史上最详细的平面曲线的弧长公式计算(微积分)
04 第四节 平面曲线的弧长
第四节 平面曲线的弧长分布图示★ 平面曲线弧长的概念★ 直角坐标情形 ★ 例1 ★ 例2 ★ 参数方程情形 ★ 例3★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 极坐标情形 ★ 例7 ★ 例8★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题6-4 ★ 返回内容要点一、平面曲线弧长的概念 二、平面曲线的弧长的计算直角坐标情形：)(x f y =],[b a x ∈，弧长微元（弧微分）dx y ds 21'+=，所求光滑曲线的弧长 ⎰'+=badx y s 21 )(b a < (4.1)参数方程情形：)(,)()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==t t y t x ，弧长微元,)()()()(2222dt t t dy dx ds ψϕ'+'=+=所求光滑曲线的弧长.)()(22⎰'+'=βαψϕdt t t s (4.3) 极坐标情形：),()(βθαθ≤≤=r r 弧长微元,)()()()(2222θθθd r r dy dx ds '+=+=所求光滑曲线的弧长.)()(22⎰'+=βαθθθd r r s (4.4)例题选讲平面曲线的弧长的计算例1 (E02) 求曲线2332x y =上相应于x 从a 到b 的一段弧的长度.解 ,21x y ='弧长微元:dx y ds21'+=,1dx x +=所求弧长: ⎰+=badx x s 1.])1()1[(322323a b +-+=例2 (E03) 两根电线杆之间的电线,由于其本身的重量，下垂成曲线形. 这样的曲线叫悬链线. 适当选取坐标系后，悬链线的方程为kxk y cosh=, 其中k 为常数. 计算悬链线上介于b x -=与b x =之间一段弧的长度.解 如图，由于对称性，要计算弧长为相应于x 从0到b 的一段曲线弧长的两倍.,cx y sh ='弧长微元: dx c x ds 2sh 1+=.dx cxch =故所求弧长为 ⎰=bc x c s 0ch 2boc x c ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=sh 2.c b c sh 2=例3 (E01) 求圆222R y x =+的周长. 解 如图，将圆的方程化为参数方程),20(sin cos πθθθ≤≤⎩⎨⎧==R y R x 则所求圆周长θπθθd y x s ⎰'+'=2022)()(θθθπd R R ⎰+-=2022)cos ()sin (⎰=πθ20d R .R π2=例4 (E04) 求星形线t a y t a x 33sin ,cos ==的全长.解 由图形（如图）的对称性可知，星形线的全长为其在第一象限部分的4倍,则由弧长公式得dt t t L ⎰'+'=βαψϕ)()(22dt t t a t t a ⎰+=20242242cos sin 9sin cos 94π⎰=2cos sin 34πdt t t a ⎰=2sin sin 34πt td a ⎰=202)(sin 234πt ad .a 6=例5 求摆线 ⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x )20,0(π≤≤>t a 一支的弧长.解 t a t y a t x sin )(cos),1()(='-='由弧长计算公式，得dt t y t x s ⎰'+'=π2022)]([)]([dt t a ⎰-=π20)cos 1(2⎰=π202sin 2dt ta⎰⎰-=πππ202sin 22sin 2dt t a dt ta .a 8=例6 证明正弦线)20(sin π≤≤=x x a y 的弧长等于椭圆 )20(sin 1cos 2π≤≤⎩⎨⎧+==t t a y tx 的周长. 证 设正弦线的弧长为,1s 则dx y s ⎰'+=π20211dx x a ⎰+=π2022cos 1,dx x a ⎰+=π22cos 12设椭圆的周长为,2s 则dt y x s t t ⎰'+'=π20222)()(dt t a t ⎰++=π222))(cos 1()(sin 2（利用椭圆的对称性）dt t a ⎰+=π22cos 12dx x a ⎰+=π22cos 12,1s =故原结论成立.例7 求极坐标系下曲线)30,0(3sin 3πθθ≤≤>⎪⎭⎫⎝⎛=a a r 的长.