2017-2018学年高中数学北师大版必修三课件：第三章§3 模拟方法——概率的应用
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高中数学北师大版必修三课件：第3章 4 §3 模拟方法——概率的应用
(1)与长度有关的几何概型概率的求法 ①与长度有关的几何概型问题的计算公式 如果试验的结果构成的区域的集合度量可用长度表示，则其概 率的计算公式为： 构成事件A的区域长度 P(A)＝ . 试验的全部结果所构成的区域长度
②与长度有关的几何概型问题的三个解题步骤 a．找到几何区域 D，这时区域 D 可能是一条线段或几条线段 或曲线段，并计算区域 D 的长度． b．找到事件 A 发生时对应的区域 d，确定 d 的边界点是问题的 关键． c．利用几何概型概率公式求概率．
古典概型
3.几何概型的问题解决的关键是构造出事件对应的几何图形， 利用几何图形的几何度量来求随机事件的概率．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)几何概型中基本事件有无限个，而古典概型中基本事件有有 限个．( )
(2)几何概型中每个基本事件出现的可能性不相等，而古典概型 中每个基本事件出现的可能性相等．( ) )
(2)与角度有关的几何概型概率的求法 ①如果试验的所有结果构成的区域的几何度量可用角度表示， 则其概率的计算公式为 构成事件A的区域角度 P(A)＝ . 试验的全部结果构成的区域角度 ②解决此类问题的关键是事件 A 在区域角度内是均匀的，进而 判定事件的发生是等可能的．
1. (1)两根电线杆相距 100 m，若电线遭受雷击， 且雷击点距电线杆距离为 10 m 之内时，电线杆上的输电设备 将受损，则遭受雷击时输电设备受损的概率为( A．0.1 C．0.05 B．0.2 D．0.5 )
则称这种模型为几何概型．
空间中 或________ 直线上 的有限区域，相 几何概型中的 G 也可以是________ 体积 之比或________ 长度 之比．即几何概型概率的 应的概率是________
北师大版2018年必修三课件：第三章概率3模拟方法——概率的应用(知识点详解PPT课件)
别写有字母C，D和E；丙盒中装有2张卡片，分别写有字母H和I.现要从3
型的两个基本特点，即有限性和等可能性.另外，在求古典概型问题的
概率时，往往需要我们将所有基本事件一一列举出来，以便确定基本
事件总数及事件所包含的基本事件数.这就是我们常说的穷举法.在列举
时应注意按一定的规律、标准，不重不漏.
例2
海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，
从各地区进口此种商品的数量 (单位：件)如下表所示.工作人员用分层抽样
第三章 概率
章末复习提升
栏目 索引
知识网络
要点归纳 题型探究
系统盘点
整合要点 重点突破
Hale Waihona Puke 知识网络系统盘点返回
要点归纳
整合要点
1. 本章涉及的概念比较多，要真正理解它们的实质，搞清它们的区别
与联系.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，要进一步了解
概率的意义以及频率与概率的区别.
2.应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定事件彼此是否互斥， 然后求出各事件分别发生的概率， 再求和.求较复杂的概率通常有两种方法： 一是将所求事件转化为彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率， 然后再应用公式 P(A)＝1－P( A )(事件 A 与 A 互为对立事件)求解.
化.后30次中，每次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定. (4)假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一
定击中靶心吗？ 解 不一定.
解析答案
题型二 古典概型及其应用y 古典概型是一种最基本的概率模型，也是学习其他概率模型的基础，
在高考题中，经常出现此种概率模型的题目 .解题时要紧紧抓住古典概
北师大版高中数学必修3《三章 概率 3 模拟方法——概率的应用 模拟方法——概率的应用》培优课课件_3
几何概型
• 我们已经学习了两种方法： • 一、计算随机事件发生做试验或者用计算
机模拟实验等方法得到事件发生的频率， 以此来近似估计概率。 • 二、用古典概型的公式来计算事件发生的 概率。
问题1：
取一根长度为60cm的绳子，拉直后 在任意位置剪断，那么剪得两段的长度 都不小于20cm的概率是多少？
能否用古典概型的公式来求解?
