广东省普宁二中2015届高考适应冲刺数学理试题 Word版含答案
广二模理数答案
A
M
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ed u. c
B
n/
ì ï-3 y + 3 z = 0, ï î3 3 x - 2 y = 0.
在△ ABA1 中， AM = AN = 1 ， AB = AA1 = 3 ， 所以
AM AN = ， AB AA1
所以 MN P BA1 ．…………………………………………………………………………………………4分 所以 MN P DE1 ． 所以 M ， N ， E1 ， D 四点共面．………………………………………………………………………6分
取 y = 3 3 ，则 x = 2 ， z = 3 3 ． 所以 n = 2,3 3,3 3 是平面 MNE1 D 的一个法向量．………………………………………………12分 设直线 BC 与平面 MNE1 D 所成的角为 q ，
(
)
=
2
æ 3 3ö 3 2´ç ÷+ 3 3´ +3 3´0 2 è 2 ø
F
(
)
ed u. c
B D1 C1 B1 D C
ht t
r uuu r æ 3 3 3 ö uuuu 则 BC = ç ， DE1 = ( 0, -3,3) ， , , 0 ÷ B ç 2 2 ÷ A M è ø x uuuu r DM = 3 3, -2, 0 ．……………………………………………………………………………………10分
教
第（1） （2）问均用向量法：
州
（1）证明：以点 E 为坐标原点， EA ， ED ， EE1 所在的直线 分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立如图的空间直角坐标系，
gu
an gz
F1 A1
广东省揭阳市普宁二中2015-2016学年高二下学期期中数学试卷(理科) Word版含解析
2015-2016学年广东省揭阳市普宁二中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．已知集合A={x|y=ln（x﹣1）}，集合B={x|x2﹣3x＞0}，则A∩（∁R B）=（）A．（1，3）B．（1，3]C．[0，+∞）D．[3，+∞）2．已知a是实数，是纯虚数，则a等于（）A．﹣2 B．1 C．D．23．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查为此将他们随机编号为1，2…960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落人区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷C的人数为（）A．15 B．10 C．9 D．74．已知是非零向量且满足（﹣2）⊥，（﹣2）⊥，则与的夹角是（）A．30°B．60°C．90°D．120°5．执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，4，则输出的M=（）A．B．C．D．6．若实数x，y满足不等式组：，则该约束条件所围成的平面区域的面积是（）A．B．2 C．2D．37．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲、乙必须相邻且不能排在第一位，节目丙必须排在首尾，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（）A．60种B．72种C．84种D．120种8．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，双曲线C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，|AB|=4，则双曲线C的实轴长为（）A．B．2C．4 D．49．已知x0=是函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的一个极大值点，则f（x）的一个单调递减区间是（）A．（，） B．（，） C．（，π）D．（，π）10．如图，设D是图中边长为4的正方形区域，E是D内函数y=x2图象下方的点构成的区域．在D内随机取一点，则该点在E中的概率为（）A．B．C．D．11．对于任意实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如：[﹣2.5]=﹣3，[1.5]=1，[5]=5，那么[log21]+[log22]+[log23]+…+[log21023]+[log21024]=（）A．8204 B．4102 C．2048 D．102412．设函数f（x）的定义域为R，若存在常数M＞0，使得|f（x）|≤M|x|对一切的实数x 都成立，则称f（x）为“倍约束函数”．现给出下列函数：①f（x）=2x，②f（x）=x2+1，③f（x）=sinx+cosx，④f（x）=，⑤f（x）是定义在实数集上的奇函数，且对一切的x1，x2均有|f（x1）﹣f（x2）|≤2|x1﹣x2|．其中是“倍约束函数”的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分．13．在（3x2﹣）5的二项展开式中，常数项等于．14．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，则此几何体的体积V=．15．已知α是第三象限的角，cos2α=﹣，则tan（2α﹣）=．16．已知F 1、F 2分别是椭圆C ：=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 1的中点在y 轴上，若2∠PF 1F 2=∠F 1PF 2，那么椭圆的离心率为 ．三、解答题：共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知．（1）求f （x ）的周期及其图象的对称中心；（2）△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，满足（2a ﹣c ）cosB=bcosC ，求f （B ）的值．18．已知函数f （x ）=（x 2﹣x +1）•e x +2，x ∈R （1）求曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；（2）若函数g （x ）=f （x ）﹣k 有且只有一个零点，求实数k 的取值范围．19．已知数列{a n }前n 项和为S n ，首项为a 1，且，a n ，S n 成等差数列． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）数列{b n }满足b n =（log 2a 3n +1）×（log 2a 3n +4），求证：+++…+＜．20．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC=60°，PA=AB=BC ，E 是PC 的中点．（1）求PB 和平面PAD 所成的角的大小； （2）证明：AE ⊥平面PCD ；（3）求二面角A ﹣PD ﹣C 得到正弦值．21．设F 1、F 2分别为椭圆Γ：=1（a ＞b ＞0）的左、右两个焦点，若椭圆上一点M（1，）到两个焦点的距离之和等于4．又已知点A 是椭圆的右顶点，直线l 交椭圆Γ于E 、F 两点（E 、F 与A 点不重合），且满足AE ⊥AF ． （Ⅰ） 求椭圆的标准方程；（Ⅱ） O 为坐标原点，若点P 满足2=+，求直线AP 的斜率的取值范围．22．已知函数．（I ）当a=1时，求f （x ）在x ∈[1，+∞）最小值； （Ⅱ）若f （x ）存在单调递减区间，求a 的取值范围；（Ⅲ）求证：（n∈N*）．2015-2016学年广东省揭阳市普宁二中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．已知集合A={x|y=ln（x﹣1）}，集合B={x|x2﹣3x＞0}，则A∩（∁R B）=（）A．（1，3）B．（1，3]C．[0，+∞）D．[3，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合A中函数的定义域，确定出集合A，求出集合B中不等式的解集，确定出集合B，找出R中不属于B的部分，求出B的补集，找出A与B补集的公共部分即可．【解答】解：由集合A中的函数y=ln（x﹣1），得到x﹣1＞0，即x＞1，∴A=（1，+∞）由集合B中的不等式x2﹣3x＞0，解得：x＜0或x＞3，∴B=（﹣∞，0）∪（3，+∞），∴C R B=[0，3]，则A∩（C R B）=（1，3]．故选B2．已知a是实数，是纯虚数，则a等于（）A．﹣2 B．1 C．D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由复数代数形式的乘除运算化简复数，然后由是纯虚数，列出方程组，求解即可得答案．【解答】解：==，又是纯虚数，则，解得a=﹣2．故选：A．3．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查为此将他们随机编号为1，2…960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落人区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷C的人数为（）A．15 B．10 C．9 D．7【考点】系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的方法和步骤，我们可将960人分为32组，每组30个人，则由此可计算出做问卷AB的组数和做问卷C的组数，即相应的人数．【解答】解：用系统抽样方法从960人中抽取32人可将960人分为32组，每组30个人由于分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，故编号为[1，750]中共有750÷30=25组即做问卷C的有32﹣25=7组故做问卷C的人数为7人故选D4．已知是非零向量且满足（﹣2）⊥，（﹣2）⊥，则与的夹角是（）A．30°B．60°C．90°D．120°【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量垂直的关系转化为向量数量积为0，结合向量数量积的应用进行求解即可．【解答】解：∵（﹣2）⊥，（﹣2）⊥，∴（﹣2）•=0，（﹣2）•=0，即2﹣2•=0，2﹣2•=0，即2=2•，2=2•，则||=|=，则cos＜，＞==，即＜，＞=60°，故选：B5．执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，4，则输出的M=（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟执行程序框图，即可得出程序运行后输出的M值．【解答】解：执行程序框图，可得a=1，b=2，k=4，n=1；满足n≤k，M=1+=，a=2，b=，n=2；满足n≤k，M=2+=，a=，b=，n=3；满足n ≤k ，M=+=，a=，b=，n=4；满足n ≤k ，M=+=，a=，b=，n=5；不满足n ≤k ，退出循环，输出M=．故选：C ．6．若实数x ，y 满足不等式组：，则该约束条件所围成的平面区域的面积是（ ）A ．B ．2C ．2D ．3 【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据平面区域即可求出面积． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 则对应的平面区域为△ABC ． 其中A （2，3），C （1，0），B （0，1），则△ABC 的面积S=S 梯形OBAD ﹣S △OBC ﹣S △ACD =﹣=4﹣=2，故选：B ．7．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲、乙必须相邻且不能排在第一位，节目丙必须排在首尾，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ） A ．60种 B ．72种 C ．84种 D ．120种 【考点】计数原理的应用． 【分析】第一类，丙排在首位，把甲乙捆绑在一起和其3个节目全排，第二类，丙排在末位，先从除甲、乙、丙之外的3人选一个排在首位，把甲乙捆绑在一起和其2个节目全排，根据分类计数原理得到结果．【解答】解：第一类，丙排在首位，把甲乙捆绑在一起和其3个节目全排，故有A 22A 44=48种，第二类，丙排在末位，先从除甲、乙、丙之外的3人选一个排在首位，把甲乙捆绑在一起和其2个节目全排，故有A31A22A33=36种，∴故编排方案共有48+36=84种，故选C．8．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，双曲线C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，|AB|=4，则双曲线C的实轴长为（）A．B．2C．4 D．4【考点】双曲线的简单性质．【分析】设出双曲线方程，求出抛物线的准线方程，利用|AB|=4，进行求解即可求得结论．【解答】解：设等轴双曲线C的方程为x2﹣y2=λ．（λ＞0），①∵抛物线y2=16x，2p=16，p=8，∴=4．∴抛物线的准线方程为x=﹣4．设等轴双曲线与抛物线的准线x=﹣4的两个交点A（﹣4，y），B（﹣4，﹣y）（y＞0），则|AB|=|y﹣（﹣y）|=2y=4，∴y=2．将x=﹣4，y=2代入①，得（﹣4）2﹣（2）2=λ，∴λ=8∴等轴双曲线C的方程为x2﹣y2=8，即∴a=，C的实轴长为2a=4．故选：D9．已知x0=是函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的一个极大值点，则f（x）的一个单调递减区间是（）A．（，） B．（，） C．（，π）D．（，π）【考点】正弦函数的图象．【分析】由sin（+φ）=1，求得φ的值，可得f（x）=sin（2x﹣），再利用正弦函数的单调性求得f（x）的一个单调递减区间．【解答】解：∵x0=是函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的一个极大值点，∴sin（+φ）=1，∴φ=﹣，f（x）=sin（2x﹣），令2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，再令k=0，可得f（x）的一个单调递减区间为（，），故选：A．10．如图，设D是图中边长为4的正方形区域，E是D内函数y=x2图象下方的点构成的区域．在D内随机取一点，则该点在E中的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】欲求图象恒在x轴上方的概率，则可建立关于a，b的直角坐标系，画出关于a和b的平面区域，再根据几何概型概率公式结合定积分求面积的方法易求解．【解答】解：本题是几何概型问题，区域E的面积为：S1=，∴“该点在E中的概率”事件对应的区域面积为，则质点落在区域M内的概率是=．故选C．11．对于任意实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如：[﹣2.5]=﹣3，[1.5]=1，[5]=5，那么[log21]+[log22]+[log23]+…+[log21023]+[log21024]=（）A．8204 B．4102 C．2048 D．1024【考点】函数的值．【分析】易知当2n≤x＜2n+1时，[log2x]=n，从而可得[log22n]=[log2（2n+1）]=…=[log2（2n+1﹣1]=n，即有2n个n，从而求和．【解答】解：由题意知，当2n≤x＜2n+1时，[log2x]=n，即[log22n]=[log2（2n+1）]=…=[log2（2n+1﹣1]=n，故有2n个n，故[log21]+[log22]+[log23]+…+[log21023]+[log21024]=0+2×1+4×2+8×3+16×4+32×5+64×6+128×7×256×8+512×9+10=8204，故选：A．12．设函数f（x）的定义域为R，若存在常数M＞0，使得|f（x）|≤M|x|对一切的实数x 都成立，则称f（x）为“倍约束函数”．