2015山西特岗教师招聘考试备考之数学知识点数列(一)
山西教师资格笔试之数列的实际应用
山西教师资格笔试之数列的实际应用
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数列的实际应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首先应当提高阅读理解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推理予以解决。
疑难误区警示
1.应用错位相减法求和时，注意项的对应.
2.正确区分等差与等比数列模型，正确区分实际问题中的量是通项还是前n项和.
方法规律总结
用数列知识解相关的实际问题，关键是合理建立数学模型——数列模型，弄清所构造的数列的首项是什么，项数是多少，然后转化为解数列问题.求解时，要明确目标，即搞清是求和，还是求通项，还是解递推关系问题，所求结论对应的是一个解方程问题，还是解不等式问题，还是一个最值问题，然后进行合理推算，得出实际问题的结果.
例一：某城市2013年末汽车拥有量为30万辆，预计此后每年将上一年末汽车拥有量的6%报废，并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境，要求该城市汽车拥有量不超过60万辆.从2013年末起，
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职测数列知识点归纳总结
职测数列知识点归纳总结数列作为数学中重要的概念之一，是职业测评中常见的题型。
了解数列的相关知识点，对于应对职测中的数理逻辑题目有着重要的意义。
在本文中，将对数列的定义、常见的数列类型以及相关的性质进行归纳总结，以帮助读者更好地掌握数列知识。
一、数列的定义数列是按照一定的规律，将一组有序的数排列起来而形成的序列。
数列通常用字母表示，常见的表示方法有an、bn、cn等，其中n表示数列中的位置。
一个数列可以由其通项公式来表示，即表示第n项数与n的关系，例如an = 2n + 1。
二、常见的数列类型1.等差数列等差数列是指数列中每一项与它的前一项之差都相等的数列。
等差数列通常用字母a表示首项，d表示公差，其通项公式为an = a + (n-1)d。
例如，1，3，5，7，9就是一个公差为2的等差数列。
2.等比数列等比数列是指数列中每一项与它的前一项的比值都相等的数列。
等比数列通常用字母a表示首项，r表示公比，其通项公式为an = ar^(n-1)。
例如，1，2，4，8，16就是一个公比为2的等比数列。
3.斐波那契数列斐波那契数列是指数列中每一项是其前两项的和的数列。
斐波那契数列的前两项通常为1，1，其后每一项都是前两项的和。
例如，1，1，2，3，5，8就是一个斐波那契数列。
三、数列的性质1.求和公式对于等差数列，其前n项和可以通过求和公式来计算，即Sn = (a + an) * n / 2，其中Sn表示前n项和，a表示首项，an表示末项，n表示项数。
对于等比数列，其前n项和可以通过求和公式来计算，即Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)，其中Sn表示前n项和，a表示首项，r表示公比，n表示项数。
2.通项求解对于已知数列的首项和公差（公比），可以通过通项公式来计算数列中任意一项的值。
对于等差数列，通项公式为an = a + (n-1)d；对于等比数列，通项公式为an = ar^(n-1)。
数列知识点总结经典文库
数列知识点总结经典文库一、数列的概念数列是按照一定规律排列的一组数的集合，其中每一个数都有其特定的位置。
数列一般用字母 an 表示，其中 n 是数列中的自然数索引。
数列包括有限数列和无限数列两种类型。
1.1 有限数列有限数列是指数列只包含有限项的数列，其中项数有限。
有限数列的通项公式可以表示为an=a1+(n-1)d，其中a1是数列的首项，d是公差，n是项数。
例如，1, 3, 5, 7, 9就是一个有限数列，它的首项是1，公差是2，项数是5。
1.2 无限数列无限数列是指数列包含无限项的数列，其中项数无限。
无限数列通常会有一个递推的特征，可以用极限的概念进行分析。
例如，1, 2, 3, 4, 5,…就是一个无限数列，它的递推公式是an=n，项数无限。
二、等差数列等差数列是指数列中相邻两项的差都相等的数列。
等差数列的通项公式可以用an=a1+(n-1)d来表示，其中a1是数列的首项，d是公差，n是项数。
等差数列的性质包括：1. 首项a1、末项an和项数n的关系：an=a1+(n-1)d2. 等差数列的和公式：Sn=n/2*(a1+an)=n/2*(2a1+(n-1)d)3. n个连续数的平均数等于它们的中项：(a1+an)/2等差数列在数学中有着广泛的应用，包括金融领域的等额本息贷款计算、物理中匀速直线运动的位移等问题等。
三、等比数列等比数列是指数列中相邻两项的比都相等的数列。
等比数列的通项公式可以用an=a1*q^(n-1)来表示，其中a1是数列的首项，q是公比，n是项数。
等比数列的性质包括：1. 首项a1、末项an和项数n的关系：an=a1*q^(n-1)2. 等比数列的和公式：Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)3. 等比数列的无穷和公式：当|q|<1时，Sn=a1/(1-q)等比数列在数学中也有着广泛的应用，包括人口增长、细菌数量增长等指数增长的问题。
四、级数级数是指数列各项的和，通常用Sn来表示。
强烈推荐--数列知识点、公式总结