问题2:图中有两个转盘.甲乙两人玩转
盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获 胜,否则乙获胜.在两种情况下分别求甲 获胜的概率是多少?
对于一个随机试验，将每个基本事件理 解为从某个特定的几何区域内随机地取一点， 该区域中每一点被取到是等可能的；
而一个随机事件的发生则理解为恰好取 到上述区域内的某个指定区域中的点.
这里的区域可以是长度，面积，体积等。 用这种方法处理随机试验，称为几何概率模 型。
甲获胜的概率与B所在扇形区域的圆弧长度有关,而与B所在区 域的位置无关.因为转转盘时,指针指向圆弧上哪一点都是等可 能的.不管这些区域是相邻,还是不相邻,甲获胜的概率是不变 的.
因此：把转盘的圆周的长度设为1，
1 则以转盘（1）为游戏工具时 P("甲获胜") 2 1
在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下:
二.例题讲解
例1.某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听 电台整点报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.
解:设A事件为“等待的时间不多于10 分钟”. 所求的事件A恰好是打开收音机时的 时刻位于[50,60]时间段内。
因此由几何概型的概率公式得
P(A) 60 50 1 , 60 6
对于复杂的实际问题,解题的关键是要建 立模型,找出随机事件与所有基本事件相对应 的几何区域,把问题转化为几何概率问题,利用 几何概率公式求解.
• 我们已经学习了两种方法： • 一、计算随机事件发生做试验或者用计算
机模拟实验等方法得到事件发生的频率， 以此来近似估计概率。 • 二、用古典概型的公式来计算事件发生的 概率。
问题1：
取一根长度为60cm的绳子，拉直后 在任意位置剪断，那么剪得两段的长度 都不小于20cm的概率是多少？
能否用古典概型的公式来求解?
问题2:图中有两个转盘.甲乙两人玩转
盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获 胜,否则乙获胜.在两种情况下分别求甲 获胜的概率是多少?
对于一个随机试验，将每个基本事件理 解为从某个特定的几何区域内随机地取一点， 该区域中每一点被取到是等可能的；
而一个随机事件的发生则理解为恰好取 到上述区域内的某个指定区域中的点.
这里的区域可以是长度，面积，体积等。 用这种方法处理随机试验，称为几何概率模 型。
甲获胜的概率与B所在扇形区域的圆弧长度有关,而与B所在区 域的位置无关.因为转转盘时,指针指向圆弧上哪一点都是等可 能的.不管这些区域是相邻,还是不相邻,甲获胜的概率是不变 的.
因此：把转盘的圆周的长度设为1，
1 则以转盘（1）为游戏工具时 P("甲获胜") 2 1
在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下:
二.例题讲解
例1.某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听 电台整点报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.
解:设A事件为“等待的时间不多于10 分钟”. 所求的事件A恰好是打开收音机时的 时刻位于[50,60]时间段内。
因此由几何概型的概率公式得
P(A) 60 50 1 , 60 6
对于复杂的实际问题,解题的关键是要建 立模型,找出随机事件与所有基本事件相对应 的几何区域,把问题转化为几何概率问题,利用 几何概率公式求解.
2017_2018学年高中数学第三章概率3模拟方式__概率的应用教学案北师大版必修3
解析：如图，当取点落在B、C两点时，弦长等于半径；当取点落在劣弧 上时，弦长小于半径；当取点落在优弧 上时，弦长大于半径．因此弦长超过半径的概率P＝ ＝ .
答案：
7．如下图，图(2)中实线围成的部份是长方体(图(1))的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形．假设向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是 ，那么此长方体的体积是________．
(3)P3＝ ＝ ＝ .
(4)P4＝ ＝ .
9．已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25.
(1)求圆C的圆心到直线l的距离；
(2)求圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率．
解：(1)由点到直线l的距离公式可得d＝ ＝5.