现给出下列函数：①f（x）=2x，②f（x）=x2+1，③f（x）=sinx+cosx，④f（x）=，⑤f（x）是定义在实数集上的奇函数，且对一切的x1，x2均有|f（x1）﹣f（x2）|≤2|x1﹣x2|．其中是“倍约束函数”的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】函数与方程的综合运用；函数的定义域及其求法；函数的值域．【分析】本题考查阅读题意的能力，根据“倍约束函数”，的定义进行判定：对①f（x）=2x，易知存在K=2符合题意；②由基本不等式，易得≥2恒成立；③令x=0时即可得出结论对；④中求出的值域，可得结论；⑤通过取x2=0，如此可得到正确结论．【解答】解：∵对任意x∈R，存在正数M，都有|f（x）|≤M|x|成立∴对任意x∈R，存在正数K，都有M≥成立∴对于①f（x）=2x，易知存在M=2符合题意；对于②，==|x|+≥2，故不存在满足条件的M值，故②错误；对于③，f（x）=sinx+cosx，由于x=0时，|f（x）|≤M|x|不成立，故③错误；对于④，=≤恒成立，故④正确；对于⑤，当x1=x，x2=0时，由|f（x1）﹣f（x2）|≤2|x1﹣x2|得到|f（x）|≤2|x|成立，这样的M存在，故⑤正确；故是“倍约束函数”的函数有3个故选C．二、填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分．13．在（3x2﹣）5的二项展开式中，常数项等于240．【考点】二项式系数的性质．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，再求常数项即可．【解答】解：（3x2﹣）5二项展开式的通项公式为：=•（3x2）5﹣r•=•35﹣r•（﹣2）r•，T r+1令10﹣r=0，解得r=4，故展开式中的常数项为：•35﹣4•（﹣2）4=240．故答案为：240．14．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，则此几何体的体积V=16．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知几何体为四棱锥，画出其直观图，根据三视图的数据求底面面积与高，代入棱锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知几何体为四棱锥，其直观图如图：四棱锥的高为4，底面为直角梯形的面积S=（2+4）×4=12，∴几何体的体积V=×12×4=16．故答案为：16．15．已知α是第三象限的角，cos2α=﹣，则tan（2α﹣）=﹣．【考点】同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的正切函数．【分析】由α为第三象限的角，判断出2α可能的范围，再结合又cos2α=﹣＜0确定出2α在第二象限，利用同角三角函数关系求出其正弦，再由两角和的正切公式展开代入求值．【解答】解：∵α为第三象限的角，∴2α∈（2（2k+1）π，π+2（2k+1）π）（k∈Z），又cos2α=﹣＜0，所以2α∈（+2（2k+1）π，π+2（2k+1）π）（k∈Z），∴sin2α=﹣=﹣，tan2α==，∴tan（2α﹣）===﹣．故答案为：﹣．16．已知F1、F2分别是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF1的中点在y轴上，若2∠PF1F2=∠F1PF2，那么椭圆的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意画出图形，结合三角形中位线定理可知PF2⊥x轴，又2∠PF1F2=∠F1PF2，则∠PF1F2=30°，再求解直角三角形可得椭圆的离心率．【解答】解：如图，设线段PF1的中点为M，则OM∥PF2，∴PF2⊥x轴，又2∠PF1F2=∠F1PF2，则∠PF1F2=30°，∴sin30°=，得．故答案为：．三、解答题：共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知．（1）求f（x）的周期及其图象的对称中心；（2）△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求f （B）的值．【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法；正弦定理．【分析】（1）利用两角和差的正弦公式、二倍角公式化简函数f（x）的解析式为sin（+）+1，由此可得f（x）的周期及其图象的对称中心．（2）△ABC中，由（2a﹣c）cosB=bcosC，利用正弦定理化简可得得2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，故有cosB=，由此求得B 的值．【解答】解：（1）∵已知=sin+cos+1=sin（+）+1，故f（x）的周期为=4π．由sin（+）=0 求得+=kπ，k∈z，即x=2kπ﹣，故函数的图象的对称中心为（2kπ﹣，0）．（2）△ABC中，∵（2a﹣c）cosB=bcosC，由正弦定理可得（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，化简可得2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，∴cosB=，∴B=．∴f（B）=sin（+）+1=+1．18．已知函数f（x）=（x2﹣x+1）•e x+2，x∈R（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数g（x）=f（x）﹣k有且只有一个零点，求实数k的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理．【分析】（1）求出函数的导数，可得切线的斜率和切点坐标，运用点斜式方程可得切线的方程；（2）求出g（x）的解析式，求得导数，单调区间，可得极值，由题意可得两极值同号，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：（1）函数f（x）=（x2﹣x+1）•e x+2的导数为f′（x）=（2x﹣1）e x+（x2﹣x+1）•e x=（x2+x）•e x，即有在点（1，f（1））处的切线的斜率为2e，切点为（1，e+2），可得切线的方程为y﹣（e+2）=2e（x﹣1），即为2ex﹣y﹣e+2=0；（2）函数g（x）=f（x）﹣k=（x2﹣x+1）•e x+2﹣k，导数g′（x）=（x2+x）•e x，由g′（x）=0，可得x=﹣1或x=0，当x∈（﹣∞，﹣1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当x∈（﹣1，0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增．即有g （x ）在x=﹣1处取得极大值g （﹣1）=+2﹣k ， x=0处取得极小值g （0）=3﹣k ，由函数g （x ）=f （x ）﹣k 有且只有一个零点，可得g （﹣1）g （0）＞0，即（+2﹣k ）（3﹣k ）＞0， 解得k ＜3或k ＞2+，即有实数k 的取值范围为（﹣∞，3）∪（2+，+∞）．19．已知数列{a n }前n 项和为S n ，首项为a 1，且，a n ，S n 成等差数列． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）数列{b n }满足b n =（log 2a 3n +1）×（log 2a 3n +4），求证： +++…+＜．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由，a n ，S n 成等差数列，可得2a n =，当n=1时，2a 1=，解得a 1．当n ≥2时，2a n ﹣2a n ﹣1=a n ，化为：a n =2a ．利用等比数列的通项公式即可得出．（2）b n =•log 2（3n +2）=（3n ﹣1）（3n ﹣2），可得==．利用“裂项求和”方法、数列的单调性即可证明．【解答】（1）解：∵，a n ，S n 成等差数列，∴2a n =，当n=1时，2a 1=，解得a 1=．当n ≥2时，2a n ﹣2a n ﹣1=﹣=a n ，化为：a n =2a ．∴数列{a n }是等比数列，首项为，公比为2．∴a n ==2n ﹣2．（2）证明：b n =（log 2a 3n +1）×（log 2a 3n +4）=•log 2（3n +2）=（3n ﹣1）（3n﹣2），∴==．∴+++…+=+…+=＜．20．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC=60°，PA=AB=BC ，E 是PC 的中点．（1）求PB和平面PAD所成的角的大小；（2）证明：AE⊥平面PCD；（3）求二面角A﹣PD﹣C得到正弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【分析】（1）由线面垂直得PA⊥PB，又AB⊥AD，从而AB⊥平面PAD，进而∠APB是PB 与平面PAD所成的角，由此能求出PB和平面PAD所成的角的大小．（2）由线面垂直得CD⊥PA，由条件CD⊥PC，得CD⊥面PAC，由等腰三角形得AE⊥PC，由此能证明AE⊥平面PCD．（3）过点E作EM⊥PD，AM在平面PCD内的射影是EM，则AM⊥PD，由此得∠AME 是二面角A﹣PD﹣C的平面角，由此能求出二面角A﹣PD﹣C得到正弦值．【解答】（1）解：在四棱锥P﹣ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB，又AB⊥AD，PA∩AD=A，∴AB⊥平面PAD，∴∠APB是PB与平面PAD所成的角，在Rt△PAB中，AB=PA，∴∠APB=45°，∴PB和平面PAD所成的角的大小为45°．（2）证明：在四棱锥P﹣ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PA，由条件AC⊥CD，PA⊥底面ABCD，利用三垂线定理得CD⊥PC，PA∩AC=A，∴CD⊥面PAC，又AE⊂面PAC，∴AE⊥CD，由PA=AB=BC，∠ABC=60°，得AC=PA，∵E是PC的中点，∴AE⊥PC，又PC∩CD=C，综上，AE⊥平面PCD．（3）解：过点E作EM⊥PD，AM在平面PCD内的射影是EM，则AM⊥PD，∴∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角，由已知得∠CAD=30°，设AC=a，得PA=a，AD=，PD=，AE=，在Rt△ADP中，∵AM⊥PD，∴AM•PD=PA•AD，∴AM==，在Rt△AEM中，sin∠AME=．∴二面角A﹣PD﹣C得到正弦值为．21．设F1、F2分别为椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点，若椭圆上一点M（1，）到两个焦点的距离之和等于4．又已知点A是椭圆的右顶点，直线l交椭圆Γ于E、F两点（E、F与A点不重合），且满足AE⊥AF．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）O为坐标原点，若点P满足2=+，求直线AP的斜率的取值范围．【考点】椭圆的简单性质；直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由题意可得a=2，c=1，由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）设直线AE的方程为y=k（x﹣2），代入椭圆方程，运用韦达定理，可得E的坐标，由两直线垂直可得F的坐标，再由直线的斜率公式，结合基本不等式即可得到斜率的最值，进而得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）依题意，可得2a=4，即a=2，又点在椭圆上，将点M（1，）代入椭圆方程可知，解得：b2=3，∴椭圆Γ的标准方程为；…（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（2，0），设直线AE的方程为y=k（x﹣2），，整理得：（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12=0，由韦达定理可知：2+x E=，可得x E=，y E=k（x E﹣2）=，由于AE⊥AF，只要将上式的k换为﹣，可得x F=，y F=，由2=+，可得P为EF的中点，即有P（，），则直线AP的斜率为t==，当k=0时，t=0；当k≠0时，t=，再令s=，可得t=，当s=0时，t=0；当s＞0时，t=≤=，当且仅当4s=时，取得最大值；当s＜0时，t=≥﹣，综上可得：直线AP的斜率的取值范围是[﹣，]．22．已知函数．（I）当a=1时，求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：（n∈N*）．【考点】数学归纳法；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（I）可先求f′（x），从而判断f（x）在x∈[1，+∞）上的单调性，利用其单调性求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）求h′（x），可得，若f（x）存在单调递减区间，需h′（x）＜0有正数解．从而转化为：ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解．通过对a分a=0，a＜0与当a＞0三种情况讨论解得a的取值范围；（Ⅲ）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，⇒，再构造函数，令，有，从而，问题可解决；（法二）可用数学归纳法予以证明．当n=1时，ln（n+1）=ln2，3ln2=ln8＞1⇒，成立；设当n=k时，，再去证明n=k+1时，即可（需用好归纳假设）．【解答】解：（I），定义域为（0，+∞）．∵，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．当x≥1时，f（x）≥f（1）=1；（Ⅱ）∵，∵若f（x）存在单调递减区间，∴f′（x）＜0有正数解．即ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解．①当a=0时，明显成立．②当a＜0时，y=ax2+2（a﹣1）x+a为开口向下的抛物线，ax2+2（a﹣1）x+a＜0总有x＞0的解；③当a＞0时，y=ax2+2（a﹣1）x+a开口向上的抛物线，即方程ax2+2（a﹣1）x+a=0有正根．因为x1x2=1＞0，所以方程ax2+2（a﹣1）x+a=0有两正根．，解得．综合①②③知：．（Ⅲ）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，，即．令，则有，∴．∵，∴．（法二）当n=1时，ln（n+1）=ln2．∵3ln2=ln8＞1，∴，即n=1时命题成立．设当n=k时，命题成立，即．∴n=k+1时，．根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，，即．令，则有，则有，即n=k+1时命题也成立．因此，由数学归纳法可知不等式成立．2017年1月4日。