数列知识点、公式总结一、数列的概念 1、数列的概念：一般地，按一定次序排列成一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的一般形式可以写成123,,,,,n a a a a L L，简记为数列{}n a ，其中第一项1a 也成为首项；na 是数列的第n 项，也叫做数列的通项.数列可看作是定义域为正整数集N *（或它的子集）的函数，当自变量从小到大取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列.2、数列的分类：按数列中项的多数分为：（1） 有穷数列：数列中的项为有限个，即项数有限； （2） 无穷数列：数列中的项为无限个，即项数无限.3、通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 之间的函数关系可以用一个式子表示成()n a f n =，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.4、数列的函数特征：一般地，一个数列{}n a ，如果从第二项起，每一项都大于它前面的一项，即1n n a a +>，那么这个数列叫做递增数列;如果从第二项起，每一项都小于它前面的一项，即1n n a a +<，那么这个数列叫做递减数列;如果数列{}n a 的各项都相等，那么这个数列叫做常数列.5、递推公式：某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式．二、等差数列 1、等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列久叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.即1n n a a d +-=（常数），这也是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据.2、等差数列的通项公式：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则通项公式为：()()()11,n m a a n d a n m d n m N +=+-=+-∈、.3、等差中项：（1）若a A b 、、成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且=2a bA +; （2）若数列{}n a 为等差数列，则12,,n n n a a a ++成等差数列，即1n a +是n a 与2n a +的等差中项，且21=2n n n a a a +++；反之若数列{}n a 满足21=2n n n a a a +++，则数列{}n a 是等差数列.4、等差数列的性质： （1）等差数列{}n a 中，若(),m n p q m n p q N ++=+∈、、、则m n p q a a a a +=+，若2m n p +=，则2m n p a a a +=；（2）若数列{}n a 和{}n b 均为等差数列，则数列{}n n a b ±也为等差数列；（3）等差数列{}n a 的公差为d ，则{}0n d a >⇔为递增数列，{}0n d a <⇔为递减数列，{}0n d a =⇔为常数列.5、等差数列的前n 项和n S ：（1）数列{}n a 的前n 项和n S =()1231,n n a a a a a n N -++++++∈L；（2）数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系：11,1.,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（3）设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，则前n 项和()()111=.22n n n a a n n S na d +-=+6、等差数列前n 和的性质：（1）等差数列{}n a 中，连续m 项的和仍组成等差数列，即12122,,m m m m a a a a a a ++++++++L L21223m m m a a a +++++L ,仍为等差数列（即232,,,m m m m m S S S S S --L成等差数列）；（2）等差数列{}n a 的前n 项和()2111==,222n n n d d S na d n a n -⎛⎫++- ⎪⎝⎭当0d ≠时，n S 可看作关于n 的二次函数，且不含常数项；（3）若等差数列{}n a 共有2n+1（奇数）项，则()11==,n S n S S a S n++-奇奇偶偶中间项且若等差数列{}n a 共有2n （偶数）项，则1==.n nS a S S nd S a +-偶奇偶奇且7、等差数列前n 项和n S 的最值问题： 设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，则（1）100a d ><且（即首正递减）时，n S 有最大值且n S 的最大值为所有非负数项之和；（2）100a d <>且（即首负递增）时，n S 有最小值且n S 的最小值为所有非正数项之和.三、等比数列 1、等比数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比是同一个不为零的常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示（0q ≠）. 即()1n na q q a +=为非零常数，这也是证明或判断一个数列是否为等比数列的依据.2、等比数列的通项公式：设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则通项公式为：()11,,n n m n m a a q a q n m n m N --+==≥∈、.3、等比中项：（1）若a A b 、、成等比数列，则A 叫做a 与b 的等比中项，且2=A ab ;（2）若数列{}n a 为等比数列，则12,,n n n a a a ++成等比数列，即1n a +是n a 与2n a +的等比中项，且212=n n n a a a ++⋅；反之若数列{}n a 满足212=n n n a a a ++⋅，则数列{}n a 是等比数列.4、等比数列的性质： （1）等比数列{}n a 中，若(),m n p q m n p q N ++=+∈、、、则m n p q a a a a ⋅=⋅，若2m n p +=，则2m n p a a a ⋅=；（2）若数列{}n a 和{}n b 均为等比数列，则数列{}n n a b ⋅也为等比数列；（3）等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则{}1100101n a a a q q ><⎧⎧⇔⎨⎨><<⎩⎩或为递增数列，{}1100011n a a a q q ><⎧⎧⇔⎨⎨<<>⎩⎩或为递减数列，{}1n q a =⇔为常数列.5、等比数列的前n 项和：（1）数列{}n a 的前n 项和n S =()1231,n n a a a a a n N -++++++∈L；（2）数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系：11,1.,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（3）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为()0q