高考数学一轮复习第五章数列课时分层作业三十二等比数列及其前n项和理
高考数学一轮复习 第5章 数列 5.3 等比数列及其前n项和课后作业 理
5．3 等比数列及其前n 项和[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2018·邢台摸底)已知数列{a n }为等比数列，a 5＝1，a 9＝81，则a 7＝( ) A ．9或－9 B ．9 C ．27或－27 D ．27答案 B解析 依题意得a 27＝a 5·a 9＝81，又注意到a 7a 5＝q 2>0(其中q 为公比)，因此a 5，a 7的符号相同，故a 7＝9.故选B.2．(2018·安徽安庆模拟)数列{a n }满足：a n ＋1＝λa n －1(n ∈N *，λ∈R 且λ≠0)，若数列{a n －1}是等比数列，则λ的值等于( )A ．1B ．－1 C.12 D ．2答案 D解析 由a n ＋1＝λa n －1，得a n ＋1－1＝λa n －2＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －2λ.由于数列{a n －1}是等比数列，所以2λ＝1，得λ＝2.故选D.3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )A ．192里B ．96里C ．48里D ．24里答案 B解析 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ＝12，依题意有a 1⎝⎛⎭⎪⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192，则a 2＝192×12＝96，即第二天走了96里．故选B.4．(2018·浙江温州十校联考)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝5，S m ＝－11，S m ＋1＝21，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 C解析 由已知得，S m －S m －1＝a m ＝－16，S m ＋1－S m ＝a m ＋1＝32，故公比q ＝a m ＋1a m＝－2.又S m ＝a 1－a m q 1－q＝－11，故a 1＝－1.又a m ＝a 1·q m －1＝－16，故(－1)×(－2)m －1＝－16，求得m ＝5.故选C.5．(2017·福建漳州八校联考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于( )A ．－3B ．5C ．－31D ．33答案 D解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知得q ≠1. ∵S 3＝2，S 6＝18， ∴1－q 31－q 6＝218，得q 3＝8， ∴q ＝2.∴S 10S 5＝1－q 101－q5＝1＋q 5＝33.故选D.6．(2017·安徽六校素质测试)在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2，a 4＋2，a 5成等差数列，a 1＝2，S n 是数列{a n }的前n 项的和，则S 10－S 4＝( )A ．1008B ．2016C ．2032D ．4032答案 B解析 由题意知2(a 4＋2)＝a 2＋a 5，即2(2q 3＋2)＝2q ＋2q 4＝q (2q 3＋2)，得q ＝2，所以a n ＝2n，S 10＝－2101－2＝211－2＝2046，S 4＝－241－2＝25－2＝30，所以S 10－S 4＝2016.故选B.7．(2018·上海黄浦模拟)已知{a n }是首项为1的等比数列，若S n 是数列{a n }的前n 项和，且28S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前4项和为( )A.158或4 B.4027或4 C.4027 D.158答案 C解析 设数列{a n }的公比为q .当q ＝1时，由a 1＝1，得28S 3＝28×3＝84，S 6＝6，两者不相等，因此不合题意． 当q ≠1时，由28S 3＝S 6及首项为1，得－q 31－q＝1－q 61－q，解得q ＝3. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前4项和为1＋13＋19＋127＝4027.8．(2018·衡水模拟)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a 1＝120，9S 3＝S 6，设T n ＝a 1a 2a 3·…·a n ，则使T n 取最小值时n 的值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ，由9S 3＝S 6知，q ≠1，故－q 31－q＝1－q 61－q，解得q ＝2，又a 1＝120，所以a n ＝a 1qn －1＝2n －120. 因为T n ＝a 1a 2a 3·…·a n ，故当T n 取最小值时a n ≤1，且a n ＋1≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2n －120≤1，2n20≥1，得n ＝5.故选C.9．(2018·河南洛阳模拟)若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p >0，q >0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 D解析 ∵a ，b 是函数f (x )＝x 2－px 十q (p >0，q >0)的两个不同的零点，∴a ＋b ＝p ，ab ＝q .∵p >0，q >0，∴a >0，b >0.又a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a －2，ab ＝4①或⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝b －2，ab ＝4，②解①得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1，解②得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4.∴p ＝a ＋b ＝5，q ＝1×4＝4. ∴p ＋q ＝9.故选D.10．(2017·广东清远一中一模)已知正项等比数列{a n }满足：a 3＝a 2＋2a 1，若存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为( )A.32B.53C.256 D ．不存在答案 A解析 ∵正项等比数列{a n }满足：a 3＝a 2＋2a 1， ∴a 1q 2＝a 1q ＋2a 1，即q 2＝q ＋2，解得q ＝－1(舍)或q ＝2， ∵存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝4a 1， ∴a m a n ＝16a 21， ∴(a 1·2m －1)·(a 1·2n －1)＝16a 21，∴a 21·2m ＋n －2＝16a 21，∴m ＋n ＝6，∴1m ＋4n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋n ＝16⎝⎛⎭⎪⎫5＋n m ＋4m n ≥16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2n m ·4m n ＝32(当且仅当n ＝2m 时取等)， ∴1m ＋4n 的最小值是32.故选A. 二、填空题11．(2014·天津高考)设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为________．答案 －12解析 S 1＝a 1，S 2＝2a 1－1，S 4＝4a 1－6.故(2a 1－1)2＝a 1(4a 1－6)，解得a 1＝－12.12．(2014·广东高考)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________.答案 50解析 因为等比数列{a n }中，a 10·a 11＝a 9·a 12，所以由a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，可解得a 10·a 11＝e 5.所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln (a 1·a 2·…·a 20) ＝ln (a 10·a 11)10＝10ln (a 10·a 11)＝10ln e 5＝50.13．(2017·广东潮州二模)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，a n ＝2×3n －1(n ∈N *)，若b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，则b 1＋b 2＋…＋b n ＝________. 