2015年广东高考理科数学试题及答案(完整版)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、若集合()(){}410M x x x =++=，()(){}410N x x x =--=，则M N =（ ）A ．{}1,4B ．{}1,4--C ．{}0D ．∅2、若复数()32z i i =-（i 是虚数单位），则z =（ ）A ．23i -B ．23i +C ．32i +D ．32i -3、下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A．y = B ．1y x x =+ C ．122x x y =+ D ．x y x e =+ 4、袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（ ）A ．521B ．1021C ．1121D ．1 5、平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是（ ）A ．250x y ++=或250x y +-= B．20x y ++=或20x y +=C ．250x y -+=或250x y --= D．20x y -+=或20x y -=6、若变量x ，y 满足约束条件4581302x y x y +≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则32z x y =+的最小值为（ ）A ．4B ．235C ．6D ．3157、已知双曲线C:22221x y a b -=的离心率54e =，且其右焦点为()2F 5,0，则双曲线C 的方程为（ ） A ．22143x y -= B ．221916x y -= C ．221169x y -= D ．22134x y -= 8、若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值（ ）A ．至多等于3B ．至多等于4C ．等于5D ．大于5二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11~13题）9、在)41的展开式中，x 的系数为 ． 10、在等差数列{}n a 中，若3456725a a a a a ++++=，则28a a += ．11、设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若3a =，1sin 2B =，C 6π=，则b = ．12、某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答）13、已知随机变量X 服从二项分布(),n p B ，若()30E X =，()D 20X =，则p = ．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）14、（坐标系与参数方程选做题）已知直线l 的极坐标方程为2sin 24πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，点A 的极坐标为722,4π⎛⎫A ⎪⎝⎭，则点A 到直线l 的距离为 ． 15、（几何证明选讲选做题）如图1，已知AB 是圆O 的直径，4AB =，C E 是圆O 的切线，切点为C ，C 1B =．过圆心O 作C B 的平行线，分别交C E 和C A 于点D 和点P ，则D O = ．三、解答题16.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量(1) 若m n ⊥，求tan x 的值；(2) 若m 与n 的夹角为3π，求x 的值. 17. （本小题满分12分）某工厂36名工人年龄数据如下表（1） 用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2） 计算（1）中样本的均值x 和方差2s ；（3） 36名工人中年龄在x s -和x s +之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01％）？18.（本小题满分14分）如图2，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，4,6,3PD PC AB BC ====，点E 是CD 的中点，点、F G 分别在线段、AB BC 上，且2,2AF FB CG GB ==.(1) 证明：PE FG ⊥； (2) 求二面角P AD C --的正切值；(3) 求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值.19. （本小题满分14分）设1a >，函数2()(1)x f x x e a =+-(1) 求()f x 的单调区间； (2) 证明()f x 在(,)-∞+∞上仅有一个零点；(3) 若曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行，且在点M （m,n ）处的切线与直线OP 平行，（O 是坐标原点），证明：1m ≤-.20. （本小题满分14分）已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A 、B.(1) 求圆1C 的圆心坐标；(2) 求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3) 是否存在实数k,使得直线:(4)l y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.21. （本小题满分14分） 数列{a }n 满足：*12122......3,2n n n a a na n N -+++=-∈. (1) 求3a 的值；(2) 求数列{a }n 的前 n 项和n T ；(3) 令111111,(1......)(2),23n n n T b a b a n n n-==+++++≥证明：数列{}n b 的前n 项和S n 满足22ln n S n <+2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）参考答案。
2015年高考理科数学广东卷(含答案解析)
数学试卷 第1页（共16页） 数学试卷 第2页（共16页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.参考公式：样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的方差2222121()()()n s x x x x x x n⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎣⎦，其中x 表示样本均值.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=，{|(4)(1)0}N x x x =--=，则M N = ( )A .∅B .{1,4}--C .{0}D .{1,4} 2.若复数i(32i)z =-（i 是虚数单位），则z =( )A .32i -B .32i +C .2+3iD .23i - 3.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A .x y x e =+B .1y x x=+C .122x xy =+D.y 4.袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球.从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为( )A .1B .1121C .1021 D .5215.平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是( )A.20x y -=或20x y -= B.20x y +或20x y += C .250x y -+=或250x y --=D .250x y ++=或250x y +-=6.若变量x ，y 满足约束条件458,13,02,x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≤≤≤则32z x y =+的最小值为( )A .315B .6C .235D .47.已知双曲线C ：22221x y a b -=的离心率54e =，且其右焦点为2(5,0)F ，则双曲线C 的方程为( )A .22143x y -=B .221169x y-= C .221916x y -=D .22134x y -= 8.若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值( )A .大于5B .等于5C .至多等于4D .至多等于3二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9～13题）9.在41)的展开式中，x 的系数为 .10.在等差数列{}n a 中，若3456725a a a a a ++++=，则28a a += . 11.设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a =，1sin 2B =，π6C =，则b = .12.某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言（用数字作答）.13.已知随机变量X 服从二项分布(,)B n p .若()30E X =，()20D X =，则p = . （二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题） 14.（坐标系与参数方程）已知直线l的极坐标方程为π2sin()4ρθ-，点A的极坐标为7π)4A ，则点A 到直线l 的距离为 .姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共16页） 数学试卷 第4页（共16页）15.（几何证明选讲）如图，已知AB 是圆O 的直径，4AB =，EC 是圆O 的切线，切点为C ，1BC =.过圆心O 作BC 的平行线，分别交EC 和AC 于点D 和点P ，则OD = .三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m (22=，n (sin ,cos )x x =，π(0,)2x ∈. （Ⅰ）若m ⊥n ，求tan x 的值； （Ⅱ）若m 与n 的夹角为π3，求x 的值.17.（本小题满分12分）（Ⅰ）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据； （Ⅱ）计算（Ⅰ）中样本的均值x 和方差2s ；（Ⅲ）36名工人中年龄在x s -与x s +之间有多少人？所占的百分比是多少（精确到0.01％）？18.（本小题满分14分）如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，4PD PC ==，6AB =，3BC =.点E 是CD 边的中点，点F ，G 分别在线段AB ，BC 上，且2AF FB =，2CG GB =.（Ⅰ）证明：PE FG ⊥；（Ⅱ）求二面角P AD C --的正切值； （Ⅲ）求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值.19.（本小题满分14分）设1a >，函数2()(1)x f x x e a =+-. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）证明：()f x 在(,)-∞+∞上仅有一个零点；（Ⅲ）若曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行，且在点(,)M m n 处的切线与直线OP 平行（O 是坐标原点），证明：1m .20.（本小题满分14分）已知过原点的动直线l 与圆1C ：22650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B . （Ⅰ）求圆1C 的圆心坐标；（Ⅱ）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（Ⅲ）是否存在实数k ，使得直线L ：(4)y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分14分）数列{}n a 满足：1212242n n n a a na -+++⋅⋅⋅+=-，*n ∈Ν. （Ⅰ）求3a 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n T ； （Ⅲ）令11b a =，1111(1)(2)23n n n T b a n n n-=++++⋅⋅⋅+≥，证明：数列{}n b 的前n 项和n S 满足22ln n S n <+.数学试卷 第5页（共16页） 数学试卷 第6页（共16页）2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理科)答案解析一、选择题 1.【答案】D【解析】由题意可得{1,4}{1,4}M N M N =--==∅I ，，. 【提示】求出两个集合，然后求解交集即可. 【考点】交集及其运算 2.【答案】B【解析】由题意可得i(32i)23i z =-=-，因此23i z =+. 【提示】直接利用复数的乘法运算法则化简求解即可. 【考点】复数的基本计算以及共轭复数的基本概念 3.【答案】D【解析】A 选项，()()f x f x -===，偶函数；B 选项，()11()f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪-⎝⎭，奇函数； C 选项，11()22()22x x x x f x f x ---=+=+=，偶函数；D 选项，1()e ()()ex x f x x x f x f x --=-+=-+=≠≠-，因此选D ．【提示】直接利用函数的奇偶性判断选项即可. 【考点】函数的奇偶性的判定 4.【答案】B【解析】任取两球一共有215151415712C ⨯==⨯⨯种情况，其中一个红球一个白球一共有11105105C C =⨯g ，因此概率为1051015721⨯=⨯. 【提示】首先判断这是一个古典概型，从而求基本事件总数和“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”事件包含的基本事件个数，容易知道基本事件总数便是从15个球任取2球的取法，而在求“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”事件的基本事件个数时，可利用分步计数原理求解，最后带入古典概型的概率公式即可. 【考点】古典概型及其概率计算公式 5.【答案】A【解析】与直线210x y ++=平行的直线可以设为20x y m ++=，= ∴||5m =，解得5m =±，因此我们可以得到直线方程为：250x y ++=或250x y +-=.【提示】设出所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程中的变量，即可求出直线方程.【考点】解析几何中的平行，圆的切线方程 6.【答案】B【解析】依据题意，可行域如右图所示，初始函数为032l y x =- ：，当0l 逐渐向右上方平移的过程中，32z x y =+不断增大，因此我们可以得到当l 过点41,5E ⎛⎫⎪⎝⎭的时候，min 235z =.【提示】作出不等式组对应的平面区域，根据z 的几何意义，利用数形结合即可得到最小值.【考点】线性规划问题 7.【答案】C数学试卷 第7页（共16页） 数学试卷 第8页（共16页）【解析】已知双曲线22221x y C a b-=：，54c e a ==，又由焦点为()25,0F，因此45435c a c b =⇒==⇒=，因此双曲线方程为221169x y -=.【提示】利用已知条件，列出方程，求出双曲线的几何量，即可得到双曲线方程. 【考点】圆锥曲线的离心率求解问题 8.【答案】B【解析】解：考虑平面上，3个点两两距离相等，构成等边三角形，成立； 4个点两两距离相等，由三角形的两边之和大于第三边，则不成立；n 大于4，也不成立；在空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；若4n >，由于任三点不共线，当5n =时，考虑四个点构成的正四面体，第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，由三角形的两边之和大于三边，故不成立； 同理5n >，不成立. 故选：B ．【提示】先考虑平面上的情况：只有三个点的情况成立；再考虑空间里，只有四个点的情况成立，注意运用外接球和三角形三边的关系，即可判断. 【考点】棱锥的结构特征 二、填空题 9.【答案】6【解析】展开通式为144(1)m m m C ---，令2m =可得14124244(1)(1)4m m m C C x ----=-=，因此系数为6.【提示】根据题意二项式41)的展开的通式为144(1)m m m C ---，分析可得，2m =时，有x 的项，将2m =代入可得答案. 【考点】二项式定理的运用 10.【答案】10【解析】根据等差中项可得：345675525a a a a a a ++++==，55a =，因此285210a a a +==.