q ≠，则()11,1.1,11n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩由等比数列的通项公式及前n 项和公式可知，已知1,,,,n n a q n a S 中任意三个，便可建立方程组求出另外两个.6、等比数列的前n 项和性质：设等比数列{}n a 中，首项为1a ，公比为()0q q ≠，则（1）连续m 项的和仍组成等比数列，即12122,,m m m m a a a a a a ++++++++L L 21223m m ma a a +++++L ,仍为等比数列（即232,,,m m m m m S S S S S --L 成等差数列）； （2）当1q ≠时，()()11111111111111n n n n n a q a a a a aS q q q qq q q q q -==⋅-=-⋅=⋅-------， 设11a t q =-，则n n S tq t =-.四、递推数列求通项的方法总结 1、递推数列的概念：一般地，把数列的若干连续项之间的关系叫做递推关系，把表达递推关系的式子叫做递推公式，而把由递推公式和初始条件给出的数列叫做递推数列. 2、两个恒等式： 对于任意的数列{}n a 恒有：（1）()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-L （2）()23411231,0,nn n n a a a a a a a n N a a a a +-=⨯⨯⨯⨯⨯≠∈L3、递推数列的类型以及求通项方法总结： 类型一（公式法）：已知n S （即12()n a a a f n +++=L ）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n nn S n a S S n -==-≥ 类型二（累加法）：已知：数列{}n a 的首项1a ,且()()1,n n a a f n n N ++-=∈，求n a 通项.给递推公式()()1,n n a a f n n N ++-=∈中的n 依次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1个式子：()()()()21324311,2,3,,1.n n a a f a a f a a f a a f n --=-=-=-=-L利用公式()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-L 可得：()()()()11231.n a a f f f f n =+++++-L类型三（累乘法）：已知：数列{}n a 的首项1a ,且()()1,n na f n n N a ++=∈，求n a 通项.给递推公式()()1,n na f n n N a ++=∈中的n 一次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1个式子：()()()()23412311,2,3,,1.n n a a a af f f f n a a a a -====-L 利用公式()23411231,0,n n n n a a a aa a a n N a a a a +-=⨯⨯⨯⨯⨯≠∈L 可得：()()()()11231.n a a f f f f n =⨯⨯⨯⨯⨯-L类型四（构造法）：形如q pa a n n +=+1、n n n q pa a +=+1（q p b k ,,,为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后，再求n a 。
教师招考小学数学数列知识点整理
第8章 数列1、数列的概念：（B 级理解）数列的一般形式可以写成123,,,,,n a a a a ，简记为{}n a .数列的同项公式与前n 项的和的关系（B 级理解）11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++ ). 数列的递推公式（C 级了解）：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1-n a （或前n 项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.如：数列3，5，8，13，21，34，55，89的递推公式为：)83(,5,32121≤≤+===--n a a a a a n n n2、等差数列的定义与性质定义（B 级理解）：1n n a a d +-=（d 为常数），公式（A 级掌握）:通项公式()11n a a n d =+-前n 项和()()11122n n a a n n n S na d +-==+ 等差数列前n 项和的最值问题：例1、数列{}n a 是等差数列，150,0.6a d ==-. （1）从第几项开始有0n a <；（2）求此数列的前n 项和的最大值.结论：等差数列前项和的最值问题有两种方法：（1）当n a >0，d<0，前n 项和有最大值可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值；当n a <0，d>0，前n 项和有最小值可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值.（2）由n )2d a (n 2d S 12n -+=利用二次函数配方法求得最值时n 的值. 3、等比数列： 定义（B 级理解）：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即： ｛n a ｝成等比数列⇔n n a a 1+=q （n N*∈,q ≠0）注意：等比数列的定义隐含了任一项00≠≠q a n 且公式 （A 级掌握）等比数列的通项公式1:)0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n等比数列的通项公式2: 1(0)n m n m a a q a q -=⋅⋅≠等比数列的前n 项和公式 S n =qq a --1)1(n 1 等比数列的性质：若m+n=p+q ，则q p n m a a a a = 判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法 求数列通项公式的常用方法（1）求差（商）法如：数列{}n a ，12211125222n n a a a n +++=+……，求n a 解 1n =时，112152a =⨯+，∴114a = ① 2n ≥时，12121111215222n n a a a n --+++=-+…… ② ①—②得：122n n a =，∴12n n a +=，∴114(1)2(2)n n n a n +=⎧=⎨≥⎩ ［练习］数列{}n a 满足111543n n n S S a a +++==，，求n a 注意到11n n n a S S ++=-，代入得14n n S S +=；又14S =，∴{}n S 是等比数列，4n n S = 2n ≥时，1134n n n n a S S --=-==……·（2）叠乘法如：数列{}n a 中，1131n n an a a n +==+，，求n a 解 3212112123n n a a a n a a a n --=·……·……，∴11n a a n=又13a =，∴3n a n =. （3）等差型递推公式由110()n n a a f n a a --==，，求n a ，用迭加法2n ≥时，21321(2)(3)()n n a a f a a f a a f n --=⎫⎪-=⎪⎬⎪⎪-=⎭…………两边相加得1(2)(3)()n a a f f f n -=+++…… ∴0(2)(3)()n a a f f f n =++++……［练习］数列{}n a 中，()111132n n n a a a n --==+≥，，求n a （()1312n n a =-）（4）等比型递推公式 1n n a ca d -=+（c d 、为常数，010c c d ≠≠≠，，） 可转化为等比数列，设()()111n n n n a x c a x a ca c x --+=+⇒=+- 令(1)c x d -=，∴1d x c =-，∴1n d a c ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是首项为11d a c c +-，为公比的等比数列 ∴1111n n d d a a c c c -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭·，∴1111n n d d a a c c c -⎛⎫=+- ⎪--⎝⎭（5）倒数法 如：11212n n n a a a a +==+，，求n a 由已知得：1211122n n n n a a a a ++==+，∴11112n n a a +-= ∴1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，111a =，公差为12，∴()()11111122n n n a =+-=+·， ∴21n a n =+ 例4、等差数列{a n }中，前m 项的和为77（m 为奇数），其中偶数项的和为33，且a 1-a m =18求这个数列的通项公式。
《数列》知识点归纳
《数列》知识点归纳一、数列：（1）一般形式：n a a a ,,,21⋯ (2)通项公式：)(n f a n =(3)前n 项和：12n n S a a a =++⋯及数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系：1121(1)(2)n n n n n Sn S a a a a S S n -=⎧=++⋯⇔=⎨-≥⎩ 二、等差数列： 1等差数列的定义:①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示 2等差数列的判定方法:②定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列③等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列3等差数列的通项公式:④如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为d n a a n )1(1-+=该公式整理后是关于n 的一次函数 4等差数列的前n 项和:⑤2)(1n n a a n S += ⑥d n n na S n 2)1(1-+=对于公式2整理后是关于n 的没有常数项的二次函数 5等差中项:⑦如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项即：2ba A +=或b a A +=2 在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项 5等差数列的性质:⑧等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有d m n a a m n )(-+= ⑨对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则p m n a a a a +=+也就是： =+=+=+--23121n n n a a a a a a⑩若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，kk S S 23-成等差数列如下图所示：kkk k k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++ 6奇数项和与偶数项和的关系：⑾设数列{}n a 是等差数列，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项项的和，n S 是前n 项的和，则有如下性质：前n 项的和偶奇S S S n +=当n 为偶数时，d 2nS =-奇偶S ，其中d 为公差； 当n 为奇数时，则中偶奇a S =-S ，中奇a 21n S +=，中偶a 21n S -=，11S S -+=n n 偶奇，n =-+=-偶奇偶奇偶奇S S S S S S S n（其中中a 是等差数列的中间一项）7前n 项和与通项的关系：⑿若等差数列{}n a 的前12-n 项的和为12-n S ，等差数列{}n b 的前12-n 项的和为'12-n S ，则'1212--=n n n n b a三、等比数列1．等比数列的概念：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比常用字母q 表示（0≠q ）2．等比中项：如果在a 与b 之间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项 也就是，如果是的等比中项，那么Gb a G =，即ab G =23．