(2)由(1)可知圆心到直线l的距离为5，要使圆上的点到直线的距离小于2，设与圆相交且与直线l平行的直线为l1，其方程为4x＋3y＝15.那么符合题意的点应在l1：4x＋3y＝15与圆相交所得劣弧上，由半径为2 ，圆心到直线l1的距离为3可知劣弧所对圆心角为60°.
解析：设正方形的边长为2，那么豆子落在正方形内切圆的上半圆中的概率为 ＝ .
答案：
与长度(角度)有关的几何概型
[典例] 在圆心角为90°的扇形AOB中，以圆心O为起点作射线OC，求使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率．
[解] 以O为起点作射线OC是随机的，而射线落在∠AOB内的任何位置是等可能的，作∠AOD＝∠BOE＝30°，那么OC落在∠DOE内符合题目要求，OC落在∠DOE内只与∠DOE的大小有关，符合几何概型的特点．设事件A为“射线OC落在∠DOE内”．事件A的气宇是90°－30°－30°＝30°，实验的全数结果的气宇是90°，由几何概型的概率公式得P(A)＝ ＝ .
答案：
7．如下图，图(2)中实线围成的部份是长方体(图(1))的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形．假设向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是 ，那么此长方体的体积是________．
(3)P3＝ ＝ ＝ .
(4)P4＝ ＝ .
9．已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25.
(1)求圆C的圆心到直线l的距离；
(2)求圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率．
解：(1)由点到直线l的距离公式可得d＝ ＝5.
(2)由(1)可知圆心到直线l的距离为5，要使圆上的点到直线的距离小于2，设与圆相交且与直线l平行的直线为l1，其方程为4x＋3y＝15.那么符合题意的点应在l1：4x＋3y＝15与圆相交所得劣弧上，由半径为2 ，圆心到直线l1的距离为3可知劣弧所对圆心角为60°.
解析：设正方形的边长为2，那么豆子落在正方形内切圆的上半圆中的概率为 ＝ .
答案：
与长度(角度)有关的几何概型
[典例] 在圆心角为90°的扇形AOB中，以圆心O为起点作射线OC，求使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率．
[解] 以O为起点作射线OC是随机的，而射线落在∠AOB内的任何位置是等可能的，作∠AOD＝∠BOE＝30°，那么OC落在∠DOE内符合题目要求，OC落在∠DOE内只与∠DOE的大小有关，符合几何概型的特点．设事件A为“射线OC落在∠DOE内”．事件A的气宇是90°－30°－30°＝30°，实验的全数结果的气宇是90°，由几何概型的概率公式得P(A)＝ ＝ .
2017-2018学年高中数学 第三章 概率本章整合课件 北师大版必修3
专题一 专题二 专题三 专题四
应用某热水瓶胆生产厂生产的10个产品中,有8个一级品,2个二 级品,一级品和二级品在外观上没有区别.从这10个产品中任意抽 检2个,计算:
(1)2个都是一级品的概率; (2)至少有一个二级品的概率. 提示:在本题(2)中含有“至少”一词,首先要考虑利用互斥事件或 对立事件去处理,其中包括恰有一个二级品或恰有两个二级品两种 情况.
专题一 专题二 专题三 专题四
应用1某公司需要面向社会招收3个女秘书,现有5个条件很类似 的女孩报名应征,公司把她们分别编为1号、2号、3号、4号、5号. 如果5个人被录用的机会相等,问:
(1)3号、4号女孩均被录用的概率是多少? (2)3号、4号女孩只有一个被录用的概率是多少? (3)3号、4号女孩至少有一个被录用的概率是多少? 提示:求解古典概型问题的关键是找出所有基本事件和事件A所 包含的基本事件.
(181,173),(181,176),(181,178),(181,179),(179,173),(179,176),(179,178
),(178,173),(178,176),(176,173)共 10 个,
而事件 A 含有(181,176),(179,176),(178,176),(176,173)共 4 个基
车时间不超过10分钟的时间段为7:50至8:00和8:20至8:30,共20分钟,
故他等车时间不超过10分钟的概率
P=
20 40
=
1 2
,
故选B.