解 313cos 3sin 32⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛='θθa r ,3cos 3sin 2θθ⋅⎪⎭⎫⎝⎛=aθθθβαd r r s ⎰'+=∴)()(22θθθθπd a a ⎰⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛=30242623cos 3sin 3sin θθπd a⎰⎪⎭⎫⎝⎛=3023sin.a π23=例8 (E05) 求心形线)cos 1(θ+=a r 的全长. 解 如图(见系统演示)，此心形线关于极轴对称.θθθπd a a s ⎰-++=22)sin ()]cos 1([θθπd a⎰+=0)cos 1(22θθπd a⎰=02cos 402sin 8πθa =.a 8=课堂练习1.计算曲线⎰=n x dx x n y 0sin 的弧长).0(πn x ≤≤2.求阿基米德螺线θa r = )0(>a 上相应于θ从0到π2的弧长.。
第三节平面曲线的弧长与曲率
设平面曲线C AB(为曲线弧），如图 所示, 在C上从A到B依次取分点： A P0 , P , Pi 1 , Pi , , Pn 1 , 1, P 2, Pn B, 它们成为对曲线C的一个分割
P2 P1 P0 =A
o
Pn
=B
Pn1
x
1
，记为T，然后用线段联结T中每相邻两点，得到 C的 n条弦： Pi 1 Pi (i 1, 2,
T 0
为曲线的弧长。 一般来说，平面上连续的曲线不一定都可求长，但如果是 平面上光滑的曲线段一定是可求长的。以下讨论的曲线求 长问题都是指光滑曲线求长的问题。为此先给出光滑曲线 的定义。
2
定义2 设平面曲线C由参数方程：x x(t ), y y (t ), t [ , ] 给出 .如果 x (t ) 、 y (t )在[ , ]上连续，且： x (t ) 则称曲线C为一条光滑曲线。 2、光滑曲线的弧长公式 1)、若光滑线 C 由参数方程：x x(t ), y y (t ), t , 给出，则 C 一定可求长，则其长为： s
6
e x e x y 2
M
4
2
o o
aa
x
5
5
例3 求心形线 r a(1 cos ) (a 0) 的周长。 解：如图所示：
6
y
4
r a 1 cos
C
2
5
0
2
B
5
2a
D
x
10
4
6
平面曲线的弧长与曲率本节主要介绍平面曲线弧长的计算公式一平面曲线的弧长1平面曲线弧长的概念我们已经学习过利用刘嶶割圆术定义了圆的周长现将刘嶶的割圆术加以推广则可定义出平面曲线的弧长并得到平面曲线弧长的计算公式
弧长公式怎么推导出来的
弧长公式怎么推导出来的数学是许多人的短板，那么弧长公式怎么推导出来的呢？感兴趣的小伙伴快来和小编一起看看吧。
下面是由小编为大家整理的“弧长公式怎么推导出来的”，仅供参考，欢迎大家阅读。
弧长公式怎么推导出来的弧长的计算公式L=的推导过程：因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2πR（R为圆的半径）所以1°的圆心角所对的弧长是2πR/360，即。
这样n°的圆心角所对的弧长的计算公式是L=n*2πR/360。
拓展阅读：圆的相关公式有哪些一、周长公式1.圆的周长：C=2πr （r：半径）；2、半圆周长：C=πr+2r。
二、圆的面积1.面积：S=πr²；2.半圆面积：S=πr²/2。
三、弧长角度公式1.扇形弧长：L=圆心角（弧度制）×R= nπR/180（θ为圆心角）（R为扇形半径）；2.扇形面积：S=nπ R²/360=LR/2（L为扇形的弧长）；3.圆锥底面半径： r=nR/360（r为底面半径）（n为圆心角）；4.扇形面积公式：S=nπr²/360=rl/2。
R：半径，n：弧所对圆心角度数，π：圆周率，L：扇形对应的弧长。
也可以用扇形所在圆的面积除以360再乘以扇形圆心角的角度n。
四、圆的方程：1.圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。
2.圆的一般方程：把圆的标准方程展开，移项，合并同类项后，可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。
和标准方程对比，其实D=-2a，E=-2b，F=a^2+b^2。
圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例（设P是一点，则PO是点到圆心的距离），P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r。
平面曲线弧长公式推导过程
平面曲线弧长公式推导过程
平面曲线弧长公式推导过程是一个严密且复杂的数学过程。
首先，我们需要明确弧长的定义。