答案 12－13n ＋1－1解析 由a n ＝2×3n －1可知数列{a n }是以2为首项，3为公比的等比数列，所以S n ＝－3n1－3＝3n－1，则b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1，则b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 1－1S 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 2－1S 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S n －1S n ＋1＝1S 1－1S n ＋1＝12－13n ＋1－1. 14．一正数等比数列前11项的几何平均数为32，从这11项中抽去一项后所余下的10项的几何平均数为32，那么抽去的这一项是第________项．答案 6解析 由于数列的前11项的几何平均数为32，所以该数列的前11项之积为3211＝255. 当抽去一项后所剩下的10项之积为3210＝250， ∴抽去的一项为255÷250＝25.又因a 1·a 11＝a 2·a 10＝a 3·a 9＝a 4·a 8＝a 5·a 7＝a 26， ∴a 1·a 2·…·a 11＝a 116.故有a 116＝255，即a 6＝25. ∴抽出的应是第6项． 三、解答题15．(2017·海淀区模拟)已知{a n }是等差数列，满足a 1＝2，a 4＝14，数列{b n }满足b 1＝1，b 4＝6，且{a n －b n }是等比数列．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若∀n ∈N *，都有b n ≤b k 成立，求正整数k 的值． 解 (1)设{a n }的公差为d ，则d ＝a 4－a 13＝4，∴a n ＝2＋(n －1)×4＝4n －2，故{a n }的通项公式为a n ＝4n －2(n ∈N *)． 设c n ＝a n －b n ，则{c n }为等比数列．c 1＝a 1－b 1＝2－1＝1，c 4＝a 4－b 4＝14－6＝8，设{c n }的公比为q ，则q 3＝c 4c 1＝8，故q ＝2. 则c n ＝2n －1，即a n －b n ＝2n －1.∴b n ＝4n －2－2n －1(n ∈N *)．故{b n }的通项公式为b n ＝4n －2－2n －1(n ∈N *)．(2)由题意，b k 应为数列{b n }的最大项． 由b n ＋1－b n ＝4(n ＋1)－2－2n－4n ＋2＋2n －1＝4－2n －1(n ∈N *)．当n ＜3时，b n ＋1－b n ＞0，b n ＜b n ＋1，即b 1＜b 2＜b 3；当n ＝3时，b n ＋1－b n ＝0，即b 3＝b 4；当n ＞3时，b n ＋1－b n ＜0，b n ＞b n ＋1，即b 4＞b 5＞b 6＞…. 综上所述，数列{b n }中的最大项为b 3和b 4. 故存在k ＝3或4，使∀n ∈N *，都有b n ≤b k 成立．16．(2015·广东高考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *.已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1.(1)求a 4的值；(2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列；(3)求数列{a n }的通项公式． 解 (1)∵4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1， ∴n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1，∴4(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋5(a 1＋a 2)＝8(a 1＋a 2＋a 3)＋a 1，∴4×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋a 4＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＝8×( 1＋32＋54 )＋1，解得a 4＝78.(2)证明：∵n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1， ∴4(S n ＋2－S n ＋1)－2(S n ＋1－S n ) ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤S n ＋1－S n －12S n －S n －1，∴(S n ＋2－S n ＋1)－12(S n ＋1－S n )＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤S n ＋1－S n －12S n －S n －1， ∴a n ＋2－12a n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1－12a n .又a 3－12a 2＝12⎝⎛⎭⎪⎫a 2－12a 1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是首项为1，公比为12的等比数列．(3)由(2)知⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是首项为1，公比为12的等比数列，∴a n ＋1－12a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，两边同乘以2n ＋1，得a n ＋1·2n ＋1－a n ·2n＝4.又a 2·22－a 1·21＝4，∴{a n ·2n}是首项为2，公差为4的等差数列， ∴a n ·2n ＝2＋4(n －1)＝2(2n －1)， ∴a n ＝n －2n ＝2n －12n －1.。
年高考数学一轮总复习第五章数列.等比数列及其前n项和课时跟踪检测理
5.3 等比数列及其前n 项和[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．已知数列{a n }为等比数列，若a 4＋a 6＝10，则a 7(a 1＋2a 3)＋a 3a 9的值为( ) A ．10 B ．20 C ．100D ．200解析：a 7(a 1＋2a 3)＋a 3a 9＝a 7a 1＋2a 7a 3＋a 3a 9＝a 24＋2a 4a 6＋a 26＝(a 4＋a 6)2＝102＝100. 答案：C2．设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18 B ．－18C.578D ．558解析：因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18.所以a 7＋a 8＋a 9＝18.答案：A3．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－5B ．－15C ．5D ．15解析：∵log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1，∴a n ＋1＝3a n . ∴数列{a n }是公比q ＝3的等比数列． ∵a 5＋a 7＋a 9＝q 3(a 2＋a 4＋a 6)，∴log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 13(9×33)＝log 1335＝－5.答案：A4．(2017届太原一模)在单调递减的等比数列{a n }中，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝( )A ．2B ．4 C. 2D ．2 2解析：在等比数列{a n }中，a 2a 4＝a 23＝1，又a 2＋a 4＝52，数列{a n }为递减数列，所以a 2＝2，a 4＝12，所以q 2＝a 4a 2＝14，所以q ＝12，a 1＝a 2q＝4.答案：B5．(2017届莱芜模拟)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝3，a n ＋1－a n ＝b n ＋1b n＝3，n ∈N *，若数列{c n }满足c n ＝ba n ，则c 2 017＝( )A ．92 016B ．272 016C ．92 017D ．272 017解析：由已知条件知{a n }是首项为3，公差为3的等差数列，数列{b n }是首项为3，公比为3的等比数列，所以a n ＝3n ，b n ＝3n. 又c n ＝ba n ＝33n， 所以c 2 017＝33×2 017＝272 017.答案：D6．(2018届海口市调研测试)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，a 2－8a 5＝0，则S 8S 4的值为( )A.12 B ．1716 C ．2D ．17解析：设{a n }的公比为q ，依题意得a 5a 2＝18＝q 3，因此q ＝12.注意到a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝q 4(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)，即有S 8－S 4＝q 4S 4，因此S 8＝(q 4＋1)S 4，S 8S 4＝q 4＋1＝1716，选B.答案：B7．(2017届衡阳模拟)在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n ＝( )A ．2n ＋1－2 B ．3n C ．2nD ．3n－1解析：因为数列{a n }为等比数列，a 1＝2，设其公比为q ，则a n ＝2qn －1，因为数列{a n ＋1}也是等比数列，所以(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)⇒a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2⇒a n ＋a n＋2＝2a n ＋1⇒a n (1＋q 2－2q )＝0⇒q ＝1，即a n ＝2，所以S n ＝2n ，故选C.答案：C8．(2017届广州市五校联考)已知数列{a n }的首项a 1＝2，数列{b n }为等比数列，且b n。