【提示】根据等差数列的性质，化简已知的等式即可求出5a 的值，然后把所求的式子也利用等差数列的性质化简后，将5a 的值代入即可求出值. 【考点】等差中项的计算 11.【答案】1【解析】由1sin 2B =，得π6B =或者5π6B =，又因为π6C =，因此π6B =，2π3A =，根据正弦定理可得sin sin a bA B =1sin 1sin 2a b B A ===g g . 【提示】由1sin 2B =，可得π6B =或者5π6B =，结合a ，π6C =及正弦定理可求b .【考点】正弦定理，两角和与差的正弦函数 12.【答案】1560【解析】某高三毕业班有40人，每人给彼此写一条留言，因此每人的条数为39，故而一共有40391560⨯=条留言.【提示】通过题意，列出排列关系式，求解即可. 【考点】排列与组合的实际应用 13.【答案】13【解析】根据随机变量X服从二项分布(,)B n p ，根据()30()(1E X n p D X n p p===-=，，可得()21()3D X p E X -==，化简后可得13p =. 【提示】直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可. 【考点】离散型随机变量的期望与方差 14.【答案】2【解析】考察基本的极坐标和直角坐标的化简以及点到直线距离问题.由数学试卷 第9页（共16页） 数学试卷 第10页（共16页）2sin 4πρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭l 的直角坐标系方程为10x y --=，由7π4A ⎛⎫ ⎪⎝⎭可得它的直角坐标为()2,2A -， 因此，点A 到直线l的距离为d ==. 【提示】把极坐标方程转化为直角坐标方程，然后求出极坐标表示的直角坐标，利用点到直线的距离求解即可. 【考点】简单曲线的极坐标方程 15.【答案】8 【解析】连接OC ，根据AOC △为等腰三角形可得CAO ACO ∠=∠，又因为AB 为直径， 因此可得90CAO B ∠+∠=︒，90ACO B ∠+∠=︒， ∵OP BC ∥∴90AC OP ACO COP ⊥∠+∠=︒，， 因此可得COP B ∠=∠，因此Rt Rt DOC ABC △∽△， 故而可得21OD OC AB BC ==，∴8OD =. 【提示】连接OC ，根据AOC △为等腰三角形可得CAO ACO ∠=∠，AB 为直径以及OP BC ∥得出Rt Rt DOC ABC △∽△即可求出OD 的值.【考点】相似三角形的判定 三、解答题16.【答案】（Ⅰ）tan 1x =（Ⅱ）5π12x =【解析】∵m n ⊥u r r，π(sin ,cos )sin 22224m n x x x x x ⎛⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭u r r g g ， ∴||1||1m n ==u r r， ，因此：（Ⅰ）若m n ⊥u r r ，可得πsin 04m n x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭u r r g ，∴ππππ44x k x k -=⇒=+，又∵π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π04k x ==，，因此可得πtan tan 14x ==.（Ⅱ）若m u r 和n r 的夹角为π3，可得ππ1sin ||||cos 432m n x m n ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭u r r u r r g g， ∴ππ2π46x k -=+或π5π2π46x k -=+， 又∵π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴πππ,444x ⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴ππ46x -=，解得5π12x =.【提示】（Ⅰ）若m n ⊥u r r ，则0m n =u r rg ，结合三角函数的关系式即可求tan x 的值.（Ⅱ）若m u r 和n r 的夹角为π3，利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求x 的值.【考点】平面向量数量积的运算，数量积表示两个向量的夹角 17.【答案】（Ⅰ）444036433637444337， ， ， ， ， ， ， ， （Ⅱ）40x =21009s =（Ⅲ）23人63.89%.【解析】（Ⅰ）根据系统抽样的方法，抽取9个样本，因此分成9组，每组4人.又因为第一组中随机抽样可抽到44，因此按照现有的排序分组.故而每组中抽取的都是第二个数，因此我们可得样本数据为第2个，第6个，第10个，第14个，第18个，第22个，第26个，第30个，第34个， 分别为：444036433637444337， ， ， ， ， ， ， ， （Ⅱ）由平均值公式得444036433637444337409x ++++++++==，由方差公式得数学试卷 第11页（共16页） 数学试卷 第12页（共16页）22222212291100()()()(994440)(4040)(3740)s x x x x x x ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-=⎣⎦-+-=+-+.（Ⅲ）103s ===，因此可得21364333x s x s -=+=，，因此在x s -和x s +之间的数据可以是444036433637444337， ， ， ， ， ， ， ， ，因此数据一共有23人，占比为23100%63.89%36⨯≈.【提示】（Ⅰ）利用系统抽样的定义进行求解即可.（Ⅱ）根据均值和方差公式即可计算（Ⅰ）中样本的均值x 和方差2s . （Ⅲ）求出样本和方差即可得到结论. 【考点】极差，方差与标准差，分层抽样方法 18.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）证明：由PD PC =可得三角形PDC 是等腰三角形， 又因为点E 是CD 边的中点，因此可得PE CD ⊥，又因为三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，而且相交于CD ，因此PE ⊥平面ABCD ，又因为FG 在平面ABCD 内，因此可得PE FG ⊥，问题得证.（Ⅱ）因为四边形ABCD 是矩形，因此可得AD CD ⊥， 又因为PE ⊥平面ABCD ，故而PE AD ⊥， 又PECD E =，因此可得AD ⊥平面PDC ，因此,AD PD AD CD ⊥⊥，所以P AD C PDE ∠--=∠.在等腰三角形PDC 中，46PD CD AB ===，，132DE CD==.因此可得PE ==tan 3PE PDE DE ∠==. （Ⅲ）如图所示，连接AC AE ，.∵22AF FB CG GB ==，， ∴BF BGAB BC=，BFG BAC △∽△，GF AC ∥， 因此，直线PA 与直线FG 所成角即为直线PA 与直线AC 所成角PAC ∠， 在矩形ABCD 中，点E 为CD中点，因此AE ==，而且AC =.又PE ⊥面ABCD ，三角形PAE 为直角三角形，故5PA ==，因此在PAC △中，54PA PC AC ===，，，因此可得222cos 2PA AC PC PAC PA AC +-∠==g .【提示】（Ⅰ）通过等腰三角形PDC 可得PE CD ⊥，利用线面垂直判定定理及性质定理即得结论.（Ⅱ）通过（Ⅰ）及面面垂直定理可得PE AD ⊥，则PDE ∠为二面角P AD C ∠--的平面角，利用勾股定理即得结论.（Ⅲ）连结连接AC AE ，，利用勾股定理及已知条件可得GF AC ∥，在PAC △中，利用余弦定理即得直线PA 与直线FG 所成角即为直线PA 与直线FG 所成角PAC ∠的余弦值.【考点】二面角的平面角及求法，异面直线及其所成的角，直线与平面垂直的性质 19.【答案】（Ⅰ）单调增区间为R （Ⅱ）见解析 （Ⅲ）见解析【解析】()()()()2222e 1e 12e 1e x x x xf x x x x x x '=++=++=+Qg ，因此：（Ⅰ）求导后可得函数的导函数()()21e 0x f x x '=+≥恒成立，因此函数在(,)-∞+∞上是增函数.数学试卷 第13页（共16页） 数学试卷 第14页（共16页）故而单调增区间为R .（Ⅱ）证明：令2()(1)e 0x f x x a =+-=可得2(1)e xx a +=，设212(1)e x y x y a =+=，，对函数21(1)e xy x =+， 求导后可得21(1)e 0x y x '=+≥恒成立，因此函数21(1)e xy x =+单调递增，因此可以得到函数图像. 函数2()(1)e x f x x a =+-有零点，即方程2(1)e xx a +=有解， 亦即函数212(1)e xy x y a =+=，，图像有交点.当0x =时，11y =，因此根据函数的图像可得：212(1)e xy x y a =+=，有且只有一个交点，即2()(1)e xf x x a =+-有且只有一个零点.（Ⅲ）证明：设点P 的坐标为00(,)x y ，故而在点P 处切线的斜率为：0200()(1)e 0xf x x '=+=，01x =-，因此21,1e P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.在点M 处切线的斜率为：22()(1)e em OP f m m k a '=+==-， 因为1a >，因此20ea ->.欲证1m ≤-，即证322(1)(1)e e m m a m +≤-=+，1e m m +≤，设()e 1x g x x =--，求导后可得()e 1xg x '=-，0x =，令()e 10xg x '=-=，因此函数在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增.因此可得()(0)0g x g ≥=，所以()e 10xg x x =--≥，e 1x x ≥+，e 1m m ≥+问题得证.【提示】（Ⅰ）利用()0f x '≥，求出函数单调增区间.（Ⅱ）证明只有1个零点，需要说明两个方面：函数单调以及函数有零点. （Ⅲ）利用导数的最值求解方法证明.【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究曲线上某点切线方程 20.【答案】（Ⅰ）1(3,0)C（Ⅱ）2230x y x +-=，其中5,33x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦（Ⅲ）存在34k ⎛⎧⎫∈± ⎨⎬ ⎩⎭⎝⎭【解析】依题意得化成标准方程后的圆为：22(3)4x y -+=，因此：（Ⅰ）根据标准方程，圆心坐标为1(3,0)C . （Ⅱ）数形结合法：①当动线l 的斜率不存在是，直线与圆不相交. ②设动线l 的斜率为m ，因此l y mx =：， 联立22650y mxx y x =⎧⎨+-+=⎩，则22(1)650m x x +-+=根据有两个交点可得：()22224362010056151A B A B m m x x m x x m ⎧∆=-+>⇒≤<⎪⎪⎪+=⎨+⎪⎪=⎪+⎩，故而点M 的坐标为2233,11m m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，令223131x m m y m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，因此由此可得2230x y x +-=，其中235,313x m ⎛⎤=∈ ⎥+⎝⎦. （Ⅲ）证明：联立2230(4)x y x y k x ⎧+-=⎨=-⎩，所以，2222(1)(83)160k x k x k +-++=因此，当直线L 与曲线相切时，可得29160k ∆=-=，解得34k =±. 设2230x y x +-=，5,33x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦的两个端点是C D 、，设直线L 恒过点(4,0)E数学试卷 第15页（共16页） 数学试卷 第16页（共16页）因此可得53C ⎛ ⎝⎭，5,3D ⎛ ⎝⎭，故而可得77CE DE k k ==-， 由图像可得当直线L 与曲线有且只有一个交点的时候，34k ⎛⎧⎫∈± ⎨⎬ ⎩⎭⎝⎭.【提示】（Ⅰ）通过将圆1C 的一般式方程化为标准方程即得结论（Ⅱ）设当直线l 的方程为y mx =，通过联立直线l 与圆1C 的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论. （Ⅲ）通过联立直线L 与圆1C 的方程，利用根的判别式0∆=及轨迹C 的端点与点(4,0)E 决定的直线斜率，即得结论.【考点】轨迹方程，直线与圆的位置关系 21.【答案】（Ⅰ）14（Ⅱ）1122n n T -=- （Ⅲ）见解析【解析】由给出的递推公式可得： ①当1n =时，1431a =-=②当2n ≥时，121122(1)42n n n n a a n a na --+++⋅⋅⋅+-+=-， 121212(1)42n n n a a n a --+++⋅⋅⋅+-=-， 所以12n n n na -=，112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭其中1n =也成立，因此可得11()2n n a n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭*N（Ⅰ）因此231124a ⎛⎫== ⎪⎝⎭.（Ⅱ）∵11()2n n a n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭*N ，所以数列{}n a 的公比12q =，利用等比数列的求和公式可得： 111121*********n nn n T -⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦-. （Ⅲ）因为()11111223n n n T b a n n n -⎛⎫=++++⋅⋅⋅+≥ ⎪⎝⎭11b a =，1221122a b a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，1233111323a a b a +⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭， 123111123n n n a a a a b a n n +++⋅⋅⋅+⎛⎫=++++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭，因此，欲证22ln n S n <+，即证1111112122ln ln 2323n n n n ⎛⎫+++⋅⋅⋅+<+⇐++⋅⋅⋅+< ⎪⎝⎭，将ln n 化简为132l n l n l n l n l n1221n n n n n -=++⋅⋅⋅++--，即证1111l n l n l n 11n n n n n n n-⎛⎫>⇐-=--> ⎪-⎝⎭， 令()ln 1g x x x =-+，所以11()1xg x x x-'=-=，因此函数在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，因此()(1)0g x g ≤=， 又因为111n-<，因此11111()0l l n1g g x nnn n⎛⎫⎛⎫⎛-<=⇒⇒-- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 问题得证.【提示】（Ⅰ）利用数列的递推关系即可求3a 的值.（Ⅱ）利用作差法求出数列{}n a 的通项公式，利用等比数列的前n 项和公式即可求数列{}n a 的前n 项和n T .（Ⅲ）利用构造法，结合裂项法进行求解即可证明不等式.【考点】数列与不等式的综合，数列的求和。
2015高考(理科数学)冲刺模拟试卷2.pdf
24．（本小题满分 10 分）选修 4—5，不等式选讲
已知函数 f (x) =| x −1| + | x − a |
（1）若 a=1，解不等式 f (x) 2 ；
（2）若 a 1,x R, f (x)+ | x −1| 2，求实数 a 的取值范围
2015 高考冲刺卷二答案
一、DADCA ACCCD DD
二、13.