答案:B
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
7.(2015课标全国Ⅰ高考)若3个正整数可作为一个直角三角形三条
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),
2017-2018学年高中数学北师大版必修3课件：第三章 概率 3.3模拟方法——概率的应用 (32张)
【课标要求】 1.能够运用模拟方法估计概率. 2.了解模拟方法估计概率的实际应用. 3.初步体会几何概型的意义.
自主学习 |新知预习|
基础认识
1．几何概型 (1)向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点 M，若点 M 落在 子区域 G1 Ø G 的概率与 G1 的面积成正比，而与 G 的形状、位置无 G1的面积 关，即 P(点 M 落在 G1)＝ ，则称这种模型为几何概型． G的面积 (2)几何概型中的 G 也可以是空间中或直线上的有限区域， 相应 的概率是体积之比或长度之比．
解析：由几何概型的概率公式可知，质点落在以 AB 为直径的 1 半圆的面积 2π π 半圆内的概率 P＝ ＝ ＝ .故选 B. 长方形的面积 2 4 答案：B
4．在 1 L 高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随 机取出 10 mL，则含有麦锈病种子的概率为________．
பைடு நூலகம்
解析：设事件 A＝{10 mL 小麦种子中含有麦锈病种子}，由几 10 何概型的概率计算公式得 P(A)＝1 000＝0.01，所以 10 mL 小麦种子 中含有麦锈病种子的概率是 0.01. 答案：0.01
类型三 与体积有关的几何概型 [例 3] 有一杯 2 升的水，其中含有一个细菌，用一个小杯从这 杯水中取出 0.1 升水，求这一小杯水中含有这个细菌的概率．
解析： f(x) ＝ log2x≥0 可以得出
1 x≥1 ，所以在区间 2，2 上使
2－1 2 f(x)≥0 的范围为[1,2]，所以使得 f(x0)≥0 的概率为 P＝ 1＝3. 2－2 2 答案：3
类型二 与角度有关的几何概型 [例 2] 设 A 为圆周上一定点， 在圆周上等可能的任取一点与 A 连接，求弦长超过半径的 2倍的概率． 【思路点拨】 先找出相应考查的区域及角度大小，然后根据 几何概型公式计算即可．
自主学习 |新知预习|
基础认识
1．几何概型 (1)向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点 M，若点 M 落在 子区域 G1 Ø G 的概率与 G1 的面积成正比，而与 G 的形状、位置无 G1的面积 关，即 P(点 M 落在 G1)＝ ，则称这种模型为几何概型． G的面积 (2)几何概型中的 G 也可以是空间中或直线上的有限区域， 相应 的概率是体积之比或长度之比．
解析：由几何概型的概率公式可知，质点落在以 AB 为直径的 1 半圆的面积 2π π 半圆内的概率 P＝ ＝ ＝ .故选 B. 长方形的面积 2 4 答案：B
4．在 1 L 高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随 机取出 10 mL，则含有麦锈病种子的概率为________．
பைடு நூலகம்
解析：设事件 A＝{10 mL 小麦种子中含有麦锈病种子}，由几 10 何概型的概率计算公式得 P(A)＝1 000＝0.01，所以 10 mL 小麦种子 中含有麦锈病种子的概率是 0.01. 答案：0.01
类型三 与体积有关的几何概型 [例 3] 有一杯 2 升的水，其中含有一个细菌，用一个小杯从这 杯水中取出 0.1 升水，求这一小杯水中含有这个细菌的概率．
解析： f(x) ＝ log2x≥0 可以得出
1 x≥1 ，所以在区间 2，2 上使
2－1 2 f(x)≥0 的范围为[1,2]，所以使得 f(x0)≥0 的概率为 P＝ 1＝3. 2－2 2 答案：3
类型二 与角度有关的几何概型 [例 2] 设 A 为圆周上一定点， 在圆周上等可能的任取一点与 A 连接，求弦长超过半径的 2倍的概率． 【思路点拨】 先找出相应考查的区域及角度大小，然后根据 几何概型公式计算即可．
北师大版高中数学必修3《三章 概率 3 模拟方法——概率的应用 模拟方法——概率的应用》培优课课件_1
• 几何概型的特点: (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个. (2)每个基本事件出现的可能性相等.