在平面上，弧长是由一条直线段连接两个端点所形成的，而这条直线段沿着曲线弧行走。
我们可以将弧长看作是曲线弧上无限细小的线段长度之和。
接下来，我们通过运用微积分学中的积分概念来推导弧长公式。
我们选取弧长上的一个微小片段，将其看作直线段，并计算该片段的长度。
然后，我们将所有这些微小片段的长度相加，得到弧长。
利用积分，我们可以表示这个总长度为曲线弧的函数在给定区间上的定积分。
通过计算这个定积分，我们得到了弧长的公式。
这个公式可以用于计算任何平面曲线弧的长度。
需要注意的是，这个推导过程是基于欧几里得几何中的一些基本假设，例如平行线的存在性和唯一性、直线段是直的等等。
此外，我们还假设曲线弧是光滑的，也就是说在弧长上任意一点处都有切线。
如果曲线弧不满足这些条件，那么我们需要采用不同的方法来计算弧长。
总之，平面曲线弧长公式推导过程是一个将微积分学与欧几里得几何相结合的过程。
通过这个过程，我们可以得到任何平面曲线弧的长度公式，这为我们解决各种几何问题提供了有力的工具。
10.3 平面曲线的弧长与曲率
y
P
B
A
o
x
1、曲线 C : y f ( x )( x [a, b]) , 若 f ( x ) 在 [a, b] 上
连续可微,则 弧长：
s
b
a
2 1 [ f ( x )] dx .
2、 曲线 C : r r ( )( [ , ]), 若 r ( )在[ , ]
1 i n n
y
P2
Pn1
B Pn
P1
A P0
sT | Pi 1 Pi | .
i 1
o
x
定义1： 若 lim sT s , 则称 曲线弧 C 是可求长的,
||T || 0
并称 s 为曲线弧 C 的弧长 .
定理1： 设 C 为平面上不自交的非闭的曲线 , 且
x x( t ) 曲线 C 的参数方程为 , t [ , ] , y y( t )
§10.3 平面曲线的弧长与曲率
一、平面曲线的弧长 二、曲率
一、平面曲线的弧长
设平面上不自交的非闭的曲线弧 C AB.
分割T : A P0 , P1 ,, Pn B.
记 || T || max | Pi 1 Pi | ,
1 i n
y
P2
Pn1
B Pn
P1
A P0
sT | Pi 1 Pi | .
则点 P ( x(t ), y(t )) 的曲率：
t ( t ) K lim lim , Q P s t 0 s t s ( t )
其中
y' ( t ) ( t ) arctan , x' ( t )
求曲线弧长的积分公式
求曲线弧长的积分公式
曲线弧长的积分公式是用来计算曲线上某一段弧长的公式。
积分是数学中的一种运算，用于求解曲线上的各种量，并且在物理、工程等领域有广泛应用。
曲线弧长的积分公式可以通过对曲线进行参数化来获得。
假设有一条曲线C，可以用参数方程表示为x=f(t)，y=g(t)，其中t是曲线上的一个参数。
如果我们想要计算曲线上从点A到点B的弧长，我们可以将曲线划分为许多小线段，并对每个小线段的长度进行求和。
利用微积分的思想，我们可以将曲线上的小线段表示为ds，即弧长的微元。
则曲线上从点A到点B的弧长可以表示为积分：
L = ∫[A到B] ds
其中，s表示曲线弧长，是一个函数，可以表示为：
s = ∫[A到t] ds
对曲线弧长进行微分，可以得到：
ds = √(dx^2 + dy^2)
将这个式子代入到s的积分式中，可以得到曲线弧长的积分公式：
L = ∫[A到B] √(dx^2 + dy^2)
这个公式可以用来计算曲线上定义良好的弧长。
通过选取适当的参数化方程，我们可以将复杂的曲线分为多个小段，然后利用数值方法或者解析法来计算每个小段的弧长，并将它们相加得到整个曲线的弧长。
总而言之，曲线弧长的积分公式是一个重要的工具，用于计算曲线上任意两点之间的弧长。
它在几何、计算机图形学、物理学等领域都有着广泛的应用。
《微积分》第八节 平面曲线的弧长
小结
平面曲线弧长的概念
弧微分的概念
直角坐标系下
求弧长的公式
参数方程情形下
极坐标系下
思考题
闭区间[a, b]上的连续曲线 y f ( x)
是否一定可求长？
思考题解答
不一定．仅仅有曲线连续还不够，必须保证 曲线光滑才可求长．
作业
P236习题3_8 1(单)，2(2)，3，4(2)， 5，7(1、4)，8，10(单)
三、平面曲线的弧长
直角坐标情形
设曲线弧为 y f ( x) y (a x b)，其中 f ( x)
在[a, b]上有一阶连续导数
取积分变量为x ，在[a, b]
dy
上任取小区间[ x, x dx]，
o a x x dx b x
以对应小切线段的长代替小弧段的长
小切线段的长 (dx)2 (dy)2 1 y2dx
曲线弧为 ( ) ( )
其中 ( ) 在[ , ]上具有连续导数.