等比数列的判定方法：①定义法：对于数列{}n a ，若)0(1≠=+q q a a nn ，则数列{}n a 是等比数列②等比中项：对于数列{}n a ，若212++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等比数列 4．等比数列的通项公式：如果等比数列{}n a 的首项是1a ，公比是q ，则等比数列的通项为11-=n n q a a 或n m n m a a q -=5．等比数列的前n 项和：○1)1(1)1(1≠--=q qq a S n n ○2)1(11≠--=q q q a a S n n ○3当1=q 时，1na S n =当1q ≠时，前n 项和必须．．具备形式(1),(n n S A q A =-≠ 6．等比数列的性质：①等比数列任意两项间的关系：如果n a 是等比数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公比为q ，则有m n m n q a a -=② 对于等比数列{}n a ，若v u m n +=+，则v u m n a a a a ⋅=⋅也就是： =⋅=⋅=⋅--23121n n n a a a a a a 如图所示：nn a a n a a n n a a a a a a ⋅⋅---112,,,,,,12321③若数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么只有当公比1q =-且k 为偶数时,k S ，k k S S -2，k k S S 23-不成等比数列如下图所示：kkk kk S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++ 四、等差数列与等比数列的性质及其应用 1一般数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系：a n =⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n2等差数列的通项公式：a n =a 1+(n-1)d a n =a m +(n--m )d (其中a 1为首项、a m 为已知的第m 项) 当d ≠0时，a n 是关于n 的一次式；当d=0时，a n 是一个常数3等差数列的前n 项和公式：S n =d n n na 2)1(1-+S n =2)(1n a a n + 当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0；当d=0时（a 1≠0），S n =na 1是关于n 的正比例式4等差数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系：a n =1212--n S n 5等差中项公式：A=2ba + （有唯一的值） 6等比数列的通项公式:a n = a 1 q n-1 a n = a m q n --m(其中a 1为首项、a m 为已知的第m 项，a n ≠0)7等比数列的前n 项和公式：当q=1时，S n =n a 1 (是关于n 的正比例式)；当q≠1时，S n =qq a n --1)1(1 S n =q q a a n --118等比中项公式：G=ab ± （ab>0，有两个值）9等差数列{a n }的任意连续m 项的和构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m - S 3m 、……仍为等差数列10等差数列{a n }中，若m+n=p+q ，则q p n m a a a a +=+11等比数列{a n }中，若m+n=p+q ，则q p n m a a a a ∙=∙12等比数列{a n }的任意连续m 项的和构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m - S 3m 、……仍为等比数列（当m 为偶数且公比为-1的情况除外）13两个等差数列{a n }与{b n }的和差的数列{a n+b n }、{a n -b n }仍为等差数列14两个等比数列{a n }与{b n }的积、商、倒数的数列{a n ∙b n }、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1仍为等比数列15等差数列{a n }的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列 16等比数列{a n }的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列17三个数成等差的设法：a-d,a,a+d ；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d18三个数成等比的设法：a/q,a,aq ；四个数成等比的错误设法：a/q 3,a/q,aq,aq 3 (因为其公比为2q >0,对于公比为负的情况不能包括) 19{a n }为等差数列，则{}na c(c>0)是等比数列20{b n }（b n >0）是等比数列，则{log c b n } (c>0且c ≠1) 是等差数列五、数列的通项求法1、公式法：①d n a a n )1(1-+=或d m n a a m n )(-+=；②11-=n n q a a 或n mn m a a q-=2、观察法：1137153121,,,,...4816322n n n a ++-=3、裂项相消法：)11(1))((1CAn B An B C C An B An a n +-+-=++=4、利用n nS a 与的关系求（定义法）：⎩⎨⎧≥-==→-)2(,)1(,11n S S n a a S n n n n 5、逐差求和法：1(),(2)n n a a f n n --=≥若，)2(12f a a =-则 ， )3(23f a a =-，………， )(1n f a a n n =--1(2)(3)()n a a f f f n ⇒-=++⋯ 6、逐商求积法：)(1n g a a n n =-若，)2(12g a a =则，)3(23g a a =，………，)(1n g a a n n =-1(2)()n ag g n a ⇒=⋯7、构造等差、等比数列法：11();()1n n n n qp q x p x x pa a a a ++=+⇒-=-=- 11111111}1,1,{}21122,21221{}.211(),2()222n n nn n n n n n n n n a a a a a a a a b b a a a +++--==+-==-==-=-∴∴=--==-+1n n 1n n n 例：在数列{中，求数列的通项.