高考数学一轮复习 第五章 数列 . 等比数列及其前n项和练习 理创新
第五章 数列 5.3 等比数列及其前n 项和练习 理[A 组·基础达标练]1．[2016·邢台摸底]已知数列{a n }为等比数列，a 5＝1，a 9＝81，则a 7＝( ) A ．9或－9 B ．9 C ．27或－27 D ．27答案 B解析 依题意得a 27＝a 5·a 9＝81，又注意到a 7a 5＝q 2>0(其中q 为公比)，因此a 5，a 7的符号相同，故a 7＝9，选B.2．[2015·唐山期末]设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4S 2＝3，则S 6S 4＝( ) A ．2 B.73 C.310 D ．1或2答案 B解析 设S 2＝k ，S 4＝3k ，由数列{a n }为等比数列，得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4为等比数列，∴S 2＝k ，S 4－S 2＝2k ，S 6－S 4＝4k ，∴S 6＝7k ，S 4＝3k ，∴S 6S 4＝7k 3k ＝73，故选B.3．[2014·重庆高考]对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列 D ．a 3，a 6，a 9成等比数列答案 D解析 不妨设公比为q ，则a 23＝a 21q 4，a 1·a 9＝a 21q 8，a 2·a 6＝a 21·q 6，当q ≠±1时，A 、B 均不正确；又a 24＝a 21q 6，a 2·a 8＝a 21q 8，同理，C 不正确；由a 26＝a 21q 10，a 3·a 9＝a 21q 10，知D 正确．4．[2015·太原一模]在单调递减的等比数列{a n }中，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝( )A ．2B ．4 C. 2 D ．2 2答案 B解析 在等比数列{a n }中，a 2a 4＝a 23＝1，又a 2＋a 4＝52，数列{a n }为递减数列，设其公比为q ，∴a 2＝2，a 4＝12，∴q 2＝a 4a 2＝14，∴q ＝12，a 1＝a 2q＝4.5．[2015·洛阳模拟]已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．7 B ．5 C ．－5 D ．－7 答案 D解析列出方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＋a 1q 6＝2，a 21q 9＝－8，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 31＋q 3＝2， ①a 21q 9＝－8. ②①2÷②得 1＋q 3 2q 3＝－12， 解得q 3＝－2或q 3＝－12.当q 3＝－2时，a 1＝1，a 10＝－8， 则a 1＋a 10＝－7；当q 3＝－12时，a 1＝－8，a 10＝1，则a 1＋a 10＝－7.6．[2016·南昌调研]已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列说法中一定成立的是( )A ．若a 3>0，则a 2015<0B ．若a 4>0，则a 2014<0C ．若a 3>0，则S 2015>0D ．若a 4>0，则S 2014>0 答案 C解析 等比数列{a n }的公比q ≠0.对于A ，若a 3>0，则a 1q 2>0，所以a 1>0，所以a 2015＝a 1q 2014>0，所以A 不正确；对于B ，若a 4>0，则a 1q 3>0，所以a 1q >0，所以a 2014＝a 1q2013>0，所以B 不正确；对于C ，若a 3>0，则a 1＝a 3q 2>0，所以当q ＝1时，S 2015>0，当q ≠1时，S 2015＝a 1 1－q 2015 1－q>0(1－q 与1－q2015同号)，所以C 正确，同理可知D 错误，故选C.7．[2016·山西四校联考]等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n >0，q >1，a 3＋a 5＝20，a 2a 6＝64，则S 5＝( )A ．31B ．36C ．42D ．48答案 A解析 由等比数列的性质，得a 3a 5＝a 2a 6＝64，于是由⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 5＝20a 3a 5＝64，且a n >0，q >1，得a 3＝4，a 5＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝4a 1q 4＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1q ＝2，所以S 5＝1× 1－251－2＝31，故选A.8．[2016·郑州一检]已知等比数列{a n }，其前n 项和为S n ，a 1＋a 2＝34，a 4＋a 5＝6，则S 6＝________.答案634解析 记等比数列{a n }的公比为q ，则有q 3＝a 4＋a 5a 1＋a 2＝8，q ＝2，S 6＝(a 1＋a 2)＋q 2(a 1＋a 2)＋q 4(a 1＋a 2)＝21(a 1＋a 2)＝634. 9．[2013·江苏高考]在正项等比数列{a n }中，a 5＝12，a 6＋a 7＝3.则满足a 1＋a 2＋…＋a n >a 1a 2…a n 的最大正整数n 的值为________．答案 12解析 设等比数列的首项为a 1，公比为q >0，由 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1·q 4＝12，a 1·q 5＋a 1·q 6＝3，得a 1＝132，q ＝2.由a 1＋a 2＋…＋a n >a 1a 2…a n ，得2n－1>2 n －1 n －102 .检验知n ＝12时，212－1>211；n ＝13时，213－1<218，故满足a 1＋a 2＋…＋a n >a 1a 2…a n 的最大正整数n 的值是12.10．[2016·兰州诊断]数列{a n }的首项为a 1＝1，数列{b n }为等比数列且b n ＝a n ＋1a n，若b 10b 11＝2015 110，则a 21＝________.答案 2015 解析 由b n ＝a n ＋1a n ，且a 1＝1，得b 1＝a 2a 1＝a 2；b 2＝a 3a 2，a 3＝a 2b 2＝b 1b 2；b 3＝a 4a 3，a 4＝a 3b 3＝b 1b 2b 3；……；b n －1＝a na n －1，a n ＝b 1b 2…b n －1，∴a 21＝b 1b 2…b 20.∵数列{b n }为等比数列，∴a 21＝(b 1b 20)(b 2b 19)…(b 10b 11)＝(b 10b 11)10＝(2015110 )10＝2015.11．[2015·洛阳期末]已知等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝－log3a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n .解 (1)设数列{a n }的公比为q ，由a 23＝9a 2a 6得a 23＝9a 24，∴q 2＝19.由条件可知q >0，故q ＝13.由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1，∴a 1＝13.故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n .(2)∵a n ＝13n ，∴b n ＝－log3 13n ＝2n ，从而1b n b n ＋1＝14n n ＋1 ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴T n ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝14⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n 4 n ＋1 . 12．[2015·山东高考]设数列{a n }的前n 项和为S n .