在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下:
P(
A)
构成事件A的区域长度（面积或体积） 全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
例题学习
例1：某人从甲地去乙地共走了500m，途经一条宽为 xm的河流，该人不小心把一件物品丢在途中，若物品 掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到， 已知该物品找不到的概率为 1 ，则河宽为____m.
2、一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时 间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是__________、 __________、__________
3、如果在一个2000平方千米的海域里，有表面积达400平方千米的大陆架蕴
藏着石油，假如在这海域里随意选定一点钻探，问钻到石油的概率是_____
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 (面积或体积)成比例,
在几何概型中,计算公式:
P(
A)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
构成事件A的区域长度（面积或体积） 全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
【作业布置】 A组：课本P142 A组1、2、3 B祖：课本P142 A组2、3、4
3.3 模拟方法-概率的应用
学习目标：
1、几何概型的概念及应用 2、了解模拟方法的基本思想,会利用这种思 想解决相关问题
复习回顾 古典概型特征:
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有 有限个. (2)每个基本事件出现的可能性相等.
古典概型计算公式:
事件 包含的可能结果数
P(A)= 试验的所有可能结果数
在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下:
P(
A)
构成事件A的区域长度（面积或体积） 全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
例题学习
例1：某人从甲地去乙地共走了500m，途经一条宽为 xm的河流，该人不小心把一件物品丢在途中，若物品 掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到， 已知该物品找不到的概率为 1 ，则河宽为____m.
2、一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时 间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是__________、 __________、__________
3、如果在一个2000平方千米的海域里，有表面积达400平方千米的大陆架蕴
藏着石油，假如在这海域里随意选定一点钻探，问钻到石油的概率是_____
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 (面积或体积)成比例,
在几何概型中,计算公式:
P(
A)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
构成事件A的区域长度（面积或体积） 全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
【作业布置】 A组：课本P142 A组1、2、3 B祖：课本P142 A组2、3、4
3.3 模拟方法-概率的应用
学习目标：
1、几何概型的概念及应用 2、了解模拟方法的基本思想,会利用这种思 想解决相关问题
复习回顾 古典概型特征:
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有 有限个. (2)每个基本事件出现的可能性相等.
古典概型计算公式:
事件 包含的可能结果数
P(A)= 试验的所有可能结果数
【同步课堂】北师大版高中数学必修三第三章3.3模拟方法---概率的应用教学课件(共27张PPT)
解 记“灯与两端距离都大于3m”为事件A，
由于绳长8m, 当挂灯位置介于中间2m时, 事件A发生, 于是
事件A发生的概率
P( A)
2 8
1 .
4
3m
3m
8m
答：灯与两端距离都大于3m的概率是0.25.