14. 5 15.e 2 -2
学海无涯
16.
18.解：设事件 A ={甲做对}，事件 B ={乙做对}，事件 C ={丙做对}，由题意知，
P(A) = 1 ,P(B) = m,P(C) = n . 2
（Ⅰ） 由题意知 P( = 0) = P(ABC) = 1 (1 − m)(1 − n) = 1 ，
且 QB ⊥ PB,则动点Q的运动轨迹为（ ）
A .圆
B.椭圆
C. 双曲线
D. 抛物线
9．已知函数
sin x(0 f (x) = log2014 x(x
x 1) ，若 1)
a、b、c 互不相等，且
f (a) =
f (b) =
f (c) ，则
a＋b＋c
的取值范围是
（）
A．（1，2014）
B．（1，2015）
∴ E( ) = 0 P( = 0) +1 P( = 1) + 2 P( = 2) + 3 P( = 3) = 13 = 12E( ) −10 = 3 12
故
(1− 2 | x |)dx =
−
3
(1− 2 | x |)dx =
−3
0
(1+ 2x)dx +
−3
3
广东省普宁二中2015-2016学年高一数学下册第一次月考试题
普宁二中2015--2016学年度第二学期第一次月考高一级数学科试卷本试卷分第I 卷（选择题）、第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、设集合M=}{x x x =2,N=}{0lg ≤x x ,则M ∪N=（ ）.[]1,0.A (]1,0.B [)1,0.C (]1,.∞-D2、π67cos=（ ）. A ．12- B ．12C ．23-D ．233、下列四个函数中，以π为最小正周期的偶函数是（ ）.x y A tan .= x y B 2cos .= x y C 2sin .= x x y D sin .=4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长 的棱的长度是（ ）.5、方程3ln +-=x x 的根所在的区间是（ ）. A ．(0,1)B ． )2,1(C ．)3,2(D ．()4,36、函数x x x y sin cos +=的图象大致为( )．7、为了得到函数cos 2y x =的图象，只要将函数cos(2)4y x π=+的图象 ( ).A. 向左平移8π个单位长度 B. 向右平移8π个单位长度 C. 向左平移4π个单位长度 D. 向右平移4π个单位长度8、如右图所示为函数()()2sin f x x ωϕ=+(πϕω≤≤>0,0)的部分图象,其中,A B 两点之间的距离为5,那么()12f -=（ ）．ABC ． 1D ．-19、已知圆22(4)4x y +-=的圆心与点()0,2P 关于直线l 对称，则直线l 的方程为( ).A.0x y -=B.230x y -+=C.03=-+y xD.230x y --= 10、设b a ,是两条不同直线，βα,是两个不同平面，给出下列四个命题①若;//,,,αααb b a b a 则⊄⊥⊥ ②若;,,//ββαα⊥⊥a a 则③若;//,,ααβαβ⊂⊥⊥a a a 或则④若.,,,βαβα⊥⊥⊥⊥则b a b a其中正确命题的个数是（ ）.A ．1B ．2C ．3D ．411、已知A ，B ，C 是球面上三点，且AB=6，BC=8，AC=10，球心O 到平面ABC的距离等于该球半径的12，则此球的表面积为（ ）. A.1003π B.2003π C.100π D.4003π 12、定义在R 上的函数)(x f 满足)2()(-=x f x f ，当]3,1[∈x 时，()221)(-+=x x f ，则（ ）.A ．)6(sin )32(sinππf f > B ． )32(cos )32(sin ππf f < C ．)4(cos )3(cos ππf f > D ．)32(tan)3(tan ππf f <二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13、已知函数,0,20,1)(⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=x x x x f x则((4))f f = ,)(x f 的最大值是 .14、函数y 的定义域是 .15、若()a x x x f ln 42--=()0>a 有四个零点，则实数a 的取值范围为 .16、过点P(3,1)作圆C ：()1122=+-y x 的两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为 .三、解答题：写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分。
2015年广东省高考数学试卷(理科)及答案
2015年广东省高考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M ∩N=（）A．{1，4}B．{﹣1，﹣4}C．{0}D．∅2．（5分）若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则=（）A．2﹣3i B．2+3i C．3+2i D．3﹣2i3．（5分）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y=B．y=x+C．y=2x+ D．y=x+e x4．（5分）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）A．B．C．D．15．（5分）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=06．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（）A．4 B．C．6 D．7．（5分）已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=18．（5分）若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（）A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于5二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题）9．（5分）在（﹣1）4的展开式中，x 的系数为．10．（5分）在等差数列{a n}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8=．11．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b=．12．（5分）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）13．（5分）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=．14．（5分）已知直线l的极坐标方程为2ρsi n（θ﹣）=，点A的极坐标为A （2，），则点A到直线l的距离为．15．如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1．过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD=．三、解答题16．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．（1）若⊥，求tanx的值；（2）若与的夹角为，求x的值．17．（12分）某工厂36名工人年龄数据如图：工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄1 2 3 4 5 6 7 8 9404440413340454243101112131415161718363138394345393836192021222324252627274341373442374442282930313233343536343943384253374939（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）36名工人中年龄在﹣s 和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？18．（14分）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．（1）证明：PE⊥FG；（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．19．（14分）设a＞1，函数f（x）=（1+x2）e x﹣a．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP平行，（O是坐标原点），证明：m ≤﹣1．20．（14分）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．21．（14分）数列{a n}满足：a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．（1）求a3的值；（2）求数列{a n}的前n项和T n；（3）令b1=a1，b n=+（1+++…+）a n（n≥2），证明：数列{b n}的前n 项和S n满足S n＜2+2lnn．2015年广东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）（2015•广东）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M∩N=（）A．{1，4}B．{﹣1，﹣4}C．{0}D．∅【分析】求出两个集合，然后求解交集即可．【解答】解：集合M={x|（x+4）（x+1）=0}={﹣1，﹣4}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}={1，4}，则M∩N=∅．故选：D．2．（5分）（2015•广东）若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则=（）A．2﹣3i B．2+3i C．3+2i D．3﹣2i【分析】直接利用复数的乘法运算法则化简求解即可．【解答】解：复数z=i（3﹣2i）=2+3i，则=2﹣3i，故选：A．3．（5分）（2015•广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y=B．y=x+C．y=2x+ D．y=x+e x【分析】直接利用函数的奇偶性判断选项即可．【解答】解：对于A，y=是偶函数，所以A不正确；对于B，y=x+函数是奇函数，所以B不正确；对于C，y=2x+是偶函数，所以C不正确；对于D，不满足f（﹣x）=f（x）也不满足f（﹣x）=﹣f（x），所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以D正确．故选：D．4．（5分）（2015•广东）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）A．B．C．D．1【分析】首先判断这是一个古典概型，从而求基本事件总数和“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”事件包含的基本事件个数，容易知道基本事件总数便是从15个球任取2球的取法，而在求“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”事件的基本事件个数时，可利用分步计数原理求解，最后带入古典概型的概率公式即可．【解答】解：这是一个古典概型，从15个球中任取2个球的取法有；∴基本事件总数为105；设“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”为事件A；则A包含的基本事件个数为=50；∴P（A）=．故选：B．5．（5分）（2015•广东）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=0【分析】设出所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程中的变量，即可求出直线方程．【解答】解：设所求直线方程为2x+y+b=0，则，所以=，所以b=±5，所以所求直线方程为：2x+y+5=0或2x+y﹣5=0故选：A．6．（5分）（2015•广东）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（）A．4 B．C．6 D．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到最小值．【解答】解：不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+2y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，则由图象可知当直线y=﹣x+，经过点A时直线y=﹣x+的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（1，），此时z=3×1+2×=，故选：B．7．（5分）（2015•广东）已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【分析】利用已知条件，列出方程，求出双曲线的几何量，即可得到双曲线方程．【解答】解：双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），可得：，c=5，∴a=4，b==3，所求双曲线方程为：﹣=1．故选：C．8．（5分）（2015•广东）若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（）A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于5【分析】先考虑平面上的情况：只有三个点的情况成立；再考虑空间里，只有四个点的情况成立，注意运用外接球和三角形三边的关系，即可判断．【解答】解：考虑平面上，3个点两两距离相等，构成等边三角形，成立；4个点两两距离相等，由三角形的两边之和大于第三边，则不成立；n大于4，也不成立；在空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；若n＞4，由于任三点不共线，当n=5时，考虑四个点构成的正四面体，第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，且球的半径等于边长，即有球心与正四面体的底面的中心重合，故不成立；同理n＞5，不成立．故选：B．二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题）9．（5分）（2015•广东）在（﹣1）4的展开式中，x的系数为6．【分析】根据题意二项式（﹣1）4的展开式的通项公式为T r=•（﹣1）+1r•，分析可得，r=2时，有x的项，将r=2代入可得答案．=•（﹣1）r•，【解答】解：二项式（﹣1）4的展开式的通项公式为T r+1令2﹣=1，求得r=2，∴二项式（﹣1）4的展开式中x的系数为=6，故答案为：6．10．（5分）（2015•广东）在等差数列{a n}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8=10．【分析】根据等差数列的性质，化简已知的等式即可求出a5的值，然后把所求的式子也利用等差数列的性质化简后，将a5的值代入即可求出值．