已知2S n ＝3n＋3. (1)求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n b n ＝log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n . 解 (1)因为2S n ＝3n＋3， 所以2a 1＝3＋3，故a 1＝3， 当n >1时，2S n －1＝3n －1＋3，此时2a n ＝2S n －2S n －1＝3n－3n －1＝2×3n －1，即a n ＝3n －1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，3n －1，n >1.(2)因为a n b n ＝log 3a n ，所以b 1＝13.当n >1时，b n ＝31－nlog 33n －1＝(n －1)·31－n.所以T 1＝b 1＝13；当n >1时，T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝13＋[1×3－1＋2×3－2＋…＋(n －1)×31－n]，所以3T n ＝1＋[1×30＋2×3－1＋…＋(n －1)×32－n]，两式相减，得2T n ＝23＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n )－(n －1)×31－n＝23＋1－31－n1－3－1－(n －1)×31－n ＝136－6n ＋32×3n ， 所以T n ＝1312－6n ＋34×3n .经检验，n ＝1时也适合． 综上可得T n ＝1312－6n ＋34×3n .[B 组·能力提升练]1．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x )，如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f (a n )}仍是等比数列，则称f (x )为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f (x )＝x 2；②f (x )＝2x；③f (x )＝|x |；④f (x )＝ln |x |. 则其中是“保等比数列函数”的f (x )的序号为( )A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④ 答案 C解析 验证①f a n ＋1 f a n ＝a 2n ＋1a 2n ＝q 2，③f a n ＋1 f a n ＝|a n ＋1||a n |＝|q |，∴①③为“保等比数列函数”，故选C.2．[2016·泰安模拟]在如图所示的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么x ＋y ＋z 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 由题知表格中第三纵列中的数成首项为4，公比为12的等比数列，故有x ＝1.根据每横行成等差数列得第四列前两个数字依次为5，52，故第四列的公比为12.所以y ＝5×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝58，同理z ＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝38，因此x ＋y ＋z ＝2. 3．[2015·沈阳一模]数列{a n }是等比数列，若a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝________.答案323(1－4－n) 解析 设等比数列{a n }的公比为q ，由等比数列的性质知a 5＝a 2q 3，求得q ＝12，所以a 1＝4.a 2a 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝14a 1a 2，a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ＝14a n －1a n (n ≥2)．设b n ＝a n a n ＋1，可以得出数列{b n }是以8为首项，以14为公比的等比数列，所以a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1为数列{b n }的前n项和，由等比数列前n 项和公式得a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n 1－14＝323(1－4－n)．4．[2015·临沂模拟]在等比数列{a n }中，a 1>0，n ∈N *，且a 3－a 2＝8，又a 1，a 5的等比中项为16.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 4a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，是否存在正整数k ，使得1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n<k 对任意n ∈N *恒成立，若存在，求出正整数k 的最小值；若不存在，请说明理由．解 (1)设数列{a n }的公比为q ，由题意可得a 3＝16， 因为a 3－a 2＝8，则a 2＝8， 所以q ＝2，a 1＝4， 所以a n ＝2n ＋1.(2)因为b n ＝log 42n ＋1＝n ＋12，所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n n ＋34.因为1S n＝4n n ＋3 ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋3，所以1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫11－14＋12－15＋13－16＋…＋1n －1n ＋3＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13－1n ＋1－1n ＋2－1n ＋3＝43×116－43×⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＝229－43×⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3当n ＝1时，1S 1＝1<2<229当n ≥2时，1S 1＋1S 2＋…＋1S n＝229－43⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3<229<3.故存在k ＝3时，对任意的n ∈N *都有1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n<3.。
高考数学一轮复习 教师备选作业 第五章 第三节 等比数列及其前n项和
第五章第三节等比数列及其前n项和一、选择题1．如果等比数列{a n}中，a3·a4·a5·a6·a7＝4错误!，那么a5＝A．2C．±2 D．±错误!2．设数列{a n}，{b n}分别为等差数列与等比数列，且a1＝b1＝4，a4＝b4＝1，则以下结论正确的是A．a2＞b2B．a3＜b3C．a5＞b5D．a6＞b63．设a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比为2，则错误!的值为D．14．已知等比数列{a n}中，a n＞0，a10a11＝e，则n a1＋n a2＋…＋n a20的值为A．12 B．10C．8 D．e5．若等比数列{a n}满足a n a n＋1＝16n，则公比为A．2 B．4C．8 D．166．a1，a2，a3，a4是各项不为零的等差数列且公差d≠0，若将此数列删去某一项得到的数列按原来的顺序是等比数列，则错误!的值为A．－4或1 B．1C．4 D．4或－1二、填空题7．已知{a n}是递增等比数列，a2＝2，a4－a3＝4，则此数列的公比q＝________8．已知数列{a n}的前n项和S n＝2n－3，则数列{a n}的通项公式为________．9．设{a n}是公比为q的等比数列，|q|>1，令b n＝a n＋1n＝1,2，…，若数列{b n}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________三、解答题10．设等比数列{a n}的前n项和为S n·已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求a n和S n·11．已知等比数列{a n}中，a1＝错误!，公比q＝错误!1S n为{a n}的前n项和，证明：S n＝错误!；2设b n＝og3a1＋og3a2＋…＋og3a n，求数列{b n}的通项公式．12．已知两个等比数列{a n}，{b n}，满足a1＝aa>0，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝31若a＝1，求数列{a n}的通项公式；2若数列{a n}唯一，求a的值．详解答案一、选择题1．解析：依题意得a错误!＝252，a5＝错误!答案：B2．解析：设等差数列的公差为d，等比数列公比为q，由a1＝b1＝4，a4＝b4＝1，得d＝－1，q＝错误!，于是a2＝3＞b2＝2错误!答案：A3．解析：由题意得a2＝2a1，a3＝4a1，a4＝8a1∴错误!