点评：采用模拟方法的思想，利用线段的长度比例得到所求 概率。将概率问题转化为几何问题来计算是几何概型的精华之 所在。
横、纵两轴产生公共区域，结合面积得到问题的结论，我们称
此类问题为“约会型”概率问题。 晚报时间(y)
y=x
“约会型”概率问题的求解关键
在于合理、恰当地引入变量， 6:30
再将具体问题“数学化”，通过 6:00
5:30
数学模型，得出结论。
深入分析本题会发现
o
6:00 6:30 7:00 晚餐时间(x)
对于第二个转盘，编号为2的部分的面积与编号为1的部分 的面积之比为165:15=11:1.可以在随机数表中考虑相邻的两个数 字，这样产生的随机数为00,01,02，... ,99.在产生的两位随机数 中去掉12,13,14,... ,99,用00代表转动转盘指针指向转盘的编号为 1的部分,用01,02,... ,11这11个数代表转动转盘指针指向转盘的编 号为2的部分.在随机数表中随机选择一个开始点，顺次往后， 每次产生一个两位随机数就完成一次模拟。
刚才的引例是利用模拟方法求图形的面积，下面我们利用模 拟方法的思想来研究有关概率的求法。
一、几何概型及计算公式
向平面上有限区域（集合）G内随机地投掷点M, 若点M落在
子 关区, 即域PG(1点MG落的在概G率1 )与GGG11的的的面面面积积积成，则正称比这, 而种与模G型的为形几状何、概位型置. 无
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[核心必知]
1．模拟方法 在大量重复试验的前提下，可以用随机事件发生的频率 来估 计其发生的概率，但确定随机事件发生的频率常常需要人工做大 量的重复试验，既费时又费力，并且有时很难实现．因此，我们 可以借助于 模拟 方法来估计某些随机事件发生的概率． 2．几何概型 (1)定义：向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M，若点 M落在子区域G1 G的概率与G1的面积成 正比 ，而与G的形状、位 置无关， G1的面积 G的面积，则称这种模型为几何概型． 即P(点M落在G1)＝ (2)说明：几何概型中的G也可以是空间中或直线上的有限区域， 体积 长度 相应的概率是 之比或 之比．
[问题思考]
1．几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关吗？
提示：几何概型的概率只与它的长度(面积或体积)有关，而与 构成事件的区域形状无关． 2．在几何概型中，如果A为随机事件，若P(A)＝0，则A一定 为不可能事件；若P(A)＝1，则A一定为必然事件，这种说法正确 吗？ 提示：这种说法不正确．如果随机事件所在的区域是一个单 点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0， 显然它不是不可能事件；如果一个随机事件所在的区域是全部区 域扣除一个单点，则它出现的概率为1，但它不是必然事件．
如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度来表 示，则其概率的计算公式为 事件 A 构成的区域角度 P(A )＝ . 试验的全部结果构成的区域角度
练一练 4．在转盘游戏中，假设转盘有三种颜色：红、绿、蓝．当 转盘停止时， 如果指针指向红色为赢， 绿色为平， 蓝色为输． 若 每种颜色被平均分成四块，不同颜色相间排列，要使赢的概率 1 1 为5，输的概率为3，求每个绿色扇形的圆心角为多少度(假与长度有关的几何概型时，首先找到几何 区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线 段，然后找到事件A发生对应的区域d，在找d的过程 中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却 不影响事件A的概率．
练一练 1．在区间[－1,2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为 ________．
1 1 1 7 μ 7 μA ＝12－ × × ＝ ，μ Ω＝1，所以 P(A )＝ A ＝ . 2 2 2 8 μΩ 8
在研究射击、射箭、投中、射门等实际问题时，常借助于 区域的面积来计算概率的值．此时，只需分清各自区域特征， 分别计算其面积，以公式 构成事件 A 的区域面积 P(A )＝ 计算事件的概率 试验的全部结果构成的区域面积 即可．
[尝试解答] 如图，送报人到达的时间是 6：30～7：30 的 任一时刻，父亲离开家去工作的时间是 7：00～8：00 的任一 时刻，如果在直角坐标系内以 x 轴表示报纸送到的时间，y 轴 表示父亲离开家的时间，因为报纸送到的时间和父亲离开家的 时间都是随机的，所以随机试验的所有结果 (x，y)是图中所示 正方形中等可能的任意一点． 事件 A(父亲离开家前能拿到报纸) 发生须 x≤y，即正方形内阴影部分，事件 A 发生的概率只与阴 影部分的面积大小有关，这符合几何概型的条件．
[尝试解答] 如图所示，在⊙O 上有一定点 A，任取一点 B 与 A 连结，则弦长超过半径的 2倍，即为∠AOB 的度数大于 90° ，而小于 270° . 记“弦长超过半径的 2倍”为事件 C， π 3π 则 C 表示的范围是∠AOB∈(2， 2 )． 270° －90° 1 则由几何概型概率的公式，得 P(C )＝ 360° ＝2.