【解答】解：由a3+a4+a5+a6+a7=（a3+a7）+（a4+a6）+a5=5a5=25，得到a5=5，则a2+a8=2a5=10．故答案为：10．11．（5分）（2015•广东）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b=1．【分析】由sinB=，可得B=或B=，结合a=，C=及正弦定理可求b 【解答】解：∵sinB=，∴B=或B=当B=时，a=，C=，A=，由正弦定理可得，则b=1当B=时，C=，与三角形的内角和为π矛盾故答案为：112．（5分）（2015•广东）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了1560条毕业留言．（用数字作答）【分析】通过题意，列出排列关系式，求解即可．【解答】解：某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了=40×39=1560条．故答案为：1560．13．（5分）（2015•广东）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=．【分析】直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可．【解答】解：随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，可得np=30，npq=20，q=，则p=，故答案为：．14．（5分）（2015•广东）已知直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，点A 的极坐标为A（2，），则点A到直线l的距离为．【分析】把极坐标方程转化为直角坐标方程，然后求出极坐标表示的直角坐标，利用点到直线的距离求解即可．【解答】解：直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，对应的直角坐标方程为：y﹣x=1，点A的极坐标为A（2，），它的直角坐标为（2，﹣2）．点A到直线l的距离为：=．故答案为：．15．（2015•广东）如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1．过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD= 8．【分析】连接OC，确定OP⊥AC，OP=BC=，Rt△OCD中，由射影定理可得OC2=OP•OD，即可得出结论．【解答】解：连接OC，则OC⊥CD，∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，∵OP∥BC，∴OP⊥AC，OP=BC=，Rt△OCD中，由射影定理可得OC2=OP•OD，∴4=OD，∴OD=8．故答案为：8．三、解答题16．（12分）（2015•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．（1）若⊥，求tanx的值；（2）若与的夹角为，求x的值．【分析】（1）若⊥，则•=0，结合三角函数的关系式即可求tanx的值；（2）若与的夹角为，利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求x的值．【解答】解：（1）若⊥，则•=（，﹣）•（sinx，cosx）=sinx ﹣cosx=0，即sinx=cosxsinx=cosx，即tanx=1；（2）∵||=，||==1，•=（，﹣）•（sinx，cosx）=sinx ﹣cosx，∴若与的夹角为，则•=||•||cos =，即sinx ﹣cosx=，则sin（x ﹣）=，∵x∈（0，）．∴x ﹣∈（﹣，）．则x ﹣=即x=+=．17．（12分）（2015•广东）某工厂36名工人年龄数据如图：工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄1 2 3 4404440411011121336313839192021222743413728293031343943385 6 7 8 93340454243141516171843453938362324252627344237444232333435364253374939（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）36名工人中年龄在﹣s 和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？【分析】（1）利用系统抽样的定义进行求解即可；（2）根据均值和方差公式即可计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）求出样本和方差即可得到结论．【解答】解：（1）由系统抽样知，36人分成9组，每组4人，其中第一组的工人年龄为44，所以其编号为2，∴所有样本数据的编号为：4n﹣2，（n=1，2，…，9），其数据为：44，40，36，43，36，37，44，43，37．（2）由平均值公式得=（44+40+36+43+36+37+44+43+37）=40．由方差公式得s2=[（44﹣40）2+（40﹣40）2+…+（37﹣40）2]=．（3）∵s2=．∴s=∈（3，4），∴36名工人中年龄在﹣s 和+s之间的人数等于区间[37，43]的人数，即40，40，41，…，39，共23人．∴36名工人中年龄在﹣s 和+s 之间所占百分比为≈63.89%．18．（14分）（2015•广东）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．（1）证明：PE⊥FG；（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．【分析】（1）通过△PDC为等腰三角形可得PE⊥CD，利用线面垂直判定定理及性质定理即得结论；（2）通过（1）及面面垂直定理可得PG⊥AD，则∠PDC为二面角P﹣AD﹣C的平面角，利用勾股定理即得结论；（3）连结AC，利用勾股定理及已知条件可得FG∥AC，在△PAC中，利用余弦定理即得直线PA与直线FG所成角即为直线PA与直线AC所成角∠PAC的余弦值．【解答】（1）证明：在△PDC中PO=PC且E为CD中点，∴PE⊥CD，又∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，PE⊂平面PCD，∴PE⊥平面ABCD，又∵FG⊂平面ABCD，∴PE⊥FG；（2）解：由（1）知PE⊥平面ABCD，∴PE⊥AD，又∵CD⊥AD且PE∩CD=E，∴AD⊥平面PDC，又∵PD⊂平面PDC，∴AD⊥PD，又∵AD⊥CD，∴∠PDC为二面角P﹣AD﹣C的平面角，在Rt△PDE中，由勾股定理可得：PE===，∴tan∠PDC==；（3）解：连结AC，则AC==3，在Rt△ADP中，AP===5，∵AF=2FB，CG=2GB，∴FG∥AC，∴直线PA与直线FG所成角即为直线PA与直线AC所成角∠PAC，在△PAC中，由余弦定理得cos∠PAC===．19．（14分）（2015•广东）设a＞1，函数f（x）=（1+x2）e x﹣a．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP平行，（O是坐标原点），证明：m≤﹣1．【分析】（1）利用f′（x）＞0，求出函数单调增区间．（2）证明只有1个零点，需要说明两个方面：①函数单调；②函数有零点．（3）利用导数的最值求解方法证明，思路较为复杂．【解答】解：（1）f′（x）=e x（x2+2x+1）=e x（x+1）2，∴f′（x）＞0，∴f（x）=（1+x2）e x﹣a在（﹣∞，+∞）上为增函数．（2）证明：∵f（0）=1﹣a，a＞1，∴1﹣a＜0，即f（0）＜0，∵f（）=（1+a）﹣a=+a（﹣1），a＞1，∴＞1，﹣1＞0，即f（）＞0，且由（1）问知函数在（﹣∞，+∞）上为增函数，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上有且只有一个零点．（3）证明：f′（x）=e x（x+1）2，设点P（x0，y0）则）f'（x）=e x0（x0+1）2，∵y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，∴f′（x0）=0，即：e x0（x0+1）2=0，∴x0=﹣1，将x0=﹣1代入y=f（x）得y0=．∴，∴，要证m≤﹣1，即证（m+1）3≤a﹣，需要证（m+1）3≤e m（m+1）2，即证m+1≤e m，因此构造函数g（m）=e m﹣（m+1），则g′（m）=e m﹣1，由g′（m）=0得m=0．当m∈（0，+∞）时，g′（m）＞0，当m∈（﹣∞，0）时，g′（m）＜0，∴g（m）的最小值为g（0）=0，∴g（m）=e m﹣（m+1）≥0，∴e m≥m+1，∴e m（m+1）2≥（m+1）3，即：，∴m≤．20．（14分）（2015•广东）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．【分析】（1）通过将圆C1的一般式方程化为标准方程即得结论；（2）设当直线l的方程为y=kx，通过联立直线l与圆C1的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；（3）通过联立直线L与圆C1的方程，利用根的判别式△=0及轨迹C的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论．【解答】解：（1）∵圆C1：x2+y2﹣6x+5=0，整理，得其标准方程为：（x﹣3）2+y2=4，∴圆C1的圆心坐标为（3，0）；（2）设当直线l的方程为y=kx、A（x1，y1）、B（x2，y2），联立方程组，消去y可得：（1+k2）x2﹣6x+5=0，由△=36﹣4（1+k2）×5＞0，可得k2＜由韦达定理，可得x1+x2=，∴线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为，其中﹣＜k＜，∴线段AB的中点M的轨迹C的方程为：（x﹣）2+y2=，其中＜x≤3；（3）结论：当k∈（﹣，）∪{﹣，}时，直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点．理由如下：联立方程组，消去y，可得：（1+k2）x2﹣（3+8k2）x+16k2=0，令△=（3+8k2）2﹣4（1+k2）•16k2=0，解得k=±，又∵轨迹C的端点（，±）与点（4，0）决定的直线斜率为±，∴当直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点时，k的取值范围为（﹣，）∪{﹣，}．21．（14分）（2015•广东）数列{a n}满足：a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．（1）求a3的值；（2）求数列{a n}的前n项和T n；（3）令b1=a1，b n=+（1+++…+）a n（n≥2），证明：数列{b n}的前n 项和S n满足S n＜2+2lnn．【分析】（1）利用数列的递推关系即可求a3的值；（2）利用作差法求出数列{a n}的通项公式，利用等比数列的前n项和公式即可求数列{a n}的前n项和T n；（3）利用构造法，结合裂项法进行求解即可证明不等式．【解答】解：（1）∵a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．∴a1=4﹣3=1，1+2a2=4﹣=2，解得a2=，∵a1+2a2+…+na n=4﹣，n∈N+．∴a1+2a2+…+（n﹣1）a n﹣1=4﹣，n∈N+．两式相减得na n=4﹣﹣（4﹣）=，n≥2，则a n=，n≥2，当n=1时，a1=1也满足，∴a n=，n≥1，则a3=；（2）∵a n=，n≥1，∴数列{a n}是公比q=，则数列{a n}的前n项和T n==2﹣21﹣n．（3）b n=+（1+++…+）a n，∴b1=a1，b2=+（1+）a2，b3=（1++）a3，∴b n=+（1+++…+）a n，∴S n=b1+b2+…+b n=（1+++…+）a1+（1+++…+）a2+…+（1+++…+）a n=（1+++…+）（a1+a2+…+a n）=（1+++…+）T n=（1+++…+）（2﹣21﹣n）＜2×（1+++…+），设f（x）=lnx+﹣1，x＞1，则f′（x）=﹣．即f（x）在（1，+∞）上为增函数，∵f（1）=0，即f（x）＞0，∵k≥2，且k∈N•时，，∴f（）=ln+﹣1＞0，即ln＞，∴ln，，…，即=lnn，∴2×（1+++…+）=2+2×（++…+）＜2+2lnn，即S n＜2（1+lnn）=2+2lnn．。
2015-2016年广东省揭阳市普宁二中高二(下)期中数学试卷(理科)和答案
2015-2016学年广东省揭阳市普宁二中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A＝{x|y＝ln（x﹣1）}，集合B＝{x|x2﹣3x＞0}，则A∩（∁R B）＝（）A．（1，3）B．（1，3]C．[0，+∞）D．[3，+∞）2．（5分）已知a是实数，是纯虚数，则a等于（）A．﹣2B．1C．D．23．（5分）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查为此将他们随机编号为1，2…960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落人区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷C的人数为（）A．15B．10C．9D．74．（5分）已知是非零向量且满足（﹣2）⊥，（﹣2）⊥，则与的夹角是（）A．30°B．60°C．90°D．120°5．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，4，则输出的M＝（）A．B．C．D．6．（5分）若实数x，y满足不等式组：，则该约束条件所围成的平面区域的面积是（）A．B．2C．2D．37．（5分）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲、乙必须相邻且不能排在第一位，节目丙必须排在首尾，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（）A．60种B．72种C．84种D．120种8．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，双曲线C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则双曲线C的实轴长为（）A．B．2C．4D．49．（5分）已知x0＝是函数f（x）＝sin（2x+φ）（|φ|＜）的一个极大值点，则f（x）的一个单调递减区间是（）A．（，）B．（，）C．（，π）D．（，π）10．（5分）如图，设D是图中边长为4的正方形区域，E是D内函数y＝x2图象下方的点构成的区域．在D内随机取一点，则该点在E中的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）对于任意实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如：[﹣2.5]＝﹣3，[1.5]＝1，[5]＝5，那么[log21]+[log22]+[log23]+…+[log21023]+[log21024]＝（）A．8204B．4102C．2048D．1024 12．（5分）设函数f（x）的定义域为R，若存在常数M＞0，使得|f（x）|≤M|x|对一切的实数x都成立，则称f（x）为“倍约束函数”．