＝错误!＝错误!答案：A4．解析：n a1＋n a2＋…＋n a20＝n[a1a20·a2a19…a10a11]＝ne10＝10答案：B5．解析：由a n a n＋1＝16n，得a n＋1·a n＋2＝16n＋1，两式相除得，错误!＝错误!＝16，∴q2＝16∵a n a n＋1＝16n，可知公比为正数，∴q＝4答案：B6．解析：若删去a1或a4，知数列既为等差也为等比时，公差d＝0，由条件知不成立．若删去a2，则a1＋2d2＝a1a1＋3d，若删去a3，则a1＋d2＝a1a1＋3d，解得错误!＝－4或1答案：D二、填空题7．解析：由题意得2q2－2q＝4，解得q＝2或q＝－1又{a n}单调递增，得q＞1，∴q＝2 答案：28．解析：当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2n－1，当n＝1时，a1＝S1＝－1，所以a n＝错误!答案：a n＝错误!9．解析：∵b n＝a n＋1，∴a n＝b n－1，而{b n}有连续四项在集合{－53，－23，19,37,82}中，∴{a n}有连续四项在集合{－54，－24，18,36,81}中．∵{a n}是公比为q的等比数列，|q|＞1，∴{a n}中的连续四项为－24，36，－54，81∵q＝－错误!＝－错误!，∴6q＝－9答案：－9三、解答题10．解：设{a n}的公比为q，由题设得错误!解得错误!或错误!当a1＝3，q＝2时，a n＝3×2n－1，S n＝3×2n－1；当a1＝2，q＝3时，a n＝2×3n－1，S n＝3n－111．解：1证明：因为a n＝错误!×错误!n－1＝错误!，S n＝错误!＝错误!，所以S n＝错误!2因为b n＝og3a1＋og3a2＋…＋og3a n＝－1＋2＋…＋n＝－错误!所以{b n}的通项公式为b n＝－错误!12．解：1设数列{a n}的公比为q，则b1＝1＋a＝2，b2＝2＋aq＝2＋q，b3＝3＋aq2＝3＋q2，由b1，b2，b3成等比数列得2＋q2＝23＋q2．即q2－4q＋2＝0，解得q1＝2＋错误!，q2＝2－错误!所以数列{a n}的通项公式为a n＝2＋错误!n－1或a n＝2－错误!n－12设数列{a n}的公比为q，则由2＋aq2＝1＋a3＋aq2，得aq2－4aq＋3a－1＝0*，由a＞0得Δ＝4a2＋4a＞0，故方程*有两个不同的实根．由数列{a n}唯一，知方程*必有一根为0，代入*得a＝错误!。
高考数学一轮复习第五章数列课时达标30等比数列及其前n项和理
2018年高考数学一轮复习 第五章 数列 课时达标30 等比数列及其前n 项和 理[解密考纲]主要考查等比数列的通项公式，等比中项及其性质，以及前n 项和公式的应用，三种题型均有涉及．一、选择题1．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( A ) A ．－24 B ．0C ．12D ．24解析：由题意知(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.2．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝x ·3n －1－16，则x 的值为( C ) A ．13B ．－13C ．12D ．－12解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝x －16，①当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎪⎫x ·3n －1－16－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·3n －2－16＝x ·(3n －1－3n －2)＝2x ·3n －2， 因为{a n }是等比数列，所以a 1＝a 2q ＝2x ·32－23＝2x3，②由①②得x －16＝2x 3，解得x ＝12.3．(2017·云南昆明模拟)在等比数列{a n }中，若a 3，a 7是方程x 2＋4x ＋2＝0的两根，则a 5的值是( B )A ．－2B ．－ 2C ．± 2D ． 2解析：根据根与系数之间的关系得a 3＋a 7＝－4，a 3a 7＝2，由a 3＋a 7＝－4<0，a 3a 7>0，所以a 3<0，a 7<0，即a 5<0，由a 3a 7＝a 25，所以a 5＝－a 3a 7＝－ 2.4．已知等比数列{a n }中的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n ＝( D )A ．4n －1B ．4n－1C ．2n －1D ．2n－1解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝52，①a 1q ＋a 1q 3＝54，②由①除以②可得1＋q 2q ＋q 3＝2，解得q ＝12，代入①得a 1＝2，∴a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝42n ，∴S n ＝2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ，∴S n a n ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 42n ＝2n －1，选D ． 5．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( B )A ．12B ．10C ．8D ．2＋log 35解析：由题意可知a 5a 6＝a 4a 7，又a 5a 6＋a 4a 7＝18得a 5a 6＝a 4a 7＝9，而log3a 1＋log3a 2＋…＋log3a 10＝log3(a 1·a 2·…a 10)＝log3(a 5a 6)5＝log395＝log3310＝10.6．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为22，则2a 7＋a 11的最小值为( B )A ．16B ．8C ．2 2D ．4解析：由题意知a 4>0，a 14>0，a 4·a 14＝8，a 7>0，a 11>0，则2a 7＋a 11≥22a 7·a 11＝22a 4·a 14＝216＝8，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 7·a 11＝8，2a 7＝a 11，即a 7＝2，a 11＝4时取等号，故2a 7＋a 11的最小值为8，故选B ．二、填空题7．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是4. 解析：设公比为q ，则由a 8＝a 6＋2a 4，得a 1q 7＝a 1q 5＋2a 1q 3，q 4－q 2－2＝0，解得q 2＝2(q 2＝－1舍去)，所以a 6＝a 2q 4＝4.8．等比数列的各项均为正数，且a 1a 5＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝5.解析：由等比数列的性质可知a 1a 5＝a 2a 4＝a 23，于是，由a 1a 5＝4得a 3＝2，故a 1a 2a 3a 4a 5＝32，则log2a 1＋log2a 2＋log2a 3＋log2a 4＋log2a 5＝log2(a 1a 2a 3a 4a 5)＝log232＝5.9．(2017·江苏徐州模拟)若等比数列{a n }满足：a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝2；前n 项和S n ＝2n ＋1－2.解析：由a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＋a 1q 4＝40，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1q＋q2＝20，a 1q 2＋q2＝40，解得q ＝2，a 1＝2，所以S n ＝a 1－qn1－q＝－2n1－2＝2n ＋1－2.三、解答题10．已知递增的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 6＝64 ，且a 4，a 5的等差中项为3a 3. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝na 2n －1，求数列{b n }的前n 项和T n .解析：(1)设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 5＝64，a 1q 3＋a 1q 4＝6a 1q 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－6435，q ＝－3，(舍去)，所以a n＝2n.(2)因为b n ＝na 2n －1＝n22n －1，所以T n ＝12＋223＋325＋427＋…＋n22n －1，14T n ＝123＋225＋327＋…＋n －122n －1＋n22n ＋1， 所以34T n ＝12＋123＋125＋127＋…＋122n －1－n 22n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－141－14－n 22n ＋1＝23－4＋3n 3×22n ＋1，故T n ＝89－16＋12n 9×22n ＋1＝89－4＋3n 9×22n －1.11．