x y
( (
)cos )sin
( )
dx [()cos ()sin]d,
dy [()sin ()cos]d,
ds (dx)2 (dy)2 2( ) 2( )d,
弧长
s
2( ) 2( )d .
例5
求极坐标系下曲线r
a
sin
3
3
的长.
(a 0) (0 3)
解
r
3a
sin
3
2
cos
3
1 3
a sin
2
cos
,
3 3
s
r 2( ) r2( )d
3 0
a2
sin
3
史上最详细的平面曲线的弧长公式计算(微积分)
1 r 3a sin cos a sin cos 3 3 3 3 3
2
10
2
7.4 平面曲线的弧长
例 求阿基米德螺线 r a (a 0)上相应于
从 0到2 π的弧长.
解
o
2π
2πa
x
s
r 2 ( ) r 2 ( )d
a a d a 0
2 2 2
2π
0
2 1d
a [2 π 1 4 π 2 ln( 2 π 1 4 π 2 )]. 2
x x a dx 2
2 2
a x a ln | x x 2 a 2 | C 2
2 2
11
2
7.4 平面曲线的弧长
s
r 2 ( ) r 2 ( )d
3
解 s
r 2 ( ) r 2 ( )d
6 4 2 2
2 a sin a sin cos d 0 3 3 3 2 3π 3 a sin d πa . 0 2 3
s1 2
s2 2
π
π
0
2 2 2 1 a cos xdx 1 y dx 0
2
π
设椭圆的周长为s2
2
0 π
2 2 2 ( x) ( y) dt 20 (sin t ) (1 a )(cos t ) dt
2
2
π
2
0 π
1 a cos tdt
2 2
0
1 a cos xdx s1 .
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2
二、直角坐标情形
设曲线弧为y = f (x) y
y f (x)
(a x b), 其中f (x)在
[a, b]上有一阶连续导数.
dy
dx
现在计算这曲线弧的长度.
取积分变量为x, 在[a, b]上 o a x x dx b x
任取小区[间x, x dx], 以对应小切线段的长代替小
弧段的长,小切线段的长为:
2
a
计算介于x b与x b 之间一段弧长度.
解 y ach x , y sh x
y
a
a
a
1 ( y)2
1 sh x 2 a
ch x a
b O
bx
所求弧长为
s
bx ch dx 2
b
ch
xdx
2ash
x
b
2ash
b
.
b a
0a
a0
a
欧姆龙贸易（上海）有限公司
4
x
s b 1 y2 dx a
(
)
为参数的 参数方程
弧长元素为ds (dx)2 (dy)2 r2( ) r2( )d
弧长 s r 2( ) r2( )d . 欧姆龙贸易（上海）有限公司
9
s r 2( ) r2( )d
例
求极坐标系下曲线r
a
sin
3
的长.
3
(a 0) (0 3π)
解 s r 2( ) r2( )d
(0 t
2π)
对称性
y
s 4s1 第一象限部分的弧长
π
4 2 ( x)2 ( y)2 dt 0 π
a
aa
O
x
a
4 2 3a sin t cos tdt 0
6a.
