﹣1=，整理得t2﹣t﹣6=0，解得t1=3，t2=﹣2（舍去）；综上所述，t的值为﹣5或3或7．25．（14分）已知抛物线y=x2+bx+c的顶点为D，且经过A（1，0）；B（0，2）两点，将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，点B落到点C的位置，将该抛物线沿着对称轴上下平移，使之经过点C，此时得到的新抛物线与y轴的交点为B1，顶点为D．（1）求新抛物线的解析式；（2）若点N在新抛物线上，满足三角形NBB1的面积是三角形NDD1面积的2倍，求点N坐标．【解答】解：（1）已知抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0），B（0，2），∴，解得，抛物线的解析式为y=x2﹣3x+2；∵A（1，0），B（0，2），∴OA=1，OB=2，可得旋转后C点的坐标为（3，1），当x=3时，由y=x2﹣3x+2得y=2，可知抛物线y=x2﹣3x+2过点（3，2），∴将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C．∴平移后的抛物线解析式为：y2=x2﹣3x+1；（2）∵点N在y=x2﹣3x+1上，可设N点坐标为（x0，x02﹣3x0+1），将y=x2﹣3x+1配方得y=（x﹣）2﹣，∴其对称轴为直线x=．①0≤x0≤时，如图①，∵S△NBB1=2S△NDD1，∴×1×x0=2××1×（﹣x0），∵x0=1，此时x02﹣3x0+1=﹣1，∴N点的坐标为（1，﹣1）．②当x0＞时，如图②，同理可得×1×x0=2××（x0﹣），∴x0=3，此时x02﹣3x0+1=1，∴点N的坐标为（3，1）．③当x＜0时，由图可知，N点不存在，综上，点N的坐标为（1，﹣1）或（3，1）．。