(2017·天津模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1 ,2S 2,3S 3成等差数列，且S 4＝4027.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：S n <32.解析：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 1,2S 2,3S 3成等差数列，所以4S 2＝S 1＋3S 3， 即4(a 1＋a 2)＝a 1＋3(a 1＋a 2＋a 3)，所以a 2＝3a 3，所以q ＝a 3a 2＝13.又S 4＝4027，即a 11－q 41－q＝4027，解得a 1＝1，所以 a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1.(2)证明：由(1)得S n ＝a 11－q n1－q＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n .因为n ∈N *，所以0<⎝ ⎛⎭⎪⎫13n <1，所以0<1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n<1，所以S n ＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n <32.12．(2017·湖北华中师大附中期中)已知数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，b 4＝54，a 1＋a 2＋a 3＝b 2＋b 3.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)数列{c n }满足c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和S n . 解析：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，由b 4＝b 1q 3，得q 3＝b 4b 1＝542＝27，从而q ＝3，b n ＝2·3n －1.又∵a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝b 2＋b 3＝6＋18＝24， ∴a 2＝8，d ＝a 2－a 1＝8－2＝6，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋6(n －1)＝6n －4. ∴a n ＝6n －4，b n ＝2·3n －1.(2)c n ＝a n b n ＝4(3n －2)·3n －1.令S n ＝4[1×30＋4×31＋7×32＋…＋(3n －5)×3n －2＋(3n －2)×3n －1]，则3S n ＝4[1×31＋4×32＋7×33＋…＋(3n －5)×3n －1＋(3n －2)×3n]．两式相减得－2S n＝4[1＋3×31＋3×32＋…＋3×3n －1－(3n －2)×3n]，∴－2S n ＝4[1＋32＋33＋ (3)－(3n －2)×3n] ＝2[(7－6n )·3n－7]．∴S n ＝7＋(6n －7)·3n.。
高考数学一轮复习 第五章 数列 5.3 等比数列及其前n项和学案(含解析)
等比数列及其前n 项和【考纲传真】1.理解等比数列的概念．2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题．4.了解等比数列与指数函数的关系.【知识扫描】知识点1 等比数列的有关概念1．定义；如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，公比的表达式为a n ＋1a n＝q . 2．等比中项；如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab . 知识点2 等比数列的有关公式1．通项公式：a n ＝a 1q n －1＝a m q n －m .2．前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ na 1，q ＝1，a 1－q n 1－q＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.1．必会结论；等比数列的性质 (1)对任意的正整数m ，n ，p ，q ，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k .(2)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，{|a n |}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n (λ≠0)仍然是等比数列．(3)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k .(4)公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n ，当公比为－1时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 不一定构成等比数列．(5)若等比数列{a n }共2k (k ∈N *)项，则S 偶S 奇＝q . 2．必清误区(1)在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，与等差数列不同．(2)由a n ＋1＝qa n (q ≠0)并不能断言{a n }是等比数列，还要验证a 1≠0.【学情自测】1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列a ，a ，a ，…(a ∈R )必为等比数列．( )(2)当q ＜0时，等比数列{a n }为递减数列．( )(3)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( )(4)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }是等比数列．( )2．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于( ) A ．－12B ．－2C ．2 D.12 3．(2015·广东高考)若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中a ＝5＋26，c ＝5－26，则b ＝________.4．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝________.5．(2014·重庆高考)已知{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，S n 表示{a n }的前n 项和．(1)求a n 及S n ；(2)设{b n }是首项为2的等比数列，公比q 满足q 2－(a 4＋1)q ＋S 4＝0，求{b n }的通项公式及其前n 项和T n .参考答案1【解析】 (1)错误．a ＝0时不能构成等比数列．(2)错误．当q ＜0时，{a n }为摆动数列．(3)错误．G 2＝abD ⇒/G 为a ，b 的等比中项．(4)错误．若a 1＝0，则{a n }不是等比数列．【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)× 2【解析】 由题意知q 3＝a 5a 2＝18，∴q ＝12. 【答案】 D3【解析】 ∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝a ·c ＝(5＋26)(5－26)＝1.又b >0，∴b ＝1.【答案】 14【解析】 设等比数列{a n }的公比为q ，因为8a 2＋a 5＝0，所以8a 1q ＋a 1q 4＝0.∴q 3＋8＝0，∴q ＝－2，∴S5S 2＝a 1－q 51－q ·1－q a 1－q 2＝1－q 51－q 2＝1－－51－4＝－11.【答案】 －115【解】 (1)因为{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝2的等差数列，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.故S n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n a 1＋a n 2＝n ＋2n －2＝n 2.(2)由(1)得a 4＝7，S 4＝16.因为q 2－(a 4＋1)q ＋S 4＝0，即q 2－8q ＋16＝0，所以(q －4)2＝0，从而q ＝4.又因为b 1＝2，{b n }是公比q ＝4的等比数列， 所以b n ＝b 1q n －1＝2·4n －1＝22n －1.从而{b n }的前n 项和T n ＝b 1－q n1－q ＝23(4n －1)．。
高考数学一轮复习 第五章 数列 5.3 等比数列及其前n项和(理)
am·an =______. 特a别p·地a,q 若m+n=2p,则_________.