欧姆龙贸易（上海）有限公司
7
例 证明正弦线y asin x (0 x 2π) 的弧长
等于椭圆
x y
cos t 1
a2
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12
思考题
闭区间[a, b]上的连续曲线 y = f (x)是否
一定可求长?
解答
不一定. 仅仅有曲线连续还不够, 必须保证曲线光滑才可求长.
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13
7.4 平面曲线的弧长
弧长的概念 直角坐标情形 参数方程情形 极坐标情形
小结 思考题 作业
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一、平面曲线弧长的概念
设A、B是曲线y
Mi
•
弧上的两个端点,在
M2• M1•
弧上插入分点A M0 ,
M1,, Mi , , Mn1,
•
A M0
• Mn1
•
B Mn
Mn B, 依次用弦将 O
0 2
2
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5
三、参数方程情形
曲线弧为
x y
(t), (t)
(
t
)
其中(t), (t) 在[a, b]上具有连续导数.
现在计算这曲线弧的长度.
取参数t为积分变量, 其变化区间为[ , ].
对应[于, ] 上任一小区间[t,t dt] 的小弧段的
长度的近似值, 即弧长元素为
2πa
o
x
2π
2π
a2 2 a2d a
2 1d
0
0
a [2π 1 4π2 ln( 2π 1 4π2 )]. 2
x2 a2dx x x2 a2 a2 ln | x
2
2
欧姆龙贸易（上海）有限公司源自x2 a2 | C11
四、小结
平面曲线弧长的概念
求弧长的公式
直角坐标系下 参数方程情形下 极坐标系下
0
π
2
1 a2 cos2 xdx s1.
0
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8
四、极坐标情形
曲线弧为r r( ) ( )
其中r( )在[ , ]上 具有连续导数. 现在计算这曲线弧的长度. 由直角坐标与极坐标的关系：
x
y
r cos r sin
x y
r( r(
) cos ) s in
3π 0
a2
sin
3
6
a2
sin
3
4
cos
3
2
d
a 3π sin 2d 3 πa.
0 3
2
r
3a
sin
3
2
cos
3
1 3
a sin
2
3
cos
3
欧姆龙贸易（上海）有限公司
10
例 求阿基米德螺线r a (a 0)上相应于
从0到2π的弧长.
解
s r 2( ) r2( )d
(dx)2 (dy)2 1 y2dx
弧长元素ds 1 y2 dx, 弧长s b 1 y2 dx.
欧姆(弧龙贸微易（分上)海）有限公司
a
3
(chx) shx chxdx shx C s b 1 y2dx a
例 悬链线方程y a (ex a e x a ) ach x
x
相邻两点联结起来, 得到一条内接折线. 记每条弦
的长度为| Mi1Mi
|,
i
1,2,, n, 令
max
1in
|
M i 1 M i
|
.
如果当分点无限增加且, 0时, 折线长度的极限
n
lim
0
|
i 1
M i 1 M i
|
存在,
则称此极限为曲线弧 AB的
欧姆弧龙贸长易(（长上度海）).有限光公司滑曲线弧是可求长.
ds (dx)2 (dy)2 2(t) 2(t)dt
弧长 s 2(t) 2(t)dt.
欧姆龙贸易（上海）有限公司
6
s 2(t ) 2(t )dt
例 求星形线x2 3 y2 3 a2 3(a 0) 的全长.
x a cos3 t
解
星形线的参数方程为
y
a
sin
3
t
例 计算曲线y nn sin d 0
的弧(长0 x nπ).
解 y n sin x 1 sin x ,
nn
n
s nπ 0
1
sin
x n
dx
nx0π
dx
n0πt
ndt
π
0
1 sint ndt
π
n 0
sin
t 2
2
cos
t 2
2
2
sin
t 2
cos
t 2
dt
n π sin t cos t dt 4n.
sin t
(0
t
2π)
的周长.
证设正弦线的弧长等于s1 对称性
π
s1 2 0
1 y2dx 2 π 0
1 a2 cos2 xdx
设椭圆的周长为s2
π
s2 2 0
( x)2 ( y)2dt 2 π 0
(sin t)2 (1 a2 )(cost)2dt
π
2
1 a2 cos2 tdt