解：（-2） 令 则是以-1为首项，为公比的等比数列由知 b b b b b111{}1133)323233)()323nn n n n n n n nn n a a a a a a a a a a a a a a a -=∙+⇒=∙+⇒-=-∴--=-∙⇒=-n+1n+1n+1n+1n+1n n+1n+1n+1n n+1n 1n 1511例2.已知=,=+(),求数列的通项.63212解：22223322(232{2}是以公比为，首项为（2-3）的等比数列.32(2六、数列求和的方法高考要求等差数列与等比数列的有限项求和总是有公式可求的，其它的数列的求和不总是可求的，但某些特殊数列的求和可采用分部求和法转化为等差数列或等比数列的和或用裂项求和法、错位相减法、逆序相加法、组合化归法，递推法 知识点归纳1等差数列的前n 项和公式法：S n =d n n na 2)1(1-+S n =2)(1n a a n + S n =d n n na n 2)1(-- 当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0；当d=0时（a 1≠0），S n =na 1是关于n 的正比例式 2等比数列的前n 项和公式法：当q=1时，S n =n a 1 (是关于n 的正比例式)；当q≠1时，S n =qq a n --1)1(1 S n =q q a a n --113拆项法求数列的和，如a n =2n+3n4错位相减法求和，如a n =(2n-1)2n（非常数列的等差数列与等比数列的积的形式）5裂项法求和：将数列的通项分成两个式子的代数和，即a n =f (n +1)－f (n )，然后累加时抵消中间的许多项 应掌握以下常见的裂项等)!1(1!1)!1(1,C C C ,ctg2ctg 2sin 1,!)!1(!,111)1(111+-=+-=-=-+=⋅+-=++-n n n ααn n n n n n n n rn r n n nα6倒序相加法求和，如a n =nnC 1007求数列{a n }的最大、最小项的方法：①a n+1-a n =……⎪⎩⎪⎨⎧<=>000 如a n = -2n 2+29n-3 ②⎪⎩⎪⎨⎧<=>=+1111 n n a a (a n >0) 如a n =n n n 10)1(9+ ③a n =f(n) 研究函数f(n)的增减性 如a n 1562+n n8等比、等差数列和的形式：{}Bn An S B An a a n n n +=⇔+=⇔2成等差数列 {}(1)(0)n n n a S A q A ≠⇔=-≠(q 1)成等比数列9无穷递缩等比数列的所有项和：{}1lim 1n n n a a S S q→∞⇔==-(|q|<1)成等比数列题型讲解例1 （分情况讨论）求和：)(*122221N n b ab b a b a b a a S n n n n n n n ∈++++++=---- 解：①当a=0或b=0时，)(n n n a b S = ②当a=b 时，n n a n S )1(+=；③当a ≠b 时，ba ba S n n n --=++11例2（分部求和法）已知等差数列{}n a 的首项为1，前10项的和为145，求.242n a a a +++ 解：首先由3145291010110=⇒=⨯⨯+=d da S 则12(1)32322n n na a n d n a =+-=-⇒=⋅-22423(222)2n na a a n ∴+++=+++-12(12)32322612n n n n +-=-=⋅--- 例3（分部求和法）求数列1，3＋13，32＋132，……，3n ＋13n 的各项的和 解：其和为：(1＋3＋ (3))＋(13132+＋……＋13n )=3121321n n +--+-=12(3n ＋1-3-n)例4（裂项求和法）)(,32114321132112111*N n n∈+++++++++++++++ 解：)1(2211+=+⋯++=k k k a k ，])1n (n 1321211[2S n ++⋯+⋅+⋅=∴ 1211121113121211[2+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⋯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n n n 例5（裂项求和法）已知数列{}n a 为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，求和：∑=+ni i i a a 111解：首先考虑=∑=+ni i i a a 111∑=+-n i i i a a d 11)11(1 则∑=+ni i i a a 111=1111)11(1++=-n n a a n a a d 点评：已知数列{}n a 为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，下列求和11nni i ===也可用裂项求和法例6（错位相减法）设a 为常数，求数列a ，2a 2，3a 3，…，na n ，…的前n 项和 解：①若a=0时，S n =0②若a=1，则S n =1+2+3+…+n=)1n (n 21- ③若a ≠1，a ≠0时，S n -aS n =a （1+a+…+a n-1-na n ），S n =]na a )1n (1[)a 1(a 1n n 2+++-- 例7（错位相减法）已知1,0≠>a a ，数列{}n a 是首项为a ，公比也为a 的等比数列，令)(lg N n a a b n n n ∈⋅=，求数列{}n b 的前n 项和n S解：,lg n n n n a a b n a a ==⋅232341(23)lg (23)lg n n n n S a a a na a aS a a a naa +∴=++++=++++……①……②①-②得：a na a a a S a n n n lg )()1(12+-+++=-[]nn a na n a a a S )1(1)1(lg 2-+--=∴ 点评：设数列{}n a 的等比数列，数列{}n b 是等差数列，则数列{}n n b a 的前n 项和n S 求解，均可用错位相减法例8（组合化归法）求和：)12)(1(532321++++⋅⋅+⋅⋅=n