am·an=ap2
(3)若等比数列前n项和为Sn,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m仍成等
.
【解析】方法一:各项均为正数的等比数列{an}中
a10a11=a9a12=…=a1a20,
则a1a20=e5,
lna1+lna2+…+lna20=ln(a1a20)10=lne50=50.
方法二:各项均为正数的等比数列{an}中 a10a11=a9a12=…=a1a20, 则a1a20=e5, 设lna1+lna2+…+lna20=S, 则lna20+lna19+…+lna1=S,2S=20ln(a1a20)=100,S=50. 答案:50
构成等差数列,则an=
.
【解题导引】(1)根据a3+a5+a7与a1+a3+a5的联系求解. (2)将已知条件转化为a2的方程组,求得a2,再利用S3=7 求得公比q,进而求解.
【规范解答】(1)选B.设等比数列的公比为q,则 a1+a1q2+a1q4=21, 又因为a1=3,所以q4+q2-6=0, 解得q2=2,a3+a5+a7=(a1+a3+a5)q2=42.
的等比中项.即:G是a与b的等比中项⇔a,G,b成等比数
列⇒G2=___. ab
2.等比数列的有关公式
(1)通项公式:an=_a_1q_n_-_1 .
「精品」高考数学一轮总复习第5章数列5.3等比数列及其前n项和课件理
求另外两个变量，在求公比 q 时，要注意应用 q≠0 验证求
得的结果．
【变式训练 1】 中国古代数学著作《算法统宗》中有
这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日
脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细
算相还．”其意思为：有一个人走 378 里路，第一天健步行
走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6
触类旁通 等比数列的性质应用问题
(1)等比 数列的性质可以分为三 类：一是通项公式的 变 形，二是等比中项的变形，三是前 n 项和公式的变形．根据 题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问 题的突破口．
(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．
考向 等比数列的判定与证明 例 4 [2016·全国卷Ⅲ]已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝1 ＋λan，其中 λ≠0. (1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式； (2)若 S5＝3312，求 λ.
【变式训练 2】 已知数列{an}满足 2a1＋4a2＋…＋2nan ＝nn2＋1.
(1)求证：数列ann是等比数列； (2)求数列{an}的前 n 项和 Tn.
解 (1)证明：当 n＝1 时，由 2a1＝1，得 a1＝12， 当 n≥2 时，由 2a1＋4a2＋…＋2nan＝nn2＋1，得
2．等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q，则它的通项 an ＝ a1qn－1 .
3．等比中项 如果 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等
比中项，即：G 是 a 与 b 的等比中项⇔a，G，b 成等比数列 ⇒ G2＝ab .
考点 2 等比数列的前 n 项和公式 等比数列{an}的公比为 q(q≠0)，其前 n 项和为 Sn，当 q＝1 时，Sn＝na1； 当 q≠1 时，Sn＝a111－－qqn＝a11－ －aqnq.
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分层作业三十二等比数列及其前n项和
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2018·重庆模拟)已知各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n,且S3=14,a3=8,则a6= ( )
A.16
B.32
C.64
D.128
解析选C.由题意得,等比数列的公比为q,由S3=14,a3=8,则解得a1=2,q=2,所以a6=a1q5=2×25=64,故选C.
2.(2017·全国卷Ⅲ)等差数列{a n}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{a n}前6项的和为
( )
A.24
B.-3
C.3
D.8
解析选A.设等差数列的公差为d,d≠0,=a2·a6,即(12d)2=(1d)(15d),
d2=2d(d≠0),所以d=2,所以S6=6×1×(2)=24.
3.(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是
上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯导学号12560576 ( )
A.1盏
B.3盏
C.5盏
D.9盏
解析选B.设塔的顶层共有灯x盏,则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列,由=381可得x=3.
4.(2018·临沂模拟)已知等比数列{a n}的前n项和为S n=a·2n1,则a的值为
( )
A. B. C. D.
解析选A.当n≥2时,a n=S n S n1=a·2n1a·2n2=a·2n2,当n=1时,a1=S1=a,又因为{a n}是等比数列,所以a=,所以a=.