现给出下列函数：①f（x）＝2x，②f（x）＝x2+1，③f（x）＝sin x+cos x，④f（x）＝，⑤f（x）是定义在实数集上的奇函数，且对一切的x1，x2均有|f（x1）﹣f（x2）|≤2|x1﹣x2|．其中是“倍约束函数”的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分．13．（5分）在（3x2﹣）5的二项展开式中，常数项等于．14．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，则此几何体的体积V＝．15．（5分）已知α是第三象限的角，cos2α＝﹣，则tan（2α﹣）＝．16．（5分）已知F1、F2分别是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF1的中点在y轴上，若2∠PF1F2＝∠F1PF2，那么椭圆的离心率为．三、解答题：共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知．（1）求f（x）的周期及其图象的对称中心；（2）△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，满足（2a﹣c）cos B＝b cos C，求f（B）的值．18．（12分）已知函数f（x）＝（x2﹣x+1）•e x+2，x∈R（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数g（x）＝f（x）﹣k有且只有一个零点，求实数k的取值范围．19．（12分）已知数列{a n}前n项和为S n，首项为a1，且，a n，S n成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}满足b n＝（log2a3n+1）×（log2a3n+4），求证：+++…+＜．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．（1）求PB和平面P AD所成的角的大小；（2）证明：AE⊥平面PCD；（3）求二面角A﹣PD﹣C得到正弦值．21．（12分）设F1、F2分别为椭圆Γ：＝1（a＞b＞0）的左、右两个焦点，若椭圆上一点M（1，）到两个焦点的距离之和等于4．又已知点A是椭圆的右顶点，直线l交椭圆Γ于E、F两点（E、F与A点不重合），且满足AE⊥AF．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）O为坐标原点，若点P满足2＝+，求直线AP的斜率的取值范围．22．（12分）已知函数．（I）当a＝1时，求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：（n∈N*）．2015-2016学年广东省揭阳市普宁二中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A＝{x|y＝ln（x﹣1）}，集合B＝{x|x2﹣3x＞0}，则A∩（∁R B）＝（）A．（1，3）B．（1，3]C．[0，+∞）D．[3，+∞）【解答】解：由集合A中的函数y＝ln（x﹣1），得到x﹣1＞0，即x＞1，∴A＝（1，+∞）由集合B中的不等式x2﹣3x＞0，解得：x＜0或x＞3，∴B＝（﹣∞，0）∪（3，+∞），∴∁R B＝[0，3]，则A∩（∁R B）＝（1，3]．故选：B．2．（5分）已知a是实数，是纯虚数，则a等于（）A．﹣2B．1C．D．2【解答】解：＝＝，又是纯虚数，则，解得a＝﹣2．故选：A．3．（5分）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查为此将他们随机编号为1，2…960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落人区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷C的人数为（）A．15B．10C．9D．7【解答】解：用系统抽样方法从960人中抽取32人可将960人分为32组，每组30个人由于分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，故编号为[1，750]中共有750÷30＝25组即做问卷C的有32﹣25＝7组故做问卷C的人数为7人故选：D．4．（5分）已知是非零向量且满足（﹣2）⊥，（﹣2）⊥，则与的夹角是（）A．30°B．60°C．90°D．120°【解答】解：∵（﹣2）⊥，（﹣2）⊥，∴（﹣2）•＝0，（﹣2）•＝0，即2﹣2•＝0，2﹣2•＝0，即2＝2•，2＝2•，则||＝|＝，则cos＜，＞＝＝，即＜，＞＝60°，故选：B．5．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，4，则输出的M＝（）A．B．C．D．【解答】解：执行程序框图，可得a ＝1，b ＝2，k ＝4，n ＝1；满足n ≤k ，M ＝1+＝，a ＝2，b ＝，n ＝2；满足n ≤k ，M ＝2+＝，a ＝，b ＝，n ＝3；满足n ≤k ，M ＝+＝，a ＝，b ＝，n ＝4；满足n ≤k ，M ＝+＝，a ＝，b ＝，n ＝5； 不满足n ≤k ，退出循环，输出M ＝． 故选：C ．6．（5分）若实数x ，y 满足不等式组：，则该约束条件所围成的平面区域的面积是（ ）A ．B ．2C ．2D ．3【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则对应的平面区域为△ABC ．其中A （2，3），C （1，0），B （0，1），则△ABC 的面积S ＝S 梯形OBAD ﹣S △OBC ﹣S △ACD ＝﹣＝4﹣＝2， 故选：B ．7．（5分）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲、乙必须相邻且不能排在第一位，节目丙必须排在首尾，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（）A．60种B．72种C．84种D．120种【解答】解：第一类，丙排在首位，把甲乙捆绑在一起和其3个节目全排，故有A22A44＝48种，第二类，丙排在末位，先从除甲、乙、丙之外的3人选一个排在首位，把甲乙捆绑在一起和其2个节目全排，故有A31A22A33＝36种，∴故编排方案共有48+36＝84种，故选：C．8．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，双曲线C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则双曲线C的实轴长为（）A．B．2C．4D．4【解答】解：设等轴双曲线C的方程为x2﹣y2＝λ．（λ＞0），①∵抛物线y2＝16x，2p＝16，p＝8，∴＝4．∴抛物线的准线方程为x＝﹣4．设等轴双曲线与抛物线的准线x＝﹣4的两个交点A（﹣4，y），B（﹣4，﹣y）（y ＞0），则|AB|＝|y﹣（﹣y）|＝2y＝4，∴y＝2．将x＝﹣4，y＝2代入①，得（﹣4）2﹣（2）2＝λ，∴λ＝8∴等轴双曲线C的方程为x2﹣y2＝8，即∴a＝，C的实轴长为2a＝4．故选：D．9．（5分）已知x0＝是函数f（x）＝sin（2x+φ）（|φ|＜）的一个极大值点，则f（x）的一个单调递减区间是（）A．（，）B．（，）C．（，π）D．（，π）【解答】解：∵x0＝是函数f（x）＝sin（2x+φ）（|φ|＜）的一个极大值点，∴sin（+φ）＝1，∴φ＝﹣，f（x）＝sin（2x﹣），令2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，再令k＝0，可得f（x）的一个单调递减区间为（，），故选：A．10．（5分）如图，设D是图中边长为4的正方形区域，E是D内函数y＝x2图象下方的点构成的区域．在D内随机取一点，则该点在E中的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：本题是几何概型问题，区域E的面积为：S1＝，∴“该点在E中的概率”事件对应的区域面积为，则质点落在区域M内的概率是＝．故选：C．11．（5分）对于任意实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如：[﹣2.5]＝﹣3，[1.5]＝1，[5]＝5，那么[log21]+[log22]+[log23]+…+[log21023]+[log21024]＝（）A．8204B．4102C．2048D．1024【解答】解：由题意知，当2n≤x＜2n+1时，[log2x]＝n，即[log22n]＝[log2（2n+1）]＝…＝[log2（2n+1﹣1]＝n，故有2n个n，故[log21]+[log22]+[log23]+…+[log21023]+[log21024]＝0+2×1+4×2+8×3+16×4+32×5+64×6+128×7×256×8+512×9+10＝8204，故选：A．12．（5分）设函数f（x）的定义域为R，若存在常数M＞0，使得|f（x）|≤M|x|对一切的实数x都成立，则称f（x）为“倍约束函数”．现给出下列函数：①f（x）＝2x，②f（x）＝x2+1，③f（x）＝sin x+cos x，④f（x）＝，⑤f（x）是定义在实数集上的奇函数，且对一切的x1，x2均有|f（x1）﹣f（x2）|≤2|x1﹣x2|．其中是“倍约束函数”的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：∵对任意x∈R，存在正数M，都有|f（x）|≤M|x|成立∴对任意x∈R，存在正数K，都有M≥成立∴对于①f（x）＝2x，易知存在M＝2符合题意；对于②，＝＝|x|+≥2，故不存在满足条件的M值，故②错误；对于③，f（x）＝sin x+cos x，由于x＝0时，|f（x）|≤M|x|不成立，故③错误；对于④，＝≤恒成立，故④正确；对于⑤，当x1＝x，x2＝0时，由|f（x1）﹣f（x2）|≤2|x1﹣x2|得到|f（x）|≤2|x|成立，这样的M存在，故⑤正确；故是“倍约束函数”的函数有3个故选：C．二、填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分．13．（5分）在（3x2﹣）5的二项展开式中，常数项等于240．【解答】解：（3x2﹣）5二项展开式的通项公式为：T r+1＝•（3x2）5﹣r•＝•35﹣r•（﹣2）r•，令10﹣r＝0，解得r＝4，故展开式中的常数项为：•35﹣4•（﹣2）4＝240．故答案为：240．14．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，则此几何体的体积V＝16．【解答】解：由三视图知几何体为四棱锥，其直观图如图：四棱锥的高为4，底面为直角梯形的面积S＝（2+4）×4＝12，∴几何体的体积V＝×12×4＝16．故答案为：16．15．（5分）已知α是第三象限的角，cos2α＝﹣，则tan（2α﹣）＝﹣．【解答】解：∵α为第三象限的角，∴2α∈（2（2k+1）π，π+2（2k+1）π）（k∈Z），又cos2α＝﹣＜0，所以2α∈（+2（2k+1）π，π+2（2k+1）π）（k∈Z），∴sin2α＝﹣＝﹣，tan2α＝＝，∴tan（2α﹣）＝＝＝﹣．故答案为：﹣．16．（5分）已知F1、F2分别是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF1的中点在y轴上，若2∠PF1F2＝∠F1PF2，那么椭圆的离心率为．【解答】解：如图，设线段PF1的中点为M，则OM∥PF2，∴PF2⊥x轴，又2∠PF1F2＝∠F1PF2，则∠PF1F2＝30°，∴sin30°＝，得．故答案为：．三、解答题：共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知．（1）求f（x）的周期及其图象的对称中心；（2）△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，满足（2a﹣c）cos B＝b cos C，求f（B）的值．【解答】解：（1）∵已知＝sin+cos+1＝sin（+）+1，故f（x）的周期为＝4π．由sin（+）＝0 求得+＝kπ，k∈z，即x＝2kπ﹣，故函数的图象的对称中心为（2kπ﹣，0）．（2）△ABC中，∵（2a﹣c）cos B＝b cos C，由正弦定理可得（2sin A﹣sin C）cos B ＝sin B cos C，化简可得2sin A cos B＝sin（B+C）＝sin A，∴cos B＝，∴B＝．∴f（B）＝sin（+）+1＝+1．18．（12分）已知函数f（x）＝（x2﹣x+1）•e x+2，x∈R（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数g（x）＝f（x）﹣k有且只有一个零点，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）＝（x2﹣x+1）•e x+2的导数为f′（x）＝（2x﹣1）e x+（x2﹣x+1）•e x＝（x2+x）•e x，即有在点（1，f（1））处的切线的斜率为2e，切点为（1，e+2），可得切线的方程为y﹣（e+2）＝2e（x﹣1），即为2ex﹣y﹣e+2＝0；（2）函数g（x）＝f（x）﹣k＝（x2﹣x+1）•e x+2﹣k，导数g′（x）＝（x2+x）•e x，由g′（x）＝0，可得x＝﹣1或x＝0，当x∈（﹣∞，﹣1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当x∈（﹣1，0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增．即有g（x）在x＝﹣1处取得极大值g（﹣1）＝+2﹣k，x＝0处取得极小值g（0）＝3﹣k，由函数g（x）＝f（x）﹣k有且只有一个零点，可得g（﹣1）g（0）＞0，即（+2﹣k）（3﹣k）＞0，解得k＜3或k＞2+，即有实数k的取值范围为（﹣∞，3）∪（2+，+∞）．19．（12分）已知数列{a n}前n项和为S n，首项为a1，且，a n，S n成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}满足b n＝（log2a3n+1）×（log2a3n+4），求证：+++…+＜．【解答】（1）解：∵，a n，S n成等差数列，∴2a n＝，当n＝1时，2a1＝，解得a1＝．当n≥2时，2a n﹣2a n＝﹣＝a n，化为：a n＝2a．﹣1∴数列{a n}是等比数列，首项为，公比为2．∴a n＝＝2n﹣2．（2）证明：b n＝（log2a3n+1）×（log2a3n+4）＝•log2（3n+2）＝（3n ﹣1）（3n﹣2），∴＝＝．∴+++…+＝+…+＝＜．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．（1）求PB和平面P AD所成的角的大小；（2）证明：AE⊥平面PCD；（3）求二面角A﹣PD﹣C得到正弦值．【解答】（1）解：在四棱锥P﹣ABCD中，∵P A⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴P A⊥AB，又AB⊥AD，P A∩AD＝A，∴AB⊥平面P AD，∴∠APB是PB与平面P AD所成的角，在Rt△P AB中，AB＝P A，∴∠APB＝45°，∴PB和平面P AD所成的角的大小为45°．