n n S n解：)1(3)2)(1(2)342)(1(+-++=-++=n n n n n n n n a n而连续自然数可表示为组合数的形式，于是，数列的求和便转化为组合数的 求和问题了213221326122)1(,6)2)(1(++++-=∴=+=++n n n n n C C a C n n C n n n )(6)(12212322323433+++++-+++=∴n n n C C C C C C S3243212333323444612)(6)(12++++-=+++-+++=n n n n CCC C C C C C12(3)(2)(1)6(2)(1)4!3!n n n n n n n nS +++++∴=-2(3)(2)(1)(2)(1)21(1)(2)2n n n nn n nn n n +++=-++=++ 点评：可转化为连续自然数乘积的数列求和问题，均可考虑组合化归法当然本题也可以将通项(1)(243)n a n n n =++-展开为n 的多项式，再用分部求和法例9（逆序相加法）设数列{}n a 是公差为d ，且首项为d a =0的等差数列，求和：nnn n n n C a C a C a S +++=+ 11001 解：因为nnn n n n C a C a C a S +++=+ 11001 00111n n n n n n n n C a C a C a S +++=--+ nn n n n n C a C a C a 0110+++=- 01101102()()()nn n n n n n nS a a C a a C a a C +-∴=++++++ 0100()()()2nn n n n n n a a C C C a a =++++=+ 110()2n n n S a a -+∴=+⋅点评：此类问题还可变换为探索题形：已知数列{}n a 的前n 项和n S 12)1(+-=nn ，是否存在等差数列{}n b 使得n n n n n n C b C b C b a +++= 2211对一切自然数n 都成立例10（递推法）已知数列{}n a 的前n 项和n S 与n a 满足：21,,-n n n S S a )2(≥n 成等比数列，且11=a ，求数列{}n a 的前n 项和n S 解：由题意：21(),2n n n S a S =-1n n n a S S -=-11111112(1)221.21n n n n n n S S S S S n -∴-=⇒=+-=-∴=- 点评：本题的常规方法是先求通项公式，然后求和，但逆向思维，直接求出数列{}n a 的前n 项和n S 的递推公式，是一种最佳解法小结：1等价转换思想是解决数列问题的基本思想方法,复杂的数列转化为等差、等比数列2 由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想,数学归纳法是这一思想的理论基础3错位相减”、“裂项相消”是数列求和最重要的方法。
数列知识点总结
数列知识点总结数列是高考试题中的重头戏，每年的全国及各地的考题中必有涉及. 从内容上看主要考查等差（比）数列的定义、通项、前n 项和公式、等差(比)数列的中项及数列的性质，占分值约17分. 因此学好数列这块知识显得尤为重要. 为了让学生更好地掌握数列，现将等差(比)数列的有关知识归纳总结如下. 1. 等差数列的定义与性质定义：1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+- 等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ⇔=+ 前n 项和()()11122n n a a n n n S nad +-==+性质：{}n a 是等差数列（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；（2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2；（3）若三个成等差数列，可设为a d a a d -+，， （4）若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则2121m m m m a S b T --= （5）{}n a 为等差数列2n S an bn ⇔=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数）n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界项，即：当100a d ><，，解不等式组100n n a a +≥⎧⎨≤⎩可得n S 达到最大值时的n 值.当100a d <>，，由100n n a a +≤⎧⎨≥⎩可得n S 达到最小值时的n 值.(6)项数为偶数n 2的等差数列{}n a ，有),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S Λ nd S S =-奇偶，1+=n na a S S 偶奇. （7）项数为奇数12-n 的等差数列{}n a ，有)()12(12为中间项n n n a a n S -=-，n a S S =-偶奇，1-=n n S S 偶奇. 2. 等比数列的定义与性质定义：1n na q a +=（q 为常数，0q ≠），11n n a a q -=.等比中项：x G y 、、成等比数列2G xy ⇒=，或G =前n 项和：()11(1)1(1)1n n na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩（要注意！）性质：{}n a 是等比数列（1）若m n p q +=+，则mn p q a a a a =·· （2）232n n n n n S S S S S --，，……仍为等比数列,公比为n q . 注意：由n S 求n a 时应注意什么？1n =时，11a S =； 2n ≥时，1n n n a S S -=-. 3．