5.在公比为的等比数列{a n}中,若sin(a1a4)=,则cos(a2a5)的值是( )
A. B. C. D.
解析选B.由等比数列的通项公式可知a2a5=(a1a4)q2=2(a1a4),cos(a2a5)=1
2sin2(a1a4)=12×=.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2017·北京高考)若等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=1,a4=b4=8,则=______.
解析设等差数列{a n}的公差为d,等比数列{b n}的公比为q.由题意得13d=
q3=8⇒d=3,q=2⇒==1.
答案:1
7.已知数列{a n}是等比数列,a2=2,a5=,则a1a2a3a2a3a4…a n a n1a n2=________.
解析设数列{a n}的公比为q,则q3==,解得q=,a1==4.易知数列{a n a n1a n2}是首项为a1a2a3=4×2×
1=8,公比为q3=的等比数列,所以a1a2a3a2a3a4…a n a n1a n2==(1-2-3n).
答案:(1-2-3n)
8.(2015·湖南高考)设S n为等比数列的前n项和,若a1=1且3S1,2S2,S3成等差数列,则
a n=__________.
解题指南由3S1,2S2,S3成等差数列,可求得公比q=3,然后求a n.
解析因为3S1,2S2,S3成等差数列,
所以2×2(a1a2)=3a1a1a2a3⇒a3=3a2⇒q=3,
所以a n=a1q n1=3n1.
答案:3n1
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2018·烟台模拟)已知等差数列{a n}中,a1=1,且a1,a2,a42成等比数列.
(1)求数列{a n}的通项公式及其前n项和S n.
(2)设b n=,求数列{b n}的前2n项和T2n.
解析(1)设等差数列{a n}的公差为d,因为a1=1,且a1,a2,a42成等比数列.所以=a1·(a42),
即(1d)2=1×(13d2),解得d=2或1.
其中d=1时,a2=0,舍去.
所以d=2,可得a n=12(n1)=2n1.
S n==n2.
(2)b n==.
所以当n为偶数时,==16.当n为奇数时,==.
所以数列{b n}的奇数项是以为首项,为公比的等比数列偶数项是以8为首项,16为公比的等比数列.
所以数列{b n}的前2n项和T2n=(b1b3…b2n1)(b2b4…
b2n)==(16n16n).
10.(2015·高考改编)设数列{a n}的前n项和为S n,n∈N*.已知a1=1,a2=,a3=,且当n≥2时,4S n25S n=8S n1S n1.
(1)求a4的值.
(2)证明:为等比数列.
解析(1)当n=2时,4S45S2=8S3S1,
即45
=81,解得a4=.
(2)由4S n25S n=8S n1S n1(n≥2),
4S n24S n1S n S n1=4S n14S n(n≥2),
即4a n2a n=4a n1(n≥2).
因为4a3a1=4×1=6=4a2,
所以4a n2a n=4a n1,
所以=
===,
所以数列是以a2a1=1为首项,为公比的等比数列.
1.(5分)(2018·福州模拟)已知数列{a n}满足log3a n1=log3a n1(n∈N*),且a2a4a6=9,则lo(a5a7a9)的值是
( )
A.5
B.
C.5
D.
解析选A.因为log3a n1=log3a n1,所以a n1=3a n.
所以数列{a n}是公比q=3的等比数列,
所以a2a4a6=a2(1q2q4)=9.
所以a5a7a9=a5(1q2q4)=a2q3(1q2q4)=35.
所以lo35=5.
变式备选等比数列{a n}满足a n>0,n∈N*,且a3·a2n3=n(n≥2),则当n≥1时,log2a1log2a2…
log2a2n1=________.
解析由等比数列的性质,得a3·a2n3==n,从而得a n=2n.所以log2a1log2a2…
log2a2n1=log2[(a1a2n1)·(a2a2n2)·…·(a n1a n1)a n]=log n(2n1)=n(2n1)=2n2n.
答案:2n2n
2.(5分)已知数列{a n}为等比数列,若a4a6=10,则a7(a12a3)a3a9的值为( )
A.10
B.20
C.100
D.200
解析选C.a7(a12a3)a3a9=a7a12a7a3a3a9=2a4a6=(a4a6)2=102=100.
3.(5分)(2016·全国卷Ⅰ)设等比数列{a n}满足a1a3=10,a2a4=5,则a1a2…a n的最大值为________.
解析由于{a n}是等比数列,设a n=a1q n1,其中a1是首项,q是公比.
所以⇒
解得:
故a n=,
所以a1·a2·…·a n=
==.
当n=3或4时,取到最小值6,
此时取到最大值26=64.
所以a1·a2·…·a n的最大值为64.
答案:64
4.(12分)(2016·全国卷Ⅲ)已知数列{a n}的前n项和S n=1λa n,其中λ≠0.
(1)证明{a n}是等比数列,并求其通项公式.
(2)若S5=,求λ.
解析(1)由题意得a1=S1=1λa1,故a1=,
由S n=1λa n,S n1=1λa n1得a n1=λa n1λa n,所以=,
因此数列{a n}是以a1=为首项,以为公比的等比数列,a n=.
(2)由(1)得S n=1,又因为S5=,
所以=1,即=,解得λ=1.
5.(13分)(2018·郑州模拟)已知数列{a n}满足a1=5,a2=5,a n1=a n6a n1(n≥2).
(1)求证:{a n12a n}是等比数列.
(2)求数列{a n}的通项公式.
解析(1)因为a n1=a n6a n1(n≥2),
所以a n12a n=3a n6a n1=3(a n2a n1)(n≥2).
因为a1=5,a2=5,
所以a22a1=15,
所以a n2a n1≠0(n≥2),
所以=3(n≥2),
所以数列{a n12a n}是以15为首项,3为公比的等比数列.
(2)由(1)得a n12a n=15×3n1=5×3n,
则a n1=2a n5×3n,
所以a n13n1=2(a n3n).
又因为a13=2,所以a n3n≠0,
所以{a n3n}是以2为首项,2为公比的等比数列.
所以a n3n=2×(2)n1,
即a n=2×(2)n13n.。