（2）证明：在四棱锥P﹣ABCD中，∵P A⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥P A，由条件AC⊥CD，P A⊥底面ABCD，利用三垂线定理得CD⊥PC，P A∩AC＝A，∴CD⊥面P AC，又AE⊂面P AC，∴AE⊥CD，由P A＝AB＝BC，∠ABC＝60°，得AC＝P A，∵E是PC的中点，∴AE⊥PC，又PC∩CD＝C，综上，AE⊥平面PCD．（3）解：过点E作EM⊥PD，AM在平面PCD内的射影是EM，则AM⊥PD，∴∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角，由已知得∠CAD＝30°，设AC＝a，得P A＝a，AD＝，PD＝a，AE＝，在Rt△ADP中，∵AM⊥PD，∴AM•PD＝P A•AD，∴AM＝＝，在Rt△AEM中，sin∠AME＝．∴二面角A﹣PD﹣C得到正弦值为．21．（12分）设F1、F2分别为椭圆Γ：＝1（a＞b＞0）的左、右两个焦点，若椭圆上一点M（1，）到两个焦点的距离之和等于4．又已知点A是椭圆的右顶点，直线l交椭圆Γ于E、F两点（E、F与A点不重合），且满足AE⊥AF．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）O为坐标原点，若点P满足2＝+，求直线AP的斜率的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）依题意，可得2a＝4，即a＝2，又点在椭圆上，将点M（1，）代入椭圆方程可知，解得：b2＝3，∴椭圆Γ的标准方程为；…（3分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（2，0），设直线AE的方程为y＝k（x﹣2），，整理得：（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12＝0，由韦达定理可知：2+x E＝，可得x E＝，y E＝k（x E﹣2）＝，由于AE⊥AF，只要将上式的k换为﹣，可得x F＝，y F＝，由2＝+，可得P为EF的中点，即有P（，），则直线AP的斜率为t＝＝，当k＝0时，t＝0；当k≠0时，t＝，再令s＝，可得t＝，当s＝0时，t＝0；当s＞0时，t＝≤＝，当且仅当4s＝时，取得最大值；当s＜0时，t＝≥﹣，综上可得：直线AP的斜率的取值范围是[﹣，]．22．（12分）已知函数．（I）当a＝1时，求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：（n∈N*）．【解答】解：（I），定义域为（0，+∞）．∵，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．当x≥1时，f（x）≥f（1）＝1；（3分）（Ⅱ）∵，∵若f（x）存在单调递减区间，∴f′（x）＜0有正数解．即ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解．（5分）①当a＝0时，明显成立．②当a＜0时，y＝ax2+2（a﹣1）x+a为开口向下的抛物线，ax2+2（a﹣1）x+a＜0总有x＞0的解；③当a＞0时，y＝ax2+2（a﹣1）x+a开口向上的抛物线，即方程ax2+2（a﹣1）x+a＝0有正根．因为x1x2＝1＞0，所以方程ax2+2（a﹣1）x+a＝0有两正根．，解得．综合①②③知：．（9分）（Ⅲ）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，，即．令，则有，∴．∵，∴．（12分）（法二）当n＝1时，ln（n+1）＝ln2．∵3ln2＝ln8＞1，∴，即n＝1时命题成立．设当n＝k时，命题成立，即．∴n＝k+1时，．根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，，即．令，则有，则有，即n＝k+1时命题也成立．因此，由数学归纳法可知不等式成立．（12分）。
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2015届普宁二中理科数学高考适应卷1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设复数i12z --=设（i 为虚数单位），z 的共轭复数为z ，则在复平面内iz 对应的点的坐标为A ．（1，1）B ．（-1，1）C ．（1，-1）D ．（-1，-1） 2．已知命题p ：“∀x ∈[1，2]，x 2-a ≥0”，命题q :“∃x ∈R 使x 2+2ax +2-a =0”，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是 A.{}1a a ≥B.{}212≤≤-≤a a a 或 C.{}21a a -≤≤D.{}21a a a ≤-=或3．一个等比数列的前3项的积为2，后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列共有 A ．6项 B ．8项 C ．10项 D ．12项4A ．8 BC ．10 D5．．设4a x dx π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则二项式6(展开式中含2x 项的系数是A ．192-B ．193C ．6-D ．76 若实数x,y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤+-≤,01,032,5y x y x y 则y x z 2+=的最大值是A. 15B. 14C. 11D. 107．过双曲线2222x y a b-=1(a >0，b >0)的左焦点F (-c ，0)作圆x 2+y 2=a 2的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线y 2=4cx 于点P ，O 为原点，若|FE |=|EP |，则双曲线离心率为A ．251+ B ．231+ C ．7224- D ．7224+ 8.函数()y f x =图像上不同两点1122(,),(,)A x y B x y 处的切线的斜率分别是,A B k k ，规定||(,)||A B k k A B AB ϕ-=叫做曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”，给出以下命题：①函数321y x x =-+图像上两点A 与B 的横坐标分别为1,2，则(,)A B ϕ> ②存在这样的函数，图像上任意两点之间的“弯曲度”为常数； ③设点A 、B 是抛物线21y x =+上不同的两点，则(,)2A B ϕ≤；④设曲线x y e =上不同两点1122(,),(,)A x y B x y ，且121x x -=，若(,)1t A B ϕ⋅<恒成立，则实数t 的取值范围是(,1)-∞.以上正确命题的序号为 A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②③④ 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9～13题）9．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中的视力情况进行统计，其频率分布直方图如图所示.若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为 .10．已知集合A ={x |x =2k ，k ∈N*}，如图所示，程序框图（算法流程图）的输出值x = .11．已知点(1,3),(4,1)A B -，则与向量AB 方向相反的单位向量的坐标为 .12．已知不等式201x x +<+的解集为{}x a x b <<，点(,)A a b 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则21m n+的最小值为 .13．已知函数ax x x f 3)(3-=，若直线0=++m y x 对任意的R m ∈都不是曲线)(x f y =的切线，则a 的取值范围为 ．14.（坐标系与参数方程选做题）已知直线的极坐标方程为4sin πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则点A (2，74π)到这条直线的距离为 .15.（几何选讲选做题）以Rt ⊿ABC 的直角边AB 为直径作圆O ，圆O 与斜边AC 交于D ，过D 作圆O 的切线与BC 交于E ，若BC =6，AB =8，则OE =三、解答题（本大题共6小题，共80分） 16、（本题12分 ）已知)()()sin ,1,03,a x b x x R ωωω==-<<∈r r ，.函数()f x a b =⋅r r，若将函数()f x 的图象的其中一个对称中心到对称轴的最小距离为4π个单位。
（I ）求函数()f x 的解析式及其单调增区间； （II ）若12,2263f απαπ⎛⎫⎛⎫=<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，求sin α的值.17、（本题12分 ）某企业招聘工作人员，设置A 、B 、C 三组测试项目供参考人员选择，甲、乙、丙、丁、戊五人参加招聘，其中甲、乙两人各自独立参加A 组测试，丙、丁两人各自独立参加B 组测试．已知甲、乙两人各自通过测试的概率均为13，丙、丁两人各自通过测试的概率均为12．戊参加C 组测试，C 组共有6道试题，戊会其中4题.戊只能且必须选择4题作答，至少答对3题则竞聘成功. （Ⅰ）求戊竞聘成功的概率；（Ⅱ）求参加A 组测试通过的人数多于参加B 组测试通过的人数的概率； （Ⅲ）记A 、B 组测试通过的总人数为ξ，求ξ的分布列和期望.1818、（本题14分 ）如图，正方形AMDE 的边长为2，B ，C 分别为AM ，MD 的中点．在五棱锥P -ABCDE 中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PD ，PC 分别交于点G ，H .(1)求证：AB ∥FG ；(2)若PA ⊥底面ABCDE ，且PA ＝AE .求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并求线段PH 的长．19、（本题14分 ）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2n n S a n =-．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1n n n a b a +=，记数列{}n b 的前n 和为n T ，证明：1032n nT -<-<．20（本题14分 ）设椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ，b >0)过M (2，2)，N (6，1)两点，O 为坐标原点．(1)求椭圆E 的方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且OA →⊥OB →？若存在，写出该圆的方程；若不存在，请说明理由．21. （本题14分 ）已知函数221()ln ,(),,2f x x mxg x mx x m R =-=+∈令()()()F x f x g x =+. （Ⅰ）当12m =时，求函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）若关于x 的不等式()1F x mx ≤-恒成立，求整数．．m 的最小值； （Ⅲ）若2m =-，正实数12,x x 满足1212()()0F x F x x x ++=，证明：12x x +≥2015届普宁二中高三理科数学适应卷1答案一、选择题： 1．C ．2． D. 3．D ． 4． C ． 5．．A ．6 B. 7． A ． 8B.二、填空题：9. 20 10. 11 ），（5453- 12 . 913．31<a 14155三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、解： (I) 设戊竞聘成功为A 事件，则()43144246+=C C C P A C 1+83==155…………3分 （Ⅱ）设“参加A 组测试通过的人数多于参加B 组测试通过的人数”为B 事件()21211137233233436p B ⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯=⎪⎝⎭ …………6分 （Ⅲ）ξ可取0，1，2，3，4364)21()32()0(22=⨯==ξP 3612)21()32()21(3231)1(2212212=⨯+⨯⨯==C C P ξ 3613)21()32()31()21()32()21()31()2(212122222=⨯⨯+⨯+⨯==C C P ξ366)21()31()21(3231)3(2212212=⨯+⨯⨯==C C P ξ 361)21()31()4(22=⨯==ξP∴3E ξ=……12分 18.解：(1)在正方形AMDE 中，因为B 是AM 的中点，所以AB ∥DE .又因为AB ⊄平面PDE ， 所以AB∥平面PDE .因为AB ⊂平面ABF ，且平面ABF ∩平面PDE ＝FG ， 所以AB ∥FG .(2)因为PA ⊥底面ABCDE ，所以PA ⊥AB ，PA ⊥AE .解如图建立空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (2,1,0)，P (0,0,2)，F (0,1,1)， ＝(1,1,0)．。
2 设平面ABF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＋z ＝0. 令z ＝1，得y ＝－1.所以n ＝(0，－1,1)．.。
4设直线BC 与平面ABF 所成角为α，则.。
6因此直线BC 与平面ABF 所成角的大小为π6..。
7设点H 的坐标为(u ，v ，w )．因为点H 在棱PC 上，所以可设 即(u ，v ，w －2)＝λ(2,1，－2)，所以u ＝2λ，v ＝λ，w ＝2－2λ..。
8 因为n 是平面ABF 的一个法向量，所以.。
9 即(0，－1,1)·(2λ，λ，2－2λ)＝0..。
10解得λ＝23，所以点H 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，23，23..。
12所以PH ＝ ⎝⎛⎭⎫432＋⎝⎛⎭⎫232＋⎝⎛⎭⎫－432＝2..。
14 19．（Ⅰ）由2nn S a n =-，及1121n n S a n ++=--，作差得121n n a a +=+，112(1)n n a a ++=+即数列{}1n a +成等比，12n n a +=，故21n n a =-…………7分（Ⅱ）∵112121n n n n n a b a ++-==- ∴1212111221222n n n n b ++---=-=-- ………9分 34121111()222222222n n n n T ++-=-++++---- 则34121111()022*******nn n n T ++-=-++++<---- 即02nnT -<………12分 211122223232n n n n+=<--+⋅⋅ ∴121111111()232223323n n n n T -=-+++=-+>-⋅ 故1032n nT -<-<…14 20.解:(1)因为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ，b >0)过M (2，2)，N (6，1)两点，所以⎩⎨⎧4a 2＋2b 2＝1，6a 2＋1b 2＝1，解得⎩⎨⎧1a 2＝18，1b 2＝14，。
3所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝4，椭圆E 的方程为x 28＋y 24＝1..。