求数列通项公式的常用方法 （1）求差（商）法如：数列{}n a ，12211125222n n a a a n +++=+……，求n a解 1n =时，112152a =⨯+，∴114a = ①2n ≥时，12121111215222n n a a a n --+++=-+…… ②①—②得：122n n a =，∴12n n a +=，∴114(1)2(2)n n n a n +=⎧=⎨≥⎩［练习］数列{}n a 满足111543n n n S S a a +++==，，求n a注意到11n n n a S S ++=-，代入得14n nS S +=；又14S =，∴{}n S 是等比数列，4n n S = 2n ≥时，1134n n n n a S S --=-==……· （2）叠乘法如：数列{}n a 中，1131n n a na a n +==+，，求n a解3212112123n n a a a n a a a n --=·……·……，∴11n a a n =又13a =，∴3n a n =.（3）等差型递推公式由110()n n a a f n a a --==，，求n a ，用迭加法2n ≥时，21321(2)(3)()n n a a f a a f a a f n --=⎫⎪-=⎪⎬⎪⎪-=⎭…………两边相加得1(2)(3)()n a a f f f n -=+++……∴0(2)(3)()n a a f f f n =++++…… ［练习］数列{}n a 中，()111132n n n a a a n --==+≥，，求n a （()1312nn a =-）（4）等比型递推公式1n n a ca d -=+（c d 、为常数，010c c d ≠≠≠，，）可转化为等比数列，设()()111n n n n a x c a x a ca c x --+=+⇒=+- 令(1)c x d -=，∴1d x c =-，∴1n d a c ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是首项为11d a c c +-，为公比的等比数列 ∴1111n n d d a a c c c -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭·，∴1111n n d d a a c c c -⎛⎫=+- ⎪--⎝⎭ （5）倒数法如：11212nn n a a a a +==+，，求n a 由已知得：1211122n n n n a a a a ++==+，∴11112n n a a +-= ∴1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，111a =，公差为12，∴()()11111122n n n a =+-=+·， ∴21n a n =+ 4. 求数列前n 项和的常用方法(1) 裂项法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. 如：{}n a 是公差为d 的等差数列，求111nk k k a a =+∑解：由()()11111110k k k k k k d a a a a d d a a ++⎛⎫==-≠ ⎪+⎝⎭·∴11111223111*********nnk k k k k k n n a a d a a d a a a a a a ==+++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑…… 11111n d a a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭［练习］求和：111112123123n+++++++++++ (121)n n a S n ===-+…………， （2）错位相减法若{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，求数列{}n n a b （差比数列）前n 项和，可由n n S qS -，求n S ，其中q 为{}n b 的公比.如：2311234n n S x x x nx -=+++++……①()23412341n n n x S x x x x n x nx -=+++++-+·……②①—②()2111n n n x S x x x nx --=++++-……1x ≠时，()()2111nnnx nx S xx -=---，1x =时，()11232n n n S n +=++++=…… （3）倒序相加法把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.121121n n n n n n S a a a a S a a a a --=++++⎫⎬=++++⎭…………相加()()()12112n n n n S a a a a a a -=++++++……［练习］已知22()1x f x x =+，则 111(1)(2)(3)(4)234f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由2222222111()111111x x x f x f x x x x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭+=+=+= ⎪+++⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴原式11111(1)(2)(3)(4)111323422f f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++=+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦。
数列基本知识点总结
数列基本知识点总结
数列是数学表示方式的重要方式，它是一组有次序、有规律的数的集合，常用来表示
连续变化的量度，例如数的连续增减等。
数列的概念，被延伸到几何形体的研究，可以帮
助我们理解，一组相似的形状、量变化，如何通过一些规律和规律来连接。
常见的数列有等差数列、等比数列、斐波那契数列和椭圆数列等。
等差数列是指数列
中相邻项之差为一定值的数列，常用来表示连续增减变化的量度。
等比数列是指数列中相
邻项之比为一常数的序列，常用来表示连续指数增减变化的量度。
斐波那契数列是由1和
1开始的一组额数，每个数等于前两个数之和；椭圆数列是一组数按照椭圆形函数生成的
数列。
在计算机上，数列经常用于模拟真实世界中许多应用，常用数学函数可以求解一定范
围内的数列，以求解相关问题。
它也可以帮助分析大量数据，采取相应措施提高生产效率，降低成本。
总之，数列的研究可以帮助我们找到事物变化的规律，使我们可以以正确的方向和正
确的准备来应对未来的变化。
数列可以用来模拟物理现象，也可以用于计算机分析数据，
是应用数学的重要方面之一。
它对于各行各业都有着重要的意义，比如金融、经济、生态
学等等，都会用到数列分析。