讲一讲 1.取一根长为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪 得两段的长度都不小于1 m的概率有多大？ [尝试解答] 如图所示，记 A＝{剪得两段绳子长都不小于 1 m}，把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事 件 A 发生．
全部试验结果构成的区域长度是绳子的长度 3 m，事件 A 1 包含的结果构成的区域长度是中间一段的长度，为 3× 3 ＝ 1 1(m)，故事件 A 发生的概率 P(A)＝3.
π 答案：16
讲一讲 3.有一杯2升的水，其中含有一个细菌，用一个小杯从这杯 水中取出0.1升水，求小杯水中含有这个细菌的概率．
[尝试解答] 把判断这个细菌所在的位置看成一次试验， 设所取的 0.1 升水中含有这个细菌为事件 A，则事件 A 构成的 区域体积是 0.1 升，全部试验结果构成的区域体积是 2 升，所 0.1 以 P(A)＝ 2 ＝0.05.
解析：由|x|≤1 得，－1≤x≤1， 1－－1 2 故易知所求概率为 ＝ . 2－－1 3 2 答案： . 3
讲一讲 2.假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～ 7：30把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间是7：00 ～8：00，问你父亲在离开家前能拿到报纸(称为事件A)的概率 是多少？
如果试验的结果所成的区域可用体积来度量，我们要结合 问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的总体 积及事件 A 所分布的体积．其概率的计算 构成事件A的区域体积 P(A)＝ . 试验的全部结果构成的区域体积
练一练 3．在棱长为3的正方体内任意取一个点，求这个点到 各面的距离均大于1的概率．
解：记事件 A 为“点到各面的距离均大于 1”，则满足题 意的点构成的区域为：位于该正方体中心的一个棱长为 1 的小 正方体的内部．由几何概型的计算公式，可得满足题意的概率 13 1 为 P(A)＝33＝27.
讲一讲 4.设A为圆周上一定点，在圆周上等可能的任取一点与A连 接，求弦长超过半径的 倍的概率．
练一练 2．在平面直角坐标系xOy中，设D是横坐标与纵坐标的 绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于 1的点构成的区域，向D中随机投一点，则落入E中的概率为 ________．
解析： 如图所示， 区域 D 表示边长为 4 的正方形的内部(含 π×12 π 边界)，区域 E 表示单位圆及其内部，因此 P＝ ＝ . 4×4 16
1．模拟方法 在大量重复试验的前提下，可以用随机事件发生的频率 来估 计其发生的概率，但确定随机事件发生的频率常常需要人工做大 量的重复试验，既费时又费力，并且有时很难实现．因此，我们 可以借助于 模拟 方法来估计某些随机事件发生的概率． 2．几何概型 (1)定义：向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M，若点 M落在子区域G1 G的概率与G1的面积成 正比 ，而与G的形状、位 置无关， G1的面积 G的面积，则称这种模型为几何概型． 即P(点M落在G1)＝ (2)说明：几何概型中的G也可以是空间中或直线上的有限区域， 体积 长度 相应的概率是 之比或 之比．
[问题思考]
1．几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关吗？
提示：几何概型的概率只与它的长度(面积或体积)有关，而与 构成事件的区域形状无关． 2．在几何概型中，如果A为随机事件，若P(A)＝0，则A一定 为不可能事件；若P(A)＝1，则A一定为必然事件，这种说法正确 吗？ 提示：这种说法不正确．如果随机事件所在的区域是一个单 点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0， 显然它不是不可能事件；如果一个随机事件所在的区域是全部区 域扣除一个单点，则它出现的概率为1，但它不是必然事件．
如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度来表 示，则其概率的计算公式为 事件 A 构成的区域角度 P(A )＝ . 试验的全部结果构成的区域角度
练一练 4．在转盘游戏中，假设转盘有三种颜色：红、绿、蓝．当 转盘停止时， 如果指针指向红色为赢， 绿色为平， 蓝色为输． 若 每种颜色被平均分成四块，不同颜色相间排列，要使赢的概率 1 1 为5，输的概率为3，求每个绿色扇形的圆心角为多少度(假与长度有关的几何概型时，首先找到几何 区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线 段，然后找到事件A发生对应的区域d，在找d的过程 中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却 不影响事件A的概率．
练一练 1．在区间[－1,2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为 ________．
1 1 1 7 μ 7 μA ＝12－ × × ＝ ，μ Ω＝1，所以 P(A )＝ A ＝ . 2 2 2 8 μΩ 8
在研究射击、射箭、投中、射门等实际问题时，常借助于 区域的面积来计算概率的值．此时，只需分清各自区域特征， 分别计算其面积，以公式 构成事件 A 的区域面积 P(A )＝ 计算事件的概率 试验的全部结果构成的区域面积 即可．
[尝试解答] 如图，送报人到达的时间是 6：30～7：30 的 任一时刻，父亲离开家去工作的时间是 7：00～8：00 的任一 时刻，如果在直角坐标系内以 x 轴表示报纸送到的时间，y 轴 表示父亲离开家的时间，因为报纸送到的时间和父亲离开家的 时间都是随机的，所以随机试验的所有结果 (x，y)是图中所示 正方形中等可能的任意一点． 事件 A(父亲离开家前能拿到报纸) 发生须 x≤y，即正方形内阴影部分，事件 A 发生的概率只与阴 影部分的面积大小有关，这符合几何概型的条件．
[尝试解答] 如图所示，在⊙O 上有一定点 A，任取一点 B 与 A 连结，则弦长超过半径的 2倍，即为∠AOB 的度数大于 90° ，而小于 270° . 记“弦长超过半径的 2倍”为事件 C， π 3π 则 C 表示的范围是∠AOB∈(2， 2 )． 270° －90° 1 则由几何概型概率的公式，得 P(C )＝ 360° ＝2.
讲一讲 1.取一根长为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪 得两段的长度都不小于1 m的概率有多大？ [尝试解答] 如图所示，记 A＝{剪得两段绳子长都不小于 1 m}，把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事 件 A 发生．
全部试验结果构成的区域长度是绳子的长度 3 m，事件 A 1 包含的结果构成的区域长度是中间一段的长度，为 3× 3 ＝ 1 1(m)，故事件 A 发生的概率 P(A)＝3.
π 答案：16
讲一讲 3.有一杯2升的水，其中含有一个细菌，用一个小杯从这杯 水中取出0.1升水，求小杯水中含有这个细菌的概率．
[尝试解答] 把判断这个细菌所在的位置看成一次试验， 设所取的 0.1 升水中含有这个细菌为事件 A，则事件 A 构成的 区域体积是 0.1 升，全部试验结果构成的区域体积是 2 升，所 0.1 以 P(A)＝ 2 ＝0.05.
解析：由|x|≤1 得，－1≤x≤1， 1－－1 2 故易知所求概率为 ＝ . 2－－1 3 2 答案： . 3
讲一讲 2.假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～ 7：30把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间是7：00 ～8：00，问你父亲在离开家前能拿到报纸(称为事件A)的概率 是多少？
如果试验的结果所成的区域可用体积来度量，我们要结合 问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的总体 积及事件 A 所分布的体积．其概率的计算 构成事件A的区域体积 P(A)＝ . 试验的全部结果构成的区域体积
练一练 3．在棱长为3的正方体内任意取一个点，求这个点到 各面的距离均大于1的概率．
解：记事件 A 为“点到各面的距离均大于 1”，则满足题 意的点构成的区域为：位于该正方体中心的一个棱长为 1 的小 正方体的内部．由几何概型的计算公式，可得满足题意的概率 13 1 为 P(A)＝33＝27.
讲一讲 4.设A为圆周上一定点，在圆周上等可能的任取一点与A连 接，求弦长超过半径的 倍的概率．
练一练 2．在平面直角坐标系xOy中，设D是横坐标与纵坐标的 绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于 1的点构成的区域，向D中随机投一点，则落入E中的概率为 ________．
解析： 如图所示， 区域 D 表示边长为 4 的正方形的内部(含 π×12 π 边界)，区域 E 表示单位圆及其内部，因此 P＝ ＝ . 4×4 16